Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth
We consider resonance elliptic variational inequalities with second-order differential operators and discontinuous nonlinearity of linear grows. The theorem on the existence of a strong solution is obtained. The initial problem is reduced to the problem of the existence of a fixed point in a compa...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2737 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508695579852800 |
|---|---|
| author | Pavlenko, V. N. Павленко, В. Н. Павленко, В. Н. |
| author_facet | Pavlenko, V. N. Павленко, В. Н. Павленко, В. Н. |
| author_sort | Pavlenko, V. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | We consider resonance elliptic variational inequalities with second-order differential operators and discontinuous nonlinearity of linear grows.
The theorem on the existence of a strong solution is obtained.
The initial problem is reduced to the problem of the existence of a fixed point in a compact multivalued mapping and then,
with the use of the Leray - Schauder method, the existence of the fixed point is established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.2
В. Н. Павленко (Челябин. гос. ун-т, Россия)
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ
НЕРАВЕНСТВА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
ЛИНЕЙНОГО РОСТА*
We consider resonance elliptic variational inequalities with second-order differential operators and disconti-
nuous nonlinearity of linear grows. The theorem on the existence of a strong solution is obtained. The initial
problem is reduced to the problem of the existence of a fixed point in a compact multivalued mapping and
then, with the use of the Leray – Schauder method, the existence of the fixed point is established.
Розглядаються резонанснi елiптичнi варiацiйнi нерiвностi з диференцiальними операторами другого по-
рядку i розривною нелiйнiстю лiнiйного зростання. Доведено теорему iснування сильного розв’язку.
Початкову задачу зведено до проблеми iснування нерухомої точки у багатозначного компактного вiд-
ображення, а потiм методом Лере – Шаудера встановлено наявнiсть нерухомої точки.
1. Постановка задачи и формулировка основного результата. Пусть Ω — огра-
ниченная область в Rm, m ≥ 2, с границей Γ класса C2,α, 0 < α ≤ 1 [1],
K =
{
v ∈
◦
W 1
2 (Ω) | v(x) ≥ ψ(x) почти всюду на Ω
}
, где ψ ∈ C2(Ω), ψ|Γ ≤ 0.
Рассматривается резонансная задача с препятствием нахождения функции u ∈
∈ K, удовлетворяющей неравенству
m∑
i,j=1
∫
Ω
aij(x)uxi
(v − u)xj
dx+
∫
Ω
(
c(x)− λ0
)
u(x)(v − u)(x)dx+
+
∫
Ω
g
(
x, u(x)
)
(v − u)(x)dx ≥
∫
Ω
f(x)(v − u)(x)dx ∀v ∈ K, (1)
где Lu(x) ≡ −
∑m
i,j=1
(
aij(x)uxi
)
xj
+ c(x)u(x) — равномерно эллиптический
дифференциальный оператор, aij ∈ C1,α(Ω), aij(x) = aji(x) на Ω, 1 ≤ i, j ≤ m,
c ∈ C0,α(Ω) и c(x) ≥ 0 на Ω, λ0 — минимальное собственное значение оператора
L с граничным условием u|Γ = 0, f ∈ Lq(Ω), q > m. Функция g : D → R(
D = {(x, ξ) ∈ Ω× R |x ∈ Ω, ξ ≥ ψ(x)}
)
суперпозиционно измерима, т. е. для
любой измеримой по Лебегу функции u(x) на Ω со значениями u(x) ≥ ψ(x)
почти всюду на Ω функция g(x, u(x)) измерима по Лебегу на Ω. Кроме того,
предполагается, что для почти всех x ∈ Ω функция g(x, ·) может иметь разрывы
только первого рода, непрерывна при ξ = ψ(x) и g(x, ξ) ∈
[
g−(x, ξ), g+(x, ξ)
]
для
любого ξ ∈
(
ψ(x),+∞
)
, g−(x, ξ) = lim inf
s→ξ
g(x, s), g+(x, ξ) = lim sup
s→ξ
g(x, s).
Если функция g : D → R имеет перечисленные выше свойства, то будем гово-
рить, что она удовлетворяет (i) -условию.
В случае, когда g(x, u) ≡ 0, разрешимость задачи (1) установлена в [2] при
условии, что
*Выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта
№ 07-01-96000_р_урал_а).
c© В. Н. ПАВЛЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 513
514 В. Н. ПАВЛЕНКО∫
Ω
f(x)ϕ(x)dx < 0, (2)
где ϕ(x) — положительная собственная функция дифференциального оператора L
с однородным граничным условием Дирихле, соответствующая собственному зна-
чению λ0. Известно [1], что собственное значение λ0 простое, и базисная функция
его собственного подпространства либо отрицательная, либо положительная на Ω.
В [3] предлагается метод исследования некоэрцитивных вариационных нера-
венств, в котором используются операторы спада. Одно из приложений общих
теорем ([3], пример 4.4) относится к резонансной задаче с препятствием с p -
лапласианом и каратеодориевой нелинейностью. При p = 2 получается задача (1)
с L = ∆. Для этого случая при условии, что g(x, u) имеет подлинейный рост*,
доказывается существование решения для функции f, удовлетворяющей неравен-
ству ∫
Ω
g+(x)ϕ(x)dx >
∫
Ω
f(x)ϕ(x)dx, (3)
где g+(x) = lim inf
ξ→+∞
g(x, ξ), а ϕ(x) та же, что и в (2).
В монографии [4, с. 485 – 495] изучается резонансная задача с препятствием c
p -лапласианом и многозначной нелинейностью, совпадающей с субдифференциа-
лом Кларка от локально липшицевой функции J(x, ξ) . Вариационным методом
получена теорема существования ненулевого решения. Задаче (1) c L = ∆ и f = 0
соответствует случай p = 2. В этой ситуации одно из ограничений на нелинейность
таково: для почти всех x ∈ Ω
lim
ξ→∞
u
ξ
= 0 ∀u ∈ ∂J(x, ξ).
Задача (1) изучалась в работах [5, 6] при дополнительном предположении о
наличии функции b ∈ Lq(Ω) такой, что для почти всех x ∈ Ω
|g(x, ξ)| ≤ b(x) ∀ξ ≥ ψ(x) (4)
(случай ограниченной нелинейности), и равной нулю функции f(x). В них, следуя
[7], вариационному неравенству (1) ставится в соответствие эллиптическая краевая
задача
Lu(x) +G(x, u(x)) = f(x), x ∈ Ω, (5)
u|Γ = 0, (6)
где G(x, ξ) = min {−Lψ(x) + f(x), g(x, ψ(x))− λ0ψ(x)} при ξ ≤ ψ(x) и G(x, ξ) =
= g(x, ξ)− λ0ξ при ξ > ψ(x) для почти всех x ∈ Ω.
С помощью обобщенного принципа максимума [8] в [5] показано, что любое
сильное решение u ∈W 2
q (Ω) задачи (5), (6) принадлежит K и выполняется нера-
*Подлинейный рост g(x, u) означает существование констант a > 0, 0 ≤ α < 1 и функции
b ∈ Lq(Ω) таких, что для почти всех x ∈ Ω
|g(x, u)| ≤ a|u|α + b(x) ∀u ≥ ψ(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА . . . 515
венство (1) c f = 0 (функция u ∈W 2
q (Ω)∩
◦
W 1
2 (Ω) называется сильным решением
задачи (5), (6), если u(x) для почти всех x ∈ Ω удовлетворяет уравнению (5)). Су-
ществование сильного решения задачи (5), (6) в [5, 6] устанавливается в случае,
когда ограниченная нелинейность g : D → R по отношению к дифференциально-
му оператору Bu = Lu − λ0u удовлетворяет А1-условию, а для функции g(x, u)
выполнено некоторое интегральное неравенство. В [6] оно совпадает с (3) при
f = 0.
В данной статье f(x) в неравенстве (1) может быть ненулевой.
Определение 1. Говорят, что для функции g(x, u) − f(x) по отношению
к дифференциальному оператору B = Lu − λ0u выполнено A1 -условие, если
существует не более чем счетное семейство поверхностей {Si, i ∈ I}, Si =
= {(x, ξ) ∈ D | ξ = ψi(x)}, ψi ∈ W 2
1,loc(Ω), таких, что для почти всех x ∈ Ω
неравенство g+(x, ξ) 6= g−(x, ξ) влечет существование i ∈ I, для которого
(x, ξ) ∈ Si и либо
(
Bψi + g−(x, ψi(x))− f(x)
)(
Bψi(x) + g+(x, ψi(x))− f(x)
)
> 0,
либо Bψi(x) + g
(
x, ψi(x)
)
= f(x).
Основное отличие данного исследования от [5, 6] — допущение линейного роста
нелинейности g(x, ξ) : найдутся постоянная a > 0 и функция b ∈ Lq(Ω) такие, что
для почти всех x ∈ Ω
|g(x, ξ)| ≤ a|ξ|+ b(x) ∀ξ ≥ ψ(x). (7)
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что:
1) функция g : D → R удовлетворяет (i) -условию и найдутся постоянная
a > 0 и функция b ∈ Lq(Ω), q > m, такие, что для почти всех x ∈ Ω верна
оценка (7);
2) найдется r ∈ L1(Ω) такая, что для почти всех x ∈ Ω
g(x, ξ) ≥ r(x) ∀ξ ≥ ψ(x);
3) функция f ∈ Lq(Ω) удовлетворяет неравенству (3);
4) для функции g(x, u)− f(x) по отношению к дифференциальному оператору
Bu = Lu− λ0u выполнено А1-условие.
Тогда существует u ∈W 2
q (Ω) ∩K, удовлетворяющая неравенству (1).
Для доказательства теоремы достаточно установить существование сильного
решения из W 2
q (Ω) задачи (5), (6). Действительно, если u ∈ W 2
q (Ω) — сильное
решение задачи (5), (6), то
(Lu(x)− Lψ(x))(ψ − u)+(x) = (−G(x, u(x)) + f(x)− Lψ(x))(ψ − u)+(x) ≥
≥ (Lψ(x)− f(x) + f(x)− Lψ(x))(ψ − u)+(x) = 0
для почти всех x ∈ Ω, для которых u(x) ≤ ψ(x). Если u(x) > ψ(x), то (ψ −
− u)+(x) = 0, и, значит, (Lu(x)− Lψ(x))(ψ − u)+(x) = 0. Тогда(
∂u
∂nL
(x)− ∂ψ
∂nL
(x)
)
(ψ − u)+(x)
∣∣∣∣
Γ
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
516 В. Н. ПАВЛЕНКО
так как u|Γ = 0, ψ|Γ ≤ 0. Здесь (v − u)+(x) = max{v(x) − u(x), 0}, ∂
∂nL
=
=
∑n
i,j=1
aij(x) cos (n, xj)
∂
∂xj
— конормальная производная к Γ (n — внешняя
нормаль к Γ, cos (n, xj) — направляющие косинусы нормали n ).
Отсюда в силу обобщенного принципа максимума [8] получим, что u(x) ≥ ψ(x)
почти всюду на Ω. Осталось проверить, что u(x) удовлетворяет неравенству (1).
Для произвольного v ∈ K с учетом неравенства G
(
x, ψ(x)
)
≤ g
(
x, ψ(x)
)
−λ0ψ(x)
имеем∫
Ω
f(x)(v − u)(x)dx =
∫
Ω
Lu(x)(v − u)(x)dx+
∫
Ω
G(x, u(x))(v − u)(x)dx =
=
n∑
i,j=1
∫
Ω
aij(x)uxi
(v − u)xj
(x)dx+
∫
Ω
c(x)u(x)(v − u)(x)dx+
+
∫
{x∈Ω|u(x)=ψ(x)}
G(x, u(x))(v − u)(x)dx+
+
∫
{x∈Ω|u(x)>ψ(x)}
G(x, u(x))(v − u)(x)dx ≤
n∑
i,j=1
∫
Ω
aij(x)uxi(v − u)xj (x)dx+
+
∫
Ω
(c(x)− λ0)u(x)(v − u)(x)dx+
∫
Ω
g(x, u)(v − u)(x)dx.
Таким образом, показано, что u(x) удовлетворяет неравенству (1). Доказательство
существования сильного решения задачи (5), (6) будет проводиться по следующей
схеме. Уравнение (5) заменим включением
f(x)− Lu(x) ∈
[
G−(x, u(x)), G+(x, u(x))
]
, x ∈ Ω, (8)
где G−(x, u) = lim inf
η→u
G(x, η), G+(x, u) = lim sup
η→u
G(x, η). Функция u ∈ W 2
q (Ω),
удовлетворяющая (8) для почти всех x ∈ Ω и граничному условию (6), называется
обобщенным решением задачи (5), (6). Из условия 4 теоремы следует, что лю-
бое обобщенное решение задачи является ее сильным решением. Проблема суще-
ствования обобщенного решения задачи (5), (6) сводится к наличию неподвижной
точки у компактного многозначного отображения. Доказательство существования
последней проводится методом Лере – Шаудера. При этом ключевыми оказываются
условия 2 и 3 теоремы. Заметим, что в [5, 6] существование обобщенного решения
задачи (5), (6) с функцией f(x), равной нулю, устанавливалось с помощью регу-
ляризации с использованием вариационного метода и доказательства по существу
опирались на ограниченность нелинейности g(x, ξ) (см. оценку (4)).
2. Операторная постановка включения (8) с граничным условием (6). За-
метим, что функция G : Ω × R → R суперпозиционно измерима, поскольку для
почти всех x ∈ Ω функция G(x, ξ) = g(x, ξ) − λ0ξ при ξ > ψ(x), G(x, ξ) =
= min {−Lψ(x) + f(x), g(x, ψ(x))− λ0ψ(x)} при ξ ≤ ψ(x) и функция g : D → R
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА . . . 517
удовлетворяет (i) -условию. Множество точек разрыва U = {(x, ξ) |x ∈ Ω и
G−(x, ξ) 6= G+(x, ξ)} функции G совпадает с объединением множества U1 точек
разрыва функции g и множества U2 =
{
(x, ξ) |x ∈ Ω, ξ = ψ(x) и −Lψ(x)+f(x) <
< g(x, ψ(x))− λ0ψ(x)
}
.
Поскольку принадлежность
(
x, ψ(x)
)
множеству U2 влечет равенство Lψ(x)+
+G(x, ψ(x)) = Lψ(x)−Lψ(x)+f(x) = f(x), то в силу условия 4 теоремы заключа-
ем, что для функции G(x, ξ) выполнено А1-условие по отношению к дифференци-
альному оператору L. Отсюда следует, что функция u ∈W 2
q (Ω)∩
◦
W 1
2 (Ω), удовле-
творяющая включению (8), является сильным решением задачи (5), (6). Действи-
тельно, если u ∈W 2
q (Ω)∩
◦
W 1
2 (Ω) удовлетворяет (8) для почти всех x ∈ Ω, то для
x ∈ Ω, для которых G+(x, u(x)) = G−(x, u(x)), верно (5), так как в этом случае[
G−(x, u(x)), G+(x, u(x))
]
= {G(x, u(x))}; если же G−(x, u(x)) 6= G+(x, u(x)),
то в силу А1-условия либо
f(x)− Lu(x) /∈
[
G−(x, u(x)), G+(x, u(x))
]
, (9)
либо выполняется (5). Поскольку u(x) удовлетворяет (8) почти всюду на Ω, (9) воз-
можно лишь на множестве меры нуль. Таким образом, для доказательства теоремы
достаточно установить существование обобщенного решения задачи (5), (6).
Рассмотрим в Lq(Ω) определенный на D(A) = W 2
q (Ω)∩
◦
W 1
2 (Ω) линейный
оператор Au = Lu ∀u ∈ D(A). Известно, что A — замкнутый плотно опреде-
ленный в Lq(Ω) оператор с дискретным спектром 0 < λ0 < λ1 < . . . , причем
λk → +∞ при k →∞. Если λ /∈ {λk}∞k=1, то резольвента (A− λI)−1 компактна
в Lq(Ω) (I — тождественный в Lq(Ω) оператор). По определению G из оценки
(7) для g получим
|G(x, ξ)| ≤ a1|ξ|+ b1(x) ∀ξ ∈ R, (10)
где a1 = a+λ0, b1(x) = b(x)+|Lψ(x)|+|f(x)|. Отсюда с учетом суперпозиционной
измеримости G следует, что оператор Немыцкого Hu = G(x, u(x)) ∀u ∈ Lq(Ω)
действует в Lq(Ω), причем
‖Hu‖q ≤ a1‖u‖q + ‖b1‖q ∀u ∈ Lq(Ω), (11)
где ‖ ‖q — норма в Lq(Ω). Пусть H�(u) — овыпукление оператора Немыцкого:
H�(u) =
⋂
δ>0
clco
{
z | z = H(v), ‖v − u‖q < δ
}
,
где clcoV — замкнутая выпуклая оболочка множества V в Lq(Ω). В [9] по-
казано, что H�(u) = {z : Ω → R | z(x) измерима по Лебегу на Ω и z(x) ∈
∈
[
G−(x, u(x)), G+(x, u(x))
]
почти всюду на Ω}. Отсюда с учетом (11) для про-
извольных u ∈ Lq(Ω) и z ∈ H�(u) получим
‖z‖q ≤ a1‖u‖q + ‖b1‖q. (12)
Включение (8) равносильно операторному включению
Au ∈ f −H�(u). (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
518 В. Н. ПАВЛЕНКО
Поскольку нуль принадлежит резольвентному множеству оператора A, оператор
A−1 компактный. Поэтому включение (13) эквивалентно наличию неподвижной
точки у многозначного компактного отображения Tu = A−1(f −H�(u)) в Lq(Ω).
Компактность многозначного отображения T означает, что:
a) для любого u ∈ Lq(Ω) множество Tu является выпуклым компактом;
b) отображение T полунепрерывно сверху на Lq(Ω);
c) образ любого шара в Lq(Ω) при отображении T предкомпактен
(
если U ⊂
⊂ Lq(Ω), то по определению TU =
⋃
x∈U
Tx
)
.
Проверка свойств a), b) и c) отображения T проводится, как в [10]. Итак, требуется
установить существование u ∈ Lq(Ω), удовлетворяющего включению u ∈ Tu.
3. Доказательство теоремы. Для доказательства существования неподвижной
точки у отображения T методом Лере – Шаудера достаточно показать ограничен-
ность в Lq(Ω) множества решений семейства включений [11]
u ∈ t · Tu, t ∈ [0, 1). (14)
Если применить к обеим частям (14) оператор A, то включение приводится к виду
Au ∈ t · f − tH�(u).
Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что множество
решений семейства включений (14) неограничено. Тогда найдутся последователь-
ности (tn) ⊂ [0, 1), (un) ⊂ D(A) и (zn) в Lq(Ω) такие, что для любого n ∈ N
Aun + tnzn = tnf, (15)
‖un‖q > n, zn ∈ H�(un). Последнее означает, что для почти всех x ∈ Ω zn(x) ∈
∈
[
G−(x, un(x)), G+(x, un(x))
]
.
Разделив обе части равенства (15) на ‖un‖q, для любого n ∈ N получим
Avn + tn
zn
‖un‖q
= tn
f
‖un‖q
, (16)
где vn =
un
‖un‖q
. Поскольку tn ∈ [0, 1), ‖vn‖q = 1,
‖zn‖q
‖un‖q
≤ a1 +
‖b1‖q
‖un‖q
(в силу
оценки (10)), tn
‖f‖q
‖un‖q
→ 0 при n → ∞ и Lq(Ω) — рефлексивное пространство,
можно считать, что tn → t ∈ [0, 1], vn ⇀ v,
zn
‖un‖q
⇀ k(x) в Lq(Ω), переходя при
необходимости к подпоследовательности. Переходя в (16) к пределу при n → ∞,
с учетом замкнутости оператора A получаем
v ∈ D(A) и Av + tk(x) = 0. (17)
Умножим обе части последнего равенства на v(x) и проинтегрируем по Ω :∫
Ω
Av(x) · v(x)dx+ t
∫
Ω
kv(x) · v2(x)dx = 0, (18)
где kv(x) =
k(x)
v(x)
, если v(x) 6= 0, и kv(x) = 0, если v(x) = 0. Заметим, что первое
слагаемое в (18) не меньше λ0‖v‖22, так как λ0 — минимальное собственное значе-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА . . . 519
ние оператора A. Докажем, что функция kv(x) ≥ −λ0 почти всюду на множестве{
x ∈ Ω|v(x) > 0
}
. Из условия 2 теоремы и определения функции G(x, ξ) следует,
что для почти всех x ∈ Ω
lim inf
ξ→+∞
G(x, ξ)
ξ
≥ −λ0, (19)
lim
ξ→−∞
G(x, ξ)
ξ
= 0. (20)
Поскольку последовательность (Avn) ограничена в Lq(Ω), (vn) ограничена в
W 2
q (Ω) [1]. По условию q > m, поэтому W 2
q (Ω) компактно вложено в C1(Ω)
и, значит, можно считать, что vn → v в C1(Ω), переходя при необходимости к
подпоследовательности. Отсюда следует сильная сходимость (vn) к v и в Lq(Ω),
из чего заключаем, что ‖v‖q = 1.
Пусть Ωε =
{
x ∈ Ω | |v(x)| > ε
}
0 < ε < ‖v‖C(Ω) и ‖ ‖(ε)q — норма в Lq(Ωε).
Тогда если 0 < ε < ‖v‖C(Ω), то найдется n0(ε) ∈ N такое, что |vn(x)| > ε
2
∀x ∈ Ωε и n > n0(ε), так как vn → v в C(Ω). Для любого n > n0(ε) имеем∥∥∥∥ znun − zn
v‖un‖q
∥∥∥∥(ε)
q
≤ ‖zn(x)‖q
‖un(x)‖q
‖vn − v‖q.
Из этого заключаем о сильной сходимости
zn
un
− zn
v‖un‖q
к нулю в Lq(Ωε), что
влечет слабую сходимость
zn
un
к kv в Lq(Ωε). Далее, для любой неотрицательной
функции ϕ ∈ Lp(Ωε)
(
0 < ε < ‖v‖C(Ω)
)
∫
Ωε
kv(x)ϕ(x)dx = lim
n→∞
∫
Ωε
zn(x)
un(x)
ϕ(x)dx ≥
∫
Ωε
lim inf
n→∞
zn(x)
un(x)
ϕ(x)dx
(здесь мы воспользовались леммой Лебега – Фату [12]). Разобьем Ωε на Ω+
ε =
{
x ∈
∈ Ω | v(x) > ε
}
и Ω−ε =
{
x ∈ Ω | v(x) < −ε
}
. Тогда с учетом (19), (20) получим∫
Ωε
lim inf
n→∞
zn(x)
un(x)
ϕ(x)dx =
∫
Ω+
ε
lim inf
n→∞
zn(x)
un(x)
ϕ(x)dx ≥
≥
∫
Ω+
ε
lim inf
n→∞
(
lim inf
η→un(x)
G(x, η)
η
)
ϕ(x)dx ≥
≥
∫
Ω+
ε
lim inf
η→+∞
G(x, η)
η
ϕ(x)dx ≥ −λ0
∫
Ω+
ε
ϕ(x)dx.
Таким образом, kv(x) = 0 на Ω−ε и для любой неотрицательной ϕ ∈ Lp(Ωε)∫
Ω+
ε
kv(x)ϕ(x)dx ≥ −λ0
∫
Ω+
ε
ϕ(x)dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
520 В. Н. ПАВЛЕНКО
Последнее влечет неотрицательность kv(x)+λ0 почти всюду на Ω+
ε . Заметим, что
Ω+ =
⋃
ε>0
Ω+
ε =
{
x ∈ Ω | v(x) > 0
}
, Ω− =
⋃
ε>0
Ω−ε =
{
x ∈ Ω | v(x) < 0
}
. В
силу произвольности выбора ε ∈ (0, ‖v‖C(Ω)) доказано, что kv(x) = 0 на Ω− и
kv(x) ≥ −λ0 почти всюду на Ω+. Отсюда из (18) следует
0 =
∫
Ω
Av(x) · v(x)dx+ t
∫
Ω
kv(x) · v2(x)dx ≥ λ0
∫
Ω
v2(x)dx− tλ0
∫
Ω+
v2(x)dx.
Учитывая, что t ∈ [0, 1], λ0 > 0 и v — ненулевая функция из C1(Ω), из последнего
неравенства заключаем, что t = 1, Ω− — множество меры нуль и kv(x) = −λ0
почти всюду на Ω+. Функция k(x) в (17) равна −λ0v(x) почти всюду на Ω+.
Поэтому (17) с учетом того, что t = 1 и Ω− — множество меры нуль, примет вид
Av(x)− λ0v(x) = 0 почти всюду на Ω.
Следовательно, v(x) — положительная собственная функция оператора A, соот-
ветствующая собственному значению λ0. Умножив равенство (15) на v(x) и про-
интегрировав по Ω, получим∫
Ω
Aun(x) · v(x)dx+ tn
∫
Ω
zn(x)v(x)dx = tn
∫
Ω
f(x)v(x)dx. (21)
Заметим, что∫
Ω
Aun(x) · v(x)dx =
∫
Ω
un(x) ·Av(x)dx = λ0
∫
Ω
un(x) · v(x)dx.
С учетом этого замечания перепишем (21) в следующем виде:
λ0
tn
∫
Ω
un(x)v(x)dx+
∫
Ω
zn(x)v(x)dx =
∫
Ω
f(x)v(x)dx. (22)
Для почти всех x ∈ Ω функция G(x, •) непрерывна при ξ < ψ(x) и, значит, ес-
ли un(x) < ψ(x), то zn(x) = G(x, un(x)). Для почти всех x ∈ Ω, для которых
un(x) = ψ(x), zn(x) = g(x, ψ(x))−λ0ψ(x), если g(x, ψ(x))−λ0ψ(x) ≤ −Lψ(x)+
+ f(x), и g(x, ψ(x)) − λ0ψ(x) ≥ zn(x) ≥ −Lψ(x) + f(x), если g(x, ψ(x)) −
−λ0ψ(x) > −Lψ(x)+f(x). Наконец, если un(x) > ψ(x), то zn(x) ≥ g−(x, un(x))−
− λ0un(x). Отсюда с учетом (22) для любого натурального n получим∫
Ω
f(x)v(x)dx ≥ λ0
(
1
tn
− 1
) ∫
Ωn
un(x)v(x)dx+
λ0
tn
∫
Ω\Ωn
un(x)v(x)dx+
+
∫
Ω\Ωn
zn(x)v(x)dx+
∫
Ωn
g−(x, un(x))v(x)dx, (23)
где Ωn =
{
x ∈ Ω |un(x) > ψ(x)
}
, Ω\Ωn =
{
x ∈ Ω |un(x) ≤ ψ(x)
}
. Как было
показано vn → v в C1(Ω) и v — положительная собственная функция оператора А,
соответствующая минимальному собственному значению λ0, а значит,
∂v
∂n
∣∣∣∣
Γ
< 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА . . . 521
n — внешняя нормаль к Γ [13]. Из этого следует существование n0 ∈ N такого, что
vn(x) > 0 в Ω для любого n > n0. Следовательно, un(x) = ‖un(x)‖qvn(x) > 0 в
Ω для любого n > n0 и из (23) получим∫
Ω
f(x)v(x)dx ≥
∫
Ω\Ωn
zn(x)v(x)dx+
∫
Ωn
g−(x, un(x))v(x)dx. (24)
Докажем существование возрастающей последовательности натуральных чисел
(n(k)) такой, что mes (Ω\Ωn(k)) → 0 при n → ∞. Для каждого k ∈ N поло-
жим Ω1/k =
{
x ∈ Ω | v(x) >
1
k
}
. Так как v(x) > 0 на Ω, то Ω =
⋃∞
k=1
Ω1/k.
Поскольку последовательность (vn(x)) сходится равномерно к v(x) на Ω, най-
дется возрастающая последовательность (n(k)) ⊂ N такая, что vn(k)(x) >
1
2k
на
Ω1/k и
n(k)
2k
> max
Ω
ψ(x). Тогда для любого натурального k
un(k)(x) = ‖un(k)‖q · vn(k)(x) >
n(k)
2k
> ψ(x) ∀x ∈ Ω1/k.
Из этого заключаем о справедливости включений
Ω ⊃ Ωn(k) ⊃ Ω1/k ∀k ∈ N. (25)
Так как Ω1/k ⊂ Ω1/(k+1) ∀k ∈ N и Ω =
⋃∞
k=1
Ω1/k, то mes Ω = lim
k→∞
mes Ω1/k.
Отсюда с учетом (25) следует, что lim
k→∞
mes Ωn(k) = mes Ω и, значит,
mes (Ω\Ωn(k))→ 0 при k →∞.
В силу (23) для любого n(k) > n0 имеем∫
Ω
f(x)v(x)dx ≥
∫
Ω\Ωn(k)
zn(k)(x)v(x)dx−
−
∫
Ω\Ωn(k)
g−(x, un(k)(x))v(x)dx+
∫
Ω
g−(x, un(k)(x))v(x)dx. (26)
Поскольку при n > n0 на Ω\Ωn 0 ≤ un(x) ≤ ψ(x), из оценок (7) и (10) следует
существование суммируемых на
⋃∞
n=n0+1
(Ω\Ωn) функций d1(x) и d2(x) таких,
что почти всюду на Ω\Ωn |zn(x)| ≤ d1(x), |g−(x, un(x))| ≤ d2(x) для любого
n > n0. Отсюда и из равенства lim
k→∞
mes (Ω\Ωn(k)) = 0 получаем
lim
k→∞
∫
Ω\Ωn(k)
zn(k)(x) · v(x)dx = lim
k→∞
∫
Ω\Ωn(k)
g−(x, un(k)(x)) · v(x)dx = 0.
С учетом этого и условия 2 теоремы перейдем в неравенстве (26) к нижнему
пределу при k → ∞, а затем воспользуемся леммой Лебега – Фату. В результате
получим∫
Ω
f(x) · v(x)dx ≥
∫
Ω
lim inf
k→∞
g−(x, un(k)(x)) · v(x)dx =
∫
Ω
g+(x) · v(x)dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
522 В. Н. ПАВЛЕНКО
Полученное неравенство противоречит условию 3 теоремы.
Теорема доказана.
1. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
2. Lions J. L., Stampacchia G. Variational inequalities // Communs Pure and Appl. Math. – 1967. – 20. –
P. 493 – 519.
3. Adly S., Goeleven D., Thera M. Recession mapping and noncoercive variational inequalities // Nonlinear
Anal. – 1996. – 26, № 9. – P. 1573 – 1603.
4. Gasinski L., Papageorgion N. S. Nonsmooth critical point theory and nonlinear boundary value problems
// Ser. Math. Anal. and Appl. – 2005. – 8. – 775 p.
5. Павленко В. Н., Чиж Е. А. Сильно резонансные эллиптические вариационные неравенства с
разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 7. – С. 51 – 58.
6. Павленко В. Н., Прибыль М. А. Резонансные вариационные неравенства эллиптического типа с
разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42, № 1. – С. 120 – 125.
7. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Different. Equat. – 1983. – 49,
№ 1. – P. 1 – 28.
8. Chang K.-C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities //
Communs Pure and Appl. Math. – 1980. – 33, № 2. – P. 117 – 146.
9. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. – М.: Наука, 1983. – 272 с.
10. Павленко В. Н. Управление распределенными системами параболического типа с разрывными
нелинейностями // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 6. – С. 729 – 736.
11. Борисович Ю. Г. и др. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных
включений. – М.: КомКнига, 2005. – 216 с.
12. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
13. Iannacci R., Nkashama M. N., Ward J. R. Nonlinear second order elliptic partial differential equations
at resonance // Trans. Amer. Math. Soc. – 1989. – 311, № 2. – P. 711 – 726.
Получено 20.05.10,
после доработки — 05.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2737 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:18Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b9/c415b4b45222b35c444689f3664de8b9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27372020-03-18T19:34:55Z Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth Резонансные эллиптические вариационные неравенства с разрывными нелинейностями линейного роста Pavlenko, V. N. Павленко, В. Н. Павленко, В. Н. We consider resonance elliptic variational inequalities with second-order differential operators and discontinuous nonlinearity of linear grows. The theorem on the existence of a strong solution is obtained. The initial problem is reduced to the problem of the existence of a fixed point in a compact multivalued mapping and then, with the use of the Leray - Schauder method, the existence of the fixed point is established. Розглядаються резонанснi елiптичнi варiацiйнi нерiвностi з диференцiальними операторами другого порядку i розривною нелiйнiстю лiнiйного зростання. Доведено теорему iснування сильного розв’язку. Початкову задачу зведено до проблеми iснування нерухомої точки у багатозначного компактного вiдображення, а потiм методом Лере–Шаудера встановлено наявнiсть нерухомої точки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2737 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 513-522 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 513-522 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2737/2230 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2737/2231 Copyright (c) 2011 Pavlenko V. N. |
| spellingShingle | Pavlenko, V. N. Павленко, В. Н. Павленко, В. Н. Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title | Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title_alt | Резонансные эллиптические вариационные неравенства с разрывными нелинейностями линейного роста |
| title_full | Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title_fullStr | Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title_full_unstemmed | Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title_short | Resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| title_sort | resonance elliptic variational inequalities with discontinuous nonlinearities of linear growth |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2737 |
| work_keys_str_mv | AT pavlenkovn resonanceellipticvariationalinequalitieswithdiscontinuousnonlinearitiesoflineargrowth AT pavlenkovn resonanceellipticvariationalinequalitieswithdiscontinuousnonlinearitiesoflineargrowth AT pavlenkovn resonanceellipticvariationalinequalitieswithdiscontinuousnonlinearitiesoflineargrowth AT pavlenkovn rezonansnyeélliptičeskievariacionnyeneravenstvasrazryvnyminelinejnostâmilinejnogorosta AT pavlenkovn rezonansnyeélliptičeskievariacionnyeneravenstvasrazryvnyminelinejnostâmilinejnogorosta AT pavlenkovn rezonansnyeélliptičeskievariacionnyeneravenstvasrazryvnyminelinejnostâmilinejnogorosta |