Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval
We solve the Landau - Kolmogorov problem for the class of functions absolutely monotone on a finite interval. For this class of functions, a new exact additive inequalities of the Kolmogorov type are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2739 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508699280277504 |
|---|---|
| author | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. |
| author_facet | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. |
| author_sort | Skorokhodov, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | We solve the Landau - Kolmogorov problem for the class of functions absolutely monotone on a finite interval.
For this class of functions, a new exact additive inequalities of the Kolmogorov type are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. С. Скороходов (Днепропетр. нац. ун-т)
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА
ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ
НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ
We solve the Landau – Kolmogorov problem for the class of functions absolutely monotone on a finite interval.
For this class of functions, a new exact additive inequalities of the Kolmogorov type are obtained.
Розв’язано задачу Ландау – Колмогорова для класу абсолютно монотонних на скiнченному вiдрiзку
функцiй. Для такого класу функцiй також отримано новi точнi адитивнi нерiвностi типу Колмогорова.
1. Постановка задачи. Через Lp, 0 < p ≤ ∞, обозначим пространство измеримых
функций f : [0, 1]→ R, для которых конечна величина
‖f‖p :=
1∫
0
|f(t)|p dt
1/p
, если 0 < p <∞,
vrai sup {|f(t)| : t ∈ [0, 1]}, если p =∞.
Отметим, что в случае 1 ≤ p ≤ ∞ величина ‖·‖p является нормой в соответствую-
щем пространстве Lp. Если r ∈ N, то через Lrp обозначим пространство функций
f : [0, 1]→ R, для которых существует и локально абсолютно непрерывна на (0, 1)
производная f (r−1) (f (0) := f ), а f (r) ∈ Lp.
Известную задачу Ландау – Колмогорова можно сформулировать в одной из
следующих двух постановок. Пусть 0 < p, q, s ≤ ∞ и k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1.
Задача 1. Для всех δ > 0 найти
ωk,rp,q,s(δ) := sup
{∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
: f ∈ Lrs, ‖f‖p ≤ δ,
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
≤ 1
}
.
Величина ωk,rp,q,s(δ) называется модулем непрерывности оператора дифферен-
цирования k -го порядка на классе W r
s :=
{
f ∈ Lrs :
∥∥f (r)
∥∥
s
≤ 1
}
.
Задача 1 изучалась в работах многих математиков [1 – 8]. Однако к настоящему
времени известны лишь частные случаи ее решения:
1) p = q = s =∞, r = 2 — Ч. Чуи, П. Смит [2];
2) p = q = s = ∞, r = 3 — А. И. Звягинцев, А. Я. Лепин [3] и М. Сато [4].
Отметим также, что Б. Боянов и Н. Найденов [8] нашли величину ωk,r∞,q,∞(δ),
r ≤ 3, для счетного множества значений δ.
Другая постановка задачи Ландау – Колмогорова такова. Пусть 0 < p, q, s ≤ ∞
и k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1.
Задача 2. Найти множество Γk,rp,q,s всех пар положительных чисел (A,B)
таких, что:
1) для любой функции f ∈ Lrs выполняется неравенство∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤ A ‖f‖p +B
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
;
2) для любого ε > 0 существует функция fε ∈ Lrs такая, что
c© Д. С. СКОРОХОДОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 531
532 Д. С. СКОРОХОДОВ∥∥∥f (k)
ε
∥∥∥
q
> A ‖fε‖p + (B − ε)
∥∥∥f (r)
ε
∥∥∥
s
.
Частные решения задачи 2 известны в следующих случаях:
1) p = q = s =∞, r = 2 — Э. Ландау [1];
2) p = q =∞, 1 ≤ s ≤ ∞, r = 2 — Ю. В. Бабенко [9, 10].
Поясним, как соотносятся между собой две постановки задачи Ландау – Колмо-
горова. Если известна величина ωk,rp,q,s (δ) , то решение задачи 2 можно представить
в виде
Γk,rp,q,s =
{
(A,B) : B = sup
δ>0
[
ωk,rp,q,s (δ)−Aδ
]
<∞
}
.
С другой стороны, если известно множество Γk,rp,q,s, то можно найти множество
прямых O =
{
y = Ax+B : (A,B) ∈ Γk,rp,q,s
}
. Очевидно, что O — совокупность
всех опорных прямых к графику функции y = ωk,rp,q,s (x) . Поэтому для любого
δ > 0
ωk,rp,q,s (δ) ≤ inf
(A,B)∈Γk,r
p,q,s
(
Aδ +B
)
.
Отметим также, что задача 2 взаимосвязана с неравенствами для многочленов
типа Маркова – Бернштейна – Никольского (см. [11], гл. 4). Для n ∈ N через Pn
обозначим множество алгебраических многочленов степени не выше n. Пусть
k ∈ N, k ≤ n, и 0 < p, q ≤ ∞. Неравенством типа Маркова – Бернштейна –
Никольского называется неравенство вида∥∥∥Q(k)
∥∥∥
q
≤Mk,n
p,q ‖Q‖p
с наименьшей возможной постоянной Mk,n
p,q , которое выполняется для всех мно-
гочленов Q ∈ Pn. Очевидно, что для любой пары (A,B) ∈ Γk,rp,q,s и любого
многочлена Q ∈ Pr−1 ∥∥∥Q(k)
∥∥∥
q
≤ A‖Q‖p.
Следовательно, A ≥Mk,r−1
p,q . Более того, согласно теореме 4.6.1 из [12], для любого
A ≥Mk,r−1
p,q существует B > 0 такое, что (A,B) ∈ Γk,rp,q,s.
Вместе с изучением задач 1 и 2 представляет также интерес рассмотрение
следующих их аналогов.
Задача 3. Пусть X ⊂ Lrs. Для всех δ > 0 найти
ωk,rp,q,s(δ;X) := sup
{∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
: f ∈ X, ‖f‖p ≤ δ,
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
≤ 1
}
.
Задача 4. Пусть X ⊂ Lrs. Найти множество Γk,rp,q,s(X) всех пар положи-
тельных чисел (A,B) таких, что:
1) для любой функции f ∈ X выполняется неравенство∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤ A ‖f‖p +B
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
;
2) для любого ε > 0 существует функция fε ∈ X такая, что∥∥∥f (k)
ε
∥∥∥
q
> A ‖fε‖p + (B − ε)
∥∥∥f (r)
ε
∥∥∥
s
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 533
В работах [7, 13, 14] было показано, что в некоторых случаях для задач 3
и 4 удается найти полные решения. Так, А. М. Финк [14] решил задачу 4 для
показателей p = q = s = ∞ на классе функций f : [0, 1] → R, представимых в
виде интеграла Стилтьеса
f(t) =
∞∫
0
etu dσ(u), (1)
где σ : [0,∞) → R — некоторая неубывающая функция ограниченной вариации.
Очевидно, что любая такая функция f является абсолютно монотонной на отрезке
[0, 1] согласно следующему определению.
Определение 1 [15, с. 144]. Функция f : [0, 1] → R называется абсолютно
монотонной на отрезке [0, 1], если она непрерывна на нем, бесконечно дифферен-
цируема внутри интервала (0, 1) и f (k)(x) ≥ 0 для всех x ∈ (0, 1) и k ∈ Z+.
Обозначим через AM множество всех абсолютно монотонных на отрезке [0, 1]
функций. Автором [16] найдено решение задач 3 и 4 на классе AM для показателей
p, q, s ∈ {1,∞}. В данной работе задача 3 на классе AM решена для показателей
0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ и s = ∞, а задача 4 – для показателей p ∈ (0, 1] ∪ {∞},
1 ≤ q ≤ ∞ и s ∈ {1,∞}.
2. Основные результаты. Для n ∈ Z+ положим
en(x) := xn, x ∈ [0, 1].
Пусть r ∈ N, r ≥ 2, и n ≥ r. Введем в рассмотрение множества функций
Mn
r :=
{
gλ,n = λ
(n+ 1− r)!
(n+ 1)!
en+1 + (1− λ)
(n− r)!
n!
en
∣∣∣∣ λ ∈ [0, 1)
}
и интервалы
∆n;p :=
(
(n− r + 1)!
(n+ 1)!
‖en+1‖p ,
(n− r)!
n!
‖en‖p
]
.
Пусть также
Mr−1
r :=
{
gρ,r−1 =
1
r!
er + ρer−1
∣∣∣∣ ρ > 0
}
и ∆r−1;p :=
(
1
r!
‖er‖p , ∞
)
.
Заметим, что множества Mn
r , n ≥ r − 1, а также интервалы ∆n;p, n ≥ r − 1,
попарно не пересекаются. Кроме того,
⋃
n≥r−1
∆n;p = (0,∞). Положим Mr :=
:=
⋃
n≥r−1
Mn
r . Тогда для любой функции y ∈ Mr с учетом определения мно-
жеств Mn
r будем иметь
∥∥y(r)
∥∥
∞ = 1.
Пусть число p, 0 < p ≤ ∞, фиксировано. Покажем, что для любого δ > 0
существует единственная функция yδ ∈ Mr такая, что ‖yδ‖p = δ. Для этого
изучим действие функционала ‖·‖p на элементы множеств Mn
r , n ≥ r− 1, и Mr.
Рассмотрим сначала случай, когда n ≥ r. Согласно определению, множество Mn
r
— выпуклая оболочка функций g0,n+1 и g0,n без самой функции g0,n+1. Кроме
того, для любого λ ∈ [0, 1)
‖gλ,n‖p =
∥∥∥∥ (n− r)!
n!
en + λ
(n− r)!
n!
en
(
n+ 1− r
n+ 1
e1 − 1
)∥∥∥∥
p
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
534 Д. С. СКОРОХОДОВ
Из последнего соотношения несложно заметить, что если 0 ≤ µ < λ < 1, то
‖gµ,n‖p > ‖gλ,n‖p . Поэтому функционал ‖·‖p является строго убывающим на
множестве Mn
r и осуществляет инъективное отображение множества Mn
r в ин-
тервал ∆n;p. Сюръективность отображения ‖·‖p следует из его непрерывности.
Подобные рассуждения в случае n = r− 1 показывают, что функционал ‖·‖p так-
же осуществляет взаимно однозначное отображение множества Mr−1
r на интервал
∆r−1;p.
Таким образом, функционал ‖ · ‖p, 0 < p ≤ ∞, — биекция множества Mr на
числовую полуось (0,+∞). Поэтому для любого δ > 0 существует и единственна
функция yδ ∈Mr такая, что
‖yδ‖p = δ. (2)
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Тогда
для любого δ > 0
ωk,rp,q,∞ (δ;AM) =
∥∥∥y(k)
δ
∥∥∥
q
,
где yδ ∈Mr определена в (2).
В некоторых случаях, когда p ∈ {1,∞}, функционал ‖·‖p линеен на классе
AM. Поэтому в этом случае для ωk,rp,q,∞ (δ;AM) можно предъявить более явное
выражение.
Следствие 1. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r− 1, 1 ≤ q ≤ ∞, p ∈ {1,∞}. Тогда
если δ ∈ ∆n;p, n ≥ r, то
ωk,rp,q,∞ (δ;AM) =
∥∥∥∥λδ (n+ 1− r)!
(n+ 1− k)!
en+1−k + (1− λδ)
(n− r)!
(n− k)!
en−k
∥∥∥∥
q
,
где
λδ =
n!
(n−r)!δ − ‖en‖p
n+1−r
n+1 ‖en+1‖p − ‖en‖p
.
Если δ ∈ ∆r−1;p, то
ωk,rp,q,∞ (δ;AM) =
∥∥∥∥∥ (r − 1)!
(
δ − 1
r!
)
er−1−k
(r − 1− k)! ‖er−1‖p
+
er−k
(r − k)!
∥∥∥∥∥
q
.
Отметим следующее геометрическое свойство функции ωk,rp,q,∞(δ;AM).
Следствие 2. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, 1 ≤ q ≤ ∞, p ∈ (0, 1] ∪ {∞}.
Тогда на каждом из интервалов ∆n;p, n ≥ r− 1, функция ωk,rp,q,s (δ;AM) выпукла
вниз. Строгая выпуклость вниз имеет место, если 1 < q <∞ или 0 < p < 1.
Теперь перейдем к результатам, которые дают решение задачи 2 на классе AM.
Пусть Pn+ := Pn ∩ AM, n ∈ N. Следующее утверждение представляет собой
неравенство типа Маркова – Бернштейна – Никольского для многочленов из Pn+.
Лемма 1. Пусть k, n ∈ N, k ≤ n, 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Тогда для
любого многочлена Q ∈ Pn+ выполняется неравенство∥∥∥Q(k)
∥∥∥
q
≤
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
‖en‖−1
p ‖Q‖p.
Это утверждение вместе с теоремой 1 позволяет получить следующий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 535
Теорема 2. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ (за
исключением случая k = q = 1 и p =∞). Тогда для любого A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p
и любой функции f ∈ AM выполняется точное неравенство∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤ A‖f‖p + Ck,rp,q (A)
∥∥∥f (r)
∥∥∥
∞
, (3)
где
Ck,rp,q (A) = sup
y∈Mr
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
. (4)
Ясно, что, как и в случае первоначальной постановки задачи 2, если пара по-
ложительных чисел (A,B) содержится в Γk,rp,q,s (AM) , то A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p .
Поэтому утверждение теоремы 2 можно записать в виде
Γk,rp,q,∞ (AM) =
{(
A,Ck,rp,q (A)
)
: A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p
}
.
Следующее утверждение дает решение задачи 2 на классе AM при p, s ∈
∈ (0, 1] ∪ {∞} и 1 ≤ q ≤ ∞.
Теорема 3. Пусть p, s ∈ (0, 1]∪{∞}, 1 ≤ q ≤ ∞ и k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r− 1.
Множество Γk,rp,q,s (AM) непусто тогда и только тогда, когда
1
p
< k − 1/q ≤ r − 1
s
. (5)
При выполнении условий (5) для любого A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p и любой функции
f ∈ AM выполняется точное неравенство∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤ A‖f‖p +Dk,r
p,q,s(A)
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
, (6)
где
Dk,r
p,q,s(A) := sup
n≥r
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A ‖en‖p∥∥∥e(r)
n
∥∥∥
s
. (7)
Отметим, что если p ∈ (0, 1]∪{∞} и s =∞, то неравенства (3) и (6) совпадают.
Поэтому Dk,r
p,q,∞(A) = Ck,rp,q (A). Однако в (4) точная верхняя грань берется по
множеству функций Mr, мощность которого равна континууму, а в (7) постоянная
Dk,r
p,q,∞(A) — точная верхняя грань счетного множества величин. С этой точки
зрения теорему 3 можно считать улучшением теоремы 2.
Приведем явное выражение для Dk,r
∞,q,∞(A). Для n ≥ r − 1 положим
τk,rq (n) :=
1
r
(
(n+ 1)
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
− (n+ 1− r)
∥∥∥e(k)
n+1
∥∥∥
q
)
.
Теорема 4. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, и 1 ≤ q ≤ ∞ (кроме случая
k = q = 1). Тогда если τk,rq (n) ≤ A ≤ τk,rq (n+ 1), n ≥ r − 1, то
Dk,r
∞,q,∞(A) =
(n+ 1− r)!
(n+ 1)!
(∥∥∥e(k)
n+1
∥∥∥
q
−A
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
536 Д. С. СКОРОХОДОВ
В качестве приложения полученных результатов решим задачу Колмогорова
(см. [18, 19]) для трех чисел на классе AM. Пусть n ∈ N, n ≥ 3. Задача Кол-
могорова для n чисел состоит в том, чтобы найти необходимые и достаточные
условия для заданных положительных чисел Mνi,pi , 1 ≤ pi ≤ ∞, 1 ≤ νi ≤ r,
i = 1, 2, . . . , n, и заданного класса X гладких функций, чтобы существовала функ-
ция f ∈ X, для которой ‖f (νi)‖pi = Mνi,pi . Известные случаи решения этой
задачи и дальнейшие ссылки можно найти, например, в книге [12].
Теорема 5. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, и 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞.
Тогда для заданных трех положительных чисел M0,p, Mk,q и Mr,s существует
функция f ∈ AM такая, что
‖f‖p = M0,p,
∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
= Mk,q,
∥∥∥f (r)
∥∥∥
∞
= Mr,∞
в том и только в том случае, когда
Mk,q
Mr,∞
≤ ωk,rp,q,∞
(
M0,p
Mr,∞
;AM
)
. (8)
При доказательстве теоремы 1 существенную роль играет следующая теорема.
Теорема 6. Пусть r ∈ N, 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ и δ > 0. Тогда для
любой функции f ∈ AM такой, что ‖f‖p ≤ δ и
∥∥f (r)
∥∥
∞ ≤ 1, при каждом
l = 0, . . . , r − 1 число перемен знака функции y
(l)
δ − f (l) не превышает 1.
В следующем пункте мы приведем доказательства теорем 1 и 6, а также след-
ствий 1 и 2. Доказательства остальных результатов будут даны в п. 4.
3. Доказательства теорем 1 и 6. Зафиксируем число p, 0 < p ≤ ∞. Напомним,
что в п. 2 для любого δ > 0 через yδ мы обозначили функцию из множества
Mr, удовлетворяющую соотношению (2). Отметим также, что в силу определения
множеств Mn
r , если yδ ∈ Mn
r , n ≥ r − 1, то y
(j)
δ (0) = 0 для всех j = 0, n− 1,
y
(n+2)
δ (x) = 0 для всех x ∈ [0, 1] и
∥∥∥y(r)
δ
∥∥∥
∞
= 1.
Доказательство теоремы 6 проведем от противного. Предположим, что на-
шлись функция f ∈ AM, удовлетворяющая условиям ‖f‖p ≤ δ и
∥∥f (r)
∥∥
∞ ≤ 1, и
число l, 0 ≤ l ≤ r − 1, такие, что
ν
(
y
(l)
δ − f
(l)
)
≥ 2, (9)
где ν(w) — количество перемен знака непрерывной на [0, 1] функции w. Введем
в рассмотрение функцию g(x) := yδ(x) − f(x), x ∈ [0, 1], и выберем n ∈ N,
n ≥ r − 1, таким образом, чтобы yδ ∈Mn
r (очевидно, что такое n единственно).
Отметим некоторые свойства функции g :
1) g(s)(0) ≤ 0 для всех s = 0, 1, . . . , n− 1,
2) ν
(
g(l)
)
≥ 2,
3) g(r)(1) ≥ 0,
4) g(n+1) не возрастает.
Действительно, свойства 1 и 4 являются следствием абсолютной монотонности
функции f (l) и комментария, приведенного в начале этого пункта. Свойство 2 — это
неравенство (9), переписанное в терминах функции g. Справедливость свойства 3
следует из неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 537
g(r)(1) = y
(r)
δ (1)− f (r)(1) =
∥∥∥y(r)
δ
∥∥∥
∞
−
∥∥∥f (r)
∥∥∥
∞
≥ 0.
Докажем следующие вспомогательные факты.
Лемма 2. Пусть s ∈ N∪ {0}, s ≤ n− 1, и ν
(
g(s)
)
≥ 2. Тогда существуют
точки ξs+1 и ηs+1, 0 < ξs+1 < ηs+1 < 1, для которых
g(s+1) (ξs+1) > 0 и g(s+1) (ηs+1) < 0.
Лемма 3. Пусть s ∈ N∪ {0}, s ≤ n− 1, и существуют точки ξs, ηs и ωs,
0 < ξs < ηs < ωs ≤ 1, для которых
g(s) (ξs) > 0, g(s) (ηs) < 0 и g(s) (ωs) ≥ 0.
Тогда найдутся точки ξs+1, ηs+1 и ωs+1, 0 < ξs+1 < ηs+1 < ωs+1 ≤ 1, такие,
что
g(s+1) (ξs+1) > 0, g(s+1) (ηs+1) < 0 и g(s+1) (ωs+1) ≥ 0.
Доказательство леммы 2. Действительно, в силу свойства 1 функции g и
выбора числа s, g(s) (0) ≤ 0. Кроме того, согласно условию леммы ν
(
g(s)
)
≥ 2.
Поэтому несложно заметить, что существуют точки ξs и ηs, 0 < ξs < ηs ≤ 1, для
которых
g(s) (ξs) > 0 и g(s) (ηs) < 0. (10)
Но тогда по теореме Лагранжа существуют точки ξs+1 и ηs+1, 0 < ξs+1 < ηs+1 <
< 1, для которых
g(s+1) (ξs+1) =
g(s) (ξs)− g(s) (0)
ξs
> 0 и g(s+1) (ηs+1) =
g(s) (ηs)− g(s) (ξs)
ηs − ξs
< 0.
Таким образом, лемма 2 доказана.
Доказательство леммы 3 полностью аналогично доказательству леммы 2.
Вернемся теперь к доказательству теоремы 6.
Рассмотрим сначала случай, когда n 6= r − 1. Покажем, что существуют точки
ξr и ηr, 0 < ξr < ηr ≤ 1, для которых g(r) (ξr) > 0 и g(r) (ηr) < 0.
Для этого используем лемму 2 при s = l. В результате получим, что суще-
ствуют точки ξl+1 и ηl+1, 0 < ξl+1 < ηl+1 < 1, для которых g(l+1) (ξl+1) > 0 и
g(l+1) (ηl+1) < 0. Если теперь l + 1 < r, то в силу свойства 1 g(l+1)(0) ≤ 0 и,
следовательно, ν
(
g(l+1)
)
≥ 2. Таким образом, вновь можно применить лемму 2
при s = l + 1. Повторяя эту цепочку рассуждений, убеждаемся в существовании
необходимых точек ξr и ηr.
Покажем теперь, что существуют точки ξn, ηn и ωn, 0 < ξn < ηn < ωn ≤ 1,
для которых
g(n) (ξn) > 0, g(n) (ηn) < 0 и g(n) (ωn) ≥ 0.
Ясно, что в случае n = r, согласно свойству 3 функции g, можно положить
ωr = 1. В случае r < n последовательно применим лемму 3 при s = r, s =
= r+ 1, . . . , s = n−1. В результате мы убедимся в существовании искомых точек
ξn, ηn и ωn. Но тогда, в силу теоремы Лагранжа, существуют точки ηn+1 и ωn+1,
0 < ηn+1 < ωn+1 ≤ 1, для которых
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
538 Д. С. СКОРОХОДОВ
g(n+1) (ηn+1) =
g(n+1) (ηn)− g(n+1) (ξn)
ηn − ξn
< 0,
g(n+1) (ωn+1) =
g(n+1) (ωn)− g(n+1) (ηn)
ωn − ηn
≥ 0.
Однако последнее противоречит свойству 4 функции g.
Перейдем к рассмотрению случая n = r−1. Если l < r−1, то последовательно
применяя лемму 2 (как и при рассмотрении предыдущего случая), можно убедиться
в существовании точек ξr и ηr, 0 < ξr < ηr < 1, для которых
g(r) (ξr) > 0 и g(r) (ηr) < 0.
В то же время, согласно свойству 3 функции g, g(r)(1) ≥ 0. Следовательно,
g(r) (ηr) < 0 и g(r)(1) ≥ 0, что противоречит свойству 4.
Осталось рассмотреть случай, когда l = r − 1. В силу свойства 4 функция
g(r−1) является выпуклой вверх и, следовательно, имеет не более двух перемен
знака на отрезке [0, 1]. При этом неравенство (9) возможно лишь в случае, когда
g(r−1)(0) < 0 и g(r−1)(1) < 0,
а также существует точка ξ ∈ (0, 1), в которой g(r−1)(ξ) > 0. Поэтому, в силу
теоремы Лагранжа, существует точка η ∈ (ξ, 1) такая, что g(r)(η) < 0. Последнее
противоречит свойству 3 функции g.
Таким образом, теорема 6 доказана.
Доказательство теоремы 1. Пусть δ > 0 и функция f ∈ AM такова, что
‖f‖p ≤ δ и
∥∥f (r)
∥∥
∞ ≤ 1. Согласно теореме 6, для любого l = 0, 1, . . . , r−1 число
перемен знака разности y
(l)
δ −f (l) на отрезке [0, 1, ] не превышает 1. Покажем, что
для всех l = 0, r − 1 выполняется неравенство∥∥∥f (l)
∥∥∥
∞
≤
∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
∞
. (11)
Для этого предположим, что существует l ∈ {0, . . . , r − 1} такое, что∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
∞
<
∥∥∥f (l)
∥∥∥
∞
. (12)
Если l ≤ r − 2 или yδ 6∈Mr−1
r , то y
(l)
δ (0) = 0. В силу предположения (12)
y
(l)
δ (1) =
∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
∞
<
∥∥∥f (l)
∥∥∥
∞
= f (l)(1)
и для любого x ∈ [0, 1] имеем y
(l)
δ (x) ≤ f (l)(x), ведь в обратном случае разность
y
(l)
δ − f (l) имела бы не менее двух перемен знака на отрезке [0, 1]. Следовательно,
для любого x ∈ [0, 1] получим
y
(l−1)
δ (x) =
x∫
0
y
(l)
δ (t) dt ≤
x∫
0
f (l)(t) dt ≤ f (l−1)(x),
причем знак строгого неравенства имеет место, если x = 1. Аналогично yl−2
δ (x) ≤
≤ f (l−2)(x) для любого x ∈ [0, 1) и y
(l−2)
δ (1) < f (l−2)(1). Продолжая эти рассуж-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 539
дения, убеждаемся в том, что yδ(1) < f(1) и yδ(x) ≤ f(x) для любого x ∈ [0, 1).
Поэтому δ = ‖yδ‖p < ‖f‖p , что противоречит выбору функции f.
Пусть теперь l = r − 1 и yδ ∈ Mr−1
r . По аналогии с предыдущим случа-
ем можно убедиться в том, что y
(r−1)
δ (0) > f (r−1)(0). Кроме того, в силу (12)
y
(r−1)
δ (1) < f (r−1)(1). Применяя теорему Лагранжа, получаем, что существует
точка η ∈ (0, 1), для которой y
(r)
δ (η) < f (r)(η). Однако тогда
y
(r)
δ (η) < f (r)(η) ≤ f (r)(1) ≤ 1 = y
(r)
δ (1) = y
(r)
δ (η),
что невозможно. Таким образом, неравенство (11) всегда имеет место.
Теперь покажем, что для всех l ∈ {1, . . . , r − 1},∥∥∥f (l)
∥∥∥
1
≤
∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
1
. (13)
Действительно, из неравенства (11) и свойств функции yδ, приведенных в начале
п. 3, имеем
∥∥∥f (l)
∥∥∥
1
=
1∫
0
f (l)(t) dt = f (l−1)(1)− f (l−1)(0) ≤ f (l−1)(1) =
∥∥∥f (l−1)
∥∥∥
∞
≤
≤
∥∥∥y(l−1)
δ
∥∥∥
∞
= y
(l−1)
δ (1) =
1∫
0
y
(l)
δ (t) dt =
∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
1
.
Отметим, что для любой функции g ∈ AM функция g(1 − ·) является ее
неубывающей перестановкой (определение перестановок можно найти, например,
в [11], гл. 1). А тогда, в силу неравенств (11), (13) и теоремы 6, для любых 1 ≤ q ≤
≤ ∞ и l ∈ {1, . . . , r − 1} применима теорема 1.3.10 из [11]. Поэтому имеет место
неравенство ∥∥∥f (l)
∥∥∥
q
≤
∥∥∥y(l)
δ
∥∥∥
q
. (14)
В частности, при l = k будем иметь
∥∥f (k)
∥∥
q
≤
∥∥∥y(k)
δ
∥∥∥
q
, что и требовалось пока-
зать.
Теорема доказана.
Замечание 1. Вместо нормы ‖·‖q , 1 ≤ q ≤ ∞, в (14) можно рассмотреть
более общую конструкцию – функционал
∫ 1
0
Φ(|f(t)|) dt, где Φ(t) – произвольная
N -функция (см. [11], гл. 1). Тогда имеет место следующее утверждение.
Следствие 3. Пусть k, r ∈ N, 1 ≤ k ≤ r − 1, 0 < p ≤ ∞ и Φ(t) —
произвольная N -функция. Тогда для любой функции f ∈ AM, для которой ‖f‖p ≤
≤ δ и
∥∥f (r)
∥∥
∞ ≤ 1, выполняется неравенство
1∫
0
Φ
(∣∣∣f (k)(t)
∣∣∣) dt ≤ 1∫
0
Φ
(∣∣∣y(k)
δ (t)
∣∣∣) dt.
Доказательство следствия 2. Пусть n ∈ N, n ≥ r, и δ1, δ2 ∈ ∆n;p, δ1 <
< δ2. Положим δ :=
δ1 + δ2
2
. Ранее (см. п. 2) нами было отмечено, что функция
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
540 Д. С. СКОРОХОДОВ
h(t) := ‖gt,n‖p , t ∈ [0, 1), является строго убывающей биекцией интервала [0, 1)
на интервал ∆n;p. Следовательно, существуют числа λ1, λ и λ2, 0 ≤ λ2 < λ <
< λ1 < 1, для которых h (λ1) = δ1, h (λ) = δ и h (λ2) = δ2.
Покажем, что λ ≥ λ1 + λ2
2
. Действительно, при p ∈ {1,∞} функция h(t)
линейна, а при p ∈ (0, 1), h(t) строго выпукла вверх. Поэтому
h(λ) = δ =
h (λ1) + h (λ2)
2
≤ h
(
λ1 + λ2
2
)
, (15)
а из мононности h(t) следует, что λ ≥ λ1 + λ2
2
.
Заметим теперь, что для любого x ∈ [0, 1]
(n− r)!
n!
e(k)
n (x)− (n+ 1− r)!
(n+ 1)!
e
(k)
n+1(x) =
(n− r)!
n!
e(k)
n (x)
(
1− (n+ 1− r)x
n+ 1− k
)
> 0.
Следовательно,
ωk,rp,q,∞ (δ;AM) =
∥∥∥∥ (n− r)!
n!
e(k)
n + λ
(n− r)!
n!
e(k)
n (x)
(
1− (n+ 1− r)x
n+ 1− k
)∥∥∥∥
q
≤
≤ 1
2
[∥∥∥∥λ1
(n− r)!
n!
e(k)
n + (1− λ1)
(n+ 1− r)!
(n+ 1)!
e
(k)
n+1
∥∥∥∥
q
+
+
∥∥∥∥λ2
(n− r)!
n!
e(k)
n + (1− λ2)
(n+ 1− r)!
(n+ 1)!
e
(k)
n+1
∥∥∥∥
q
]
=
=
1
2
(
ωk,rp,q,∞ (δ1;AM) + ωk,rp,q,∞ (δ2;AM)
)
. (16)
Очевидно, что неравенства (15) и (16) одновременно обращаются в равенство тогда
и только тогда, когда p ∈ {1,∞} и q ∈ {1,∞}. В остальных случаях функция
ωk,rp,q,∞ (δ;AM) строго выпукла вниз на интервале ∆n;p, n ≥ r.
Отметим, что приведенные рассуждения с очевидными изменениями могут
быть перенесены и на случай n = r − 1.
Следствие 2 доказано.
4. Доказательства остальных результатов. Доказательство леммы 1. Оче-
видно, что любой многочлен Q ∈ Pn+ имеет вид
Q(x) =
n∑
m=0
Qmem(x), x ∈ [0, 1], (17)
где Qm ≥ 0 для всех m = 0, . . . , n.
С учетом представления (17) для любого q, 1 ≤ q ≤ ∞, имеем∥∥∥Q(k)
∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∥
n∑
m=k
Qme
(k)
m
∥∥∥∥∥
q
≤
n∑
m=k
Qm
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
≤ max
m=k,n
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
n∑
m=k
Qm ≤
≤ max
m=k,n
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
‖Q‖∞. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 541
В то же время для произвольного x ∈ [0, 1]
Q(x) =
n∑
m=0
Qmx
m ≥
n∑
m=0
Qmx
n = ‖Q‖∞ xn = ‖Q‖∞ en(x).
Поэтому для любого 0 < p ≤ ∞
‖Q‖p ≥
∥∥∥ ‖Q‖∞ en
∥∥∥
p
= ‖Q‖∞ ‖en‖p .
Объединяя последнее неравенство с неравенством (18), получаем
∥∥∥Q(k)
∥∥∥
q
≤
max
k≤m≤n
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
‖en‖p
‖Q‖p.
Для доказательства утверждения леммы остается лишь проверить, что
max
k≤m≤n
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
=
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
. Действительно, для любого m ∈ N, m ≥ k,
∥∥∥e(k)
m
∥∥∥
q
=
m!
(m− k)![(m− k)q + 1]1/q
.
Нетрудно проверить, что последовательность чисел
{∥∥∥e(k)
m;b
∥∥∥
q
}∞
m=k
является мо-
нотонно возрастающей тогда и только тогда, когда для любого m ≥ k
1 +
k
m− k + 1
≥
(
1 +
1
m− k + 1/q
)1/q
.
При этом последнее неравенство следует из неравенства Бернулли для показателя
1 ≤ q ≤ ∞ :(
1 +
k
m− k + 1
)q
≥ 1 +
kq
m− k + 1
≥ 1 +
1
(m− k)/q + 1/q
≥ 1 +
1
m− k + 1/q
.
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Согласно теореме 1, для любой функции f ∈ AM
такой, что f 6∈ Pr−1
+ , выполняется неравенство∥∥∥∥∥ f (k)∥∥f (r)
∥∥
∞
∥∥∥∥∥
q
≤
∥∥∥y(k)
δ
∥∥∥
q
,
где δ :=
‖f‖p∥∥f (r)
∥∥
∞
и функция yδ определена в (2). Тогда для любого A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
×
×‖er−1‖−1
p ∥∥∥∥∥ f (k)∥∥f (r)
∥∥
∞
∥∥∥∥∥
q
≤ A ‖yδ‖p +
(∥∥∥y(k)
δ
∥∥∥
q
−A ‖yδ‖p
)
≤
≤ A
‖f‖p∥∥f (r)
∥∥
∞
+ sup
y∈Mr
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)∥∥f (r)
∥∥
∞∥∥f (r)
∥∥
∞
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
542 Д. С. СКОРОХОДОВ
Из последнего неравенства следует неравенство (3).
В случае, когда f ∈ Pr−1
+ , из леммы 1 и того факта, что f (r) ≡ 0, получаем
∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖p
‖f‖p ≤ A‖f‖p + Ck,rp,q (A)
∥∥∥f (r)
∥∥∥
∞
.
Для того чтобы завершить доказательство теоремы 2 и убедиться в точности нера-
венства (3), покажем, что 0 < Ck,rp,q (A) <∞ для любого A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p .
Заметим, что
Ck,rp,q (A) := sup
y∈Mr
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
= sup
n≥r−1
sup
y∈Mn
r
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
.
При n = r − 1 введем в рассмотрение функцию
G(ρ) =
∥∥∥∥∥ρe(k)
r−1 +
e
(k)
r
r!
∥∥∥∥∥
q
−A
∥∥∥ρer−1 +
er
r!
∥∥∥
p
, ρ > 0.
С учетом непрерывности функции G на (0,∞) и условия A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p
имеем
lim
ρ→∞
G(ρ) = lim
ρ→∞
ρ
∥∥∥∥∥e(k)
r−1 +
e
(k)
r
ρr!
∥∥∥∥∥
q
−A
∥∥∥∥er−1 +
er
ρr!
∥∥∥∥
p
=
= lim
ρ→∞
ρ
(∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
−A ‖er−1‖p
)
≤ 0.
Следовательно,
sup
y∈Mr−1
r
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
<∞. (19)
Покажем теперь, что supn≥r supy∈Mn
r
(∥∥y(k)
∥∥
q
−A‖y‖p
)
<∞. Очевидно, что
для любого n > r − 1 величина
sup
y∈Mn
r
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
= sup
0≤λ<1
(∥∥∥g(k)
λ,n
∥∥∥
q
−A‖gλ,n‖p
)
(20)
конечна. Поэтому нам достаточно проверить, что
lim sup
n→∞
sup
y∈Mn
r
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
<∞. (21)
Действительно, при всех достаточно больших n для любой функции y ∈ Mn
r
имеют место неравенства(
(n+ 1− r)!
(n+ 1)!
∥∥∥e(k)
n+1
∥∥∥
q
−A (n− r)!
n!
‖en‖p
)
≤
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
≤
≤
(
(n− r)!
n!
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A (n+ 1− r)!
(n+ 1)!
‖en+1‖p
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 543
В силу условий теоремы 1 ≤ r−k+
1
q
< r+
1
p
, ведь r−k+
1
q
≤ r−1 + 1 ≤ r+
1
p
и знак равенства в последнем неравенстве возможен тогда и только тогда, когда
k = q = 1 и p =∞. Поэтому
lim sup
n→∞
sup
y∈Mn
r
(∥∥∥y(k)
∥∥∥
q
−A‖y‖p
)
= lim sup
n→∞
(
n−r+k−1/q
q1/q
− n−r−1/p
p1/p
)
=
= lim sup
n→∞
n−r+k−1/q
q1/q
= 0.
Сопоставляя (19) – (21), заключаем, что Ck,rp,q (A) – конечная положительная посто-
янная, что и завершает доказательство теоремы 2.
Доказательство теоремы 3. Очевидно, что для любых двух функций f, g ∈
∈ AM ‖f + g‖∞ = ‖f‖∞ + ‖g‖∞. Кроме того, для любого p ∈ (0, 1] в силу
интегрального неравенства Минковского и неотрицательности функций f и g
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.
В силу теоремы 8.2 [17] (гл. 8), любую функцию f ∈ AM можно представить
в виде суммы ряда
f(x) =
∞∑
n=0
fnen(x), x ∈ [0, 1],
где коэффициенты fn, n ∈ Z+, неотрицательны. Более того, функция f может быть
равномерно приближена последовательностью многочленов
{∑N
n=0
fnen
}∞
N=0
.
Поэтому для любого ε > 0 найдется N ∈ N, N ≥ r, такое, что
∥∥∥∥f (k) −
−
∑N
n=k
fne
(k)
n
∥∥∥∥
q
< ε. Тогда с учетом леммы 1 для любого A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖−1
p
имеем ∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
≤ ε+
∥∥∥∥∥
N∑
n=k
fne
(k)
n
∥∥∥∥∥
q
≤ ε+
N∑
n=k
fn
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
≤
≤ ε+
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
‖er−1‖p
r−1∑
n=k
fn ‖en‖p +
N∑
n=r
fn
(∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A ‖en‖p
)
+A
N∑
n=r
fn ‖en‖p ≤
≤ ε+A
N∑
n=k
fn ‖en‖p +Dk,r
p,q,s(A)
N∑
n=r
fn
∥∥∥e(r)
n
∥∥∥
s
≤
≤ ε+A ‖f‖p +Dk,r
p,q,s(A)
∥∥∥f (r)
∥∥∥
s
.
В силу произвольности ε > 0 для доказательства неравенства (6) остается убе-
диться в конечности и положительности величины Dk,r
p,q,s(A). Очевидно, что∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
∼ q−1/qnk−1/q, ‖en‖p ∼ p
−1/pn−1/p, и
∥∥∥e(r)
n
∥∥∥
s
∼ s−1/snr−1/s
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
544 Д. С. СКОРОХОДОВ
при n → ∞. Из условий (5), связывающих показатели p, q, s и порядки k, r
производных, получаем
k − 1
q
≥ 1− 1
q
≥ 0 ≥ −1
p
.
При этом k − 1
q
= −1
p
в том и только в том случае, когда k = 1, p =∞ и q = 1.
Однако тогда ‖e′n‖1 ≤ ‖en‖∞ . Поэтому для любого A ≥ 1 Dk,r
p,q,s ≤ 0 при всех
n ≥ 2, и Γ1,r
∞,1,s(AM) = ∅.
Пусть далее k − 1
q
> −1
p
. Тогда
∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A ‖en‖p ∼ q
−1/qnk−1/q при n→∞.
В случае, когда k− 1
q
> r− 1
s
, Dk,r
p,q,s(A) =∞ и, следовательно, Γk,rp,q,s(AM) = ∅.
Если k− 1
q
< r− 1
s
, то супремум в определении величины Dk,r
p,q,s(A) достига-
ется, так как limn→∞
(∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A ‖en‖p
)∥∥∥e(r)
n
∥∥∥−1
s
= 0.
В случае k − 1
q
= r − 1
s
несложно видеть, что
lim
n→∞
(∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A ‖en‖p
)∥∥∥e(r)
n
∥∥∥−1
s
= s1/sq−1/q.
Следовательно, Dk,r
p,q,s(A) конечна и положительна.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. Докажем, что последовательность чисел{
τk,rq (n)
}∞
n=r−1
не убывает. Для этого сначала покажем, что
τk,rq (r − 1) ≤ τk,rq (r). (22)
Неравенство (22) можно представить в виде
r − k
r + 1
(
1 +
1
r − 1− k + 1/q
)1/q
≤ 1− 1
r + 1− k
(
1− 1
r + 1− k + 1/q
)1/q
. (23)
В силу неравенства Бернулли для показателя
1
q(
1 +
1
r − 1− k + 1/q
)1/q
≤ r − 1− k + 2/q
r − 1− k + 1/q
,
(
1− 1
r + 1− k + 1/q
)1/q
≤ r + 1− k
r + 1− k + 1/q
.
Поэтому мы докажем (23), как только убедимся в выполнении неравенства
(r − k)(r − 1− k + 2/q)
(r + 1)(r − 1− k + 1/q)
≤ r − k + 1/q
r + 1− k + 1/q
. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 545
Очевидно, что неравенство (24) равносильно неравенству
1
q
+ rk − k2 +
k
q
− r2k +
r2
q
+ 2rk2 +
r
q2
+
3k2
q
− k3 − 4rk
q
− 2k
q2
− 1
q2
≤ 0, (25)
которое достаточно доказать при r = k + 1. В этом случае оно принимает вид
2
q
≤ k
q
+
k
q2
.
Поэтому неравенство (25) всегда выполняется, как только k ≥ 2.
Рассмотрим теперь случай k = 1 и r = 2. В этом случае неравенство (23)
принимает вид
2
3
≤ 2
(1 + q)1/q
− 1
(1 + 2q)1/q
. (26)
Покажем, что неравенство (26) выполняется для всех q ∈ [1,∞]. Для этого введем
в рассмотрение функцию f(q) =
2
(1 + q)1/q
− 1
(1 + 2q)1/q
. Найдем ее производную
f ′(q) =
2
(1 + q)1/q
(
ln (1 + q)
q2
− 1
q(1 + q)
)
−
− 1
(1 + 2q)1/q
(
ln (1 + 2q)
q2
− 2
q(1 + 2q)
)
=
=
2
q
[
1
(1 + q)1/q
(
ln (1 + q)
q
− 1
1 + q
)
− 1
(1 + 2q)1/q
(
ln (1 + 2q)
2q
− 1
1 + 2q
)]
.
Теперь зафиксируем q и положим
ρ(x) :=
ln (1+qx)
qx − 1
1+qx
(1 + qx)1/q
, x ∈ [1, 2].
Справедливо соотношение f ′(q) =
2ρ(1)− 2ρ(2)
q
. Докажем, что функция ρ(x)
убывает на отрезке [1, 2]. Для этого найдем производную функции ρ(x) :
ρ′(x) =
=
(
1
x(1+qx) + q
(1+qx)2 −
ln (1+qx)
qx2
)
(1 + qx)−
(
ln (1+qx)
qx − 1
1+qx
)
(1 + qx)1+1/q
.
Для того чтобы показать, что ρ′(x) ≤ 0 для x ∈ [1, 2], убедимся в выполнении
неравенства
1
x + 1+q
1+qx
1
qx + 1+qx
qx2
− ln (1 + qx) ≤ 0.
Обозначим левую часть последнего неравенства через w(x) и продифференцируем
ее:
w′(x) = −
1
x2 + (1+q)q
(1+qx)2
1
qx + 1+qx
qx2
+
(
1
x + 1+q
1+qx
)(
1
x2 + 1
qx2 + 2
qx3
)
(
1
qx + 1+qx
qx2
)2 − q
1 + qx
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
546 Д. С. СКОРОХОДОВ
Покажем, что w′(x) ≤ 0. Для этого необходимо и достаточно убедиться в том, что
1
qx3
≤ (1 + q)((1 + q)x+ 1)
(1 + qx)2x
+
1
q(1 + qx)x3
.
Но поскольку x ∈ [1, 2], последнее неравенство всегда выполняется. Следователь-
но, функция w(x) убывает. Докажем теперь, что w(1) ≤ 0. Несложно проверить,
что
w(1) =
2q
2 + q
− ln (1 + q)
убывает по q, и, более того, w(1) =
2
3
− ln 2 ≤ 0. Поэтому ρ(x) убывает по x и
f(q) возрастает по q. Таким образом, неравенство (26) доказано.
Для доказательства неравенства τk,rq (n) ≤ τk,rq (n + 1) для всех n ≥ r необхо-
димо и достаточно показать, что выполняется неравенство
(n+ 1− k)
(
1 +
1
n− k + 1/q
)1/q
+
+(n+ 2− r) n+ 2
n+ 2− k
(
1− 1
n− k + 2 + 1/q
)1/q
≤ 2n+ 3− r. (27)
В силу неравенства Бернулли для показателя
1
q(
1 +
1
n− k + 1/q
)1/q
≤ n− k + 2/q
n− k + 1/q
и (
1− 1
n+ 2− k + 1/q
)1/q
≤ n+ 2− k
n+ 2− k + 1/q
.
Поэтому неравенство (27) следует из неравенства
(n+ 1− k)
n− k + 2/q
n− k + 1/q
+ (n+ 2− r) n+ 2
n− k + 2 + 1/q
≤ 2n+ 3− r. (28)
В свою очередь, неравенство (28) достаточно доказать лишь для r = k + 1, т. е.
(n+ 1− k)
n− k + 2/q
n− k + 1/q
+ (n+ 1− k)
n+ 2
n− k + 2 + 1/q
≤ 2n+ 2− k. (29)
Можно проверить, что неравенство (29) следует из того, что 1 ≤ k.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 4. Согласно теореме 3, для любого
A ≥
∥∥∥e(k)
r−1
∥∥∥
q
неравенство (6) при p = s = ∞ обращает в равенство одна из
функций {en(x)}∞n=r . Для n ≥ r введем в рассмотрение величины
d(n) := dk,rq (n) :=
(n− r)!
n!
(∥∥∥e(k)
n
∥∥∥
q
−A
)
.
Несложно видеть, что если при некотором n ≥ r A ≤ τk,rq (n), то d(n+ 1) ≤
≤ d(n). Следовательно, d(m) ≤ d(n) для всех m ≥ n. Если же A ≥ τk,rq (n),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ЗАДАЧА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ КЛАССА АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ . . . 547
n ≥ r, то d(n) ≤ d(n+ 1) и d(n) ≤ d(m) для всех m ≥ n. Таким образом, если
A ∈ [τk,rq (n), τk,rq (n+ 1)], n ≥ r − 1,
то
Dk,r
∞,q,∞(A) = d(n+ 1),
что и завершает доказательство теоремы 3.
Доказательство теоремы 5. Докажем необходимость условия (8). Действи-
тельно, если для заданных положительных чисел M0,p, Mk,q и Mr,∞ существует
функция f ∈ AM, для которой
‖f‖p = M0,p,
∥∥∥f (k)
∥∥∥
q
= Mk,q,
∥∥∥f (r)
∥∥∥
∞
= Mr,∞,
то, очевидно, имеет место неравенство (8).
Докажем теперь достаточность условия (8). Пусть положительные числа M0,p,
Mk,q и Mr,∞ удовлетворяют (8), т. е.
Mk,q
Mr,∞
≤ ωk,rp,q,∞
(
M0,p
Mr,∞
;AM
)
.
Поскольку функция ωk,rp,q,∞(δ;AM) непрерывна, строго возрастает и принимает
все положительные значения, то существует ξ ∈
(
0,
M0,p
Mr,∞
)
такое, что
∥∥∥y(k)
ξ
∥∥∥
q
=
Mk,q
Mr,∞
.
Рассмотрим функцию
f(x) = Mr,∞yξ(x) +M0,p −Mr,∞ξ, x ∈ [0, 1].
Очевидно, что f ∈ AM,
∥∥f (r)
∥∥
∞ = Mr,∞,
∥∥f (k)
∥∥
q
= Mk,q и ‖f‖p = M0,p.
Теорема 5 доказана.
Автор выражает благодарность профессору В. Ф. Бабенко за постановку задачи
и полезные обсуждения при написании этой работы.
1. Landau E. Einige Ungleichungen fur zweimal differenzierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc.
– 1913. – 13. – P. 43 – 49.
2. Chui C. K., Smith P. W. A note on Landau’s problem for bounded intervals // Amer. Math. Mon. – 1975.
– 82. – P. 927 – 929.
3. Звягинцев А. И., Лепин А. Я. О неравенствах Колмогорова между верхними гранями функциональ-
ных производных для n = 3 // Латв. мат. ежегодник. – 1982. – 26. – С. 176 – 181.
4. Sato M. The Landau inequality for bounded intervals with
∥∥f (3)
∥∥ finite // J. Approxim. Theory. – 1982.
– 34. – P. 159 – 166.
5. Kwong M. K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences. – Berlin; Heidelberg.: Springer,
1992.
6. Shadrin A. Yu. To the Landau – Kolmogorov problem on a finite interval // Open Problems in Approxim.
Theory. – 1994. – P. 192 – 204.
7. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem
of Erd ö s // J. D’Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
8. Bojanov B., Naidenov N. Examples of Landau – Kolmogorov inequality in integral norms on a finite
interval // J. Approxim. Theory. – 2002. – 117. – P. 55 – 73.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
548 Д. С. СКОРОХОДОВ
9. Бабенко Ю. В. Точные неравенства типа Ландау для функций со вторыми производными из
пространств Орлича // Вестн. Днепропетр. ун-та. Математика. – 2000. – 2. – С. 18 – 22.
10. Бабенко Ю. В. Поточечные неравенства типа Ландау – Колмогорова для функций, определенных
на конечном отрезке // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 2. – С. 238 – 243.
11. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные задачи для полиномов и сплайнов. –
Киев: Наук. думка, 1992.
12. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003.
13. Babenko V. F., Rassias T. M. On exact inequalities of Hardy – Littlewood – Polya type // J. Math. Anal.
and Appl. – 2000. – 245. – P. 570 – 593.
14. Fink A. M. Kolmogorov – Landau inequalities for monotone functions // J. Math. Appl. – 1992. – 90. –
P. 251 – 258.
15. Widder D. V. The Laplace transform // Princeton Math. Ser. – 1946.
16. Скороходов Д. С. О задаче Ландау – Колмогорова для классов абсолютно монотонных на отрезке
функций // Мат. конгр.: тези доп. конф. (Київ, 27 – 29 серпня 2009 р.). – Київ, 2009.
17. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – М.: Наука,
1973.
18. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных про-
извольной функции на бесконечном интервале // Науч. зап. Моск. ун-та. – 1939. – 30. – С. 3 – 16.
19. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных про-
извольной функции на бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика. – 1985. –
С. 252 – 263.
Получено 16.10.09,
после доработки — 09.02.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2739 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:21Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/aa/5f5c376a8c8c2ab26ffdf56883b0aaaa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27392020-03-18T19:34:55Z Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval Задача Ландау - Колмогорова для класса абсолютно монотонных на конечном отрезке функций Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. We solve the Landau - Kolmogorov problem for the class of functions absolutely monotone on a finite interval. For this class of functions, a new exact additive inequalities of the Kolmogorov type are obtained. Розв’язано задачу Ландау – Колмогорова для класу абсолютно монотонних на скiнченному вiдрiзку функцiй. Для такого класу функцiй також отримано новi точнi адитивнi нерiвностi типу Колмогоров. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2739 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 531-548 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 531-548 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2739/2234 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2739/2235 Copyright (c) 2011 Skorokhodov D. S. |
| spellingShingle | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title | Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title_alt | Задача Ландау - Колмогорова для класса абсолютно монотонных на конечном отрезке функций |
| title_full | Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title_fullStr | Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title_full_unstemmed | Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title_short | Landau-Kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| title_sort | landau-kolmogorov problem for a class of functions absolutely monotone on a finite interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2739 |
| work_keys_str_mv | AT skorokhodovds landaukolmogorovproblemforaclassoffunctionsabsolutelymonotoneonafiniteinterval AT skorohodovds landaukolmogorovproblemforaclassoffunctionsabsolutelymonotoneonafiniteinterval AT skorohodovds landaukolmogorovproblemforaclassoffunctionsabsolutelymonotoneonafiniteinterval AT skorokhodovds zadačalandaukolmogorovadlâklassaabsolûtnomonotonnyhnakonečnomotrezkefunkcij AT skorohodovds zadačalandaukolmogorovadlâklassaabsolûtnomonotonnyhnakonečnomotrezkefunkcij AT skorohodovds zadačalandaukolmogorovadlâklassaabsolûtnomonotonnyhnakonečnomotrezkefunkcij |