Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system
We obtain the exact-order estimate for the best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of periodic functions of many variables by polynomials with respect to the Haar system in the metric of the space $L_q,\quad 1 < q < \infty$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2740 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508700730458112 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | We obtain the exact-order estimate for the best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$
of periodic functions of many variables by polynomials with respect to the Haar system in the metric of the space $L_q,\quad 1 < q < \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. А. Стасюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НАИЛУЧШЕЕ m-ЧЛЕННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
КЛАССОВ B r
∞,θ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОЛИНОМАМИ ПО СИСТЕМЕ ХААРА
We obtain the exact-order estimate for the best m-term approximation of the classes B r
∞,θ of periodic functions
of many variables by polynomials with respect to the Haar system in the metric of the space Lq , 1 < q <∞.
Одержано точну за порядком оцiнку величини найкращого m-членного наближення класiв B r
∞,θ перi-
одичних функцiй багатьох змiнних полiномами по системi Хаара в метрицi простору Lq , 1 < q <∞.
1. Введение. Тематика, связанная с изучением одного из видов нелинейного при-
ближения, а именно, наилучшего m-членного приближения некоторых функцио-
нальных классов полиномами, построенными по определенной (в частности, три-
гонометрической) системе функций, интенсивно развивается в последние деся-
тилетия (см., например, [1, 2]). В предлагаемой работе получена точная по по-
рядку оценка наилучшего m-членного приближения классов Br∞,θ периодических
функций многих переменных полиномами, построенными по системе Хаара. Если
сравнивать эту оценку с полученной в [3] точной по порядку оценкой величины
наилучшего m-членного приближения по тригонометрической системе, то можно
сделать вывод о преимуществе системы Хаара над тригонометрической системой
для рассматриваемого нелинейного приближения классов Br∞,θ при небольших
гладкостях, о чем подробнее будет идти речь в комментариях в заключительной
части работы.
Приведем сначала определение системы Хаара.
Пусть Pτ , τ ∈ Z+, обозначает множество всех двоичных интервалов на отрезке
[0, 1] вида I = [j2−τ , (j+ 1)2−τ ), j = 0, . . . , 2τ − 1. Для вектора s = (s1, . . . , sd) ∈
∈ Z+
d определим
Ps := {I = I(1)× . . .× I(d), I(j) ∈ Psj , j = 1, . . . , d}
и
Qn :=
⋃
‖s‖1≤n
Ps,
где ‖s‖1 := (s, 1) := s1 + . . .+ sd. Множество Qn называют ступенчатым гипербо-
лическим крестом. Для количества элементов Qn имеет место соотношение (см.,
например, [4])
#Qn � 2nnd−1. (1)
Заметим, что в дальнейшем (как и, в частности, в (1)) при доказательстве резуль-
татов положительные последовательности µ1(n) и µ2(n) будем связывать соотно-
шением µ1(n)� µ2(n), если для них выполняется неравенство µ1(n) ≤ C1µ2(n),
n ∈ N, с некоторой постоянной C1 > 0. Если же µ1(n)� µ2(n) и µ2(n)� µ1(n),
то будем писать µ1(n) � µ2(n). Все постоянные Cj , j = 1, 2, . . . , которые будут
встречаться в работе, могут зависеть только от параметров, входящих в определе-
ние класса, метрики, в которой измеряется погрешность приближения, и размер-
ности d пространства Rd.
c© С. А. СТАСЮК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 549
550 С. А. СТАСЮК
Для I ∈ Pτ , τ ≥ 0, I = [j2−τ , (j + 1)2−τ ), j = 0, . . . , 2τ − 1, положим
HI(t) := |I|−1/2
1, если t ∈
[
j2−τ ,
(
j +
1
2
)
2−τ
)
,
−1, если t ∈
[(
j +
1
2
)
2−τ , (j + 1)2−τ
)
,
0, если t /∈ I,
где |I| = 2−τ — длина двоичного интервала I.
В d-мерном случае для I = I(1)× . . .× I(d) обозначим
HI(x) :=
d∏
j=1
HI(j)(xj)
и
δs(f) :=
∑
I∈Ps
(f,HI)HI ,
где
(f,HI) :=
∫
[0,1]d
f(x)HI(x) dx.
Пусть Lp[0, 1]d, 1 ≤ p <∞, — пространство 1-периодических по каждой пере-
менной и суммируемых в степени p на кубе [0, 1]d функций f(x) = f(x1, . . . , xd) с
нормой, которая определяется следующим образом:
‖f‖p := ‖f‖Lp[0,1]d :=
∫
[0,1]d
|f(x)|p dx
1/p
.
Будем считать, что пространство L∞[0, 1]d состоит из 1-периодических по каж-
дой переменной и непрерывных на [0, 1]d функций и снабжено обычной равномер-
ной нормой.
Всюду ниже будем предполагать, что для функций f ∈ Lp[0, 1]d, 1 ≤ p ≤ ∞,
выполняется условие
1∫
0
f(x) dxj = 0, j = 1, . . . , d.
Приведем два соотношения, необходимые для дальнейшего изложения.
Теорема Литтлвуда – Пэли (см., например, [5], гл. 3]). Для любой функции
f ∈ Lp[0, 1], 1 < p <∞, имеет место соотношение
C1(p)‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥∥
(∑
τ∈N
|δτ (f)|2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C2(p)‖f‖p. (2)
Из (2) следует неравенство (см., например, [6])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
НАИЛУЧШЕЕ m-ЧЛЕННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ B r
∞,θ ФУНКЦИЙ . . . 551
‖f‖p ≥ C3(p)
(∑
s>0
‖δs(f)‖2p
)1/2
, 1 < p ≤ 2. (3)
Определим классы Br∞,θ, которые являются аналогами классов Бесова, для
0 < r < 1, 1 ≤ θ <∞ следующим образом:
Br∞,θ :=
{
f ∈ L∞[0, 1]d: ‖f‖Br∞,θ ≤ 1
}
,
где
‖f‖Br∞,θ :=
(∑
s>0
(2r‖s‖1‖δs(f)‖∞)θ
)1/θ
. (4)
2. Наилучшее m-членное приближение классов Br
∞,θ полиномами по сис-
теме Хаара. Определим соответствующую аппроксимационную характеристику.
Пусть Φ = {ϕj}∞j=1 — некоторая система функций из пространства Lq[0, 1]d.
Для f ∈ Lq[0, 1]d положим
σm(f,Φ)q := inf
ϕnj,aj
∥∥∥∥∥∥f −
m∑
j=1
aj ϕnj
∥∥∥∥∥∥
q
, (5)
где aj — произвольные числа. Величину (5) называют наилучшим m-членным при-
ближением функции f полиномами, построенными по системе Φ, в пространстве
Lq[0, 1]d.
Далее, если F ⊂ Lq[0, 1]d — некоторый класс функций, то
σm(F,Φ)q := sup
f∈F
σm(f,Φ)q. (6)
Вопросы, связанные с исследованием величин (5) и (6) для системы Хаара, т. е.
в случае Φ := H := {HI}I , изучались в работах [7 – 11].
Рассматривая в (6) в качестве F класс Br∞,θ, а в качестве Φ систему Хаара
H := {HI}I , сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть 1 < q <∞, 1 ≤ θ <∞, 0 < r < 1, тогда
σm(Br∞,θ,H)q � m−r
(
logd−1
2 m
)r+1/2−1/θ
. (7)
Доказательство. Установим сначала в (7) оценку сверху.
Для некоторого k ∈ N введем следующие обозначения:
∆Qk = Qk\Qk−1,
Nk = #{s ∈ Nd, ‖s‖1 = k},
Mk =
[
#{∆Qn}2−η(k−n)
]
,
где η > 0, k = n+ 1, . . . , а n ∈ N.
Заметим, что
Nk � kd−1, (8)
и, согласно (1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
552 С. А. СТАСЮК
Mk � 2nnd−12−η(k−n). (9)
По заданному m подберем n ∈ N, которое удовлетворяет соотношению m �
� 2nnd−1.
Представим функцию f ∈ Br∞,θ в виде
f = SH(Qn)(f) +
∞∑
k=n+1
( ∑
‖s‖1=k
δs(f)
)
, (10)
где
SH(Qn)(f) :=
∑
‖s‖1≤n
δs(f) =
∑
I∈Qn
(f,HI)HI =
∑
|I|≥2−n
(f,HI)HI
— ступенчато-гиперболическая сумма Фурье – Хаара. Построим для функции f
приближающий полином pm, осуществив определенную процедуру выбора слагае-
мых (f,HI)HI .
Для каждого s, ‖s‖1 = k, k = n+ 1, . . . , рассмотрим
[
Mk/Nk
]
наибольших по
модулю коэффициентов (f,HI), HI ∈ Ps, из суммы∑
‖s‖1=k
δs(f) =
∑
‖s‖1=k
∑
I∈Ps
(f,HI)HI (11)
в (10).
Для s: ‖s‖1 = k имеем
‖δs(f, ·)‖∞ = 2‖s‖1/2 sup
I∈Ps
|(f,HI)| = 2k/2 sup
I∈Ps
|(f,HI)|, (12)
поэтому, учитывая (4), получаем
1 ≥
∑
‖s‖1=k
(2r‖s‖1‖δs(f)‖∞)θ
1/θ
= 2k(r+1/2)
∑
‖s‖1=k
sup
I∈Ps
|(f,HI)|θ
1/θ
. (13)
Удалим
[
Mk/Nk
]
слагаемых (f,HI)HI из (11) с наибольшими значениями
|(f,HI)|. Тогда коэффициенты (f,HI) в каждом из оставшихся в (11) слагаемых
(f,HI)HI в силу соотношения (13) будут удовлетворять неравенству
|(f,HI)| � 2−k(r+1/2)k−(d−1)/θ. (14)
Таким образом, объединяя все удаленные (в результате описанной выше про-
цедуры) и содержащиеся в SH(Qn)(f) слагаемые (f,HI)HI , получаем искомый
полином pm. Убедимся при этом, что количество слагаемыx (f,HI)HI построен-
ного полинома pm равно по порядку m. Действительно, учитывая (1), (8) и (9),
имеем
#Qn +
∞∑
k=n+1
[
Mk
Nk
]
kd−1 � 2nnd−1 + 2nnd−1
∞∑
k=n+1
2−η(k−n) � 2nnd−1 � m.
Далее, отправляясь от теоремы Литтлвуда – Пэли, вследствие (10), (14), (8), (9),
для полинома pm получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
НАИЛУЧШЕЕ m-ЧЛЕННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ B r
∞,θ ФУНКЦИЙ . . . 553
‖f − pm‖q �
∥∥∥∥∥∥
(∑
I
|(f − pm, HI)|2 |HI |2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∥∥∥∥∥∥∥
∞∑
k=n+1
∑
I∈∆Qk
2−2k(r+1/2)k−2(d−1)/θH2
I
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∥∥∥∥∥∥∥
∞∑
k=n+1
2−2k(r+1/2)k−2(d−1)/θ2k
∑
I∈∆Qk
χI
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∥∥∥∥∥∥
( ∞∑
k=n+1
2−2krk−2(d−1)/θkd−1χ[0,1]d
)1/2
∥∥∥∥∥∥
q
=
=
( ∞∑
k=n+1
2−2krk(d−1)(1−2/θ)
)1/2
�
� 2−rnn(d−1)(1/2−1/θ) � m−r
(
logd−1
2 m
)r+1/2−1/θ
. (15)
Оценка сверху установлена.
Перейдем к получению оценки снизу.
Для любого m ∈ N выберем n ∈ N так, чтобы, с одной стороны, выполнялось
соотношение ∑
‖s‖1=n
#Ps � 2nnd−1 � m,
а с другой — ∑
‖s‖1=n
#Ps ≥ 2m. (16)
Рассмотрим функцию
fH,n(x) =
∑
‖s‖1=n
∑
I∈Ps
HI(x).
Тогда для s : ‖s‖1 = n имеем
‖δs(fH,n)‖∞ =
∥∥∥∥∥∑
I∈Ps
HI
∥∥∥∥∥
∞
= 2n/2. (17)
Покажем, что функция
f1(x) = C42−(r+1/2)nn−(d−1)/θfH,n(x) (18)
принадлежит классу Br∞,θ при некотором значении C4 > 0. Действительно, учи-
тывая (17), получаем
‖f1‖Br∞,θ =
∑
‖s‖1=n
(
2r‖s‖1‖δs(f1)‖∞
)θ1/θ
= C4n
−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
� 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
554 С. А. СТАСЮК
Рассмотрим произвольное множество двоичных параллелепипедов Im ⊂
⋃
s
Ps,
‖s‖1 = n, такое, что #Im ≤ m. Положим ms = #{Ps\Im}. Тогда, принимая во
внимание (16), имеем ∑
‖s‖1=n
ms ≥
∑
‖s‖1=n
#Ps −#Im ≥ m. (19)
Исходя из соотношения (19) и применяя к его левой части неравенство Гельдера,
находим
2nnd−1 �
∑
‖s‖1=n
ms ≤
∑
‖s‖1=n
m2/p
s
p/2 ∑
‖s‖1=n
1
1−p/2
�
� n(d−1)(1−p/2)
∑
‖s‖1=n
m2/p
s
p/2 , 1 < p ≤ 2. (20)
Для произвольных cI , I ∈ Im, согласно (3), (12), (20), при 1 < q ≤ 2 получаем∥∥∥∥∥fH,n − ∑
I∈Im
cIHI
∥∥∥∥∥
q
�
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s‖1=n
∑
I∈Ps\Im
HI
∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∑
‖s‖1=n
∥∥∥∥∥∥
∑
I∈Ps\Im
HI
∥∥∥∥∥∥
2
q
1/2
= 2n(1/2−1/q)
∑
‖s‖1=n
m2/q
s
1/2
� 2n/2n(d−1)/2.
(21)
Из (21) следует, что
σm(fH,n,H)q � 2n/2n(d−1)/2. (22)
Поэтому, учитывая (18) и (22), имеем
σm(Br∞,θ,H)q ≥ C42−(r+1/2)nn−(d−1)/θσm(fH,n,H)q �
� m−r
(
logd−1
2 m
)r+1/2−1/θ
. (23)
Для 2 < q <∞ вследствие ‖ · ‖q ≥ ‖ · ‖2 и (23) получим
σm(Br∞,θ,H)q ≥ σm(Brp,θ,H)2 � m−r
(
logd−1
2 m
)r+1/2−1/θ
.
Оценка снизу установлена.
Теорема доказана.
Замечание 1. В случае θ = ∞, т. е. для классов Hr
∞, порядок величины
σm(Hr
∞,H)q установлен А. В. Андриановым [9].
Замечание 2. Сравнивая доказанную теорему с полученной в [3] оценкой вели-
чины σm(Br∞,θ, T )q для тригонометрической системы T = {e2πi(k,x)}k∈Zd , видим,
что при 1 ≤ θ < 2, 0 < r <
1
θ
− 1
2
наилучшее m-членное приближение по системе
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
НАИЛУЧШЕЕ m-ЧЛЕННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ B r
∞,θ ФУНКЦИЙ . . . 555
Хаара имеет преимущество (в смысле порядковых оценок) в сравнении с наилуч-
шим m-членным приближением по тригонометрической системе. Иными словами,
при указанных ограничениях на параметры r и θ имеет место соотношение
σm(Br∞,θ,H)q � σm(Br∞,θ, T )q
(
logd−1
2 m
)r+1/2−1/θ
.
1. Temlyakov V. N. Nonlinear methods of approximation // Found. Comput. Math. – 2003. – 3, № 1. –
P. 33 – 107.
2. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова перио-
дических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
3. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и би-
линейных приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62,
№ 4. – С. 536 – 551.
4. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – С. 1 – 112.
5. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ, 1999.
6. Temlyakov V. N. The best m-term approximation and greedy algorithms // Adv. Comput. Math. – 1998.
– 8, № 3. – P. 249 – 265.
7. Temlyakov V. N. Non linear m-term approximation with regard to the multivariate Haar system // East
J. Approxim. – 1998. – 4, № 1. – P. 87 – 106.
8. Andrianov A. V., Temlyakov V. N. Best m-term approximation of functions from classes MW r
q,α //
Approxim. Theory. – 1998. – 1. – P. 7 – 14.
9. Андрианов А. В. Приближение функций из классов MHr
p полиномами Хаара // Мат. заметки. –
1999. – 66, № 3. – С. 323 – 335.
10. Освальд П. Об N -членных приближениях по системе Хаара в Hs-нормах // Соврем. математика.
Фундам. направления. Теория функций. – 2007. – 25. – С. 106 – 125.
11. Стасюк С. А. Приближение функций многих переменных классов HΩ
p полиномами по системе
Хаара // Anal. Math. – 2009. – 35, № 4. – P. 257 – 271.
Получено 30.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2740 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:23Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9c/07de8fd691fc382df977703f9a57029c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27402020-03-18T19:34:55Z Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system Наилучшее $m$-членное приближение классов $B ^{r}_{\infty, \theta}$ функций многих переменных полиномами по системе Хаара Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. We obtain the exact-order estimate for the best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of periodic functions of many variables by polynomials with respect to the Haar system in the metric of the space $L_q,\quad 1 < q < \infty$. Одержано точну за порядком оцiнку величини найкращого m-членного наближення класiв $B ^{r}_{\infty, \theta}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами по системi Хаара в метрицi простору $L_q,\quad 1 < q < \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2740 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 549-555 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 549-555 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2740/2236 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2740/2237 Copyright (c) 2011 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title | Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title_alt | Наилучшее $m$-членное приближение классов $B ^{r}_{\infty, \theta}$ функций многих переменных полиномами по системе Хаара |
| title_full | Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title_fullStr | Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title_full_unstemmed | Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title_short | Best $m$-term approximation of the classes $B ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| title_sort | best $m$-term approximation of the classes $b ^{r}_{\infty, \theta}$ of functions of many variables by polynomials in the haar system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2740 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa bestmtermapproximationoftheclassesbrinftythetaoffunctionsofmanyvariablesbypolynomialsinthehaarsystem AT stasûksa bestmtermapproximationoftheclassesbrinftythetaoffunctionsofmanyvariablesbypolynomialsinthehaarsystem AT stasûksa bestmtermapproximationoftheclassesbrinftythetaoffunctionsofmanyvariablesbypolynomialsinthehaarsystem AT stasyuksa nailučšeemčlennoepribliženieklassovbrinftythetafunkcijmnogihperemennyhpolinomamiposistemehaara AT stasûksa nailučšeemčlennoepribliženieklassovbrinftythetafunkcijmnogihperemennyhpolinomamiposistemehaara AT stasûksa nailučšeemčlennoepribliženieklassovbrinftythetafunkcijmnogihperemennyhpolinomamiposistemehaara |