Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis
We obtain the exact inequalities of the Bernstein type for splines $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$ as well as the exact inequalities that, for splines $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, estimate $L_p$-norms of the Fourier transforms of their $k$-th derivative by $L_p$-norms of the Four...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2746 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508708070490112 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Zontov, V. A. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Zontov, V. A. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | We obtain the exact inequalities of the Bernstein type for splines $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$ as well as the exact inequalities that,
for splines $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, estimate $L_p$-norms of the Fourier transforms of their $k$-th derivative by $L_p$-norms of the Fourier transforms of splines themselves. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т; Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
В. А. Зонтов (Днепропетр. нац. ун-т)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СПЛАЙНОВ,
ЗАДАННЫХ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
We obtain the exact inequalities of the Bernstein type for splines s ∈ Sm,h
⋂
L2(R) as well as the exact
inequalities that, for splines s ∈ Sm,h, h > 0, estimate Lp-norms of the Fourier transforms of their k th
derivative by Lp-norms of the Fourier transforms of splines themselves.
Отримано точнi нерiвностi типу Бернштейна для сплайнiв s ∈ Sm,h
⋂
L2(R), а також точнi нерiвностi,
якi для сплайнiв s ∈ Sm,h, h > 0, оцiнюють Lp-норми перетворень Фур’є k-ї похiдної через Lp-норми
перетворень Фур’є самих сплайнiв.
1. Введение. Основные результаты. Пусть G есть R или T, где T — единич-
ная окружность, реализованная, как отрезок [0, 2π] с отождествленными концами.
Через Lp(G), 1 ≤ p ≤ ∞, будем обозначать пространства функций f : G → R,
интегрируемых в p-й степени (существенно ограниченных при p = ∞) с соответ-
ствующими нормами
‖f‖Lp(G) =
∫
G
|f(x)|pdx
1/p
, если 1 ≤ p <∞,
vrai sup
x∈G
|f(x)|, если p =∞.
Через Sm,h, m ∈ N, h > 0, обозначим пространство заданных на R полиномиаль-
ных сплайнов порядка m, минимального дефекта, с узлами lh, l ∈ Z. Пространство
2π-периодических сплайнов из Sm,π/n будем обозначать через S̃m,n.
Через ϕm(t), m ∈ N, обозначим m-й 2π-периодический интеграл с нулевым
средним значением на периоде от функции ϕ0 = sgn sin t. Для λ > 0 положим
ϕλ,m(t) = λ−mϕm(λt). Отметим, что ‖ϕm‖L∞(R) = Km, где Km — константы
Фавара (см., например, [1, с. 105]),
Km =
4
π
∞∑
l=0
(−1)l(m+1)
(1 + 2l)m+1
, m = 0, 1, . . . .
Во многих вопросах теории аппроксимации важную роль играют неравенства
типа Бернштейна для периодических и непериодических сплайнов. Следующие
точные неравенства типа Бернштейна для сплайнов из S̃m,n
‖s(k)‖Lp(T) ≤ n
k
‖ϕm−k‖Lp(T)
‖ϕm‖Lp(T)
‖s‖Lp(T) (1)
установлены В. М. Тихомировым [2] в случае p = ∞, Ю. Н. Субботиным [3] в
случае p = 1, В. Ф. Бабенко и С. А. Пичуговым [4] в случае p = 2. Изложение
этих, а также других неравенств типа Бернштейна для периодических сплайнов
можно найти в [5] (гл. 6).
Для сплайнов из Sm,h
⋂
L∞(R) известно следующее точное неравенство типа
Бернштейна, полученное Г. Г. Магарил-Ильяевым [6]:
c© В. Ф. БАБЕНКО, В. А. ЗОНТОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5 603
604 В. Ф. БАБЕНКО, В. А. ЗОНТОВ
‖s(m)‖L∞(R) 6
πm
Kmhm
‖s‖L∞(R). (2)
Аналог (2) для Sm,h
⋂
L2(R) установлен В. Ф. Бабенко и С. А. Спектор [7]:
‖s(m)‖L2(R) 6
(π
h
)m√ K1
K2m+1
‖s‖L2(R). (3)
В данной работе доказано следующее обобщение неравенства (3).
Теорема 1. Для любого сплайна s ∈ Sm,h
⋂
L2(R) и любого h > 0 при всех
k = 1, . . . ,m− 1 выполняется неравенство
‖s(k)‖L2(R) 6
(π
h
)k√K2(m−k)+1
K2m+1
‖s‖L2(R). (4)
Константа в правой части неравенства (4) неулучшаема.
Отметим, что обобщение неравенства (2) на случай производных любого по-
рядка k ≤ m можно легко получить с помощью неравенства (2) и неравенства
Колмогорова: для s ∈ Sm,h ∩ L∞(R)
‖s(k)‖L∞(R) 6
Km−k
K
1−k/m
m
‖s‖1−k/mL∞(R) ‖s
(m)‖k/mL∞(R) 6
(π
h
)k Km−k
Km
‖s‖L∞(R). (5)
Для доказательства теоремы 1 мы используем два подхода. Первый из них
аналогичен подходу, использованному в работе [4], и позволит получить нера-
венство (4) с явным значением константы. При втором подходе, основанном на
использовании анализа Фурье, получим неравенство типа (4) с точной константой,
записанной в менее явной форме, однако в сочетании с полученной первым ме-
тодом оценкой константы это позволит показать, что константа в неравенстве (4)
является точной.
Использовав анализ Фурье, мы (см. ниже теорему 2), наряду с неравенствами
типа (4), для сплайнов s ∈ Sm,h таких, что ŝ ∈ Lp(R), 1 ≤ p <∞, получим точные
неравенства, оценивающие ‖ŝ(k)‖Lp(R) через ‖ŝ‖Lp(R)
(
здесь и везде ниже
f̂(ω) =
∫
R
f(x)e−iωxdx
— преобразование Фурье функции f
)
. Такие неравенства представляют интерес
для изучения экстремальных задач теории аппроксимации в пространствах обоб-
щенных функций умеренного роста, преобразования Фурье которых принадлежат
заданному пространству Lp(R). Пространства обобщенных функций умеренно-
го роста, преобразования Фурье которых принадлежат заданному весовому про-
странству Lp(R), называются пространствами Хермандера (см. [8] – [10] по пово-
ду теории и приложений таких пространств). Интересные результаты по исследо-
ванию экстремальных задач теории аппроксимации в пространствах Хермандера
получены в [11, 12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СПЛАЙНОВ, ЗАДАННЫХ . . . 605
Теорема 2. Пусть p ∈ [1,∞), m, k ∈ N, k ≤ m. Для любого сплайна s ∈ Sm,h
такого, что ŝ ∈ Lp(R), при всех p ∈ [1,∞), если k < m, и при p ∈ (1,∞), если
k = m, выполняется неулучшаемое неравенство
‖ŝ(k)‖Lp(R) 6
{
1
hkp
max
ω
Ap;m,k(ω)
}1/p
‖ŝ‖Lp(R), (6)
где
Ap;m,k(ω) =
∑
l∈Z
1
|ω + 2πl|p(m−k+1)∑
l∈Z
1
|ω + 2πl|p(m+1)
. (7)
2. Доказательства. Доказательство теоремы 1. Учитывая, что s(x) ∈ Sm,h
тогда и только тогда, когда sh(x) = s(hx) ∈ Sm,1, а также тот факт, что
‖s‖2L2(R) = h‖sh‖2L2(R), ‖s(k)‖2L2(R) = h−2k+1‖s(k)h ‖
2
L2(R),
нетрудно убедиться в том, что неравенство (4) и его точность достаточно доказать
для h = 1, что мы и будем предполагать в ходе данного доказательства.
Любой сплайн из Sm,1 однозначно представим (см., например, [13] (гл. 4), [14]
(гл. 7)) в виде
s(x) =
∑
ν∈Z
cνNm+1(x− ν), (8)
где Nm(x) — B-сплайн порядка m, заданный равенством
Nm(x) =
1
(m− 1)!
m∑
k=0
(−1)kCkm(x− k)m−1+ ,
или, что эквивалентно, равенством
Nm(x) := (Nm−1 ∗N1)(x) =
1∫
0
Nm−1(x− t)dt, m ≥ 2,
N1 — характеристическая функция интервала [0, 1).
Пусть s ∈ Sm,1
⋂
L2(R). Рассмотрим свертку
(s ∗ s)(x) =
∫
R
s(t− x)s(t)dt =
=
∑
k∈Z
∑
j∈Z
ckcj
∫
R
Nm+1(t− x− k)Nm+1(t− j)dt =: s̃(x).
Ясно, что s̃(x) = (s ∗ s)(x) ∈ S2m+1,1 ∩ L∞(R). При этом
1) ‖s‖2L2(R) = (s ∗ s)(0) = ‖s ∗ s‖L∞(R) = ‖s̃‖L∞(R),
2) ‖s̃′‖L2(R) = (s′ ∗ s′)(0) = (s ∗ s)′′(0) = ‖s̃′′‖L∞(R).
Учитывая, что s̃(x) ∈ S2m+1,1 ∩L∞(R), и используя неравенство (5), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
606 В. Ф. БАБЕНКО, В. А. ЗОНТОВ
‖s′‖2L2(R) = ‖s̃′′‖L∞(R) 6
π2K2m−1
K2m+1
‖s̃‖L∞(R) =
π2K2m−1
K2m+1
‖s‖2L2(R).
Таким образом, для h = 1 и k = 1 установлено неравенство
‖s′‖2L2(R) 6
π2K2m−1
K2m+1
‖s‖2L2(R).
По индукции для любого k < m получим
‖s(k)‖2L2(R) 6
π2kK2(m−k)+1
K2m+1
‖s‖2L2(R). (9)
Таким образом, неравенство (4) при h = 1 доказано.
Другой подход к доказательству неравенства (4) состоит в следующем. Исполь-
зуя стандартные свойства преобразования Фурье, для сплайна s вида (8) получаем
ŝ(ω) = ms(ω)N̂m+1(ω)
и
ŝ(k)(ω) = (−iω)kms(ω)N̂m+1(ω),
где
ms(ω) : =
∑
ν∈Z
cνe
iνω.
Используя равенство Планшереля, имеем
‖s‖2L2(R) =
1
2π
∫
R
|ŝ(ω)|2dω =
1
2π
∫
R
∣∣∣ms(ω)N̂m+1(ω)
∣∣∣2dω =
=
1
2π
2π∫
0
∣∣ms(ω)
∣∣2∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2dω (10)
и аналогично
‖s(k)‖
2
L2(R) =
1
2π
2π∫
0
∣∣ms(ω)
∣∣2∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2dω. (11)
Положим
Am,k(ω) : =
∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2 . (12)
Функция, стоящая в знаменателе правой части (12), непрерывна и не обращается
в нуль ни в одной точке (см. [13, с. 150 – 152]). Учитывая (см. [13, с. 153]), что∣∣∣N̂m+1(ω)
∣∣∣2 =
∣∣∣∣1− e−iωiω
∣∣∣∣2m+2
, (13)
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СПЛАЙНОВ, ЗАДАННЫХ . . . 607
∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2 =
∑
l∈Z
|1− e−iω|2m+2
(ω + 2πl)2m−2k+2
=
= |1− e−iω|2k
∑
l∈Z
∣∣N̂m−k+1(ω + 2πl)
∣∣2.
Таким образом, числитель правой части (12) также является непрерывной 2π-
периодической функцией. Следовательно, A(ω) — непрерывная на всей числовой
оси 2π-периодическая функция, которую можно представить в виде
Am,k(ω) =
∑
l∈Z
1
(ω + 2πl)2m−2k+2∑
l∈Z
1
(ω + 2πl)2m+2
. (14)
Используя (10) – (12), получаем
‖s(k)‖
2
L2(R) =
=
1
2π
2π∫
0
Am,k(ω)
∣∣ms(ω)
∣∣2∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣2dω ≤ max
ω
A(ω)‖s‖2L2(R).
Таким образом, доказано неравенство
‖s(k)‖
2
L2(R) ≤ max
ω
Am,k(ω)‖s‖2L2(R). (15)
Покажем, что константа max
ω
Am,k(ω) в этом неравенстве неулучшаема.
Пусть Φn(ω) — ядро Фейера,
Φn(ω) =
sin2 (n+ 1)ω
2
(n+ 1) sin2
(ω
2
) , n ∈ N.
Для любой непрерывной 2π-периодической функции f последовательность 1
2π
2π∫
0
f(ω)Φn(ω − ξ)dω
∞
n=1
равномерно на всей числовой оси сходится к f(ξ) при n→∞.
Пусть max
ω
Am,k(ω) = Am,k(ω0). Положим
mn(ω) =
√
Φn(ω − ω0). (16)
Разложим mn(ω) в ряд Фурье
mn(ω) =
∑
ν∈Z
cν,ne
iνω
и определим последовательность сплайнов sn(x), положив
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
608 В. Ф. БАБЕНКО, В. А. ЗОНТОВ
sn(x) =
∑
ν∈Z
cν,nNm+1(x− ν),
или, в образах Фурье,
ŝn(ω) =
∑
ν∈Z
cν,ne
iνωN̂m+1(ω) = mn(ω)N̂m+1(ω).
Учитывая (10), (11) и определение (16) функции mn(ω), имеем
‖sn‖2L2(R) =
1
2π
2π∫
0
|mn(ω)|2
∑
l∈Z
|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω =
=
1
2π
2π∫
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω,
∥∥s(k)n
∥∥2
L2(R)
=
1
2π
2π∫
0
|mn(ω)|2
∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω =
=
1
2π
2π∫
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω.
При n→∞ получаем ∥∥s(k)n
∥∥2
L2(R)
‖sn‖2L2(R)
=
=
∫ 2π
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
(ω + 2πl)2k|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω∫ 2π
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
|N̂m+1(ω + 2πl)|2dω
→
→
∑
l∈Z
(ω0 + 2πl)2k|N̂m+1(ω0 + 2πl)|2∑
l∈Z
|N̂m+1(ω0 + 2πl)|2
= Am,k(ω0) = max
ω
Am,k(ω).
Таким образом, мы показали неулучшаемость константы в (15).
Вследствие (14)
max
ω
Am,k(ω) ≥ Am,k(π) =
π2kK2(m−k)+1
K2m+1
.
С другой стороны, в силу (9) и доказанной неулучшаемости константы max
ω
Am,k(ω)
в (15)
max
ω
Am,k(ω) ≤
π2kK2(m−k)+1
K2m+1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СПЛАЙНОВ, ЗАДАННЫХ . . . 609
Таким образом,
max
ω
Am,k(ω) = Am,k(π) =
π2kK2(m−k)+1
K2m+1
. (17)
Неулучшаемость константы в неравенстве (9), а значит и в (4), доказана.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Доказывая теорему 2, мы так же, не уменьшая
общности, можем считать, что h = 1. Это следует из того факта, что s(x) ∈ Sm,h
тогда и только тогда, когда sh(x) = s(hx) ∈ Sm,1, и соотношений
‖ŝ‖pLp(R) = hp−1‖ŝh‖pLp(R), |ŝ(k)‖pLp(R) = h−p(k+1)−1‖ŝ(k)h ‖
p
Lp(R).
Как и при установлении соотношений (10) и (11), будем иметь
‖ŝ‖pLp(R) =
∫
R
|ŝ(ω)|pdω =
2π∫
0
∣∣ms(ω)
∣∣p∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣pdω (18)
и
‖s(k)‖
p
Lp(R) =
2π∫
0
∣∣ms(ω)
∣∣p∑
l∈Z
|ω + 2πl|pk
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣pdω. (19)
Положим
Ap;m,k(ω) :=
∑
l∈Z
|ω + 2πl|pk
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣p∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣p . (20)
Учитывая (13), нетрудно убедиться в том, что в условиях теоремы 2 ряды,
стоящие в числителе и знаменателе (20), равномерно на всей оси сходятся и,
следовательно, их суммы непрерывны, причем знаменатель ни в одной точке не
равен нулю. Таким образом, Ap;m,k(ω) — непрерывная на всей числовой оси 2π-
периодическая функция.
Используя (18) – (20), получаем
‖ŝ(k)‖
p
Lp(R) =
2π∫
0
Ap;m,k(ω)
∣∣ms(ω)
∣∣p∑
l∈Z
∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣pdω ≤
≤ max
ω
Ap;m,k(ω)‖ŝ‖pLp(R).
Таким образом, доказано неравенство
‖ŝ(k)‖
p
Lp(R) ≤ max
ω
Ap;m,k(ω)‖ŝ‖pLp(R). (21)
Докажем точность константы max
ω
Ap;m,k(ω) в (21). Положим для p <∞
mn,p(ω) =
{
Φn(ω − ω0)
}1/p
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
610 В. Ф. БАБЕНКО, В. А. ЗОНТОВ
где ω0 таково, что max
ω
Ap;m,k(ω) = Ap;m,k(ω0). Разложим функцию mn,p в ряд
Фурье
mn,p(ω) =
∑
ν∈Z
cν,n,pe
iνω
и определим последовательность сплайнов sn(x), положив
sn(x) =
∑
ν∈Z
cν,n,pNm+1(x− ν),
или, в образах Фурье,
ŝn(ω) =
∑
ν∈Z
cν,n,pe
iνωN̂m+1(ω) = mn,p(ω)N̂m+1(ω).
Тогда
‖ŝn‖pLp(R) =
2π∫
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
∣∣∣N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣∣p dω
и ∥∥∥∥ŝ(k)n
∥∥∥∥p
Lp(R)
=
2π∫
0
Φn(ω − ω0)
∑
l∈Z
∣∣∣ω + 2πl
∣∣kp∣∣ N̂m+1(ω + 2πl)
∣∣∣p dω.
При n→∞ имеем
‖ŝn‖pLp(R) →
∑
l∈Z
∣∣∣N̂m+1(ω0 + 2πl)
∣∣∣p
и ∥∥∥∥ŝ(k)n
∥∥∥∥p
Lp(R)
→
∑
l∈Z
∣∣∣ω0 + 2πl
∣∣kp∣∣ N̂m+1(ω0 + 2πl)
∣∣∣p .
Отсюда следует точность константы в (21).
Теорема 2 доказана.
3. Замечания. Учитывая (13), функцию Ap;m,k(ω) для ω 6= 2πl, l ∈ Z, можно
представить в виде
Ap;m,k(ω) =
∑
l∈Z
1
|ω + 2πl|pm−pk+p∑
l∈Z
1
|ω + 2πl|pm+p
. (22)
Отметим, что A2;m,k(ω) = Am,k(ω). Из (17) и (22) следует, что если числа p, m, k
таковы, что показатели степени в числителе и знаменателе (22) можно представить
соответственно в виде
p(m− k + 1) = 2(n− r + 1),
p(m+ 1) = 2(n+ 1),
где n, r ∈ N, r 6 n, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА ДЛЯ СПЛАЙНОВ, ЗАДАННЫХ . . . 611
max
ω
Ap;m,k(ω) = Ap;m,k(π) =
π2rK2(n−r)+1
K2n+1
.
В частности, если p = 2ν, ν ∈ N, то при любых m, k, k ≤ m
n = νm+ ν − 1, r = νk
и
max
ω
Ap;m,k(ω) = Ap;m,k(π) =
πpkKp(m−k+1)−1
Kp(m+1)−1
. (23)
Если p = 2ν + 1, ν ∈ Z+, то соотношение (23) имеет место, если m нечетное, а k
четное.
1. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 c.
2. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших
приближений // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
3. Субботин Ю. Н. О кусочно-полиномиальной интерполяции // Мат. заметки. – 1967. – 1, № 1. –
С. 24 – 29.
4. Бабенко В. Ф., Пичугов А. С. Неравенства типа Бернштейна для полиномиальных сплайнов в
пространстве L2 // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 3. – С. 420 – 422.
5. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 304 с.
6. Магарил-Ильяев Г. Г. О наилучшем приближении сплайнами классов функций на прямой // Труды
Мат. ин-та РАН. – 1992. – 194. – С. 48 – 159.
7. Бабенко В. Ф., Спектор С. А. Неравенства типа Бернштейна для сплайнов в пространстве L2(R)
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. – 2008. – 16, № 6/1. – С. 21 – 27.
8. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир,
1965. – 380 с.
9. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения
// Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
10. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. –
Киев, 2010. – 372 с.
11. Стрелков Н. А. Проекционно-сеточные поперечники и решетчатые укладки // Мат. сб. – 1991. –
182, № 10. – С. 1513 – 1533.
12. Стрелков Н. А. Универсально оптимальные всплески // Мат. сб. – 1997. – 188, № 1. – С. 147 – 160.
13. Чуи К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.
14. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ, 1999. – 550 c.
Получено 04.02.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2746 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:30Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/bbc0d65f2966b3ee09a7e6a7c580f0f9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27462020-03-18T19:35:13Z Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis Неравенства типа Бернштейна для сплайнов, заданных на действительной оси Babenko, V. F. Zontov, V. A. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. We obtain the exact inequalities of the Bernstein type for splines $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$ as well as the exact inequalities that, for splines $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, estimate $L_p$-norms of the Fourier transforms of their $k$-th derivative by $L_p$-norms of the Fourier transforms of splines themselves. Отримано точнi нерiвностi типу Бернштейна для сплайнiв $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$, а також точнi нерiвностi, якi для сплайнiв $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, оцiнюють $L_p$-норми перетворень Фур’є $k$-ї похiдної через $L_p$-норми перетворень Фур’є самих сплайнiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2746 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 603-611 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 603-611 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2746/2248 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2746/2249 Copyright (c) 2011 Babenko V. F.; Zontov V. A. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Zontov, V. A. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. Бабенко, В. Ф. Зонтов, В. А. Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title | Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title_alt | Неравенства типа Бернштейна для сплайнов, заданных на действительной оси |
| title_full | Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title_fullStr | Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title_full_unstemmed | Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title_short | Bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| title_sort | bernstein-type inequalities for splines defined on the real axis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2746 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT zontovva bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT babenkovf bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT zontovva bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT babenkovf bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT zontovva bernsteintypeinequalitiesforsplinesdefinedontherealaxis AT babenkovf neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi AT zontovva neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi AT babenkovf neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi AT zontovva neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi AT babenkovf neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi AT zontovva neravenstvatipabernštejnadlâsplajnovzadannyhnadejstvitelʹnojosi |