Maxwell distributions in a model of rough spheres
The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2748 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508712200830976 |
|---|---|
| author | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. |
| author_facet | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. |
| author_sort | Gordevskii, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-onal and rotational energies.
The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 533.72
В. Д. Гордевский, А. А. Гукалов (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР
The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-
onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The
main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed.
Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну,
так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї
моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу.
1. Введение. В данной статье рассматривается модель шероховатых сфер [1], ко-
торая впервые была введена в 1894 г. Брианом [2]. Методы, развитые Чепменом
и Энскогом для общих невращающихся сферических молекул, в 1922 г. были рас-
пространены на модель Бриана Пиддаком [3]. Преимущество этой модели перед
всеми другими моделями, допускающими изменение состояния вращения моле-
кул, состоит в том, что здесь не требуется никаких переменных, определяющих
ориентацию молекулы в пространстве.
Указанные молекулы являются абсолютно упругими и абсолютно шерохова-
тыми, что означает следующее. При столкновении двух молекул приходящие в
соприкосновение точки не имеют в общем случае одинаковой скорости. Предпола-
гается, что две сферы зацепляют одна другую без скольжения. В начальный момент
сферы деформируют одна другую, а затем энергия деформации возвращается об-
ратно в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения без
каких-либо потерь. В результате относительная скорость сфер в точке их сопри-
косновения изменяется при ударе на обратную.
Уравнение Больцмана для модели шероховатых сфер имеет вид [1 – 6]
D(f) = Q(f, f), (1)
D(f) =
∂f
∂t
+
(
V,
∂f
∂x
)
, (2)
Q(f, f) =
d2
2
∫
R3
dV1
∫
R3
dω1
∫
Σ
dαB(V − V1, α)×
×
[
f(t, V ∗1 , x, ω
∗
1)f(t, V ∗, x, ω∗)− f(t, V, x, ω)f(t, V1, x, ω1)
]
. (3)
Здесь d — диаметр молекулы, который связан с моментом инерции I соотношением
I =
bd2
4
, (4)
где b — параметр, b ∈
(
0,
2
3
]
, характеризующий изотропное распределение ве-
щества внутри молекулы; t — время; x = (x1, x2, x3) ∈ R3 — пространственная
координата; V = (V 1, V 2, V 3) и w = (w1, w2, w3) ∈ R3 — линейная и угловая ско-
рости молекулы соответственно;
∂f
∂x
— градиент функции f по переменной x; Σ —
c© В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5 629
630 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
единичная сфера в пространстве R3; α — единичный вектор из R3, соединяющий
центры сталкивающихся молекул;
B (V − V1, α) = |(V − V1, α)| − (V − V1, α) (5)
— ядро интеграла столкновений.
Линейные (V ∗, V ∗1 ) и угловые (w∗, w∗1) скорости молекул после столкновения
выражаются через соответствующие скорости до столкновения следующим обра-
зом:
V ∗ = V − 1
b+ 1
(
b(V1 − V )− bd
2
α× (ω + ω1) + α(α, V1 − V )
)
,
V ∗1 = V1 +
1
b+ 1
(
b(V1 − V )− bd
2
α× (ω + ω1) + α(α, V1 − V )
)
,
ω∗ = ω +
2
d(b+ 1)
{
α× (V − V1) +
d
2
[α(ω + ω1, α)− ω − ω1]
}
,
ω∗1 = ω1 +
2
d(b+ 1)
{
α× (V − V1) +
d
2
[α(ω + ω1, α)− ω − ω1]
}
,
(6)
знаком × обозначено векторное произведение.
2. Постановка задачи и основные результаты. Единственным точным ре-
шением уравнения Больцмана (1), которое известно в явном виде до настоящего
времени, является выражение, аналогичное полученному Максвеллом в 1899 г. для
случая модели твердых сфер, т. е. удовлетворяющее системе
D(f) = 0,
Q(f, f) = 0.
(7)
Для рассматриваемой нами модели такое выражение тоже использовалось в
монографии [1], где утверждалось, что логарифм этого выражения имеет вид
ln f = α(1) + α(2)V − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(4)(Iω + [x× V ]). (8)
В общем случае коэффициенты α(i), i = 1, . . . , 4, зависят и от времени, и от
пространственной координаты. В монографии [1] исследованы только два частных
случая: так называемый глобальный максвеллиан (когда рассматриваемое выраже-
ние зависит только от линейной и угловой скоростей молекулы) и один из локаль-
ных (так называемый винт или спираль, у которого в отличие от глобального есть
еще зависимость и от пространственной координаты).
Однако при непосредственной подстановке выражения (8) в выражения (2) и
(3) оказывается, что в общем случае оно не удовлетворяет системе (7), что по-
казано в приложении. Именно, нетрудно убедиться в том, что выражение (8) не
должно содержать слагаемое α(4)Iω. Это объясняется тем, что авторы посчитали
равными среднюю угловую скорость по всем молекулам и угловую скорость га-
за в целом (как твердого тела), что в действительности не всегда верно. Однако,
даже исправляя эту неточность, мы не получим наиболее общего выражения, опи-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 631
сывающего максвеллиан в газе из шероховатых молекул, так как возможный вид
коэффициентов α(i), i = 1, . . . , 4, нигде не исследовался.
Поэтому целью данной работы является поиск такого выражения, а также иссле-
дование его физического смысла и выделение особо интересных частных случаев
подобно тому, как это было сделано для модели твердых сфер в [7 – 10] (некоторые
результаты в этом направлении можна найти также в [11, 12]).
Итак, исправляя обнаруженную неточность, имеем
ln f = α(1) + α(2)V − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(4)[x× V ]. (9)
Предполагая теперь, что коэффициенты α(i) зависят от t и x, преобразуем выраже-
ние (9):
ln f = α(1) − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(2) · V − (V, [x× α(4)]) =
= α(1) − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ (V, α(2) − [x× α(4)]). (10)
Введем следущие обозначения:
α(1) = a(t, x), a(t, x) : R4 → R1,
α(3) = −2b(t, x), b(t, x) : R4 → R1,
α(2) + [α(4) × x] = c(t, x), c(t, x) : R4 → R3.
Перепишем равенство (10) в новых обозначениях:
ln f = a(t, x) + b(t, x)(V 2 + Iω2) + c(t, x) · V =
= a(t, x) + b(t, x)(V 1)2 + b(t, x)(V 2)2+
+b(t, x)(V 3)2 + Ib(t, x)(ω1)2 + Ib(t, x)(ω2)2 + Ib(t, x)(ω3)2+
+c1(t, x)V 1 + c2(t, x) · V 2 + c3(t, x) · V 3.
Потребуем, чтобы выражение (2) тождественно было равно нулю в соответ-
ствии с (7)
(
вместо функции f будем подставлять выражение ln f, ибо (ln f)′ =
1
f
f ′
и
1
f
6= 0
)
:
∂a
∂t
+ (V 1)2 ∂b
∂t
+ (V 2)2 ∂b
∂t
+
+(V 3)2 ∂b
∂t
+ I(ω1)2 ∂b
∂t
+ I(ω2)2 ∂b
∂t
+ I(ω3)2 ∂b
∂t
+ V 1 ∂c1
∂t
+
+V 2 ∂c2
∂t
+ V 3 ∂c3
∂t
+ V 1 ∂a
∂x1
+ (V 1)3 ∂b
∂x1
+ V 1(V 2)2 ∂b
∂x1
+ V 1(V 3)2 ∂b
∂x1
+
+IV 1(ω1)2 ∂b
∂x1
+ IV 1(ω2)2 ∂b
∂x1
+ IV 1(ω3)2 ∂b
∂x1
+ (V 1)2 ∂c1
∂x1
+ V 1V 2 ∂c2
∂x1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
632 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
+V 1V 3 ∂c3
∂x1
+ V 2 ∂a
∂x2
+ (V 1)2V 2 ∂b
∂x2
+ (V 2)3 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω1)2 ∂b
∂x2
+
+V 2(V 3)2 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω2)2 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω3)2 ∂b
∂x2
+ V 1V 2 ∂c1
∂x2
+ (V 2)2 ∂c2
∂x2
+
+V 2V 3 ∂c3
∂x2
+ V 3 ∂a
∂x3
+ (V 1)2V 3 ∂b
∂x3
+ (V 2)2V 3 ∂b
∂x3
+
+(V 3)3 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω1)2 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω2)2 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω3)2 ∂b
∂x3
+
+V 1V 3 ∂c1
∂x3
+ V 2V 3 ∂c2
∂x3
+ (V 3)2 ∂c3
∂x3
≡ 0.
Приравнивая коэффициенты при компонентах векторов V и ω и их различных
степенях, а также произведениях, имеем:
1)
∂a
∂t
= 0, а значит, a = a(x);
2) для любого i = 1, 2, 3 при (ωi)2 ∂b
∂t
= 0, тогда b = b(x); при (V i)3 ∂b
∂xi
=
= 0, т. е. b = b(t).
Итак, b = const ∈ R1.
Учитывая найденный вид функций a и b, из остальных соотношений получаем
следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:
∂c1
∂x1
= 0, (11.1)
∂c2
∂x2
= 0, (11.2)
∂c3
∂x3
= 0, (11.3)
∂c1
∂t
+
∂a
∂x1
= 0, (11.4)
∂c2
∂t
+
∂a
∂x2
= 0, (11.5)
∂c3
∂t
+
∂a
∂x3
= 0, (11.6)
∂c2
∂x1
+
∂c1
∂x2
= 0, (11.7)
∂c3
∂x1
+
∂c1
∂x3
= 0, (11.8)
∂c3
∂x2
+
∂c2
∂x3
= 0. (11.9)
Из уравнений (11.1) – (11.3) имеем
c1 = c1(t, x2, x3),
c2 = c2(t, x1, x3),
c3 = c3(t, x1, x2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 633
Определим вид функции c1.
Из уравнения (11.1) следует, что
∂2c1
∂x2∂x1
= 0 и
∂2c1
∂x3∂x1
= 0.
Продифференцируем уравнение (11.7) по x3, а уравнение (11.8) по x2:
∂2c2
∂x3∂x1
+
∂2c1
∂x3∂x2
= 0,
∂2c3
∂x2∂x1
+
∂2c1
∂x2∂x3
= 0.
Складывая почленно полученные равенства, получаем
∂2c2
∂x3∂x1
+
∂2c3
∂x2∂x1
+ 2
∂2c1
∂x3∂x2
= 0.
Поскольку производная по x1 уравнения (11.9) такова:
∂2c3
∂x1∂x2
+
∂2c2
∂x1∂x3
= 0,
получаем
∂2c1
∂x3∂x2
= 0.
Очевидно, что
∂2c1
∂(x1)2
= 0, а с учетом полученных выше выражений для c1, c2,
c3 из уравнения (11.7) следует
∂2c1
∂(x2)2
= 0, а из (11.8) вытекает
∂2c1
∂(x3)2
= 0.
Значит, c1 — линейная функция от x2 и x3, но коэффициенты при данных
компонентах пространственной координаты могут зависеть и от t.
Аналогично, можно показать, что c2 — линейная функция от x1 и x3, но коэф-
фициенты могут зависеть от t, а c3 — линейная функция от x1 и x2 и коэффициенты
тоже могут зависеть от t.
Таким образом, функции c1, c2 и c3 имеют вид
c1(t, x2, x3) = c11(t) + c12(t) · x2 + c13(t) · x3,
c2(t, x1, x3) = c21(t) + c22(t) · x1 + c23(t) · x3,
c3(t, x1, x2) = c31(t) + c32(t) · x1 + c33(t) · x2.
Теперь, использовав уравнения (11.7) – (11.9), определим зависимость между неко-
торыми cij .
Из (11.7) следует, что c22(t) + c12(t) = 0, т. е. c22(t) = −c12(t). Аналогично
c32(t)+c13(t) = 0, т. е. c32(t) = −c13(t), и c33(t)+c23(t) = 0, т. е. c33(t) = −c23(t).
Далее, из (11.4) получаем
c′11(t) + c′12(t)x2 + c′13(t)x3 = − ∂a
∂x1
.
Нам известно, что a = a(x), значит, c′11(t) = C, c′12(t) = C1, c
′
13(t) = C2,
C, C1, C2 ∈ R1. Отсюда
c11(t) = C · t+ C3,
c12(t) = C1 · t+ C4,
c13(t) = C2 · t+ C5,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
634 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
c22(t) = −C1 · t− C4,
c32(t) = −C2 · t− C5, C3, C4, C5 ∈ R1.
Итак,
∂a
∂x1
= −C − C1 · x2 − C2 · x3, т. е.
a = −Cx1 − C1x
1x2 − C2x
1x3 + ϕ(x2, x3). (12)
Из (11.5) имеем c′21(t) − C1x
1 + c′23(t)x3 = − ∂a
∂x2
. Но a = a(x), значит, c′21(t) =
= C6, c
′
23(t) = C7, C6, C7 ∈ R1, т. е.
c21(t) = C6 · t+ C8,
c23(t) = C7 · t+ C9,
c33(t) = −C7 · t− C9, C8, C9 ∈ R1.
Следовательно,
∂a
∂x2
= −C6 + C1x
1 − C7x
3,
или
a = −C6x
2 + C1x
1x2 − C7x
2x3 + ϕ1(x1, x3). (13)
Из (11.6) имеем c′31(t)− C2 · x1 − C7 · x2 = − ∂a
∂x3
.
Как было отмечено, c′31(t) = C10, откуда c31(t) = C10 · t+ C11, C10, C11 ∈ R1.
Наконец,
∂a
∂x3
= −C10 + C2 · x1 + C7 · x2,
значит,
a = −C10x
3 + C2x
1x3 + C7x
2x3 + ϕ2(x1, x2). (14)
Итак, получены выражения (12) – (14), которые описывают искомую функцию
a = a(x), но в них содержатся неизвестные функции ϕ(x2, x3), ϕ1(x1, x3) и
ϕ2(x1, x2). С целью уточнения вида функций ϕ,ϕ1 и ϕ2, а также окончательного
представления функции a(x) подставим выражения (12) – (14) в уравнения (11.4),
(11.5) и (11.6).
При подстановке (12) в (11.4) получаем тождество, так как (12) получено из
(11.4), а при подстановке в (11.5) C6−C1x
1 +C7x
3−C1x
1 +
∂ϕ(x2, x3)
∂x2
= 0. Тогда
ϕ = −C7x
2x3 − C6x
2 + ψ(x3), а из (11.6) имеем C10 − C2x
1 − C7x
2 − C2x
1 +
+
∂ϕ(x2, x3)
∂x3
= 0, C10 − 2C2x
1 − 2C7x
2 +
∂ψ
∂x3
= 0, т. е. C2 ≡ 0 и C7 ≡ 0,
ψ = −C10 · x3 +D. Значит, (12) преобразуется следующим образом:
a(x) = −Cx1 − C1x
1x2 − C6x
2 − C10x
3 +D, D ∈ R1.
Подставляя (13) в уравнения (11.4), (11.6), получаем C + 2C1x
2 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x1
=
= 0. Поскольку здесь последнее слагаемое не зависит от x2, то C1 ≡ 0, и тогда
ϕ1(x1, x3) = −C · x1 + ξ(x3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 635
Далее, при подстановке (13) в (11.5) и (11.6) имеем
C6 − C6 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x2
= 0,
C10 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x3
= 0,
откуда C10 +
∂ξ
∂x3
= 0, значит, ξ(x3) = −C10 · x3 +D1, D1 ∈ R1.
Итак, (13) преобразуется в
a(x) = −C6x
2 − Cx1 − C10x
3 +D1.
Аналогично, подставляя (14) в уравнения (11.4) – (11.6), получаем
a(x) = −C10x
3 − Cx1 − C6x
2 +D2,
где D2 ∈ R1.
Таким образом, мы показали, что
a(x) = −Cx1 − C6x
2 − C10x
3 +D = (−C,−C6,−C10)x+D.
Так же преобразовались функции cik, i = 1, . . . , 3, k = 1, . . . , 3 :
c11(t) = C · t+ C3, c12(t) = C4, c23(t) = C9,
c21(t) = C6 · t+ C8, c13(t) = C5, c32(t) = −C5,
c31(t) = C10 · t+ C11, c22(t) = −C4, c33(t) = −C9,
C, C3, C4, C5, C6, C8, C9, C10, C11 ∈ R1.
Окончательно имеем
a(x) = (−C,−C6,−C10)(x1, x2, x3) +D,
c(t, x) =
C
C6
C10
t+
C4x
2 + C5x
3 + C3
−C4x
1 + C9x
3 + C8
−C5x
1 − C9x
2 + C11
.
Итак, получено следующее решение системы (11.1) – (11.9) (здесь за вновь вве-
денными векторными и скалярными константами сохранены обозначения, исполь-
зованные выше для иных величин):
a(x) = Cx+ C1, C ∈ R3, C1 ∈ R1,
b(x) = C2, C2 ∈ R1,
c(t, x) = −Ct+ C3 + [C4 × x], C3, C4 ∈ R3.
Возвращаясь к начальным обозначениям, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
636 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
α(1) = Cx+ C1,
α(2) = −Ct+ C3,
α(3) = −2C2,
α(4) = C4.
(15)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Общий вид максвеллианов для модели шероховатых молекул за-
дается формулами (9), (15), где C, C1, C2, C3, C4 — произвольные числовые и
векторные константы.
3. Физический смысл найденного решения. Основные частные случаи.
Подставим найденные коэффициенты (15) в выражение (10) и преобразуем:
ln f = Cx+ C1 + C2(V 2 + Iω2) + V (−Ct+ C3 + [C4 × x]) =
= Cx+ C1 + C2
(
V − Ct− C3 + [x× C4]
2C2
)2
−
− (Ct− C3 + [x× C4])2
4C2
+ IC2ω
2 =
= Cx+ C1 −
(Ct− C3 + [x× C4])2
4C2
+
+C2
((
V − Ct− C3 + [x× C4]
2C2
)2
+ Iω2
)
.
Сначала рассмотрим случай, когда C4 6= 0.
Выразив отсюда функцию f и подобрав константы C, Ci следующим образом
(подобно тому, как это было сделано в [10] в случае модели твердых сфер):
C = 2β[ω × u0]− 2βṼ , C1 = ln
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
)
,
C2 = −β, C3 = −2β[ω × x0] + 2βṼ , C4 = 2βω,
получим
f(t, V, x, ω) = ρ0I
3/2eβ([ω×(x−x0−u0t)]
2−2W̃||x)
(
β
π
)3
×
×e−β
(
(V−V̂||(t)−[ω×(x−x0−u0t)])
2
+Iω2
)
, (16)
где ω — угловая скорость потока газа в целом; V (t, x) = V̂||(t)+ [ω× (x−x0−u0t)]
— массовая скорость; x0, x0 — оси скоростей и плотностей соответственно:
x0 =
1
ω2
[
ω × Ṽ
]
, x0 =
1
ω2
[
ω × (Ṽ − u0)
]
;
u0 — произвольный вектор, перпендикулярный к ω (поступательная скорость этих
осей); β =
1
2T
— обратная температура газа; V̂||(t) = Ṽ|| + W̃||t — составляю-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 637
щая вектора V̂ (t) = Ṽ + W̃ t, параллельная ω, где Ṽ , W̃ ∈ R3 — произвольные
постоянные векторы.
Следует отметить, что, во-первых, температура газа из шероховатых сфер не
зависит от времени, а в работе [10] показано, что для модели твердых сфер такая
зависимость существует и имеет вполне конкретный вид.
Во-вторых, показатель экспоненты в выражении для плотности квадратично за-
висит от перпендикулярной по отношению к ω составляющей вектора x и лишь ли-
нейно от параллельной его составляющей (в отличие от модели твердых сфер [10],
где содержится еще слагаемое, пропорциональное x2). Далее, массовая скорость
не содержит члена, пропорционального tx, т. е. теперь невозможны движения типа
разогрев – остывание и расширение – сжатие (подробнее такие движения в случае
модели твердых сфер также описаны в [10]).
Отметим, что выражение (16) при W̃ = 0 является аналогом смерча (в справед-
ливости этого утверждения можно убедиться и непосредственно, подставив его в
систему (7)).
Теперь исследуем случай C4 ≡ 0. Имеем
ln f = Cx+ C1 −
(Ct− C3)2
4C2
+ C2
((
V − Ct− C3
2C2
)2
+ Iω2
)
.
Подберем коэффициенты Ci, i = 1, . . . , 4, следующим образом:
C = 2uβ,
C1 = ln
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
)
,
C2 = −β,
C3 = 2βV̂ .
Тогда получаем
f(t, V, x, ω) = ρ0I
3/2eβ((V̂−ut)2+2ux])
(
β
π
)3
e−β((V−V̂+ut)2+Iω2). (17)
Выражение (17) описывает движение типа ускорение – уплотнение, т. е. ω =
= 0, а u 6= 0 (подробнее о таком движении в случае модели твердых сфер см. в
работе [13]).
Также следует отметить, что „винт” (т. е. „стационарный смерч” или “спираль”
— терминология [14]) в газе из шероховатых сфер теперь имеет вид
f = ρ0I
3/2eβ[ω×(x−x0)]2
(
β
π
)3
e−β((V−Ṽ−[ω×(x−x0)])2+Iω2).
4. Приложение. Выражение (8) можно преобразовать к виду
f = ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β((V−V̂||−[ω×(x−x0)])2+I(ω−ω)2). (18)
Поскольку V̂||||ω, правую часть выражения (18) можно записать так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
638 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β((V−V̂||−[ω×(x−x0)])2+I(ω−ω)2) =
= ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β(V−V̂||)
2
×
×e2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−β[ω×(x−x0)]2−βI(ω−ω)2 =
= ρ0I
3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 . (19)
Подставим теперь представление (19) в уравнения (1) – (3). Производная по t равна
0, а градиент по x имеет вид
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 · 2β[V × ω],
т. е.
ρ0 · 2βI3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 · (V, [V × ω]) = 0,
значит, D(f) = 0.
Для того чтобы Q(f, f) также было равно нулю, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство [1] (см. также [11, 12])
f(V ∗1 , x, ω
∗
1)f(V ∗, x, ω∗)− f(V, x, ω)f(V1, x, ω1) = 0. (20)
Проверим выполнение равенства (20). Разделив его на
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3)2
6= 0 и
приравняв соответствующие аргументы экспонент, получим соотношение
−β(V ∗ − V̂||)2 − Iβ(ω∗ − ω)2 + 2β(V ∗, [ω × (x− x0)])− β(V ∗1 − V̂||)2−
−Iβ(ω∗1 − ω)2 + 2β(V ∗1 , [ω × (x− x0)]) + β(V − V̂||)2 + Iβ(ω − ω)2−
−2β(V, [ω × (x− x0)]) + β(V1 − V̂||)2 + Iβ(ω1 − ω)2−
−2β(V1, [ω × (x− x0)]) = 0.
Сократим его на (−β) 6= 0 и далее упростим, использовав следующие законы:
закон сохранения импульса:
V + V1 = V ∗ + V ∗1 ,
закон сохранения суммарной энергии:
V 2 + Iω2 + V 2
1 + Iω2
1 = (V ∗)2 + I(ω∗)2 + (V ∗1 )2 + I(ω∗1)2
(их справедливость ясна как из физических соображений, так и соотношений (6),
из которых они могут быть проверены формально).
Именно,
(V ∗ − V̂||)2 + I(ω∗ − ω)2 − 2(V ∗, [ω × (x− x0)]) + (V ∗1 − V̂||)2 + I(ω∗1 − ω)2−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 639
−2(V ∗1 , [ω × (x− x0)])− (V − V̂||)2 − I(ω − ω)2 + 2(V, [ω × (x− x0)])−
−(V1 − V̂||)2 − I(ω1 − ω)2 + 2(V1, [ω × (x− x0)]) =
= (V ∗)2 − 2V ∗V̂||+ 6 V̂ 2
|| + I(ω∗)2 − 2I(ω∗, ω)+ 6 Iω2+
+(V ∗1 )2 − 2V ∗1 V̂||+ 6 V̂ 2
|| + I(ω∗1)2 − 2I(ω∗1 , ω)+ 6 Iω2−
−V 2 + 2V V̂||− 6 V̂ 2
|| − Iω
2− 6 Iω2 + 2I(ω, ω)− V 2
1 + 2V1V̂||− 6 V̂ 2
|| − Iω
2
1+
+2I(ω1, ω)− 6 Iω2 + 2(V + V1 − V ∗ − V ∗1 , [ω × (x− x0)]) =
= (V ∗)2 + I(ω∗)2 + (V ∗1 )2 + I(ω∗1)2 − (V 2 + Iω2 + V 2
1 + Iω2
1)+
+2(V + V1 − V ∗ − V ∗1 , [ω × (x− x0)]) + 2I(ω + ω1 − ω∗ − ω∗1 , ω) =
= 2I(ω + ω1 − ω∗ − ω∗1 , ω) = 0.
Из формул (6) видно, что ω − ω∗ = ω1 − ω∗1 , значит, последнее равенство еще
упрощается: 4I(ω − ω∗, ω) = 0.
Однако, принимая во внимание, что ω — произвольный вектор из пространства
R3, убеждаемся, что в общем случае это неверно. Отсюда Q(f, f) 6= 0.
Следовательно, выражение (8) не является решением системы (7).
1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1960.
2. Bryan G. H. On the application of the determinantal relation to the kinetic theory of polyatomic gases
// Rept Brit. Assoc. Adv. Sci. – 1894. – 64. – P. 102 – 106.
3. Pidduck F. B. The kinetic theory of a special type of rigid molecule // Proc. Roy. Soc. – 1922. – A101.
– P. 101 – 110.
4. Cercignani C., Lampis M. On the kinetic theory of a dense gas of rough spheres // J. Statist. Phys. –
1988. – 53. – P. 655 – 672.
5. Gordevsky V. D. Explicit approximate solutions of the Boltzmann equation for the model of rough
spheres // Dop. NAN Ukrainy. – 2000. – № 4. – P. 10 – 13 (in Ukrainian).
6. Gordevskyy V. D. Approximate billow solutions of the kinetic Вrуаn – Pidduck equation // Math. Meth.
Appl. Sci. – 2000. – 23. – P. 1121 – 1137.
7. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
– 118 с.
8. Grad H. On the kinetic theory of racefied gases // Communs Pure and Appl. Math. – 1949. – 2, № 4. –
P. 331 – 407.
9. Фридлендер О. Г. Локально-максвелловские решения уравнения Больцмана // Прикл. математика
и механика. – 1965. – 29, № 5. – С. 973 – 977.
10. Gordevskyy V. D. On the non-stationary Maxwellians // Math. Meth. Appl. Sci. – 2004. – 27. – P. 231 –
247.
11. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – М.: Мир, 1978. – 495 с.
12. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967. – 440 с.
13. Gordevskyy V. D., Andriyasheva N. V. Interaction between “accebtaling-packing” flows in low-
temperature gas // Math. Phys., Anal., Geom. – 2009. – 5, № 1. – P. 38 – 53.
14. Gordevskyy V. D., Sysoyeva Yu. A. Interaction between non-uniform flows in a gas of rough spheres //
Mat. Fiz., Anal., Gom. – 2002. – 9, № 2. – P. 285 – 293.
Получено 28.12.09,
после доработки — 30.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2748 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:34Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d3/814aff6901b23f55bbac140a709d98d3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27482020-03-18T19:35:13Z Maxwell distributions in a model of rough spheres Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed. Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну, так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2748 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 629-639 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 629-639 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2748/2252 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2748/2253 Copyright (c) 2011 Gordevskii V. D.; Gukalov A. A. |
| spellingShingle | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. Гордевский, В. Д. Гукалов, А. А. Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_alt | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_full | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_fullStr | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_full_unstemmed | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_short | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_sort | maxwell distributions in a model of rough spheres |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2748 |
| work_keys_str_mv | AT gordevskiivd maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gukalovaa maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gordevskijvd maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gukalovaa maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gordevskijvd maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gukalovaa maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gordevskiivd maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gukalovaa maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gordevskijvd maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gukalovaa maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gordevskijvd maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gukalovaa maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer |