Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem
For a problem of optimal stabilization of solutions of a nonlinear parabolic boundary-value problem with small parameter of a nonlinear summand, we justify the form of approximate regulator on the basis of the formula of optimal synthesis of the corresponding linear quadratic problem.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2750 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508711331561472 |
|---|---|
| author | Kapustyan, O. A. Kapustyan, O. V. Sukretna, A. V. Капустян, О. А. Капустян, О. В. Сукретна, А. В. |
| author_facet | Kapustyan, O. A. Kapustyan, O. V. Sukretna, A. V. Капустян, О. А. Капустян, О. В. Сукретна, А. В. |
| author_sort | Kapustyan, O. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | For a problem of optimal stabilization of solutions of a nonlinear parabolic boundary-value problem with small parameter of a nonlinear summand,
we justify the form of approximate regulator on the basis of the formula of optimal synthesis of the corresponding linear quadratic problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Капустян, О. А. Капустян, А. В. Сукретна (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
НАБЛИЖЕНА СТАБIЛIЗАЦIЯ ДЛЯ НЕЛIНIЙНОЇ
ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
For a problem of optimal stabilization of solutions of a nonlinear parabolic boundary-value problem with small
parameter of a nonlinear summand, we justify the form of approximate regulator on the basis of the formula
of optimal synthesis of the corresponding linear quadratic problem.
Для задачи оптимальной стабилизации решений нелинейной параболической краевой задачи с малым
параметром при нелинейном слагаемом обоснована форма приближенного регулятора на основе фор-
мулы оптимального синтеза соответствующей линейно-квадратической задачи.
Вступ. Як вiдомо з [1, 2], задача оптимального синтезу (тобто знаходження оп-
тимального керування у формi зворотного зв’язку) для розподiлених систем зво-
диться до функцiонального рiвняння Беллмана, яке для деяких класiв лiнiйно-
квадратичних задач допускає явне розв’язання, а отже, знаходження точної форму-
ли синтезу. Виникає питання: чи реалiзує ця формула хоча б наближений синтез
(у сенсi близькостi значень цiльового функцiонала) у випадку малих нелiнiйних
збурень вихiдної задачi? Спираючись на загальнi результати щодо розв’язностi
систем типу реакцiї-дифузiї з негладкою нелiнiйнiстю [3], позитивну вiдповiдь на
це питання у випадку задачi на скiнченному промiжку часу отримано в [4].
У данiй роботi формулу наближеного синтезу обґрунтовано для задачi опти-
мального керування на нескiнченному промiжку часу. При цьому використано ре-
зультати про розв’язнiсть у замкненому виглядi задачi оптимальної стабiлiзацiї для
лiнiйно-квадратичних параболiчних систем [5, 6].
Постановка задачi. Основним об’єктом вивчення є наступна задача оптималь-
ної стабiлiзацiї: знайти керування
u ∈ U = L2([0,+∞)), (1)
що доставляє найменше значення функцiоналу
J(u) =
+∞∫
0
∫
Ω
y2(t, x)dx+ γu2(t)
dt, γ > 0, (2)
визначеному на розв’язках задачi
d
dt
y(t, x) = ∆y(t, x)− εf(y(t, x)) + g(x)u(t), x ∈ Ω, t > 0,
y(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,
y(0, x) = ϕ(x, ε), x ∈ Ω,
(3)
де Ω ⊂ Rn — обмежена область з кусково-гладкою межею, ε > 0 — малий параметр,
g ∈ L2(Ω) i нелiнiйне збурення f ∈ C(R) задовольняє умову: знайдуться такi сталi
C > 0, α > 0, p ≥ 2, що для кожного y ∈ R справджуються оцiнки
|f(y)| ≤ C(1 + |y|p−1), yf(y) ≥ α|y|p. (4)
c© О. В. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, А. В. СУКРЕТНА, 2011
654 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НАБЛИЖЕНА СТАБIЛIЗАЦIЯ ДЛЯ НЕЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI 655
З [3] маємо, що за умов (4) для довiльних ε > 0, ϕ(x, ε) ∈ L2(Ω), u ∈ U iснує
принаймнi один (можливо, не єдиний) розв’язок крайової задачi (3) у класi
W = Lloc
2 ([0,+∞);H1
0 (Ω)) ∩ Lloc
p ([0,+∞);Lp(Ω)) ∩ C([0,+∞);L2(Ω)),
тобто iснує функцiя y(t, x, ε) ∈ W така, що y(0, x, ε) = ϕ(x, ε), i для всiх T > 0,
ξ ∈ H1
0 (Ω) ∩ Lp(Ω), η ∈ C∞0 ((0, T )) має мiсце рiвнiсть
−
T∫
0
(
y(t, ε), ξ
)
ηt(t)dt+
T∫
0
[((
y(t, ε), ξ
))
+ ε
(
f(y(t, ε)), ξ
)]
η(t)dt =
=
T∫
0
(g, ξ)u(t)η(t)dt. (5)
Тут i далi будемо позначати через | · | i (·, ·) вiдповiдно норму i скалярний добуток
в L2(Ω), через ‖ · ‖ i ((·, ·)) вiдповiдно норму i скалярний добуток в H1
0 (Ω). При
цьому для майже всiх t > 0 виконується рiвнiсть
1
2
d
dt
∣∣y(t, ε)
∣∣2 +
∥∥y(t, ε)
∥∥2
= −ε
(
f(y(t, ε)), y(t, ε)
)
+ u(t)
(
g, y(t, ε)
)
, (6)
з якої внаслiдок (4) для довiльних t ≥ s ≥ 0 випливають апрiорнi оцiнки
d
dt
∣∣y(t, ε)
∣∣2 +
∥∥y(t, ε)
∥∥2
+ δ
∣∣y(t, ε)
∣∣2 + 2εα
∥∥y(t, ε)
∥∥p
Lp
≤ C1|u(t)|2, (7)
∣∣y(t, ε)
∣∣2 ≤ ∣∣y(s, ε)
∣∣2e−δ(t−s) + C1
t∫
s
e−δ(t−τ)|u(τ)|2dτ ≤
≤
∣∣y(s, ε)
∣∣2e−δ(t−s) + C1‖u‖2U , (8)
t∫
s
∣∣y(τ, ε)
∣∣2dτ ≤ 1
δ
(∣∣y(s, ε)
∣∣2 + C1
t∫
s
|u(τ)|2dτ
)
≤
≤ 1
δ
(∣∣y(s, ε)
∣∣2 + C1‖u‖2U
)
, (9)
де ‖u‖2U =
∫ +∞
0
|u(t)|2dt i константи δ > 0, C1 > 0 залежать лише вiд Ω, g,
C, α, p. Оцiнки (8), (9) гарантують, що для всiх ε > 0, u ∈ U, ϕ(x, ε) ∈ L2(Ω)
функцiонал (2) на розв’язках задачi (3) визначено коректно.
Нехай
{
ỹ(t, x, ε), ũ(t, ε)
}
— оптимальний процес у задачi (1) – (3), J̃ε = J(ũ(t, ε))
— вiдповiдне значення функцiонала.
Припустимо, що ϕ(x, ε)→ ϕ(x) при ε→ 0 слабко в L2(Ω), i розглянемо задачу
(1) – (3) з ε = 0 i початковою умовою ϕ(x). У цьому випадку (1) – (3) — лiнiйно-
квадратична задача без обмежень, яка згiдно з [5, 6] має єдиний оптимальний
регулятор u[y], що стабiлiзує розв’язки задачi (3) i має вигляд
u[y] = (R, y), (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
656 О. В. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, А. В. СУКРЕТНА
де
R(x) = − 1
2γ
∞∑
i=1
giXi(x)
λ2
i (1 + γi)
∈ L2(Ω),
{γi}∞i=1 — додатнi розв’язки нелiнiйної системи
γi =
1
2γ
∞∑
j=1
g2
j
λ2
j (λ
2
i + λ2
j )(1 + γi)
.
Тут
{
Xi(x)
}∞
i=1
, {λ2
i }∞i=1 — власнi функцiї та власнi числа спектральної задачi
−∆X(x) = λ2X(x),
X(x) = 0, x ∈ ∂Ω,
gi =
∫
Ω
g(x)Xi(x)dx, i ≥ 1.
Розглянемо задачу
d
dt
y(t, x) = ∆y(t, x)− εf(y(t, x)) + g(x)u[y], x ∈ Ω, t > 0,
y(t, x)|x∈∂Ω = 0, t > 0,
y(0, x) = ϕ(x, ε), x ∈ Ω.
(11)
Нехай ŷ(t, x, ε) — розв’язок задачi (11), û(t, ε) := u
[
ŷ(t, x, ε)
]
, Ĵε := J(û(t, ε)).
Мета даної роботи — обґрунтувати граничну рiвнiсть
lim
ε→0
|J̃ε − Ĵε| = 0, (12)
тобто показати, що керування û(t, ε) реалiзує близьке до оптимального значення
цiльового функцiонала (2).
Основний результат.
Лема 1. Для для довiльних ε > 0, ϕ(x, ε) ∈ L2(Ω) задача оптимального
керування (1) – (3) має принаймнi один розв’язок
{
ỹ(t, x, ε), ũ(t, ε)
}
.
Доведення проводиться стандартним чином шляхом вибору мiнiмiзуючої по-
слiдовностi з подальшим обґрунтуванням граничного переходу i доведенням опти-
мальностi отриманого керування.
Лема 2. За умови
|g|2 < 2γλ4
1 (13)
задача (11) для кожного ε > 0 та ϕ(x, ε) ∈ L2(Ω) має принаймнi один розв’язок
y(t, x, ε) ∈W, причому для будь-якого розв’язку (11) з W
J(u[y(t, x, ε)]) <∞.
Доведення. Доведення глобальної розв’язностi задачi (11) повторює вiдповiднi
мiркування для задачi (3). При цьому для кожного розв’язку y(t, x, ε) ∈ W задачi
(11) справджується оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НАБЛИЖЕНА СТАБIЛIЗАЦIЯ ДЛЯ НЕЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI 657
1
2
d
dt
∣∣y(t, ε)
∣∣2 +
∥∥y(t, ε)
∥∥2
+ αε
∥∥y(t, ε)
∥∥p
Lp
≤ |g||R|
∣∣y(t, ε)
∣∣2. (14)
Оскiльки для кожного i ≥ 1 числа γi > 0, то |R| ≤ |g|
2γλ2
1
. Отже, з умови (13) та
нерiвностi Пуанкаре випливає, що iснує κ > 0 таке, що
d
dt
∣∣y(t, ε)
∣∣2 + κ
∣∣y(t, ε)
∣∣2 ≤ 0.
Таким чином, для всiх t ≥ s ≥ 0 виконуються нерiвностi∣∣y(t, ε)
∣∣2 ≤ e−κ(t−s)∣∣y(t, ε)
∣∣2, ∣∣∣u[y(t, x, ε)]
∣∣∣ ≤ e−κ(t−s)/2|R|
∣∣y(t, ε)
∣∣, (15)
зокрема,
J
(
u
[
y(t, x, ε)
])
<∞.
Лему доведено.
Наведенi вище леми дозволяють сформулювати основний результат роботи.
Теорема. Нехай виконано умови (4), (13), ϕ(x, ε)
w→ ϕ(x) в L2(Ω),
{
ỹ(t, x, ε),
ũ(t, ε)
}
— оптимальний процес у задачi (1) – (3), J̃ε = J
(
ũ(t, ε)
)
, ŷ(t, x, ε) — роз-
в’язок задачi (11), Ĵε = J
(
û(t, ε)
)
. Тодi
lim
ε→0
|J̃ε − Ĵε| = 0. (16)
Доведення. Граничну рiвнiсть (16) буде доведено, якщо показати, що викону-
ються граничнi рiвностi
lim
ε→0
|J̃ε − J0| = 0, (17)
lim
ε→0
|Ĵε − J0| = 0, (18)
де J0 = J
(
ũ(t)
)
,
{
ỹ(t, x), ũ(t)
}
— (єдиний) оптимальний процес у задачi (1) – (3) з
ε = 0 та початковою функцiєю ϕ(x).
Спочатку доведемо рiвнiсть (17). Нехай z(t, x, ε) — розв’язок задачi (3) з керу-
ванням u = 0 ∈ U. Тодi з (8), (9) та оптимальностi ũ(t, ε) маємо оцiнку
∥∥ũ(t, ε)
∥∥2
U
≤ 1
γ
J
(
ũ(t, ε)
)
≤ 1
γ
+∞∫
0
∣∣z(t, ε)∣∣2dt ≤ ∣∣ϕ(ε)
∣∣2
γδ
. (19)
Таким чином, iснує ũ(t) ∈ U таке, що по пiдпослiдовностi
ũ(t, ε)
w→ ũ(t) в L2([0,+∞)).
Крiм того, оцiнки (7) – (9), (19) дозволяють для послiдовностi
{
ỹ(t, x, ε)
}
повторити
мiркування з [4] (теорема 1) i стверджувати, що iснує ỹ(t, x) — розв’язок задачi
(3) при ε = 0 з керуванням ũ(t) та початковою функцiєю ϕ(x) такий, що по
пiдпослiдовностi для довiльних 0 < τ < T
ỹ(t, x, ε)→ ỹ(t, x) в L2([0, T ];L2(Ω)) ∩ C([τ, T ];L2(Ω)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
658 О. В. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, А. В. СУКРЕТНА
Тодi для всiх T > 0
lim
ε→0
J̃ε ≥ lim
ε→0
JT
(
ũ(t, ε)
)
≥ JT (ũ(t)),
отже,
lim
ε→0
J̃ε ≥ J(ũ(t)). (20)
За принципом оптимальностi Беллмана для кожного T > 0 процес
{
ỹ(t, x, ε),
ũ(t, ε)
}
на [T,+∞) є оптимальним для задачi (1) – (3) з початковими даними(
T, ỹ(T, x, ε)
)
. Тодi для довiльного T > 0 виконується нерiвнiсть
+∞∫
T
∣∣ỹ(t, ε)
∣∣2dt+ γ
+∞∫
T
∣∣ũ(t, ε)
∣∣2dt ≤ +∞∫
T
∣∣p(t, ε)∣∣2dt, (21)
де p(t, x, ε) — розв’язок задачi (3) на [T,+∞) з керуванням u = 0 та початковими
даними
(
T, ỹ(T, x, ε)
)
.
З оцiнок (8), (9) одержимо
+∞∫
T
∣∣p(t, ε)∣∣2dt ≤ 1
δ
∣∣ỹ(T, ε)
∣∣2. (22)
Тепер зафiксуємо довiльне u ∈ U i вiдповiдний йому розв’язок ω(t, x, ε) зада-
чi (3).
Проводячи аналогiчнi до попереднiх мiркування, переконуємося, що по пiдпо-
слiдовностi для кожного T > 0
ω(t, x, ε)→ ω(t, x) в L2([0, T ];L2(Ω)) ∩ C([τ, T ];L2(Ω)),
де ω(t, x) — єдиний розв’язок задачi (3) при ε = 0 з керуванням u(t) та початковою
функцiєю ϕ(x). Крiм того,
+∞∫
T
∣∣ω(t, ε)
∣∣2dt ≤ 1
δ
∣∣ω(T, ε)
∣∣2 + C1
+∞∫
T
|u(t)|2dt
. (23)
Тодi з нерiвностi J̃ε ≤ J(u) та оцiнок (21) – (23) для довiльного T > 0 отримуємо
JT
(
ũ(t, ε)
)
≤
T∫
0
|ω(t, ε)|2dt+ γ
+∞∫
0
|u(t)|2dt+
1
δ
|ω(T, ε)|2 +
C1
δ
+∞∫
T
|u(t)|2dt.
(24)
Звiдси
lim
ε→0
JT
(
ũ(t, ε)
)
≥
T∫
0
∣∣ỹ(t)
∣∣2dt+ γ lim
ε→0
T∫
0
∣∣ũ(t, ε)
∣∣2dt ≥ JT (ũ(t)
)
, (25)
lim
ε→0
JT
(
ũ(t, ε)
)
≤ 1
δ
∣∣ω(T, ε)
∣∣2+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НАБЛИЖЕНА СТАБIЛIЗАЦIЯ ДЛЯ НЕЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI 659
+
T∫
0
|ω(t)|2dt+ γ
+∞∫
0
|u(t)|2dt+
C1
δ
+∞∫
T
|u(t)|2dt. (26)
Таким чином, з нерiвностей (25), (26) при T →∞ випливає, що
J(ũ(t)) ≤ J(u(t)),
отже, {ỹ(t, x), ũ(t)} — оптимальний процес у задачi (1) – (3) з ε = 0 та початковою
функцiєю ϕ(x), причому внаслiдок єдиностi керування ũ(t) має вигляд (10).
Тепер у попереднiх мiркуваннях покладемо u(t) = ũ(t). Тодi для вiдповiдних
розв’язкiв ω̃(t, x, ε) задачi (3) внаслiдок єдиностi розв’язку в задачi (3) з ε = 0
маємо, що ω̃(t, x, ε)→ ỹ(t, x) i з (21) – (24) отримуємо оцiнку
T∫
0
∣∣ỹ(t, ε)
∣∣2dt+ γ
+∞∫
0
∣∣ũ(t, ε)
∣∣2dt ≤
≤ γ
+∞∫
0
|ũ(t)|2dt+
T∫
0
∣∣ω̃(t, ε)
∣∣2dt+
+∞∫
T
∣∣ω̃(t, ε)
∣∣2dt ≤
≤ 1
δ
∣∣ω̃(T, ε)
∣∣2 + γ
+∞∫
0
∣∣ũ(t)
∣∣2dt+
T∫
0
∣∣ω̃(t, ε)
∣∣2dt+
C1
δ
+∞∫
T
∣∣ũ(t)
∣∣2dt. (27)
Тодi
γ lim
ε→0
+∞∫
0
∣∣ũ(t, ε)
∣∣2dt ≤ +∞∫
0
∣∣ũ(t)
∣∣2dt+
1
δ
∣∣ỹ(T )
∣∣2 +
C1
δ
+∞∫
T
∣∣ũ(t)
∣∣2dt
i при T →∞ одержуємо
lim
ε→0
+∞∫
0
∣∣ũ(t, ε)
∣∣2dt ≤ +∞∫
0
∣∣ũ(t)
∣∣2dt, (28)
що разом зi слабкою збiжнiстю гарантує сильну збiжнiсть ũ(t, ε) до ũ(t) в L2([0,
+∞)).
Далi з нерiвностей (21), (22) одержуємо нерiвнiсть
J̃ε ≤ JT
(
ũ(t, ε)
)
+
1
δ
∣∣ỹ(T, ε)
∣∣2.
Тодi
lim
ε→0
J̃ε ≤ JT
(
ũ(t)
)
+
1
δ
∣∣ỹ(T )
∣∣2
i при T →∞
lim
ε→0
J̃ε ≤ J
(
ũ(t)
)
, (29)
що разом з (20) означає, що по деякiй пiдпослiдовностi
lim
ε→0
J̃ε = J
(
ũ(t)
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
660 О. В. КАПУСТЯН, О. А. КАПУСТЯН, А. В. СУКРЕТНА
Припускаючи вiд супротивного, що ця збiжнiсть йде не по всiй послiдовностi
ε→ 0, можемо повторити попереднi мiркування i внаслiдок єдиностi оптимального
процесу
{
ỹ(t, x), ũ(y)
}
прийти до суперечностi.
Таким чином, з (19), (20), (29) маємо
ũ(t, ε)→ ũ(t) в L2([0,+∞)),
ỹ(t, x, ε)→ ỹ(t, x) в L2([0,+∞);L2(Ω)), (30)
J̃ε → J0, ε→ 0.
Доведемо граничну рiвнiсть (18). Оцiнки (13) – (15) дозволяють стверджувати,
що для кожного T > 0{
ŷ(t, x, ε)
}
обмежена в L2([0, T ];H1
0 (Ω)) ∩ L∞([0,+∞);L2(Ω)),{
ε1/p ŷ(t, x, ε)
}
обмежена в Lp([0, T ];Lp(Ω)),{
ε1/qf(ŷ(t, x, ε))
}
обмежена в Lq([0, T ];Lq(Ω)),{
ŷt(t, x, ε)
}
обмежена в Lq([0, T ];H−s(Ω)),
(31)
де
1
p
+
1
q
= 1, s ≥ max
{
1,
(
1
2
− 1
p
)
n
}
.
Тодi за лемою про компактнiсть [7] по данiй пiдпослiдовностi при ε→ 0
ŷ(t, x, ε)→ ŷ(t, x) слабко в L2([0, T ];H1
0 (Ω)),
ŷ(t, x, ε)→ ŷ(t, x) сильно в L2([0, T ];L2(Ω)),
ŷ(t, x, ε)→ ŷ(t, x) слабко в L2(Ω) для всiх t ∈ [0, T ],
ŷ(t, x, ε)→ ŷ(t, x) в L2(Ω) для майже всiх t ∈ (0, T ).
(32)
Тому, скориставшись оцiнкою
ε
T∫
0
(f(ŷ(t, ε)), ξ)η(t)dt ≤ ε1/p
∥∥∥ε1/qf(ŷ(t, ε))
∥∥∥
Lq([0,T ];Lq)
‖ξη‖Lp([0,T ];Lp),
можемо перейти до границi у спiввiдношеннi (5) з u(t) = u
[
ŷ(t, x, ε)
]
=
(
R, ŷ(t, ε)
)
i одержати, що ŷ(t, x) — розв’язок задачi (11) з ε = 0 та початковою функцiєю ϕ(x).
Але ця задача має єдиний розв’язок ỹ(t, x), отже, ỹ(t, x) ≡ ŷ(t, x), u
[
ŷ(t, x, ε)
]
→
→ ũ(t) для всiх t ≥ 0 i збiжнiсть йде по всiй послiдовностi ε→ 0.
Крiм того, оскiльки для довiльних t ≥ s ≥ 0 мають мiсце нерiвностi
∣∣ŷ(t, ε)
∣∣ ≤
≤
∣∣ŷ(s, ε)
∣∣, ∣∣ỹ(t)
∣∣ ≤ ∣∣ỹ(s)
∣∣, то з неперервностi ŷ(t, ε) i ỹ(·) та (32) випливає, що
ŷ(t, ε)→ ỹ(t) в L2(Ω) для всiх t > 0.
Внаслiдок (15) для будь-якого t ≥ 0∣∣ŷ(t, ε)
∣∣2 + γ
∣∣∣u[ŷ(x, t, ε)
]∣∣∣2 ≤ (1 + γ|R|2
)∣∣ϕ(ε)
∣∣2e−κt.
Тодi за теоремою Лебега
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
НАБЛИЖЕНА СТАБIЛIЗАЦIЯ ДЛЯ НЕЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI 661
lim
ε→0
Ĵε = J(ũ) = J0,
i при цьому
ŷ(t, x, ε)→ ỹ(t, x) в L2([0,+∞);L2(Ω)),
u
[
ŷ(t, ε)
]
→ ũ(t) в L2([0,+∞)).
Теорему доведено.
Висновки. У роботi доведено розв’язнiсть задачi оптимальної стабiлiзацiї для
нелiнiйної крайової задачi параболiчного типу з квадратичним критерiєм якостi.
При малих нелiнiйностях обґрунтовано формулу наближеного синтезу на основi
точної формули оптимального керування зi зворотним зв’язком для вiдповiдної
лiнiйно-квадратичної задачi.
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных произ-
водных. – М.: Мир, 1972. – 414 с.
2. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука,
1978. – 463 с.
3. Valero J., Kapustyan O. V. On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of reaction-
diffusion systems // J. Math. Anal. and Appl. – 2006. – 323. – P. 614 – 633.
4. Капустян О. В., Капустян О. А., Сукретна А. В. Наближений обмежений синтез для однiєї
слабконелiнiйної крайової задачi // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 3. – С. 291 – 298.
5. Бублик Б. Н., Невидомский А. И. Синтез оптимального сосредоточенного управления для уравне-
ния теплопроводности // Модели и системы обработки информации. – 1982. – Вып. 1. – С. 78 – 87.
6. Сукретна А. В. Наближена оптимальна стабiлiзацiя розв’язкiв параболiчної крайової задачi обме-
женим керуванням // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 2. – С. 264 – 279.
7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
Одержано 12.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2750 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/22764cfae79fa20c2e02c5225215c8fd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27502020-03-18T19:35:13Z Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem Наближена стабілізація для нелінійної параболічної крайової задачі Kapustyan, O. A. Kapustyan, O. V. Sukretna, A. V. Капустян, О. А. Капустян, О. В. Сукретна, А. В. For a problem of optimal stabilization of solutions of a nonlinear parabolic boundary-value problem with small parameter of a nonlinear summand, we justify the form of approximate regulator on the basis of the formula of optimal synthesis of the corresponding linear quadratic problem. Для задачи оптимальной стабилизации решений нелинейной параболической краевой задачи с малым параметром при нелинейном слагаемом обоснована форма приближенного приближенного регулятора на основе формулы оптимального синтеза соответствующей линейно-квадратической задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2750 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 654-661 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 654-661 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2750/2256 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2750/2257 Copyright (c) 2011 Kapustyan O. A.; Kapustyan O. V.; Sukretna A. V. |
| spellingShingle | Kapustyan, O. A. Kapustyan, O. V. Sukretna, A. V. Капустян, О. А. Капустян, О. В. Сукретна, А. В. Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title | Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title_alt | Наближена стабілізація для нелінійної параболічної крайової задачі |
| title_full | Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title_fullStr | Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title_full_unstemmed | Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title_short | Approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| title_sort | approximate stabilization for a nonlinear parabolic boundary-value problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2750 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanoa approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT kapustyanov approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT sukretnaav approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT kapustânoa approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT kapustânov approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT sukretnaav approximatestabilizationforanonlinearparabolicboundaryvalueproblem AT kapustyanoa nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí AT kapustyanov nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí AT sukretnaav nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí AT kapustânoa nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí AT kapustânov nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí AT sukretnaav nabliženastabílízacíâdlânelíníjnoíparabolíčnoíkrajovoízadačí |