Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration
An asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed system of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration is constructed.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2752 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508714323148800 |
|---|---|
| author | Samusenko, P. F. Самусенко, П. Ф. |
| author_facet | Samusenko, P. F. Самусенко, П. Ф. |
| author_sort | Samusenko, P. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | An asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed system of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
П. Ф. Самусенко (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО
ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ ГIПЕРБОЛIЧНОГО ТИПУ
З ВИРОДЖЕННЯМ
An asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed system of
hyperbolic-type partial differential equations with degeneration is constructed.
Построено асимптотическое решение первой краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной
системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с вырождением.
Вступ. Рiзноманiтнi аспекти теорiї рiвнянь з частинними похiдними гiперболiч-
ного типу зi змiнними коефiцiєнтами розглядались I. Г. Петровським, Р. Курантом,
Л. Гордiнгом. Дослiдженню властивостей розв’язкiв крайових задач для гiперболiч-
них рiвнянь присвячено працi О. О. Ладиженської, М. I. Вишика, О. А. Олейник,
Ю. О. Митропольського, Б. I. Мосеєнкова, Г.П. Хоми, С. Ф. Фещенка, М. А. Сотнi-
ченка та iн. Так, О. О. Ладиженська навела достатнi умови iснування та єдиностi
як класичного, так i узагальненого розв’язку основних крайових задач у лiнiйно-
му випадку. При цьому обґрунтовано застосування методу Фур’є до розв’язання
крайових задач для систем рiвнянь гiперболiчного типу зi змiнними коефiцiєнтами
[1, с. 70 – 190]. Ю. О. Митропольський та Г. П. Хома дослiджували першу крайову
задачу для квазiлiнiйних i нелiнiйних рiвнянь гiперболiчного типу [2, с. 137 – 225].
При цьому використовувались два основних методи. Перший ґрунтується на зве-
деннi заданої задачi до зчисленної системи звичайних диференцiальних рiвнянь i
подальшому застосуваннi узагальнень теорем М. М. Боголюбова або укороченнi
одержаної системи, другий — на безпосереднiй побудовi асимптотичних розвинень
розв’язкiв крайових задач з використанням вiдповiдних розв’язкiв незбурених сис-
тем. Зазначимо, що в задачах, якi розглядались Ю. О. Митропольським та Г. П. Хо-
мою, малий параметр входить регулярно. Мiшану задачу для гiперболiчних рiвнянь
з повiльно змiнними коефiцiєнтами дослiджували С. Ф. Фещенко та М. I. Шкiль
[3, с. 226 – 245].
У данiй роботi розглядається перша крайова задача
ε2B(t, ε)
∂2u
∂t2
= A(t, ε)
∂2u
∂x2
+ εC(x, t, ε)u+ f(x, t, ε), t ∈ [0;T ], x ∈ [0;L],
(1)
u(x, 0, ε) = ϕ(x),
∂u(x, 0, ε)
∂t
= ψ(x), (2)
u(0, t, ε) = u(L, t, ε) = 0, (3)
де u = u(x, t, ε) — шукана тривимiрна вектор-функцiя, A(t, ε), B(t, ε), C(x, t, ε) —
квадратнi матрицi 3-го порядку, f(x, t, ε), ϕ(x), ψ(x) — тривимiрнi вектор-функцiї
з дiйсними або комплекснозначними компонентами, ε ∈ (0; ε0], ε0 � 1.
Побудова класичного розв’язку першої крайової задачi. Припускатимемо
виконання таких умов:
c© П. Ф. САМУСЕНКО, 2011
668 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 669
1) компоненти матриць A(t, ε), B(t, ε), C(x, t, ε) та вектор-функцiї f(x, t, ε)
допускають рiвномiрнi асимптотичнi розвинення за степенями параметра ε, тобто
A(t, ε) =
∑
i≥0
εiAi(t), B(t, ε) =
∑
i≥0
εiBi(t), t ∈ [0;T ],
C(x, t, ε) =
∑
i≥0
εiCi(x, t), f(x, t, ε) =
∑
i≥0
εifi(x, t), (x, t) ∈ D,
де D = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T};
2) Ai(t), Bi(t) ∈ C∞[0;T ], Ci(x, t), fi(x, t) ∈ C∞(D), i ≥ 0;
3) ϕ(x) ∈ C6[0;L], ψ(x) ∈ C6[0;L];
4) ϕ(2k)(0) = ϕ(2k)(L) = 0, ψ(2k)(0) = ψ(2k)(L) = 0, k = 0, 2;
5)
∂C(0, t, ε)
∂x
=
∂C(L, t, ε)
∂x
= 0, t ∈ [0;T ];
6)
∂2kf(0, t, ε)
∂x2k
=
∂2kf(L, t, ε)
∂x2k
= 0, t ∈ [0;T ], k = 0, 1;
7) λ0(t) > 0, де λ0(t) — власне значення матрицi A0(t) вiдносно B0(t).
Вважатимемо, що в’язка A0(t) − λB0(t) регулярна, має один скiнченний еле-
ментарний дiльник кратностi 2 i один нескiнченний елементарний дiльник.
Тодi iснуватимуть неособливi матрицi P (t, ε), Q(t, ε), (t, ε) ∈ K,
K = {(t, ε) : 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ ε ≤ ε1}, ε1 ≤ ε0,
компоненти яких допускають рiвномiрнi асимптотичнi розвинення за степенями ε,
такi, що
P (t, ε)B(t, ε)Q(t, ε) = H(t, ε) ≡ diag {b(t, ε), E2(t, ε)},
P (t, ε)A(t, ε)Q(t, ε) = Ω(t, ε) ≡ diag {e(t, ε),W2(t, ε)},
де
e(t, 0) = 1, E2(t, 0) = E2, b(t, 0) = 0, W2(t, 0) = λ0(t)E2 + J2,
E2 — одинична матриця другого порядку, J2 — квадратна матриця другого порядку,
компонента верхньої наддiагоналi якої дорiвнює 1, а решта її компонент дорiвню-
ють 0 [4]. При цьому P (t, ε), Q(t, ε) ∈ C∞[0;T ].
Розв’язок задачi (1) – (3) шукатимемо у виглядi
u(x, t, ε) =
∞∑
s=1
zs(t, ε)vs(x), (4)
де zs(t, ε) — шукана тривимiрна вектор-функцiя, а vs(x) — скалярна функцiя, що
задовольняє рiвняння
v′′s (x) + ω2
svs(x) = 0, ωs =
sπ
L
, (5)
з крайовими умовами
vs(0) = vs(L) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
670 П. Ф. САМУСЕНКО
Тобто
vs(x) =
√
2
L
sinωsx, s ∈ N.
При цьому
L∫
0
vs(x)vk(x)dx = δsk,
де δsk — символ Кронекера.
Пiдставляючи (4) в (1), з урахуванням (5), домножуючи отриману рiвнiсть на
vk(x) та iнтегруючи її обидвi частини за змiнною x в межах вiд 0 до L, отримуємо
ε2B(t, ε)z′′s + ω2
sA(t, ε)zs = ε
∞∑
k=1
Csk(t, ε)zk + fs(t, ε), s ∈ N, (6)
де
Csk(t, ε) =
L∫
0
C(x, t, ε)vk(x)vs(x)dx, fs(t, ε) =
L∫
0
f(x, t, ε)vs(x)dx.
У системi (6) виконаємо замiну zs(t, ε) = Q(t, ε)rs(t, ε) i домножимо обидвi її
частини злiва на P (t, ε). Матимемо
ε2H(t, ε)r′′s + ω2
sΩ(t, ε)rs = ε
∞∑
k=1
D0sk(t, ε)rk + ε2(D1(t, ε)rs +G(t, ε)r′s)+
+P (t, ε)fs(t, ε), (7)
де D0sk(t, ε) = P (t, ε)Csk(t, ε)Q(t, ε), s, k ∈ N, D1(t, ε) = −P (t, ε)B(t, ε)Q′′(t, ε),
G(t, ε) = −2P (t, ε)B(t, ε)Q′(t, ε).
Запишемо систему (7) таким чином:
ε2H̃(t, ε)r′′ + Ω̃(t, ε)r = ε(D̃0(t, ε) + εD̃1(t, ε))r + ε2G̃(t, ε)r′ + f̃(t, ε), (8)
де r(t, ε) та f̃(t, ε) — нескiнченновимiрнi вектори з компонентами rs(t, ε) та
P (t, ε)fs(t, ε) вiдповiдно,
H̃(t, ε) = diag {H(t, ε), H(t, ε), . . .} , Ω̃(t, ε) = diag
{
ω2
1Ω(t, ε), ω2
2Ω(t, ε), . . .
}
,
D̃0(t, ε) — нескiнченна матриця, що складається з блокiв D0sk(t, ε), k, s ∈ N,
D̃1(t, ε) = diag {D1(t, ε), D1(t, ε), . . .} , G̃(t, ε) = diag {G(t, ε), G(t, ε), . . .} .
Нехай
H̃(t, ε) =
∑
i≥0
εiH̃(i)(t), Ω̃(t, ε) =
∑
i≥0
εiΩ̃(i)(t), D̃0(t, ε) =
∑
i≥0
εiD̃
(i)
0 (t),
D̃1(t, ε) =
∑
i≥0
εiD̃
(i)
1 (t), G̃(t, ε) =
∑
i≥0
εiG̃(i)(t), f̃(t, ε) =
∑
i≥0
εif̃ (i)(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 671
При цьому H̃(0)(t) ≡ H̃(0) = const.
Розв’язок системи (8) шукатимемо у виглядi
r(t, ε) = Π+(t, ε)ξ+(t, ε) + g(t, ε), (9)
де ξ+(t, ε) — нескiнченновимiрна вектор-функцiя, що є розв’язком задачi
ε
dξ+
dt
= Λ+(t, ε)ξ+, ξ+(0, ε) = a, (10)
a — нескiнченновимiрний вектор, всi компоненти якого дорiвнюють 1; Π+(t, ε)
— нескiнченна матриця, Λ+(t, ε) — нескiнченна дiагональна матриця та g(t, ε) —
нескiнченновимiрна вектор-функцiя вигляду
Π+(t, ε) =
m+2∑
i=0
µiΠ
(i)
+ (t), Λ+(t, ε) =
m+1∑
i=0
µiΛ
(i)
+ (t),
g(t, ε) =
1+[m
2 ]∑
i=0
εig(i)(t), µ =
√
ε.
(11)
Для визначення Π
(i)
+ (t), Λ
(i)
+ (t), g(i)(t) пiдставимо (9), врахувавши (10), у си-
стему (8). Тодi, зрiвнюючи коефiцiєнти при ξ+(t, ε) i вiльнi члени, матимемо
H̃(t, ε)Π+(t, ε)Λ2
+(t, ε) + Ω̃(t, ε)Π+(t, ε) = µ2(D̃0(t, ε) + µ2D̃1(t, ε))Π+(t, ε)+
+µ4G̃(t, ε)Π′+(t, ε) + µ2G̃(t, ε)Π+(t, ε)Λ+(t, ε)− µ4H̃(t, ε)Π′′+(t, ε)−
−2µ2H̃(t, ε)Π′+(t, ε)Λ+(t, ε)− µ2H̃(t, ε)Π+(t, ε)Λ′+(t, ε), (12)
Ω̃(t, ε)g(t, ε) = ε(D̃0(t, ε) + εD̃1(t, ε))g(t, ε) + ε2G̃(t, ε)g′(t, ε)+
+f̃(t, ε)− ε2H̃(t, ε)g′′(t, ε). (13)
Розглянемо тотожнiсть (12). Зрiвнюючи в нiй коефiцiєнти при однакових сте-
пенях µi, i = 0,m+ 2, отримуємо
H̃(0)Π
(0)
+ (t)(Λ
(0)
+ (t))2 + Ω̃(0)(t)Π
(0)
+ (t) = 0, (14)
H̃(0)Π
(i)
+ (t)(Λ
(0)
+ (t))2 + Ω̃(0)(t)Π
(i)
+ (t) =
[ i
4 ]∑
j=0
D̃
(j)
0 (t)Π
(i−2(j+1))
+ (t)+
+
[ i
6 ]∑
j=0
(
D̃
(j)
1 (t)Π
(i−2(j+2))
+ (t)+G̃(j)(t)(Π
(i−2(j+2))
+ (t))′−H̃(j)(t)(Π
(i−2(j+2))
+ (t))′′
)
+
+
i∑
j=0
[ i−j
2 ]∑
k=0
(
G̃(j)(t)Π
(k)
+ (t)Λ
(i−2(j+1)−k)
+ (t)− 2H̃(j)(t)(Π
(k)
+ (t))′Λ
(i−2(j+1)−k)
+ (t)−
−H̃(j)(t)Π
(k)
+ (t)(Λ
(i−2(j+1)−k)
+ (t))′
)
− H̃(0)Π
(0)
+ (t)
(
2Λ
(0)
+ (t)Λ
(i)
+ (t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
672 П. Ф. САМУСЕНКО
+
i−1∑
j=1
Λ
(j)
+ (t)Λ
(i−j)
+ (t)
)
− H̃(0)
i−1∑
j=1
i−j∑
k=0
Π
(j)
+ (t)Λ
(k)
+ (t)Λ
(i−k−j)
+ (t)−
−
[ i
2 ]∑
j=1
i−j∑
k=0
i−k∑
s=0
H̃(j)(t)Π
(k)
+ (t)Λ
(s)
+ (t)Λ
(i−k−2j−s)
+ (t)−
[ i
2 ]∑
j=1
Ω̃(j)(t)Π
(i−2j)
+ (t), (15)
i = 1,m+ 2, Π
(k)
+ (t) ≡ 0, Λ
(k)
+ (t) ≡ 0, t ∈ [0;T ], k < 0.
Запишемо систему (14) таким чином:
(Ω̃(0)(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H̃(0))p
(0)
l+ (t) = 0, l ∈ N, (16)
де p(0)l+ (t) — стовпцi матрицi Π
(0)
+ (t), Λ
(0)
+ (t) = diag {λ(0)1+(t), λ
(0)
2+(t), . . .}.
Нехай p(0)l+ (t) = colon (p
(0)
l1+(t), p
(0)
l2+(t), . . .), p
(0)
ls+(t), s ∈ N,— тривимiрна вектор-
функцiя. Тодi система (16) набуде вигляду
(ω2
sΩ0(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H0)p
(0)
ls+(t) = 0, l, s ∈ N,
де
Ω(t, ε) =
∑
i≥0
εiΩi(t), H(t, ε) =
∑
i≥0
εiHi(t),
Ω0(t) ≡ diag {1,W2(t)}, W2(t) = W2(t, 0), H0(t) ≡ H0 = diag {0, E2}.
Покладемо p(0)ls+(t) = colon
(
p
(0)
ls1+(t), p
(0)
ls2+(t)
)
, s ∈ N, де p(0)ls2+(t) — вектор-
функцiя, що мiстить двi останнi компоненти p
(0)
ls+(t). Тодi, враховуючи структуру
матриць Ω0(t) та H0, отримуємо
p
(0)
ls1+(t) ≡ 0, t ∈ [0;T ], l, s ∈ N,(
ω2
sW2(t) + (λ
(0)
l+ (t))2E2
)
p
(0)
ls2+(t) = 0.
Нехай
λ
(0)
l+ (t) = iωl
√
λ0(t), l ∈ N, i2 = −1.
Тодi
p
(0)
ls2+(t) ≡ 0, t ∈ [0;T ], l 6= s; l, s ∈ N,
{p(0)ll2+(t)}2 ≡ 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N,
компоненту {p(0)ll2+(t)}1 визначимо нижче.
Зрiвнюючи коефiцiєнти при µ у рiвностi (15), аналогiчно одержуємо(
ω2
sΩ0(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H0
)
p
(1)
ls+(t) = b
(1)
ls+(t),
де
b
(1)
ls+(t) = −2λ
(0)
l+ (t)λ
(1)
l+ (t)H0p
(0)
ls+(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 673
p
(1)
l+ (t), l ∈ N, — стовпцi матрицi Π
(1)
+ (t),
p
(1)
l+ (t) = colon (p
(1)
l1+(t), p
(1)
l2+(t), . . .),
p
(1)
ls+(t) = colon (p
(1)
ls1+(t), p
(1)
ls2+(t)), l, s ∈ N,
Λ
(1)
+ (t) = diag
{
λ
(1)
1+(t), λ
(1)
2+(t), . . .
}
.
Отже,
p
(1)
ls+(t) ≡ 0, t ∈ [0;T ], l 6= s, l, s ∈ N,
i
p
(1)
ll1+(t) ≡ 0, {p(1)ll2+(t)}1 ≡ 0, t ∈ [0;T ],
{p(1)ll2+(t)}2 = {b(1)ll2+(t)}1, l ∈ N.
Зрiвнюючи коефiцiєнти при µ2, маємо(
Ω̃(0)(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H̃(0)
)
p
(2)
l+ (t) = b
(2)
l+ (t), (17)
де
b
(2)
l+ (t) = (D̃
(0)
0 (t) + λ
(0)
l+ (t)G̃(0)(t)− (λ
(0)
l+ (t))′H̃(0) − (λ
(0)
l+ (t))2H̃(1)(t)−
−Ω̃(1)(t))p
(0)
l+ (t)− 2λ
(0)
l+ (t)H̃(0)(p
(0)
l+ (t))′−
−
(
2λ
(0)
l+ (t)λ
(2)
l+ (t) + (λ
(1)
l+ (t))2
)
H̃(0)p
(0)
l+ (t)− 2λ
(0)
l+ (t)λ
(1)
l+ (t)H̃(0)p
(1)
l+ (t), l ∈ N.
Тодi аналогiчно
p
(2)
ls+(t) =
(
ω2
sΩ0(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H0
)−1
b
(2)
ls+(t), l 6= s; l, s ∈ N,
i
p
(2)
ll1+(t) =
1
ω2
l
b
(2)
ll1+(t),
{p(2)ll2+(t)}1 ≡ 0, t ∈ [0;T ],
{p(2)ll2+(t)}2 = {b(2)ll2+(t)}1,
l ∈ N.
Згiдно зi структурою матриць Ω̃(0)(t) та H̃(0), система (17) буде сумiсною тодi
i тiльки тодi, коли
{b(2)ll2+(t)}2 ≡ 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N. (18)
З умови сумiсностi (18) визначаємо λ(1)l+ (t), l ∈ N, а саме [5, с. 82 – 88],
λ
(1)
l+ (t) =
1
2λ
(0)
l+ (t)
√
a(t, l),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
674 П. Ф. САМУСЕНКО
a(t, l) = −{D̃(0)
0 (t)}3l,3l−1 − λ(0)l+ (t){G̃(0)(t)}3l,3l−1 + (λ
(0)
l+ (t))2{H̃(1)(t)}3l,3l−1+
+{Ω̃(1)(t)}3l,3l−1, l ∈ N.
Припустимо, що виконується умова
8) a(t, l) 6= 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N.
Зрiвнюючи коефiцiєнти при µ3, отримуємо
(Ω̃(0)(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H̃(0))p
(3)
l+ (t) = b
(3)
l+ (t), (19)
де
b
(3)
l+ (t) = (D̃
(0)
0 (t) + λ
(0)
l+ (t)G̃(0)(t)− (λ
(0)
l+ (t))′H̃(0) − (λ
(0)
l+ (t))2H̃(1)(t)−
−Ω̃(1)(t))p
(1)
l+ (t) + (λ
(1)
l+ (t)G̃(0)(t)−(λ
(1)
l+ (t))′H̃(0) − 2λ
(0)
l+ (t)λ
(1)
l+ (t)H̃(1)(t))p
(0)
l+ (t)−
−2λ
(1)
l+ (t)H̃(0)(p
(0)
l+ (t))′ − 2λ
(0)
l+ (t)H̃(0)(p
(1)
l+ (t))′ −
(
2λ
(0)
l+ (t)λ
(3)
l+ (t)+
+
2∑
j=1
λ
(j)
l+ (t)λ
(3−j)
l+ (t)
)
H̃(0)p
(0)
l+ (t)−
2∑
j=1
3−j∑
k=0
λ
(k)
l+ (t)λ
(3−k−j)
l+ (t)H̃(0)p
(j)
l+ (t), l ∈ N.
Отже,
p
(3)
ls+(t) = (ω2
sΩ0(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H0)−1b
(3)
ls+(t), l 6= s; l, s ∈ N,
p
(3)
ll1+(t) =
1
ω2
l
b
(3)
ll1+(t),
{p(3)ll2+(t)}1 ≡ 0, t ∈ [0;T ],
{p(3)ll2+(t)}2 = {b(3)ll2+(t)}1, l ∈ N.
Як i ранiше, система (19) буде сумiсною тодi i тiльки тодi, коли
{b(3)ll2+(t)}2 ≡ 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N. (20)
З умови сумiсностi (20) знаходимо λ(2)l+ (t), l ∈ N. А саме,
λ
(2)
l+ (t) =
1
8(λ
(0)
l+ (t))2λ
(1)
l+ (t)
c(3)(t, l),
де c(3)(t, l) — вiдома функцiя, що не залежить вiд λ(2)l+ (t).
Припустимо, що таким чином визначено p(j)l+ (t), j = 1, i+ 1, та λ(j)l+ (t), j = 1, i.
Тодi, зрiвнюючи коефiцiєнти при µi+2, i ∈ N, отримуємо(
Ω̃(0)(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H̃(0)
)
p
(i+2)
l+ (t) = b
(i+2)
l+ (t), (21)
де
b
(i+2)
l+ (t) =
[ i+2
4 ]∑
j=0
D̃
(j)
0 (t)p
(i−2j)
l+ (t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 675
+
[ i+2
6 ]∑
j=0
(
D̃
(j)
1 (t)p
(i−2(j+1))
l+ (t)+G̃(j)(t)(p
(i−2(j+1))
l+ (t))′−H̃(j)(t)(p
(i−2(j+1))
l+ (t))′′
)
+
+
i+2∑
j=0
[ i−j+2
2 ]∑
k=0
(
λ
(i−2j−k)
l+ (t)G̃(j)(t)p
(k)
l+ (t)− 2λ
(i−2j−k)
l+ (t)H̃(j)(t)(p
(k)
l+ (t))′−
−(λ
(i−2j−k)
l+ (t))′H̃(j)(t)p
(k)
l+ (t)
)
− H̃(0)p
(0)
l+ (t)
(
2λ
(0)
l+ (t)λ
(i+2)
l+ (t)+
+
i+1∑
j=1
λ
(j)
l+ (t)λ
(i−j+2)
l+ (t)
)
− H̃(0)
i+1∑
j=1
i−j+2∑
k=0
λ
(k)
l+ (t)λ
(i−k−j+2)
l+ (t)p
(j)
l+ (t)−
−
[ i+2
2 ]∑
j=1
i−j+2∑
k=0
i−k+2∑
s=0
λ
(s)
l+ (t)λ
(i−k−2(j−1)−s)
l+ (t)H̃(j)(t)p
(k)
l+ (t)−
−
[ i+2
2 ]∑
j=1
Ω̃(j)(t)p
(i−2(j−1))
l+ (t), i = 1,m, l ∈ N.
Отже,
p
(i+2)
ls+ (t) = (ω2
sΩ0(t) + (λ
(0)
l+ (t))2H0)−1b
(i+2)
ls+ (t), l 6= s; l, s ∈ N,
p
(i+2)
ll1+ (t) =
1
ω2
l
b
(i+2)
ll1+ (t),
{p(i+2)
ll2+ (t)}1 ≡ 0, t ∈ [0;T ],
{p(i+2)
ll2+ (t)}2 = {b(i+2)
ll2+ (t)}1,
i = 1,m, l ∈ N.
З умови сумiсностi
{b(i+2)
ll2+ (t)}2 ≡ 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N, (22)
системи (21) визначаємо λ(i+1)
l+ (t), l ∈ N. Справдi, лише доданок
i+1∑
j=1
i−j+2∑
k=0
λ
(k)
l+ (t)λ
(i−k−j+2)
l+ (t){p(j)ll2+(t)}2
з виразу для {b(i+2)
ll2+ (t)}2 мiстить λ(i+1)
l+ (t).
Оскiльки
i+1∑
j=1
i−j+2∑
k=0
λ
(k)
l+ (t)λ
(i−k−j+2)
l+ (t){p(j)ll2+(t)}2 = 2λ
(0)
l+ (t)λ
(i+1)
l+ (t){p(1)ll2+(t)}2+
+
1∑
k=0
λ
(k)
l+ (t)λ
(1−k)
l+ (t){p(i+1)
ll2+ (t)}2 + d
(i+1)
1 (t, l) = 2λ
(0)
l+ (t)λ
(i+1)
l+ (t){p(1)ll2+(t)}2−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
676 П. Ф. САМУСЕНКО
−4(λ
(0)
l+ (t))2λ
(1)
l+ (t)λ
(i+1)
l+ (t){p(0)ll2+(t)}1 + d
(i+1)
2 (t, l) =
= −8(λ
(0)
l+ (t))2λ
(1)
l+ (t)λ
(i+1)
l+ (t){p(0)ll2+(t)}1 + d
(i+1)
2 (t, l),
де через d(i+1)
j (t, l), j = 1, 2, позначено вирази, що не мiстять λ(i+1)
l+ (t), то
λ
(i+1)
l+ (t) =
1
8(λ
(0)
l+ (t))2λ
(1)
l+ (t)
c(i+1)(t, l),
c(i+1)(t, l) — вiдома функцiя, що не залежить вiд λ(i+1)
l+ (t).
Отже, матрицi Π
(i)
+ (t), i = 1,m+ 2, та Λ
(i)
+ (t), i = 1,m+ 1, визначено.
Аналогiчно з тотожностi (13) знаходимо вектор-функцiю g(t, ε):
g(0)(t) = (Ω̃(0)(t))−1f̃ (0)(t), (23)
g(i)(t) = (Ω̃(0)(t))−1
i−1∑
j=0
D̃
(j)
0 (t)g(i−j−1)(t) +
i−2∑
j=0
(
D̃
(j)
1 (t)g(i−j−2)(t)+
+ G̃(j)(t)(g(i−j−2)(t))′ − H̃(j)(t)(g(i−j−2)(t))′′
)
−
i∑
j=1
Ω̃(j)(t)g(i−j)(t) + f̃ (i)(t)
,
(24)
i = 1,
[m
2
]
.
Формули для визначення p(i)l+(t), λ
(i)
l+(t), l ∈ N, отримано за умови iснування
вiдповiдних нескiнченних матриць у системi (15). Зупинимося на цьому питаннi
докладнiше.
Згiдно з умовами 5, 6 матимемо
‖D0sk(t, ε)‖ ≤ M
(ωk − ωs)4
, k 6= s, k, s ∈ N,
‖fs(t, ε)‖ ≤
M
ω5
s
, s ∈ N,
зi сталою M, що не залежить вiд k, s.
Далi у випадках, коли важливим є лише факт обмеженостi, а не величина вiд-
повiдної сталої, писатимемо одну й ту ж сталу M.
Нехай {p(0)ll2+(t)}1 ≡ {p(0)ll2+}1 = const, t ∈ [0;T ], l ∈ N. Далi припускатимемо
виконання таких умов:
9) m = 1;
10) {H̃(1)(t)}3l−1,3l−1 ≡ {H̃(1)(t)}3l−1,3l ≡ {H̃(1)(t)}3l,3l−1 ≡ {H̃(1)(t)}3l,3l ≡
≡ 0, t ∈ [0;T ], l ∈ N.
Тодi згiдно зi структурою матрицi Q(t, ε) матимемо [4]∣∣λ(1)l+ (t)
∣∣ ≤ M
ωl
,
∣∣λ(2)l+ (t)
∣∣ ≤M
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 677
∣∣p(i)ll1+(t)
∣∣ ≤M ∣∣{p(0)ll2+}1∣∣,∣∣{p(1)ll2+(t)}2
∣∣ ≤M ∣∣{p(0)ll2+}1∣∣, ∣∣{p(i)ll2+(t)}2
∣∣ ≤Mωl
∣∣{p(0)ll2+}1∣∣, i = 2, 3, l ∈ N,
∣∣p(i)ls1+(t)
∣∣ ≤ M
∣∣{p(0)ll2+}1
ω2
s(ωs − ωl)4
,
∥∥p(i)ls2+(t)
∥∥ ≤ M
∣∣{p(0)ll2+}1
(ωs − ωl)6
, i = 2, 3; l 6= s; l, s ∈ N,
стала M не залежить вiд l, s.
Нехай w+(t, ε) = Π+(t, ε)ξ+(t, ε) + g(t, ε). Покладаючи
λ
(0)
l− (t) = −iωl
√
λ0(t), l ∈ N, i2 = −1,
аналогiчно визначаємо Π−(t, ε), Λ−(t, ε), ξ−(t, ε) та w−(t, ε).
Побудуємо вектор-функцiю
u1(x, t, ε) = Q(t, ε)
∞∑
s=1
(ws+(t, ε) + ws−(t, ε))vs(x), (25)
де
ws+(t, ε) =
{w+(t, ε)}3s−2
{w+(t, ε)}3s−1
{w+(t, ε)}3s
, s ∈ N,
{w+(t, ε)}j =
∞∑
l=1
{Π+(t, ε)}jl{ξ+(t, ε)}l + {g(t, ε)}j , j = 3s− 2, 3s, s ∈ N.
Аналогiчну структуру має ws−(t, ε).
Для визначення {p(0)ll2+}1 i {p(0)ll2−}1, l ∈ N, розглянемо систему
{w+(0, ε)}3l−1 + {w−(0, ε)}3l−1 =
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)}2j{al}j ,
({w+(t, ε)}3l−1 + {w−(t, ε)}3l−1)′|t=0
=
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)}2j{bl}j−
(26)
−
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)Q′(0, ε)}2j({w+(0, ε)}3(l−1)+j + {w−(0, ε)}3(l−1)+j), l ∈ N,
де {al}j i {bl}j — компоненти векторiв al=
∫ L
0
ϕ(x)vl(x)dx i bl=
∫ L
0
ψ(x)vl(x)dx
вiдповiдно, l ∈ N.
Cистему (26) запишемо таким чином:
{p(0)ll2+}1 = f1
(
{p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1
)
,
{p(0)ll2−}1 = f2
(
{p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1
)
, l ∈ N.
(27)
Враховуючи умови 3, 4, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
678 П. Ф. САМУСЕНКО
∥∥∥fi ({p(0)ll2+}1, {p(0)ll2−}1)∥∥∥ ≤ M1
ω6
l
+ εM2
(
|{p(0)ll2+}1 + |{p(0)ll2−}1|+
1
ω6
l
+
+
∞∑
h=1
h6=l
(
|{p(0)hh2+}1|+ |{p
(0)
hh2−}1|
(ωl − ωh)6
+
ωh
ωl
(
|{p(0)hh2+}1|+ |{p
(0)
hh2−}1|
ω2
l (ωl − ωh)4
+
+
|{p(0)hh2+}1|+ |{p
(0)
hh2−}1|
(ωl − ωh)6
))
, i = 1, 2,
сталi M1, M2 не залежать вiд l.
А тому на множинах
Sl6 =
{
({p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1) ∈ R2 : max{|{p(0)ll2+}1|, |{p
(0)
ll2−}1|} ≤
M0
ω6
l
}
,
M0 < M1, l ∈ N,
функцiї f1
(
{p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1
)
та f2
(
{p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1
)
задовольняють умови те-
ореми про iснування та єдинiсть нерухомої точки [6, с. 609]. Отже, система (27) на
множинi Sl6 має єдиний розв’язок. При цьому
‖p(0)l+ ‖ ≤
M0
ω6
l
, ‖p(0)l− ‖ ≤
M0
ω6
l
, l ∈ N
(стала M0 не залежить вiд l).
Припускатимемо виконання наступних умов:
11) компоненти {p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1, l ∈ N, розв’язку системи (27) вiдмiннi вiд
нуля;
12) {w+(0, ε)}3l−k + {w−(0, ε)}3l−k =
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)}3−k,j{al}j ,
({w+(t, ε)}3l−k + {w−(t, ε)}3l−k)′|t=0
=
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)}3−k,j{bl}j−
−
3∑
j=1
{Q−1(0, ε)Q′(0, ε)}3−k,j({w+(0, ε)}3(l−1)+j + {w−(0, ε)}3(l−1)+j),
k = 0, 2, l ∈ N.
Тодi ряд (25) збiгається абсолютно i рiвномiрно у прямокутнику D. При цьому
можливе почленне диференцiювання ряду (25) до двох разiв включно; отриманi
таким чином ряди збiгаються абсолютно i рiвномiрно для всiх (x, t) ∈ D.
За побудовою
u1(x, 0, ε) = ϕ(x),
∂u1(x, 0, ε)
∂t
= ψ(x).
Вектор-функцiяws+(t, ε)+ws−(t, ε) задовольняє систему (7) з точнiстюO
(
ε2
ω3
s
)
,
s ∈ N, тобто ‖cs(t, ε)‖ ≤
k0ε
2
ω3
s
, t ∈ [0;T ], де cs(t, ε) — вiдповiдний залишок. Стала
k0 не залежить вiд ε, s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 679
У системi (7) виконаємо замiну
rs(t, ε) = ws+(t, ε) + ws−(t, ε) + ys(t, ε). (28)
Матимемо
ε2H(t, ε)y′′s + ω2
sΩ(t, ε)ys = ε
∞∑
k=1
D0sk(t, ε)yk + ε2(D1(t, ε)ys+
+G(t, ε)y′s) +O
(
ε2
ω3
s
)
, s ∈ N. (29)
Покладемо
ys(0, ε) = 0, y′s(0, ε) = 0, s ∈ N. (30)
Запишемо систему (29) таким чином:
ε2b(t, ε)y′′s1 + ω2
se(t, ε)ys1 = ε
∞∑
k=1
(
D
(1)
0sk(t, ε)yk1 +D
(2)
0sk(t, ε)yk2
)
+
+ε2
(
D
(1)
1 (t, ε)ys1 +D
(2)
1 (t, ε)ys2 +G(1)(t, ε)y′s1 +G(2)(t, ε)y′s2
)
+O
(
ε2
ω3
s
)
,
(31)
ε2E2(t, ε)y′′s2 + ω2
sW2(t, ε)ys2 = ε
∞∑
k=1
(
D
(3)
0sk(t, ε)yk1 +D
(4)
0sk(t, ε)yk2
)
+
+ε2
(
D
(3)
1 (t, ε)ys1 +D
(4)
1 (t, ε)ys2 +G(3)(t, ε)y′s1 +G(4)(t, ε)y′s2
)
+
+O
(
ε2
ω3
s
)
, s ∈ N, (32)
де ys = colon (ys1, ys2), ys2 — двовимiрна вектор-функцiя,
D0sk(t, ε) =
(
D
(1)
0sk(t, ε) D
(2)
0sk(t, ε)
D
(3)
0sk(t, ε) D
(4)
0sk(t, ε)
)
,
D
(4)
0sk(t, ε) — квадратна матриця 2-го порядку; аналогiчну структуру мають матрицi
D1(t, ε) та G(t, ε).
Припускаючи виконання умов:
13) E−12 (t, ε)W2(t, ε) — верхня трикутна матриця з однаковими власними зна-
ченнями для всiх (t, ε) ∈ K;
14) b(t, ε) = εb1(t, ε), b1(t, 0) > 0, t ∈ [0;T ],
позначимо через η1(t, ε) та η2(t, ε) диференцiальнi iнварiанти рiвнянь (31) та (32)
вiдповiдно, тобто [7, с. 25]
η1(t, ε) =
θ′′1 (t, ε)
4θ1(t, ε)
− 5
16
(
θ′1(t, ε)
θ1(t, ε)
)2
, θ1(t, ε) =
e(t, ε)
b1(t, ε)
,
η2(t, ε) =
1
4
Θ−12 (t, ε)Θ′′2(t, ε)− 5
16
(Θ−12 (t, ε)Θ′2(t, ε))2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
680 П. Ф. САМУСЕНКО
Θ2(t, ε) = E−12 (t, ε)W2(t, ε).
Тодi
ys1(t, ε) =
ε
3
2
ωs
t∫
0
(
Y1s(t, τ, ε)
(
η1(τ, ε)ys1 +
1
b(τ, ε)
(
1
ε
∞∑
k=1
(
D
(1)
0sk(τ, ε)yk1+
+D
(2)
0sk(τ, ε)yk2
)
+D
(1)
1 (τ, ε)ys1 +D
(2)
1 (τ, ε)ys2 − (G(1)(τ, ε))′ys1−
−(G(2)(τ, ε))′ys2 +O
(
1
ω3
s
)))
−
−
(
Y1s(t, τ, ε)
b(τ, ε)
)′
τ
(
G(1)(τ, ε)ys1 +G(2)(τ, ε)ys2
))
dτ, (33)
ys2(t, ε) =
ε
ωs
t∫
0
(
Y2s(t, τ, ε)
(
η2(τ, ε)ys2 + E−12 (τ, ε)
(
1
ε
∞∑
k=1
(
D
(3)
0sk(τ, ε)yk1+
+D
(4)
0sk(τ, ε)yk2
)
+D
(3)
1 (τ, ε)ys1 +D
(4)
1 (τ, ε)ys2 − (G(3)(τ, ε))′ys1−
−(G(4)(τ, ε))′ys2 +O
(
1
ω3
s
)))
−
−
(
Y2s(t, τ, ε)E
−1
2 (τ, ε)
)′
τ
(
G(3)(τ, ε)ys1 +G(4)(τ, ε)ys2
))
dτ, s ∈ N, (34)
де
Y1s(t, τ, ε) =
1
4
√
θ1(t, ε)θ1(τ, ε)
sin
ωsψ1(t, τ, ε)
ε
3
2
, ψ1(t, τ, ε) =
t∫
τ
√
θi(τ, ε)dτ,
Y2s(t, τ, ε) = Θ
− 1
4
2 (t, ε) sin
ωsΨ2(t, τ, ε)
ε
Θ
− 1
4
2 (τ, ε), Ψ2(t, τ, ε) =
t∫
τ
√
Θ2(τ, ε)dτ.
Нехай мають мiсце такi умови:
15) {D0sk(t, 0)}1j ≡ 0, t ∈ [0;T ], j = 1, 3; s, k ∈ N ;
16)
T
ε
4
√
b1(t, 0)
b51(τ, 0)
|{G(τ, ε)}1j | ≤
d
3
, 0 ≤ τ ≤ t ≤ T, d < 1, j = 1, 3;
17)
Lk1T‖Θ−1/42 (t, 0)‖ ‖Θ−1/42 (τ, 0)‖
π
(
1 + 16
(
L
π
)4
)
<
1
4
, 0 ≤ τ ≤ t ≤ T, де
‖D0ss(t, ε)‖ ≤ k1, ‖D0sk(t, ε)‖ ≤ k1
(ωs − ωk)4
, s 6= k, s, k ∈ N ;
18) T‖Θ−1/42 (t, 0)‖ ‖Θ1/4
2 (τ, 0)‖ ‖G(i)(τ, 0)‖ < 1
4
, i = 1, 2, 0 ≤ τ ≤ t ≤ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 681
Тодi для достатньо великих k2
k2 >
k0T
1− d
max
0≤τ≤t≤T
4
√
b1(t, 0)
b31(τ, 0)
,
оператор, визначений за допомогою (33), (34), вiдображає опуклу замкнену мно-
жину D(1/2)
s4 ,
D
(1/2)
s4 =
{
ys(t, ε) ∈ C[0;T ] : ‖ys(t, ε)‖ ≤
k2
√
ε
ω4
s
}
, s ∈ N, ε ∈ [0; ε1],
повного нормованого простору C[0;T ] в її компактну пiдмножину i є неперервним
на D(1/2)
s4 . А тому вiн має нерухомi точки на множинi D(1/2)
s4 [6, с. 620]. Отже,
система (33), (34) сумiсна. При цьому мають мiсце рiвностi (30).
Використовуючи метод доведення вiд супротивного, показуємо єдинiсть знай-
деного розв’язку системи (33), (34) [8, с. 147 – 149].
З наведених оцiнок для функцiй ysi(t, ε) випливає абсолютна i рiвномiрна збiж-
нiсть ряду
∞∑
s=1
ys(t, ε)vs(x) (35)
у прямокутнику D. При цьому можливе почленне диференцiювання ряду (35) за
змiнними t та x до двох разiв включно; отриманi таким чином ряди збiгаються
абсолютно i рiвномiрно в D.
За побудовою
ε2B(t, ε)
∞∑
k=1
z′′k (t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x)dx+A(t, ε)
∞∑
k=1
ω2
kzk(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x)dx ≡
≡ ε
∞∑
k=1
L∫
0
C(x, t, ε)vk(x)vs(x)dx
zk(t, ε) +
L∫
0
f(x, t, ε)vs(x)dx, s ∈ N,
або
L∫
0
(
ε2B(t, ε)
∂2u(x, t, ε)
∂t2
−A(t, ε)
∂2u(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t, ε)u(x, t, ε)−
−f(x, t, ε)
)
vs(x)dx ≡ 0, s ∈ N,
де вектор-функцiя u(x, t, ε) визначена за формулою (4).
Покладемо
q(x, t, ε) = ε2B(t, ε)
∂2u(x, t, ε)
∂t2
−A(t, ε)
∂2u(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t, ε)u(x, t, ε)−
−f(x, t, ε).
Розглянемо ряд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
682 П. Ф. САМУСЕНКО
∞∑
s=1
qs(t, ε)vs(x),
де
qs(t, ε) =
L∫
0
q(x, t, ε)vs(x)dx, s ∈ N.
За побудовою qs(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s ∈ N.
Оскiльки вектор-функцiя q(x, t, ε) неперервна за змiнною x, x ∈ [0;L] (t, ε
вважаємо параметрами) i
q(0, t, ε) = q(L, t, ε) = 0,
то, продовжуючи непарним способом компоненти q(x, t, ε) на вiдрiзок [−L; 0], при-
ходимо до висновку, що q(x, t, ε) ≡ 0, (x, t) ∈ D [9, с. 578].
Таким чином, вектор-функцiя (4) у прямокутникуD є розв’язком задачi (1) – (3),
причому
‖u(x, t, ε)− u1(x, t, ε)‖ = O(
√
ε ). (36)
Теорема 1. Нехай Ai(t), Bi(t) ∈ Cm+4[0;T ], Ci(x, t), fi(x, t) ∈ Cm+4(D),
i ≥ 0, в’язка A0(t) − λB0(t) на вiдрiзку [0;T ] регулярна, має один скiнченний
елементарний дiльник кратностi 2 та один нескiнченний елементарний дiльник
i виконуються умови 1, 3 – 18. Тодi iснує ε1, ε1 ≤ ε0, таке, що задача (1) – (3) у
прямокутнику D для всiх 0 < ε ≤ ε1 має єдиний розв’язок (4), для якого справджу-
ється оцiнка (36).
Побудова узагальненого розв’язку першої крайової задачi. Нехай тепер за-
мiсть умов 3, 4, 6 виконуються такi умови:
19) ϕ(x) ∈ C4[0;L], ψ(x) ∈ C4[0;L];
20) ϕ(2k)(0) = ϕ(2k)(L) = 0, ψ(2k)(0) = ψ(2k)(L) = 0, k = 0, 1;
21) f(0, t, ε) = f(L, t, ε) = 0, t ∈ [0;T ].
Тодi
∣∣p(i)ls1+(t)
∣∣ ≤ M
∣∣{p(0)ll2+}1∣∣
ω2
s(ωs − ωl)2
,
∥∥p(i)ls2+(t)
∥∥ ≤ M
∣∣{p(0)ll2+}1∣∣
(ωs − ωl)4
, i = 2, 3; l 6= s; l, s ∈ N,
стала M не залежить вiд l, s.
Отже, на множинах
Sl4 =
{
({p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1) ∈ R2 : max{|{p(0)ll2+}1|, |{p
(0)
ll2−}1|} ≤
M0
ω4
l
}
, l ∈ N,
система (27) має єдиний розв’язок {p(0)ll2+}1, {p
(0)
ll2−}1. При цьому
‖p(0)l+ ‖ ≤
M0
ω4
l
, ‖p(0)l− ‖ ≤
M0
ω4
l
, l ∈ N
(стала M0 не залежить вiд l).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 683
У даному випадку вектор-функцiя ws+(t, ε)+ws−(t, ε) задовольняє систему (7)
з точнiстю O
(
ε2
ωs
)
, s ∈ N.
Нехай виконується умова
22)
Lk1T‖Θ−1/42 (t, 0)‖ ‖Θ−1/42 (τ, 0)‖
π
(
1 + 4
(
L
π
)2
)
<
1
4
, 0 ≤ τ ≤ t ≤ T.
Тодi для розв’язку ys = ys(t, ε) системи, аналогiчної до (33), (34), справджу-
ється оцiнка ‖ys(t, ε)‖ = O
(√
ε
ω2
s
)
, s ∈ N.
За побудовою
ε2B(t, ε)
m∑
k=1
z′′k (t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x)dx+A(t, ε)
m∑
k=1
ω2
kzk(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x)dx ≡
≡ ε
∞∑
k=1
L∫
0
C(x, t, ε)vk(x)vs(x)dx
zk(t, ε) +
L∫
0
f(x, t, ε)vs(x)dx, s = 1,m,
тобто
L∫
0
(
ε2B(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂t2
−A(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t, ε)u(x, t, ε)−
−f(x, t, ε)
)
vs(x)dx ≡ 0, s = 1,m,
де
um(x, t, ε) =
m∑
k=1
zk(t, ε)vk(x).
Розглянемо ряд
∞∑
s=1
qms(t, ε)vs(x), (37)
де
qms(t, ε) =
L∫
0
qm(x, t, ε)vs(x)dx, s ∈ N,
qm(x, t, ε) = ε2B(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂t2
−A(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
−
−εC(x, t, ε)u(x, t, ε)− f(x, t, ε).
За побудовою qms(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s = 1,m. Оцiнимо решту коефiцiєнтiв
qms(t, ε), s ≥ m+ 1. Для цього зазначимо, що
qm+1(x, t, ε)=qm(x, t, ε) + ε2B(t, ε)z′′m+1(t, ε)vm+1(x)−A(t, ε)zm+1(t, ε)v′′m+1(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
684 П. Ф. САМУСЕНКО
Оскiльки qm+1,s(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s = 1,m+ 1, то
qm,m+1(t, ε) = −(ε2B(t, ε)z′′m+1(t, ε) + ω2
m+1A(t, ε)zm+1(t, ε)),
a тому
‖qm,m+1(t, ε)‖ ≤ M
ω2
m+1
зi сталою M, що не залежить вiд m. I взагалi, враховуючи, що
qm+i(x, t, ε) = qm(x, t, ε) +
i∑
j=1
(ε2B(t, ε)z′′m+j(t, ε)vm+j(x)−
−A(t, ε)zm+j(t, ε)v
′′
m+j(x)),
звiдки
qm,m+i(x, t, ε) = −(ε2B(t, ε)z′′m+i(t, ε) + ω2
m+iA(t, ε)zm+i(t, ε)), i ∈ N,
отримуємо
‖qms(t, ε)‖ ≤
M
ω2
s
, s ≥ m+ 1,
стала M не залежить вiд m, s.
Таким чином, ряд (37) у прямокутнику D збiгається абсолютно i рiвномiрно до
функцiї qm(x, t, ε) [10, с. 68].
Оскiльки um(x, t, ε) є розв’язком задачi
ε2B(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂t2
= A(t, ε)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
+ εC(x, t, ε)u(x, t, ε)+
+f(x, t, ε) +
∞∑
s=m+1
qms(t, ε)vs(x),
um(x, 0, ε) = ϕm(x),
∂um(x, 0, ε)
∂t
= ψm(x),
um(0, t, ε) = um(L, t, ε) = 0,
де
ϕm(x) =
m∑
s=1
asvs(x), ψm(x) =
m∑
s=1
bsvs(x),
то вектор-функцiя (4) у прямокутнику D є узагальненим розв’язком задачi (1) – (3)
[11, с. 324].
Отже, має мiсце таке твердження.
Теорема 2. Нехай Ai(t), Bi(t) ∈ Cm+2[0;T ], Ci(x, t), fi(x, t) ∈ Cm+2(D),
i ≥ 0, в’язка A0(t) − λB0(t) на вiдрiзку [0;T ] регулярна, має один скiнченний
елементарний дiльник кратностi 2 та один нескiнченний елементарний дiльник i
виконуються умови 1, 7 – 16, 18 – 22. Тодi iснує ε1, ε1 ≤ ε0, таке, що задача (1) – (3)
у прямокутнику D для всiх 0 < ε ≤ ε1 має єдиний узагальнений розв’язок (4), для
якого справджується оцiнка (36).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 685
1. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. – М.: Гостехтеориздат,
1953. – 279 с.
2. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследований квази-
волновых уравнений гиперболического типа. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с.
3. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных
дифференциальных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1966. – 249 с.
4. Sibuya Y. Simplification of a system of linear ordinary differential equations about a singular point //
Funkc. ekvacioj. – 1962. – № 4. – P. 29 – 56.
5. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем
дифференциальных уравнений с вырождениями. – Киев: Вища шк., 1991. – 207 с.
6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
7. Павлюк I. А. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв неавтономних систем диференцiальних рiвнянь
другого порядку. – Київ: Вид-во Київ. ун-ту, 1970. – 208 с.
8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука,
1969. – Т. 3. – 656 с.
10. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
11. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 444 с.
Одержано 25.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2752 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:36Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/2dd89e96895f8e7a439e19ccde66edd7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27522020-03-18T19:35:13Z Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу з виродженням Samusenko, P. F. Самусенко, П. Ф. An asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed system of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration is constructed. Построено асимптотическое решение первой краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с вырождением. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2752 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 668-685 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 668-685 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2752/2260 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2752/2261 Copyright (c) 2011 Samusenko P. F. |
| spellingShingle | Samusenko, P. F. Самусенко, П. Ф. Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title | Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title_alt | Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу з виродженням |
| title_full | Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title_fullStr | Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title_full_unstemmed | Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title_short | Asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| title_sort | asymptotic integration of singularly perturbed systems of hyperbolic-type partial differential equations with degeneration |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2752 |
| work_keys_str_mv | AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbedsystemsofhyperbolictypepartialdifferentialequationswithdegeneration AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbedsystemsofhyperbolictypepartialdifferentialequationswithdegeneration AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimigíperbolíčnogotipuzvirodžennâm AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimigíperbolíčnogotipuzvirodžennâm |