On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane
For the Dirichlet series $F(s) = \sum^{\infty}_{n=1}a_n \exp \{s \lambda_n\}$ with the abscissa of absolute convergence $\sigma a = 0$, conditions on $(λ_n)$ and $(a_n)$ (λn) are established under which $\ln M(\sigma, F) = T_R(1 + o(1)) \exp\{\varrho R/|\sigma|\}$ as $\sigma \uparrow 0$, where$M(σ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2753 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508713856532480 |
|---|---|
| author | Stets', Yu. V. Sheremeta, M. M. Стець, Ю. В. Шеремета, М. М. |
| author_facet | Stets', Yu. V. Sheremeta, M. M. Стець, Ю. В. Шеремета, М. М. |
| author_sort | Stets', Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | For the Dirichlet series $F(s) = \sum^{\infty}_{n=1}a_n \exp \{s \lambda_n\}$ with the abscissa of absolute convergence $\sigma a = 0$, conditions on $(λ_n)$ and $(a_n)$ (λn) are established under which $\ln M(\sigma, F) = T_R(1 + o(1)) \exp\{\varrho R/|\sigma|\}$ as
$\sigma \uparrow 0$, where$M(σ, F) = \sup\{|F(\sigma + it)| : t \in R\}$ and $T_R$ and $\varrho_R$ are positive constants. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.537.72
Ю. В. Стець, М. М. Шеремета (Львiв. нац. ун-т)
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ
У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ
For the Dirichlet series F (s) =
∑∞
n=1
an exp{sλn} with the abscissa of absolute convergence σa = 0,
conditions on (λn) and (an) are established under which lnM(σ, F ) = TR(1 + o(1)) exp{%R/|σ|} as
σ ↑ 0, where M(σ, F ) = sup{|F (σ + it)| : t ∈ R} and TR and %R are positive constants.
Для ряда Дирихле F (s) =
∑∞
n=1
an exp{sλn} с абсциссой абсолютной сходимости σa = 0 установ-
лены условия на (λn) и (an), при выполнении которых lnM(σ, F ) = TR(1 + o(1)) exp{%R/|σ|} при
σ ↑ 0, где M(σ, F ) = sup{|F (σ + it)| : t ∈ R}, а TR и %R — положительные константы.
1. Вступ. Нехай (λn) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть невiд’ємних чисел (λ0 =
= 0), а ряд Дiрiхле
F (s) =
∞∑
n=1
an exp{sλn}, s = σ + it, (1)
має нульову абсцису абсолютної збiжностi. Вiдомо [1, c. 115], що якщо lnn = o(λn)
при n → ∞, то lim
n→∞
ln |an|
λn
= 0. Для σ < 0 покладемо M(σ, F ) = sup{|F (σ +
+it)| : t ∈ R}, i нехай µ(σ, F ) = max{|an| exp{σλn} : n ≥ 0} — максимальний член
ряду (1), а ν(σ, F ) = max{|an| exp{σλn} = µ(σ, F )} — його центральний iндекс.
R-порядком ряду Дiрiхле (1) називається [2] величина %R = lim
σ↑0
|σ| ln lnM(σ, F ),
i якщо lnn = o
(
λn
lnλn
)
при n → ∞, то [2] %R = lim
n→∞
lnλn
λn
ln+ |an|. За умови
0 < %R <∞ в [3] введено R-тип TR = lim
σ↑0
exp
{
−%R
|σ|
}
ln M(σ, F ) i доведено, що
якщо
lim
n→∞
ln lnn
lnλn
< 1, (2)
то
TR = %Re
δ−1, δ = lim
n→∞
(
ln+ |an|
%Rλn
ln
λn
ln2 λn
− 1
)
lnλn. (3)
Основною метою цiєї статтi є знаходження умов на (λn) i (an), за яких
lnM(σ, F ) = TR(1 + o(1)) exp
{
%R
|σ|
}
, σ ↑ 0. (4)
Для цього через Ω(0) позначимо клас додатних необмежених на (−∞, 0) функ-
цiй Φ таких, що похiдна Φ′ додатна, неперервно диференцiйовна i зростає до +∞
на (−∞, 0). Для Φ ∈ Ω(0) нехай ϕ — функцiя, обернена до Φ′, а Ψ(σ) = σ− Φ(σ)
Φ′(σ)
— функцiя, асоцiйована з Φ за Ньютоном. Тодi функцiя Ψ неперервно диференцi-
йовна i зростає до 0 на (−∞, 0), а функцiя ϕ неперервно диференцiйовна i зростає
до 0 на (0,+∞). Звiдси випливає, що i обернена до Ψ функцiя Ψ−1 також зростає
до 0 на (−∞, 0). Будемо використовувати такi твердження.
c©Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА, 2011
686 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 687
Лема 1 [3, 4]. Нехай Φ належить Ω(0). Для того щоб lnµ(σ, F ) ≤ Φ(σ) для
всiх σ ∈ [σ0, 0), необхiдно i достатньо, щоб ln |an| ≤ −λnΨ(ϕ(λn)) для всiх
n ≥ n0.
Лема 2 [4, 5]. Для додатних чисел a < b справджується нерiвнiсть
G1(a, b,Φ) < G2(a, b,Φ), де
G1(a, b,Φ) =
ab
b− a
b∫
a
Φ(ϕ(t))
t2
dt, G2(a, b,Φ) = Φ
(
1
b− a
b∫
a
ϕ(t)dt
)
.
Лема 3 [4]. Нехай Φ належить Ω(0) i ln |ank
| ≥ −λnk
Ψ(ϕ(λnk
)) для зроста-
ючої послiдовностi (nk) натуральних чисел. Тодi для всiх σ ∈ [λnk
, λnk+1
] i всiх
k ≥ k0
lnµ(σ, F ) ≥ Φ(σ)
G1(λnk
, λnk+1
,Φ)
G2(λnk
, λnk+1
,Φ)
,
Φ−1(lnµ(σ, F )) ≥ σ
Φ−1(G1(λnk
, λnk+1
,Φ))
Φ−1(G2(λnk
, λnk+1
,Φ))
.
Лема 4 [4]. Нехай Φj належить Ω(0), j = 1, 2, i Φ1(σ) ≤ lnµ(σ, F ) ≤ Φ2(σ)
для всiх σ ∈ [σ0, 0). Тодi
ln |an| ≤ −λnΨ2(ϕ2(λn))
для всiх n ≥ n0 та iснує зростаюча послiдовнiсть (nk) натуральних чисел така,
що ln |ank
| ≥ −λnk
Ψ1(ϕ1(λnk
)) i
G1(λnk
, λnk+1
,Φ2) ≥ Φ1
1
λnk+1
− λnk
λnk+1∫
λnk
ϕ2(t)dt
.
2. Регулярнiсть зростання вiдносно R-типу. Оскiльки (xΨ(ϕ(x)))′ = ϕ(x),
то, як видно з лем 1 – 4, важливою є наступна лема.
Лема 5. Нехай Φ(σ) = T exp
{
%
|σ|
}
, де T > 0, % > 0. Тодi
ϕ(x) = −%
(
1
lnx
+
2 ln lnx
ln2 x
+
1
ln2 x
ln
(1 + o(1))T
%
)
, x→∞.
Доведення. Оскiльки Φ′(σ) =
T%
|σ|2
exp
{
%
|σ|
}
, то для знаходження асимптоти-
ки функцiї ϕ потрiбно розв’язати рiвняння
%
|σ|
+ 2 ln
1
|σ|
= ln
x
T%
. (5)
Розв’язок цього рiвняння шукатимемо у виглядi
1
|σ|
=
1
%
ln
x
T%
− α(x), (6)
де α(x) = o(lnx), x→∞. Пiдставляючи (6) в (5), при x→∞ маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
688 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
%α(x) = 2 ln
(
1
%
ln
x
T%
− α(x)
)
= 2 ln
(
1
%
ln
x
T%
)
+ 2 ln
1− %α(x)
ln
x
T%
=
= 2 ln lnx− 2 ln %+O
(
1
lnx
)
+O
(
α(x)
lnx
)
= 2 ln lnx− 2 ln %+O
(
ln lnx
lnx
)
.
Тому з (6) випливає, що
1
|ϕ(x)|
=
1
%
(
lnx− 2 ln lnx− ln
T
%
+O
(
ln lnx
lnx
))
, x→∞, (7)
i, отже,
|ϕ(x)| = %
lnx
1
1− 2 ln lnx
lnx
− lnT/%
lnx
+O
(
ln lnx
ln2 x
) =
=
%
lnx
(
1 +
2 ln lnx
lnx
+
lnT/%
lnx
+O
(
ln lnx
ln2 x
)
+O
(
ln2 lnx
ln2 x
))
=
=
%
lnx
+
2% ln lnx
ln2 x
+
% lnT/%
ln2 x
(1 + o(1)), x→∞.
Оскiльки для додатної сталої q правильною є асимптотична рiвнiсть
(1 + o(1)) ln q = ln(1 + o(1))q, x→∞,
то лему 5 доведено.
Неважко перевiрити, що Ψ(σ) = −
(
|σ|+ |σ|
2
%
)
. Тому за лемою 5
xΨ(ϕ(x)) = −x
(
|ϕ(x)|+ |ϕ(x)|2
%
)
=
= −x
(
%
lnx
+
2% ln lnx
ln2 x
+
% ln(T (1 + o(1))/%)
ln2 x
+
%2
ln2 x
+O
(
ln lnx
ln3 x
))
=
= − x%
ln2 x
(
lnx+ 2 ln lnx+ ln
(
T (1 + o(1))
%
))
, x→∞. (8)
За лемою 1
lnµ(σ, F ) ≤ (1 + o(1))T exp
{
%
|σ|
}
, σ ↑ 0,
тодi i тiльки тодi, коли
ln |an| ≤
λn%
ln2 λn
ln
(
(1 + o(1))Te
%
λn ln2 λn
)
, n→∞. (9)
Звiдси, зокрема, випливає, що
lim
σ↑0
exp
{
− %
|σ|
}
lnµ(σ, F ) =
%
e
lim
n→∞
1
λn ln2 λn
|an|ln
2 λn/%λn . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 689
Зауваження 1. З (7) випливає також, щo
|ϕ(x)| = %
ln(x ln−2 x)
(
1 +
(1 + o(1))(lnT/%)
lnx
)
,
|ϕ(x)|2/% = (1 + o(1))% ln−2 x
i, отже,
xΨ(ϕ(x)) = − x%
ln(x ln−2 x)
(
1 + (1 + o(1))
lnTe/%
lnx
)
при x → ∞, звiдки, вважаючи T = TR i % = %R, за лемою 1 отримуємо (3) з
lnµ(σ, F ) замiсть lnM(σ, F ), тобто формула (3) з lnµ(σ, F ) замiсть lnM(σ, F )
збiгається з формулою (10).
Перейдемо до дослiдження асимптотики величин Gj(tk, tk+1,Φ), j = 1, 2, де
(tk) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть додатних чисел i tk+1 = (1+θk)tk. З огляду
на означення G1(tk, tk+1,Φ) i асимптотичну рiвнiсть (7) при k →∞ маємо
G1(tk, tk+1,Φ) =
tktk+1
tk+1 − tk
tk+1∫
tk
T
t2
exp
{
%
|ϕ(t)|
}
dt =
=
tktk+1
tk+1 − tk
tk+1∫
tk
(1 + o(1))T%t
T t2 ln2 t
=
=
(1 + o(1))%tktk+1
tk+1 − tk
(
1
ln tk
− 1
ln tk+1
)
=
=
(1 + o(1))%tk(1 + θk)
θk
ln(1 + θk)
ln tk(ln tk − ln(1 + θk))
.
Якщо lim
k→∞
θk = +∞, то звiдси для вiдповiдної послiдовностi (kj) натуральних
чисел випливає, що
G1(tkj , tkj (1 + θkj ),Φ) =
(1 + o(1))%tkj ln(1 + θkj )
ln tkj (ln tkj − ln(1 + θkj ))
, j →∞. (11)
Якщо lim
k→∞
θk = θ ∈ (0,+∞), то для вiдповiдної послiдовностi (kj) натуральних
чисел
G1(tkj , tkj (1 + θkj ),Φ) =
(1 + o(1))%tkj (1 + θ) ln(1 + θ)
θ ln2 tkj
, j →∞. (12)
Нарештi, якщо θk → 0 при k →∞, то
G1(tk, tk(1 + θk),Φ) =
(1 + o(1))%tk
ln2 tk
, k →∞. (13)
Покладемо тепер κ(tk, tk+1,Φ) =
1
tk+1 − tk
∫ tk+1
tk
ϕ(t)dt. Тодi за лемою 5 при
k →∞ маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
690 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
|κ(tk, tk+1,Φ)|
%
(tk+1 − tk) =
=
tk+1∫
tk
dt
ln t
+ 2
tk+1∫
tk
ln ln t
ln2 t
dt+ (1 + o(1)) ln
T
%
tk+1∫
tk
dt
ln2 t
. (14)
Якщо через I(1)
k , I
(2)
k , I
(3)
k позначимо iнтеграли у правiй частинi рiвностi (14),
то I(2)
k = o(I
(1)
k ), I
(3)
k = o(I
(2)
k ) при k → ∞, I(1)
k =
tk+1
ln tk+1
− tk
ln tk
+ I
(3)
k , I
(2)
k =
=
tk+1 ln ln tk+1
ln2 tk+1
− tk ln ln tk
ln2 tk
+o(I
(3)
k ), I
(3)
k =
tk+1
ln2 tk+1
− tk
ln2 tk
+o(I
(3)
k ) при k →∞.
Звiдси випливає, що
|κ(tk, tk+1,Φ)|
%
= Ak + 2Bk + (1 + o(1))Ck ln
eT
%
, k →∞,
де
Ak =
tk+1 ln tk − tk ln tk+1
(tk+1 − tk) ln tk ln tk+1
,
Bk =
tk+1 ln2 tk ln ln tk+1 − tk ln2 tk+1 ln ln tk
(tk+1 − tk) ln2 tk ln2 tk+1
= o(Ak)
i
Ck =
tk+1 ln2 tk − tk ln2 tk+1
(tk+1 − tk) ln2 tk ln2 tk+1
= o(Ak), k →∞.
Тому
lnG2(tk, tk+1,Φ) = ln Φ(κ(tk, tk+1,Φ)) = lnT +
%
|κ(tk, tk+1,Φ)|
=
= lnT +
1
Ak
(
1 + 2
Bk
Ak
+ (1 + o(1))
Ck
Ak
ln
eT
%
) =
= lnT +
1
Ak
(
1− 2
2Bk
Ak
− (1 + o(1))
Ck
Ak
ln
eT
%
+
+(1 + o(1))
(
2
Bk
Ak
− (1 + o(1))
Ck
Ak
ln
eT
%
)2
)
=
= lnT +
1
Ak
− 2Bk
A2
k
− (1 + o(1))
Ck
A2
k
ln
eT
%
+ 4(1 + o(1))
B2
k
A3
k
, k →∞. (15)
Але
1
Ak
=
(tk+1 − tk) ln tk ln tk+1
tk+1 ln tk+1 − tk ln tk
=
θk ln tk(ln tk + ln(1 + θk))
θk ln tk − ln(1 + θk)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 691
=
ln tk + ln(1 + θk)
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
= (ln tk + ln(1 + θk))
(
1 +
ln(1 + θk)
θk ln tk
+O
(
ln2(1 + θk)
θ2
k ln2 tk
))
=
= ln tk + ln(1 + θk) +
ln(1 + θk)
θk
+ o(1), k →∞,
Bk
A2
k
=
(tk+1 − tk)(tk+1 ln2 tk ln ln tk+1 − tk ln2 tk+1 ln ln tk)
(tk+1 ln tk − tk ln tk+1)2
=
= θk
(1 + θk) ln2 tk
(
ln ln tk + ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
))
(θk ln tk − ln(1 + θk))2
−
− (ln tk + ln(1 + θk))2 ln ln tk
(θk ln tk − ln(1 + θk))2
=
=
ln ln tk +
1 + θk
θk
ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
(
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
)2 −
−
2 ln(1 + θk) ln ln tk
θk ln tk
+
ln2(1 + θk) ln ln tk
θk ln2 tk(
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
)2 =
=
(
ln ln tk +
1 + θk
θk
ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
+ o(1)
)(
1 + (1 + o(1))
ln(1 + θk)
θk ln tk
))
=
= ln ln tk +
1 + θk
θk
ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
+ o(1), k →∞,
i аналогiчно
Ck
A2
k
=
(tk+1 − tk)(tk+1 ln2 tk − tk ln t2k+1)
(tk+1 ln tk − tk ln tk+1)2
=
1− 2 ln(1 + θk)
θk ln tk
− ln2(1 + θk)
θk ln2 tk(
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
)2 =
= 1 + o(1), k →∞,
а якщо θk → 0 при k →∞, то
Bk
Ak
=
(1 + θk)
(
ln ln tk + ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
))
−
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)2
ln ln tk(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
(θk ln tk − ln(1 + θk))
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
692 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
=
ln ln tk +
1 + θk
θk
ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)(
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
)
ln tk
−
−
2
ln ln tk
ln tk
ln(1 + θk)
θk
+
ln ln tk
ln2 tk
ln2(1 + θk)
θk(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)(
1− ln(1 + θk)
θk ln tk
)
ln tk
=
= (1 + o(1))
ln ln tk
ln tk
, k →∞,
i, отже,
B2
k
A3
k
= (1 + o(1))
ln2 ln tk
ln tk
= o(1), k →∞.
Тому якщо θk → 0 при k →∞, то з огляду на (15)
lnG2(tk, tk(1 + θk),Φ) = ln %+ ln tk − 2 ln ln tk + o(1), k →∞. (16)
Якщо lim
k→∞
θk = +∞, то для вiдповiдної послiдовностi (kj) натуральних чисел
випливає, що
lnG2(tkj , tkj (1 + θkj ),Φ) ≥ lnT +
1
Ak
− 2Bk
A2
k
− (1 + o(1))
Ck
A2
k
ln
eT
%
=
= lnT + ln tk + ln(1 + θk) +
ln(1 + θk)
θk
−
−2 ln ln tk − 2
1 + θk
θk
ln
(
1 +
ln(1 + θk)
ln tk
)
− ln
Te
%
+ o(1) =
= ln %+ ln tkj + ln(1 + θkj )−
−2 ln ln tkj − 2
1 + θkj
θkj
ln
(
1 +
ln(1 + θkj )
ln tkj
)
− 1 + o(1), j →∞. (17)
Якщо lim
k→∞
θk = θ ∈ (0,+∞), то для вiдповiдної послiдовностi (kj) натуральних
чисел
lnG2(tkj , tkj (1 + θkj ),Φ) ≥
≥ ln %+ ln tkj + ln(1 + θ)− 2 ln ln tkj +
ln(1 + θ)
θ
− 1 + o(1), j →∞. (18)
Використавши отриманi вище результати, доведемо теорему про регулярне
зростання логарифма максимального члена абсолютно збiжного у пiвплощинi ряду
Дiрiхле скiнченного R-порядку.
Теорема 1. Нехай T > 0 i % > 0. Для того щоб для ряду Дiрiхле (1)
lnµ(σ, F ) = T (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
, σ ↑ 0, (19)
необхiдно i достатньо, щоб для кожного ε ∈ (0, T ):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 693
1) iснувало таке число n0(ε), що для всiх n ≥ n0(ε)
ln |an| ≤
λn%
ln2 λn
ln
(
(T + ε)e
%
λn ln2 λn
)
; (20)
2) iснувала зростаюча послiдовнiсть (nk) натуральних чисел така, що для всiх
k ≥ k0
ln |ank
| ≥ λn%
ln2 λnk
ln
(
(T − ε)e
%
λnk
ln2 λnk
)
(21)
i
lim
k→∞
λnk+1
λnk
= 1. (22)
Доведення. Необхiднiсть. З (19) випливає, що для кожного δ ∈ (0, T ) i всiх
σ ∈ [σ0(δ), 0)
(T − δ) exp
{
%
|σ|
}
= Φ1(σ) ≤ lnµ(σ, F ) ≤ Φ2(σ) = (T + δ) exp
{
%
|σ|
}
.
Тому за лемою 4 з огляду на (8)
ln |an| ≤
λn%
ln2 λn
ln
(
(T + δ)(1 + o(1))e
%
λn ln2 λn
)
, n→∞,
ln |ank
| ≥ λn%
ln2 λnk
ln
(
(T − δ)(1 + o(1))e
%
λnk
ln2 λnk
)
, k →∞,
для деякої зростаючої послiдовностi (nk) натуральних чисел такої, що
lnG1(λnk
, λnk+1
,Φ2) ≥ ln Φ1(κ(λnk
, λnk+1
,Φ2)).
Звiдси з огляду на довiльнiсть δ випливають нерiвностi (20) i (21). Оскiльки
ln Φ1(σ) = ln Φ2(σ)− ln
T + δ
T − δ
, то послiдовнiсть (nk) задовольняє умову
lnG1(λnk
, λnk
(1 + θk),Φ2) ≥ lnG2(λnk
, λnk
(1 + θk),Φ2)− ln
T + δ
T − δ
, (23)
де θk =
λnk+1
λnk
− 1. Якби lim
k→∞
θk = +∞, то з (23), (11), (17) для вiдповiдної
зростаючої до +∞ послiдовностi (θkj ) випливало б, що
ln ln(1 + θkj )− ln
(
1 +
ln(1 + θkj )
ln tkj
)
≥
≥ ln(1 + θkj )− 2
1 + θkj
θkj
ln
(
1 +
ln(1 + θkj )
ln tkj
)
− 1− ln
T + δ
T − δ
+ o(1), j →∞,
тобто
ln ln(1 + θkj ) ≥
≥ ln(1 + θkj )− 2
1 + θkj
θkj
ln
(
1 +
ln(1 + θkj )
ln tkj
)
+ 1 + ln
T + δ
T − δ
+ o(1) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
694 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
= (1 + o(1)) ln(1 + θkj ), j →∞,
що неможливо. Якщо lim
k→∞
θk = θ ∈ (0,+∞), то з (28), (12), (18) для вiдповiдної
послiдовностi (θkj ), яка прямує до θ, випливає, що
ln
ln(1 + θ)
θ
≥ ln(1 + θ)
θ
− 1− ln
T + δ
T − δ
+ o(1), j →∞,
тобто завдяки довiльностi δ отримуємо нерiвнiсть ln
ln(1 + θ)
θ
≥ ln(1 + θ)
θ
− 1,
яка є можливою тiльки для θ = 0. Отже,
λnk+1
λnk
− 1 = θk → 0, k → ∞, тобто
рiвнiсть (22) є правильною. Необхiднiсть умов 1 i 2 доведено.
Достатнiсть. З умови (20) завдяки рiвностi (8) i довiльностi ε за лемою 1
легко отримуємо асимптотичну нерiвнiсть
lnµ(σ, F ) ≤ T (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
, σ ↑ 0.
З iншого боку, з умови (22) з огляду на рiвностi (13), (16) випливає, що G1(λnk
,
λnk+1
,Φ) = (1 + o(1))G2(λnk
, λnk+1
,Φ) при k → ∞, i, отже, за лемою 3 з умови
(21) з огляду на (8) i довiльнiсть ε одержуємо асимптотичну нерiвнiсть lnµ(σ, F ) ≥
≥ T (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
, σ ↑ 0.
Теорему 1 доведено.
Встановимо тепер зв’язок мiж зростанням µ(σ, F ) i M(σ, F ). Для цього вико-
ристовуємо наступний результат з [6].
Лема 6. Нехай S(Λ, 0) — клас рядiв Дiрiхле з нульовою абсцисою абсолют-
ної збiжностi i заданою послiдовнiстю Λ = (λn) показникiв, а функцiя Φ ∈ Ω(0)
така, що
Φ′(σ)
Φ(σ)
↗ +∞ i ln Φ′(σ) = o(Φ(σ)) при σ ↑ 0. Тодi для того щоб для
кожної функцiї F ∈ S(Λ, 0) асимптотичнi нерiвностi lnµ(σ, F ) ≤ (1 + o(1))Φ(σ)
i lnM(σ, F ) ≤ (1 + o(1))Φ(σ) були рiвносильними при σ ↑ 0, необхiдно i достат-
ньо, щоб lnn = o(Φ(Ψ(ϕ(λn)))) при n → ∞, причому остання умова є достат-
ньою для еквiвалентностi асимптотичних рiвностей lnµ(σ, F ) = (1 + o(1))Φ(σ)
i lnM(σ, F ) = (1 + o(1))Φ(σ) при σ ↑ 0.
Легко перевiрити, що функцiя Φ(σ) = T exp
{
%
|σ|
}
задовольняє умови леми 6
i з огляду на (7)
Φ(Ψ(ϕ(x))) = T exp
{
%
|Ψ(ϕ(x))|
}
= T exp
{
%
|ϕ(x)|(1 +
|ϕ(x)|
% )
}
=
= T exp
{
%
|ϕ(x)|
(
1− (1 + o(1))|ϕ(x)|
%
)}
= T exp
{
%
|ϕ(x)| − 1 + o(1)
}
=
= T exp{lnx− 2 ln lnx− lnT + ln %− 1 + o(1)} =
(1 + o(1))%x
e ln2 x
, x→∞.
Тому за лемою 6 для того, щоб для кожної функцiї F ∈ S(Λ, 0) асимптотичнi
нерiвностi lnµ(σ, F ) ≤ (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
i lnM(σ, F ) ≤ (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 695
були рiвносильними при σ ↑ 0, необхiдно i достатньо, щоб lnn = o(λn ln−2 λn) при
n→∞, причому остання умова є достатньою для еквiвалентностi асимптотичних
рiвностей lnµ(σ, F ) = (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
i lnM(σ, F ) = (1 + o(1)) exp
{
%
|σ|
}
при σ ↑ 0. Звiдси з огляду на (10) i теорему 1 випливає наступна теорема.
Теорема 2. Нехай lnn = o(λn ln−2 λn) при n→∞. Тодi
TR =
%
e
lim
k→∞
1
λn ln2 λn
|an|ln
2 λn/%λn (24)
i для того щоб асимптотична рiвнiсть (4) була правильною, необхiдно i достат-
ньо, щоб для кожного ε ∈ (0, T ) виконувались умови 1 i 2 теореми 1 з T = TR i
% = %R.
Зауваження 2. Як було зазначено вище, формула (24) збiгається з форму-
лою (3), але за теоремою 2 вона є правильною за слабшої, нiж (2), умови lnn =
= o(λn ln−2 λn), n→∞.
3. Регулярнiсть зростання вiдносного R-порядку. Знайдемо умови на коефi-
цiєнти i показники ряду Дiрiхле (1) з нульовою абсцисою абсолютної збiжностi, за
яких
ln lnM(σ, F ) =
(1 + o(1))%R
|σ|
, σ ↑ 0, (25)
i, як вище, почнемо з доведення наступної теореми.
Теорема 3. Нехай % > 0. Для того щоб
ln lnµ(σ, F ) =
(1 + o(1))%
|σ|
, σ ↑ 0, (26)
необхiдно i достатньо, щоб для кожного ε ∈ (0, %) :
1) iснувало число n0(ε) таке, що для всiх n ≥ n0(ε)
ln |an| ≤
(%+ ε)λn
lnλn
; (27)
2) iснувала зростаюча послiдовнiсть (nk) натуральних чисел така, що для всiх
k ≥ k0
ln |ank
| ≥ (%− ε)λnk
lnλnk
(28)
i
lim
k→∞
λnk+1
λnk
= 1. (29)
Доведення. Необхiднiсть. Зрозумiло, що тепер досить вибрати Φ(σ) =
= exp
{
%
|σ|
}
i обмежитись асимптотикою вiдповiдних функцiй з точнiстю %(1 +
+ o(1)). Тодi за лемою 5 ϕ(x) =
−%(1 + o(1))
lnx
, а з огляду на (8) xΨ(ϕ(x)) =
=
−x%(1 + o(1))
lnx
при x → ∞. Оскiльки Φ(ϕ(x)) = exp
{
%
|ϕ(x)|
}
< x1+ε для
кожного ε > 0 i всiх досить великих x, то для всiх досить великих k
G1(tk, tk+1,Φ) ≤
tktk+1(tεk+1 − tεk)
ε(tk+1 − tk)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
696 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
З iншого боку,
|κ(tk, tk+1,Φ))| = %(1 + o(1))Ak = %(1 + o(1))
tk+1 ln tk+1 − tk ln tk
(tk+1 − tk) ln tk ln tk+1
i, отже,
lnG2(tk, tk+1,Φ) =
%
|κ(tk, tk+1,Φ))|
=
= (1 + o(1))
(tk+1 − tk) ln tk ln tk+1
tk+1 ln tk − tk ln tk+1
, k →∞.
Припустимо тепер, що виконується асимптотична рiвнiсть (26). Тодi для кожного
δ ∈ (0, %/2) i всiх σ ∈ (σ0(δ), 0)
exp
{
%− δ
|σ|
}
= Φ1(σ) ≤ lnµ(σ, F ) ≤ Φ2(σ) = exp
{
%+ δ
|σ|
}
.
Звiдси за лемою 4, як при доведеннi теореми 1, отримуємо нерiвнiсть (27) для всiх
n > n0(ε) i нерiвнiсть (28) для деякої зростаючої послiдовностi (nk) натуральних
чисел такої, що
lnG1(λnk
, λnk+1
,Φ2) ≥
≥ lnG2(λnk
, λnk+1
,Φ2)− (ln Φ2(κ(tk, tk+1,Φ2)− ln Φ1(κ(tk, tk+1,Φ2))) =
= lnG2(λnk
, λnk+1
,Φ2)− 2δ
κ(tk, tk+1,Φ2)
,
тобто
ln
λnk
λnk+1
(λεnk+1
− λεnk
)
ε(λnk+1
− λnk
)
≥ %− δ
|κ(λnk+1
, λnk
,Φ2)
| =
=
%− δ
%+ δ
(λnk+1
− λnk
) lnλnk
lnλnk+1
λnk+1
lnλnk
− λnk
lnλnk+1
, k →∞. (30)
Припустимо, що λnk+1
= λ1+η
nk
i lim
k→∞
ηk = η > 0. Тодi iснує зростаюча послi-
довнiсть (kj) натуральних чисел така, що ηkj → η, λnkj
= o(λnkj+1
) i, отже,
λnkj
lnλnkj+1
= o(λnkj+1
lnλnkj
) при j →∞. Тому
(1 + ε(1 + ηkj )) lnλnkj
− ln ε+ o(1) + lnT ≥
≥ %− δ
%+ δ
(1 + o(1))(1 + ηkj )) lnλnkj
, j →∞,
звiдки
1 + ε(1 + ηkj ) ≥ (1 + o(1))
%− δ
%+ δ
(1 + ηkj ),
що неможливо з огляду на довiльнiсть ε i δ. Отже, ηk → 0, k → ∞, i виконується
рiвнiсть (29). Необхiднiсть умов 1 i 2 доведено.
Достатнiсть. З огляду на довiльнiсть ε з умови 1 за лемою 1 випливає асимп-
тотична нерiвнiсть ln lnµ(σ, F ) ≤ (1 + o(1))%
|σ|
, σ ↑ 0. Для доведення оберненої
асимптотичної нерiвностi, крiм леми 3, нам потрiбна наступна лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПPО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ АБСОЛЮТНО ЗБIЖНИХ У ПIВПЛОЩИНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ 697
Лема 7 [7]. Нехай Φ ∈ Ω(0), а функцiя g додатна, неперервна, зростаюча до
+∞ на (0,+∞) i g(x) > x. Припустимо, що (tk) — зростаюча до +∞ послiдов-
нiсть додатних чисел i tk+1 ≤ g(tk). Тодi
Φ−1(G1(tk, tk+1,Φ))
Φ−1(G2(tk, tk+1,Φ))
≥ Φ−1(G1(tk, g(tk),Φ))
Φ−1(G2(tk, g(tk),Φ))
.
З (29) випливає, що λnk+1
≤ λ1+η
nk
для кожного η > 0 i всiх k ≥ k0(η). Тому за
лемою 3 i лемою 7 з g(x) = x1+η маємо
Φ−1(lnµ(σ, F )) ≥ σ
Φ−1(G1(λnk
, λ1+η
nk
,Φ))
Φ−1(G2(λnk
, λ1+η
nk ,Φ))
(31)
для всiх σ ∈ [ϕ(λnk
), ϕ(λnk+1
)] i всiх досить великих k. Оскiльки Φ(ϕ(x)) =
= exp
{
%
|ϕ(x)|
}
> x1−ε для кожного ε ∈ (0, 1) i всiх досить великих x i Φ−1(x) =
=
−%
lnx
, то при k →∞
Φ−1(G1(λnk
, λ1+η
nk
,Φ)) ≥
≥ −%
ln
(
λ1+η
nk
λnk
λ1+η
nk − λnk
λ−εnk
− λ−ε(1+η)
nk
ε
) =
−%
(1− ε) lnλnk
− ln ε+ o(1)
.
З iншого боку,
Φ−1(G2(λnk
, λ1+η
nk
,Φ)) = κ(λnk
, λ1+η
nk
,Φ) = −%(1 + o(1))Ak =
= −%(1 + o(1))
λ1+η
nk
lnλnk
− λnk
lnλ1+η
nk
(λ1+η
nk − λnk
) lnλnk
lnλ1+η
nk
=
−%(1 + o(1))
(1 + η) lnλnk
, k →∞.
Тому з (31) отримуємо Φ−1(lnµ(σ, F )) ≥ σ
1 + η
1− ε
(1 + o(1)) при σ ↑ 0, звiдки з
огляду на довiльнiсть ε i η одержуємо нерiвнiсть ln lnµ(σ, F ) ≤ (1 + o(1))%
|σ|
, σ ↑ 0.
Теорему 3 доведено.
Позначимо через S∗(Λ, 0) клас формальних рядiв Дiрiхле (1) таких, що
|an|eσλn → 0, n → ∞, для кожного σ < 0, i будемо говорити, що такий ряд
належить до класу S∗µ,Φ(Λ, 0), якщо lnµ(σ, F ) ≤ (Φ(1 + o(1))σ), i до класу
S∗M,Φ(Λ, 0), якщо lnM(σ, F ) ≤ Φ((1 + o(1))σ) при σ ↑ 0. З огляду на нерiвнiсть
Кошi µ(σ, F ) ≤ M(σ, F ) маємо S∗M,Φ(Λ, 0) ⊂ S∗µ,Φ(Λ, 0). З iншого боку, якщо
Φ ∈ Ω(0), |σ|Φ′(σ)Φ(σ) ↗ +∞ i ln Φ′(σ) = o(Φ(σ)) при σ ↑ 0, то за дове-
деною у [8] теоремою для того, щоб S∗µ,Φ(Λ, 0) ⊂ S∗M,Φ(Λ, 0), достатньо, щоб
lim
n→∞
|ϕ(λn)|/|Φ−1(lnn)| < 1, i необхiдно, щоб lim
n→∞
|ϕ(λn)|/|Φ−1(lnn)| ≥ 1. Як
видно з доведення цiєї теореми, за умови lim
n→∞
|ϕ(λn)|/|Φ−1(lnn)| < 1 з огляду на
нерiвнiсть Кошi рiвносильними є i асимптотичнi рiвностi lnµ(σ, F ) = Φ(1+o(1))σ)
i lnM(σ, F ) = Φ(1 + o(1))σ) при σ ↑ 0. Легко перевiрити, що функцiя
Φ(σ) = exp
{
%
|σ|
}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
698 Ю. В. СТЕЦЬ, М. М. ШЕРЕМЕТА
задовольняє умови цього твердження, а умова lim
n→∞
|ϕ(λn)|/|Φ−1(lnn)| < 1 у да-
ному випадку рiвносильна умовi (2). Тому з теореми 3 випливає наступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконується умова (2). Для того щоб асимптотична рiв-
нiсть (25) була правильною, необхiдно i достатньо, щоб для кожного ε ∈ (0, %)
виконувались умови 1 i 2 теореми 3.
1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976. – 536 с.
2. Гайсин А. М. Оценки роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуплоскости // Мат. сб.
– 1982. – 117, № 3. – С. 412 – 424.
3. Шеремета М. Н., Федыняк С. И. О производной ряда Дирихле // Сиб. мат. журн. – 1998. – 39,
№ 1. – С. 206 – 223.
4. Шеремета М. М., Сумик О. М. Зв’язок мiж зростанням спряжених за Юнгом функцiй // Мат.
студiї. – 1999. – 11, № 1. – С. 41 – 47.
5. Заболоцький М. В., Шеремета М. М. Узагальнення теореми Лiндельофа // Укр. мат. журн. – 1998.
– 50, № 9. – С. 1177 – 1192.
6. Шеремета М. Н. О максимуме модуля и максимальном члене ряда Дирихле // Мат. заметки. –
2003. – 73, № 3. – С. 437 – 443.
7. Сумик О. М. Оцiнки максимального члена ряду Дiрiхле знизу // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат.
– 1999. – Вип. 53. – С. 40 – 43.
8. Зелiско М. М., Шеремета М. М. Про асимптотичне поводження логарифмiв максимуму модуля i
максимального члена абсолютно збiжного у пiвплощинi ряду Дiрiхле // Там же. – 2006. – Вип. 66.
– С. 70 – 74.
Одержано 14.12.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2753 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:35Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/14ebb7cca13eede6772cb3ab904263f6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27532020-03-18T19:35:13Z On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane Про регулярне зростання абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле Stets', Yu. V. Sheremeta, M. M. Стець, Ю. В. Шеремета, М. М. For the Dirichlet series $F(s) = \sum^{\infty}_{n=1}a_n \exp \{s \lambda_n\}$ with the abscissa of absolute convergence $\sigma a = 0$, conditions on $(λ_n)$ and $(a_n)$ (λn) are established under which $\ln M(\sigma, F) = T_R(1 + o(1)) \exp\{\varrho R/|\sigma|\}$ as $\sigma \uparrow 0$, where$M(σ, F) = \sup\{|F(\sigma + it)| : t \in R\}$ and $T_R$ and $\varrho_R$ are positive constants. Для ряда Дирихле $F(s) = \sum^{\infty}_{n=1}a_n \exp \{s \lambda_n\}$ с абсциссой абсолютной сходимости $\sigma a = 0$ установлены условия на $(λ_n)$ и $(a_n)$, при выполнении которых $\ln M(\sigma, F) = T_R(1 + o(1)) \exp\{\varrho R/|\sigma|\}$ при $\sigma \uparrow 0$, где $M(σ, F) = \sup\{|F(\sigma + it)| : t \in R\}$, а $T_R$ и $\varrho_R$ — положительные константы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2753 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 686-698 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 686-698 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2753/2262 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2753/2263 Copyright (c) 2011 Stets' Yu. V.; Sheremeta M. M. |
| spellingShingle | Stets', Yu. V. Sheremeta, M. M. Стець, Ю. В. Шеремета, М. М. On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title | On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title_alt | Про регулярне зростання абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле |
| title_full | On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title_fullStr | On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title_full_unstemmed | On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title_short | On the regular growth of Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| title_sort | on the regular growth of dirichlet series absolutely convergent in a half-plane |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2753 |
| work_keys_str_mv | AT stets039yuv ontheregulargrowthofdirichletseriesabsolutelyconvergentinahalfplane AT sheremetamm ontheregulargrowthofdirichletseriesabsolutelyconvergentinahalfplane AT stecʹûv ontheregulargrowthofdirichletseriesabsolutelyconvergentinahalfplane AT šeremetamm ontheregulargrowthofdirichletseriesabsolutelyconvergentinahalfplane AT stets039yuv proregulârnezrostannâabsolûtnozbížnihupívploŝinírâdívdíríhle AT sheremetamm proregulârnezrostannâabsolûtnozbížnihupívploŝinírâdívdíríhle AT stecʹûv proregulârnezrostannâabsolûtnozbížnihupívploŝinírâdívdíríhle AT šeremetamm proregulârnezrostannâabsolûtnozbížnihupívploŝinírâdívdíríhle |