Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form
A mean value theorem for polynomials of a special form is proved. The case of a sum over vertices of a regular polygon is studied and a criterion for the equation of a special form to be satisfied is obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2754 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508718218608640 |
|---|---|
| author | Trofymenko, O. D. Трофименко, О. Д. Трофименко, О. Д. |
| author_facet | Trofymenko, O. D. Трофименко, О. Д. Трофименко, О. Д. |
| author_sort | Trofymenko, O. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | A mean value theorem for polynomials of a special form is proved. The case of a sum over vertices of a regular polygon is studied and a criterion for the equation of a special form to be satisfied is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. Д. Трофименко (Донец. нац. ун-т)
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ ПРО СЕРЕДНЄ
ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИДУ
A mean value theorem for polynomials of a special form is proved. The case of a sum over vertices of a
regular polygon is studied and a criterion for the equation of a special form to be satisfied is obtained.
Доказана теорема о среднем для полиномов специального вида. Изучен случай суммы по вершинам
правильного многоугольника и, таким образом, получен критерий выполнения уравнения специального
вида.
1. Вступ. Класична теорема Гаусса, що характеризує клас гармонiчних функцiй за
допомогою формули середнього значення, отримала подальший розвиток i уточнен-
ня у багатьох роботах (див., наприклад, огляди [1, 2] i монографiї [3, 4] з великою
бiблiографiєю). Одним iз основних напрямкiв у цих дослiдженнях є опис класiв
функцiй, якi задовольняють заданi iнтегральнi рiвняння, що мають певний геомет-
ричний сенс. Серед отриманих результатiв можна вiдмiтити теореми про середнє,
що характеризують гармонiчнi многочлени [5], бiаналiтичнi функцiї [6], розв’язки
рiвнянь згортки з фiнiтним згортувачем та iншi (див. [7]). Окрiм самостiйного
iнтересу результати такого типу важливi в iнтегральнiй геометрiї та рiзних додатках
(див. [3]).
У данiй роботi доведено теорему про середнє для полiаналiтичних многочленiв
спецiального виду. Її особливiстю є те, що до формули середнього значення (див.
нижче) входить значення функцiї у вершинах правильного n-кутника, а також зна-
чення деякого диференцiального оператора вiд функцiї в центрi цього n-кутника.
Для точного формулювання результату введемо наступнi позначення.
Нехай s, h ∈ Z, n,m ∈ N, n ≥ 3, 0 ≤ h < n − s, 0 ≤ s ≤ m− 1, q =
= min {h+ s,m− 1}.
Далi BR — круг в C iз центром у точцi 0 i радiусом R. Позначимо через
ζν = Rei
2πν
n , ν = 1, . . . , n, вершини кожного правильного n-кутника з радiусом
описаного кола R та вписаного r.
Нехай R∗(n,R, r) =
{√
5R2 + 4rR, n непарне,√
8R2 +R4/r2, n парне.
2. Формулювання основного результату.
Теорема 1. Нехай R >
1
2
R∗(n,R, r), функцiя f належить Cq(BR). Тодi
наступнi твердження є еквiвалентними:
1) при всiх 0 ≤ α ≤ 2π, z + ζνe
iα ∈ BR, ν ∈ {1, . . . , n}
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
f(ζνe
iα + z) =
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(z), (1)
2) функцiя f має вигляд
f(z) =
h∑
k=0
m−1∑
l=0
ck,lz
kz̄l, (2)
де ck,l — деякi сталi.
c© О. Д. ТРОФИМЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5 699
700 О. Д. ТРОФИМЕНКО
3. Допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай функцiя f(z) має вигляд (2). Тодi виконується рiвнiсть
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
f(ζνe
i(α+β) + zeiβ) =
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(zeiβ), (3)
де 0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ β ≤ 2π, zeiβ + ζνe
i(α+β) ∈ BR.
Доведення. Маємо
eiαs
n∑
ν=1
ζsνf(ζνe
i(α+β) + zeiβ) =
=
n∑
ν=1
h∑
k=0
m−1∑
l=0
k∑
j=0
l∑
p=0
ck,lC
j
kC
p
l e
iαsζs+jν ζ̄ν
p
eiα(j−p)eiβke−iβlzk−j z̄l−p.
Далi, вiдокремлюючи мiркування щодо z та ζν , отримуємо
eiαs
h∑
j=0
m−1∑
p=0
eiα(j−p)
1
j!p!
(
∂
∂z
)j(
∂
∂z̄
)p
f(zeiβ)
n∑
ν=1
Rs+j+pei(s+j−p)
2πν
n = 0,
окрiм випадку s+ j − p = q1n, q1 ∈ Z .
Оцiнимо q1n:
1−m ≤ q1n ≤ m− 1 + h ≤ m− 1 + n− s ≤ m− 1 + n.
Звiдси випливає, що є можливим випадок: q1n = 0.
Отже, s+ j − p = 0. Далi
eiαs
h∑
j=0
m−1∑
p=0
eiα(j−p)
1
j!p!
(
∂
∂z
)j(
∂
∂z̄
)p
f(zeiβ)
n∑
ν=1
Rs+j+pei(s+j−p)
2πν
n =
=
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(zeiβ).
Тепер очевидно, що рiвнiсть (3) виконується.
Лемму 1 доведено.
Далi введемо для функцiї f ∈ Cq(BR) вiдповiдний ряд Фур’є
f(z) =
∞∑
k=−∞
fk(ρ)eiϕk, (4)
де fk(ρ) =
1
2π
∫ π
−π
f(ρeiϕ)e−iϕkdϕ.
Лема 2. Нехай f належить Cq(BR) i для неї виконується рiвнiсть (3). Тодi
ця рiвнiсть виконується для кожного доданкa ряду Фур’є цiєї функцiї, i навпаки.
Доведення. Необхiднiсть. Помножимо лiву i праву частини рiвностi (3) на e−iβk
i зiнтегруємо по β вiд −π до π :
π∫
−π
e−iβk
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
∞∑
k=−∞
fk(ρ′)ei(ϕ−
2πν
n −α)keiβkdβ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ ПРО СЕРЕДНЄ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИДУ 701
=
π∫
−π
e−iβk
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p ∞∑
k=−∞
fk(ρ)eiϕkeiβkdβ,
де ρ′ =
√
R2 + ρ2 + 2Rρ cos
(
ϕ− 2πν
n
− α
)
.
Далi
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
fk(ρ′)ei(ϕ−
2πν
n −α)k =
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
fk(ρ)eiϕk,
що i потрiбно було довести.
Достатнiсть. Нехай
λ(α)=
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
f
(
ρ′cos
(
ϕ− 2πν
n
− α+ β
)
, ρ′sin
(
ϕ− 2πν
n
− α+ β
))
−
−
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(ρ cos(ϕ+ β), ρ sin(ϕ+ β)).
Тодi маємо рiвнiсть
π∫
−π
λ(α)e−iβkdα =
n∑
ν=1
π∫
−π
(ζνe
iα)
s
f(ρ′ cosβ, ρ′ sinβ)e−iβkdβ
ei(ϕ−
2πν
n −α)k−
−
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p π∫
−π
f(ρ cosβ, ρ sinβ)e−iβkdβeikϕ = 0.
Отже, λ(α) = 0, що й завершує доведення леми.
Лема 3. Нехай f(z) = cN0(λ|z|) (N0(λ|z|) — функцiя Неймана, λ 6= 0, c —
стала) i задовольняє рiвнiсть (1) в BR. Тодi c = 0.
Доведення. ФункцiяN0(λ|z|) дiйсно-аналiтична i для неї з [3] (ч. 1) виконується
N0(λ|z|) =
2
π
J0(λ|z|)
(
log
λ|z|
2
+ γ
)
− 2
π
∞∑
m=0
(−1)m
(
λ|z|
2
)2m
(m!)2
m∑
k=1
1
k
,
де J0(λ|z|) — функцiя Бесселя, γ = lim
N→+∞
(∑N
k=1
1
k
− logN
)
. Далi, використо-
вуючи вигляд функцiї Бесселя, отримуємо
N0(λ|z|) =
2
π
∞∑
m=0
(−1)m(λ|z|2 )
2m
(m!)2
(
log
λ|z|
2
+ γ −
m∑
k=1
1
k
)
.
Пiдставимо в рiвнiсть (1) функцiю f(z) = cN0(λ|z|). Тодi
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
cN0(λ|ζνeiα + z|) =
q∑
p=s
c
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
N0(λ|z|),
де функцiя (ζνe
iα)
s
N0(λ|ζνeiα + z|) є дiйсно-аналiтичною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
702 О. Д. ТРОФИМЕНКО
В отриманiй рiвностi позначимо диференцiювання функцiї Неймана через
DN0(λ|z|) — дiйсно-аналiтичну функцiю. Згiдно з [3] (ч. 1, твердження 7.1) маємо
D = (∆+λ2)P (∂), де P (∂) — диференцiальний оператор в R2. Тодi DN0(λ|z|) = 0
скрiзь, окрiм точки z = 0.
З iншого боку, враховуючи отриманий вигляд для N0(λ|z|), маємо
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
cN0(λ|ζνeiα + z|) ≡ 0
в околi точки z = 0. Тобто у загальному виглядi функцiї f(z) стала c дорiвнює
нулевi.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай γ ∈ R1, z=x+iy, λ ∈ C\{0}, c ∈ C i f∗(z)=cei(x cos γ+y sin γ)λ.
Тодi f∗(z) =
∑∞
k=−∞
ckJk(λρ)eikϕ, ck — стала.
Доведення. Покажемо спочатку, що вихiдна функцiя задовольняє рiвняння
∆f∗(z) + λ2f∗(z) = 0. (5)
Маємо
−cλ2ei(x cos γ+y sin γ)λ + λ2cei(x cos γ+y sin γ)λ = 0.
Тепер перевiримо, що кожен доданок fk(ρ)eikϕ розкладу функцiї f∗(z) також за-
довольняє рiвняння (5).
Нехай
fk(ρ)eikϕ =
1
2π
π∫
−π
f∗(x cos t− y sin t, x sin t+ y cos t)e−iktdt. (6)
Позначимо h(x, y, t) = f∗(x cos t− y sin t, x sin t+ y cos t). Тодi
1
2π
π∫
−π
∆h(x, y, t)e−iktdt+ λ2
1
2π
π∫
−π
h(x, y, t)e−iktdt = 0.
Тепер зрозумiло, що
∆(fk(ρ)eikϕ) + λ2fk(ρ)eikϕ = 0.
Як вiдомо,
∂
∂x
(
fk(ρ)eikϕ
)
=
1
2
(
f
′
k +
k
ρ
)
ei(k−1)ϕ +
1
2
(
f
′
k −
k
ρ
)
ei(k+1)ϕ, а
також
∂
∂y
(
fk(ρ)eikϕ
)
=
i
2
(
f
′
k +
k
ρ
)
ei(k−1)ϕ − i
2
(
f
′
k −
k
ρ
)
ei(k+1)ϕ. Звiдси отри-
муємо
∂2
∂x2
(
fk(ρ)eikϕ
)
=
1
4
((
f
′
k +
k
ρ
)′
+
k − 1
ρ
(
f
′
k +
k
ρ
))
ei(k−2)ϕ+
+
1
4
(
2f ′′k + 2
f ′k
ρ
− 2
k2
ρ2
fk
)
eikϕ +
1
4
((
f
′
k −
k
ρ
)′
− k + 1
ρ
(
f
′
k −
k
ρ
))
ei(k+2)ϕ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ ПРО СЕРЕДНЄ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИДУ 703
Аналогiчно
∂2
∂y2
(
fk(ρ)eikϕ
)
= −1
4
((
f
′
k +
k
ρ
)′
+
k − 1
ρ
(
f
′
k +
k
ρ
))
ei(k−2)ϕ+
+
1
4
(
2f ′′k + 2
f ′k
ρ
− 2
k2
ρ2
fk
)
eikϕ − 1
4
((
f
′
k −
k
ρ
)′
− k + 1
ρ
(
f
′
k −
k
ρ
))
ei(k+2)ϕ.
Враховуючи зазначене вище, отримуємо рiвняння Бесселя для функцiї fk(ρ):
ρ2f ′′k + ρf ′k + (λ2ρ2 − k2)fk = 0. (7)
Оскiльки f ∈ C∞(C), з (6) випливає, що функцiя fk(ρ) неперервна на [0,+∞].
Звiдси та з рiвностi (7) маємо fk(ρ) = ckJk(λρ).
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай f(z) = cJ0(λ|z|) (λ 6= 0, c ∈ C) i задовольняє рiвнiсть (1) в
BR. Тодi c = 0.
Доведення. За лемою 4 f(z) = cei(x cos γ+y sin γ)λ.
Пiдставимо f(z) у рiвняння (1):
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
cei(xν cos γ+yν sin γ)λei(x cos γ+y sin γ)λ =
=
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
c
i2p−s
22p−s
λ2p−seiγsei(x cos γ+y sin γ)λ.
Очевидно, що c = 0.
Лему 5 доведено.
Позначимо через Cq\ клас q разiв диференцiйовних радiальних функцiй.
Лема 6. Нехай функцiя f належить Cq\ (BR) i задовольняє рiвнiсть (1) в BR.
Тодi f(z) =
∑q
k=0
ck|z|2k, де ck — деякi сталi.
Доведення. В [3] (ч. 4, теорема 3.2) доведено наступне твердження.
Нехай f ∈ Cq(BR) та iснує полiном Q: C→ C, що задовольняє рiвнiсть
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
f(ζνe
iα + z) =
q∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
Q(∂)f(z).
Тодi iснує многочлен P : P (4)f0 = 0 у BR, де 4 — оператор Лапласа.
Отже, P (4)f =
∑n
ν=1
cν4νf = 0, де cν — стала.
Таким чином, при будь-якому i ∈ 1, . . . , n
(4− λi)F = 0,
де F = cn
∏n
j 6=i
(4− λj)f, а λi 6= 0 — коренi рiвняння P (z) = 0.
Нехай λi 6= 0. Як розв’язок диференцiального рiвняння Бесселя отримаємо
F (z) = c1J0(
√
λi|z|) + c2N0(
√
λi|z|),
де J0 i N0 — вiдповiдно функцiї Бесселя i Неймана; c1, c2 — деякi сталi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
704 О. Д. ТРОФИМЕНКО
За лемами 3 i 5 c1 = c2 = 0. Звiдси
∏n
j 6=i
(4 − λj)f0 = 0. Тодi (4 −
− λm)
∏n
j 6=i
(4− λj)f0 = 0, m ∈ N.
Мiркуючи аналогiчно, переконуємося, що 4f0 = 0, λj 6= 0.
Якщо ж λj = 0, то нехай f =
∑N
k>min{h,m−1}
ck|z|2k, N ∈ N.
Розглянемо випадок k = min{h+ s,m− 1}+ 1.
Функцiя з вибраним iндексом не задовольняє рiвняння (1). Далi беремо оператор
Лапласа вiд f :
4
N∑
k>min{h,m−1}
ck|z|2k =
N∑
k>min{h,m−1}
c̃k|z|2(k−1),
де c̃k — деякi сталi.
Тепер пiдставимо отриману функцiю у рiвняння (1). Тiльки випадок, коли k =
= min{h + s,m − 1} + 1, пiдходить для вихiдної рiвностi, тобто f =
= c̃min{h,m−1}|z|2(k−1), де c̃min{h,m−1} — сталi.
Знову беремо оператор Лапласа i, таким чином, отримуємо функцiю вигляду
f =
q∑
k=0
ck|z|2k, ck — стала,
що i потрiбно було довести.
Лема 7. Нехай для fj(ρ)eijϕ виконується рiвнiсть (1). Тодi ця рiвнiсть вико-
нується для fj+1(ρ)ei(j+1)ϕ i fj−1(ρ)ei(j−1)ϕ, j = 0, 1, 2, . . . .
Доведення. Отже, для fj(ρ)eijϕ маємо
∂
∂x
(
fj(ρ)eijϕ
)
=
(
f ′j + j
fj(ρ)
ρ
)
ei(j−1)ϕ +
(
f ′j − j
fj(ρ)
ρ
)
ei(j+1)ϕ,
де
f ′j + j
fj(ρ)
ρ
= fj−1(ρ). (8)
За умовою fj(ρ)eijϕ задовольняє рiвнiсть (1). Звiдси
∂
∂x
(
fj(ρ)eijϕ
)
i fj−1(ρ)ei(j−1)ϕ
також задовольняють рiвнiсть (1).
Аналогiчно
f ′j − j
fj(ρ)
ρ
= fj+1(ρ), (9)
i fj+1(ρ)ei(j+1)ϕ задовольняє рiвнiсть (3).
4. Доведення основного результату. Достатнiсть. Очевидно, що рiвнiсть (1)
збiгається з рiвнiстю (3) при β = 0.
Iз леми 1 випливає достатнiсть для основної теореми.
Необхiднiсть. З рiвностi (8) маємо
f ′1(ρ) +
f1(ρ)
ρ
=
q∑
k=0
ckρ
2k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ ПРО СЕРЕДНЄ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИДУ 705
Тодi
f1(ρ) =
q∑
k=0
ck
ρ2k+1
2k + 2
+
c
ρ
,
c — стала.
Пiдставимо отриману функцiю в рiвняння (9), вважаючи, що ck,1 =
ck
2k + 2
:
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
(
q∑
k=0
ck,1(ζνe
iα + z)k+1(ζνe
−iα + z)k +
c
(ζνe−iα + z)
)
=
=
q∑
p=s
nr2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
g(z) +
n∑
ν=1
c
(ζνe−iα + z)
,
де g(z) має вигляд (2). Звiдси очевидно, що рiвнiсть виконується лише при умовi,
що c = 0. Отже, f1(ρ) =
∑q
k=0
ck,1ρ
2k+1.
Нехай fj(ρ) =
∑q
k=0
ck,jρ
2k+j . Тодi
f ′j+1(ρ) + (j + 1)
fj+1(ρ)
ρ
=
q∑
k=0
cjρ
2k+j ,
звiдки fj+1(ρ) =
∑q
k=0
ck,j+1ρ
2k+j+1.
Отже, за iндукцiєю fj(ρ) =
∑q
k=0
ck,jρ
2k+j .
Тепер розглянемо функцiю з вiд’ємними iндексами. Почнемо з f−1(ρ). З рiвнос-
тi (9) маємо
f ′−1(ρ) + (−1)
f−1(ρ)
ρ
= f0(ρ).
Звiдси аналогiчно отримуємо
f−1(ρ) =
q∑
k=0
ck,−1ρ
2k+1.
Знову використовуючи iндукцiю, одержуємо
f−j(ρ) =
q∑
k=0
ck,−jρ
2k+j , j ∈ N.
Отже, f−j(z) =
(∑q
k=0
ck,−jρ
2k+j
)
e−iϕ. Розглянемо детально два випадки.
1. Нехай h ≤ m− 1. Тодi
f−j(z) =
h∑
k=0
ck,−jz
kz̄k+j .
Звiдси
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
h∑
k=0
ck,−j(ζνe
iα + z)k(z̄ + ζ̄νe
−iα)k+j =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
706 О. Д. ТРОФИМЕНКО
=
min{h+j,h+s}∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(z).
У даному випадку h+ j = m− 1, h− (m− 1) = −j.
2. Нехай h > m− 1. Тодi
f−j(z) =
m−1∑
k=0
ck,−jz
kz̄k+j .
Звiдси
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
m−1∑
k=0
ck,−j(ζνe
iα + z)k(z̄ + ζ̄νe
−iα)k+j =
=
min{m−1+j,m−1+s}∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(z).
Тодi m− 1 + j 6= m− 1, тобто умова другого випадку не пiдходить.
Аналогiчно проаналiзуємо функцiї з додатними iндексами.
1. Знову h ≤ m− 1, fj(z) =
∑h
k=0
ck,jz
k+j z̄k. Тодi
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
h∑
k=0
ck,j(ζνe
iα + z)k+j(z̄ + ζ̄νe
−iα)k =
=
min{h,h+j+s}∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(z).
Тепер h 6= h+ j, тобто умова першого випадку не пiдходить.
2. Розглянемо випадок h > m− 1. Маємо
n∑
ν=1
(ζνe
iα)
s
m−1∑
k=0
ck,j(ζνe
iα + z)k+j(z̄ + ζ̄νe
−iα)k =
=
min{m−1,m−1+j+s}∑
p=s
nR2p
(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s(
∂
∂z̄
)p
f(z).
Тодi h− (m− 1) = j.
Об’єднуючи мiркування щодо функцiй fj(z), отримуємо
f−j(z) =
h∑
k=0
ck,−jz
kz̄k+j
i
fj(z) =
m−1∑
k=0
ck,jz
k+j z̄k.
Тепер, враховуючи наведенi вище мiркування та леми 2 i 4, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМИ ПРО СЕРЕДНЄ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИДУ 707
f(z) = f0(z) + f+(z) + f−(z),
де, в свою чергу,
f+(z) =
h−(m−1)∑
j=0
m−1∑
k=0
ck,jz
k+j z̄k =
h∑
l=0
m−1∑
k=0
ck,lz
lz̄k,
f−(z) =
m−1−h∑
j=0
h∑
k=0
ck,−jz
kz̄k+j =
m−1∑
l=0
h∑
k=0
ck,lz
kz̄l, l = j + k.
Отже, шукана функцiя f(z) має вигляд (2).
Теорему доведено.
1. Netuka I., Vesely J. Mean value property and harmonic functions // Classical and Modern Potential
Theory and Applications / Eds Comri Sankaran et al. – Kluwer Acad. Publ., 1994. – P. 359 – 398.
2. Zalcman L. Mean values and differential equations // Isr. J. Math. – 1973. – 14. – P. 339 – 352.
3. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 2003.
– 454 p.
4. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and
the Heisenberg group // Ser. Springer Monogr. Math. – 2009.
5. Ramsey T., Weit Y. Mean values and classes of harmonic functions // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.
– 1984. – 96. – P. 501 – 505.
6. Maxwell O. R. A theorem of Fédoroff // Duke Math. J. – 1948. – 18. – P. 105 – 109.
7. Трофименко О. Д. Деякi iнтегральнi рiвностi для певних класiв полiномiв // Труды Ин-та прикл.
математики и механики НАН Украины. – 2009. – 18. – С.184 – 188.
Одержано 10.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2754 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:39Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/2b4645765077b0838d41bec766b19b3d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27542020-03-18T19:35:13Z Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form Аналог теореми про середнє для многочленів спеціального виду Trofymenko, O. D. Трофименко, О. Д. Трофименко, О. Д. A mean value theorem for polynomials of a special form is proved. The case of a sum over vertices of a regular polygon is studied and a criterion for the equation of a special form to be satisfied is obtained. Доказана теорема о среднем для полиномов специального вида. Изучен случай суммы по вершинам правильного многоугольника и, таким образом, получен критерий выполнения уравнения специального вида. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2754 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 686-698 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 686-698 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2754/2264 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2754/2265 Copyright (c) 2011 Trofymenko O. D. |
| spellingShingle | Trofymenko, O. D. Трофименко, О. Д. Трофименко, О. Д. Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title | Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title_alt | Аналог теореми про середнє для многочленів спеціального виду |
| title_full | Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title_fullStr | Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title_full_unstemmed | Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title_short | Analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| title_sort | analog of the mean-value theorem for polynomials of special form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2754 |
| work_keys_str_mv | AT trofymenkood analogofthemeanvaluetheoremforpolynomialsofspecialform AT trofimenkood analogofthemeanvaluetheoremforpolynomialsofspecialform AT trofimenkood analogofthemeanvaluetheoremforpolynomialsofspecialform AT trofymenkood analogteoremiproserednêdlâmnogočlenívspecíalʹnogovidu AT trofimenkood analogteoremiproserednêdlâmnogočlenívspecíalʹnogovidu AT trofimenkood analogteoremiproserednêdlâmnogočlenívspecíalʹnogovidu |