Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function
We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values $a \in \overline{C}$ is exceptional in the Nevanlinna sense for this function.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2757 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508722921472000 |
|---|---|
| author | Zaionts, Yu. Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Зайонц, Ю. Корешков, М. Є. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zaionts, Yu. Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Зайонц, Ю. Корешков, М. Є. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zaionts, Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:13Z |
| description | We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values $a \in \overline{C}$ is exceptional in the Nevanlinna sense for this function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. ЗАЙОНЦ, Ю. І. ХАРКЕВИЧ, 2011
718 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
УДК 517.53
М. Є. Коренков, Ю. Зайонц, Ю. І. Харкевич (Волин. нац. ун-т ім. Л. Українки, Луцьк)
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛІННИ ТА ДЕФЕКТНІ
ЗНАЧЕННЯ ДЗЕТА-ФУНКЦІЙ ВЕЙЄРШТРАССА
We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values
a !C is exceptional in the Nevanlinna sense for this function.
Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из
значений a !C не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции.
У даній роботі ми знайдемо характеристики Неванлінни відомої дзета-функції Ве-
йєрштрасса !(z) , яка тісно пов’язана із функціями Вейєрштрасса !(z) , !(z)
[1]. Вивчимо також питання про дефектні значення ! -функції. Ці питання можна
дослідити з допомогою асимптотичних формул із робіт [2, 3], однак ми скористає-
мося простішими засобами. Вказані функції часто використовуються при дослід-
женнях, що торкаються еліптичних функцій. Зазначимо, що !(z) — мероморфна
функція з простими полюсами !mn = 2m!1 + 2n!2 , де Im(!2/!1) > 0, m !Z ,
n !Z , яка зображується у вигляді
!(z) =
1
z
+
m,n=–"
+"
# $ 1
z – %mn
+
1
%mn
+
z
%mn
2
&
'
(
)
*
+
,
причому штрих біля знака суми означає, що доданком з m = 0 , n = 0 нехтуємо.
Функції !(z) , !(z) , !(z) пов’язані рівностями !(z) = !" (z)/"(z) , !(z) =
= ! "# (z) , причому !(z) є цілою функцією з простими нулями !mn , !(z) —
подвійно періодична мероморфна функція з полюсами другого порядку у вказаних
точках, тобто еліптична функція.
Будемо вважати відомими основні поняття, факти і стандартні позначення із
теорії розподілу значень мероморфних функцій [4]. Нагадаємо деякі з них.
Характеристики Неванлінни мероморфної функції f , f ! const , вводяться з
допомогою рівностей
m(r, f ) :=
1
2!
ln
+
0
2!
" f (re
i#
) d# ,
N(r, f ) :=
n(t, f ) ! n(0, f )
t
0
r
" dt + n(0, f ) ln r ,
T (r, f ) := m(r, f ) + N(r, f ) ,
де ln+ ! := max 0, ln!{ } , ! > 0 , і n(r, f ) (що інакше позначається n(r,!, f ) )
є числом полюсів функції f у крузі �
z !C{ z ! r } , r ! 0 , з урахуванням їх
кратностей. Якщо a !C , то використовуються позначення n(r, a, f ) ,
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛІННИ ТА ДЕФЕКТНІ … 719
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
N(r, a, f ) , m(r, a, f ) замість відповідно n r,
1
f ! a
"
#
$
% , N r,
1
f ! a
"
#
$
% , m r,
!
"#
1
f ! a
"
#$
. Дефектом Неванлінни мероморфної функції f у точці a !C назива-
ється величина
!(a, f ) := lim
r"#
m(r, a, f )
T (r, f )
.
Якщо !(a, f ) > 0 , то a називається винятковим (дефектним) значенням у
розумінні Неванлінни мероморфної функції f .
Теорема 1. Справджуються співвідношення (r! ")
N(r,!) =
"r2
2D
+ O(r) ,
m(r,!) = O(ln r) , (1)
T (r,!) =
"r2
2D
+ O(r) , (2)
де D — площа основного паралелограма періодів функції !(z) .
Доведення. Як відомо [1, с. 420],
N(r,!) =
"r
2
D
+ O(r) , r ! " .
Тому
N(r,!) =
"r2
2D
+ O(r) , r ! " .
Оскільки !(z) = "# (z)/#(z) , то згідно з теоремою 1.3 [4, с. 122]
m(r,!) = m r,
"#
#
$
%&
'
()
= O(ln r) , r ! " .
Отже,
T (r,!) = m(r,!) + N(r,!) =
"r2
2D
+O(r) , r ! " .
Теорему доведено.
Теорема 2. Жодне значення a !C не є винятковим у розумінні Неванлінни
для функції !(z) .
Доведення. Із (1), (2) випливає, що
!(",#) = lim
r$"
m(r,#)
T (r,#)
= 0 ,
тобто неванліннів дефект ! -функції в точці ! дорівнює нулю.
720 М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. ЗАЙОНЦ, Ю. І. ХАРКЕВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
Відомо [1, с. 422], що
m(r, 0,!) = O(r) , r ! " . (3)
Використовуючи властивості характеристики m(r, a, f ) мероморфної функції
f , лему 2.1 із [4, с. 129], оцінки (1), (3) і рівність !" (z) = #$(z) , приходимо до
висновку, що при a !C , a ! 0 , виконується
m(r, a,!) " m r,
!
#!
$
%&
'
()
+O(ln r) ≤
≤ m r,
1
!"
#
$%
&
'(
+ m(r,") +O(ln r) = m r,
1
)
#
$%
&
'(
+O(ln r) =
= m(r, 0,!) +O(ln r) = O(r) , r ! " .
Тоді із рівності (2) випливає, що
!(a,") = lim
r#$
m(r, a,")
T (r,")
% lim
r#$
O(r)
T (r,")
= 0 ,
тобто неванліннів дефект функції !(z) у довільній точці a !C , a ! 0 , дорів-
нює нулю, !(a,") = 0 .
Розглянемо випадок, коли a = 0 . Використовуючи властивості характерис-
тики m(r, a, f ) мероморфної функції f , оцінку (3) і теорему 1.3 [4, c. 122], ді-
стаємо
m(r, 0,!) = m r,
1
!
"
#$
%
&'
= m r,
(!
!
)
1
(!
"
#$
%
&'
* m r,
(!
!
"
#$
%
&'
+ m r,
1
(!
"
#$
%
&'
=
= m r,
1
!
"
#$
%
&'
+O(ln r) = m(r, 0,!) +O(ln r) =
= O(r) +O(ln r) = O(r) , r ! " .
Згідно з рівністю (2) знаходимо
!(0,") = lim
r#$
m(r, 0,")
T (r,")
% lim
r#$
O(r)
T (r,")
= 0 ,
тобто неванліннів дефект функції !(z) у точці a = 0 дорівнює нулю, !(0,") =
= 0.
Теорему доведено.
Зауваження. Із рівності (2), зокрема, випливає, що !(z) — мероморфна функ-
ція порядку 2.
1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций: В 2 т. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 624 с.
2. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Об асимптотике логарифмической производной целой функции
вполне регулярного роста // Укр. мат. журн. – 1978. – 30, № 1. – С. 25 – 32.
3. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции
вполне регулярного роста // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 3. – С. 63 – 79.
4. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука,
1970. – 591 с.
Одержано 12.11.10
|
| id | umjimathkievua-article-2757 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/ab6c1a558ea658005fba2fa191babdc4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27572020-03-18T19:35:13Z Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса Zaionts, Yu. Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Зайонц, Ю. Корешков, М. Є. Харкевич, Ю. І. We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values $a \in \overline{C}$ is exceptional in the Nevanlinna sense for this function. Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из значений $a \in \overline{C}$ не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2757 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 5 (2011); 718-720 Український математичний журнал; Том 63 № 5 (2011); 718-720 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2757/2270 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2757/2271 Copyright (c) 2011 Zaionts Yu.; Korenkov M. E.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zaionts, Yu. Korenkov, M. E. Kharkevych, Yu. I. Зайонц, Ю. Корешков, М. Є. Харкевич, Ю. І. Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title | Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title_alt | Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_full | Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title_fullStr | Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title_full_unstemmed | Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title_short | Nevanlinna characteristics and defective values of the Weierstrass zeta function |
| title_sort | nevanlinna characteristics and defective values of the weierstrass zeta function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2757 |
| work_keys_str_mv | AT zaiontsyu nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT korenkovme nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT kharkevychyui nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT zajoncû nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT koreškovmê nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT harkevičûí nevanlinnacharacteristicsanddefectivevaluesoftheweierstrasszetafunction AT zaiontsyu harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT korenkovme harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT kharkevychyui harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT zajoncû harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT koreškovmê harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT harkevičûí harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa |