Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants
Formulas for computation of the multivariate Poincare series $\mathcal{P}(\mathcal{C}_{d}, z_1, z_2,..., z_n,t)$ and $\mathcal{P}(\mathcal{I}_{d}, z_1, z_2,..., z_n)$, are found, where $\mathcal{C}_{d}, \mathcal{I}_{d}, \;\; {d} = (d_1, d_2,..., d_n)$ are multigraded algebras of joint covariants an...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2760 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508725313273856 |
|---|---|
| author | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_facet | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_sort | Bedratyuk, L. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | Formulas for computation of the multivariate Poincare series $\mathcal{P}(\mathcal{C}_{d}, z_1, z_2,..., z_n,t)$ and $\mathcal{P}(\mathcal{I}_{d}, z_1, z_2,..., z_n)$,
are found, where $\mathcal{C}_{d}, \mathcal{I}_{d}, \;\; {d} = (d_1, d_2,..., d_n)$
are multigraded algebras of joint covariants and joint invariants for n binary forms of degrees $d_1, d_2,..., d_n $. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.745, 512.815.4
Л. П. Бедратюк (Хмельниц. нац. ун-т)
РЯДИ ПУАНКАРЕ МУЛЬТИГРАДУЙОВАНИХ АЛГЕБР
SL2-IНВАРIАНТIВ
Formulas for computation of the multivariate Poincaré series P(Cd , z1, z2, . . . , zn, t) and P(Id , z1, z2, . . .
. . . , zn), are found, where Cd , Id , d=(d1, d2, . . . , dn), are multigraded algebras of joint covariants and joint
invariants for n binary forms of degrees d1, d2, . . . , dn.
Найдены формулы для вычисления мультирядов Пуанкаре P(Cd , z1, z2, . . . , zn, t) и P(Id , z1, z2, . . .
. . . , zn), где Cd , Id , d=(d1, d2, . . . , dn), — мультиградуированные алгебры совместных ковариантов и
совместных инвариантов для n бинарных форм степеней d1, d2, . . . , dn.
1. Вступ. Нехай Vd — комплексний векторний простiр бiнарних форм степеня d, на
якому природно дiє пiдстановками спецiальна лiнiйна група G = SL2. При цiй дiї
елемент
(
α β
γ δ
)
∈ G переводить бiнарну форму F =
∑d
i=0
aix
iyd−i у бiнарну
форму F ′ =
∑d
i=0
a′ix
iyd−i, де коефiцiєнти a′i визначаються iз спiввiдношення
d∑
i=0
a′ix
iyd−i =
d∑
i=0
ai(αx+ βy)i(γx+ δy)d−i, ai, a
′
i ∈ C.
Розглянемо iндуковану дiю групи G на координатних алгебрах C[Vd] та C[Vd ⊕
⊕ C2], де Vd := Vd1 ⊕ Vd1 ⊕ . . . ⊕ Vdn . При цiй дiї елемент g ∈ G переводить
полiномiальну функцiю f ∈ C[Vd⊕C2] у функцiю gf за правилом gf(v) = f
(
g−1v
)
для всiх g ∈ G i всiх v ∈ Vd ⊕ C2.
Позначимо через Id = C[Vd]G та Cd = C[Vd ⊕ C2]G вiдповiднi пiдалгебри G-
iнварiантних полiномiальних функцiй, тобто таких функцiй f, якi задовольняють
умову gf = f.На мовi класичної теорiї iнварiантiв алгебри Id та Cd називаються ал-
гебрами спiльних iнварiантiв та спiльних коварiантiв для n бiнарних форм степенiв
d1, d2, . . . , dn. Задача повного опису структури цих алгебр є важливою вiдкритою
алгебраїчною проблемою уже понад 150 рокiв.
Ототожнимо координатну алгебру C[Vd⊕C2] з алгеброю комплексних многочле-
нiв вiд коефiцiєнтiв цих бiнарних форм та вiд двох допомiжних змiнних X,Y. Тодi
довiльний коварiант можна розглядати як многочлен, а його степiнь вiдносно змiн-
них X,Y називається порядком цього коварiанта. Зрозумiло, що кожен iнварiант
є коварiантом нульового порядку. Набiр степенiв коварiанта вiдносно коефiцiєнтiв
кожної бiнарної форми називається мультистепенем цього коварiанта.
Алгебри Cd, Id є скiнченнопородженими мультиградуйованими алгебрами вiд-
носно мультистепеня та порядку:
Cd = (Cd)m,0 + (Cd)m,1 + . . .+ (Cd)m,j + . . . ,
де кожен пiдпростiр (Cd)d,j коварiантiв мультистепеня m := (m1,m2, . . . ,mn) ∈ Nn
та порядку j є скiнченновимiрним. Формальнi степеневi ряди
P(Cd, z1, z2, . . . , zn, t) =
∑
m∈Nn
∞∑
j=0
dim((Cd)m,j)z
m1
1 zm2
2 . . . zmn
n tj ,
c© Л. П. БЕДРАТЮК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 755
756 Л. П. БЕДРАТЮК
P(Id, z1, z2, . . . , zn) =
∑
m∈Nn
dim((Id)m)zm1
1 zm2
2 . . . zmn
n
називаються мультирядами Пуанкаре мультиградуйованих алгебр спiльних кова-
рiантiв та спiльних iнварiантiв. Зрозумiло, що має мiсце рiвнiсть P(Cd, z1, z2, . . .
. . . , z2, 0) = P(Id, z1, z2, . . . , zn). Крiм того, легко бачити, що ряд P(Cd, z, z, . . .
. . . , z, 1) буде звичайним рядом Пуанкаре градуйованої алгебри Cd вiдносно її стан-
дартного градуювання за загальним степенем.
Згiдно з теоремою Хохстера i Робертса [1] алгебри iнварiантiв редуктивних
груп, зокрема i групи SL2, є алгебрами Коена – Маколея. Звiдси безпосередньо
випливає, що ряди та мультиряди Пуанкаре алгебр спiльних iнварiантiв та кова-
рiантiв є розкладом деяких рацiональних функцiй. У данiй статтi ми розглянемо
задачу ефективного обчислення цих рацiональних функцiй. Iнтерес до рядiв Пуан-
каре градуйованих скiнченнопороджених алгебр викликаний тим, що вони несуть
важливу iнформацiю про структуру цих алгебр. Для прикладу – порядок полю-
са z = 1 ряду P(A, z) дорiвнює степеню трансцендентностi алгебри A. Також
всi ефективнi алгоритми знаходження мiнiмальної породжуючої системи елемен-
тiв алгебри A використовують ряди Пуанкаре P(A, z). Використання мультирядiв
Пуанкаре значно пiдвищує швидкодiю цих алгоритмiв.
Обчислення рядiв Пуанкаре алгебр iнварiантiв та коварiантiв було важливою за-
дачею класичної теорiї iнварiантiв 19-го столiття. У випадку однiєї бiнарної форми
для d ≤ 10, d = 12 ряди P(Cd, z, t) були обчисленi ще Сильвестром i Франклiном
(див. [2, 3]). Цi результати є правильними лише для d ≤= 6. В роботах [4 – 6]
знайдено звичайнi ряди Пуанкаре алгебр спiльних коварiантiв для двох та трьох
бiнарних форм малих степенiв.
У данiй статтi ми доводимо аналог формули Келлi – Сильвестра для обчислення
розмiрностi dim(Cd)m,i градуйованих компонент алгебри Cd. На основi цiєї форму-
ли, а також при допомозi вiдомих комбiнаторних операторiв Мак-Магона отримано
зручнi формули для обчислення мультирядiв Пуанкаре P(Cd, z1, z2, . . . , zn, t) та
P(Id, z1, z2, . . . , zn). Також пропонуються Maple-пакети для обчислення мультиря-
дiв Пуанкаре та алгебр спiльних iнварiантiв бiнарних форм.
2. Аналог формули Келлi – Сильвестра. Спочатку доведемо аналог форму-
ли Келлi – Сильвестра для розмiрностi мультиградуйованих пiдпросторiв алгебри
коварiантiв Cd.
Нехай V
(k)
dk
= 〈v(k)0 , v
(k)
1 , ..., v
(k)
dk
〉, dimV
(k)
dk
= dk + 1, k = 1, . . . , n, — набiр
iз n стандартних незвiдних зображень алгебри sl2. Базиснi елементи
(
0 1
0 0
)
,(
0 0
1 0
)
,
(
1 0
0 −1
)
алгебри sl2 дiють на Vdk диференцiюваннями D1, D2, E:
D1
(
v
(k)
i
)
= i v
(k)
i−1, D2
(
v
(k)
i
)
= (d− i) v(k)i+1, E
(
v
(k)
i
)
= (d− 2 i) v
(k)
i .
Дiя sl2 природним способом продовжується до дiї диференцiюваннями на си-
метричнiй алгебрi S(Vd).
Множина всiх старших коефiцiєнтiв коварiантiв вiдносно впорядкування X >
> Y утворює пiдалгебру, яка позначається через Sd i називається алгеброю спiльних
семiiнварiантiв n бiнарних форм порядкiв d1, d2, . . . , dn.Можна показати (див. [7]),
що алгебри коварiантiв та семiiнварiантiв iзоморфнi. Крiм того, алгебру Sd можна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
РЯДИ ПУАНКАРЕ МУЛЬТИГРАДУЙОВАНИХ АЛГЕБР SL2-IНВАРIАНТIВ 757
ототожнити з ядром диференцiюванняD1. Для довiльного v ∈ Sd натуральне число
s називається порядком семiiнварiанта v, якщо s є таким найменшим числом, що
Ds
2(v) 6= 0, Ds+1
2 (v) = 0.
Зрозумiло, що кожен семiiнварiант v ∈ Sd порядку i є старшим вектором незвiдного
sl2-модуля розмiрностi i+ 1 в S(Vd).
Симетрична алгебра S(Vd) є Nn-градуйованою
S(Vd) = S(0,0,...,0)(Vd) + S(1,0,...,0)(Vd) + . . .+ Sm(Vd) + . . . ,
i кожен Sm(Vd), m ∈ Nn, є цiлком звiдним зображенням алгебри Лi sl2 [8].
Нехай Vk — стандартний незвiдний sl2-модуль, dimVk = k + 1. Тодi має мiсце
розклад
S(Vd)m ∼= γd(m; 0)V0 + γd(m; 1)V1 + . . .+ γd(m;md∗)Vmd∗ .
Тут md∗ := max(m1 d1,m2 d2, . . .mn dn), а γd(m; i) позначає кратнiсть незвiдно-
го зображення Vk у розкладi S(Vd)m. З iншого боку, кратнiсть γd(m; i) дорiвнює
числу лiнiйно незалежних однорiдних спiльних семiiнварiантiв мультистепеня m
та порядку i. Зокрема, число лiнiйно незалежних однорiдних спiльних iнварiантiв
мультистепеня m дорiвнює γd(m; 0). Отже, справедливим є наступне твердження.
Лема 1. dim(Sd)m,i = γd(m; i).
Розглянемо набiр змiнних v(1)0 , v
(1)
1 , . . . , v
(1)
d1
, v
(2)
0 , v
(2)
1 , . . . , v
(2)
d2
, . . . , v
(n)
0 , v
(n)
1 , . . .
. . . , v
(n)
dn
. Характер Char (S(Vd)m) зображення S(Vd)m дорiвнює
Hm(q−d1 , q−d1+2, . . . , qd1 , q−d2 , q−d2+2, . . . , qd2 , . . . , q−dn , q−dn+2, . . . , qdn),
де Hm(v
(1)
0 , v
(1)
1 , . . . , v
(1)
d1
, . . . , v
(n)
0 , v
(n)
1 , . . . , v
(n)
dn
) — повна симетрична функцiя,
Hm(v
(1)
0 , v
(1)
1 , . . . , v
(1)
d1
, . . . , v
(n)
0 , v
(n)
1 , . . . , v
(n)
dn
) =
=
∑
|α(1)|=m1,...,|α(n)|=mn
(v
(1)
0 )α
(1)
0 (v
(1)
1 )α
(1)
1 . . .(v
(1)
d1
)α
(1)
d1 . . .(v
(n)
0 )α
(n)
0 . . .(v
(1)
dn
)α
(n)
dn =
=
∑
|α(1)|=m1,...,|α(n)|=mn
n∏
k=1
dk∏
i=0
(v
(k)
i )α
(k)
i , |α(k)| :=
di∑
i=0
α
(k)
i .
Замiнивши v(k)i на qdk−2 i, отримаємо формулу для характеру Char(S(Vd)m) :
Char(S(Vd)m) =
=
∑
(qd1)α
(1)
0 (qd1−2·1)α
(1)
1 . . . (q−d1)α
(1)
d1 . . .(qdn)α
(n)
0 (qdn−2·1)α
(n)
1 . . .(q−dn)α
(n)
dn =
=
∑
q
d1|α(1)|+...+dn|α(n)|−2
(
α
(1)
1 +2α
(1)
2 +...+d1 α
(1)
d1
)
−...−2
(
α
(n)
1 +2α
(n)
2 +...+dn α
(n)
dn
)
=
=
md∗∑
i=−md∗
ωd(m; i)qi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
758 Л. П. БЕДРАТЮК
Тут першi двi суми беруться по всix набораx |α(1)| = m1, . . . , |α(n)| = mn, а ωd(m; i)
позначає число невiд’ємних цiлих розв’язкiв системи рiвнянь
d1|α(1)|+ . . .+ dn|α(n)| − 2
(
α
(1)
1 + 2α
(1)
2 + . . .+ d1 α
(1)
d1
)
−
−2
(
α
(n)
1 + 2α
(n)
2 + . . .+ dn α
(n)
dn
)
= i,
|α(1)| = m1,
|α(2)| = m2,
. . . . . . . . . . . .
|α(s)| = mn.
(1)
Як i в [6], можна показати, що лiва частина першого рiвняння цiєї системи є вагою
зображення S(Vd)m.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. dim(Sd)m,i = ωd(m; i)− ωd(m; i+ 2).
Доведення. Вага i з’являється по одному разу в кожному зображеннi Vj при
j = i, mod 2, j ≥ i, отже,
ωd(m; i) = γd(m; i) + γd(m; i+ 2) + γd(m; i+ 4) + . . . .
Вага i+2 з’являється один раз у кожному зображеннi Vj для j = i, mod 2, j ≥ i+2,
отже,
ωd(m; i+ 2) = γd(m; i+ 2) + γd(m; i+ 4) + γd(m; i+ 6) + . . . .
Таким чином,
ωd(m; i)− ωd(m; i+ 2) = γd(m; i) = dim(Sd)m,i.
Теорему доведено.
Перетворимо систему (1) до вигляду
d1α
(1)
0 + (d1 − 2)α
(1)
1 + (d1 − 4)α
(1)
2 + . . .+ (−d1)α
(1)
d1
+ . . .
. . .+ dsα
(s)
0 + (ds − 2)α
(s)
1 + (ds − 4)α
(s)
2 + . . .+ (−ds)α(s)
ds
= i,
|α(1)| = m1,
|α(2)| = m2,
. . . . . . . . . . . .
|α(s)| = ms.
Вiдомо, що число ωd(m; i) невiд’ємних цiлих розв’язкiв цiєї системи дорiвнює
коефiцiєнту при zm1
1 zm2
2 . . . zmn
n ti породжуючої функцiї
fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
1
n∏
k=1
dk∏
j=0
(1− zktdk−2 j)
.
Позначимо це так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
РЯДИ ПУАНКАРЕ МУЛЬТИГРАДУЙОВАНИХ АЛГЕБР SL2-IНВАРIАНТIВ 759
ωd(m; i) = [zm1
1 zm2
2 . . . zmn
n ti]fd(z1, z2, . . . , zn, t) := [zmti]fd(z1, z2, . . . , zn, t).
Зауважимо, що fd(z1, z2, . . . , zn, t) = fd(z1, z2, . . . , zn, t
−1).
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. dim(Sd)m,i = [zmtd1m1+d2m2+···+dnmn− i](1−t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . .
. . . , znt
dn , t).
Доведення. Врахувавши формальну властивiсть [xi−k]f(x) = [xi](xkf(x)), отри-
маємо
dim(Sd)m,i = ωd(m; i)− ωd(m; i+ 2)) =
=
[
zmti
]
fd(z1, z2, . . . , zn, t)−
[
zmti+2
]
fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
= [zm] t−ifd(z1, z2, . . . , zn, t)− [zm] t−(i+2)fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
= [zm] t−ifd(z1, z2, . . . , zn, t
−1)− [zm] t−(i+2)fd(z1, z2, . . . , zn, t
−1) =
= [zm] tifd(z1, z2, . . . , zn, t)− [zm] t(i+2)fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
= [zm] (ti − ti+2)fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
[
zmt−i
]
(1− t2)fd(z1, z2, . . . , zn, t).
Взявши до уваги, що [xi]f(x) = [(xy)i]f(xy), знайдемо[
zmt−i
]
(1− t2)fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
=
[
(z1t
d1)m1(z2t
d2)m2 . . . (znt
dn)mnti
]
(1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t) =
= [zmtd1m1+d2m2+...+dnmn− i](1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t),
що i потрiбно було довести.
Ми замiнили zk на zktdk , 1 ≤ k ≤ n, для того, щоб позбутися вiд’ємних степенiв
t у знаменнику функцiї fd(z, t).
Зрозумiло, що
dim(Id)m = [zmtd1m1+d2m2+...+dnmn ](1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t).
3. Аналоги формули Спрiнгера та Брiона. Виведемо формули для мyльти-
рядiв Пуанкаре, якi є аналогiчними вiдомим формулам Спрiнгера та Брiона (див.
[4, 9]) для рядiв Пуанкаре.
Розглянемо алгебру C[[z1, z2, . . . , zn, t]] формальних степеневих рядiв. Визна-
чимо C-лiнiйну функцiю
Ψd : C[[z1, z2, . . . , zn, t]]→ C[[z1, z2, . . . , zn, t]]
таким чином:
Ψd
∞∑
i,j=0
ai,j z
itj
=
∑
d1i1+···+dnin−j≥0
ai,jz
itd1i1+···+dnin−j .
Tут ai,j := ai1,i2,...,in,j ∈ C.
Виразимо мультиряд Пуанкаре P(Sd, z1, z2, . . . , zn, t), який, нагадаємо, спiвпа-
дає з мультирядом P(Cd, z1, z2, . . . , zn, t), у термiнах функцiї Ψd. Має мiсце наступ-
не твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
760 Л. П. БЕДРАТЮК
Лема 2. P(Sd, z1, z2, . . . , zn, t) = Ψd
(
(1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t)
)
.
Доведення. Теорема 2 стверджує, що
dim(Sd)m,i = [zmtd1m1+d2m2+...+dnmn− i](1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t).
Тодi
PId(z1, z2, . . . , zn) =
∞∑
m,i=0
dim(Sd)m,iz
mti =
=
∞∑
m,i=0
(
[zmtd1m1+d2m2+...+dnmn− i](1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t)
)
zmti=
= Ψd
(
(1− t2)fd(z1t
d1 , z2t
d2 , . . . , znt
dn , t)
)
.
Лему доведено.
Для обчислення кратних рядiв Пуанкаре PSd(z, t) ми скористаємося вiдомими
[10] комбiнаторними операторами Мак-Магона Ω
≥0
, Ω
=0
, якi дiють на рядах Лорана
L =
∞∑
k1=−∞
. . .
∞∑
ks=−∞
∞∑
α=−∞
ak1,k2,...,ks,αz
k1
1 zk22 . . . zkss (λt)α
таким чином:
Ω
≥0
L =
∞∑
k1=0
. . .
∞∑
ks=0
∞∑
α=−∞
ak1,...,ks,αz
k1
1 . . . zkss t
α,
та
Ω
=0
L =
∞∑
k1=0
. . .
∞∑
ks=0
ak1,...,ks,0z
k1
1 . . . zkss .
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 3. Мультиряди Пуанкаре алгебр Sd та Id обчислюються за форму-
лами
P(Sd, z1, . . . zn, t) = Ω
≥0
fd
(
z1(tλ)d1 , z2(tλ)d2 , . . . , zs(tλ)ds ,
1
tλ
)
та
P(Id, z1, . . . zn) = Ω
=0
fd
(
z1(tλ)d1 , z2(tλ)d2 , . . . , zs(tλ)ds ,
1
tλ
)
.
Доведення. Припустимо, що має мiсце розклад
fd(z1, z2, . . . , zn, t) =
∑
k1,...,kn,j≥0
ak1,...,kn,j z
k1
1 zk22 . . . zknn tj .
Тодi
P(Sd, z1, . . . zn, t) = Ψd (fd(z1, z2, . . . , zn, t)) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
РЯДИ ПУАНКАРЕ МУЛЬТИГРАДУЙОВАНИХ АЛГЕБР SL2-IНВАРIАНТIВ 761
= Ψd
∑
k1,...,kn,j≥0
ak1,...,kn,jz
k1
1 zk22 . . . zknn tj
=
=
∑
k1,...,kn,j≥0
Ψd
(
ak1,...,kn,jz
k1
1 zk22 . . . zknn tj
)
=
=
∑
k1,...,kn,j≥0
d1k1+d2k2+...+dnkn−j≥0
ak1,...,kn,jz
k1
1 zk22 . . . zknn td1k1+d2k2+...+dnkn−j .
З iншого боку,
Ω
≥0
fd
(
z1(tλ)d1 , z2(tλ)d2 , . . . , zs(tλ)dn ,
1
tλ
)
=
= Ω
≥0
∑
k1,...,kn,j≥0
ak1,...,kn,j(z1(tλ)d1)k1(z2(tλ)d2)k2 . . . (zn(tλ)dn)kn(tλ)−j =
= Ω
≥0
∑
k1,...,kn,j≥0
ak1,...,kn,jz
k1
1 zk22 . . .zknn td1k1+d2k2+...+dnkn−jλd1k1+d2k2+...+dnkn−j =
=
∑
k1,...,kn,j≥0
d1k1+d2k2+...+dnkn−j≥0
ak1,...,kn,jz
k1
1 zk22 . . . zknn td1k1+d2k2+...+dnkn−j .
Тому P(Sd, z1, . . . , zn, t) = Ω
≥0
fd
(
z1(tλ)d1 , z2(tλ)d2 , . . . , zs(tλ)ds ,
1
tλ
)
.
Формула для алгебри iнварiантiв доводиться аналогiчно.
Теорему доведено.
Для знаходження мультирядiв Пуанкаре алгебр iнварiантiв та ядер локаль-
но нiльпотентних диференцiювань автором було розроблено Maple-пакет Poi-
ncare_series, який разом iз детальною iнструкцiєю його використання знахо-
диться на сайтi http://sites.google.com/site/bedratyuklp.
Процедура MULTIVAR_COVARIANTS (d) обчислює мультиряд P(Cd, z1, z2, . . .
. . . , zn, t) :
P(C(1,1), z1, z2, t) =
1
(1− z2t) (1− z1t) (1− z1z2)
,
P(C(1,2), z1, z2, t) =
1 + z1z2t
(1− z2t2) (1− z22) (1− z1t) (1− z12z2)
,
P(C(2,2), z1, z2, t) =
1 + z1z2t
2
(1− z1) (1− z2t2) (1− z22) (1− z1t2) (1− z2z1) (1− z1)
,
P(C(1,1,1), z1, z2, z3, t) =
1− z1z2z3t
(1− z3t) (1−z2t) (1−z3z2) (1− z1t) (1−z3z1) (1− z2z1)
.
Процедура MULTIVAR_INVARIANTS (d) обчислює мультиряд P(Id, z1, z2, . . .
. . . , zn). Для прикладу
P(I(1,1), z1, z2) =
1
1− z1z2
,P(I(1,3), z1, z2) =
1 + z2
2z1
2 − z2z1
(1− z24) (1− z13z2) (1− z2z1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
762 Л. П. БЕДРАТЮК
P(I(1,2,2), z1, z2, z3) =
1 + z1
2z2z3
(1− z32) (1− z3z2) (1− z22) (1− z12z3) (1− z12z2)
.
Деякi результати обчислень мультирядiв Пуанкаре, проведених за цими формулами,
розмiщено на сайтi http://www.win.tue.nl/∼aeb/math/poincare2.html.
4. Приклад. Проiлюструємо використання технiки рядiв Пуанкаре для знаход-
ження мiнiмальних породжуючих систем алгебр семiiнварiантiв та ядер локально
нiльпотентних диференцiювань.
Розглянемо алгебру семiiнварiантiв S(1,2). Можна показати (див. [7]), що ця ал-
гебра ототожнюється з ядром такого диференцiювання алгебри C[x0, x1, y0, y1, y2] :
D(x0) = 0, D(x1) = x0,
D(y0) = 0, D(y1) = y0, D(y2) = 2 y1.
Працювати з диференцiюваннями зручнiше, оскiльки у цьому випадку легко
перевiрити безпосередньо чи даний конкретний многочлен належить ядру дифе-
ренцiювання.
Використовуючи пакет Poincare_series, знаходимо мультиряд Пуанкаре
P(S(1,2), z1, z2, t) = P(kerD, z1, z2, t) =
1 + z1z2t
(1− z22) (1− z2t2) (1− z1t) (1− z2z12)
.
Аналiзуючи вигляд мультиряду Пуанкаре, робимо припущення про iснування таких
п’яти елементiв ядра: одного семiiнварiанта мультистепеня (1, 0) i порядку 1, одно-
го семiiнварiанта мультистепеня (0,1) i порядку 2, одного iнварiанта мультистепеня
(0,2), одного iнварiанта мультистепеня (2,1) i одного семiiнварiанта елемента муль-
тистепеня (1,1) i порядку 1. Семiiнварiанти першого степеня легко знайти – ними
є змiннi x0 та y0. Решту iз вказаних семiiнварiантiв, знаючи їхнi мультистепенi та
порядки, легко знайти методами лiнiйної алгебри. В результатi отримаємо
dv1 = y0x1 − y1x0, dv2 = y0y2 − y21 , tr = y0x1
2 − 2 y1x1x0 + y2x0
2.
Ранг якобiана J(x0, y0, dv1, dv2) дорiвнює 4, тому многочлени x0, y0, dv1, dv2
алгебраїчно незалежнi. Прямою перевiркою знаходимо одну сизигiю
dv21 = y0 tr − dv2x20.
Припустимо, що iснує ще одна сизигiя вигляду F (x0, y0, dv1, dv2, tr) = 0, де F —
деякий многочлен. Тодi, виконавши пiдстановку
tr =
dv21 + dv2x
2
0
y0
,
отримаємо рацiональне спiввiдношення для многочленiв x0, y0, dv1, dv2, а це
суперечить їхнiй алгебраїчнiй незалежностi. Отже, мiж многочленами x0, y0, dv1,
dv2, tr iснує лише одна сизигiя. Звiдси випливає, що многочлени x0, y0, dv2, tr
утворють однорiдну систему параметрiв для алгебри C[x0, y0, dv1, dv2, tr]. Також
iз вигляду сизигiї робимо висновок, що алгебра C[x0, y0, dv1, dv2, tr] є вiльною над
своєю пiдалгеброю C[x0, y0, dv2, tr], тобто є алгеброю Коена – Маколея. Тому має
мiсце розклад
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
РЯДИ ПУАНКАРЕ МУЛЬТИГРАДУЙОВАНИХ АЛГЕБР SL2-IНВАРIАНТIВ 763
C[x0, y0, dv1, dv2, tr] = C[x0, y0, dv2, tr]⊕ dv1C[x0, y0, dv2, tr].
Оскiльки алгебра C[x0, y0, dv2, tr] iзоморфна вiдповiдно мультиградуйованiй алгеб-
рi многочленiв вiд чотирьох змiнних, то її мультиряд Пуанкаре має вигляд
1
(1− z22) (1− z2t2) (1− z1t) (1− z2z12)
.
Звiдси, врахувавши, що многочлен dv1 має мультистепiнь (1, 1) та порядок 1, вiдра-
зу отримуємо мультиряд Пуанкаре мультиградуйованої алгебри C[x0, y0, dv1, dv2,
tr]:
P(C[x0, y0, dv1, dv2, tr], z1, z2, t) =
1 + z1z2t
(1− z22) (1− z2t2) (1− z1t) (1− z2z12)
.
Отже, мультиряди Пуанкаре алгебри S(1,2) та її пiдалгебри C[x0, y0, dv1, dv2, tr]
рiвнi мiж собою, а тому (див. [11]) цi алгебри збiгаються i ми отримуємо
S(1,2) = C[x0, y0, dv1, dv2, tr].
Поклавши в мультирядi для S(1,2) t = 0, отримаємо мультиряд Пуанкаре для
алгебри iнварiантiв I(1,2) :
P(I(1,2), z1, z2) =
1
(1− z22) (1− z2z12)
.
Звiдси робимо висновок, що алгебра iнварiантiв I(1,2) є вiльною алгеброю, пород-
женою двома iнварiантами dv2 i tr : I(1,2) = C[dv2, tr].
Для обчислення алгебр спiльних семiiнварiантiв, iнварiантiв та ядер диферен-
цiювань Вейтценбека автором розроблено Maple-пакет SL_2_Inv_Ker , який та-
кож знаходиться на сайтi http://sites.google.com/site/bedratyuklp. В основi алгоритму
лежить використання мультирядiв Пуанкаре.
1. Hochster M., Roberts J. Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings are Cohen-
Macalay // Adv. Math. – 1974. – 13. – P. 125 – 175.
2. Sylvester J.J., Franklin F. Tables of the generating functions and groundforms for the binary quantic of
the first ten orders // Amer. J. Math. – 1879. – 2. – P. 223 – 251.
3. Sylvester J. J. Tables of the generating functions and groundforms of the binary duodecimic, with some
general remarks, and tables of the irreducible syzygies of certain quantics // Amer. J. Math. – 1881. – 4.
– P. 41 – 62.
4. Brion M. Invariants de plusieurs formes binaires // Bull. Soc. math. France. – 1982. – 110. – P. 429 – 445.
5. Drensky V., Genov G. K. Multiplicities of Schur functions with applications to invariant theory and
PI-algebras // J. C. R. Acad. Bulg. Sci. – 2004. – 57, № 3. – P. 5 – 10.
6. Bedratyuk L. The Poincaré series of the algebras of simultaneous invariants and covariants of two binary
forms // Linear and Multilinear Algebra. – 2010. – 58, № 6. – P 789 – 803.
7. Bedratyuk L. Weitzenböck derivations and the classical invariant theory, I: Poincaré series // Serdica
Math. J. – 2010. – 36, № 2. – P. 99 – 120.
8. Fulton W., Harris J. Representation theory: a first course. – New York etc.: Springer, 1991.
9. Springer T. A. On the invariant theory of SU(2) // Indag. Math. –1980. – 42. – P. 339 – 345.
10. MacMahon P. A. Combinatory analysis. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1915 – 1916. – Vol. 2. –
(Reprinted: New York: Chelsea, 1960).
11. Dersken H., Kemper G. Computational invariant theory. – New York: Springer, 2002.
Одержано 17.01.11,
пiсля доопрацювання — 25.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2760 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:46Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/f1255288186c169545d807658d8b3983.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27602020-03-18T19:35:28Z Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants Ряди Пуанкаре мультиградуйованих алгебр SL 2 -інваріантів Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. Formulas for computation of the multivariate Poincare series $\mathcal{P}(\mathcal{C}_{d}, z_1, z_2,..., z_n,t)$ and $\mathcal{P}(\mathcal{I}_{d}, z_1, z_2,..., z_n)$, are found, where $\mathcal{C}_{d}, \mathcal{I}_{d}, \;\; {d} = (d_1, d_2,..., d_n)$ are multigraded algebras of joint covariants and joint invariants for n binary forms of degrees $d_1, d_2,..., d_n $. Найдены формулы для вычисления мультирядов Пуанкаре $\mathcal{P}(\mathcal{C}_{d}, z_1, z_2,..., z_n,t)$ и $\mathcal{P}(\mathcal{I}_{d}, z_1, z_2,..., z_n)$, где $\mathcal{C}_{d}, \mathcal{I}_{d}, \;\; {d} = (d_1, d_2,..., d_n) $ — мультиградуированные алгебры совместных ковариантов и совместных инвариантов для n бинарных форм степеней $d_1, d_2,..., d_n $. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2760 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 755-763 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 755-763 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2760/2276 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2760/2277 Copyright (c) 2011 Bedratyuk L. P. |
| spellingShingle | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title | Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title_alt | Ряди Пуанкаре мультиградуйованих алгебр SL 2 -інваріантів |
| title_full | Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title_fullStr | Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title_full_unstemmed | Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title_short | Poincare series of the multigraded algebras of SL 2-invariants |
| title_sort | poincare series of the multigraded algebras of sl 2-invariants |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2760 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyuklp poincareseriesofthemultigradedalgebrasofsl2invariants AT bedratûklp poincareseriesofthemultigradedalgebrasofsl2invariants AT bedratyuklp râdipuankaremulʹtigradujovanihalgebrsl2ínvaríantív AT bedratûklp râdipuankaremulʹtigradujovanihalgebrsl2ínvaríantív |