Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions
Asymptotically sharp estimates are obtained for the best $(\alpha, \beta)$ -approximations of the classes $W^r_{1; \gamma, \delta}$ with natural $r$ by algebraic polynomials in the mean.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2763 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508727781621760 |
|---|---|
| author | Motornyi, V. P. Pas'ko, A. N. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. |
| author_facet | Motornyi, V. P. Pas'ko, A. N. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. |
| author_sort | Motornyi, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | Asymptotically sharp estimates are obtained for the best $(\alpha, \beta)$ -approximations of the classes $W^r_{1; \gamma, \delta}$ with natural $r$ by algebraic polynomials in the mean. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО, 2011
798 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
УДК 517.5 ���
В. П. Моторный, А. Н. Пасько (Днепропетр. нац. ун-т)
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (!, ") -approximations of the classes W1; ! ,"
r with
natural r by algebraic polynomials in the mean.
Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (!, ") -наближень класів W1; ! ,"
r для натуральних r
алгебраїчними поліномами в середньому.
Введение. Рассмотрим пространство Lp[!1,1] , 1 ! p < " , ������������измеримых на [!1,1]
функций f , для которых f (x) p dx
!1
1
" < # , снабженное нормой
f p;[!1,1] = f (x) p dx
!1
1
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
Под L!["1,1] понимается пространство всех существенно ограниченных на
[!1,1] функций f , снабженное нормой f !;["1,1] = vrai sup
x#["1,1]
f (x) .
Пусть f !L1["1,1] , !n — множество всех алгебраических многочленов сте-
пени не выше n . Величины En ( f )1 = inf
p!"n
f # p 1;[-1,1] называются наилучши-
ми приближениями функции f алгебраическими многочленами в среднем. Наи-
лучшие приближения в среднем алгебраическими полиномами класса функций
W ! L1["1,1] определяются равенством En (W )1 = sup
f!W
En ( f )1 .
Пусть W1r — класс заданных на отрезке [!1,1] функций f таких, что
f (r!1) абсолютно непрерывна на этом отрезке, а f (r)
1;[!1,1]
" 1 . С. М. Николь-
ский [1] установил асимптотически точную оценку наилучших приближений
класса W1r алгебраическими многочленами в среднем
En (W1r )1 = Kr
nr
+ o 1
nr
!
"#
$
%& , (1)
где Kr = 4
!
("1)k(r+1)
2k + 1( )r+1k=0
#$ — постоянная Фавара.
В. А. Кофанов [2] нашел точные значения наилучших приближений в среднем
класса W1r
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 799
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
En (W1r )1 = Sn,r !;["1,1]
для n ! r " 1 , где Sn,r — идеальный сплайн, определенный равенством
Sn,r (x) = 1
r ! 1( )! (x ! u)+r!1sign sin(n + 2)arccos u du
!1
1
" ,
а усеченная степенная функция (x ! u)+r!1 определяется так:
(x ! u)+r!1 :=
(x ! u)r!1, x > u,
0, x " u.
#
$
%
&%
Однако точные значения норм сплайнов Sn,r неизвестны, поэтому асимптоти-
чески точная оценка (1) не теряет актуальности.
Пусть f — суммируемая на [!1,1] функция. Рассмотрим величины
En+ ( f )1 = inf f ! p 1;[!1,1] : p "#n , p(x) $ f (x) %x "[ !1,1]{ } ,
En! ( f )1 = inf f ! p 1;[!1,1] : p "#n , p(x) $ f (x) %x "[ !1,1]{ } .
Величина En+ ( f )1 (соответственно En! ( f )1 ) называется наилучшим односто-
ронним приближением сверху (соответственно снизу) функции f алгебраически-
ми многочленами в среднем. В случае, если f не ограничена сверху, считаем,
что En+ f( ) 1 = ! , если же f не ограничена снизу, то полагаем, что En! ( f )1 =
= ! . Наилучшие односторонние приближения класса W определяются стан-
дартным образом:
En± (W )1 = sup
f!W
En± ( f )1 .
Точные значения наилучших односторон���них приближений классов W1r при
целых r ! 2 найдены В. Ф. Бабенко и В. А. Кофановым [3]:
En± (W1r )1 = max Sn,r+ !;["1,1]
, Sn,r" !;["1,1]{ } ,
где Sn,r+ (x) , Sn,r! (x) , n ! r " 1 , — некоторые сплайны. Однако точные значения
норм этих сплайнов неизвестны, поэтому в работе В. П. Моторного и А. Н. Пасько
[4] была получена асимптотически точная оценка величин En± (W1r )1 : при всех
целых r ! 1
En± (W1r )1 = 2
nr
sup
x
Br (x) + O 1
nr+1
!
"#
$
%& , (2)
800 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
где Br (x) =
cos kx ! "r
2( )
krk=1
#$ — ядро Бернулли, а константа, определяющая
остаточный член, зависит только от r .
Пусть ! — весовая функция, т. е. функция, неотрицательная и суммируемая
на отрезке [!1,1] . Определим наилучшие односторонние приближения с весом !
следующим образом:
En+ ( f )1,! = inf p(x) " f (x)( )!(x)dx
"1
1
# : p $%n, p(x) & f (x) 'x $["1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En! ( f )1," = inf f (x) ! p(x)( )"(x)dx
!1
1
# : p $%n , p(x) & f (x) 'x $[!1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En± (W )1,! = sup
f"W
En± ( f )1,! .
В работе В. П. Моторного и А. Н. Пасько [5] оценка (2) была обобщена на слу-
чай наилучших односторонних приближений с весом: для любой весовой функции
! , удовлетворяющей неравенствам
1! x2 " # x( ) " 1
1! x2
, x !["1,1] ,
и любого целого r ! 1 имеет место равенство
En± (W1r )1,! = 2
nr
sup
x
Br (x) + O 1
nr+1
"
#$
%
&' ,
где константа, определяющая остаточный член, зависит только от r .
Пусть заданы положительные числа ! , ! . Рассмотрим определенный на
пространстве Lp[!1,1] , 1 ! p ! " , функционал
f p;[!1,1];(",#) = "f+ + #f! p;[!1,1] , где f± (x) = max ± f (x), 0{ } ,
называемый (!,") -нормой. Этот функционал является несимметричной нормой в
том смысле, что для него выполняются все аксиомы нормы, за исключением ра-
венства !f = ! f , которое выполняется лишь для положительных ! .
Символом Lp , 1 ! p < " , обозначим пространство измеримых 2! -периоди-
ческих функций f , для которых f (t) p dt
0
2!
" < # , снабженное нормой
f p = f (t) p dt
0
2!
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
Под L! будем понимать пространство всех существенно ограниченных 2! -пе-
риодических функций f , снабженное нормой f ! = vrai sup
t
f (t) .
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 801
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Для положительных чисел ! , ! на пространстве Lp , 1 ! p ! " , также
вводится называемый (!,") -нормой функционал f p;(!,") = !f+ + "f# p .
Для любой суммируемой на отрезке [!1,1] функции f определим наи-
лучшее (!,") -приближение в среднем алгебраическими полиномами как
En!," ( f )1 = inf
p#$n
f % p 1;[%1,1];(!,") .
Наилучшее (!,") -приближение в среднем класса W определяется равенст-
вом
En!," (W )1 = sup
f#W
En!," ( f )1 .
Для любых ! > 0 , ! > 0 рассмотрим класс W1;! ,"
r заданных на отрезке
[!1,1] функций f таких, что f (r!1) абсолютно непрерывна на этом отрезке, а
r -я производная удовлетворяет условию f (r)
1;[!1,1];(" ,#)
$ 1 .
В. Ф. Бабенко и В. А. Кофанов [3] доказали, что при всех целых r ! 2 и
n ! r " 1 имеет место равенство
En!," W1;# ,$
r( )1 = max 1
#
max Sn,r(!,")( )+ %;[&1,1]
, Sn,r(",!)( )& %;[&1,1]
'
(
)
*
+
,
'
(
)
,
1
!
max Sn,r(",#)( )+ $; %1,1[ ]
, Sn,r(#,")( )% $; %1,1[ ]
&
'
(
)
*
+
)
*
+
. (3)
Сплайны Sn,r(!,") в равенстве (3) определяются соотношением
Sn,r(!,") (x) = (x # t)+r#1
(r # 1)!
sn(!,") (t)dt
#1
1
$ ,
где
sn(!,") (x) = ! Pn+1
(!,") (x)( )+ # " Pn+1
(!,") (x)( )# ,
а Pn+1
(!,") (x) = (#1)n+1xn+1 # p(x) , где p(x) — полином из !n -наилучшего (!,") -
приближения функции (!1)n+1xn+1 . Однако и в этом случае аналитические вы-
ражения для норм сплайнов Sn,r(!,") неизвестны, что приводит к необходимости
получения асимптотически точной оценки величин En!," W1;# ,$
r( )1 .
Рассмотрим весовую функцию ! и определим наилучшие (!,") -приближе-
ния в среднем с весом функции f и класса W как
En!," ( f )1,# = inf
p$%n
! f (x) & p(x)( )+ + " f (x) & p(x)( )&( )#(x)dx
&1
1
' ,
802 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
En!," (W )1,# = sup
f$W
En!," ( f )1,# .
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть ! , ! , ! , ! — положительные числа, ! " 1 . Тогда для
любой весовой функции ! , удовлетворяющей неравенствам
1! x2( )" # $(x) # 1
1! x2
, x !["1,1] , (4)
и любого целого r ! 1 имеет место оценка
En!," W1;# ,$
r( )1,% = &n,r;!," '; # (1,$(1( ) + O 1
nr+1
)
*+
,
-. , (5)
где сплайн !n,r;(",#) определяется как r -й периодический интеграл, равный в
среднем нулю на периоде, от 2!
n
-периодической четной функции !n,0;(",#) , за-
данной на отрезке 0; !
n
"
#$
%
&'
равенством
!n,0;(",#) (t) =
", 0 $ t $ #%
(" + #)n
,
&#, #%
(" + #)n
< t $ %
n
.
'
(
)
)
*
)
)
Константа, определяющая остаточный член в (5), зависит только от r ,
! , ! , ! , ! и ! .
Отметим, что в случае постоянной весовой функции !(x) " 1 оценка (5) пред-
ставляет собой оценку наилучших (!,") -приближений в среднем класса W1;! ,"
r :
En!," W1;# ,$
r( )1 = %n,r;!," &; # '1,$'1( ) + O 1
nr+1
(
)*
+
,- .
Сведение доказательства теоремы к оценке наилучших несимметричных
приближений некоторых периодических функций. Обозначим через F2n+1
пространство всех тригонометрических многочленов порядка не выше n . Для
суммируемой на периоде 2! -периодической функции g обозначим через
!En!," (g)1 ее наилучшее (!,") -приближение в среднем тригонометрическими мно-
гочленами порядка не выше n , т. е.
!En!," (g)1 = inf
T#F2n+1
! g(t) $ T (t)( )+ + " g(t) $ T (t)( )$( ) dt
0
2%
& .
При ! = " = 1 получаем обычное наилучшее приближение
!En (g1) функции g
тригонометрическими полиномами в среднем.
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 803
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Пусть !W rKV — класс 2! -периодических функций f , у которых f (r!1)
абсолютно непрерывна на [!", "] , V!"" f (r)( ) # K , K – постоянная. Тогда из
неравенства
!En!," ( f )1 # max !, "{ } !En ( f )1
следует, что для любой f !
!W rKV
!En!," ( f )1 #
CK
nr+1
. (6)
Замечание. Здесь и в дальнейшем через C будем обозначать постоянную,
значение которой может зависеть только от ! , ! , ! , ! и ! , указанных в
теореме. Константу, которая, кроме вышеперечисленных параметров, зависит и
от r , будем обозначать через Cr . Конкретные же значения этих констант в
разных местах могут быть различными.
Рассмотрим равенство
En!," W1;# ,$
r( )1,% = max 1
!
max
"1#a#1
En$,%
(x " a)+r"1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
,
1
!
max
"1#a#1
En$,%
(x " a)+r"1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
. (7)
В случае постоянного веса !(x) " 1 равенство (7) доказано в [3], в общем случае
его доказательство проводится аналогично. Будем изучать наилучшие несиммет-
ричные приближения усеченных степенных функций gr,a (x) = (x ! a)+
r!1
(r ! 1)!
. По
определению
En!," gr,a( )1,# = inf
p$%n
! gr,a (x) & p(x)( )+ + " gr,a (x) & p(x)( )&( )#(x)dx
&1
1
' .
Выполним в последнем интеграле замену x = cos t :
En!," (gr,a )1,# = inf
p$%n
! gr,a (cos t) & p(cos t)( )+( +
0
%
'
+ ! gr,a (cos t) " p(cos t)( )" )#(cos t) sin t dt =
= 1
2
inf
p!"n
# gr,a (cos t) $ p(cos t)( )+ +(
$"
"
%
+ ! gr,a (cos t) " p(cos t)( )" )#(cos t) sin t dt . (8)
804 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Подберем целое j , удовлетворяющее неравенству 2 j ! 1 " # . Тогда из (4) будет
следовать неравенство sin2 jt ! "(cos t) sin t ! 1 , и из (8) получим
1
2
!En+2 j
!," gr,a (cos t) sin2 jt( )1 # En!," (gr,a )1,$ # 1
2
!En!," gr,a (cos t)( )1 . (9)
Известно [6], что функция gr,a (cos t) при r ! 2 может быть представлена в
виде
gr,a (cos t) = fr,0 (t) + fr,1(t) ,
где fr,1(t) имеет абсолютно непрерывную на [!", "] (r ! 1) -ю производную, а
!"
"
V fr,1
(r)( ) # Crsinr!2$
для ! = arccos a и не зависящей от a константы Cr .
Функция fr,0 (t) имеет на [!", "] абсолютно непрерывную производную по-
рядка r ! 2 , а ее (r ! 1) -я производная
fr,0
(r!1)(t) =
!sin t( )r!1 ! "r , t #(!$, $),
!"r , t #[!%, %] \ (!$, $).
&
'
(
)(
Здесь !r — константа, подобранная из условия равенства fr,0
(r!1) нулю в среднем
на периоде.
В случае r = 1 положим g1,a (cos t) = f1,0 (t) .
Рассмотрим функцию
!",r (t) = sinr#1"
$
Br (t + ") + (#1)r Br (t # ")( ) .
Для всех натуральных r разность fr,0 (t) ! "#,r (t) имеет абсолютно непрерыв-
ную на [!", "] производную порядка r ! 1 , а
!"
"
V dr
dt r
fr,0 (t) ! #$,r (t)( )%
&'
(
)*
+ 4r sin(r!2)+$
(здесь (r ! 2)+ = max{r ! 2, 0} ).
Записав неравенство (6) для функции fr,1(t) и для разности fr,0 (t) ! "#,r (t) ,
получим, что
!En!," ( fr,1)1 # Cr /nr+1 ,
!En!," ( fr,0 # $%,r )1 ≤ Cr / nr+1 . Тогда из
неравенства (9) и полуаддитивности наилучшего (!,") -приближения следуют
неравенства
En!," (gr,a )1,# $ 1
2
!En!," (%&,r )1 + Cr
nr+1
, (10)
En!," (gr,a )1,# $ 1
2
!En+2 j
!," %&,rsin2 jt( )1 ' Cr
nr+1
. (11)
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 805
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Наилучшие несимметричные приближения функций !",r (t) . Из нера-
венств (10), (11) следует, что для оценки наилучших (!,") -приближений усечен-
ных степенных функций необходимо исследовать наилучшие (!,") -приближения
тригонометрическими многочленами функций !",r (t) . Поскольку !",r (t) — ли-
нейная комбинация сдвигов ядер Бернулли, нам понадобятся найденные в [7, с. 70]
точные значения наилучших (!,") -приближений ядер Бернулли:
1
!
!En(",#) (Br )1 = maxt
$n+1,r;",# (t) = $n+1,r;",# (%0 ) , (12)
где !0 — лежащая на ! "
n
, "
n
#
$%
&
'( точка максимума сплайна !n+1,r;",# (t) .
Лемма 1. Для любого натурального r
!En(!,") (#$,r )1 % 2 sinr&1$ 'max
t
(n+1,r;!," (t) .
Доказательство. Пусть r — четное. Тогда, применив полуаддитивность
функционала наилучшего (!,") -приближения и соотношение (12), получим
!En(!,") (#$,r )1 % sinr&1$
'
!En(!,") Br (( + $)( )1 + !En(!,") Br (( & $)( )1( ) =
= 2sinr!1"
#
!En($,%) (Br )1 = 2sinr!1" &max
t
'n+1,r;$,% (t) .
Аналогичным образом, применяя полуаддитивность функционала наилучшего
(!,") -приближения и соотношение (12) в случае нечетного r , получаем
!En(!,") (#$,r )1 % sinr&1$
'
!En(!,") Br (( + $)( )1 + !En(!,") &Br (( & $)( )1( ) =
= sinr!1"
#
!En($,%) Br (& + ")( )1 + !En($,%) Br (" ! &)( )1( ) =
= sinr!1"
#
!En($,%)(Br (&))1 + !En($,%) Br (!&)( )1( ) =
= 2 sinr!1"
#
!En($,%) (Br )1 = 2 sinr!1 " & max
t
'n+1,r;$,% (t) .
Лемма доказана.
Лемма 2. Для любого натурального r выполняется неравенство
!En(!,") (#$k ,r )1 % 2sinr&1$k 'maxt
(n+1,r;!," (t) ,
где !k = !k,n,r = !0 +
2"k
n + 1
, k = 0,1, 2, ..., n .
Доказательство. В работе [8] доказано, что для любой суммируемой на пе-
806 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
риоде 2! -периодической функции g
!En(!,") (g)1 = sup g(t)#(t) dt
0
2$
% : # & F2n+1, # '; !(1,"(1( ) ) 1
*
+
,
-,
.
/
,
0,
.
Функция !n+1,0;",# имеет период 2!
n + 1
и равна нулю в среднем на [0, 2!] .
Следовательно, она ортогональна всем тригонометрическим полиномам порядка не
выше n . Кроме того, !n+1,0;",# $; "%1,#%1( ) = 1 , поэтому
!En(!,") (#$k ,r )1 % #$k ,r (t)
0
2&
' (n+1,0;!," (t) dt =
= sinr!1"k
#
Br (t + "k ) + (!1)r Br (t ! "k )( )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt =
= sinr!1"k
#
Br ("k + t)
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt + (!1)r Br (t ! "k )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t)dt
(
)
*
+
,
- .
Выполним в первом интеграле замену переменной t на !t и воспользуемся чет-
ностью функции !n+1,0;",# . Ко второму интегралу применим справедливое для
всех r равенство (!1)r Br (t ! "k ) = Br ("k ! t) . Получим
!En(!,") (#$k ,r )1 % 2sinr&1$k
'
Br ($k & t)
0
2'
( )n+1,0;!," (t) dt =
= 2sinr!1"k # $n+1,r;%,& ("k ) . (13)
Поскольку функция !n+1,r;",# 2!
n + 1
-периодична, !n+1,r;",# ($k ) =
= !n+1,r;",# ($0 ) . Тогда неравенство (13) с учетом второго из соотношений (12)
влечет справедливость леммы 2.
Лемма доказана.
Завершение доказательства теоремы. В силу неравенства (11) для оценки
снизу наилучших несимметричных приближений усеченных степенных функций
надо оценить снизу наилучшие несимметричные приближения тригонометрически-
ми полиномами функций !",r (t)sin2 jt .
Лемма 3. Для любого натурального r
!En+2 j
!," #$,r (t) sin2 jt( )1 % sin2 j$ & !En+2 j
!," #$,r (t)( )1 ' Cr
nr+1
. (14)
Доказательство. Применив к равенству
!",r (t) sin2 jt + !",r (t) sin2 j" # sin2 jt( ) = !",r (t) sin2 j"
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 807
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
полуаддитивность функционала наилучшего (!,") -приближения, получим
!En+2 j
!," #$,r (t) sin2 jt( )1 % sin2 j$ & !En+2 j
!," #$,r (t)( )1 '
! !En+2 j
",# $%,r (t) sin2 j% ! sin2 jt( )( )1 . (15)
Функция !",r (t) sin2 j" # sin2 jt( ) принадлежит !W rKV с некоторой константой
K , зависящей от j и r . Тогда в силу (6)
!En+2 j
!," #$,r (t) (sin2 j$ % sin2 jt)( )1 & Cr
nr+1
.
Из последнего неравенства и неравенства (15) следует неравенство (14).
Лемма доказана.
Отметим, что в силу равенства !n,r;",# $;(% &1,'&1)
= n!r "1,r;#,$ %;(& !1,'!1)
,
справедливого для всех натуральных n , оценка (5) эквивалентна оценке
En!," W1;# ,$
r( )1,% = &n+1,r;!," ';(# (1,$(1)
+ O 1
nr+1
)
*+
,
-. , (16)
получаемой заменой n на n + 1 в правой части (5). Для доказательства (16) не-
обходимо получить две оценки: оценку сверху
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+1,r;!," (;(# )1,$)1)
+ Cr
nr+1
(17)
и оценку снизу
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+1,r;!," (;(# )1,$)1)
) Cr
nr+1
. (18)
Докажем неравенство (17). Применив последовательно равенство (7), нера-
венство (10) и лемму 1, будем иметь
En!," W1;# ,$
r( )1,% &
! max " #1 max
t
$n+1,r;%,& (t), '#1 max
t
$n+1,r;&,% (t){ } + Cr
nr+1
. (19)
Нетрудно видеть, что !n+1,r;",# (t) = !"n+1,r;#,$ t ! %
n + 1
&
'(
)
*+ . Следовательно,
max
t
!n+1,r;",# (t) = $ min
t
!n+1,r;#," (t) .
Подставив последнее равенство в (19), получим оценку (17).
Перейдем к доказательству неравенства (18). Из лемм 2 и 3 следует, что для
любого k
808 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
!En+2 j
!," #$k ,r (t) sin
2 jt( )1 % 2 sinr+2 j&1$k 'maxt
(n+2 j+1,r;!," (t) &
Cr
nr+1
(20)
(считаем, что !k = !k,n+2 j,r ). Применив последовательно соотношение (7), нера-
венство (11) и неравенство (20), получим
En!," W1;# ,$
r( )1,% & sinr+2 j'1(k )n+2 j+1,r;!," *;(# '1,$'1)
' Cr
nr+1
. (21)
Неравенство имеет место для любого узла !k . Выберем теперь k0 так, чтобы
узел !k0 был ближайшим к точке !
2
из всех !k . Тогда !k0 "
#
2
$ #
n + 2 j
,
sin !k0 " cos #
n + 2 j
> 1 $ #2
2(n + 2 j)2
, sinr+2 j!1"k0 > 1 ! (r + 2 j ! 1)#
2
2(n + 2 j)2
.
С учетом последнего неравенства из (21) следует
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+2 j+1,r;!," (;(# )1,$)1)
) Cr
nr+1
.
Для получения оценки (18) осталось заметить, что
!n+2 j+1,r;",# $;(% &1,'&1)
& !n+1,r;",# $;(% &1,'&1)
= O 1
nr+1
(
)*
+
,- .
Теорема доказана.
1. Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функций a ! x s // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1947. – 11, № 3. – С. 139 – 180.
2. Кофанов В. А. Приближение классов дифференцируемых функций в среднем // Изв. АН СССР.
Сер. мат. − 1983. − 47, № 5. − С. 1078 – 1090.
3. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А. Несимметричные приближения классов дифференцируемых функ-
ций алгебраическими многочленами в среднем // Anal. Math. – 1988. – 14. – P. 193 – 217.
4. Motornyi V. P., Pasko A. N. On the best one-sided approximation of some classes of differentiable func-
tions in L1 // E. J. Approxim. − 2004. – 10, № 2. – P. 159 − 169.
5. Моторный В. П., Пасько А. Н. Наилучшее одностороннее приближение усеченных степеней и
оценки погрешностей квадратурных формул на некоторых классах функций // Вісн. Дніпропетр.
ун-ту. Математика. − 2003. − Вип. 8. − С. 74 − 80.
6. Моторная О. В. О наилучшем приближении дифференцируемых функций алгебраическими
многочленами в пространстве L1 . − Киев, 1993. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики;
93.20).
7. Бабенко В. Ф. Экстремальные задачи теории приближения и несимметричные нормы: Дис. … д-ра
физ.-мат. наук. – Днепропетровск, 1987.
8. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр мат.
журн. − 1982. − 34, № 4. − С. 409 − 416.
Получено 28.03.11
|
| id | umjimathkievua-article-2763 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:49Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e6/de5405ca6ec76eb166899beee553ace6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27632020-03-18T19:35:28Z Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций Motornyi, V. P. Pas'ko, A. N. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Asymptotically sharp estimates are obtained for the best $(\alpha, \beta)$ -approximations of the classes $W^r_{1; \gamma, \delta}$ with natural $r$ by algebraic polynomials in the mean. Отримано асимптотично точні оцінки найкращих $(\alpha, \beta)$ -наближень класів $W^r_{1; \gamma, \delta}$ для натуральних $r$ алгебраїчними поліномами в середньому. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2763 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 798-808 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 798-808 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2763/2282 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2763/2283 Copyright (c) 2011 Motornyi V. P.; Pas'ko A. N. |
| spellingShingle | Motornyi, V. P. Pas'ko, A. N. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Моторный, В. П. Пасько, А. Н. Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_alt | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_full | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_fullStr | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_full_unstemmed | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_short | Estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| title_sort | estimates for the best asymmetric approximations of asymmetric classes of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2763 |
| work_keys_str_mv | AT motornyivp estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT pas039koan estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT motornyjvp estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT pasʹkoan estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT motornyjvp estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT pasʹkoan estimatesforthebestasymmetricapproximationsofasymmetricclassesoffunctions AT motornyivp ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT pas039koan ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT motornyjvp ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT pasʹkoan ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT motornyjvp ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT pasʹkoan ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij |