Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables
We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between parameters $p, q, \theta$.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2764 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508729859899392 |
|---|---|
| author | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_facet | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_sort | Solich, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between parameters $p, q, \theta$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. В. Солiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes S Ω
p, θB of periodic functions of
many variables in the space Lq for some relations between parameters p, q, θ.
Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов S Ω
p, θB периодиче-
ских функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами
p, q, θ.
Вступ. Роботу присвячено дослiдженню найкращих бiлiнiйних наближень перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при деяких спiввiдношеннях мiж
праметрами p, q, θ. Вона складається зi вступу та двох пунктiв. У вступi наве-
дено необхiднi позначення i дано означення класiв, що дослiджуються. Перший
пункт має допомiжний характер. В ньому, зокрема, сформульовано та доведено
теорему про оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень. Отри-
манi результати використано у другому пунктi для встановлення оцiнок зверху
найкращих бiлiнiйних наближень функцiй 2d змiнних вигляду f(x− y), x, y ∈ πd,
що породжуються з функцiй f(x) ∈ S Ω
p, θB.
Наведемо необхiднi означення та позначення.
Нехай R d, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd)
i Lp(πd), πd =
∏d
j=1
[−π;π], — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумов-
них у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞), функцiй
f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма в цьому просторi визначається таким чином:
||f ||p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Пiдмножину функцiй f ∈ Lp(πd), для яких виконується умова
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
позначимо через L◦p(πd).
Означимо простори SΩ
p,θB ⊂ Lp(πd), властивостi яких визначаються за допо-
могою мажорантної функцiї Ω(t), t = (t1, . . . , td) ∈ Rd+, для мiшаного модуля
неперервностi l-го порядку (l ∈ N) функцiї f ∈ Lp(πd), числових параметрiв p i θ,
1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Отже, нехай для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd)
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p
c© К. В. СОЛIЧ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 809
810 К. В. СОЛIЧ
— мiшаний модуль неперервностi порядку l функцiї f, де ∆l
hf(x) = ∆l
hd
. . .
. . .∆l
h1
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))), h = (h1, . . . , hd), — мiшана l-та рiзниця з кро-
ком hj за змiнною xj , j = 1, d, i
∆l
hjf(x) =
l∑
n=o
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . xd).
Нехай далi Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного модуля непе-
рервностi порядку l, яка задовольняє наступнi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
∏d
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) неперервна на Rd+;
3) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих
значеннях iнших змiнних ti, i 6= j;
4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C
(∏d
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, C > 0 — деяка
стала.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl,d. У випадку d = 1 пишемо Ψl.
Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd), то Ωl(f, ·) ∈ Ψl,d.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl,d додатковим умовам, якi опишемо у термiнах
двох понять, запроваджених С.Н. Бернштейном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0
така, що ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0
така, що ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Нехай d = 1 i Ω ∈ Ψ
(1,2)
l , тобто для Ω(t), t ≥ 0, виконуються, принаймнi, умови
1 i 2.
Будемо писати:
i) Ω ∈ Sα, α > 0, якщо функцiя
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
ii) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя
Ω(τ)
τγ
майже спадає при
τ > 0.
Умови належностi функцiї Ω до множин Sα i Sl часто називають у лiтературi
умовами Барi – Стєчкiна [2].
При d > 1 для функцiї Ω ∈ Ψ
(1,2)
l,d будемо вважати, що Ω ∈ Sα, α = (α1, . . . , αd),
αj > 0, j = 1, d (вiдповiдно Ω ∈ Sl, l ∈ N), якщо Ω(t1, . . . , td), як функцiя змiнної
tj , j = 1, d, при будь-яких значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить множинi
Sαj (вiдповiдно Sl).
Покладемо також Φdα,l = Ψl,d ∩ Sα ∩ Sl.
Отже, нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φdα,l. Тодi
SΩ
p,θB =
{
f ∈ Lp(πd) : |f |SΩ
p,θB
<∞
}
,
де напiвнорма |f |SΩ
p,θB
визначається спiввiдношенням
|f |SΩ
p,θB
=
(∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t≥0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
(1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 811
Визначимо норму в просторi SΩ
p,θB таким чином:
‖f‖SΩ
p,θB
:= ‖f‖p + |f |SΩ
p,θB
, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Наведене означення просторiв SΩ
p,θB (з незначною модифiкацiєю) взято з робо-
ти [3]. При θ =∞ простори SΩ
p,θB (з позначенням SΩ
p H) уведено в роботi [4].
Шкала просторiв SΩ
p,θB є природним узагальненням шкали просторiв Нiколь-
ського – Бєсова Brp,θ, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d (див., наприклад, [5]), i
SΩ
p,θB ≡ Brp,θ при Ω(t) =
∏d
j=1
t
rj
j , rj < l, j = 1, d (зазначимо, що при θ = ∞
Brp,θ — простори Нiкольського Hr
p [6]).
У наступних мiркуваннях ми будемо використовувати порядковi спiввiдношен-
ня. ЗаписA � B означає двосторонню нерiвнiсть мiж виразамиA iB, тобто C3B ≤
≤ A ≤ C4B, де C3, C4 > 0 — сталi, значення яких можуть бути рiзними в рiзних
мiсцях. Також, якщо A ≤ C5B, C5 > 0 та A ≥ C6B, C6 > 0, будемо писати A� B
i A � B вiдповiдно. Iз контексту буде зрозумiло, вiд яких параметрiв цi сталi
не залежать. Ми не будемо акцентувати на цьому увагу щоразу при використаннi
символiв �,� i� .
Сформулюємо необхiднi при доведеннi одержаних у роботi результатiв вiдомi
твердження, що стосуються еквiвалентного зображення норми ‖f‖SΩ
p,θB
функцiй
f ∈ SΩ
p,θB, 1 ≤ p, θ ≤ ∞, Ω ∈ Φdα,l. Цi зображення подаються у термiнах визначе-
ного порядку росту p-норм деяких тригонометричних полiномiв, якi будуються на
основi розкладу функцiї f ∈ Lp(πd) в ряд Фур’є за тригонометричною системою.
Отже, нехай f ∈ Lp(πd) i
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd,
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f i для кожного
вектора s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
ρ(s) := {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}.
В роботi [3] встановлено, що при 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ Φdα,l для
f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd)
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖δs(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖δs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞,
(2)
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Як бачимо, таке зображення норми не охоплює випадки p = 1 i p = ∞. Деяка
модифiкацiя правої частини (2) дозволяє встановити подiбне зображення i в цих
випадках. Для цього введемо необхiднi позначення.
Нехай
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
2n− k
n
)
cos kt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
812 К. В. СОЛIЧ
— ядро Валле Пуссена порядку 2n i в точцi x = (x1, . . . , xd)
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)), s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d. (3)
Якщо f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, то покладемо
As(f, x) := f ∗As.
В роботi [7] встановлено, що при 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞ i Ω ∈ Φdα,l для
f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) має мiсце спiввiдношення
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖As(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (4)
i вiдповiдно в [4] при θ =∞
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
. (5)
У подальшому, в формулюваннях тверджень використовуються простори SΩ
p,θB
у випадку, коли функцiя Ω має спецiальний вигляд
Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, ω ∈ Φ1
α,l, α > 0. (6)
Отже, тут ω(·) — довiльна функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi
порядку l i ω ∈ Φ1
α,l. Згiдно з попереднiми означеннями зрозумiло, що
ω ∈ Φ1
α,l =⇒ Ω ∈ Φdα,l, α = (α, . . . , α︸ ︷︷ ︸
d
).
Зауважимо, що до множини Φ1
α,l, l ∈ N, належить, наприклад, функцiя
ω(u) =
ur(
log+ 1
u
)β , u > 0,
0, u = 0,
де log+ τ = max{1, log τ}, 0 < r < l, β ∈ R.
Далi для одиничної кулi у просторi SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) будемо використовувати те
ж позначення, що i для самого простору SΩ
p,θB, тобто
SΩ
p,θB := {f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1}.
1. Допомiжнi твердження. Наведемо деякi допомiжнi твердження, якi будемо
використовувати при доведеннi основних результатiв. Спочатку встановимо точнi
за порядком оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень функцiй
з класiв SΩ
∞,θB.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 813
Для f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
eM (f)q := inf
kj , cj
∥∥∥∥f(·)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,·)
∥∥∥∥
q
, (7)
де {kj}Mj=1 — система векторiв kj = (kj1, . . . , k
j
d) з цiлочисловими координатами,
cj — довiльнi комплекснi числа. Величину (7) називають найкращим M -членним
тригонометричним наближенням функцiї f у просторi Lq. Якщо F ⊂ Lq(πd) —
деякий функцiональний клас, то позначимо
eM (F )q := sup
f∈F
eM (f)q. (8)
Величина eM (f)2 для функцiї однiєї змiнної була введена С.Б. Стєчкiним [8] при
формулюваннi критерiю абсолютної збiжностi тригонометричних рядiв. Пiзнiше
величини eM (f)q i eM (F )q дослiджувалися вже з точки зору апроксимацiї. Зокрема,
поведiнка величини (8) для деяких класiв функцiй багатьох змiнних дослiджувалась
у роботах [9, 10], де можна ознайомитись з бiльш детальною бiблiографiєю в
цьому напрямi. Зазначимо також, що поведiнка величин найкращих M -членних
наближень класiв SΩ
p,θB, якi розглядаються у данiй роботi, вивчалась в [11 – 13].
Для f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, означимо величину
e⊥M (f)q := inf
kj
∥∥∥∥∥∥f(·)−
M∑
j=1
f̂(kj)ei(k
j ,·)
∥∥∥∥∥∥
q
,
яка називається найкращим M -членним ортогональним тригонометричним набли-
женням функцiї f у просторi Lq. Якщо F ⊂ Lq(πd) — деякий функцiональний клас,
то покладемо
e⊥M (F )q := sup
f∈F
e⊥M (f)q. (9)
Згiдно з означеннями величини (8) та (9) пов’язанi спiввiднoшенням
eM (F )q ≤ e⊥M (F )q. (10)
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi, див., наприклад, [6, с. 65]). Нехай задано 1 <
< p <∞. Iснують додатнi числа C7, C8 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(πd)
виконуються спiввiдношення
C7‖f‖p ≤
∥∥∥∥{∑
s
|δs(f ; ·)|2
}1/2∥∥∥∥
p
≤ C8‖f‖p. (11)
З нерiвностей (11) легко отримується (див., наприклад, [14, c. 17]) спiввiдно-
шення
‖f‖p �
{∑
s
‖δs(f ; ·)‖p0
p
}1/p0
, (12)
де p0 = min{2; p}.
Справедливим є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
814 К. В. СОЛIЧ
Теорема 1. Нехай 1 < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
, де
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0;
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
eM (SΩ
∞,θB)q � e⊥M (SΩ
∞,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (13)
Доведення. Оцiнку зверху для eM (SΩ
∞,θB)q отримаємо на пiдставi нерiвностi
(10), вкладення SΩ
∞,θB ⊂ SΩ
p,θB, 1 ≤ p < ∞, та встановленої в [15] оцiнки зверху
для e⊥M (SΩ
p,θB)q, 1 < q ≤ p <∞, p ≥ 2. В результатi одержимо
eM (SΩ
∞,θB)q ≤ e⊥M (SΩ
∞,θB)q ≤ e⊥M (SΩ
p,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
В роботi [12] було встановлено порядкове спiввiдношення
eM (SΩ
∞,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), 1 < q ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, M � 2nnd−1.
Тому, враховуючи властивiсть монотонностi норми ‖ · ‖q по параметру 2 ≤ q <∞,
маємо
eM (SΩ
∞,θB)q ≥ eM (SΩ
∞,θB)2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Теорема 1 доповнює оцiнки, отриманi в роботах [12, 13].
2. Найкращi бiлiнiйнi наближення. Означимо величину, яка буде дослiджува-
тись в даному пунктi роботи.
Нехай Lq(π2d), q = (q1, q2) — множина функцiй f(x, y), x, y ∈ πd, зi скiнченною
мiшаною нормою
‖f(x, y)‖q1,q2 = ‖ ‖f(·, y)‖q1‖q2 ,
де норма обчислюється спочатку в просторi Lq1(πd) по змiннiй x ∈ πd, а потiм
вiд результату по змiннiй y ∈ πd у просторi Lq2(πd). Для f ∈ Lq(π2d) oзначимо
найкраще бiлiнiйне наближення порядку M :
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x),vj(y)
∥∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
q1,q2
,
де uj ∈ Lq1(πd), vj ∈ Lq2(πd).
Якщо F ⊂ Lq(π2d) — клас функцiй, то покладемо
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (14)
Метою цього пункту є встановлення тoчних за порядком оцiнок величини
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 = sup
f∈SΩ
p,θB
τM (f)q1,q2 ,
де бiлiнiйнi наближення τM (f)q1,q2 розглядаються для функцiй вигляду f(x− y),
x, y ∈ πd.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 815
Зазначимо, що класичний результат про бiлiнiйнi наближення належить Шмiдту
[17]. В дещо бiльш загальнiй, нiж в [17], формi цей результат сформульовано
В. М. Темляковим в роботi [9, с. 10].
Лема А. Нехай ‖K(x, y)‖2,2 < ∞, K — iнтегральний оператор з ядром
K(x, y), K∗ — оператор, спряжений до оператора K, i λj — незростаюча по-
слiдовнiсть власних чисел оператора K∗K. Тодi
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥K(x, y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,2
=
∞∑
j=M+1
λj
1/2
.
Дослiдженню величини (14), де в якостi F фiгурують класи Wr
p,α i Hr
p , при-
свячено працi В. М. Темлякова [9, 18 – 20], в яких можна знайти вiдповiдну бiб-
лiографiю. Що стосується бiлiнiйних наближень класiв Бєсова Brp,θ, то вони до-
слiджувались у роботах А. С. Романюка, В. С. Романюка [16] i А. С. Романюка
[21].
Отриманi результати будемо коментувати, спiвставляючи їх з оцiнками колмо-
горовських поперечникiв.
Нагадаємо, що M -вимiрним колмогоровським поперечником центрально-си-
метричної множини Φ банахового простору X називається величина
dM (Φ,X ) := inf
LM
sup
f∈Φ
inf
u∈LM
‖f − u‖X , (15)
де LM — довiльний пiдпростiр в X розмiрностi M.
Нехай F — деякий клас функцiй i f(x) — фiксована функцiя з F. Позначимо
через Ff множину, що складається з функцiй вигляду f(x − y), якi отримуємо з
f(x) зсувами її аргументу x на довiльний вектор y ∈ πd. Тодi має мiсце рiвнiсть
(див., наприклад, [9, c. 85])
τM (f(x− y))q1,∞ = dM (Ff , Lq1). (16)
Таким чином, якщо функцiональний клас F iнварiантний вiдносно зсуву аргументу
функцiї f ∈ F, то згiдно з (16) значення величини τM (f(x− y))q1,∞ можуть бути
оцiнками знизу для колмогоровських поперечникiв dM (Ff , Lq1).
Справедливим є наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 2 ≤ q1 ≤ ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, де
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0,
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
∞,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (17)
Доведення. Оцiнки зверху в (17) можна легко отримати як наслiдок результатiв
теореми 1.
З одного боку, згiдно з оцiнкою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
816 К. В. СОЛIЧ
eM (SΩ
∞,θB)q1 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1,
для довiльної функцiї f з класу SΩ
∞,θB знайдеться множина векторiв k1, . . . , kM ,
kj = (kj1, . . . , k
j
d), k
j ∈ Zd, j = 1,M, i чисел c1, . . . , cM таких, що∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
� ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (18)
З iншого боку, лiву частину (18) можна подати у виглядi∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x−y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
=
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
. (19)
З (18) i (19) одержимо∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
� ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (20)
Тепер, поклавши в (20) cjei(k
j ,x) = uj(x) i e−i(k
j ,y) = vj(y), отримаємо шукану
оцiнку зверху величини τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ i, як наслiдок, величини τM (SΩ
∞,θB)q1,q2 .
Перейдемо до встановлення в (17) оцiнки знизу.
НехайM — довiльне натуральне число, а n ∈ N пiдберемо таким чином, щоб для
кiлькостi елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконувалось спiввiдношення
|Qn| > 4M. Зауважимо також, що |Qn| � 2nnd−1.
Розглянемо функцiї
f1(x) = C9ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C9 > 0,
при 1 ≤ θ <∞ i
f2(x) = C10ω(2−n)2−n/2
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C10 > 0, θ =∞,
де Rsj (xj) =
∑2sj−1
l=2sj−1
εle
ilx, εl = ±1, j = 1, d, — полiноми Рудiна – Шапiро, для
яких, як вiдомо, виконується порядкова нерiвнiсть ‖Rsj‖∞ � 2sj/2 (див., напри-
клад, [22, c. 155]).
Покладемо
Fn(x) =
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 817
Покажемо, що при деякому значеннi сталої C9 функцiя f1 належить класу
SΩ
∞,θB, 1 ≤ θ <∞, а функцiя f2 з деякою сталою C10 — класу SΩ
∞,∞B. Для цього
спочатку знайдемо норму функцiї Fn у вiдповiдних просторах. При 1 ≤ θ <∞
маємо
‖Fn‖SΩ
∞,θB
�
(∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖As(Fn, x)‖θ∞
)1/θ
=
=
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥As(x) ∗
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
≤
≤
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖As‖θ1
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
.
Враховуючи, що ‖As‖1 ≤ 6 (див., наприклад, [14, c. 35]), продовжимо оцiнку:
‖Fn‖SΩ
∞,θB
�
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
≤
≤
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
‖δs′(Fn, x)‖∞
θ
1/θ
=
=
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
Rs′j (xj)
∥∥∥∥∥∥
∞
θ
1/θ
�
�
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
2
‖s′‖1
2
θ
1/θ
�
�
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)2
‖s‖1θ
2
1/θ
=
=
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)
2αθ‖s‖1
2
‖s‖1θ
2 2αθ‖s‖1
1/θ
�
� ω−1(2−(n+d))
2α(n+d)
∑
‖s‖1≤n+d
2‖s‖1θ(1/2+α)
1/θ
�
� ω−1(2−(n+d))
2α(n+d)
2(n+d)(1/2+α)(n+ d)(d−1)/θ � ω−1(2−n)2n/2n(d−1)/θ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
818 К. В. СОЛIЧ
Якщо ж θ =∞, то
‖Fn‖SΩ
∞,∞B
� ω−1(2−n)2n/2.
Цим самим показано, що функцiї f1 i f2 при певних значеннях сталих C9 i C10
належать до класiв SΩ
∞,θB, 1 ≤ θ <∞, та SΩ
∞,∞B вiдповiдно.
Далi ми будемо використовувати допомiжне твердження.
Лема Б [9, с. 98]. Нехай задано число M, а число n ∈ N таке, що для кiлькостi
елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконується умова |Qn| > 4M. Тодi для
довiльної функцiї
g(x) =
∑
k∈Qn
ĝ(k)ei(k,x)
такої, що |ĝ(k)| = 1, виконується спiввiдношення
inf
uj(x), υj(y)
∥∥∥∥∥∥g(x− y)−
M∑
j=1
uj(x) υj(y)
∥∥∥∥∥∥
2,1
�M1/2.
Оскiльки функцiя Fn задовольняє умови леми Б, то для τM (f1(x− y))2,1 маємо
τM (f1(x− y))2,1 � ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θτM (Fn(x− y))2,1 �
�M1/2ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Провiвши подiбнi мiркування для функцiї f2, отримаємо
τM (f2(x− y))2,1 � ω(2−n)n(d−1)/2.
Оцiнку знизу i теорему доведено.
Зауваження 2. При ω(u) = ur, тобто Ω(t) =
∏d
j=1
trj , i певних обмеженнях
на параметр r з теорем 1 i 2 можна отримати вiдповiднi результати для класiв Br∞,θ,
якi встановлено в роботi [16].
Зауваження 3. Спiвставивши теорему 2 з оцiнкою колмогоровського попереч-
ника dM (SΩ
∞,θB,Lq1) [23], бачимо, що справджуються порядковi рiвностi
τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ � dM (SΩ
∞,θB,Lq1)
при 2 ≤ θ <∞ та
τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ � dM (SΩ
∞,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 3. Нехай 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q1 <∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
де ω ∈ Φ1
α,l, α >
1
p
, l >
[
1
p
]
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1 на-
туральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ). (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 819
Доведення. Оцiнки зверху отримаємо, як i в попереднiй теоремi, використавши
оцiнки величини eM (SΩ
p,θB), знайденi у роботах [12, 13].
Далi покажемо, що при 1 ≤ p ≤ 2, α >
1
p
− 1
2
i 1 ≤ θ ≤ ∞ виконується
порядкова нерiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)2,1 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1, (22)
з якої буде випливати оцiнка знизу в (21).
Розглянемо випадок p = 1. За даним M пiдберемо натуральне n таким чином,
щоб для кiлькостi елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконувались спiввiд-
ношення |Qn| > 2M, |Qn| �M.
Розглянемо функцiї
g1(x) = C11n
−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x), C11 > 0, 1 ≤ θ <∞,
та
g2(x) = C12
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x), C12 > 0, θ =∞,
де ρ+(s) =
{
k : k = (k1, . . . , kd), 2sj−1 ≤ kj < 2sj , j = 1, d
}
.
При вiдповiдному виборi сталих C11 та C12 функцiя g1 належить класу SΩ
1,θB,
1 ≤ θ <∞, а g2 — класу SΩ
1,∞B. Дiйсно,
‖g1‖SΩ
1,θB
�
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)‖As(g1, x)‖θ1
1/θ
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)ωθ(2−‖s‖1)
1/θ
=
= n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
1
1/θ
� n−(d−1)/θn(d−1)/θ = 1,
‖g2‖SΩ
1,∞B
� sup
n≤‖s‖1≤n+d
‖As(g2, x)‖1
ω(2−‖s‖1)
� sup
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
ω(2−‖s‖1)
= 1.
Використовуючи функцiю g (тут для зручностi функцiю будемо позначати g,
маючи на увазi g1 при 1 ≤ θ <∞ та g2 у випадку θ =∞) в якостi ядра, розглянемо
iнтегральний оператор G : L2 −→ L2:
(Gf)(x) = (2π)−d
∫
πd
g(x− y)f(y)dy.
Нехай G∗ — спряжений до G оператор, а λj — власнi числа оператора G∗G,
якi розташованi в порядку незростання. Оскiльки числа λj збiгаються з числа-
ми bn−
2(d−1)
θ ω2(2−‖s‖1), b > 0 (вiдповiдно з числами bω2(2−‖s‖1) при θ = ∞), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
820 К. В. СОЛIЧ
за лемою А отримаємо
inf
ui(x),vi(y)
‖g1(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)‖2,2 =
∑
j≥M+1
λj
1/2
�
�
∑
‖s‖1≥n+1
n−
2(d−1)
θ ω2(2−‖s‖1)
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
1
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)2‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)
2−2α‖s‖1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
∑
‖s‖1≥n+1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
2(1−2α)n/2n(d−1)/2 =
= ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ)2n/2. (23)
Аналогiчно у випадку θ =∞
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥g2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,2
� ω(2−n)2n/2n(d−1)/2.
Далi, нехай задано деякi системи функцiй {uj(x)}Mj=1 ∈ L2(πd) i {vj(y)}Mj=1 ∈
∈ L1(πd). Не обмежуючи загальностi можемо вважати функцiї vj(y), j = 1,M,
неперервними. Позначимо через ug(x, y) ортогональну проекцiю функцiї g(x− y)
при фiксованому y на пiдпростiр U = L({uj(x)}Mj=1) — лiнiйну оболонку функцiй
uj(x), j = 1,M. Покладемо
r(x, y) = g(x− y)− ug(x, y).
Оскiльки функцiя ug(x, y) має вигляд
ug(x, y) =
M∑
j=1
uj(x)ϕj(y), (24)
то для довiльного y ∈ πd матимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 821∥∥∥∥∥∥g(· − y)−
M∑
j=1
uj(·)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
2
≥ ‖r(·, y)‖2, (25)
‖r(·, y)‖2 ≤ ‖g(· − y)‖2. (26)
Для функцiї r(x, y) виконується нерiвнiсть
‖r(x, y)‖22,2 ≤ ‖r(x, y)‖2,1‖r(x, y)‖2,∞. (27)
З одного боку, враховуючи (24), аналогiчно до (23), отримуємо
‖r(x, y)‖2,2 = ‖g(x− y)− ug(x, y)‖2,2 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ), (28)
а з iншого — можемо оцiнити ‖r(x, y)‖2,∞ зверху. З нерiвностi (26) випливає, що
‖r(x, y)‖2,∞ ≤ ‖g‖2. (29)
Оцiнимо ‖g‖2. Покладаючи g = g1, знаходимо
‖g1‖2 =
∥∥∥∥∥∥C11n
−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
�
� n−(d−1)/θ
∥∥∥∥∥∥
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
1
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)2‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)
2−2α‖s‖1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
∑
n≤‖s‖1≤n+d
2(1−2α)‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
n+d∑
j=n
∑
‖s‖1=j
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
n+d∑
j=n
2(1−2α)jjd−1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
2(1−2α)n/2n(d−1)/2 = ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
822 К. В. СОЛIЧ
Якщо покласти g = g2, то
‖g2‖2 =
∥∥∥∥∥∥C12
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
� ω(2−n)2n/2n(d−1)/2.
Iз оцiнок ‖g1‖2 i ‖g2‖2 на пiдставi нерiвностi (29) для довiльного 1 ≤ θ ≤ ∞
отримуємо
‖r(x, y)‖2,∞ ≤ ‖g‖2 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ). (30)
З (27) – (30) випливає нерiвнiсть
‖r(x, y)‖2,1 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ).
Тепер скористаємось нерiвнiстю (25) i отримаємо необхiдну оцiнку при p = 1.
Розглянемо випадок 1 < p ≤ 2. Знову ж за заданим M пiдберемо n ∈ N так,
щоб для Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) : |Qn| > 4M, |Qn| �M. Розглянемо функцiї
f3(x) = C13ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θdn(x), 1 ≤ θ <∞,
f4(x) = C14ω(2−n)2−n(1−1/p)dn(x), θ =∞,
де dn(x) =
∑
k∈Qn
ei(k,x), C13, C14 — додатнi сталi.
Оскiльки ∥∥∥∥∥∥
2sj−1∑
kj=2sj−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
p
� 2sj(1−1/p), j = 1, d,
то
‖δs(dn, x)‖p =
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
p
=
d∏
j=1
∥∥∥∥∥∥
2sj−1∑
k=2sj−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
p
�
�
d∏
j=1
2sj(1−1/p) = 2‖s‖1(1−1/p).
Згiдно з (2) при 1 ≤ θ <∞ маємо
‖f3‖SΩ
p,θB
�
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(f, x)‖θp
1/θ
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(dn, x)‖θp
1/θ
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
ω−θ(2−n)
∑
‖s‖1=n
‖δs(dn, x)‖θp
1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 823
� 2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
2θ‖s‖1(1−1/p)
1/θ
�
� 2−n(1−1/p)2n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
� 1.
При θ =∞
‖f4‖SΩ
p,∞B
� sup
‖s‖1=n
‖δs(f, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n(1−1/p) sup
‖s‖1=n
‖δs(dn, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p) sup
‖s‖1=n
2‖s‖1(1−1/p)
ω(2−‖s‖1)
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)ω−1(2−n)2n(1−1/p) = 1.
Таким чином, функцiї f3 та f4 належать вiдповiдно до класiв SΩ
p,θB, 1 ≤ θ <∞,
та SΩ
p,∞B при деяких значеннях сталих C13, C14 > 0. Оскiльки функцiя dn задо-
вольняє умови леми Б, то для функцiй f3, f4 матимемо
τM (f3)2,1 � ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θM1/2 �
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ2n/2n(d−1)/2 =
= ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ),
τM (f4)2,1 � ω(2−n)2−n(1−1/p)M1/2 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)/2.
Оцiнку знизу i теорему доведено.
Зауваження 4. Спiвставивши теорему 3 з оцiнкою колмогоровського попе-
речника dM (SΩ
p,θB,Lq1) [3], приходимо до висновку, що мають мiсце порядковi
рiвностi
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
при 2 ≤ θ <∞ та
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 4. Нехай 2 ≤ p < q1 < ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
де ω ∈ Φ1
α,l, α >
1
2
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1 натуральних
чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, справджується оцiнка
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Доведення. Оцiнку зверху отримаємо, як i в попереднiх теоремах, з оцiнки
величини eM (SΩ
p,θB)p, 2 ≤ p < q1 <∞ [13].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
824 К. В. СОЛIЧ
Тепер перейдемо до встановлення оцiнок знизу. За даним M пiдберемо n так,
щоб виконувались спiввiдношення: а) M � 2nnd−1; б) 2nnd−1 > 4M.
Розглянемо функцiї
f5(x) = C15ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C15 > 0, 1 ≤ θ <∞,
f6(x) = C16ω(2−n)2−n/2
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C16 > 0, θ =∞,
де Rsj (xj) =
∑2s
j
−1
l=2sj−1
εle
ilxj , εl = ±1, j = 1, d, — полiноми Рудiна – Шапiро, для
яких, як зазначалось вище, ‖Rsj‖∞ � 2sj/2.
Покажемо, що при деякому виборi додатних сталих C15, C16 цi функцiї нале-
жать класам SΩ
p,θB, 1 ≤ θ <∞, та SΩ
p,∞B вiдповiдно. Оскiльки
δs(f5, x) = C15ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
d∏
j=1
Rsj (xj),
δs(f6, x) = C16ω(2−n)2−n/2
d∏
j=1
Rsj (xj),
то при 1 ≤ θ <∞ матимемо
‖f5‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(f5, x)‖θp
)1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)2
‖s‖1·θ
2
1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θω−1(2−‖s‖1)2n/2
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
�
� n−(d−1)/θn(d−1)/θ = 1.
Вiдповiдно при θ =∞
‖f6‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖δs(f6, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
∥∥∥∥∏d
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥
p
ω(2−‖s‖1)
<
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 825
< ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
∥∥∥∥∏d
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥
∞
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
2
‖s‖1
2
ω(2−‖s‖1)
= 1.
Тепер, врахувавши, що функцiя
υ(x) =
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj)
задовольняє умови леми Б, отримаємо
τM (f5)2,1 �M1/2ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ),
τM (f6)2,1 �M1/2ω(2−n)2−n/2 � ω(2−n)n(d−1)/2.
Теорему доведено.
Зауваження 5. Спiвставляючи оцiнку колмогоровського поперечника
dM (SΩ
p,θB,Lq1) [3] з теоремою 4, бачимо, що при 2 ≤ θ <∞
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
i
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 5. Нехай 2 ≤ q1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0;
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Доведення. Оцiнка зверху випливає з оцiнки величини e⊥M (SΩ
p,θB)q, 1 < q1 ≤
≤ p <∞, p ≥ 2, встановленої в [15]. Оцiнку знизу отримуємо, як i в теоремi 4.
Зауваження 6. Спiвставляючи оцiнку колмогоровського поперечника
dM (SΩ
p,θB,Lq1) [24] з теоремою 5, бачимо, що при θ ≥ 2
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
i
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Зауваження 7. У випадку Ω(t) =
∏d
j=1
trj i певних обмеженнях на параметр
r з теорем 3 – 5 отримуємо вiдповiднi результати для класiв Brp,θ, якi встановленi в
роботi [21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
826 К. В. СОЛIЧ
1. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931 – 1953): Собр. соч. – М.: Изд. АН СССР,
1954. – Т. 2. – 626 с.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря-
женных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
3. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – C. 356 – 377.
4. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных
с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 c.
7. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – C. 692 – 704.
8. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – C. 37 – 40.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – С. 1 – 112.
10. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова перио-
дических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – C. 61 – 100.
11. Стасюк С. А. Приближение функций многих переменных классов HΩ
p полиномами по системе
Хаара // Anal. math. – 2009. – 35. – P. 257 – 271.
12. Конограй А.Ф., Стасюк С. А. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 9. – C.
1196 – 1214.
13. Стасюк С. А. НайкращiM -членнi тригонометричнi наближення класiв функцiй багатьох змiнних
BΩ
p,θ // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 3. – C. 381 – 394.
14. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
15. Стасюк С. А. Найкращi M -членнi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – C. 647 – 656.
16. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и
билинейных приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. –
62, № 4. – C. 536 – 551.
17. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. –
63. – S. 433 – 476.
18. Темляков В. М. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1991. –
194. – C. 229 – 248.
19. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функ-
ций, зависящих от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. –
С. 243 – 252.
20. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и
некоторые их приложения // Мат. сб. – 1987. – 176, №1. – C. 16 – 33.
21. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,θ периоди-
ческих функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, №2. – С. 69 – 98.
22. Кашин С. Б., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
23. Конограй А. Ф. Поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Мат. студ. –
2008. – 29, № 2. – С. 192 – 206.
24. Стасюк C .A. Найкращi наближення, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – С. 1557 – 1568.
Одержано 01.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2764 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/04bf2f98cbafd5b50367fd365709de6c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27642020-03-18T19:35:28Z Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables Найкращі білінійні наближення класів $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ періодичних функцій багатьох змінних Solich, K. V. Соліч, К. В. We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between parameters $p, q, \theta$. Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$ для некоторых соотношений между параметрами $p, q, \theta$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2764 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 809-826 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 809-826 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2764/2284 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2764/2285 Copyright (c) 2011 Solich K. V. |
| spellingShingle | Solich, K. V. Соліч, К. В. Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title | Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Найкращі білінійні наближення класів $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title_short | Best bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p, \theta}B$ of periodic functions of many variables |
| title_sort | best bilinear approximations of the classes $s^{\omega}_{p, \theta}b$ of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2764 |
| work_keys_str_mv | AT solichkv bestbilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT solíčkv bestbilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT solichkv najkraŝíbílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT solíčkv najkraŝíbílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |