Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation
Eigenvalues and eigenfunctions of the Hellerstedt problems for the Lavrentiev - Bitsadze multidimensional equation are found.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508730942029824 |
|---|---|
| author | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_facet | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_sort | Aldashev, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | Eigenvalues and eigenfunctions of the Hellerstedt problems for the Lavrentiev - Bitsadze multidimensional equation are found. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Актюб. гос. ун-т им. К. Жубанова, Казахстан)
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ЗАДАЧ ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА – БИЦАДЗЕ
Eigenvalues and eigenfunctions of the Hellerstedt problems for the Lavrentiev – Bitsadze multidimensional
equation are found.
Знайдено власнi значення та власнi функцiї задач Геллерстедта для багатовимiрного рiвняння Лаврен-
тьєва – Бiцадзе.
1. Постановка задачи и основные результаты. Двумерные спектральные зада-
чи для уравнений гиперболо-эллиптического типа интенсивно изучаются [1 – 5],
однако, насколько известно автору, их многомерные аналоги не исследованы [6].
ПустьD — конечная область евклидова пространстваEm+1 точек (x1, . . . , xm, t),
ограниченная в полупространстве t > 0 сферической поверхностью Γ: |x|2 + t2 =
= 1, а при t < 0 конусами K0 : |x| = −t, K1 : |x| = 1 + t, −1
2
≤ t ≤ 0, где |x| —
длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через D+ и D− части области D, лежащие соответственно в полу-
пространствах t > 0 и t < 0, через S общую часть границ D+, D−, представляю-
щих множество {t = 0, 0 < |x| < 1} точек из Em. Часть конусов K0, K1,
ограничивающих области D−, обозначим через S0, S1 соответственно.
В области D рассмотрим многомерное уравнения Лаврентьева – Бицадзе со
спектральным действительным параметром µ
∆xu+ (sgnt)utt = µu, (1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
Рассмотрим следующие спектральные задачи Геллерстедта для уравнения (1).
Задача Γµ. Найти решение уравнения (1) в области D при t 6= 0 из класса
C(D) ∩ C2(D+ ∪D−), удовлетворяющее краевым условиям
u
∣∣
Γ
= 0, u
∣∣
S0
= 0, (2)
или
u
∣∣
Γ
= 0, u
∣∣
S1
= 0. (3)
c© С. А. АЛДАШЕВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 827
828 С. А. АЛДАШЕВ
В дальнейшем удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сфе-
рическим r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, . . . ,m − 1,
θ = (θ1, . . . , θm−1).
Пусть
{
Y kn,m(θ)
}
— система линейно независимых сферических функций по-
рядка n, 1 ≤ k ≤ kn, (m−2)!n!kn = (n+m−3)!(2n+m−2), W l
2(S), l = 0, 1, . . . ,
— пространства Соболева.
Справедливы следующие леммы [7].
Лемма 1. Пусть f(r, θ) принадлежит W l
2(S). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y kn,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l −m + 1,
сходятся абсолютно и равномерно, при этом
fkn(r) =
∫
H
f(r, θ)Y kn,m(θ)dH,
где H — единичная сфера в Em.
Лемма 2. Для того чтобы f(r, θ) принадлежала W l
2(S), необходимо и до-
статочно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
∣∣∣f1
0 (r)
∣∣∣ ≤ c1, ∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l
∣∣∣fkn(r)
∣∣∣2 ≤ c2, c1, c2 = const.
Тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Задача (1), (2) для каждого µ имеет собственные функции.
Теорема 2. Задача (1), (3) имеет собственные значения µ = −γ2
s ,
(
γs —
положительные нули функции Бесселя первого рода Js(z) целого порядка s ≥
≥ (m+ 1)
2
)
и соответствующие им собственные функции.
2. Доказательство теорем. В сферических координатах уравнение (1) в облас-
ти D+ имеет вид
urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu+ utt = µu, (5)
где
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gjsin
m−j−1θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1θj
∂
∂θj
)
, g1 = 1,
gj = (sinθ1 . . . sinθj−1)2, j > 1.
Известно [7], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n+
+m− 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных
собственных функций Y kn,m(θ).
Искомое решение задачи Γµ в области D+ будем искать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЗАДАЧ ГЕЛЛЕРСТЕДТА. . . 829
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y kn,m(θ), (6)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (6) в (5) и используя ортогональность сферических функций Y kn,m(θ)
[7], имеем
ūknrr +
m− 1
r
ūknr + ūkntt −
λn
r2
ūkn = µūkn, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (7)
при этом первое из краевых условий (2) и (3) примет вид
ūkn
(
r,
√
1− r2
)
= 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , 0 ≤ r ≤ 1. (8)
Выполняя в (7), (8) замену ūkn(r, t) = r1−m/2ukn(r, t), а затем полагая r = ρ cosϕ,
t = ρ sinϕ, ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, получаем
υknρρ +
1
ρ
υknρ +
1
ρ2
υknϕϕ +
λn
ρ2 cos2 ϕ
υkn = µυkn, (9)
υkn(1, ϕ) = 0, (10)
где
υkn(ρ, ϕ) = ukn(ρ cosϕ, ρ sinϕ), λn =
[
(m− 1)(3−m)− 4λn
]
4
.
Решение задачи (9), (10) будем искать в виде
υkn(ρ, ϕ) = R(ρ)φ(ϕ). (11)
Подставляя (11) в (9), (10), имеем
ρ2Rρρ + ρRρ − (λ+ ρ2µ)R = 0, (12)
φϕϕ +
(
λ+
λ̄n
cos2 ϕ
)
φ = 0, λ = s2 = const, (13)
R(1)φ(ϕ) = 0. (14)
Ограниченным решением уравнения (12) является функция Бесселя первого
рода [8] Rµ(ρ) = Js
(√
−µρ
)
. Подчинив ее условию Rµ(1) = 0, из (14) получим
собственные значения µ = −γ2
s , где γs — положительные нули функций Бесселя,
s = 0, 1, . . . .
Далее уравнение (13) запишем следующим образом:
φϕϕ =
[
l(l − 1)
cos2 ϕ
− s2
]
φ, l = −n− m− 3
2
. (15)
Выполняя в уравнении (15) замену ξ = sin2 ϕ, получаем уравнение
ξ(ξ − 1)gξξ +
[
(α+ β + 1)ξ − 1
2
]
gξ + αβg = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
830 С. А. АЛДАШЕВ
g(ξ) =
φ(ϕ)
cosl ϕ
, α =
l + s
2
, β =
l − s
2
,
общее решение которого представимо в виде [5]
gs(ξ) = c1sF
(
α, β,
1
2
; ξ
)
+ c2s
√
ξF
(
α+
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; ξ
)
(16)
и периодическое по ϕ, если s = 0, 1, . . . , где c1s, c2s — произвольные независимые
постоянные, а F (α, β, γ; ξ) — гипергеометрическая функция Гаусса.
Таким образом, из (11), (16) следует, что общее решение уравнения (9) имеет
вид
υkn,µ(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
Js
(√
−µρ
)
×
× cosl ϕ
[
c1sF
(
α, β,
1
2
; sin2 ϕ
)
+ c2s sinϕF
(
α+
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
)]
. (17)
Поскольку
∣∣∣υkn,µ (ρ, π2) ∣∣∣ <∞, из (17) имеем
c1sF
(
α, β,
1
2
; 1
)
+ c2sF
(
α+
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; 1
)
= 0,
или
c2s = − 2Γ(1− α)Γ(1− β)
Γ
(
1
2
− α
)
Γ
(
1
2
− β
)c1s, (18)
где Γ(z) — гамма-функция.
Подставляя (18) в (17), получаем
υkn,µ(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
c1sJs(
√
−µρ) cosl ϕ
F (α, β, 1
2
; sin2 ϕ
)
−
− 2Γ(1− α)Γ(1− β)
Γ
(
1
2
− α
)
Γ
(
1
2
− β
) sinϕF
(
α+
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
). (19)
Подчинив функцию (19) условию (14), получим c1s = 0, s = 0, 1 . . . , и, значит,
υkn,µ(ρ, ϕ) ≡ 0, если µ 6= −γ2
s .
Таким образом, решением задачи (7), (8) в области D+ является функция
uµ(r, θ, t) =
0, µ 6= −γ2
s , s = 0, 1, . . . ,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
∞∑
s=p
n−lJs
(√
−µ(r2 + t2)
)
(r2 + t2)n/2+(m−3)/4r2−m−n×
×
[
F
(
−n
2
+
3−m
4
+
s
2
, −n
2
+
3−m
4
− s
2
,
1
2
;
t2
r2 + t2
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЗАДАЧ ГЕЛЛЕРСТЕДТА. . . 831
−
2Γ
(
1 +
n
2
+
m− 3
4
− s
2
)
Γ
(
1 +
n
2
+
m− 3
4
+
s
2
)
Γ
(
1
2
+
n
2
+
m− 3
4
− s
2
)
Γ
(
1
2
+
n
2
+
m− 3
4
+
s
2
) t(r2 + t2)−1/2×
× F
(
−n
2
+
5−m
4
+
s
2
, −n
2
+
5−m
4
− s
2
,
3
2
;
t2
r2 + t2
)]
Y kn,m(θ), µ = −γ2
s .
(20)
Из (20) при t→ +0 имеем
uµ(r, θ, t) = τµ(r, θ) =
0, µ 6= −γ2
s ,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
∞∑
s=p
n−lJs(
√
−µr)Y kn,m(θ), µ = −γ2
s .
(21)
Учитывая формулы [9, 10]
2J ′s(z) = Js−1(z)− Js+1(z),
dq
dzq
F (a, b, c; z) =
(a)q(b)q
(c)q
F (a+ q, b+ q, c+ q; z), q = 0, 1 . . . ,
(a)q =
Γ(a+ q)
Γ(a)
,
Γ(z + α)
Γ(z + β)
= zα−β
[
1 +
1
2z
(α− β)(α− β − 1) +O(z−2)
]
,
а также оценки [9, 7]
|Js(z)| ≤
1
Γ(s+ 1)
(z
2
)s
,
|kn| ≤ c1nm−2,
∣∣∣∣∣ ∂q∂θqj Y kn,m(θ)
∣∣∣∣∣ ≤ c1nm/2−1+q, j = 1, m− 1, q = 0, 1 . . . ,
нетрудно показать, что если p ≥ m+ 1
2
и l >
3m+ 8
2
, то решение (20) u(r, θ, t)
принадлежит C(D̄+)∩C2(D+), и при этом в силу лемм 1 и 2 τµ(r, θ) = r τ∗µ(r, θ),
τ∗µ(r, θ) ∈W l
2(S), l >
3m+ 8
2
.
Следовательно, задача (1), (2) сводится к задаче Дарбу в области D− для урав-
нения
∆xu− utt = µu (22)
с условиями u
∣∣
S
= τµ(r, θ), u
∣∣
S0
= 0, имеющего для любого µ бесчисленное
множество нетривиальных решений [11].
Таким образом, теорема 1 доказана.
В свою очередь, задача (1), (3) сводится к задаче Дарбу в области D− для
уравнения (22) с условиями u
∣∣
S
= τµ(r, θ), u
∣∣
S1
= 0, которая однозначно разреши-
ма [11].
Теперь из представления (21) функций τµ(r, θ) следует справедливость теоре-
мы 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
832 С. А. АЛДАШЕВ
1. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. – М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1988. – 150 с.
2. Кальменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и их спектре для уравнений гиперболического и
смешанного типа: Автореф. дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – М., 1982.
3. Пономарев С. М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева – Бицадзе // Докл.
АН СССР. – 1977. – 223. – С. 39 – 40.
4. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектраль-
ным параметром. – Ташкент: Фан, 1977. – 165 с.
5. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева – Бицадзе со спектральным парамет-
ром // Дифференц. уравнения. – 1986. – 22, № 11. – С. 1977 – 1984.
6. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. – М.: Наука, 2006. –
287 с.
7. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз,
1962. – 254 с.
8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. –
703 с.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1974. – 2. – 295 с.
10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – 1. – 294 с.
11. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. – Орал: ЗКАТУ, 2007.
– 139 с.
Получено 29.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2765 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e2/a25f5c7fe92e0328cc2a3aebc99bbfe2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27652020-03-18T19:35:28Z Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation Собственные значения и собственные функции задач Геллерстедта для многомерного уравнения Лаврентьева - Вицадзе Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. Eigenvalues and eigenfunctions of the Hellerstedt problems for the Lavrentiev - Bitsadze multidimensional equation are found. Знайдено власнi значення та власнi функцiї задач Геллерстедта для багатовимiрного рiвняння Лаврентьєва – Бiцадзе. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2765 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 827-832 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 827-832 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2765/2286 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2765/2287 Copyright (c) 2011 Aldashev S. A. |
| spellingShingle | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title | Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title_alt | Собственные значения и собственные функции задач Геллерстедта для многомерного уравнения Лаврентьева - Вицадзе |
| title_full | Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title_fullStr | Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title_full_unstemmed | Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title_short | Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problem for the multidimensional Lavrent?ev?Bitsadze equation |
| title_sort | eigenvalues and eigenfunctions of the gellerstedt problem for the multidimensional lavrent?ev?bitsadze equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2765 |
| work_keys_str_mv | AT aldashevsa eigenvaluesandeigenfunctionsofthegellerstedtproblemforthemultidimensionallavrentevbitsadzeequation AT aldaševsa eigenvaluesandeigenfunctionsofthegellerstedtproblemforthemultidimensionallavrentevbitsadzeequation AT aldaševsa eigenvaluesandeigenfunctionsofthegellerstedtproblemforthemultidimensionallavrentevbitsadzeequation AT aldashevsa sobstvennyeznačeniâisobstvennyefunkciizadačgellerstedtadlâmnogomernogouravneniâlavrentʹevavicadze AT aldaševsa sobstvennyeznačeniâisobstvennyefunkciizadačgellerstedtadlâmnogomernogouravneniâlavrentʹevavicadze AT aldaševsa sobstvennyeznačeniâisobstvennyefunkciizadačgellerstedtadlâmnogomernogouravneniâlavrentʹevavicadze |