Rings of almost unit stable rank 1
We introduce the notion of a ring of almost unit stable rank 1 as generalization of a ring of unit stable rank 1. We prove that the ring of almost unit stable rank 1 with the nonzero Jacobson radical is a ring of unit stable rank 1 and is also a 2-good ring. We introduce the notion of an almost 2-...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2767 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508734869995520 |
|---|---|
| author | Vasyunyk, I. S. Zabavskii, B. V. Васюник, І. С. Забавський, Б. В. |
| author_facet | Vasyunyk, I. S. Zabavskii, B. V. Васюник, І. С. Забавський, Б. В. |
| author_sort | Vasyunyk, I. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | We introduce the notion of a ring of almost unit stable rank 1 as generalization of a ring of unit stable rank 1.
We prove that the ring of almost unit stable rank 1 with the nonzero Jacobson radical is a ring of unit stable rank 1 and is also a 2-good ring.
We introduce the notion of an almost 2-good ring. We show that an adequate domain is an almost 2-good ring. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552.12
I. С. Васюник, Б. В. Забавський (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
КIЛЬЦЯ МАЙЖЕ ОДИНИЧНОГО СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1
We introduce the notion of a ring of almost unit stable rank 1 as generalization of a ring of unit stable rank 1.
We prove that the ring of almost unit stable rank 1 with the nonzero Jacobson radical is a ring of unit stable
rank 1 and is also a 2-good ring. We introduce the notion of an almost 2-good ring. We show that an adequate
domain is an almost 2-good ring.
Введено понятие кольца почти единичного стабильного ранга 1, как обобщение кольца единичного
стабильного ранга 1. Доказано, что кольцо почти единичного стабильного ранга 1 с ненулевым ра-
дикалом Джекобсона является кольцом единичного стабильного ранга 1, а также 2-хорошим кольцом.
Введено понятие почти 2-хорошего кольца. Показано, что адекватная область является почти 2-хорошим
кольцом.
Стабiльний ранг є одним з основних iнварiантiв К-теорiї. Це поняття, введене
Х. Басом [1], активно використовується в теорiї кiлець, зокрема в задачах дiа-
гональної редукцiї матриць [2, 3]. Водночас одержано ряд узагальнень поняття
стабiльного рангу. Зокрема, таким є поняття одиничного стабiльного рангу [2]. Са-
ме воно є надзвичайно актуальним в алгебраїчнiй К-теорiї. Зокрема, показано, що
K1(R) ∼= U(R)�V (R) [4]. По аналогiї з дослiдженнями [5], у данiй роботi вво-
диться поняття майже одиничного стабiльного рангу 1, а також майже 2-доброго
кiльця. Встановлено iснування таких кiлець та їх зв’язок з рiзними класами кiлець,
зокрема адекватними кiльцями.
Далi пiд кiльцем R розумiтимемо комутативне кiльце з ненульовою одиницею.
Через J(R) позначимо радикал Джекобсона, а через U(R) — групу одиниць кiльця.
Елемент a кiльця R назвемо адекватним, якщо для довiльного елемента b з
кiльця R елемент a можна подати у виглядi a = r · s, де rR + bR = R i для
довiльного необоротного дiльника s′ елемента s маємо s′R+ bR 6= R. Очевидним
прикладом адекватних елементiв є оборотнi елементи кiльця R [7].
Нагадаємо, що якщо в кiльцi довiльний скiнченнопороджений iдеал є голов-
ним, то таке кiльце називається кiльцем Безу. Комутативне кiльце Безу, в якому
довiльний ненульовий елемент є адекватним, називається адекватним кiльцем [7,
9]. Очевидним прикладом адекватного кiльця є комутативнi областi головних iде-
алiв. Кiльце R називається чистим, якщо для довiльного елемента x кiльця R
iснують оборотний елемент u ∈ R та iдемпотент e ∈ R такi, що x = u + e [9].
Кiльце R назвемо кiльцем з властивiстю замiни, якщо для довiльного елемента
a ∈ R iснує такий iдемпотент e, що e ∈ aR i 1− e ∈ (1− a)R [5].
Означення 1. Будемо говорити, що кiльце R є кiльцем iдемпотентного ста-
бiльного рангу 1, якщо з умови aR + bR = R для довiльних елементiв a, b ∈ R
випливає iснування iдемпотента e ∈ R такого, що a+ be ∈ U(R) [9].
Має мiсце наступний результат.
Теорема 1 [8, 9]. Для комутативного кiльця R наступнi умови еквiвалентнi:
1) R — чисте кiльце;
2) R — кiльце з властивiстю замiни;
3) R — кiльце iдемпотентного стабiльного рангу 1.
Означення 2 [4]. Будемо говорити, що кiльце R є кiльцем одиничного ста-
бiльного рангу 1, якщо з умови aR + bR = R для довiльних елементiв a, b ∈ R
випливає iснування оборотного елемента u ∈ R такого, що a+ bu ∈ U(R).
c© I. С. ВАСЮНИК, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ, 2011
840 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
КIЛЬЦЯ МАЙЖЕ ОДИНИЧНОГО СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1 841
Означення 3 [11]. Будемо говорити, що кiльце R є 2-добрим кiльцем, якщо
довiльний елемент з R є сумою двох оборотних елементiв.
Спочатку доведемо результат, який стосується комутативних областей Безу.
Твердження 1. Нехай R — комутативна область Безу, a — ненульовий i
необоротний елемент з R, b — елемент з кiльця R такий, що aR + bR = R. Тодi
образ елемента b при канонiчному вкладеннi R→ R�aR є оборотним елементом.
Якщо ж aR+bR 6= R, то образ елемента b при канонiчному вкладеннiR→ R�aR
є дiльником нуля. Бiльш того, Q(R�aR) = R�aR, де Q(R�aR) — кiльце часток
фактор-кiльця R�aR.
Доведення. Дiйсно, якщо aR+ bR = R, то iснують елементи u, v ∈ R такi, що
au + bv = 1. Звiдси b · v = 1, де b i v — гомоморфнi образи елементiв b i v при
канонiчному вкладеннi R → R�aR. Зауважимо, що якщо b · v = 1 в R�aR, то
очевидно, що aR+ bR = R, де b — прообраз елемента b ∈ R�aR при канонiчному
вкладеннi R→ R�aR.
Якщо ж aR + bR = dR 6= R, то iснують елементи u, v, a0, b0 ∈ R такi, що
au + bv = d, a = da0, b = db0. Звiдси b · a0 = 0, причому a0 6= 0. Той факт, що
Q(R�aR) = R�aR, є очевидним наслiдком попереднiх мiркувань.
Твердження доведено.
Теорема 2. Нехай R — комутативна область Безу i a — адекватний елемент
з областi R такий, що 2R + aR = R. Тодi фактор-кiльце R�aR є 2-добрим
кiльцем.
Доведення. Спочатку покажемо, що R�aR — чисте кiльце. Згiдно з теоремою
1, для цього достатньо показати, що R�aR — кiльце iдемпотентного стабiльного
рангу 1. Позначимо R = R�aR. Нехай bR + cR = R для довiльних елементiв
b, c ∈ R. Тодi aR + bR + cR = R, де b, c — прообрази елементiв b, c ∈ R при
канонiчному вкладеннi R → R�aR. Оскiльки a — адекватний елемент областi R,
то iснують елементи r, s ∈ R такi, що a = r ·s, де rR+bR = R та s′R+bR 6= R для
довiльного необоротного дiльника s′ елемента s. Далi, оскiльки rR + sR = R, то
iснують елементи u, v ∈ R такi, що ru+ sv = 1. Розглянемо рiвнiсть (ru)2 − ru =
= ru(ru − 1) = ru(−sv) = −rsuv = a(−uv) ∈ aR. Тобто образ елемента ru при
канонiчному вкладеннi R→ R є iдемпотентом.
Доведемо, що aR+(b+cru)R = R. Нехай aR+(b+cru)R = hR 6= R. Оскiльки
h|a, то hR + rR = tR 6= R, або hR + sR = αR 6= R. Нехай hR + rR = tR 6= R.
Оскiльки h|(b + cru), то h|b, що неможливо, тому що виконується rR + bR = R.
Якщо ж hR + sR = αR 6= R, то, згiдно з означенням адекватностi елемента a
αR + bR = kR 6= R, а отже, k|cru. Оскiльки sv + ru = 1 i kR ⊂ sR, то k|c, що
неможливо, тому що aR + bR + cR = R. Отже, aR + (b + cur)R = R, тобто R є
кiльцем iдемпотентного стабiльного рангу 1, а отже, R — чисте кiльце. Оскiльки
2R + aR = R, то згiдно з твердженням 1 2 — оборотний елемент в R, а згiдно з
[10] R — 2-добре кiльце.
Означення 4. Будемо говорити, що елемент кiльця R є елементом майже
одиничного стабiльного рангу 1, якщо фактор-кiльце R�aR є кiльцем одиничного
стабiльного рангу 1.
Спочатку наведемо еквiвалентне означення елемента майже одиничного ста-
бiльного рангу 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
842 I. С. ВАСЮНИК, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
Твердження 2. Нехай a — елемент майже одиничного стабiльного рангу 1.
Якщо aR+ bR+ cR = R, то iснує елемент y ∈ R такий, що aR+ (b+ cy)R = R
i yR+ aR = R.
Доведення. Нехай R = R/aR. Для довiльного x ∈ R позначимо x = x + aR.
Оскiльки bR + cR = R, то iснує y ∈ R такий, що (b+ cy)R = R i y ∈ U(R).
Оскiльки R = R/aR, то з умови y ∈ U(R) випливає yR + aR = R. Покажемо,
що aR + (b + cy)R = R. Справдi, якщо це не так, то iснує максимальний iдеал
M кiльця R, для якого aR + (b + cy)R ⊂ M. А це неможливо, оскiльки M�aR
є максимальним iдеалом в R, а (b+ cy)R = R. Отже, aR + (b + cy)R = R i
yR+ aR = R.
Твердження доведено.
Твердження 3. Нехай a — елемент кiльця R такий, що для довiльних еле-
ментiв b, c ∈ R таких, що aR + bR + cR = R, iснує елемент y ∈ R такий, що
aR+(b+cy)R = R i yR+aR = R. Тодi елемент a є елементом майже одиничного
стабiльного рангу 1.
Доведення. Нехай R = R/aR i bR+cR = R. Очевидно, що aR+bR+cR = R.
Згiдно з обмеженнями, накладеними на елемент a, iснує елемент y ∈ R такий,
що (b+ cy)R = R i y ∈ U(R), тобто елемент є елементом майже одиничного
стабiльного рангу 1.
Будемо говорити, що кiльце R є кiльцем майже одиничного стабiльного рангу
1, якщо довiльний ненульовий i необоротний елемент кiльця R є елементом майже
одиничного стабiльного рангу 1.
Твердження 4. Нехай R — комутативне кiльце Безу одиничного стабiльного
рангу 1, тодi R є кiльцем майже одиничного стабiльного рангу 1.
Доведення. Нехай a ∈ R, a 6= 0, a /∈ U(R) i b, c — елементи кiльця R такi, що
aR+bR+cR = R. ОскiлькиR — кiльце Безу, то bR+cR = dR для деякого елемента
d ∈ R. Тому b = db0, c = dc0, bu + cv = d для деяких елементiв b0, c0, u, v ∈ R.
Звiдси b0u + c0v + α = 1 для деякого елемента α такого, що dα = 0. Оскiльки
R — кiльце одиничного стабiльного рангу 1, то iснують оборотний елемент u ∈
∈ U(R) i елементи x, y ∈ R такi, що (b0 + αx) + (c0 + αy)u = w ∈ U(R). Нехай
b0 + αx = b1, c0 + αy = c1. Оскiльки dα = 0, то db1 = b, dc1 = c. Тобто для
елементiв b, c ∈ R ми знайшли елементи b1, c1 ∈ R та оборотнi елементи u,w такi,
що cR + bR = dR, b = db1, c = dc1, db1w
−1 + dc1uw
−1 = d i b1 + c1u = w.
Оскiльки aR + bR + cR = R, то dR + aR = R. Окрiм того, (b + cu)R + aR = R,
де uR + aR = R, оскiльки u ∈ U(R). Тобто ми довели, згiдно з твердженням 2,
що a — елемент майже одиничного стабiльного рангу 1. Оскiльки a — ненульовий i
необоротний елемент R, це означає, що R є кiльцем майже одиничного стабiльного
рангу 1.
Твердження доведено.
Виявляється, що у випадку, коли радикал Джекобсона є ненульовим кiльцем
майже одиничного стабiльного рангу 1, то це кiльце насправдi є кiльцем одинич-
ного стабiльного рангу 1.
Теорема 3. Нехай R — кiльце майже одиничного стабiльного рангу 1 з нену-
льовим радикалом Джекобсона J(R). Тодi R — кiльце одиничного стабiльного
рангу 1.
Доведення. Покажемо, що R є кiльцем одиничного стабiльного рангу 1. Нехай
bR+cR = R та a ∈ J(R)�(0). Згiдно з твердженням 3, iснує елемент u ∈ R такий,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
КIЛЬЦЯ МАЙЖЕ ОДИНИЧНОГО СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1 843
що aR+ (b+ cu)R = R i uR+ aR = R. Оскiльки a ∈ J(R){0} i aR+ uR = R, то
u ∈ U(R). Далi, оскiльки aR + (b+ cu)R = R i a ∈ J(R)�(0), то (b+ cu)R = R,
а це означає, що R є кiльцем одиничного стабiльного рангу 1.
Теорему доведено.
Зауважимо, що u ∈ U(R) тодi i тiльки тодi, коли u ∈ U(R�J(R)), де u =
= u+ J(R).
Як наслiдок iз теореми 3, отримаємо наступний результат.
Теорема 4. Кiльце R є кiльцем майже одиничного стабiльного рангу 1 тодi
i тiльки тодi,коли R�J(R) є кiльцем майже одиничного стабiльного рангу 1.
Виявляється, що кiльце майже одиничного стабiльного рангу 1 з ненульовим
радикалом Джекобсона тiсно пов’язане з 2-добрим кiльцем, тобто має мiсце на-
ступний результат.
Теорема 5. Нехай R — кiльце майже одиничного стабiльного рангу 1 з нену-
льовим радикалом Джекобсона. Тодi R є 2-добрим кiльцем.
Доведення. Згiдно з теоремою 3, R є кiльцем одиничного стабiльного рангу 1.
Тодi для довiльного елемента a ∈ R розглянемо aR + (−1)R = R. Оскiльки R
— кiльце одиничного стабiльного рангу 1, то iснує елемент u ∈ U(R) такий, що
a− u = w ∈ U(R). Звiдси a = w + u, що i потрiбно було довести.
Теорему доведено.
По аналогiї з кiльцем майже одиничного стабiльного рангу 1 можна ввести до
розгляду майже 2-добрi кiльця.
Означення 5. Кiльце R називається майже 2-добрим кiльцем, якщо для до-
вiльного ненульового i необоротного елемента a ∈ R такого, що 2R + aR = R,
кiльце R�aR є 2-добрим кiльцем.
Очевидним прикладом майже 2-доброго кiльця на основi теореми 2 є адекватна
область, тобто має мiсце такий результат.
Теорема 6. Адекватна область є майже 2-добрим кiльцем.
1. Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. – 1964. – 22. – P. 5 – 60.
2. Zabavsky B. V. Diagonalizability theorem for matrices over ring with finite stable range // Algebra and
Discrete Math. – 2005. – № 1. – P. 134 – 148.
3. Zabavsky B. V. Diagonalization of matrices over ring with finite stable range // Visnyk Lviv. Ser. Mech.
Math. – 2003. – 61. – P. 206 – 211.
4. Goodearl K. R., Menal P. Stable rang one for rings with many units // S. Pure Appl. Algebra. – 1998. –
54. – P. 261 – 287.
5. Lam T. Y. Serres conjecture // Lect. Notes Math. – Berlin; New York: Springer, 1978. – 636.
6. McGovern W. Wm. Neat rings // J. Pure Appl. Algebra. – 2006. – 205. – P. – 243 – 265.
7. Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc.
– 1943. – 49, № 2. – P. 225 – 236.
8. Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitelly presented modules // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1974. – 187. – P. 231 – 248.
9. Nicholson W. K. Lifting idempotents and exchange rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1977. – 229. –
P. 269 – 278.
10. Camilo V., Yu C. P. Exchange rings, units and idempotents // Communs Algebra. – 1994. – 22, № 12. –
P. 4737 – 4749.
11. Vamos P. 2-good rings // Quart. J. Math. – 2005. – 56. – P. 417 – 430.
Одержано 13.02.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2767 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:55Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/6937d03acf1c17dee159cea878cccb46.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27672020-03-18T19:35:28Z Rings of almost unit stable rank 1 Кільця майже одиничного стабільного рангу 1 Vasyunyk, I. S. Zabavskii, B. V. Васюник, І. С. Забавський, Б. В. We introduce the notion of a ring of almost unit stable rank 1 as generalization of a ring of unit stable rank 1. We prove that the ring of almost unit stable rank 1 with the nonzero Jacobson radical is a ring of unit stable rank 1 and is also a 2-good ring. We introduce the notion of an almost 2-good ring. We show that an adequate domain is an almost 2-good ring. Введено понятие кольца почти единичного стабильного ранга 1, как обобщение кольца единичного стабильного ранга 1. Доказано, что кольцо почти единичного стабильного ранга 1 с ненулевым радикалом Джекобсона является кольцом единичного стабильного ранга 1, а также 2-хорошим кольцом. Введено понятие почти 2-хорошего кольца. Показано, что адекватная область является почти 2-хорошим кольцом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2767 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 840-843 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 840-843 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2767/2290 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2767/2291 Copyright (c) 2011 Vasyunyk I. S.; Zabavskii B. V. |
| spellingShingle | Vasyunyk, I. S. Zabavskii, B. V. Васюник, І. С. Забавський, Б. В. Rings of almost unit stable rank 1 |
| title | Rings of almost unit stable rank 1 |
| title_alt | Кільця майже одиничного стабільного рангу 1 |
| title_full | Rings of almost unit stable rank 1 |
| title_fullStr | Rings of almost unit stable rank 1 |
| title_full_unstemmed | Rings of almost unit stable rank 1 |
| title_short | Rings of almost unit stable rank 1 |
| title_sort | rings of almost unit stable rank 1 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2767 |
| work_keys_str_mv | AT vasyunykis ringsofalmostunitstablerank1 AT zabavskiibv ringsofalmostunitstablerank1 AT vasûnikís ringsofalmostunitstablerank1 AT zabavsʹkijbv ringsofalmostunitstablerank1 AT vasyunykis kílʹcâmajžeodiničnogostabílʹnogorangu1 AT zabavskiibv kílʹcâmajžeodiničnogostabílʹnogorangu1 AT vasûnikís kílʹcâmajžeodiničnogostabílʹnogorangu1 AT zabavsʹkijbv kílʹcâmajžeodiničnogostabílʹnogorangu1 |