Integral representation of even positive-definite functions of two variables
We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel $[k_1( x + y) + k_2( x - y)],\quad x, y \in R^2$, is positive definite.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2768 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508737061519360 |
|---|---|
| author | Lopotko, O. V. Лопотко, О. В. |
| author_facet | Lopotko, O. V. Лопотко, О. В. |
| author_sort | Lopotko, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:35:28Z |
| description | We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel
$[k_1( x + y) + k_2( x - y)],\quad x, y \in R^2$, is positive definite. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О. В. ЛОПОТКО , 2011
844 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
УДК 517.9
О. В. Лопотко (Нац. лісотехн. ун-т України, Львів)
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО
ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k1 (x + y) +
+ k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , is positive definite.
Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k1 (x +
+ y) + k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , положительно определено.
У роботі [3] М. Г. Крейн застосував метод спрямованих функціоналів для
одержання інтегральних зображень додатно визначених ядер K(x, y) , x, y !R1 .
Ю. М. Березанський в [1] запропонував метод одержання інтегральних зображень
для додатно визначених ядер K(x, y) , x, y !R1 , за допомогою власних функцій
диференціальних операторів. Цей метод полягає у введенні за ядром K(x, y) ,
x, y !R1 , гільбертового простору і побудові розвинення за узагальненими
власними векторами самоспряжених операторів, які розглядаються у цьому
просторі; відповідна рівність Парсеваля дає потрібне зображення. У монографії
[2] за цією методикою доведено теорему про інтегральне зображення парних
додатно визначених (п.д.в.) функцій скінченної кількості змінних. У роботі [4]
побудовано інтегральне зображення для пари парних додатно визначених (п.п.д.в.)
функцій однієї змінної. У даній роботі доведено теорему для п.п.д.в. функцій двох
змінних. Ця теорема є узагальненням прикладів 3, 4 [2, с. 712].
Означення. Пару парних дійсних неперервних функцій k1(x) , k2 (x) , x !R2 ,
будемо називати додатно визначеними (п.п.д.в.), якщо для довільної фінітної
функції u(x) !C0" (R2 ) виконується нерівність
k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ]
R2
"
R2
" u(y)u(x) dxdy # 0 , (1)
тобто неперервне ядро K(x, y) = k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ] повинно бути додатно
визначеним.
Теорема. Кожна п.п.д.в. функцій k1(x) , k2 (x) , x !R2 , допускає зобра-
ження
k1(x1; x2 ) + k2 (0; 0) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) +
+ 1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 845
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) , (2)
k1(0; 0) + k2 (x1; x2 ) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) –
– 1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) –
– 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) , (3)
де d!1("1; "2 ) , d!2 ("1; "2 ) , d!3("1; "2 ) , d!4 ("1; "2 ) — борелівські невід’ємні
міри, причому
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) , (4)
!1d"2 (!1; !2 ) = !2d"3(!1; !2 ) . (5)
Якщо k1(x1; x2 ) ! Ce
N x12+x22( ) і k2 (x1; x2 ) ! Ce
N x12+x22( ) , C, N > 0 , для всіх
x !R2 , то міри у (2) і (3) визначаються однозначно. У випадку, коли k1(x) = 0 ,
міра d!1("1; "2 ) зосереджена на 0;![ ) " 0;![ ) і визначається однозначно, до
того ж
d!2 ("1; "2 ) = "2d!1("1; "2 ) , (6)
d!3("1; "2 ) = "1d!1("1; "2 ) , (7)
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) . (8)
У випадку, коли k2 (x) = 0 , міра d!1("1; "2 ) зосереджена на !"; 0( ]# !"; 0( ]
і визначається однозначно, до того ж
d!2 ("1; "2 ) = #"2d!1("1; "2 ) , (9)
d!3("1; "2 ) = #"1d!1("1; "2 ) , (10)
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) . (11)
Навпаки, функції виду (2), (3) з умовами (4), (5) є п.п.д.в. функціями.
Доведення. За функціями k1(x) , k2 (x) введемо квазіскалярний добуток у
просторі L2 (R2 , dx)
846 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
u, ! Hk
= K(x, y)
R1
" u(y) !(x) dxdy
R1
" , u, ! "C0# (R2 ) . (12)
Після проведення факторизації й поповнення відносно (12) одержимо
гільбертовий простір Hk .
Позначимо через Aj , j = 1, 2 , мінімальний оператор у просторі
H0 = L2 (R2; dx) , який відповідає виразу L1
( j) = ! "2
"x j2
, j = 1, 2 . Кожний із
операторів Aj , j = 1, 2 , допускає продовження оснащення з D = C0! (R2 ) .
Звуження Aj , j = 1, 2 , на D буде збігатися з відображенням u! L( j)+u ,
u !C0" (R2 ) , у просторі Hk . За оператори Bj , j = 1, 2 (див. [2, с. 702, 703],
VIII), можна прийняти оператори u! L( j)+u , u !C0" (R2 ) , які діють у просторі
H+
( j) = L2 R j ; p( j) (x j )dx j( ) , де p(x) вибираємо так, щоб
K(x, x)
R2! / p(x)dx < " . Роль операторів C j в H+ будуть відігравати
оператори вигляду u! L( j)+u , де u !D(C1) = H+
(1) "C0# (R1) і
D(C2 ) = C0! (R1)" H+
(1) . Оскільки комутативність K(x, y) і Aj еквівалентна
ермітовості C j в Hk , то можна обмежитись перевіркою ермітовості C j в
Hk , тобто рівності
L( j)+u, ! = u, L( j)+! , u, ! "C0# (R2 ) , j = 1, 2 . (13)
Для гладкого додатно визначеного ядра K(x, y) рівність (13) виконується.
Перевіримо (13) для довільного додатно визначеного ядра K(x, y) . Цю
перевірку достатньо здійснити на функціях виду u(x1) u(x2 ) , оскільки вони
щільні у L2 (R2; dx) .
Нехай j = 1 . Введемо допоміжні парні функції
f1(t) = K1(t, x2 + y2 )
R1
! u(y2 )u(x2 ) dx2dy2
R1
!
і
f2 (t) = K2 (t, x2 ! y2 )
R1
" u(y2 )u(x2 ) dx2dy2
R1
" ,
тоді
L(1)+u, ! = f1(x1 + y1)
!2
!y12R1
" u(y1)v(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2 (x1 ! y1)
"2
"y12R1
# u(y1)$(x1)dx1dy1
R1
# =
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 847
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f1
R1
! (y1)
"2
"y12
u(y1 # x1)$(x1)dx1
R1
!
%
&
''
(
)
**
dy1 +
+ f2
R1
! (y1)
"2
"y12
u(y1 + x1)#(x1)dx1
R1
!
$
%
&&
'
(
))
dy1 =
= f1(x1 + y1)u(y1)
!2
!x12R1
" #(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2 (x1 ! y1)u(y1)
"2
"x12R1
# $(x1)dx1dy1
R1
# = u, L(1)+$ .
Таким чином, K(x, y) комутує з ! "2
"x j2
, j = 1, 2 .
Тепер для ядра K(x, y) можна застосувати теорему 4.3 [2, с. 708, 709] і
одержати зображення
k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ] = !" (x, y)d#(")
R2
$ =
= X!
!,"#A
$ (x, %)
R2
& X" (y, %) d'!" (%) , x, y !R2 , (14)
де
! "2
"x j2
#$ = $ j#$ , ! "2
"y j2
#$ = $ j#$ ,
d!"# ($) =
%"1+"2+#1+#2&$
%x1
"1%x2
"2%y1
#1%y2
#2
'
(
)
*
+
, (0; 0)d-($) ,
до того ж
!1
"2
"x2"y2
#! (0; 0) = !2
"2
"x1"y1
#! (0; 0) , (15)
!4
!x1!x2!y1!y2
"# (0; 0) = #1#2"# (0; 0) , (16)
і X! (x, ") = X!1
(1)(x1, "1)X!2
(2)(x2 , "2 ) , X0
( j) (x j , !) = cos ! j x j , X1
( j) (x j , !) =
=
sin ! j x j
! j
, j = 1, 2 , A — паралелепіпед з цілочисловими вершинами !1 = 0,1 ;
!2 = 0,1 .
Якщо тепер виконаємо у (14) заміну x1 = !x1 , y1 = !y1 і додамо отриману
848 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
рівність до (14), а потім в одержаній рівності виконаємо заміну x2 = !x2 ,
y2 = !y2 і додамо одержану рівність до попередньої рівності, отримаємо
зображення
k1(x1 + y1; x2 + y2 ) + k2 (x1 ! y1; x2 ! y2 )[ ] =
= cos !1x1 cos !2 x2
R2
" cos !1y1 cos !2 y2d#0000 (!1; !2 ) +
+ cos !1x1
sin !2 y2
!2
cos !1y1
sin !2 y2
!2
d"0101(!1; !2 )
R2
# +
+ sin !1x1
!1
cos !2 x2
sin !1y1
!1
cos !2 y2d"1010 (!1; !2 )
R2
# +
+ sin !1x1
!1
sin !2 x2
!2
sin !1y1
!1
sin !2 y2
!2
d"1111(!1; !2 )
R2
# , (17)
причому, завдяки (15), (16), d!1111("1; "2 ) = !1!2d"0000 (!1; !2 ) і 1 0101 1(d! " ! ;
2 )! = 2 1010 1 2( ; )d! " ! ! , тобто виконано умови (4), (5). Якщо тепер у (17)
покладемо 1 1y x= , 2 2y x= , то дістанемо зображення (2), а якщо покладемо
1 1y x= ! , 2 2y x= ! , то одержимо (3).
Однозначність мір у (2), (3), якщо 1( )k x , 2 ( )k x задовольняють оцінки,
випливає з того, що замикання в kH операторів jC , 1, 2j = , самоспряжене і
комутуюче.
Останнє твердження теореми доводиться таким чином.
Із зображення (2) знаходимо
1 1 1 2 2( ; ) (0; 0)k x y x y k+ + + =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! + + ! +
" ! !# +
+ 1+ cos !1 (x1 + y1)
2
R2
"
1# cos !2 (x2 + y2 )
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
+ 1! cos "1 (x1 + y1)
2"1R2
#
1+ cos "2 (x2 + y2 )
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1 (x1 + y1)
2"1R2
#
1! cos "2 (x2 + y2 )
2"2
d$4 ("1; "2 ) . (18)
Із зображення (3) отримуємо
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 849
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
k1(0; 0) + k2 (x1 ! y1; x2 ! y2 ) =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " + ! "
# ! !$ –
–
2
1 1 1 2 2 2
2 1 2
2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " " ! "
# ! !
!$ –
–
2
1 1 1 2 2 2
3 1 2
1
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! + " !
# " "
"$ +
+
2
1 1 1 2 2 2
4 1 2
1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! ! " !
# " "
" "$ . (19)
Додавши (18) і (19), з урахуванням (4), (5) одержимо рівність
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2( ; ) ( ; ) (0; 0) (0; 0)k x y x y k x y x y k k+ + + ! ! + + =
=
2
1 1 2( ; )
R
d! " "# +
+ cos !1x1 cos !2 x2 cos !1y1 cos !2 y"#
R2
$ +
+ sin !1x1 sin !2 x2 sin !1y1 sin !2 y "# d$1(!1; !2 ) +
+ sin !1x1 sin !1y1 cos !2 x2 cos !2 y2
!2
"
#$
R2
% +
+ cos !1x1 cos !1y1 sin !2 x2 sin !2 y2
!2
"
#$
d%2 (!1; !2 ).
Тоді, оскільки 1 2(0; 0) (0; 0)k k+ = 2 1 1 2( ; )
R
d! " "# (це випливає з (18) або (19)), з
урахуванням (4), (5) отримуємо
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( ; ) ( ; )k x y x y k x y x y+ + + ! ! =
=
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2cos cos cos cos ( ; )
R
x x y y d! ! ! ! " ! !# +
+
2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2
2 2
sin sin
cos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !# +
+
2
11 1 1
2 2 2 2 3 1 2
1 1
sin sincos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !# +
850 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+
2
2 1 21 1 2 1 2
4 1 2
1 2 1 2
sin sin sin sin ( ; )
R
x x y y
d
! ! ! !
" ! !
! ! ! !# . (20)
За допомогою рівності (20) перевіряємо умову (1).
Теорему доведено.
У випадку, коли у нерівності (1) 2 ( ) 0k x = , оператори 0jA ! , 1, 2j = .
Дійсно, наприклад, для 1j = маємо
A1u, u = ! f1(x1 + y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
1 1 1 1 1 1( )x y t y t x+ = ! = "
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)u (x1)dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# dt1 =
=
!!ux1 (t1 " x1)u (x1) dx1 =
R1
#
= "u(x1) !ux1 (t1 " x1)$% &'"(
(
+ !ux1 (t1 " x1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1 (t1 " x1) dx1 = d) * ) = " !ux1 (t1 " x1)
u(x1) = u * du = !u (x1) dx1
+
,
-
-
-
-
-
-
-
--
.
/
0
0
0
0
0
0
0
00
=
= ! f1(t1) "ux1 (t1 ! x1) "u (x1) dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
dt1
R1
# =
= ! f1(x1 + z1) "u (z1) "u (x1) dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
1 1 1 1 1 1( )t x z t x z! = " = +
Тому інтегрування у зображенні (17) буде здійснюватися по 2 1 1R R R! != " . Еле-
ментарне ядро буде мати вигляд
( ; )x y!" = 1 1 2 2 1 1 2 2ch ch ch chx x y y!" !" !" !" +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2ch sh ch shx x y y!" !" !" !" +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh ch sh chx x y y!" !" !" !" +
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 851
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh sh sh shx x y y!" !" !" !" , 2R! " ,
і міри у (17) будуть пов’язані співвідношеннями (9) – (11):
d!0000 ("1; "2 ) = #" (0; 0)d$("1; "2 ) = d$1("1; "2 ) ,
d!0101("1; "2 ) =
#2
#x2#y2
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = &"2d%1("1; "2 ) = d%2 ("1; "2 ) ,
d!1010 ("1; "2 ) =
#2
#x1#y1
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = &"1d%1("1; "2 ) = d%3("1; "2 ) ,
d!1111("1; "2 ) = !4
!x1!y1!x2!y2
"# (0; 0)d$(#1; #2 ) =
= !1!2d"1(!1; !2 ) = d!4 ("1; "2 ) .
Якщо тепер у зображенні (17) покладемо x1 = y1 , x2 = y2 , то одержимо
k1(x1; x2 ) = ch !"1x1ch !"2 x2
R2
# d$1("1; "2 ) і k1(0; 0) = d!1("1; "2 )
R2
# ,
тобто зображення (2) і (3).
У випадку, коли у нерівності (1) k1(x) = 0 , оператори Aj ! 0 , j = 1, 2 .
Дійсно, наприклад, для j = 1 маємо
A1u, u = ! f1(x1 ! y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
(x1 ! y1 = t1 " y1 = x1 ! t1)
= ! f2 (t1) ""ut1 (x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2 (t1) ""ux1 (x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2 (t1)
R1
" ##ut1 (x1 ! t1)u(x1)dx1
R1
"
$
%
&&
'
(
))
dt1 =
=
!!ux1 (x1 " t1)u (x1)dx1 =
R1
#
= u(x1) !ux1 (x1 " t1)$% &'"(
(
" !ux1 (x1 " t1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1 (x1 " t1)dx1 = d) * ) = " !ux1 (x1 " t1)
u(x1) = u * du = !u (x1)
+
,
-
-
-
-
-
-
-
--
.
/
0
0
0
0
0
0
0
00
=
852 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f2 (t1) !ux1 (x1 " t1) !u (x1) dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
dt1
R1
# =
= f2 (x1 ! z1) "u (z1) "u (x1)dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
(x1 ! y1 = z1 " t1 = x1 ! z1)
Тому інтегрування у зображенні (17) буде здійснюватися по R+2 = R+1 ! R+1 .
Елементарне ядро буде мати вигляд
!" (x; y) = cos "1x1 cos "2 x2 cos "1y1 cos "2 y2 +
+ cos !1x1 sin !2 x2 cos !1y1 sin !2 y2 +
+ sin !1x1 cos !2 x2 sin !1y1 cos !2 y2 +
+ sin !1x1 sin !2 x2 sin !1y1 sin !2 y2 , ! "R+2 ,
і міри у (17) будуть пов’язані співвідношеннями (6) – (8):
d!0000 ("1; "2 ) = #" (0; 0)d$("1; "2 ) = d$1("1; "2 ) ,
d!0101("1; "2 ) =
#2
#x2#y2
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = "2d%1("1; "2 ) = d%2 ("1; "2 ) ,
d!1010 ("1; "2 ) =
#2
#x1#y1
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = "1d%1("1; "2 ) = d%3("1; "2 ) ,
d!1111("1; "2 ) = !4
!x1!y1!x2!y2
"# (0; 0)d$(#1; #2 ) =
= !1!2d"1(!1; !2 ) = d!4 ("1; "2 ) .
Якщо тепер у зображенні (17) покладемо x1 = y1 , x2 = y2 , то одержимо
k2 (x1; x2 ) = cos !1x1 cos !2 x2
R+2
" d#1(!1; !2 ) і k2 (0; 0) = d!1("1; "2 )
R+2
# ,
тобто зображення (2) і (3).
Зауваження. 1. Нехай k1(x) = k2 (x) =
1
2
k(x1; x2 ) , тоді з (2) і (3) випливає
1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) = 0 .
Тому
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 853
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
1
2
k(x1; x2 ) +
1
2
k(0; 0) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) .
З урахуванням (4) попереднє зображення набере вигляду
1
2
k(x1; x2 ) +
1
2
k(0; 0) = 2 + 2 cos !1x1 cos !2 x2
4
R2
" d#1(!1; !2 ) ,
або
k2 (x1; x2 ) = cos !1x1 cos !2 x2
R2
" d#1(!1; !2 ) ,
тобто одержимо зображення (4.22) із [2, с. 712].
2. Нехай k1(x) =
1
2
k(x) , k2 (x) = ! 1
2
k(x) , k(0; x2 ) = k(x1; 0) = 0 . Тоді у (2) і
(3) d!1("1; "2 ) = 0 , оскільки k(0; 0) = 0 . Міра d!2 ("1; "2 ) # 0 , позаяк
k(x1; 0) = 0 , і міра d!3("1; "2 ) # 0 , бо k(0; x2 ) = 0 . Тоді одержимо відоме
зображення з [2, с. 712]
k(x1; x2 ) =
1! cos "1x1
"1R2
#
1! cos "2 x2
"2
d$4 ("1; "2 ) .
1. Березанский Ю. М. Обобщение теоремы Бохнера на разложения по собственным функциям
дифферениальных операторов // Докл. АН СССР. – 1956. – 108, № 3. – С. 893 – 896.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка, 1965. – 798 с.
3. Крейн М. Г. Об одном общем методе разложения положительно определенных ядер на
элементарные произведения // Докл. АН СССР. – 1946. – 53, № 1. – С. 3 – 6.
4. Лопотко О. В. Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій однієї змінної // Укр.
мат. журн. – 2010. – 62, № 2. – С. 281 – 284.
Одержано 27.04.09,
після доопрацювання — 11.04.11
|
| id | umjimathkievua-article-2768 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:57Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/1d7b0a4da2d3b76201862f9e1d501284.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27682020-03-18T19:35:28Z Integral representation of even positive-definite functions of two variables Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних Lopotko, O. V. Лопотко, О. В. We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel $[k_1( x + y) + k_2( x - y)],\quad x, y \in R^2$, is positive definite. Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро $[k_1( x + y) + k_2( x - y)],\quad x, y \in R^2$, положительно определено. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2768 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 6 (2011); 844-853 Український математичний журнал; Том 63 № 6 (2011); 844-853 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2768/2292 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2768/2293 Copyright (c) 2011 Lopotko O. V. |
| spellingShingle | Lopotko, O. V. Лопотко, О. В. Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_alt | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_full | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_fullStr | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_full_unstemmed | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_short | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_sort | integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2768 |
| work_keys_str_mv | AT lopotkoov integralrepresentationofevenpositivedefinitefunctionsoftwovariables AT lopotkoov integralrepresentationofevenpositivedefinitefunctionsoftwovariables AT lopotkoov íntegralʹnezobražennâparnihdodatnoviznačenihfunkcíjdvohzmínnih AT lopotkoov íntegralʹnezobražennâparnihdodatnoviznačenihfunkcíjdvohzmínnih |