Structure of nodal algebras
The structure of nodal algebras over a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field is described.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2772 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508739126165504 |
|---|---|
| author | Voloshyn, D. E. Волошин, Д. Є. |
| author_facet | Voloshyn, D. E. Волошин, Д. Є. |
| author_sort | Voloshyn, D. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:24Z |
| description | The structure of nodal algebras over a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field
is described. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.5
Д. Є. Волошин (Iн-т математики НАН України, Київ)
БУДОВА НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР
The structure of nodal algebras over a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field
is described.
Описывается строение нодальных алгебр над полным дискретно нормированным кольцом с алгебраи-
чески замкнутым полем вычетов.
Вступ. Нодальнi алгебри вперше було розглянуто у статтi [1], де доведено, що це
єдинi чисто нетеровi алгебри, для яких опис усiх скiнченнопороджених модулiв є
ручною задачею (тут чисто нетеровою алгеброю називається кiльце, що має нетерiв
центр i є скiнченнопородженим модулем над центром та не мiстить мiнiмальних
лiвих i правих iдеалiв). У роботах [2, 3] встановлено, що для нодальних алгебр,
i тiльки для них, ручною є похiдна категорiя категорiї скiнченнопороджених мо-
дулiв, i наведено явний опис цiєї категорiї. Природною задачею є вивчення будови
таких алгебр. В роботi описано будову нодальних алгебр над повним дискретно
нормованим кiльцем з алгебраїчно замкненим полем лишкiв.
Будемо називати нетерове злiва кiльце чисто нетеровим злiва, якщо воно не
мiстить мiнiмальних лiвих iдеалiв. Аналогiчно визначається чисто нетерове справа
кiльце. Нехай A — алгебра над комутативним нетеровим кiльцем O, скiнченнопо-
роджена як O-модуль. Тодi A є нетеровим O-модулем i, отже, нетеровим кiльцем.
Вiдомо, що для такої алгебри A чиста нетеровiсть злiва (справа) еквiвалентна тому,
що A не мiстить простих O-пiдмодулiв. Отже, в цьому випадку чиста нетеровiсть
злiва i справа.
Означення. Алгебра N над комутативним локальним нетеровим кiльцем O
називається нодальною, якщо iснує спадкова чисто нетерова O-алгебра H ⊇ N,
яка є скiнченнопородженим O-модулем, i
1) radN = radH;
2) lengthN (H ⊗N U) 6 2 для кожного простого лiвого N -модуля U.
Нодальна O-алгебра N є нетеровим O-модулем без простих O-пiдмодулiв, як пiд-
модуль H, i тому чисто нетеровим кiльцем.
Теорема. Нехай O — повне дискретно нормоване кiльце з максимальним iде-
алом m i алгебраїчно замкненим полем лишкiв K = O/m. Кожна нодальна алгебра
над кiльцем O iзоморфна деякiй O-алгебрi N(O), що є пiдалгеброю прямого до-
бутку матричних алгебр
m∏
i=1
Mni (O) = {(Ai)16i6m | Ai ∈Mni(O)}
(матрицi Ai вважаємо блочними i розбитими на однакову кiлькiсть горизонталь-
них та вертикальних смуг ti, до того ж k-тi горизонтальна та вертикальна смуги
мають однакову ширину nik). Алгебра N(O) визначається даними:
1) m ∈ N — кiлькiсть множникiв прямого добутку;
2) (ti ∈ N : 1 6 i 6 m) — набiр кiлькостей смуг, на якi розбито матрицi
Ai = (Aikl)16k,l6ti ;
c© Д. Є. ВОЛОШИН, 2011
880 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
БУДОВА НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 881
3) ρ — симетричне бiнарне вiдношення на множинi {(i, k) ∈ Z2 | 1 6 i 6
6 m, 1 6 k 6 ti} таке, що для кожної пари (i, k) iснує щонайбiльше одна пара
(i′, k′), для якої (i, k) ρ (i′, k′);
4) (nik ∈ N : 1 6 i 6 m, 1 6 k 6 ti) — набiр розмiрiв смуг, на якi розбито
матрицi Ai, до того ж nik = ni′k′ , якщо (i, k) ρ (i′, k′)
(
ni =
∑ ti
k=1
nik для
кожного i
)
;
5) (n′ik, n
′′
ik ∈ N : (i, k) ρ (i, k)) — набiр розмiрiв смуг, на якi розбиваються
матрицi Aikk у випадку (i, k) ρ (i, k) (виконується n′ik + n′′ik = nik),
i задається так:
N(O) =
{
(Ai) ∈
m∏
i=1
Mni (O) | Ai = (Aikl)16k,l6ti ,
Aikl ∈ Mat(nik × nil,O);
Aikl ≡ 0 (mod m), якщо k < l;
Aikk ≡ Ai′k′k′ (mod m), якщо (i, k) ρ (i′, k′);
Aikk ≡ A′ik ⊕A′′ik (mod m), якщо (i, k) ρ (i, k),
де A′ik ∈Mn′
ik
(O), A′′ik ∈Mn′′
ik
(O)
}
.
Кожна така O-алгебра N(O) є нодальною.
Зауваження 1. Типовим прикладом кiльця O з умови теореми є кiльце сте-
пеневих рядiв вiд однiєї змiнної K[[t]] над алгебраїчно замкненим полем K.
Зауваження 2. З доведення теореми випливає, що для кiльця O з теореми
умову 2 означення нодальної O-алгебри можна замiнити на еквiвалентну симет-
ричну:
lengthN (V ⊗N H) 6 2 для кожного простого правого N -модуля V.
Для довiльного комутативного локального нетерового кiльця це випливає з резуль-
татiв роботи [1].
Лема. Нехай A, B — кiльця, A ⊆ B, i radA є iдеалом B. Покладемо Ā =
= A/ radA i B̄ = B/ radA. Для кожного простого лiвого A-модуля (Ā-модуля) U
виконується рiвнiсть
lengthA(B ⊗A U) = lengthĀ(B̄ ⊗Ā U).
Доведення. Кожний простий лiвий A-модуль є простим лiвим Ā-модулем, i
навпаки. Доведемо, що для кожного простого лiвого A-модуля U має мiсце iзомор-
фiзм лiвих B-модулiв
B ⊗A U ' B̄ ⊗Ā U.
Бiлiнiйне вiдображення B×U → B̄⊗Ā U : (b, x) 7→ b̄⊗x є A-збалансованим, тому
iснує гомоморфiзм абелевих груп f : B⊗AU → B̄⊗ĀU такий, що f(b⊗x) = b̄⊗x
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
882 Д. Є. ВОЛОШИН
для всiх b ∈ B, x ∈ U. Легко перевiрити, що f також буде гомоморфiзмом B-
модулiв. Якщо b̄1 = b̄2, де b1, b2 ∈ B, то b1 − b2 ∈ radA, i для довiльного x ∈ U
виконується (b1 − b2)x ∈ (radA)U = 0, b1 ⊗ x − b2 ⊗ x = 1 ⊗ (b1 − b2)x = 0 в
B ⊗A U. Тому можна коректно визначити бiлiнiйне Ā-збалансоване вiдображення
B̄ × U → B ⊗A U : (b̄, x) 7→ b ⊗ x. Значить, iснує гомоморфiзм абелевих груп
g : B̄ ⊗Ā U → B ⊗A U такий, що g(b̄ ⊗ x) = b ⊗ x для всiх b ∈ B, x ∈ U.
Легко бачити, що g буде гомоморфiзмом B-модулiв. Ендоморфiзми B-модулiв fg,
gf збiгаються з idB̄⊗ĀU , idB⊗AU на твiрних модулiв B̄ ⊗Ā U, B ⊗A U вiдповiдно,
отже, fg = idB̄⊗ĀU i gf = idB⊗AU .
З iзоморфiзму B-модулiв B⊗AU i B̄⊗ĀU випливає їх iзоморфiзм як A-модулiв
та
lengthA(B ⊗A U) = lengthA(B̄ ⊗Ā U).
Композицiйний ряд кожного Ā-модуля буде його композицiйним рядом, як A-
модуля, тому
lengthA(B̄ ⊗Ā U) = lengthĀ(B̄ ⊗Ā U),
що i дає потрiбну рiвнiсть.
Лему доведено.
Доведення теореми. Нехай N — нодальнаO-алгебра, H — вiдповiдна спадкова
O-алгебра. Покладемо N̄ = N/ radN i H̄ = H/ radH. Оскiльки radN = radH,
то N̄ ⊆ H̄. За лемою Накаями mN ⊆ radN i mH ⊆ radH, тому N̄ i H̄ є
скiнченновимiрними алгебрами над K = O/m. Маємо rad N̄ = rad H̄ = 0, тому
N̄ , H̄ — напiвпростi K-алгебри. З леми випливає, що умову 2 в означеннi нодальної
алгебри можна замiнити на еквiвалентну:
lengthN̄ (H̄ ⊗N̄ U) 6 2 для кожного простого лiвого N̄ -модуля U. (1)
Далi доведення теореми розiб’ємо на двi частини.
Вигляд нодальної алгебри. Вiдомо [4, 5], що спадкова чисто нетерова алгебра
H над повним дискретно нормованим кiльцем O з алгебраїчно замкненим полем
лишкiв морiта-еквiвалентна прямому добутку O-алгебр Hn(O), кожна з яких є
пiдалгеброю Mn(O), i складається з усiх матриць (aij) таких, що aij ∈ m при
i < j. Тому iснує iзоморфiзм O-алгебр Φ: H ' H(O), де
H(O) =
{
(Ai) ∈
m∏
i=1
Mni (O) | Ai = (Aikl)16k,l6ti ,
Aikl ∈ Mat(nik × nil,O);
Aikl ≡ 0 (mod m), якщо k < l
}
(2)
(матрицi Ai є блочними i розбитими на однакову кiлькiсть горизонтальних i верти-
кальних смуг ti, до того ж k-тi горизонтальна та вертикальна смуги мають однакову
ширину nik та ni =
∑ ti
k=1
nik для кожного i). Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
БУДОВА НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 883
Φ(radH) = radH(O) =
{
(Ai) ∈
m∏
i=1
Mni (O) | Ai = (Aikl)16k,l6ti ,
Aikl ∈ Mat(nik × nil,O);
Aikl ≡ 0 (mod m), якщо k 6 l
}
.
Покладемо F = {(i, k) ∈ Z2 | 1 6 i 6 m, 1 6 k 6 ti} та
M(K) =
∏
(i,k)∈F
Mnik(K).
Задамо епiморфiзм O-алгебр π : H(O) → M(K) формулою π((Ai)16i6m) =
= (Aikk)(i,k)∈F (покладемо A = (āij) ∈ Mn(K) для A = (aij) ∈ Mn(O)). Оскiль-
ки kerπ = radH(O), то kerπΦ = radH. Тому iснує такий iзоморфiзм K-алгебр
ϕ : H̄ 'M(K), що дiаграма
H
Φ−−−−→ H(O)
πH
y π
y
H̄
ϕ−−−−→ M(K)
(3)
комутативна, де πH : H → H̄ — канонiчна проекцiя.
Оскiльки нодальнiсть алгебри зберiгається при еквiвалентностi Морiти, будемо
для простоти вважати, що N — зведена алгебра. Тодi N̄ розкладається в скiн-
ченний добуток тiл над полем K. Цi тiла скiнченновимiрнi над K, оскiльки N̄
скiнченновимiрна, а з алгебраїчної замкненостi K випливає, що вони iзоморфнi
K. Отже, N̄ ' Ks. Нехай 1 =
∑s
j=1
ej — вiдповiдний розклад одиницi алгебри
N̄ в суму попарно ортогональних iдемпотентiв. Тодi e1, . . . , es — базис N̄ над K i
ϕ|N̄ : N̄ →M(K) — занурення K-алгебр. Це дає можливiсть знайти образ алгебри
N̄ при деякому iзоморфiзмi, а потiм визначити iзоморфний образ алгебри N.
Очевидно, ϕ = (ϕik)(i,k)∈F, де ϕik : H̄ → Mnik(K) — композицiя ϕ i проек-
цiї M(K) → Mnik(K). Розглянемо Mnik(K) як алгебру лiнiйних операторiв nik-
вимiрного лiнiйного K-простору Lik. Тодi розклад одиницi алгебриMnik(K) в суму
ортогональних iдемпотентiв 1 =
∑s
j=1
ϕik(ej) визначає розклад простору Lik в
пряму суму K-просторiв
⊕s
j=1 L
j
ik, де Ljik = imϕik(ej) (можливо для деяких i, k,
j виконується ϕik(ej) = 0, i, вiдповiдно, Ljik = 0). Покладемо djik = dimK L
j
ik. Тодi
s∑
j=1
djik = dimK Lik = nik (4)
для всiх (i, k) ∈ F. Вибравши за базис простору Lik об’єднання базисiв просторiв
L1
ik, . . . , L
s
ik, отримаємо, що для кожної пари (i, k) iснує матриця Sik ∈ GLnik(K)
така, що для кожного j матриця S−1
ik ϕik(ej)Sik є дiагональною з нулями i djik
одиницями на дiагоналi, до того ж одиницi розташованi на мiсцях з номерами 1 +
+
∑j−1
l=1
dlik, . . . , d
j
ik+
∑j−1
l=1
dlik.Нехай S = (Sik)(i,k)∈F ∈M(K).Позначимо через
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
884 Д. Є. ВОЛОШИН
σ внутрiшнiй автоморфiзм A 7→ S−1AS алгебри M(K) i розглянемо iзоморфiзм
ψ = σϕ : H̄ 'M(K). Маємо ψ(ej) = (ψik(ej))(i,k)∈F, де ψik(ej) = S−1
ik ϕik(ej)Sik
для всiх (i, k) ∈ F i кожного j ∈ {1, . . . , s}.
Застосувавши умову (1) до всiх головних простих модулiв N̄e1, . . . , N̄es, отри-
маємо
lengthN̄ (H̄ ⊗N̄ N̄ej) 6 2
для кожного j ∈ {1, . . . , s}. З iншого боку, виконуються iзоморфiзми N̄ -модулiв
H̄ ⊗N̄ N̄ej ' H̄ej '
⊕
(i,k)∈F
djik
(
s⊕
l=1
dlikN̄el
)
(останнiй iзоморфiзм одержимо, якщо ототожнимо N̄ i H̄ з їхнiми образами при
iзоморфiзмi ψ : H̄ 'M(K) i врахуємо спецiальний вигляд кожної матрицi ψik(ej)).
Тому
lengthN̄ (H̄ ⊗N̄ N̄ej) =
∑
(i,k)∈F
djik
s∑
l=1
dlik =
∑
(i,k)∈F
djiknik
(в останнiй рiвностi ми використали (4)). Звiдси∑
(i,k)∈F
djiknik 6 2 (5)
для кожного j ∈ {1, . . . , s}.
Iз спiввiдношень (4) i (5) легко випливає, що:
1) nik ∈ {1, 2} для всiх (i, k) ∈ F;
2) djik ∈ {0, 1} для всiх (i, k) ∈ F, j ∈ {1, . . . , s};
3) |{(i, k) ∈ F | djik = 1}| ∈ {1, 2} для кожного j;
4) якщо nik = 2 i djik = 1, то dji′k′ = 0 для всiх (i′, k′) 6= (i, k).
Нехай x =
∑s
j=1
xjej ∈ N̄ , де x1, . . . , xs ∈ K. Якщо nik = 1 i djik = 1, то
ψik(ej) = (1) i ψik(ej′) = (0) для всiх j′ 6= j. Тому
ψik(x) =
s∑
j=1
xjψik(ej) = (xj).
Якщо nik = 2 i djik = dj
′
ik = 1, j < j′, то ψik(ej) =
(
1 0
0 0
)
, ψik(ej′) =
(
0 0
0 1
)
i ψik(ej′′) =
(
0 0
0 0
)
для всiх j′′ 6= j, j′. Тому ψik(x) =
(
xj 0
0 xj′
)
. Нехай
(Aik) ∈ M(K) та iснує x ∈ N̄ , для якого (Aik) = ψ(x). Тодi Aik = ψik(x) для
всiх (i, k) ∈ F. Якщо (i, k) 6= (i′, k′) i djik = dji′k′ = 1 для деякого j, то з умови
4 випливає, що nik = ni′k′ = 1, i тому Aik = (xj) = Ai′k′ . Якщо nik = 2, то
Aik є дiагональною. Оскiльки всi djik ∈ {0, 1} i djik = dji′k′ = 1 має наслiдком
nik = ni′k′ = 1, то цi двi умови є й достатнiми, щоб для (Aik) ∈ M(K) iснував
x ∈ N̄ , для якого (Aik) = ψ(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
БУДОВА НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 885
На множинi F введемо симетричне бiнарне вiдношення ρ: (i, k) ρ (i′, k′) тодi
i лише тодi, коли (i, k) 6= (i′, k′) i djik = dji′k′ = 1 для деякого j ∈ {1, . . . , s}, або
(i, k) = (i′, k′) i nik = 2. Вiдповiдно зазначеному вище можемо записати
ψ(N̄) =
{
(Aik) ∈
∏
(i,k)∈F
Mnik(K) |
Aik = Ai′k′ , якщо (i, k) ρ (i′, k′);
Aik = A′ik ⊕A′′ik, якщо (i, k) ρ (i, k),
де A′ik, A
′′
ik ∈M1(K)
}
. (6)
Доведемо, що для кожної пари (i, k) iснує щонайбiльше одна пара (i′, k′), для якої
(i, k) ρ (i′, k′). Припустимо вiд супротивного: (i, k) ρ (i′, k′), (i, k) ρ (i′′, k′′) i
(i′, k′) 6= (i′′, k′′). Якщо (i′, k′) = (i, k), то nik = 2, i внаслiдок умови 4 вiдношення
(i, k) ρ (i′′, k′′) неможливе. Тому nik = 1 та (i, k) 6= (i′, k′). Аналогiчно (i, k) 6=
6= (i′′, k′′). Тодi для деяких j′, j′′ виконується dj
′
ik = dj
′
i′k′ = 1 i dj
′′
ik = dj
′′
i′′k′′ = 1.
Внаслiдок умови 3 j′ 6= j′′, отже, з рiвностi (4) nik > dj
′
ik +dj
′′
ik = 2 — суперечнiсть.
Знайдемо автоморфiзм Σ алгебри H(O), для якого комутативною є дiаграма
H(O)
Σ−−−−→ H(O)
π
y π
y
M(K)
σ−−−−→ M(K) .
(7)
Нагадаємо, що автоморфiзм σ є внутрiшнiм i задається набором невироджених
матриць S = (Sik)(i,k)∈F ∈ M(K). Для кожної пари (i, k) ∈ F виберемо матрицю
Tik ∈ Mnik(O) з властивiстю T ik = Sik. Оскiльки Sik невироджена, то detTik =
= detT ik = detSik 6= 0. Тому detTik є оборотним у кiльцi O, i матриця Tik обо-
ротна вMnik(O). Покладемо Ti =
⊕ti
k=1 Tik ∈Mni(O) для кожного i ∈ {1, . . . ,m}
та T = (Ti)16i6m ∈ H(O). Тодi T−1
i =
⊕ti
k=1 T
−1
ik i T−1 = (T−1
i )16i6m ∈ H(O).
В якостi Σ виберемо внутрiшнiй автоморфiзм A 7→ T−1AT алгебри H(O). Кому-
тативнiсть дiаграми легко перевiрити.
З комутативних дiаграм (3) i (7) випливає, що дiаграма
H
Φ−−−−→ H(O)
Σ−−−−→ H(O)
πH
y π
y π
y
H̄
ϕ−−−−→ M(K)
σ−−−−→ M(K)
є комутативною.
Нехай Ψ = ΣΦ: H ' H(O). З дiаграми випливає, що πΨ = σϕπH = ψπH . То-
му π(Ψ(N)) = ψ(πH(N)) = ψ(N̄). Оскiльки N ⊇ radH, то Ψ(N) ⊇ Ψ(radH) =
= radH(O) = kerπ. Отже, Ψ(N) = π−1(ψ(N̄)) i з рiвностей (6), (2) та визначення
π випливає
N ' Ψ(N) =
{
(Ai) ∈
m∏
i=1
Mni (O) | Ai = (Aikl)16k,l6ti ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
886 Д. Є. ВОЛОШИН
Aikl ∈ Mat(nik × nil,O);
Aikl ≡ 0 (mod m), якщо k < l;
Aikk ≡ Ai′k′k′ (mod m), якщо (i, k) ρ (i′, k′);
Aikk ≡ A′ik ⊕A′′ik (mod m), якщо (i, k) ρ (i, k),
де A′ik, A
′′
ik ∈M1(O)
}
,
де nik = 2, якщо (i, k) ρ (i, k), i nik = 1 в протилежному випадку.
Для кожної нодальноїO-алгебриN ′ її базисна алгебраN є нодальною, оскiльки
нодальнiсть зберiгається при еквiвалентностi Морiти. Тодi з N ' Ψ(N) випливає,
що N ′ морiта-еквiвалентна алгебрi Ψ(N) i тому iзоморфна деякiй алгебрi N(O) з
умови теореми.
Нодальнiсть алгебри N(O). В цiй частинi доведення алгебри N(O) i H(O)
позначимо лiтерами N i H вiдповiдно. Далi, N ⊆ H i H — спадкова чисто нетерова
O-алгебра, скiнченнопороджена як O-модуль [4, 5].
Задамо на множинi F вiдношення еквiвалентностi ≈ так, що (i, k) ≈ (i′, k′),
коли (i, j) = (i′, k′), або (i, k) ρ (i′, k′). Нехай
F′ =
(
F\
{
(i, k) | (i, k) ρ (i, k)
})
∪
{
(i, k)′, (i, k)′′ | (i, k) ρ (i, k)
}
.
Еквiвалентнiсть ≈ поширимо тривiальним чином на F′ (кожний новий елемент
(i, k)′ або (i, k)′′ єдиний у своєму класi еквiвалентностi) i покладемо F̃ = F′/ ≈ .
Будемо ототожнювати одноелементнi класи α ∈ F̃ з вiдповiдним елементом. Для
кожного α ∈ F̃ покладемо
nα =
nik, якщо α = (i, k), або α = {(i, k), (i′, k′)},
n′ik, якщо α = (i, k)′,
n′′ik, якщо α = (i, k)′′.
Позначимо через R прямий добуток
∏m
i=1Ri, де
Ri =
{
A ∈Mni(O) | A = (Akl)16k,l6ti , Akl ∈ Mat(nik × nil,O);
Akl ≡ 0 (mod m), якщо k 6 l
}
.
Нагадаємо, що radH = R (також це випливає з мiркувань, аналогiчних наведеним
нижче для N ). Епiморфiзм O-алгебр π : H → M(K), (Ai)16i6m 7→ (Aikk)(i,k)∈F
має ядро R i визначає iзоморфiзм O-алгебр π∗ : H̄ ' M(K), де H̄ = H/R. Обме-
ження π∗ на N̄ = N/R дає iзоморфiзм N̄ ' π(N). Оскiльки mN ⊆ mH ⊆ R, то N̄
i H̄ є алгебрами над K = O/m, а π∗ — iзоморфiзм K-алгебр. Маємо
N̄ ' π(N) =
{
(Aik) ∈
∏
(i,k)∈F
Mnik(K) |
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
БУДОВА НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР 887
Aik = Ai′k′ , якщо (i, k) ρ (i′, k′);
Aik = A′ik ⊕A′′ik, якщо (i, k) ρ (i, k),
де A′ik ∈Mn′
ik
(K), A′′ik ∈Mn′′
ik
(K)
}
'
∏
α∈F̃
Mnα(K).
Доведемо, що radN = R. Оскiльки N̄ '
∏
α∈F̃Mnα(K) — напiвпроста K-
алгебра, то radN ⊆ R. Для доведення включення radN ⊇ R достатньо показати,
що кожний елемент множини 1+R є оборотним вN. Позначимо через Ri(K) образ
iдеалу Ri при стандартному епiморфiзмi Mni(O)→Mni(K). Очевидно,
Ri(K) =
{
A ∈Mni(K) | A = (Akl)16k,l6ti , Akl ∈ Mat(nik × nil,K);
Akl = 0, якщо k 6 l
}
.
Iдеал Ri(K) є нiльпотентним — Ri(K)ti = 0. Якщо матриця Ai ∈ Ri, то
det(Ini +Ai) = det(Ini +Ai ) = 1. Тому det(Ini +Ai) є оборотним в O, i матриця
Ini +Ai оборотна в Mni(O). Далi,
(Ini +Ai)−1 = (Ini +Ai )−1 = Ini +
ti−1∑
j=1
(−Ai )j ∈ 1 +Ri(K),
звiдки (Ini +Ai)
−1 ∈ 1 +Ri. Нехай A = (Ai)16i6m ∈ R =
∏m
i=1Ri. Тодi 1 +A =
= (Ini +Ai)16i6m, i за доведеним вище
(1 +A)−1 = ((Ini +Ai)
−1)16i6m ∈
m∏
i=1
(1 +Ri) = 1 +R.
Отже, матрицi з множини 1 +R є оборотними i (1 +R)−1 = 1 +R ⊆ N.
Залишилось довести умову (1): lengthN̄ (H̄ ⊗N̄ U) 6 2 для кожного простого
лiвого N̄ -модуля U. Ототожнимо K-алгебри H̄ i N̄ з їх образами при iзоморфiзмi
π∗ — M(K) та π(N) вiдповiдно. Набiр матриць (Aik)(i,k)∈F ∈ N̄ , у якого Aik,ll =
= 1 (A′ik,ll = 1 або A′′ik,ll = 1, якщо (i, k) ρ (i, k)), а всi iншi елементи матриць
дорiвнюють 0, позначимо через eikl (e′ikl або e′′ikl вiдповiдно). Для α ∈ F̃, l ∈
∈ {1, . . . , nα} покладемо
eαl =
eikl, якщо α = (i, k),
e′ikl, якщо α = (i, k)′,
e′′ikl, якщо α = (i, k)′′,
eikl + ei′k′l, якщо α = {(i, k), (i′, k′)}.
Тодi 1 =
∑
α∈F̃
∑nα
l=1
eαl — розклад одиницi алгебри N̄ в суму ортогональних
мiнiмальних iдемпотентiв (мiнiмальнiсть випливає з iзоморфiзму алгебр eαlN̄eαl '
' K). Оскiльки алгебра N̄ напiвпроста, то кожний простий лiвий N̄ -модуль U
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
888 Д. Є. ВОЛОШИН
iзоморфний деякому головному простому модулю N̄eαl, α ∈ F̃, 1 6 l 6 nα. Тепер
нерiвнiсть випливає з iзоморфiзмiв N̄ -модулiв:
H̄ ⊗N̄ U ' H̄ ⊗N̄ N̄eαl ' H̄eαl
i
H̄eαl '
N̄eαl, якщо α = (i, k),
N̄e′ikl ⊕ N̄e′′ikl, якщо α = (i, k)′ або α = (i, k)′′,
2(N̄eαl), якщо α = {(i, k), (i′, k′)}.
Теорему доведено.
1. Дрозд Ю. А. Конечные модули над чисто нетеровыми алгебрами // Труды Мат. ин-та АН СССР. –
1990. – 183. – С. 56 – 68. (English transl.: Drozd Y. A. Finite modules over pure Noetherian algebras //
Proc. Steklov Inst. Math. – 1991. – 183. – P. 97 – 108.)
2. Burban I., Drozd Y. Derived categories of nodal algebras // J. Algebra. – 2004. – 272. – P. 46 – 94.
3. Burban I., Drozd Y. Derived categories for nodal rings and projective configurations // Noncommutative
Algebra and Geometry. – 2005. – 243. – P. 23 – 46.
4. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Спадковi порядки // Укр. мат. журн. – 1968. – 20, № 3. – С. 246 – 248.
5. Harada M. Structure of hereditary orders over local rings // J. Math. Osaka City Univ. – 1963. – 14. –
P. 1 – 22.
Одержано 25.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2772 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:59Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/a5809472ec951cf48f81503f2f6b33f1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27722020-03-18T19:36:24Z Structure of nodal algebras Будова нодальних алгебр Voloshyn, D. E. Волошин, Д. Є. The structure of nodal algebras over a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field is described. Описывается строение нодальных алгебр над полным дискретно нормированным кольцом с алгебраически замкнутым полем вычетов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2772 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 7 (2011); 880-879 Український математичний журнал; Том 63 № 7 (2011); 880-879 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2772/2299 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2772/2300 Copyright (c) 2011 Voloshyn D. E. |
| spellingShingle | Voloshyn, D. E. Волошин, Д. Є. Structure of nodal algebras |
| title | Structure of nodal algebras |
| title_alt | Будова нодальних алгебр |
| title_full | Structure of nodal algebras |
| title_fullStr | Structure of nodal algebras |
| title_full_unstemmed | Structure of nodal algebras |
| title_short | Structure of nodal algebras |
| title_sort | structure of nodal algebras |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2772 |
| work_keys_str_mv | AT voloshynde structureofnodalalgebras AT vološindê structureofnodalalgebras AT voloshynde budovanodalʹnihalgebr AT vološindê budovanodalʹnihalgebr |