Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations
We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden - Fowler type.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2775 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508743636090880 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Koz'ma, A. A. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Koz'ma, A. A. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:24Z |
| description | We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities
of a more general form than nonlinearities of the Emden - Fowler type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова),
А. А. Козьма (Одес. гос. эконом. ун-т)
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order
differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities
of the Emden – Fowler type.
Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв
диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями
бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера.
1. Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение второго
порядка
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)[1 + ri(t)]ϕi0(y)ϕi1(y′), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, pi : [a, ω) → (0,+∞), i = 1, . . . ,m, −∞ < a < ω ≤
≤ +∞1, — непрерывно дифференцируемые функции, ri : [a, ω)→ R, i = 1, . . . ,m,
— непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
lim
t↑ω
ri(t) = 0, i = 1, . . . ,m, (1.2)
ϕik : ∆k → (0,+∞), k = 0, 1, i = 1, . . . ,m, — дважды непрерывно дифференциру-
емые функции,
∆k =
либо [y0
k, Yk),
либо (Yk, y
0
k],
y0
k ∈ R, Yk =
либо 0,
либо ±∞2,
k = 0, 1, (1.3)
причем ϕik такие, что при каждом k ∈ {0, 1}
lim
z→Yk
z∈∆k
ϕik(z) = ϕ0
ik, 0 ≤ ϕ0
ik ≤ +∞, i = 1, . . . ,m, (1.4)
и если ϕik(z) не является тождественной константой на промежутке ∆k, то
ϕ′ik(z) 6= 0 при z ∈ ∆k, lim
z→Yk
z∈∆k
zϕ′ik(z)
ϕik(z)
= σik = const,
lim sup
z→Yk
z∈∆k
∣∣∣∣zϕ′′ik(z)
ϕ′ik(z)
∣∣∣∣ < +∞.
(1.5)
1При ω = +∞ считаем, что a > 0.
2При Yk = +∞ (Yk = −∞) считаем, что y0k > 0 (y0k < 0).
c© В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА, 2011
924 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 925
Положим
πω(t) =
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞.
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1), определенное на промежутке
[t0, ω) ⊂ [a, ω), будем называть Пω(Y0, Y1, µ0)-решением, где −∞ ≤ µ0 ≤ +∞,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
y(k) : [t0, ω)→ ∆k, lim
t↑ω
y(k)(t) = Yk, k = 0, 1, (1.6)
lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= µ0 и при µ0 = ±∞ lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
= 1. (1.7)
Разобьем множество M = {1, 2, . . . ,m} на четыре непересекающихся подмно-
жества:
M1 =
{
i ∈M : ϕ0
ik = const 6= 0, k = 0, 1
}
,
M2 =
{
i ∈M \M1 : ϕ0
i1 = const 6= 0
}
,
M3 =
{
i ∈M \M1 : ϕ0
i0 = const 6= 0
}
,
M4 = M \ (M1 ∪M2 ∪M3).
В [1, 2] и настоящей работе для каждого i ∈ M \M4 приведены условия, при
выполнении которых на любом Пω(Y0, Y1, µ0)-решении уравнения (1.1) правая его
часть асимптотически эквивалентна i-му слагаемому. При выполнении этих усло-
вий в [1] для i ∈M1 (M1 6= ∅) и всех возможных значений µ0, а в [2] для i ∈M2+k
(k ∈ {0, 1}, M2+k 6= ∅) и µ0 ∈ R \ {0, 1} были установлены необходимые и до-
статочные условия существования Пω(Y0, Y1, µ0)-решений. Кроме того, получены
асимптотические представления этих решений и их производных первого порядка
при t ↑ ω. Целью настоящей работы является установление условий существования
и асимптотического поведения Пω(Y0, Y1, µ0)-решений для i ∈ M2+k (k ∈ {0, 1},
M2+k 6= ∅) и µ0 = ±∞.
2. Некоторые априорные свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-решений.
Лемма 2.1. Пусть y : [t0, ω)→ ∆0 — Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1).
Тогда имеет место предельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞.
Доказательство леммы 2.1 при различных значениях Y0 см. в работах [3, 4].
Лемма 2.2. Пусть µ0 = ±∞, M2+k 6= ∅, k ∈ {0, 1} и для некоторого
i ∈M2+k выполняются условия
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< +∞ при j ∈M \ {i} (2.1)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
926 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
γσik signπω(t) > 0, если j ∈M1,
γ(σik − σjk) signπω(t) > 0, если j ∈M2+k, j 6= i,
γ(σik − σj1−k) signπω(t) > 0, если j ∈M3−k,
γ(σik − σj0 − σj1) signπω(t) > 0, если j ∈M4,
(2.2)
где
γ =
1 при µ0 = +∞,
−1 при µ0 = −∞.
Тогда для каждого Пω(Y0, Y1,±∞)-решения уравнения (1.1) выполняются предель-
ные соотношения
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))
= 0 при j ∈M \ {i}. (2.3)
Доказательство. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 — произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-
решение уравнения (1.1). Положим при k ∈ {0; 1}
zj1(t) =
pj(t)
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M1,
zj2+k(t) =
pj(t)ϕjk(y(k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M2+k, i 6= j,
zj3−k(t) =
pj(t)ϕj1−k(y(1−k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M3−k,
zj4(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M4.
Тогда
z′j1(t) =
pj(t)
pi(t)ϕik(y(k)(t))
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j2+k(t) =
pj(t)ϕjk(y(k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
×
×
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y(k+1)(t)ϕ′jk(y(k)(t))
ϕjk(y(k)(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j3−k(t) =
pj(t)ϕj1−k(y(1−k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
×
×
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y(2−k)(t)ϕ′j1−k(y(1−k)(t))
ϕj1−k(y(1−k)(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j4(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y′′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 927
+
y′(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
.
Запишем эти соотношения в виде
z′j1(t) =
zj1(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
− |πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j2+k(t) =
zj2+k(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
+
+
|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′jk(y(k)(t))
ϕjk(y(k)(t))
− y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
)]
,
z′j3−k(t) =
zj3−k(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
−
−|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
−
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)1−2k y(1−k)(t)ϕ′j1−k(y(1−k)(t))
ϕj1−k(y(k)(t))
)]
,
z′j4(t) =
zj4(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
−
−|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
−
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)1−k y′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)−k y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
)]
.
В силу условия (1.6) и второго из условий (1.5)
lim
t↑ω
y(k)(t)ϕ′lk(y(k)(t))
ϕlk(y(k)(t))
= σlk, где k = 0, 1; l = i, j. (2.4)
Кроме того, согласно условиям (1.6), (1.7) и лемме 2.1
lim
t↑ω
πω(t)y(k+1)(t)
y(k)(t)
= ±∞, k = 0, 1, и lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
= 1. (2.5)
Тогда с учетом (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) существуют постоянные z0
jl < 0, l = 1, 4, и
t1 ∈ [t0, ω) такие, что выполняются неравенства
z′jl(t) ≤
z0
jlzjl(t)
|πω(t)|
при t ∈ [t1, ω), l = 1, 4,
откуда следует, что
ln
∣∣∣∣ zjl(t)zjl(t1)
∣∣∣∣ ≤ z0
jl
t∫
t1
dτ
|πω(τ)|
при t ∈ [t1, ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
928 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Поскольку выражения, стоящие справа, стремятся к −∞ при t ↑ ω, то
lim
t↑ω
zjl(t) = 0, l = 1, 4, j ∈M\{i}.
Из этих предельных соотношений с учетом определения множеств Ml, l = 1, 4,
следует справедливость (2.3).
3. Основные результаты. Введем вспомогательные обозначения
Ii(t) =
t∫
I0
i
pi(s) ds, Qi(t) =
t∫
Q0
i
Ii(s) ds,
где
I0
i =
a, если
∫ ω
a
pi(s) ds = +∞,
ω, если
∫ ω
a
pi(s) ds < +∞,
Q0
i =
a, если
∫ ω
a
|Ii(s)| ds = +∞,
ω, если
∫ ω
a
|Ii(s)| ds < +∞.
Кроме того, при i ∈M2+k, k ∈ {0, 1} и σik 6= 1 введем функцию
Φik(s) =
s∫
Bik
dz
ϕik(z)
, где Bik =
y0
k, если
∣∣∣∣∣
∫ Yk
y0
k
dz
ϕik(z)
∣∣∣∣∣ = +∞,
Yk, если
∣∣∣∣∣
∫ Yk
y0
k
dz
ϕik(z)
∣∣∣∣∣ < +∞.
Для этой функции существует обратная функция Φ−1
ik , определенная при Bik = y0
k
на бесконечном промежутке
∆ik =
[0; +∞), если (1− σik)y0
k > 0,
(−∞; 0], если (1− σik)y0
k < 0,
(3.1)
и при Bik = Yk на конечном промежутке
∆ik =
(0; bik], если (1− σik)y0
k > 0,
(bik; 0), если (1− σik)y0
k < 0,
(3.2)
где bik =
∫ y0
k
Yk
dz
ϕik(z)
.
Для функций Φik и Φ−1
ik имеют место предельные соотношения
lim
s→Yk
Φik(s) =∞, lim
z→∞
Φ−1
ik (z) = Yk (при Bik = y0
k),
lim
s→Yk
Φik(s) = 0, lim
z→0
Φ−1
ik (z) = Yk (при Bik = Yk).
(3.3)
Кроме того, применяя правило Лопиталя, с учетом первого из предельных со-
отношений (1.5) получаем
lim
s→Yk
s∈ ∆k
Φik(s)
s
ϕik(s)
=
1
1− σik
, k = 0, 1. (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 929
Теорема 3.1. Пусть µ0 = ±∞ и для некоторого i ∈ M2 выполняются усло-
вия (2.1), (2.2), σi0 6= 1. Тогда для существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравне-
ния (1.1) необходимо и достаточно, чтобы
Y0 =
±∞, если lim
t↑ω
|Qi(t)|1−σi0 = +∞,
0, если lim
t↑ω
|Qi(t)|1−σi0 = 0,
Y1 =
±∞, если γπω(t) > 0,
0, если γπω(t) < 0,
(3.5)
при t ∈ (a, ω) выполнялись неравенства
αiQi(t)y
0
0 > 0, (1− σi0)Ii(t)Qi(t)y
0
0y
0
1 > 0, γ(1− σi0)πω(t)Ii(t) > 0
(3.6)
и имело место предельное соотношение
lim
t↑ω
(Ii(t))
2
pi(t)Qi(t)
= 1. (3.7)
Кроме того, каждое из таких решений допускает при t ↑ ω асимптотические
представления
y(t)
ϕi0(y(t))
= αi(1− σi0)2ϕ0
i1Qi(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
pi(t)
(1− σi0)Ii(t)
[1 + o(1)].
(3.8)
Доказательство теоремы 3.1. Необходимость. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 —
произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1). Тогда из леммы 2.1 следует
справедливость второго из условий (3.5). В силу выполнения условий i ∈M2, (2.1),
(2.2) из уравнения (1.1) с учетом леммы 2.2 следует, что
y′′(t) = αipi(t)ϕi0(y(t))ϕ0
i1[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.9)
Покажем, учитывая условие σi0 6= 1, что имеет место асимптотическое пред-
ставление
y′(t)
ϕi0(y(t))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.10)
Поскольку (
y′(t)
ϕi0(y(t))
)′
=
y′′(t)ϕi0(y(t))− y′(t)ϕ′i0(y(t))y′(t)
ϕ2
i0(y(t))
=
=
y′′(t)
ϕi0(y(t))
[
1− (y′(t))2
y′′(t)y(t)
y(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
]
,
в силу (1.5), (1.7) и (3.9) получаем(
y′(t)
ϕi0(y(t))
)′
= αiϕ
0
i1(1− σi0)pi(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.11)
Интегрируя это выражение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
930 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
y′(t)
ϕi0(y(t))
= ci + αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.12)
Если I0
i = t0, то справедливо (3.10). Покажем, что ci = 0 при I0
i = ω. Предположим
противное, тогда
y′(t)
ϕi0(y(t))
= ci + o(1) при t ↑ ω и в силу (3.9)
y′′(t)
y′(t)
= αiϕ
0
i1pi(t)
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)), находим
ln |y′(t)| = c+ αiϕ
0
i1Ii(t)
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
Здесь левая часть при t ↑ ω стремится к бесконечности, а правая — к константе.
Полученное противоречие доказывает справедливость (3.10) в случае, когда I0
i = ω.
Из (3.9) и (3.10) следует, что
y′′(t)
y′(t)
=
pi(t)
(1− σi0)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω
и, в силу определения Пω(Y0, Y1,±∞)-решения, имеет место третье из нера-
венств (3.6).
Применяя правило Лопиталя в форме Штольца, с учетом (1.5), (3.10) и условия
σi0 6= 1 находим
lim
t↑ω
y(t)
ϕi0(y(t))Qi(t)
= lim
t↑ω
(
y(t)
ϕi0(y(t))
)′
Q′i(t)
=
= lim
t↑ω
y′(t)
ϕi0(y(t))
[
1− y(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
]
Ii(t)
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2
или
y(t)
ϕi0(y(t))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.13)
Из этого соотношения следует справедливость первого из неравенств (3.6) и пер-
вого из асимптотических представлений (3.8).
В силу (3.10) и (3.13)
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.14)
что обеспечивает выполнение первого из условий (3.5) и второго из неравенств (3.6).
Кроме того, из (3.12) и (3.14) с учетом условия limt↑ω
y(t)y′′(t)
(y′(t))2
= 1 следу-
ет справедливость предельного соотношения (3.7) и второго из асимптотических
представлений (3.8).
Достаточность. Пусть выполняются условия (3.5) – (3.7). В силу (3.1) – (3.3),
а также (3.5) и (3.6) однозначно определяются значения Yk и промежутки ∆k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 931
∆ik, k = 0, 1. Установив Yk и ∆k, k = 0, 1, докажем существование хотя бы
одного Пω(Y0, Y1,±∞)-решения уравнения (1.1), которое допускает при t ↑ ω
асимптотическое представление (3.8). Для этого применим к уравнению (1.1) пре-
образование
Φi0(y(t)) = αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1(x)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + v2(x)],
(3.15)
где
x = β ln |Qi(t)|, β =
1, если Q0
i = a,
−1, если Q0
i = ω.
В силу первых из условий (3.5) и (3.6) можно выбрать t1 ∈ [t0, ω) так, что
3
2
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t) ⊂ ∆i0 при t ∈ [t1, ω). Тогда из первого соотношения (3.15) и
свойств функции Φi0 следует, что при t ∈ [t1, ω), |v1| ≤
1
2
имеет место равенство
y(t) = Yi(t, v1), в котором
Yi(t, v1) = Φ−1
i0
(
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1]
)
, (3.16)
где t — функция, обратная к x = β ln |Qi(t)|.
Для функции Yi в силу (3.1) – (3.4) имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1) = Y0 равномерно по v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
, (3.17)
Yi(t, v1) ⊂ ∆0 при t ∈ [t1, ω), |v1| ≤
1
2
. (3.18)
Кроме того, при каждом фиксированном значении v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
имеем
(Yi(t, v1))
′
t = ϕi0 (Yi(t, v1))αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + v1]. (3.19)
Тогда, применяя правило Лопиталя, находим
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))Qi(t)
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2[1 + v1]
или
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t)[1 + v1][1 + o(1)] (3.20)
при t ↑ ω и фиксированном v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
.
Из (3.19) и (3.20) получим
(
при любом фиксированном v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
])
пре-
дельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t) (Yi(t, v1))
′
t
Yi(t, v1)
= lim
t↑ω
πω(t)Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
. (3.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
932 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Введем также функцию
Y
[1]
i (t, v1, v2) =
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
Yi(t, v1)[1 + v2], (3.22)
определенную при t ∈ (t1, ω), |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2. Для нее имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)′
t
(Yi(t, v1))
′
t Y
[1]
i (t, v1, v2)
=
= lim
t↑ω
Yi(t, v1)
1 + v2
1− σi0
((
Ii(t)
Qi(t)
)′
Yi(t, v1) +
Ii(t)
Qi(t)
(Yi(t, v1))
′
t
)
(Yi(t, v1))
′
t
1 + v2
1− σi0
Ii(t)
Qi(t)
Yi(t, v1)
=
= 1 + lim
t↑ω
(
Ii(t)
Qi(t)
)′
αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t)[1 + v1]ϕi0 (Yi(t, v1))
Ii(t)
Qi(t)
αiϕ0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1]ϕi0 (Yi(t, v1))
=
= 1 + (1− σi0) lim
t↑ω
(
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
= 1. (3.23)
В силу (3.21) и (3.23)
lim
t↑ω
πω(t)
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)′
t
Y
[1]
i (t, v1, v2)
= lim
t↑ω
πω(t)Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
(3.24)
при фиксированных |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2.
Из (3.24) с учетом второго и третьего из неравенств (3.6), предельного соотно-
шения (3.7), (3.22) и монотонности функции Yi по переменой v1 получаем
lim
t↑ω
Y
[1]
i (t, v1, v2) = Y1 равномерно по vk ∈
[
−1
2
;
1
2
]
, k = 1, 2, (3.25)
Y
[1]
i (t, v1, v2) ⊂ ∆i1 при t ∈ [t2, ω), где t2 ∈ [t1, ω). (3.26)
В силу условий (1.3) – (1.5), (3.17), (3.18), (3.25), (3.26) следует, что равномерно по
|vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, имеют место пределы
lim
t↑ω
Yi(t, v1)ϕ′j0 (Yi(t, v1))
ϕj0 (Yi(t, v1))
= σj0, j = 1,m, (3.27)
lim
t↑ω
Y
[1]
i (t, v1, v2)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) = σj1, j = 1,m, (3.28)
причем если lim Y→Yk
Y ∈∆k
ϕjk = const 6= 0, то σjk = 0, k ∈ {0, 1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 933
Поскольку выполняются условия (3.17), (3.18), (3.21), (3.23) – (3.28), при фик-
сированных |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, функции Yi(t, v1) и Y [1]
i (t, v1, v2) обладают всеми
теми свойствами Пω(Y0, Y1,±∞)-решений, которые использовались при доказа-
тельстве леммы 2.2 и, следовательно,
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
pi(t)ϕi0 (Yi(t, v1))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) = 0, j ∈M \ {i}. (3.29)
Так как
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
′
v1
=
=
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
αiϕ
0
i1(1− σi0)
Yi(t, v1)
×
×Qi(t)
[
Yi(t, v1)ϕ′j0 (Yi(t, v1))
ϕj0 (Yi(t, v1))
+
+
Y
[1]
i (t, v1, v2)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) − Yi(t, v1)ϕ′i0 (Yi(t, v1))
ϕi0 (Yi(t, v1))
]
и выполняются условия (2.2), (3.27), (3.28), существует t3 ∈ [t2, ω) такое, что при
t ∈ [t3, ω) и |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, правая часть сохраняет знак. Следовательно,
отношение
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj0
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
изменяется монотонно по v1 при t ∈
[t3, ω), |v2| ≤
1
2
. Учитывая этот факт, нетрудно показать, что предельное соот-
ношение (3.29) выполняется равномерно по v1, v2. Рассуждая таким же образом и
учитывая (3.20), имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))Qi(t)[1 + v1]
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2 (3.30)
равномерно по v1.
В результате преобразования (3.15) получим заданную на множестве
Ω = [x0; +∞)×D, x0 = β ln |Qi(t3)|,
D =
{
(v1, v2) : |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2
}
систему дифференциальных уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
934 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
v′1 = β
[
−[1 + v1] +
αiYi(t, v1)
ϕ0
i1(1− σi0)2Qi(t)ϕi0(Yi(t, v1))
[1 + v2]
]
,
v′2 = β
[
−
(
I ′i(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
[1 + v2]− 1
1− σi0
[1 + v2]2+
(3.31)
+
(1− σi0)Q2
i (t)
I2
i (t)Yi(t, v1)
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]pj(t)ϕj0(Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
),
в которой t — функция, обратная к x = β ln |Qi(t)|.
На множестве Ω функции
Yi(t, v1)
ϕi0(Yi(t, v1))
и
ϕj0(Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
Yi(t, v1)
яв-
ляются непрерывными и дважды непрерывно дифференцируемыми по переменным
v1 и v2. Разложим эти функции при каждом фиксированном t по формуле Тейлора
с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки (0, 0) с целью выде-
ления линейных частей. С учетом этих разложений и (3.16) – (3.30) система (3.31)
принимает вид
v′1 = β[f1(x) + c11(x)v1 + c12(x)v2 + V1(x, v1, v2)],
v′2 = β[f2(x) + c21(x)v1 + c22(x)v2 + V2(x, v1, v2)],
(3.32)
где
f1(x) = −1 +
αi
ϕ0
i1(1− σi0)
Yi(t, 0)
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
,
c11 = −1 +
αi
ϕi1(1− σi0)2Qi(t)
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)
[
1− Yi(t, 0)ϕ′i0(Yi(t, 0))
ϕi0(Yi(t, 0))
]
,
c12(x) =
αi
ϕ0
i1(1− σi0)2Qi(t)
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)
[
1− Yi(t, 0)ϕ′i0(Yi(t, 0))
ϕi0(Yi(t, 0))
]
,
f2(x) = −I
′
i(t)Qi(t)
I2
i (t)
+ 1− 1
1− σi0
+ (1− σi0)×
×
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ×
×ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
,
c21(x) = αiϕ
0
i1(1− σi0)2×
×
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ×
×
(
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
)2
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 935
×
[
Yi(t, 0)ϕ′j0(Yi(t, 0))
ϕj0(Yi(t, 0))
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
+
+
Y
[1]
i (t, 0, 0)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) − ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)]
,
c22(x) = −
(
I ′i(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
− 2
1− σi0
+
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
(1− σi0)
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]×
×
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
×
×
Y
[1]
i (t, 0, 0)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ,
а функции V1(x, v1, v2) и V2(x, v1, v2) таковы, что lim|v1|+|v2|→0
Vk(x, v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0,
k = 1, 2, равномерно по x ∈ [x0; +∞).
Кроме того, принимая во внимание условия (3.1) – (3.4), (3.16) – (3.30), а также
замену независимой переменной, получаем
lim
x→+∞
fk(x) = 0, k = 1, 2, lim
x→+∞
c11(x) = 0,
lim
x→+∞
c12(x) = 1, lim
x→+∞
c21(x) =
−1
1− σi0
, lim
x→+∞
c22(x) =
−2
1− σi0
.
Следовательно, система (3.32) является квазилинейной системой дифференци-
альных уравнений с почти постоянными коэффициентами. Записав характеристи-
ческое уравнение для предельной матрицы коэффициентов линейной части этой
системы ∣∣∣∣∣∣∣
−λ β
− β
1− σi0
−2β
1− σi0
− λ
∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
получим
λ2 +
2β
1− σi0
λ+
1
1− σi0
= 0.
У этого уравнения нет корней с нулевой действительной частью. Таким образом,
для системы дифференциальных уравнений (3.32) выполняются все условия тео-
ремы 2.1 работы [5]. На основании этой теоремы система (3.32) имеет хотя бы
одно решение (vk)2
k=1 : [x1,+∞) → R2, где x1 ≥ x0, которое стремится к нулю
при x → +∞. Этому решению, с учетом преобразования (3.15), соответствует
решение y(t) уравнения (1.1), которое вместе со своей производной допускают
асимптотические представления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
936 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Φi0(y(t)) = αi(1− σi0)ϕ0
i1Qi(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Из этих соотношений, с учетом (3.4) и (3.7), следует справедливость асимптотиче-
ских представлений (3.8). Используя эти представления, а также условия (2.1), (2.2),
σi0 6= 1, (3.7), (3.6), нетрудно показать, что y(t) имеет все свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-
решения.
Теорема 3.2. Пусть µ0 = ±∞ и для некоторого i ∈ M3 выполняются усло-
вия (2.1), (2.2), σi1 6= 1. Тогда для существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравне-
ния (1.1) необходимо и достаточно, чтобы
Y1 =
±∞, если lim
t↑ω
|Ii(t)|1−σi1 = +∞,
0, если lim
t↑ω
|Ii(t)|1−σi1 = 0,
Y0 =
±∞, если γπω(t) > 0,
0, если γπω(t) < 0,
(3.33)
при t ∈ (a, ω) выполнялись неравенства
αi(1− σi1)Ii(t)y
0
1 > 0, (1− σi1)Ii(t)Qi(t)y
0
0y
0
1 > 0, γ(1− σi1)πω(t)Ii(t) > 0
(3.34)
и имело место предельное соотношение
lim
t↑ω
(Ii(t))
2
pi(t)Qi(t)
= 1. (3.35)
Кроме того, каждое из таких решений допускает при t ↑ ω асимптотические
представления
y′(t)
ϕi1(y′(t))
= αi(1− σi1)ϕ0
i0Ii(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
pi(t)
(1− σi1)Ii(t)
[1 + o(1)].
(3.36)
Доказательство теоремы 3.2. Необходимость. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 —
произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1). Тогда из леммы 2.1 следу-
ет справедливость второго из условий (3.33). В силу выполнения условий i ∈M3,
(2.1), (2.2) из леммы 2.2 следует, что
y′′(t) = αipi(t)ϕ
0
i0ϕi1(y′(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.37)
Применив правило Лопиталя, с учетом (1.5) и σi1 6= 1 получим
lim
t↑ω
y′(t)
Ii(t)ϕi1(y′(t))
= αi(1− σi1)ϕ0
i0, (3.38)
или
y′(t) = αi(1− σi1)ϕ0
i0Ii1(t)ϕi1(y′(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.39)
Из (3.39) следует справедливость первого из неравенств (3.34) и первого из асимп-
тотических представлений (3.36). Дифференцируя выражение
y(t)
ϕi1(y′(t))
, с учетом
(1.5), (1.7) и (3.39) получаем соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 937
(
y(t)
ϕi1(y′(t))
)′
= αi(1− σi1)2ϕ0
i0Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Исследуя его таким же образом, как и соотношение (3.10), имеем
y(t)
ϕi1(y′(t))
= αi[1− σi1]2ϕ0
i0Qi(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.40)
Отсюда с учетом (3.38) получаем
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi1)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.41)
что подтверждает справедливость второго из неравенств (3.34). Кроме того, из
(3.37) и (3.39) получим асимптотическое представление
y′′(t)
y′(t)
=
pi(t)
(1− σi1)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.42)
Тогда, во-первых, справедливо первое из условий (3.33), во-вторых, с учетом (1.7)
выполняется третье из неравенств (3.34), а в-третьих, принимая во внимание (3.41)
и (1.7), получаем предельное соотношение (3.35) и, следовательно, второе из асимп-
тотических представлений (3.36).
Достаточность. Применяя к уравнению (1.1) преобразование
Φi1(y′(t)) = αiϕ
0
i0Ii(t)[1 + v2(x)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi1)Qi(t)
[1 + v1(x)],
где
x = β ln |Ii(t)|, β =
1, если I0
i = a,
−1, если I0
i = ω,
получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 = β
[
−
(
1− I2
i (t)
Qi(t)I
′
i(t)
)
[1 + v1]− 1
1− σi1
I2
i (t)
Qi(t)I
′
i(t)
[1 + v1]2+
+
Ii(t)[1 + v1]
I ′i(t)Y
[1]
i (t, v2)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
),
(3.43)
v′2 = β
[
− [1 + v2] +
1
αiϕ0
i0I
′
i(t)ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)×
×
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)]
,
где
Y
[1]
i (t, v2) = Φ−1
i1
(
αiϕ
0
i0Ii(t)[1 + v2(x)]
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
938 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Yi(t, v1, v2) =
(1− σi1)Qi(t)
Ii(t)[1 + v1(x)]
Y
[1]
i (t, v2(x)),
t — функция, обратная к x = β ln |Ii(t)|.
По аналогии с доказательством теоремы 3.1, раскладывая функции
ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)
Y
[1]
i (t, v2)
и
ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v2)
) при каждом
фиксированном t по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа в
окрестности точки (0, 0) ∈ D с целью выделения линейных частей, приводим
систему (3.43) к системе вида (3.32), которая в силу условий теоремы и свойств
функций Yi, Y
[1]
i является квазилинейной системой с почти постоянными коэффи-
циентами. Характеристическое уравнение для предельной матрицы коэффициентов
линейной части этой системы имеет вид
λ2 + β
2− σi1
1− σi1
λ+
1
1− σi1
= 0.
Поскольку оно не имеет корней с нулевой действительной частью, а также выпол-
няются другие условия теоремы 2.1 работы [5], система (3.43) имеет решение
(vk)2
k=1 : [x1,+∞) → R2, где x1 ≥ x0, которое стремится к нулю при x → +∞.
Этому решению соответствует решение y(t) уравнения (1.1), которое допускает при
t ↑ ω асимптотические представления (3.36). Используя эти представления и усло-
вия (3.34), (3.35), нетрудно показать, что y(t) имеет все свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-
решения.
4. Выводы. В настоящей работе для каждого i ∈M\M4 получены условия, при
выполнении которых на любом Пω(Y0, Y1,±∞)-решении уравнения (1.1) правая
его часть асимптотически эквивалентна i-му слагаемому. При этих условиях в
случае i ∈ M2+k, k ∈ {0, 1}, M2+k 6= ∅, приведены необходимые и достаточ-
ные признаки существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравнения (1.1), а также
асимптотические представления таких решений при t ↑ ω.
1. Козьма А. А. Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка // Нелiнiйнi коливання. – 2006, – 9, № 4. – С. 490 –
501.
2. Козьма О. О. Асимптотичне поводження розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 374. – С. 55 – 65.
3. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существен-
но нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 3. – С. 338 – 355.
4. Касьянова В. А. Асимптотичнi зображення зникаючих розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцi-
альних рiвнянь другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 228. –
С. 5 – 19.
5. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем
квазилинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 4. –
С. 433 – 444.
Получено 28.01.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2775 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/85e67f5acfe67bcaf3022d8f66f26dcc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27752020-03-18T19:36:24Z Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Evtukhov, V. M. Koz'ma, A. A. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden - Fowler type. Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2775 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 7 (2011); 924-938 Український математичний журнал; Том 63 № 7 (2011); 924-938 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2775/2305 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2775/2306 Copyright (c) 2011 Evtukhov V. M.; Koz'ma A. A. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Koz'ma, A. A. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. Евтухов, В. М. Козьма, А. А. Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_alt | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_fullStr | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_full_unstemmed | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_short | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_sort | existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2775 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT koz039maaa existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT evtuhovvm existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT kozʹmaaa existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT evtuhovvm existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT kozʹmaaa existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT evtukhovvm priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT koz039maaa priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT evtuhovvm priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT kozʹmaaa priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT evtuhovvm priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT kozʹmaaa priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |