Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of $(\psi, \beta)$-differentiable periodic functions in the uniform metric.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2776 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508747408867328 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:24Z |
| description | Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of $(\psi, \beta)$-differentiable periodic functions in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. М. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψ
β,∞
БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the
classes of (ψ, β)-differentiable periodic functions in the uniform metric.
Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов
Пуассона на классах (ψ, β)-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике.
1. Постановка задачi та допомiжнi твердження. Нехай L1 — простiр сумовних на
(0, 2π) 2π-перiодичних функцiй f(t) з нормою ‖f‖L1
= ‖f‖1 =
∫ π
−π
|f(t)|dt; L∞
— простiр вимiрних i iстотно обмежених 2π-перiодичних функцiй f(t) з нормою
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; C — простiр неперервних 2π-перiодичних функцiй f(t) з
нормою ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Для кожної функцiї f ∈ L1 розглянемо функцiю
B(ρ; f ;x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
(
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(1− ρ2)
]
ρk cos kt
)
dt, 0 ≤ ρ < 1,
що є розв’язком (див., наприклад, [1, c. 248]) бiгармонiчного рiвняння
∆2B = 0,
∆2B = ∆(∆B), ∆ =
1
ρ2
∂2
∂x2
+
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
.
Бiгармонiчну функцiю B(ρ; f ;x), поклавши ρ = e−1/δ, будемо позначати через
Bδ = Bδ(f ;x), δ > 0, i називати бiгармонiчним iнтегралом Пуассона. В роботi ви-
вчаються апроксимативнi властивостi бiгармонiчного iнтеграла Пуассона на класi
(ψ, β)-диференцiйовних неперервних функцiй.
Нехай f ∈ C, а ak та bk — її коефiцiєнти Фур’є. Якщо послiдовнiсть дiйсних
чисел ψ(k), k ∈ N, i фiксоване дiйсне число β є такими, що ряд
∞∑
k=1
1
ψ (k)
(
ak cos
(
kx+
πβ
2
)
+ bk sin
(
kx+
πβ
2
))
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L1, то ϕ(·) називають (ψ, β)-похiдною функцiї
f(·) у розумiннi О. I. Степанця [2 – 4] i позначають через fψβ (·). При цьому кажуть,
що функцiя f(·) належить множинi Cψβ . Якщо f ∈ Cψβ i fψβ ∈ N, N ⊆ L1, то
кажуть, що f ∈ CψβN. Далi, коли N збiгається з одиничною кулею простору L∞,
тобто N = {fψβ ∈ L∞ : ess sup
t
|fψβ (t)| ≤ 1}, класи CψβN позначають через Cψβ,∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψβ,∞ збiгаються з класами W r
β,∞, якi були введенi в
[5], i fψβ = f
(r)
β — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя. Якщо, крiм цього, β = r,
r ∈ N, то fψβ є похiдною порядка r функцiї f i тодi класи Cψβ,∞ є вiдомими класами
c© К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7 939
940 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Соболєва W r
∞. У випадку β = r + 1, r ∈ N, класи W r
β,∞ збiгаються з класами
спряжених функцiй W
r
∞.
Послiдовностi ψ(k), k ∈ N,що визначають класи Cψβ,∞, зручно вважати звужен-
ням на множину натуральних чисел N деяких функцiй ψ(t) неперервного аргументу
t ≥ 1, що належать множинi M:
M :=
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Услiд за О. I. Степанцем (див., наприклад, [3, c. 93] або [4, c. 160]) кожнiй функцiї
ψ ∈M поставимо у вiдповiднiсть характеристики
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1 (ψ(t)/2) , µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
, (1)
де ψ−1− функцiя, обернена до ψ. Iз множини M, використовуючи функцiю µ(ψ; t),
будемо видiляти пiдмножини M0, MC i M∞ вигляду
M0 = {ψ ∈M : 0 < µ (ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1} ,
MC = {ψ ∈M : 0 < K1 ≤ µ (ψ; t) ≤ K2 <∞ ∀t ≥ 1} ,
M∞ = {ψ ∈M : 0 < K ≤ µ (ψ; t) <∞ ∀t ≥ 1} ,
де константи K, K1, K2, взагалi кажучи, в рiзних спiввiдношеннях рiзнi й можуть
залежати вiд ψ.
Задачу про вiдшукання асимптотичних рiвностей при δ →∞ для величини
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
‖f(·)−Bδ(f ; ·)‖C (2)
услiд за О. I. Степанцем [4, с. 198], називатимемо задачею Колмогорова – Нiколь-
ського для класу Cψβ,∞ та бiгармонiчного iнтеграла Пуассона в рiвномiрнiй метрицi.
Зазначимо, що розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського на класi W r
∞ знай-
дено C. Канiєвим [6] та П. Пих [7]. Крiм того, C. Канiєв показав [8], що величини
E (W r
∞;Bδ)C та E (W r
1 ;Bδ)1 (W r
1 — множина 2π-перiодичних функцiй, для яких
‖f (r) (t) ‖1 ≤ 1) рiвнi, тобто оцiнки, отриманi для рiвномiрної метрики, є справед-
ливими i для iнтегральної. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв
Пуассона на класах диференцiйовних функцiй дослiджувались також Л. П. Фала-
лєєвим [9], авторами [10,11], В. П. Заставним [12] та iншими математиками.
Метою даної роботи є вивчення питання про апроксимативнi властивостi бi-
гармонiчних iнтегралiв Пуассона з точки зору задачi Колмогорова – Нiкольського
на класах Cψβ,∞ 2π-перiодичних неперервних функцiй f(·) у випадках, коли цi
класи охоплюють гладкi та нескiнченно диференцiйовнi функцiї, тобто у випадках
ψ ∈MC та ψ ∈M∞.
Для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона покладемо
τ(u) = τδ(u;ψ) =
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 941
де γ = γ(δ) =
δ
2
(1 − e−2/δ), ψ(·) — визначена та неперервна при u ≥ 1 функ-
цiя. Повторивши мiркування, наведенi в роботi О. I. Степанця [4, c. 183], можна
показати, що коли перетворення Фур’є
τ̂(t) = τ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (4)
функцiї τ(·), що задана за допомогою спiввiдношення (3), є сумовним на всiй
числовiй осi, тобто є збiжним iнтеграл
A(τ) =
∞∫
−∞
|τ̂δ(t)| dt, (5)
то для будь-якого f ∈ Cψβ,∞ в кожнiй точцi x ∈ R має мiсце рiвнiсть
f(x)−Bδ(f ;x) = ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂δ(t)dt, δ > 0. (6)
Тодi, врахувавши iнтегральне зображення (6), величину (2) запишемо у виглядi
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
. (7)
2. Асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилень бiгармонiчних iнте-
гралiв Пуассона вiд функцiй iз класiв Cψβ,∞. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай ψ належить MC , функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла донизу
на
[
b,∞
)
, b ≥ 1, i
∞∫
1
g(u)
u
du <∞. (8)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+
+O
1
δ3
δ∫
1
t2ψ(t)dt+
1
δ2
∞∫
δ
tψ(t)dt
, (9)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) при β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
,
ψ(t) =
1
t2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
942 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Доведення. Подамо функцiю τ(u), задану за допомогою спiввiдношення (3), як
суму таких функцiй ϕ(u) та ν(u):
ϕ(u) =
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u < 1
δ
,(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(10)
ν(u) =
(
1− [1 + γu] e−u − u2
2
− u
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,(
1− [1 + γu] e−u − u2
2
− u
δ
)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
.
(11)
Через ϕ̂(·) та ν̂(·) позначимо перетворення Фур’є функцiй ϕ та ν вiдповiдно:
ϕ̂(t) = ϕ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (12)
ν̂(t) = ν̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (13)
Далi, використавши теорему 1 з роботи Л. I. Баусова [13], покажемо, що перетво-
рення Фур’є ϕ̂(·) та ν̂(·) є сумовними на всiй числовiй осi.
Щоб переконатися у сумовностi перетворення Фур’є ϕ̂(·) на всiй числовiй осi,
потрiбно показати збiжнiсть iнтеграла
A(ϕ) =
∞∫
−∞
|ϕ̂δ(t)| dt, (14)
а для цього, в свою чергу, згiдно з теоремою 1 роботи Л. I. Баусова [13, с. 24],
досить показати збiжнiсть iнтегралiв
1/2∫
0
u|dϕ′(u)|,
∞∫
1/2
|u− 1||dϕ′(u)|,
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du,
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du.
Iз (10) випливає, що dϕ′(u) =
ψ(1)
ψ(δ)
du, u ∈
[
0,
1
δ
)
. Тому
1/δ∫
0
u|dϕ′(u)| = ψ(1)
2δ2ψ(δ)
. (15)
Врахувавши, що
∫ 1/2
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤
∫ ∞
1/δ
u|dϕ′(u)| i
∫ ∞
1/2
|u − 1||dϕ′(u)| ≤
≤
∫ ∞
1/δ
u|dϕ′(u)|, знайдемо оцiнку iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 943
∞∫
1/δ
u|dϕ′(u)| (16)
на кожному iз промiжкiв
[
1
δ
,
b
δ
)
та
[
b
δ
,∞
)
(при δ > 2b).
Iз спiввiдношення (10) при u ≥ 1
δ
маємо
dϕ′(u) =
(
ψ(δu) + 2
(
u+
1
δ
)
δψ′(δu) +
(
u2
2
+
u
δ
)
δ2ψ′′(δu)
)
du
ψ(δ)
. (17)
Беручи до уваги (17) i враховуючи, що функцiя ψ(u) є опуклою донизу та спадною
при u ≥ 1, отримуємо
b/δ∫
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u3
2
+
u2
δ
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2 +
u
δ
)
δ|ψ′(δu)|du+
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du. (18)
Оскiльки ψ(δu) ≤ ψ(1) при u ∈
[
1
δ
,
b
δ
)
, то
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du ≤ ψ(1)
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
udu =
K
δ2ψ(δ)
.
Тодi, виконавши iнтегрування частинами у першому та другому iнтегралах з правої
частини нерiвностi (18), знайдемо
b/δ∫
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤ K1
δ2ψ(δ)
. (19)
Для оцiнки iнтеграла (16) на промiжку
[
b
δ
,∞
)
використаємо спiввiдношення
lim
u→∞
u2ψ(u) = 0, (20)
lim
u→∞
u3ψ′(u) = 0. (21)
Покажемо їх справедливiсть. Дiйсно, оскiльки функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла
донизу при u ≥ b ≥ 1, то можливi такi випадки: або limu→∞g(u) = 0, або
limu→∞ g(u) = K > 0, або limu→∞ g(u) =∞.
Нехай limu→∞ g(u) = K > 0, тодi знайдеться таке 0 < K1 < K, що для всiх
u ≥ 1 буде g(u) > K1, а отже, ψ(u) >
K1
u2
. А це суперечить тому, що функцiя
uψ(u), згiдно з умовою (8), є сумовною на [1,∞) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
944 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Нехай тепер limu→∞ g(u) =∞, тобто для довiльного M > 0 iснує таке N > 0,
що для всiх u > N буде виконуватись g(u) > M. Тодi
x∫
1
uψ(u)du =
N∫
1
uψ(u)du+
x∫
N
g(u)
u
du > K2 +
x∫
N
M
u
du = K2 +M(lnx− lnN).
I знову прийшли до суперечностi з умовою сумовностi функцiї uψ(u) на промiжку
[1,∞) . З огляду на вищесказане, робимо висновок про iстиннiсть спiввiдношення
(20).
Доведемо тепер (21). Функцiя g′(u) є сумовною на [1,∞) , тодi
limu→∞
∫ u
u/2
g′(x)dx = 0. Оскiльки при u ≥ b ≥ 1 функцiя g(u) опукла дони-
зу, то функцiя (−g′(u)) при u ≥ b не зростає i тому
−
u∫
u/2
g′(x)dx > −
(
u− u
2
) (
2uψ(u) + u2ψ′(u)
)
= −1
2
(
2u2ψ(u) + u3ψ′(u)
)
.
Звiдси i з (20) випливає справедливiсть (21).
Враховуючи (17), для довiльної функцiї ψ(·) ∈M отримуємо
∞∫
b/δ
u|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
b/δ
(
u3
2
+
u2
δ
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
∞∫
b/δ
(
u2 +
u
δ
)
δ|ψ′(δu)|du+
1
ψ(δ)
∞∫
b/δ
uψ(δu)du. (22)
Зiнтегрувавши частинами перший та другий iнтеграли iз правої частини нерiвностi
(22) та взявши до уваги (20), (21) i (8), знайдемо
∞∫
b/δ
u|dϕ′(u)| ≤ K2
δ2ψ(δ)
. (23)
Отже, з спiввiдношень (15), (19) та (23) випливає, що при δ →∞
1/2∫
0
u|dϕ′(u)| = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
,
∞∫
1/2
|u− 1||dϕ′(u)| = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
. (24)
Враховуючи (10) та (8), отримуємо
∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
u
2
+
1
δ
)
du+
1
ψ(δ)
∞∫
1/δ
(
u
2
+
1
δ
)
ψ(δu)du ≤ K
δ2ψ(δ)
.
I, нарештi, переходимо до оцiнки iнтеграла
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du =
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 945
+
1∫
1−1/δ
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du. (25)
Подамо формулу (10) у виглядi
ϕ(u) =
(1− λδ,1(u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− λδ,1(u))
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(26)
де λδ,1(u) = 1− u2
2
− u
δ
. Iз спiввiдношення (26) знайдемо
ϕ(1− u) =
(1− λδ,1(1− u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 1− 1
δ
≤ u ≤ 1,
(1− λδ,1(1− u))
ψ(δ(1− u))
ψ(δ)
, u ≤ 1− 1
δ
,
(27)
ϕ(1 + u) =
(1− λδ,1(1 + u))
ψ(1)
ψ(δ)
, −1 ≤ u ≤ 1
δ
− 1,
(1− λδ,1(1 + u))
ψ(δ(1 + u))
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
− 1.
(28)
Оцiнимо спочатку перший доданок iз правої частини (25), додаючи та вiднiмаючи
пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину λδ,1(1 − u) − λδ,1(1 + u).
Отримаємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du ≤
1−1/δ∫
0
|λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du+
+
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du. (29)
Для першого iнтеграла з правої частини нерiвностi (29), як неважко переконатися,
є справедливою оцiнка
1−1/δ∫
0
|λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du = O(1). (30)
Оскiльки мають мiсце спiввiдношення (27) i (28), то при u ∈
[
0, 1− 1
δ
]
λδ,1(1− u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
ϕ(1− u), λδ,1(1 + u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
ϕ(1 + u).
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
946 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + (λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u))|
u
du ≤
≤
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
1−1/δ∫
0
|ϕ(1 + u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu .
(31)
Функцiя ϕ(·) задовольняє умови леми 2 з роботи [13], а тому
|ϕ(u)| ≤ |ϕ(0)|+ |ϕ(1)|+
1/2∫
0
u |dϕ′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1| |dϕ′(u)| := H(ϕ).
З огляду на це маємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + (λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u))|
u
du =
= H(ϕ)O
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du+
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (32)
Беручи до уваги формулу (10) та оцiнки (24), отримуємо
H(ϕ) = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
)
, δ →∞. (33)
Для iнтегралiв з правої частини (32) у випадку ψ ∈MC , як неважко переконатися,
при δ →∞ мають мiсце такi оцiнки:
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du = O(1),
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du = O(1).
Звiдси, поєднуючи спiввiдношення (29) – (33) та враховуючи (20), отримуємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
.
Дотримуючись аналогiчної схеми мiркувань, неважко переконатися в тому, що для
другого доданка з правої частини (25) має мiсце така сама оцiнка, а тому
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)| du
u
= O
(
1
δ2ψ(δ)
)
, δ →∞.
Отже, за теоремою 1 з роботи [13] iнтеграл (14) є збiжним.
Сумовнiсть на всiй дiйснiй осi перетворення ν̂(t) вигляду (13) випливає iз збiж-
ностi iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 947
A(ν) =
∞∫
−∞
|ν̂δ(t)| dt. (34)
Для того щоб iнтеграл A(ν) був збiжним, необхiдно i достатньо (див. теорему 1
[13, с. 24]), щоб збiгалися iнтеграли
1/2∫
0
u|dν′(u)|,
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)|, (35)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|ν(u)|
u
du,
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)|
u
du, (36)
де ν(u) — визначена та неперервна при всiх u ≥ 0 функцiя, задана спiввiдношен-
ням (11).
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з (35) на кожному з промiжкiв:
[
0,
1
δ
]
,[
1
δ
,
b
δ
]
та
[
b
δ
,
1
2
]
, δ > 2b. Позначимо
ν(u) := 1− e−u − γue−u − u2
2
− u
δ
. (37)
За допомогою (37) функцiю ν(u) вигляду (11) на промiжку
[
0,
1
δ
]
можна зобразити
так: ν(u) = ν(u)
ψ(1)
ψ(δ)
. Iз спiввiдношення (37) маємо
ν′(u) = e−u − γe−u + γue−u − u− 1
δ
,
ν′′(u) = −e−u + 2γe−u − γue−u − 1,
ν(0) = 0, ν′(0) = 1− γ − 1
δ
< 0.
Звiдси i з того, що
−1 + 2γ − γu < eu, u ∈ [0,∞),
випливають нерiвностi
ν(u) ≤ 0, ν′(u) < 0, ν′′(u) < 0, u ≥ 0. (38)
Отже, для функцiї ν(·), заданої формулою (11), беручи до уваги (37) та третю
нерiвнiсть з (38), отримуємо
ν′′(u) = ν′′(u)
ψ(1)
ψ(δ)
< 0, u ∈
[
0,
1
δ
]
. (39)
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
948 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1/δ∫
0
u |dν′(u)| =−
1/δ∫
0
udν′(u) = ν
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
− 1
δ
ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
.
Враховуючи спiввiдношення
|ν(u)| < 2
3δ2
u+
1
δ
u2 +
u3
2
, |ν′(u)| < 2
3δ2
+
2
δ
u+
3
2
u2, u ≥ 0, (40)
знаходимо
1/δ∫
0
u |dν′(u)| = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (41)
Оцiнимо перший iнтеграл iз (35) на промiжку
[
1
δ
,
b
δ
]
, δ > 2b. Беручи до уваги
рiвнiсть
ν′′(u) = ν′′(u)
ψ(δu)
ψ(δ)
+ 2δν′(u)
ψ′(δu)
ψ(δ)
+ δ2ν(u)
ψ′′(δu)
ψ(δ)
, (42)
маємо
b/δ∫
1/δ
u |dν′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν′′(u)|ψ(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν′(u)||ψ′(δu)|du+
+
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν(u)|ψ′′(δu)du.
Знову враховуючи нерiвностi (40) та оцiнку |ν′′(u)| < 2
δ
+ 3u, u ≥ 0, а також
iнтегруючи частинами, знаходимо
b/δ∫
1/δ
u |dν′(u)| ≤ K2
δ3ψ(δ)
. (43)
Далi покажемо, що у випадку опуклостi донизу функцiї u2ψ(u) при u ≥ b, b ≥ 1,
виконується нерiвнiсть
dν′(u) ≤ 0, u ≥ b/δ. (44)
Дослiдимо функцiю
ν̃(u) =
1
u2
− e−u
u2
− γ e
−u
u
− 1
2
− 1
uδ
.
Маємо
ν̃(u) =
ν(u)
u2
, γ > 1− 1
δ
,
ν̃′(u) = − 2
u3
+
2e−u
u3
+
e−u
u2
+ γ
e−u
u2
+ γ
e−u
u
+
1
u2δ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 949
=
1
u3
(
−2 + 2e−u + (1 + γ)ue−u + γu2e−u +
u
δ
)
,
ν̃′′(u) =
6
u4
− 6e−u
u4
− 4e−u
u3
− e−u
u2
− γ 2e−u
u3
− 2γ
e−u
u2
− γ e
−u
u
− 2
u3δ
=
=
1
u4
(
6− 6e−u − (4 + 2γ)ue−u − (1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u − 2u
δ
)
.
Тодi, враховуючи нерiвнiсть e−u ≥ 1− u, одержуємо
ν̃(u) < 0,
ν̃′(u) >
1
u3
(
−2 + 2− 2u+
(
1 + 1− 1
δ
)(
u− u2
)
+
+γu2e−u +
u
δ
)
=
1
u3
(
u2
δ
+ γu2e−u
)
> 0,
ν̃′′(u) <
1
u4
(
6− 6 + 6u−
(
4 + 2− 2
δ
)(
u− u2
)
−
−(1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u − 2u
δ
)
=
=
1
u4
(
−2u2
δ
− (1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u
)
< 0.
I оскiльки при u ≥ b, b ≥ 1, виконується g(u) > 0, g′(u) < 0, g′′(u) > 0, то при
u ≥ b
δ
ν′′(u) =
(
1
δ2
ν̃(u)g(δu)
)′′
=
1
δ2
ν̃′′(u)g(δu) +
2
δ
ν̃′(u)g′(δu) + ν̃(u)g′′(δu) < 0.
Далi скористаємося такими твердженнями.
Твердження 1 [4, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить MC тодi i лише тодi,
коли величина α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+0), задовольняє умову 0 < K1 ≤ α(t) ≤
≤ K2 ∀t ≥ 1.
Твердження 2 [4, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈M належала M0, необ-
хiдно i достатньо, щоб для довiльного фiксованого числа c > 1 iснувала стала K
така, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалась нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K.
Беручи до уваги (44), (40), а також твердження 1 та 2, для функцiй ψ(·) з класу
MC одержуємо
1/2∫
b/δ
u |dν′(u)| = −
1/2∫
b/δ
udν′(u) = −1
2
ν′
(
1
2
)
+
b
δ
ν′
(
b
δ
)
+ ν
(
1
2
)
− ν
(
b
δ
)
≤
≤ K1 +
K2
δ3ψ(δ)
. (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
950 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Об’єднання формул (41), (43) та (45) дозволяє записати оцiнку
1/2∫
0
u|dν′(u)| = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
. (46)
Враховуючи спiввiдношення (20), (21), твердження 1 та 2, неважко переконатися в
тому, що для другого iнтеграла з (35) при δ →∞ має мiсце оцiнка
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)| = O(1). (47)
Перший iнтеграл iз (36) оцiнимо на кожному з промiжкiв:
[
0,
1
δ
]
,
[
1
δ
, 1
]
i
[
1
δ
,∞
)
.
Звертаючи увагу на першу нерiвнiсть з (38), робимо висновок, що ν(u) ≤ 0 при[
0,
1
δ
]
. Тому, використовуючи нерiвнiсть
e−u ≤ 1− u+
u2
2
, u ≥ 0, (48)
знаходимо
1/δ∫
0
|ν(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
−1 + e−u + γue−u +
u2
2
+
u
δ
)
du
u
≤
≤ ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
((
−1 + γ +
1
δ
)
+ (1− γ)u+
γ
2
u2
)
du.
З останнього спiввiдношення внаслiдок нерiвностей
γ < 1, 1− γ < 1
δ
, (49)
−1 + γ +
1
δ
<
2
3δ2
(50)
маємо
1/δ∫
0
|ν(u)|
u
du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (51)
Знову беручи до уваги нерiвностi (48) – (50), отримуємо
1∫
1/δ
|ν(u)|
u
du ≤
1∫
1/δ
ψ(δu)
ψ(δ)
(
1
δ
+ γ − 1 + (1− γ)u+
γ
2
u2
)
du ≤
≤ K1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du+
K2
δ3ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du+
K3
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 951
= O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du
, δ →∞, (52)
∞∫
1
|ν(u)|
u
du =
1
ψ(δ)
∞∫
1
ψ(δu)
(
e−u − 1
u
+ γe−u +
u
2
+
1
δ
)
du ≤
≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
ψ(δu)
(
−1 +
u
2
+ γ +
u
2
+
1
δ
)
du = O
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
. (53)
Об’єднуючи (51) – (53) i враховуючи, що
∫ δ
1
u2ψ(u)du≥K, для першого iнтеграла
з (36) запишемо оцiнку
∞∫
0
|ν(u)|
u
du = O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
. (54)
Оцiнимо другий iнтеграл з (36), розглядаючи його на промiжках [0, 1− 1/δ] ,
[1− 1/δ, 1] . Введемо позначення
λδ,2(u) = [1 + γu] e−u +
u2
2
+
u
δ
,
з допомогою якого функцiю ν(·) вигляду (11) подамо у формi типу (26). Далi для
функцiї ν(·) проведемо аналогiчнi до крокiв (27) – (32) мiркування i переконаємося
в тому, що
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)| du
u
=
1∫
0
|λδ,2(1− u)− λδ,2(1 + u)| du
u
+O (H(ν)) , (55)
де
H(ν) := |ν(0)|+ |ν(1)|+
1/2∫
0
u|dν′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)|.
Для величини H(ν), згiдно з (11), (46) та (47), має мiсце оцiнка
H(ν) = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (56)
Крiм того,
1∫
0
|λδ,2(1− u)− λδ,2(1 + u)|
u
du =
=
1∫
0
∣∣∣∣γ + 1
e
eu − e−u
u
− γ
e
(eu + e−u) + 2
(
1 +
1
δ
)∣∣∣∣ du = O(1), δ →∞. (57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
952 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Спiвставляючи (55) – (57), отримуємо
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
при δ →∞. (58)
Отже, за теоремою 1 з роботи [13] iнтеграл (34) також є збiжним.
Таким чином, показано, що при виконаннi умов теореми 1 iнтегралA(τ) вигляду
(5) є збiжним, а отже, перетворення Фур’є τ̂(t) функцiї τ(u) = ϕ(u) + ν(u) є
сумовним на всiй числовiй осi. I тому для будь-якого f ∈ Cψβ,∞ у кожнiй точцi
x ∈ R має мiсце рiвнiсть (6). Зважаючи на (34), величину (7) записуємо у виглядi
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
(ϕ̂(t) + ν̂(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
C
=
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
+O (ψ(δ)A(ν)) . (59)
Повторивши мiркування, наведенi у роботi [2, c. 12], неважко переконатися, що
ряд Фур’є функцiї fϕ(x) =
∫ +∞
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt має вигляд
S[fϕ] =
∞∑
k=1
(
k2
2δ2
+
k
δ2
)
1
ψ(δ)
(ak cos kx+ bk sin kx) ,
де ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Тому
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt =
1
δ2ψ(δ)
(
f
(2)
0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
)
, (60)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) (у розумiннi О.I. Степанця) при
β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
, ψ(t) =
1
t2
. Поєднуючи (59) та (60), отримуємо
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+O (ψ(δ)A(ν)) , δ →∞.
(61)
Iз нерiвностей (2.14) i (2.15) роботи Л. I. Баусова [13] з урахуванням формул (46),
(47), (54), (56) та (58) знаходимо оцiнку iнтеграла A(ν):
A(ν) = O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
, δ →∞.
Звiдси та з (61) випливає (9).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 953
Зазначимо, що теорему 1 задовольняють, зокрема, такi функцiї ψ ∈M, якi при
t ≥ 1 мають вигляд ψ(t) =
1
t2
lnα(t + K), K > 0, α < −1; ψ(t) =
1
tr
lnα(t + K),
ψ(t) =
1
tr
arctg t, ψ(t) =
1
tr
(K + e−t), r > 2, K > 0, α ∈ R.
Далi знайдемо розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних
iнтегралiв Пуассона та класiв Cψβ,∞ неперервних функцiй у випадку, коли ψ ∈M,
зокрема, коли цi класи охоплюють нескiнченно диференцiйовнi функцiї.
Теорема 2. Якщо ψ належить M, функцiя g(u) = u2ψ(u) при u ∈ [b,∞) ,
b ≥ 1, опукла донизу i
∞∫
1
ug(u)du <∞, (62)
то при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+O
(
1
δ3
)
, (63)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) при β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
,
ψ(t) =
1
t2
.
Доведення. Нехай τ(u) = ϕ(u) + ν(u), де ϕ(u), ν(u) — функцiї, що визначенi
формулами (10) та (11). Доведемо сумовнiсть на всiй дiйснiй осi перетворень ϕ̂δ(t) i
µ̂δ(t) вигляду (12), (13). Спочатку покажемо збiжнiсть iнтеграла A(ϕ) вигляду (14).
Для цього розiб’ємо множину (−∞,∞) на двi пiдмножини: (−∞, δ) ∪ (δ,+∞) i
[−δ, δ].
Знайдемо оцiнку iнтеграла A(ϕ) при |t| > δ. Розглянемо iнтеграл∫ ∞
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du на кожному iз промiжкiв [0; 1/δ) та [1/δ;∞):
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (64)
Як випливає з (10), при u ∈
[
0,
1
δ
)
ϕ(0) = 0, ϕ
(
1
δ
)
=
3ψ(1)
2δ2ψ(δ)
, ϕ′(0) =
ψ(1)
δψ(δ)
,
ϕ′
(
1
δ
− 0
)
=
2ψ(1)
δψ(δ)
. Тодi двiчi iнтегруючи частинами перший iнтеграл iз правої
частини рiвностi (64), отримуємо
1/δ∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
3ψ(1)
2tδ2ψ(δ)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
+
2ψ(1)
t2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1/δ∫
0
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
954 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Зазначимо, що внаслiдок опуклостi функцiї g(u) та умови (62) мають мiсце спiввiд-
ношення (20) та (21). Тому, враховуючи, що limu→∞ ϕ(u) = 0 та limu→∞ ϕ′(u) = 0,
знаходимо
∞∫
1/δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 3ψ(1)
2tδ2ψ(δ)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
4ψ(1) + 3ψ′(1)
2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
∞∫
1/δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (66)
Поєднання формул (64) – (66) дозволяє записати
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 3ψ′(1)
2t2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du− 1
t2
∞∫
1/δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Отже,∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K1
t2δψ(δ)
+
1
t2
1/δ∫
0
|ϕ′′(u)|du+
1
t2
∞∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du. (67)
Для функцiї ϕ(·) вигляду (10) на промiжку [0, 1/δ] очевидною є оцiнка
1/δ∫
0
|ϕ′′(u)|du =
ψ(1)
δψ(δ)
. (68)
Далi, використовуючи спiввiдношення (17) та враховуючи спадання й опуклiсть
донизу функцiї ψ(δu), u ∈
[
1
δ
,∞
)
, маємо
b/δ∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
ψ(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
|ψ′(δu)| du+
+
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ′′(δu)du. (69)
Неважко переконатися, що
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ′′(δu)du =
K2
δψ(δ)
− δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
ψ′(δu)du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 955
Поєднавши останнє спiввiдношення з нерiвнiстю (69) та врахувавши, що
1
ψ(δ)
∫ b/δ
1/δ
ψ(δu)du ≤ (b− 1)ψ(1)
δψ(δ)
, знайдемо
b/δ∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ K2
δψ(δ)
+
3δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
|ψ′(δu)| du ≤ K3
δψ(δ)
. (70)
Знову застосувавши формулу (17) та взявши до уваги те, що ψ(u) є спадною на
[1,∞) i limu→∞ ψ(u) = 0, а також використавши (20), (21), отримаємо оцiнку
1
t2
∞∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ K4
t2δψ(δ)
.
Звiдси та з спiввiдношень (67) – (70) знаходимо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2δψ(δ)
,
а отже,
∫
|t|≥δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt ≤ 2K
δ2ψ(δ)
. (71)
Знайдемо оцiнку iнтеграла A(ϕ) на промiжку [−δ, δ]. Оскiльки має мiсце умова
(62), то
δ∫
−δ
∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt ≤ 2δ
∞∫
0
|ϕ(u)|du =
=
2δψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
u2
2
+
u
δ
)
du+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(δu)du ≤ K1
δ2ψ(δ)
. (72)
Iз спiввiдношень (71) i (72) при δ →∞ випливає оцiнка
A(ϕ) = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
.
Отже, перетворення ϕ̂(t) вигляду (12) є сумовним на всiй числовiй осi.
Далi покажемо збiжнiсть iнтеграла A(ν) вигляду (34), де ν̂(t) — перетворення
Фур’є функцiї ν(·), заданої формулою (11). З цiєю метою розiб’ємо множину
(−∞,∞) на двi частини: [−δ, δ] i |t| > δ так, що
A(ν) =
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
956 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
+
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt := I1 + I2. (73)
Оцiнимо iнтеграл I1 =
1
π
∫ δ
−δ
∣∣∣∣∫ ∞
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ dt. Маємо
I1≤
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt+
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt.
(74)
Як зазначалося, згiдно з (11) та (37), ν(u) = ν
ψ(1)
ψ(δ)
при u ∈ [0, 1/δ] . Тому, засто-
совуючи першу нерiвнiсть з (40), отримуємо
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
1
π
δ∫
−δ
1/δ∫
0
|ν(u)| dudt =
=
ψ(1)
πψ(δ)
δ∫
−δ
1/δ∫
0
|ν(u)| dudt ≤ 2δψ(1)
πψ(δ)
1/δ∫
0
(
2u
3δ2
+
u2
δ
+
u3
2
)
du =
K
δ3ψ(δ)
. (75)
Використовуючи умову (62) та нерiвнiсть (40), знаходимо оцiнку другого iнтеграла
iз правої частини (74):
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤ 1
π
δ∫
−δ
∞∫
1/δ
|ν(u)|dudt =
4
3πδ3ψ(δ)
∞∫
1
uψ(u)du+
+
2
πδ3ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(u)du+
1
πδ3ψ(δ)
∞∫
1
u3ψ(u)du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (76)
Iз спiввiдношень (74) – (76) випливає, що
I1 = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (77)
Оцiнимо iнтеграл I2 =
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣∫ ∞
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ dt. Двiчi iнтегруючи
частинами i враховуючи, що ν(0) = 0, ν′(0) = 0, знаходимо
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t
ν
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 957
+
1
t2
ν′
(
1
δ
− 0
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1/δ∫
0
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (78)
Внасiдок (20) та (21) маємо limu→∞ ν(u) = 0 i limu→∞ ν′(u) = 0. Тодi
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = −1
t
ν
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
ν′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (79)
Поєднуючи (78) iз (79), знаходимо
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t2
(
ν′
(
1
δ
− 0
)
− ν′
(
1
δ
))
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du− 1
t2
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Згiдно з (11) та (37) маємо
ν′
(
1
δ
−0
)
= ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, (80)
ν′
(
1
δ
)
= ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
+ ν
(
1
δ
)
δψ′(1)
ψ(δ)
. (81)
Тому
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 1
t2
ν
(
1
δ
)
δψ′(1)
ψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Звiдси, враховуючи першу нерiвнiсть з (40), отримуємо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
K1
δ2ψ(δ)
+
1/δ∫
0
|ν′′(u)|du+
∞∫
1/δ
|ν′′(u)|du
. (82)
Далi, використовуючи (39), (80) i те, що µ′(0) = 0, а також враховуючи першу
нерiвнiсть з (40), маємо
1/δ∫
0
|ν′′(u)|du = −ν′
(
1
δ
− 0
)
=
∣∣∣∣ν′(1
δ
)∣∣∣∣ ψ(1)
ψ(δ)
≤ K2
δ2ψ(δ)
. (83)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
958 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Розглянемо другий iнтеграл iз правої частини нерiвностi (82) на кожному iз
промiжкiв
[
1
δ
,
b
δ
]
та
[
b
δ
,∞
)
. Врахувавши (42) та провiвши мiркування, аналогiчнi
використаним при доведеннi спiввiдношення (43), одержимо
b/δ∫
1/δ
|ν′′(u)|du ≤ K3
δ2ψ(δ)
. (84)
На пiдставi (44), враховуючи (81) i те, що limu→∞ ν′(u) = 0, а також беручи до
уваги нерiвностi (40), знаходимо
∞∫
b/δ
|ν′′(u)|du = −
∞∫
b/δ
dν′(u) = ν′
(
b
δ
)
ψ(b)
ψ(δ)
+
∣∣∣∣ν ( bδ
)∣∣∣∣ δ|ψ′(b)|ψ(δ)
≤ K4
δ2ψ(δ)
. (85)
Iз (82) – (85) випливає, що∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2δ2ψ(δ)
.
Тодi при δ →∞
I2 =
1
π
∫
|t|≥δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (86)
Отже, внаслiдок поєднання спiввiдношень (73), (77) та (86) для iнтеграла (34)
отримуємо оцiнку
A(ν) = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (87)
Оскiльки перетворення Фур’є ϕ̂(t) та ν̂δ(t) є сумовними на всiй числовiй осi,
то в умовах теореми 2 має мiсце (61). На пiдставi (61), беручи до уваги (87),
отримуємо (63).
Теорему 2 доведено.
Зазначимо, що умови теореми 2 задовольняють функцiї ψ ∈ M, якi при t ≥ 1
мають вигляд ψ(t) =
lnα(t+K)
tr
, ψ(t) =
1
tr
(K + e−t), де r > 4, K > 0, α ∈ R;
ψ(t) = tre−Kt
α
, ψ(t) = lnr(t+ e)e−Kt
α
, K > 0, α > 0, r ∈ R.
Нехай функцiя µ(·) = µ(ψ; ·) пов’язана з функцiєю ψ ∈M спiввiдношеннями (1).
З теореми 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок. Якщо ψ належить M∞, функцiя g(u) опукла донизу при u ∈ [b,∞) ,
b ≥ 1, i
lim
t→∞
µ(ψ; t) =∞, (88)
то при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть (63).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 959
Доведення. Переконаємося, що виконання умови (88) гарантує збiжнiсть iнте-
грала
∫ ∞
1
ug(u)du, тобто виконання (62). Як випливає з роботи [4, c. 164] (див.
формулу (12.24)), для будь-якого ψ ∈M виконується нерiвнiсть
ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 2 (η(t)− t) ∀t ≥ 1. (89)
З урахуванням (89) для довiльного r ≥ 0 мають мiсце спiввiдношення
(trψ(t))′ = rtr−1ψ(t)− tr|ψ′(t)| ≤ tr|ψ′(t)|
(
2r
η(t)− t
t
− 1
)
. (90)
Внаслiдок (88) величина (η(t)−t)/t прямує до нуля при t→∞. Тому на основi (90)
приходимо до висновку, що для довiльного r ≥ 0 знайдеться число t0 = t0(r, ψ)
таке, що при t > t0 функцiя trψ(t) не зростає. Тодi
∞∫
1
ug(u)du =
∞∫
1
u5ψ(u)
u2
du ≤ K
∞∫
1
du
u2
<∞.
Зазначимо, що при виконаннi умов теорем 1 та 2 рiвностi (9) та (63) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для класiв Cψβ,∞ та бiгармонiчних iн-
тегралiв Пуассона в рiвномiрнiй метрицi у випадку, коли функцiї ψ(t) спадають до
нуля при t→∞ швидше за функцiю
1
t2
, яка визначає порядок насичення лiнiйного
методу наближення, породженого оператором Bδ.
1. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. –
376 с.
2. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. –
Киев, 1983. – 57 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.10).
3. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
4. Степанец А. И. Методы теориии приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. I. – 427 с.
5. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Ber.
Acad. Wiss. – Leipzig, 1938. – 90. – S. 103 – 134.
6. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл.
АН СССР. – 1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
7. Pych P. On a biharmonic function in unit dise // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
8. Канiєв С. Точна оцiнка вiдхилення в середньому бiгармонiчних в крузi функцiй вiд їх граничних
значень // Доп. АН УРСР. – 1964. – № 4. – С. 451 – 454.
9. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из
Lip11 от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения (Мат. Всесоюз.
симп.). – Алма-Ата: Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiодичних функцiй їх бiгармонiй-
ними iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213 – 1219.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
12. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций
сверточными операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
13. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матри-
цами, I // Изв. вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
Одержано 25.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2776 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:07Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/af/bf7aa79c586281f98f7fffec284aeaaf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27762020-03-18T19:36:24Z Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals Наближення функцій із класів $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ бігармонічними інтегралами Пуассона Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of $(\psi, \beta)$-differentiable periodic functions in the uniform metric. Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуассона на классах $(\psi, \beta)$-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2776 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 7 (2011); 939-959 Український математичний журнал; Том 63 № 7 (2011); 939-959 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2776/2307 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2776/2308 Copyright (c) 2011 Zhyhallo K. M.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title | Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Наближення функцій із класів $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_full | Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_short | Approximation of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | approximation of functions from the classes $c^{\psi}_{\beta, \infty}$ by biharmonic poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2776 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallokm approximationoffunctionsfromtheclassescpsibetainftybybiharmonicpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationoffunctionsfromtheclassescpsibetainftybybiharmonicpoissonintegrals AT žigallokm approximationoffunctionsfromtheclassescpsibetainftybybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûí approximationoffunctionsfromtheclassescpsibetainftybybiharmonicpoissonintegrals AT zhyhallokm nabližennâfunkcíjízklasívcpsibetainftybígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT kharkevychyui nabližennâfunkcíjízklasívcpsibetainftybígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT žigallokm nabližennâfunkcíjízklasívcpsibetainftybígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûí nabližennâfunkcíjízklasívcpsibetainftybígarmoníčnimiíntegralamipuassona |