On necessary conditions for the convergence of Fourier series
We obtain necessary conditions for the convergence of multiple Fourier series of integrable functions in the mean.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2777 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508747042914304 |
|---|---|
| author | Ivashchuk, O. V. Zaderei, P. V. Иващук, А. В. Задерей, П. В. Иващук, А. В. Задерей, П. В. |
| author_facet | Ivashchuk, O. V. Zaderei, P. V. Иващук, А. В. Задерей, П. В. Иващук, А. В. Задерей, П. В. |
| author_sort | Ivashchuk, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:24Z |
| description | We obtain necessary conditions for the convergence of multiple Fourier series of integrable functions in the mean. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.4
П. В. Задерей, О. В. Иващук (Киев. нац. ун-т технологий и дизайна)
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ
РЯДОВ ФУРЬЕ*
We obtain necessary conditions for the convergence of multiple Fourier series of integrable functions in the
mean.
Одержано необхiднi умови збiжностi в середньому кратних рядiв Фур’є iнтегровних функцiй.
Обозначим через L1(T
m) пространство 2π -периодических интегрируемых функ-
ций f(x) с нормой
‖f‖1 =
∫
Tm
|f (x1, . . . , xm)| dx1 . . . dxm =
∫
Tm
|f(x)| dx <∞,
где x = (x1, . . . , xm) и Tm = [0, 2π)
m
.
Пусть f ∈ L1(T
m) и
S [f ] =
∞∑
k=0
∑
|l|1=k
cle
i(l,x) (1)
— ее ряд Фурье, а
Sn(f ;x) =
n∑
k=0
∑
|l|1=k
cle
i(l,x)
— n -я частичная сумма ряда (1). Здесь l = (l1, l2, . . . , lm), lj ∈ Z, j = 1,m,
x = (x1, x2, . . . , xm), (l, x) = l1x1+ l2x2+ . . .+ lmxm, а |l|1 = |l1|+ |l2|+ . . .+ |lm|.
Говорят, что ряд (1) сходится в среднем к функции f (x) , если при n→∞
‖f − Sn(f)‖1 → 0. (2)
Поскольку соотношение (2) выполняется не для всех функций f(·) ∈ L1
(см. [1], гл. VIII, § 22), то возникает задача об установлении условий на коэф-
фициенты ряда (1), при выполнении которых этот ряд будет сходиться в среднем.
В данной работе для f ∈ L1(T
m) найдены условия, необходимые для выпол-
нения соотношения (2).
В работе Г. А. Фомина [2] доказано, что если ряд
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos kx (3)
сходится в среднем, то для каждой последовательности натуральных чисел {mn}
такой, что mn ≤ n, n = 1, 2, . . . , выполняется соотношение
lim
n→∞
mn∑
k=1
an+k
k
= 0.
*Выполнена за результатами государственной бюджетной темы 16.02.22ДБ.
c© П. В. ЗАДЕРЕЙ, О. В. ИВАЩУК, 2011
960 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 961
П. В. Задерей, Б. А. Смаль [3] исследовали ряды вида (3) и вида
∞∑
k=1
ak sin kx (4)
и установили, что условие
lim
n→∞
n∑
k=1
|an+k|
k
= 0
необходимо для сходимости рядов (3) и (4) в метрике пространства L1 .
Для рядов вида
∞∑
k=0
ak
∑
l1+...+lm=k
ei(l,x), lj ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,m,
в работе [4] установлено, что необходимым условием сходимости в среднем этих
рядов является соотношение
lim
n→∞
lnm−1 n
n∑
k=1
|an+k|
k
= 0.
В работе [5] для рядов вида
∞∑
k=0
∑
l1+···+lm=k
ale
i(l,x), lj ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,m,
установлено, что необходимым условием сходимости в среднем этих рядов являет-
ся соотношение
lim
n→∞
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
l1+...+lm=n+k
ale
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
= 0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть f принадлежит L1(T
m). Тогда для выполнения соотноше-
ния (2) необходимо, чтобы имело место равенство
lim
n→∞
n∑
k=1
1
k
∑
s
‖As(k, n, x)‖1 = 0,
где As(k, n, x) =
∑∑m
j=1(−1)
sj lj=n+k
cle
i(l,x), s = (s1, s2, . . . , sm), sj =
=
{
0, если lj ≥ 0,
1, если lj < 0,
j = 1,m .
Доказательство этой теоремы базируется на известных утверждениях, кото-
рые сформулируем здесь.
Для тригонометрических полиномов вида
tn (x) = tn(x1, x2, . . . , xm) =
n∑
k=0
∑
|l|1=k
cle
i(l,x)
выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
962 П. В. ЗАДЕРЕЙ, О. В. ИВАЩУК∥∥∥∥∂tn(x)∂xi
∥∥∥∥
1
≤ n ‖tn (x1, . . . , xm)‖1 . (5)
Неравенство (5) — это неравенство типа С. Н. Бернштейна для тригонометрических
полиномов.
Пусть M = {1, 2, . . . ,m}, B ⊂M,
t̃n
(B)
(x) = (−i)|B|
n∑
k=0
∑
|l|1=k
∏
j∈B
sign ljcle
i(l,x)
— сопряженная к tn(x) функция по переменным xj , j ∈ B , |B| — количество
элементов множества B .
Неравенство типа неравенства (5) выполняется и для сопряженных функций
(см. [6, с. 21]) ∥∥∥∥∥∂t̃n
(B)
(x)
∂xi
∥∥∥∥∥
1
≤ n ‖tn (x)‖1 . (6)
Теорема Харди – Литтлвуда [7 с. 454]. Пусть
F (z) = b0 + b1z + . . .+ bnz
n + . . . ∈ H,
тогда
∞∑
n=0
|bn|
n+ 1
≤ 1
2
2π∫
0
∣∣F (eix)∣∣ dx, (7)
где H — пространство Харди
(
пространство аналитических при |z| < 1 функций
F (z), для которых sup0≤r<1
∫ 2π
0
∣∣F (reix)∣∣dx <∞).
Через V n2n (f ;x) обозначим сумму Валле Пуссена функции f (x) :
V n2n (f ;x) =
1
n
2n∑
k=n+1
Sk (f ;x) =
2n∑
k=0
λ
(n)
k
∑
|l|1=k
cle
i(l,x),
где
λ
(n)
k =
1, k = 0, n+ 1,
2n− k + 1
n
, k = n+ 1, 2n.
Пусть tn(x) =
∑n
k=1
∑
|l|1=k
cle
i(l,x) (cl = cl1,l2,...,lm — некоторые комп-
лексные числа) — тригонометрический полином. Множество таких полиномов обо-
значим через Tn .
Пусть также En(f)1 = inftn∈Tn ‖f(x) − tn(x)‖1 — наилучшее приближение
функции f(·) в метрике L1 . Обозначим через t∗n многочлен из Tn, дающий наи-
лучшее приближение функции f(·), тогда
‖f − V n2n(f)‖1 ≤ ‖f − t∗n‖1 + ‖t∗n − V n2n(f)‖1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 963
= En(f)1 + ‖V n2n(f − t∗n)‖1 ≤ En(f)1 + En(f)1‖V n2n‖L1→L1
=
= (‖V n2n‖L1→L1
+ 1)En(f)1.
Здесь ‖V n2n‖L1→L1
— норма оператора Валле Пуссена.
Согласно теореме Стоуна – Вейерштрасса, наилучшее приближение En(f)1 →
→ 0 при n→∞ для любой функции f ∈ L1(T
m) (см. [8, с. 42]).
Пусть теперь
σn(f ;x) =
1
n+ 1
n∑
k=0
Sk(f ;x)
— средние Фейера. А. Н. Подкорытовым [9, 10] доказано, что ‖σn‖L1→L1
≤ C.
Поскольку V n2n(f ;x) =
2n+ 1
n
σ2n(f ;x)−
n+ 1
n
σn(f ;x), то
‖V n2n‖L1→L1
≤ C.
Согласно неравенству Лeбега имеем
‖f − V n2n (f)‖1 ≤ (‖V n2n‖L1→L1
+ 1)En(f)1 → 0.
Тогда
‖f − Sn (f)‖1 ≥ ‖V
n
2n (f)− Sn (f)‖1 − ‖f − V
n
2n (f)‖1 ≥
≥ ‖V n2n (f)− Sn (f)‖1 + o(1). (8)
Частичные суммы рядов Фурье функций, сопряженных к f(x) по первой, вто-
рой и обеим переменным, обозначим соответственно через S̃n
(1)
(f ;x), S̃n
(2)
(f ;x)
и S̃n
(1,2)
(f ;x), а сопряженные суммы Валле Пуссена по первой, второй и обеим
переменным — соответственно через Ṽ n2n
(1)
(f ;x), Ṽ n2n
(2)
(f ;x) и Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x) :
S̃n
(1)
(f ;x) = −i
n∑
k=1
∑
|l1|+|l2|=k
sign l1cle
i(l,x),
S̃n
(2)
(f ;x) = −i
n∑
k=1
∑
|l1|+|l2|=k
sign l2cle
i(l,x),
S̃n
(1,2)
(f ;x) = −
n∑
k=1
∑
|l1|+|l2|=k
sign l1sign l2cle
i(l,)x,
Ṽ n2n
(1)
(f ;x) = −i
2n∑
k=1
λ
(n)
k
∑
|l1|+|l2|=k
sign l1cle
i(l,x),
Ṽ n2n
(2)
(f ;x) = −i
2n∑
k=1
λ
(n)
k
∑
|l1|+|l2|=k
sign l2cle
i(l,x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
964 П. В. ЗАДЕРЕЙ, О. В. ИВАЩУК
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x) = −
2n∑
k=1
λ
(n)
k
∑
|l1|+|l2|=k
sign l1sign l2cle
i(l,x).
Использовав свойства функции sign l , вычислим величину
(V n2n(f ;x)− Sn(f ;x)) + i
(
Ṽ n2n
(1)
(f ;x)− S̃n
(1)
(f ;x)
)
+
+i
(
Ṽ n2n
(2)
(f ;x)− S̃n
(2)
(f ;x)
)
−
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)
=
=
4
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x), l1 > 0, l2 > 0,
2
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
ck,0e
ikx1 , l1 > 0, l2 = 0,
2
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
c0,ke
ikx2 , l1 = 0, l2 > 0,
0 в остальных случаях
=
=
4
2γl
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x),
где γl — число координат вектора l = (l1, l2), равных нулю.
Для случая l1 ≥ 0 и l2 ≥ 0 имеем
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
l1+l2=k
cle
(l,x) =
=
2γl
4
(V n2n (f ;x)− Sn (f ;x))+
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(1)
(f ;x)− S̃n
(1)
(f ;x)
)
+
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(2)
(f ;x)− S̃n
(2)
(f ;x)
)
−
−2γl
4
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)
. (9)
Аналогичные равенства получаем для остальных случаев.
Для l1 > 0 и l2 < 0 имеем
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
l1−l2=k
cle
(l,x) =
=
2γl
4
(V n2n (f ;x)− Sn (f ;x))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 965
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(1)
(f ;x)− S̃n
(1)
(f ;x)
)
−
−2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(2)
(f ;x)− S̃n
(2)
(f ;x)
)
+
+
2γl
4
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)
. (10)
При l1 < 0 и l2 > 0 находим
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
−l1+l2=k
cle
(l,x) =
=
2γl
4
(V n2n (f ;x)− Sn (f ;x))−
−2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(1)
(f ;x)− S̃n
(1)
(f ;x)
)
+
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(2)
(f ;x)− S̃n
(2)
(f ;x)
)
+
+
2γl
4
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)
. (11)
Если же l1 ≤ 0 и l2 ≤ 0 , то получаем
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
−l1−l2=k
cle
(l,x) =
=
2γl
4
(V n2n (f ;x)− Sn (f ;x))+
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(1)
(f ;x)− S̃n
(1)
(f ;x)
)
+
+
2γl
4
i
(
Ṽ n2n
(2)
(f ;x)− S̃n
(2)
(f ;x)
)
−
−2γl
4
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)
. (12)
Дифференцируя (9) сначала по x1, а потом по x2 и складывая полученные
равенства, имеем ∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
k
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
≤
≤ 2γl
4
∥∥(V n2n (f ;x)− Sn(f ;x))′x1
∥∥
1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
966 П. В. ЗАДЕРЕЙ, О. В. ИВАЩУК
+
2γl
4
∥∥(V n2n(f ;x)− Sn(f ;x))′x2
∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥(Ṽ n2n(1)(f ;x)− S̃n(1)(f ;x))′x1
∥∥∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥(Ṽ n2n(1)(f ;x)− S̃n(1)(f ;x))′x2
∥∥∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥(Ṽ n2n(2)(f ;x)− S̃n(2)(f ;x))′x1
∥∥∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥(Ṽ n2n(2)(f ;x)− S̃n(2)(f ;x))′x2
∥∥∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥(Ṽ n2n(1,2)(f ;x)− S̃n(1,2) (f ;x))′x1
∥∥∥∥
1
+
+
2γl
4
∥∥∥∥∥
(
Ṽ n2n
(1,2)
(f ;x)− S̃n
(1,2)
(f ;x)
)′
x2
∥∥∥∥∥
1
. (13)
Применяя к каждому слагаемому правой части (13) неравенство Бернштейна (5)
или (6), получаем ∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
k
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
≤
≤ 2γl8n
4
∥∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
∑
|l1|+|l2|=k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥∥
1
. (14)
Подставляя (14) в (8), находим
‖f − Sn(f)‖1 ≥
1
2γl2n
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
k
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1) =
=
1
2γl2n
∫
T 2
∣∣∣∣∣
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
k
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)
∣∣∣∣∣ dx+ o(1). (15)
Учитывая 2π -периодичность подынтегральной функции в (15) и независимость
интеграла от интервала интегрирования длины 2π, имеем
1
2γl2n
1
2π
∫
T 2
2π∫
0
∣∣∣∣∣
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
k
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)eikt
∣∣∣∣∣ dt
dx =
=
1
2γl2n
1
2π
∫
T 2
2π∫
0
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
n− k + 1
n
(n+ k)
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)eikt
∣∣∣∣∣ dt
dx. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 967
Подынтегральная функция в (16) относительно переменной t принадлежит
пространству Харди. Применим к ней неравенство Харди – Литтлвуда (7):
1
2γl2n
1
2π
∫
T 2
2π∫
0
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
n− k + 1
n
(n+ k)
∑
l1+l2=k
cle
i(l,x)eikt
∣∣∣∣∣dtdx ≥
≥ 1
2γl2n
1
2π
∫
T 2
2
n∑
k=1
1
k + 1
∣∣∣∣∣n− k + 1
n
(n+ k)
∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∣∣∣∣∣dx ≥
≥ 1
2γln
1
2π
n∑
k=1
n− k + 1
n
n+ k
k + 1
∫
T 2
∣∣∣∣∣ ∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∣∣∣∣∣dx ≥
≥ 1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
− 1
2γl2π
1
n
n∑
k=1
∥∥∥∥∥ ∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
.
В силу соотношения (2) имеем
∥∥∥∥∑|l|1=k
ale
i(l,x)
∥∥∥∥
1
→ 0 при n→∞, а значит,
1
n
n∑
k=1
∥∥∥∥∥∥
∑
|l|1=n+k
ale
i(l,x)
∥∥∥∥∥∥
1
→ 0.
При этом получим
‖f − Sn (f)‖1 ≥
1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1). (17)
Аналогичным образом действуем с выражениями (10), (11) и (12).
Дифференцируя выражение (10) сначала по x1, а затем по x2 и вычитая полу-
ченные равенства одно из другого, находим
‖f − Sn (f)‖1 ≥
1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
l1−l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1). (18)
Действуя подобным образом с (11) и (12), получаем
‖f − Sn (f)‖1 ≥
1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
−l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1), (19)
‖f − Sn (f)‖1 ≥
1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
−l1−l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1). (20)
Складывая соотношения (17) – (20), имеем
4 ‖f − Sn(f)‖1 ≥
1
2γl2π
n∑
k=1
1
k
∥∥∥∥∥ ∑
l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
968 П. В. ЗАДЕРЕЙ, О. В. ИВАЩУК
+
∥∥∥∥∥ ∑
l1−l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+
∥∥∥∥∥ ∑
−l1+l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+
+
∥∥∥∥∥ ∑
−l1−l2=n+k
cle
i(l,x)
∥∥∥∥∥
1
+ o(1),
что и завершает доказательство теоремы.
1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
2. Фомин Г. А. О сходимости рядов Фурье в среднем // Мат. сб. – 1979. – 110, № 2. – С. 251 – 265.
3. Задерей П. В., Смаль Б. О. О сходимости в пространстве L1 рядов Фурье // Укр. мат. журн. –
2002. – 54, № 5. – С. 639 – 646.
4. Задерей П. В., Капiтоненко О. М. Необхiднi умови збiжностi в середньому кратних рядiв Фур’є i
Тейлора // Зб. Праць Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 117 – 124.
5. Задерей П. В, Iващук О. В., Пелагенко О. М. Про необхiднi умови збiжностi в середньому кратних
рядiв Фур’є // Зб. Праць Iн-ту математики НАН України. – 2007. – 4, № 1. – С. 128 – 133.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряди: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
7. Зигмунд А. Тригонометрические ряди: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
8. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960.
– 624 с.
9. Подкорытов А. Н. Суммирование кратных рядов Фурье по полиэдрам // Вестн. Ленингр. ун-та. –
1980. – № 1.
10. Подкорытов А. Н. Средние Фейера в двумерном случае // Вестн. Ленингр. ун-та. – 1978. – № 13.
– С. 32 – 39.
Получено 03.04.09,
после доработки — 03.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2777 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:07Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/b41d1c2198a165cd33d69ca0aa4d50cd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27772020-03-18T19:36:24Z On necessary conditions for the convergence of Fourier series О необходимых условиях сходимости рядов Фурье Ivashchuk, O. V. Zaderei, P. V. Иващук, А. В. Задерей, П. В. Иващук, А. В. Задерей, П. В. We obtain necessary conditions for the convergence of multiple Fourier series of integrable functions in the mean. Одержано необхiднi умови збiжностi в середньому кратних рядiв Фур’є iнтегровних функцiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2777 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 7 (2011); 960-968 Український математичний журнал; Том 63 № 7 (2011); 960-968 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2777/2309 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2777/2310 Copyright (c) 2011 Ivashchuk O. V.; Zaderei P. V. |
| spellingShingle | Ivashchuk, O. V. Zaderei, P. V. Иващук, А. В. Задерей, П. В. Иващук, А. В. Задерей, П. В. On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title | On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title_alt | О необходимых условиях сходимости рядов Фурье |
| title_full | On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title_fullStr | On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title_full_unstemmed | On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title_short | On necessary conditions for the convergence of Fourier series |
| title_sort | on necessary conditions for the convergence of fourier series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2777 |
| work_keys_str_mv | AT ivashchukov onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT zadereipv onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT ivaŝukav onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT zaderejpv onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT ivaŝukav onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT zaderejpv onnecessaryconditionsfortheconvergenceoffourierseries AT ivashchukov oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe AT zadereipv oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe AT ivaŝukav oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe AT zaderejpv oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe AT ivaŝukav oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe AT zaderejpv oneobhodimyhusloviâhshodimostirâdovfurʹe |