On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise
We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker - Bassett estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a random noise weighted by the gradient of the regression function.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2783 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508760261263360 |
|---|---|
| author | Ivanov, O. V. Savych, I. M. Іванов, О. В. Савич, І. М. |
| author_facet | Ivanov, O. V. Savych, I. M. Іванов, О. В. Савич, І. М. |
| author_sort | Ivanov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker - Bassett estimator coincides with
the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a random noise weighted by the gradient of the regression function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ , 2011
1030 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
УДК 519.21
О. В. Іванов, І. М. Савич (Нац. техн. ун-т України „КПІ”, Київ)
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ
КОЕНКЕРА –БАССЕТА ПАРАМЕТРА НЕЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ
РЕГРЕСІЇ З СИЛЬНО ЗАЛЕЖНИМ ШУМОМ
We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker – Bassett
estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a
random noise weighted by the gradient of the regression function.
Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коен-
кера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным
процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии.
Вступ. Математичні моделі спостережень ,,сигнал плюс шум” мають велику сфе-
ру застосувань у різних галузях природничих та соціальних наук, таких як теорія
турбулентності, метеорологія, гідрологія, геофізика, статистична радіофізика,
хімічна кінетика, економетрика, фінанси, соціологія тощо.
Вивчення випадкових процесів з кореляцією, яка збігається з гіперболічною
швидкістю, тобто процесів з неінтегровними коваріаційними функціями, призво-
дить до складних імовірнісних та статистичних задач. Протягом останніх двох
десятиріч спостерігається прогрес у теоретичному осмисленні явища сильної
залежності. З іншого боку, нещодавні прикладні дослідження підтвердили, що дані
наукових областей, згаданих вище, демонструють сильну залежність (див. роботи
[1 – 3], які містять огляди та бібліографію з тематики сильної залежності, розпо-
чатої ще в [4]).
Для оцінювання параметрів таких нелінійних моделей регресії можна викорис-
товувати оцінку, запропоновану в [5]. Вона є оцінкою невідомого параметра ! -
квантиля спостережень. Величина ! "(0,1) визначається за розподілом випадко-
вого шуму. Таким чином, можна вважати дану нелінійну модель моделлю кван-
тильної регресії. Цій тематиці присвячено багато праць (див., наприклад, [6 – 8]).
1. Опис моделі. Основні припущення і позначення. У даній статті розгля-
дається нелінійна регресійна модель
X(t) = g(t, !) + "(t), t ! 0 , (1)
де g(t, !) — дійсна неперервна за сукупністю змінних (t, !) "R+1 # $c функція,
! " Rq — відкрита обмежена опукла множина параметрів, яка містить ! . Від-
носно !(t) припустимо наступне:
А1. !(t) , t !R1 , — локальний функціонал від гауссівського стаціонарного
процесу !(t) , тобто !(t) = G("(t)) ; G(x) , x !R1 ; — борелівська функція, до
того ж
!"(0) = 0, !"2 (0) < # .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1031
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
А2. !(t) , t !R1 , — дійсний неперервний у середньому квадратичному вимір-
ний стаціонарний гауссівський процес, який визначено на ймовірнісному просторі
(!, F, P) . Коваріаційна функція (к. ф.) !(t) має вигляд ! "(t) "(0) = !(t) =
= L t( ) t !" , ! "(1 2 ,1) , де L(t) — повільно змінна на нескінченності функ-
ція, а !"(t) = 0, !"2 (t) = #(0) = 1 .
Позначимо через F(x) функцію розподілу (ф. р.) !(0) .
А3. F(0) = !,! "(0,1) .
Введемо функцію !" (x) =
"x, x # 0,
(" $ 1)x, x < 0,
%
&
'
('
! "(0,1).
Означення 1. Оцінкою Коенкера – Бассета невідомого параметра ! "# ,
одержаною за спостереженнями X(t) , t ![0,T ] , виду (1) та функцією втрат
!" (x) , x !R1 , називається будь-який випадковий вектор !̂T = !̂T (X(t) , t !
![0,T ])!"c , для якого
QT (!̂T ) = inf
"#$c
QT ("), QT (!) = "# X(t) $ g(t, !)( )dt
0
T
% .
Зауважимо, що за введених умов оцінка Коенкера – Бассета існує (див., напри-
клад, роботи [9 – 11]).
Оскільки P(X(t) < g(t, !)) = P("(t) < 0) = P("(0) < 0) = # , то модель спостере-
жень (1) можна інтерпретувати як нелінійну квантильну регресію. Дійсно, !̂T є
оцінкою невідомого параметра ! ! -квантилів g(t, !) спостережень X(t) ,
t ![0,T ] .
А4. Випадкова величина !(0) має обмежену щільність p(x) = !F (x) , яка
задовольняє умову p(x) ! p(0) " H x , p 0( ) > 0 , де H < ! ─ деяка стала.
Припустимо, що функція g(t, !) двічі неперервно диференційовна по ! "#c ,
та введемо позначення gi (t, !) =
"
"!i
g(t, !) , gil (t, !) =
"2
"!i"!l
g(t, !) , dT2 (!) =
= diag diT2 (!)( )i=1
q
, diT2 (!) = gi2 (t, !)dt0
T
" , dil,T2 (!) = gil20
T
" (t, !) dt , ! "#c , i , l =
= 1, q . Будемо вважати, що limT!"T
#1 2diT ($) > 0 , i = 1, q . Ці границі можуть
дорівнювати і нескінченності.
Виконаємо заміну змінних у функції регресії u = T !1 2dT (")(# ! ") та позна-
чимо h(t, u) = g(t, ! + T 1 2dT"1(!)u), вважаючи, що ! є істинним значенням па-
раметра. При цьому параметрична множина ! переходить у
!UT (!) =
= T !1 2UT (") , де UT (!) = dT (!)(" # !) . Після такої заміни оцінка Коенкера –
Бассета !̂T переходить у нормований вектор uT = T !1 2dT (")("̂T ! ") .
Позначимо
1032 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
hi (t, u) = gi t, ! + T 1 2dT"1(!)u( ) ,
hil (t, u) = gil t, ! + T 1 2dT"1(!)u( ) , i, l = 1, q ,
QT! (u) = QT " + T 1 2dT#1(")u( ) , u ! !UT
c (") , V (r) = u !Rq : u < r{ } ,
!T (u1, u2 ) = h(t, u1) " h(t, u2 )( )2 dt
0
T
# ,
!T
(i) (u1, u2 ) = hi (t, u1) " hi (t, u2 )( )2 dt
0
T
# , i = 1, q , u1,!u2 !
!UT
c (") ,
!(t) = !+ (t) + !" (t),
де
!+ (t) = !(t)"{!(t) # 0} , !" (t) = !(t)#{!(t) < 0} .
В1. Для достатньо великих T T > T0( )
sup
!"#c
sup
0$t$T
gi (t, !) diT%1(&) $ kiT %1 2 , (2)
sup
!"#c
dil,T (!) diT$1(%) dlT$1(%) & kilT $1 2 . (3)
З умов (2) та (3) для довільних r ! 0 , i, l = 1, q випливають нерівності
sup
u!V c (r)! "UT
c (")
sup
0#t#T
hi (t, u) diT$1(") # k (i) (r)T $1 2 , (4)
sup
u!V c (r)! "UT
c (")
dil,T " + T 1 2dT#1(")u( ) diT#1(") dlT#1(") $ k (il) (r)T #1 2 . (5)
У свою чергу, як показано в [12], із (4) випливає нерівність
sup
u1,u2!V c (r)! "UT
c (")
T #1$T (u1, u2 ) u1 # u2
#2 % k(r) < & , (6)
а з (5) — нерівність
sup
u1,u2!V c (r)! "UT
c (")
#T
i( )(u1, u2 )diT$2 (") u1 $ u2
$2 % "k (i) (r) , i = 1, q . (7)
Припустимо, що для довільного r > 0 існує !(r) > 0 таке, що для T > T0
inf
u! !UT
c (")\V c (r)
T #1EQT* (u) $ E%+ (0) + &(r) , (8)
до того ж для деяких r0 > 0 , !0 > 0 !(r0 ) " (2 + #0 )E$+ (0) .
У роботі [13] доведено, що якщо виконуються умови А1 –А3, В1 та умова роз-
різнення параметрів (8), то для довільного r > 0
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1033
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
P uT ! r( ) = O(B(T )) при T ! " . (9)
Останнє співвідношення є деякою підсиленою властивістю слабкої конзистент-
ності оцінки Коенкера – Бассета.
Позначимо IT (!) = diT"1(!) dlT"1(!) gi (t, !)gl (t, !) dt0
T
#( )
i,l=1
q
, !min (IT (")) —
найменше власне число IT (!) .
В2. !min (IT (")) # !0 > 0 для T > T0 .
Нехай S1 — ! -алгебра вимірних за Лебегом підмножин R1 . Розглянемо на
(R1, S1) сім’ю комплексних матричних мір µT (d!, ") = µT (!, ")d! з матрични-
ми щільностями відносно міри Лебега µT (!, ") = µTkl (!, ")( )k,l=1
q
,
µTkl (!, ") = gTk (!, ") gTl (!, ") gTk (!, ")
2
d!
#$
+$
% gTl (!, ")
2
d!
#$
+$
%
&
'
(
)
*
+
#1 2
,
gTk (!, ") = ei!t gk (t, ") dt
0
T
# .
Означення 2 [4, 14 – 17]. Якщо сім’я мір µT (d!, ") при T ! " слабко збі-
гається до невід’ємно означеної матричної міри µ(d!, ") , то міра µ(d!, ")
називається спектральною мірою функції регресії g(t, !) .
Це означає, що для будь-якої обмеженої та неперервної дійсної функції !(") ,
! "R1 ,
!(")µT (", #) d"
$%
%
& T'%( '((( !(")µ(d", #)
$%
%
& , (10)
елементами µkl (d!, ") матриці µ(d!, ") є комплексні заряди обмеженої варіації
та матриця µ(A, !) невід’ємно означена для будь-якої множини A !S1 .
Означення 3 [14]. Дійсна функція !(") , ! "R1 , називається µ -припус-
тимою, якщо вона інтегровна за мірою µ , тобто всі елементи матриці
!(")µ(d", #)
$%
%
& набувають скінченних значень, та виконується (10) за умови
слабкої збіжності µT до µ .
В3. (і) Існує µ(d!, ") — спектральна міра функції регресії g(t, !) .
(іі) Спектральна щільність (с. щ.) f (!) , ! "R1 , випадкового процесу !(t) є
µ -припустимою.
За умов limT!" dkT2 (#) = " , sup0!t!T gk (t, ") = o dkT2 (")( ) , T ! " , k =
= 1, q , компоненти µkl (d!, ") визначаються із співвідношень
1034 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
Rkl (s) = lim
T!"
dkT#1 ($) dlT#1($) gk
0
T
% (t + s, $)gl (t, $) dt =
= ei!sµkl (d!, ")
#$
$
% , k, l = 1, q ,
за додаткового припущення неперервності матриці R(s) = (Rkl (s))k,l=1
q в нулі [14].
Якщо б к. ф. B(t) = E !(t)!(0) була абсолютно інтегровною на R1 (випадок
слабкої залежності !(t) ), то процес !(t), t !R1 , мав би обмежену та неперерв-
ну с.щ. f і для ! = f виконувалось би (10). Якщо с. щ. f обмежена та міра
µ точок її розриву дорівнює нулю, збіжність (10) також має місце (див., на-
приклад, [18]).
З іншого боку, якщо к.ф. B не інтегровна (випадок сильної залежності !(t) ),
а с.щ. f існує, то вона може втрачати властивість обмеженості, тому граничний
перехід у (10) для ! = f треба обґрунтовувати. Деякі достатні умови µ -припус-
тимості с.щ. f наведено у роботі [19].
2. Формулювання теореми. Нехай e — довільний напрям у Rq та ! "# .
Зауважимо, що якщо функції gi (t, !) належать C([0,T ] ! "c ) , i = 1,… , q , то
можливість однобічного диференціювання за довільним напрямком під знаком ін-
теграла QT (!) = "# (X(t) $ g(t, !))0
%
& dt випливає з теореми Лебега про мажорова-
ну збіжність.
Позначимо !
!e
QT (") = lim#$0+
QT (" + #e) %QT (")
#
. Тоді
!
!e
QT (") = #$g(t, "), e% &{X(t)' g(t, ")} ( )( )
0
*
+ dt ,
де ! позначає ! , якщо !"g(t, #), e$ % 0 , і < , якщо !"g(t, #), e$ < 0 .
Нехай d0 — відстань між ! та Rq \ ! . Якщо відбувається подія
!̂T " ! < r{ } та r < d0 , то для довільного напрямку e !
!e
QT ("̂T ) # 0 . Це
зауваження буде використано при доведенні теореми 1.
Нехай e1,… , eq — додатні напрямки координатних осей. Розглянемо вектори
QT± (!) з координатами
QiT± (!) = diT!1(")
#
#(±ei )
$
%&
'
()
QT (*) =
= ± diT!1(") gi (t, #) $ X(t)% g(t, #){ } ! &( )
0
T
' dt , i = 1, q .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1035
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
Зауважимо, що
QT+ (!) = "QT" (!) =
= dT!1(") #g(t, $) %{X(t) < g(t, $)} ! &( )
0
'
( dt майже напевно
для детермінованого ! , але QT+ (!̂T ) може не збігатися з !QT! ("̂T ) .
Введемо також вектори EQT± (!) з координатами
EQiT± (!) = ± diT"1(#) gi (t, !) F g(t, !) " g(t, #)( ) " $( )
0
T
% dt , i = 1, q .
Завдяки умові А3, очевидно, EQT± (!) = 0 .
Позначимо !T (") = IT#1(") .
Теорема 1. Нехай виконано умови А1 –А4, В1 – В3 та оцінка Коенкера –
Бассета !̂T є конзистентною в сенсі (9). Тоді асимптотичний при T ! "
розподіл вектора dT (!)(!̂T " !) збігається з асимптотичним розподілом, якщо
він існує, вектора ! p!1(0)"T (#)QT+ (#) .
Встановлення, наприклад, асимптотичної нормальності QT+ (!) є досить склад-
ною задачею. За умов теореми 1 одне таке твердження, при доведенні якого ви-
користовується центральна гранична теорема для кратних стохастичних інтегралів
і діаграмна техніка, сформульовано в [20].
3. Допоміжні твердження. При доведенні наступного факту використовуєть-
ся метод фрагментації параметричної множини, який належить Хьюберу [21, 22].
Введемо позначення
QT*± (u) = QT± ! + T 1 2dT"1(!)u( ) ,
zT± (!, u) = QT*± (u) "QT*± (0) " EQT*± (u) 1+ EQT*± (u)( )"1 .
Лема 1. При виконанні умов А1 –А4, В1, В2 для довільного ! > 0 та
достатньо малих r > 0
P sup
u!V c (r)! "UT
c (")
zT± (", u) > #$
%&
'
() T*+, *,,, 0 . (11)
Доведення проведемо для величини zT+ (!, u) . Припустимо, для простоти, що
r = 1 та супремум у (11) задано у кубі C0 = u : u 0 = max
1!i!q
ui ! 1{ } " V c (1).
Виконаємо покриття куба C0 за допомогою N0 = O(lnT ) кубів C(1),… , C(N0 )
таким чином. Нехай p !(0,1) — деяке число. Побудуємо концентричну систему
множин
1036 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
C (m) = u : u 0 ! 1" p( )m+1, 1" p( )m#$ %&{ } , m = 0, m0 ! 1 ,
C (m0 ) = u : u 0 < 1! p( )m0{ } .
Покриємо кожну з множин C (m) однаковими кубами зі стороною
am = 1! p( )m ! 1! p( )m+1 = p 1! p( )m
та пронумеруємо ці куби. Вони формують необхідне покриття C(1),… , C(N0!1) ,
C(N0 ) ! C
(m0 ) . Виберемо m0 = m0 (T ) з умови Rq , C (m) , ! "(1 2 ,1) .
Зауважимо, що ! 0 — відстань від C l( ) до 0 — є r(l) = (1! p)T !"#m# !m0!1 ,
та ! 0 — діаметр C l( ) — дорівнює a(l) = pT !"m !m0!1 для деякого m = m(l) , l =
= 1, N0 ! 1 . Більш того, якщо куб C l( ) є елементом покриття множини C (m) ,
то a(l) = am . Кількість кубів C l( ) покриття кожної множини C (m) можна зро-
бити незалежною від m і, відповідно, від T . Щоб у цьому переконатися, розгля-
немо будь-який октант у Rq . Об’єм тієї частини множини C (m) , що лежить у
цьому октанті, складає (1! p)mq ! (1! p)(m+1)q , а об’єм куба C l( ) дорівнює
aq (l) = pq (1! p)mq . Таким чином, максимальна „кількість” кубів C l( ) , що по-
кривають частину C (m) , яка знаходиться в даному октанті, дорівнює
(1! p)mq ! (1! p)(m+1)q( ) p!q (1! p)!mq = 1! (1! p)q( ) p!q .
З того, що m0 = O(lnT ) , випливає, що N0 = O(lnT ) також. Отже, маємо
P sup
u!C0
zT+ (", u) > #
$
%&
'
()
* P sup
u!C(l )
zT+ (", u) > #
$
%&
'
()l=1
N0
+ . (12)
Оцінимо кожен доданок у (12). Загальний елемент матриці похідних DT (u)
відображення u ! EQT*+ (u) має вигляд
DTil (u) = !
!ul
EQiT*+ (u) =
= T 1 2diT!1(") dlT!1(") hil (t, u) F h(t, u) ! h(t, 0)( ) ! #[ ]dt
0
T
$ +
+ T 1 2diT!1(") dlT!1(") hi (t, u)hl (t, u)p h(t, u) ! h(t, 0)( )dt
0
T
# =
= 1DTil (u) + 2DTil (u) .
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1037
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
Беручи до уваги (5), (6) та нерівність supx!R1 p(x) = p0 < " , для u < r отри-
муємо
T !1 2
1DTil (u) " T 1 2diT!1(#) dlT!1(#) dil,T # + T 1 2dT!1(#)u( ) $
! T "1 F h(t, u) " h(t, 0)( ) " F(0)[ ]2 dt
0
T
#
$
%
&
'
(
)
1 2
≤
≤ k (il) (r)p0k1 2 (r) u . (13)
З іншого боку,
T !1 2
2DTil (u) ! p(0)Iil (") ≤
≤ p0diT!1 "( )dlT!1 "( ) #T
(i) (u, 0)( )1 2 #T
(l) (u, 0)( )1 2$
%&
+
+ diT (!) "T
(l) (u, 0)( )1 2 + dlT (!) "T
(i) (u, 0)( )1 2 #$% +
+ diT!1(") dlT!1(") gi (t, ")gl (t, ") p h(t, u) ! h(t, 0)( ) ! p(0)( ) dt
0
T
# . (14)
З (7) випливає, що доданки у квадратних дужках обмежені величиною
p0 !k (i) (r)( )1 2 !k (l) (r)( )1 2 + !k (l) (r)( )1 2 + !k (i) (r)( )1 2!
"#
$
%&
u .
Для останнього доданка (14), використовуючи умови А4, (4) та нерівність (6), зна-
ходимо мажоранту
HT 1 2 diT!1(") sup
0#t#T
gi (t, ") T !1 2$2T
1 2 (u, 0)( ) # Hk (i) (r) k1 2 (r) u . (15)
За формулою Тейлора
T !1 2 EQiT*+ (u) = T !1 2
l=1
q
" DTil (u(i) )ul , u(i) < u , i = 1, q .
Позначимо HT = T !1 2DTil (u(i) )( )i,l=1
q
. Тоді, як ми довели, HT = p(0)IT (!) +
+ MT , де MT
il !
u!0
0 , i, l = 1, q , рівномірно по T . Очевидно,
!HT HT = p2 (0)IT2 (") + p(0) !MT IT (") + IT (")MT( ) + !MTMT( ) .
Використовуючи властивість власних чисел суми двох симетричних матриць (див.
[23, с. 101 – 103]), маємо
!min ( "HT HT ) # p2 (0)!min (IT2 ($)) ≤
1038 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
≤ q p(0) max
1!i,l!q
"MT IT (#) + IT (#)MT( )il + max
1!i, l!q
"MTMT( )il$
%&
'
() =
= O u( ) .
Таким чином, за умови В2 матриця !HT HT додатно означена рівномірно по
T > T0 для достатньо малих u (для простоти припустимо, що для u !C0 ) та
для деякого k0 > 0
T !1 2 EQT*+ (u)
2
= "HT HTu, u # k02 u 0
2 ,
або
EQT*+ (u) ! k0T 1 2 u 0 . (16)
Нехай l ! N0 та v !C(l) — довільна точка. Тоді, використовуючи (16),
можна записати
sup
u!C(l )
zT+ (", u) # sup
u!C(l )
MT
(l) (", u, v) + LT
(l) (", v)$
%&
'
()
1+ k0T 1 2r(l)( )*1 ,
де
MT
(l) (!, u, v) = M"T
(l) (!, u, v)"=1
4# ,
M1T
(l) (!, u, v) = dT"1(!) #h(t, u) $ X(t) < h(t, u){ } " $ X(t) < h(t, v){ }( )
0
T
% dt ,
M 2T
(l) (!, u, v) = dT"1(!) #h(t, u) " #h(t, v)( ) $ X(t) < h(t, v){ } " %( )
0
T
& dt ,
M 3T
(l) (!, u, v) = dT"1(!) #h(t, u) F h(t, u) " h(t, 0)( ) " F h(t, v) " h(t, 0)( )[ ]
0
T
$ dt ,
M 4T
(l) (!, u, v) = dT"1(!) #h(t, u) " #h(t, v)( ) F h(t, v) " h(t, 0)( ) " $[ ]
0
T
% dt ,
LT
(l) (!, v) = dT!1(") #h(t, v) $ X(t) < h(t, v){ } ! %( )[
0
T
& –
– !h(t, 0) " #(t) < 0{ } $ %( ) $ !h(t, v) F h(t, v) $ h(t, 0)( ) $ %( ) dt] .
З огляду на (7) для u !C(l) отримуємо
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1039
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
T !1 2M 2T
(l) (", u, v) # $ diT!2 (")%T
(i) (u, v)
i=1
q
&
'
(
)
*
+
,
1 2
# k1a(l) , (17)
де
k1 = ! !k (i) (1)
i=1
q
"
#
$
%
&
'
(
1 2
, a(l) = pT !"m !m0!1 , ! = max !,1" !{ } .
Більш того, відповідно до (4), (6) та умови А4
T !1 2M 3T
(l) (", u, v) ≤
≤ T !1 2 p0"2T
1 2 (u, v) diT2 (# + T 1 2dT!1(#)u)diT!2 (#)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1 2
≤ k2a(l) , (18)
де
k2 = p0k1 2 (1) k (i) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Аналогічно до попередньої нерівності
T !1 2M 4T
(l) (", u, v) ≤
≤ p0T !1 2"2T
1 2 (v, 0) diT!2 (#)"T
(i) u, v( )
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1 2
≤ k3a(l) , (19)
де
k3 = p0k1 2 (1) !k (i) (1)
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Оцінимо M1T
(l) (!, u, v) . Для довільного u !C(l) позначимо
! X(t) < h(t, u){ } = ! "(t) < h(t, u) # h(t, 0){ } = !u , ! = 1" ! .
Тоді з тотожності !u!v = 1" !u( ) 1" !v( ) = 1" !u " !v + !u!v випливає
!u " !v = 1" !u " !v = !u!v " !u!v = !u!v( ) # !u!v( ) ≤
≤ ! inf
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0) $ %(t) $ sup
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(
- !l (t) . (20)
Таким чином, використовуючи (4), маємо
T !1 2M1T
(l) (", u, v) ≤
1040 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
≤ T !1 2 diT!2 (") hi (t, u) # X(t) < h(t, u){ } ! # X(t) < h(t, v){ }[ ]dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1 2
≤
≤T !1 2 diT!2 (") hi (t, u)#l (t)dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1 2
≤
≤ T !1 2 diT!2 (") sup
0#t#T
hi (t, u)
$
%&
'
()
2
i=1
q
*
$
%
&
'
(
)
1 2
+l (t)dt
0
T
, ≤
≤ k4T !1 "l (t)dt
0
T
# , k4 = k (i) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
. (21)
Використовуючи (4), запишемо
T !1 E "l (t)dt
0
T
# =
= T !1 F sup
u"C(l )
h(t, u) ! h(t, 0)
#
$%
&
'(
! F inf
u"C(l )
h(t, u) ! h(t, 0)#
$%
&
'(
#
$
%
&
'
( dt
0
T
) ≤
≤ p0T !1 sup
u1, u2"C(l )
h(t, u1) ! h(t, u2 )
0
T
# dt ≤
≤ p0T !1 sup
u1,u2"C(l )
T 1 2diT!1(#) hi (t, u) u1 ! u2
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
0
T
+ dt ,
де u = u1 + ! u2 " u1( ) , ! " 0,1( ) . Отже,
T !1 E "l (t) dt
0
T
# $ p0 T !1 2diT!1(%) sup
u&C(l )
sup
0$t$T
hi (t, u)
i=1
q
' a(l) $ k5a(l) , (22)
де
k5 = p0q1 2 k (i) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
.
Оцінки (17) – (19), (21), (22) показують, що існують константи k6 , k7 такі,
що
P sup
u!C(l )
MT
(l) (", u, v) 1+ k0T 1 2r(l)( )#1 > $
2
%
&'
(
)*
≤
≤ P k6T !1 "l (t) ! E "l (t)( ) dt
0
T
# > $
2
r(l) ! k7a(l)
%
&
'
(
)
* . (23)
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1041
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
Величина
!
2
r(l) " k7a(l) =
!
2
(1" p) " k7 p
#
$%
&
'( T
")m !m0"1 > 0 , якщо p вибрати до-
статньо малим. Таким чином, імовірність (23) оцінюється за нерівністю Чебишова
величиною
4k62T 2!m
!m0"1"2 #(1" p) " 2k7 p( )"2 cov $l (t), $l (s)( ) dt ds
0
T
%
0
T
% . (24)
Оскільки в гільбертовому просторі L2 (R1,!(x) dx) , !(x) = (2")#1/2 e#x
2 /2 ,
розклад функції !l (t) за поліномами Чебишова – Ерміта має вигляд
!l (t) = cm (t)
m !
Hm ("(t))
m=0
#
$ , c0 (t) = E!l (t) ,
cm (t) = ! inf
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0) $ G(x) $ sup
u"C(l )
h(t, u) # h(t, 0)
%
&
'
('
)
*
'
+'R1
, -
!Hm (x)"(x) dx , m ! 1 ,
то
cov !l (t), !l (s)( ) = E !l (t)!l (s) " E !l (t) E !l (s) =
= E cm (t)ck (s)
m !k !
Hm (!(t))
m,k=0
"
# Hk (!(s)) $ c0 (t)c0 (s) =
= cm (t)cm (s)
m !m=1
!
" Bm (t # s) .
Далі, використовуючи нерівність ab ! 1
2
a2 + b2( ) , парність функції B(t) та
рівність B(0) = 1 , отримуємо
T !2 cov "l (t), "l (s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# = T !2 cm (t)cm (s)
m !
Bm (t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
#
m=1
$
% ≤
≤ T !2 cm2 (t)
m !
Bm (t ! s) dt ds
0
T
"
0
T
"
m=1
#
$ % T !2 cm2 (t)
m !m=1
#
$
&
'(
)
*+
B(t ! s) dt ds
0
T
"
0
T
" . (25)
Зауважимо, що
cm2 (t)
m !m=1
!
" = D#l (t) $ E #l (t) , (26)
Продовжуючи оцінки (25), (26), отримуємо
1042 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
T !2 cov "l (t), "l (s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# $ T !2 E "l (t)B(t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2 T !1 E "l (t) dt
0
T
#
$
%
&
'
(
) T !1 B(s) ds
0
T
#
$
%
&
'
(
) .
Для першого інтеграла останнього добутку правильною є оцінка (22), а за теоре-
мою з [24, с. 65]
T !1 B(s)ds
0
T
" = O B(T )( ) . (27)
Разом з (24) це мажорує ймовірність (23) величиною
k8L(T )T
!m !m0"1"# , (28)
яка збігається до 0 при T ! " зі степеневою швидкістю, якщо ! > " .
Позначимо
L1i (t) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( ) " X(t) < h(t, v){ } ! #( ) ,
L2i (t) = hi (t, 0) ! X(t) < h(t, v){ } " ! #(t) < 0{ }( ) , i = 1, q .
Тоді
LT
(l) (!, v) = diT"2 (!)
i=1
q
# L$i (t) " E L$i (t)( )
$=1
2
# dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2&
'
(
(
)
*
+
+
1 2
,
P1 = P LT
(l) (!, v) 1+ k0T 1 2r(l)( )"1 > #
2
$
%&
'
() ≤
≤ 8 diT!2 (")
i=1
q
# E L$i (t) ! E L$i (t)( ) dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2
$=1
2
#
&
'
(
(
)
*
+
+
,k0( )!2 T !1r!2 (l) .
Оцінимо величину
E L1i (t) ! E L1i (t)( )dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
= cov L1i (t), L1i (s)( )dt ds
0
T
"
0
T
" . (29)
Оскільки
E L1i2 (t) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( )2 E " #(t) < h(t, v) ! h(t, 0){ } ! $( )2 ≤
≤ !2 hi (t, v) " hi (t, 0)( )2 < # ,
то для функції L1i (t) справедливим є розклад у просторі L2 (R1,!(x) dx) :
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1043
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
L1i (t) = cm (t, v)
m !
Hm (!(t))
m=0
"
# , c0 (t, v) = E L1i (t) ,
cm (t, v) = hi (t, v) ! hi (t, 0)( ) "
! " G(x) < h(t, v) # h(t, 0){ } # $( )Hm (x)%(x) dx
R1
& , m ! 1 .
Тоді, як і вище,
cov L1i (t), L1i (s)( ) = cm (t, v)cm (s, v)
m !m=1
!
" Bm (t # s) .
Зауважимо також, що
cm2 (t, v)
m !m=1
!
" = DL1i (t) # E L1i2 (t) # $2 hi (t, v) % hi (t, 0)( )2 .
Продовжуючи оцінку (29), отримуємо
cov L1i (t), L1i (s)( )dt ds
0
T
!
0
T
! ≤
≤ !2 hi (t, v) " hi (t, 0)( )2 B(t " s)dtds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2T!2"T
(i) (v, 0) T #1 B(s) ds
0
T
$
%
&
'
(
)
* .
Далі, з (27) маємо, що (29) мажорується величиною k9T 1!"#T
(i) (v, 0)L(T ) .
Оцінимо E L2i (t) ! E L2i (t)( )dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
. Нехай C(l) — елемент покриття мно-
жини C (m) . Введемо позначення
M ! C (k)
k=m
m0
! . Тоді за аналогією з (20)
! "(t) < h(t, v) # h(t, 0){ } # ! "(t) < 0{ } ≤
≤ ! inf
v"M
h(t, v) # h(t, 0) $ %(t) $ sup
v"M
h(t, v) # h(t, 0){ } & !M (t) .
Отже, L2i (t) ! hi (t, 0) "M (t) . Оскільки
E L2i2 (t) ! hi2 (t, 0) E "M (t) ≤
≤ hi2 (t, 0) F sup
v!M
h(t, v) " h(t, 0)#
$%
&
'( " F inf
v!M
h(t, v) " h(t, 0)( ))
*+
,
-.
≤
1044 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
≤ p0hi2 (t, 0) sup
v1, v2!M
h(t, v1) " h(t, v2 ) < # ,
то має місце розклад функції L2i (t) в L2 (R1,!(x) dx) :
L2i (t) =
!cm (t, v)
m !
Hm (!(t))
m=0
"
# , !c0 (t, v) = EL2i (t) ,
!cm (t, v) = hi (t, 0) ! G(x) < h(t, v) " h(t, 0){ } " ! G(x) < 0{ }( )Hm (x)#(x) dx
R1
$ ,
m ! 1 .
З огляду на те, що
E L2i (t) ! EL2i (t)( ) dt
0
T
"
#
$
%
&
'
(
2
= cov L2i (t), L2i (s)( )dt ds
0
T
"
0
T
" , (30)
cov L2i (t), L2i (s)( ) =
!cm (t, v)!cm (s, v)
m !
Bm (t ! s)
m=1
"
# ,
!cm2 (t, v)
m !m=1
!
" = DL2i (t) # EL2i2 (t) ,
отримуємо
cov L2i (t), L2i (s)( )dtds
0
T
!
0
T
! ≤
≤ p0 hi2 (t, 0) sup
v1, v2!M
h(t, v1) " h(t, v2 ) B(t " s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
≤ 2p0T hi2 (t, 0) sup
v1, v2!M
h(t, v1) " h(t, v2 ) dt
0
T
# T "1 B(s) ds
0
T
#
$
%
&
'
(
) .
За умови (4)
hi2 (t, 0) sup
v1, v2!M
h(t, v1) " h(t, v2 ) dt
0
T
# ≤
≤
hi2 (t, 0) sup
v1, v2!M
T 1 2diT"1(#) hi (t, !v) v1 " v2
i=1
q
$
%
&
'
(
)
* dt
0
T
+ ≤
≤ 2 a(l) + r(l)( ) T 1 2diT!1(") sup
v#M
sup
0$t$T
hi (t, v)
i=1
q
%
&
'
(
)
*
+ diT
2 (") ≤
≤ 2 k (i) (1)
i=1
q
!
"
#
$
%
&
' a(l) + r(l)( )diT2 (() ,
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1045
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
тобто (30) мажорується величиною k10 a(l) + r(l)( )diT2 (!)T 1"#L(T ) .
Таким чином, завдяки (7)
P1 ≤ 8T 1!" #k0( )!2 T !1r!2 (l)L(T ) $
! diT"2 (#)
i=1
q
$ k9%T
(i) (v, 0) + k10diT2 (#) a(l) + r(l)( )( )&
'
(
(
)
*
+
+
≤
≤ 8T !" #k0( )!2 r!2 (l)L(T ) $
! k9 !k (i) (1)
i=1
q
"
#
$
%
&
'
( a(l) + r(l)( )2 + k10q a(l) + r(l)( )
)
*
+
+
,
-
.
.
≤
≤ k11T !"L(T ) a(l) + r(l)( )2 r!2 (l) + a(l) + r(l)( ) r!2 (l)#$ %& =
=
k11T !"L(T ) (1! p)!2 + (1! p)!2T #m !m0!1$
%&
'
() * k12T #m !m0!1!"L(T ) . (31)
Отже, P1 оцінюється величиною k12T
!m !m0"1"#L(T ) , яка збігається до нуля
при T ! " зі степеневою швидкістю при ! > " .
Отже, (28) та (31) показують, що для l = 1,… , N0 ! 1 та деякого m =
= m(l) < m0
P sup
u!C(l )
zT+ (", u) > #
$
%&
'
()
= O L(T )T *m !m0+1+,( ) .
Розглянемо випадок, коли l = N0 . Очевидно,
P sup
u!C(N0 )
zT+ (", u) > #
$
%&
'
()
≤
≤
P sup
u 0<T
!" m0 !m0!1
QT*+ (u) !QT*+ (0) ! EQT*+ (u) > #
$
%
&
&
'
(
)
)
.
Запишемо вираз, що стоїть під знаком норми, у вигляді суми векторів !1(", u) +
+ !2 (", u) + !3(", u) , де
!1(", u) = dT#1(") $h(t, u) # $h(t, 0)( ) % X(t) < h(t, u){ } # &( )
0
T
' dt ,
!2 (", u) = dT#1(") $h(t, 0) % X(t) < h(t, u){ } # % &(t) < 0{ }( )
0
T
' dt ,
1046 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
!3(", u) = #dT#1(") $h(t, u) F h(t, u) # h(t, 0)( ) # %[ ]
0
T
& dt .
Легко бачити, що для u 0 < T !"m0 !m0!1
!1(", u) ≤ !T 1 2 diT"2 (#)$T
(i) (u, 0)
i=1
q
%
&
'
(
)
*
+
1 2
≤
≤
!T 1/2"#m0 !m0
"1 !k (i) (1)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1/2
= k13T 1/2"#m0
!m0"1 , (32)
!3(", u) ≤ p0!T
1/2 (u, 0) diT"2 (#)diT2 (# + T 1/2dT"1(#)u)
i=1
q
$
%
&
'
(
)
*
1/2
≤
≤ k14T
1/2!"m0 !m0!1 . (33)
Якщо ! > 1 2 , то для T > T0 показники степеня у (32) та (33) від’ємні, і
залишається оцінити ймовірність ( !" < ")
P2 ! P sup
u 0<T
"# m0 !m0"1
$2 (%, u) > &'
(
)
*
*
+
,
-
-
.
Зауважимо, що
!2 (", u) =
= diT!2 (") hi (t, 0) # $(t) < h(t, u) ! h(t, 0){ } ! # $(t) < 0{ }( ) dt
0
T
%
&
'
(
)
*
+
2
i=1
q
,
&
'
(
(
)
*
+
+
1/2
. (34)
Тоді за аналогією з (20)
! "(t) < h(t, u) # h(t, 0){ } # ! "(t) < 0{ } ≤
≤
! inf
u 0<T
"# m0 !m0"1
h(t, u) " h(t, 0) $ %(t) $ sup
u 0<T
"# m0 !m0"1
h(t, u) " h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(
- !N0 (t) .
Продовжуючи (34), маємо
!2 (", u) ≤ diT!2 (") hi (t, 0) #N0 (t) dt
0
T
$
%
&
'
(
)
*
2
i=1
q
+
%
&
'
'
(
)
*
*
1/2
≤
≤ T !1/2 T 1/2diT!1(") sup
0#t#T
hi (t, 0)
$
%&
'
()
2
i=1
q
*
$
%
&
'
(
)
1/2
+N0 (t) dt
0
T
, ≤
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1047
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
≤ k (i) (1)( )2
i=1
q
!
"
#
$
%
&
'
1 2
T (1 2 )N0 (t) dt
0
T
* = k15T !1/2 "N0 (t) dt
0
T
# .
Отже,
P2 ! P k15T "1/2 #N0 (t) dt
0
T
$ > %&
'
(
)
*
+
, . (35)
Аналогічно до оцінки (22) отримуємо оцінку
T !1/2 E "N0 (t) dt # k16
0
T
$ T 1/2a(N0 ) = k16 pT 1/2!%m0
!m0!1 . (36)
Продовжуючи (35), для !!" < !" маємо
P2 ! P k15T "1/2 #N0 (t) " E #N0 (t)( ) dt
0
T
$ > %%&
'
(
)
*
+
, ≤
≤ !!"( )#2 k152 T #1 cov $N0 (t), $N0 (s)( ) dt ds
0
T
%
0
T
% .
Оскільки в гільбертовому просторі L2 (R1,!(x) dx) має місце розклад
!N0 (t) =
!cm (t)
m !
Hm ("(t))
m=0
#
$ ,
!cm (t) =
! inf
u 0<T
"# m0 $ !m0"1
h(t, u) " h(t, 0) % G(x) % sup
u 0<T
"# m0 $ !m0"1
h(t, u) " h(t, 0)
&
'
(
)(
*
+
(
,(R1
- .
! Hm (x)"(x) dx , m ! 0 ,
то
T !1 cov "N0 (t), "N0 (s)( ) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤
T !1 !cm2 (t)
m !m=1
"
#
$
%&
'
()
B(t ! s) dt ds
0
T
*
0
T
* ≤
≤ T !1 E "N0 (t)B(t ! s) dt ds
0
T
#
0
T
# ≤ 2 E !N0 (t)
0
T
" dt T #1 B(s)
0
T
" ds
$
%
&
'
(
) .
Далі, для першого інтеграла використовуємо оцінку (36), а для другого — (27),
отже,
P2 ! k17L(T )T 1"#"$m0
!m0"1 .
Ця величина збігається до нуля при T ! " , якщо ! + " > 1 .
Лему 1 доведено.
1048 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
Покладемо EQT± !̂T( ) = EQT± (")( ) "=!̂T
.
Лема 2. При виконанні умов теореми 1 для довільного ! > 0
P QT± (!) + EQT± (!̂T ) > "( ) T#$% #%%% 0 . (37)
Доведення. Для достатньо малого r > 0 маємо
P zT± (!, uT ) > "( ) =
= P zT± (!, uT ) > ", uT # r( ) + P zT± (!, uT ) > ", uT > r( ) = P1+ P2 .
Із співвідношення (11) випливає, що P1 ≤
P sup
u!V c (r)! "UT
c (")
zT± (", u) > #
$
%&
'
()
*
T*+
0 ,
а із конзистентності оцінки !̂T маємо P2 !
T!"
0 .
Таким чином, оскільки QT*± (uT ) = QT± (! + T 1 2 dT"1(!)uT ) = QT± (!̂T ) , отриму-
ємо
QT± (!̂T ) "QT± (!) " EQT± (!̂T ) 1+ EQT± (!̂T )( )"1 T#$% #%%%
p
0 . (38)
Якщо відбулася подія !̂T " ! < r{ } для деякого r < d0 , то QiT± (!̂T ) " 0 ,
i = 1, q , і з (38) випливає
QiT+ (!̂T ) " QiT+ (!) + EQiT+ (!̂T )( )
1+ EQT± (!̂T ) T#$% #%%%
p
0 , (39)
QiT! ("̂T ) + QiT+ (") + EQiT+ ("̂T )( )
1+ EQT± ("̂T ) T#$% #%%%
p
0 . (40)
В свою чергу з (39), (40) для довільного ! > 0 маємо
P QT± (!) + EQT± (!̂T ) " 1+ EQT± (!̂T )( ) #( ) T$%& $&&& 1 . (41)
З (41) випливає, що P X+ (!)( ) "
T"#
1 , де
X+ (!) = EQT+ (!̂T ) "
# + QT+ (!)
1$ #
%
&
'
('
)
*
'
+'
. (42)
Доведемо обмеженість за ймовірністю вектора EQT+ (!̂T ) . Маємо
P EQT+ (!̂T ) > M( ) = P EQT+ (!̂T ) > M , X+ (!)( ) +
+ P EQT+ (!̂T ) > M , X+ (!)( ) ≤ P QT+ (!) > M (1" #) " #( ) + P X+ (!)( ) , (43)
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1049
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
де X+ (!) — доповнення до події X+ (!) .
Позначимо !(t) = "{#(t) < 0} $ % , t !R1 . Тоді QiT± (!) = diT!1(") #
! gi (t, ")#(t) dt0
T
$ майже напевно, i = 1, q . Оцінимо ймовірність P QT+ (!)( >
> M (1! ") ! ") .
Очевидно,
E QT+ (!)
2
= E(diT"1(!) gi (t, !)#(t)
0
$
% dt
i=1
q
& )2 ,
E(QiT+ (!))2 = diT"2 (!) gi (t, !)gi (s, !)B#(t " s)
0
T
$
0
T
$ dt ds , i = 1, q ,
де B!(t " s) = E !(t)!(s) = cov #{$(t) < 0}, #{$(s) < 0}( ) . Далі, очевидно також,
що
cov !{"(t) < 0}, !{"(s) < 0}( ) = Cm2
m !
Bm (t # s)
m=1
$
% ,
Cm = !{G(x) < 0}
"#
#
$ Hm (x)%(x) dx , m ! 1 ,
E QiT+ (!)( )2 = Cm2
m !
diT"2
m=1
#
$ (!) gi (t, !)gi (s, !)
0
T
%
0
T
% Bm (t " s) dt ds .
Оскільки за умовою теореми 1 ! > 1 2 , то B2 (!) "L1(R1) та відповідна с. щ.
f2 (!) , ! "R1 , неперервна та обмежена. Більш того, всі згортки fm (!) =
= 1
2!
e"i#t Bm
"$
$
% (t) dt , m ! 2 , мають таку ж властивість. Крім цього, fm (!) ≤
≤ 1
2!
Bm
"#
#
$ (t) dt ≤ 1
2!
B2
"#
#
$ (t) dt , m ! 2 , тобто supm!2 max"#R1 fm (") ≤
≤ 1
2!
B2
"#
#
$ (t) dt та
diT!2 (") gi (t, ")gi (s, ")Bm (t ! s)
0
T
#
0
T
# dt ds =
=
fm (!) ei!t
0
T
" gi (t, #) dt
2
d!
$%
%
"
1
2&
ei!t
0
T
" gi (t, #) dt
2
d!
$%
%
"
≤ B2
!"
"
# (t)dt , m ! 2 .
Бачимо, що
1050 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
E(QiT+ (!))2 " C12diT#2 (!) gi (t, !)gi (s, !)B(t # s)
0
T
$
0
T
$ dt ds + B2 (t) dt
#%
%
$
Cm2
m !m=2
%
&
'
()
*
+,
,
до того ж Cm2
m !
= D!{"(t) < 0} # C12m=2
$% = & # &2 # C12 .
Оскільки с. щ. f (!) має в нулі порядок !"#1 (див. [25]) і 1! " < 1 2 , то
2(1! ") < 1 , тобто функція f 2 (!) інтегровна в околі нуля ! "(#1,1) . Крім
цього, max ! "1 f (!) # $ f < % , як це випливає з [25, с. 277]. Це означає, що для
! " 1 f 2 (!) " max µ #1 f (µ)( ) f (!) " $ f f (!) і f (!) "L1(R
1)! L2 (R1) . За то-
тожністю Планшереля
B2
!"
"
# (t) dt = 2$ f 2
!"
"
# (%) d% . (44)
Зауважимо далі, що завдяки умові В3,
diT!2 (") gi (t, ")gi (s, ")B(t ! s)
0
T
#
0
T
# dt ds =
= 2! f (")
#$
$
% ei"t
0
T
% gi (t, &) dt
2
ei"t
0
T
% gi (t, &) dt
2
d"
#$
$
%
'
(
)
)
*
+
,
,
#1'
(
)
)
)
*
+
,
,
,
d" =
= 2! f (")µTii (d", #) T$%& $&&&
'%
%
( 2! f (")µii (d", #)
'%
%
( . (45)
Із співвідношень (44), (45) отримуємо, що для будь-якого ! > 0 існує T0 =
= T0 (!) > 0 таке, що для T > T0
E QT+ (!)
2
" 2#C12 f ($)µii (d$, !) + %
&'
'
(
i=1
q
)
*
+
,
-
.
/ + 2#(0 & 02 & C12 )q f 2 ($) d$
&'
'
( .
Це означає, що вектор QT+ (!) обмежений за ймовірністю, а разом з ним век-
тор EQT+ (!̂T ) також обмежений за ймовірністю.
Відповідно до (41) для довільного ! > 0
P QT+ (!) + EQT+ (!̂T ) > "( ) ≤
≤ P QT+ (!) + EQT+ (!̂T ) > " 1+ M( )#1 1+ EQT+ (!̂T )( ) , EQT+ (!̂T ) $ M( ) +
+ P EQT+ (!̂T ) > M( ) ≤
ПРО АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ОЦІНКИ КОЕНКЕРА – БАССЕТА ПАРАМЕТРА … 1051
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
≤ P QT+ (!) + EQT+ (!̂T ) > " 1+ M( )#1 1+ EQT+ (!̂T )( )( ) +
+ P EQT+ (!̂T ) > M( ) ,
звідки і випливає (37).
Лему 2 доведено.
Лема 3. За умов теореми 1 для довільного ! > 0
P EQT+ (!̂T ) " p(0)IT (!)dT (!)(!̂T " !) > #( ) T$%& $&&& 0 . (46)
Доведення. Якщо величина uT = T !1 2dT (")("̂T ! ") є малою, то з нерів-
ності (16) та обмеженості за ймовірністю випадкового вектора EQT+ (!̂T ) випли-
ває, що вектор dT (!)(!̂T " !) = T 1 2uT також обмежений за ймовірністю. Дійс-
но, із (16) та конзистентності !̂T випливає, що для достатньо малих r > 0
P T 1 2 uT > M( ) ≤ P EQT+ (!̂T ) > k0M( ) + P uT > r( ) T ,M"#$ "$$$$ 0 .
Використовуючи позначення, які було введено раніше, маємо
T !1 2 EQT+ ("̂T ) = T !1 2 EQT#+ (uT )HTuT ,
EQT+ (!̂T ) " p(0)IT (!)dT (!)(!̂T " !) = H1T + H2T ! p(0)IT (")( )T 1 2uT ,
де матриці HkT = T !1/2
kDTil (u(i) )( )i,l=1
q
, k = 1, 2 , u(i) ! uT , i = 1, q , означені,
як і матриця HT , за аналогією з матрицями T !1/2
kDT (u(i) ) , k = 1, 2 .
Нерівності (13) – (15) показують, що
EQT+ (!̂T ) " p(0)IT (!)dT (!)(!̂T " !) ≤
≤ H1T dT (!)(!̂T " !) + H2T " p(0)IT (!)( )dT (!)(!̂T " !) ≤
≤ k18 uT dT (!)(!̂T " !) .
Твердження леми випливає з обмеженості за ймовірністю вектора
dT (!)(!̂T " !) .
Лему 3 доведено.
4. Доведення теореми 1. Із співвідношень (37) та (46) для довільного ! > 0
знаходимо
P p!1(0)"T (#)QT+ (#) + dT (#)(#̂T ! #) > $( ) ≤
≤ P p!1(0)"T (#) QT+ (#) + EQT+ (#̂T )( ) > $
2
%
&'
(
)* +
1052 О. В. ІВАНОВ, І. М. САВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
+ P p!1(0)"T (#) EQT+ (#̂T ) ! dT (#)(#̂T ! #) > $
2
%
&'
(
)* T+,- +--- 0 .
Теорема 1 випливає, наприклад, із теореми [26, с. 117].
1. Beran J. Statistics for long-memory processes. – New York: Chapman and Hall, 1994.
2. Leonenko N. N. Limit theorems for random fields with singular spectrum. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1999.
3. Doukhan P., Oppenheim G., Takku M. S. Theory and applications of long-range dependence. – Boston:
Birkhäuser, 2003.
4. Grenander U., Rozenblatt M. Statistical analysis of stationary time series. – New York: John Wiley and
Sons, 1957. – 300 p.
5. Bassett G., Koenker R. Regression quantile // Econometrica. – 1978. – 46. – P. 33 – 50.
6. Іванов О. В., Орловський І. В. Асимптотична нормальність оцінок Коенкера – Бассета у неліній-
них моделях регресії // Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2005. – Вип. 72. – С. 30 – 41.
7. Орловський І. В. Конзистентність оцінок Коенкера – Бассета у нелінійних моделях регресії // На-
ук. вісті НТУУ „КПІ”. – 2004. – № 3 (35). – С. 144 – 150.
8. Kukush A. G., Beirlant J., Goegebeur Y. Nonparametric estimation of conditional quantiles // Dept.
Appl. Econ. – Belgium: K. V. Leuven, 2005. – Res. Rept OR 0557.
9. Jennrich R. I. Asymptotic properties of non-linear least squares estimators // Ann. Math. Statist. – 1969.
– 40. – P. 633 – 643.
10. Pfanzagl J. On the measurability and consistency of minimum contrast estimates // Metrika. – 1969. –
14. – P. 249 – 272.
11. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. – М.: Наука, 1976.
12. Ivanov A. V. Asymptotic theory of nonlinear regression. – Dordrecht: Kluwer Acad. Press, 1997.
13. Савич І. М. Конзистентність квантильних оцінок у моделях регресії з сильно залежним шумом //
Теорія ймовірностей та мат. статистика. – 2010. – № 82. – С. 128 – 136.
14. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. – М.: Наука, 1970. – 383 с.
15. Холево А. С. Об оценках коэффициентов регрессии // Теория вероятностей и ее применения. –
1969. – 14. – С. 78 – 101.
16. Холево А. С. Об асимптотической нормальности оценок коэффициентов регрессии // Теория
вероятностей и ее применения. –1971. – 16. – С. 724 – 728.
17. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Statistical analysis of random fields. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad.
Publ., 1989. – 244 p.
18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
19. Іванов О. В., Савич І. М. µ -Припустимість спектральної щільності сильно залежного випадко-
вого шуму у нелінійних моделях регресії // Наук. вісті НТУУ „КПІ”. – 2009. – № 1. – С. 143 – 148.
20. Ivanov A. V., Savych I. N. Asymptotic properties of Koenker – Bassett estimator in the regression model
with long-range dependence // Int. Conf. „Modern Stochastics: Theory and Applications II”, Kyiv, 7 –
10 Sept., 2010. – P. 88.
21. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.
22. Huber P. J. The behaviour of maximum likelihood estimates under nonstandard conditions // Proc. 5 th
Berkeley Symp. Math. Statistics and Probability. – Berkeley: Unif. Clif. Press., 1967. – Vol. 1. –
P. 221 – 233.
23. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem. – Oxford: Clarendon Press, 1962. – 662 p.
24. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985.
25. Anh V. V., Knopova V. P., Leonenko N. N. Continuous-time stochastic processes with cyclical long-
range dependence // Austral. and N. Z. J. Statist. – 2004. – 46, № 2. – P. 275 – 296.
26. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968. – 548 с.
Одержано 18.02.10,
після доопрацювання — 23.06.11
|
| id | umjimathkievua-article-2783 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:20Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/b8f43da02c09360afeec19f18151b45c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27832020-03-18T19:36:38Z On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом Ivanov, O. V. Savych, I. M. Іванов, О. В. Савич, І. М. We prove that, under certain regularity conditions, the asymptotic distribution of the Koenker - Bassett estimator coincides with the asymptotic distribution of the integral of the indicator process generated by a random noise weighted by the gradient of the regression function. Доказано, что при некоторых условиях регулярности асимптотическое распределение оценки Коенкера – Бассета совпадает с асимптотическим распределением интеграла от порожденного случайным процессом индикаторного процесса, взвешенного градиентом функции регресcии. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2783 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1030-1052 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1030-1052 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2783/2321 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2783/2322 Copyright (c) 2011 Ivanov O. V.; Savych I. M. |
| spellingShingle | Ivanov, O. V. Savych, I. M. Іванов, О. В. Савич, І. М. On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title | On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_alt | Про асимптотичний розподіл оцінки Коенкера - Бассета параметра нелінійної моделі регресії з сильно залежним шумом |
| title_full | On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_fullStr | On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_short | On the asymptotic distribution of the Koenker?Bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| title_sort | on the asymptotic distribution of the koenker?bassett estimator for a parameter of the nonlinear model of regression with strongly dependent noise |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2783 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovov ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise AT savychim ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise AT ívanovov ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise AT savičím ontheasymptoticdistributionofthekoenkerbassettestimatorforaparameterofthenonlinearmodelofregressionwithstronglydependentnoise AT ivanovov proasimptotičnijrozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníjnoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT savychim proasimptotičnijrozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníjnoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT ívanovov proasimptotičnijrozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníjnoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT savičím proasimptotičnijrozpodílocínkikoenkerabassetaparametranelíníjnoímodelíregresíízsilʹnozaležnimšumom |