Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient
The concept of strongly positive operator is generalized, and properties of the operators introduced are analyzed. The solutions of the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with generalized strongly positive operator coefficient are found.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2784 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508755475562496 |
|---|---|
| author | Il'chenko, Yu. V. Chaikovs'kyi, A. V. Ільченко, Ю. В. Чайковський, А. В. |
| author_facet | Il'chenko, Yu. V. Chaikovs'kyi, A. V. Ільченко, Ю. В. Чайковський, А. В. |
| author_sort | Il'chenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | The concept of strongly positive operator is generalized, and properties of the operators introduced are analyzed.
The solutions of the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with generalized strongly positive operator coefficient are found. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
Ю. В. Iльченко, А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI З УЗАГАЛЬНЕНИМ СИЛЬНО
ПОЗИТИВНИМ ОПЕРАТОРНИМ КОЕФIЦIЄНТОМ
The concept of strongly positive operator is generalized, and properties of the operators introduced are ana-
lyzed. The solutions of the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with generalized
strongly positive operator coefficient are found.
Обобщено понятие сильно позитивного оператора, исследованы свойства введенных операторов. Полу-
чены решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с обобщен-
ным сильно позитивным операторным коэффициентом.
1. Вступ та постановка задачi. Протягом багатьох десятирiч активно розвиваєть-
ся теорiя напiвгруп, породжених необмеженими операторами. Фундаментальнi ре-
зультати наведено, наприклад, у роботах [1 – 4]. Зокрема, активно вивчався клас
секторiальних (сильно позитивних) операторiв. Його узагальненнями є класи силь-
но P -позитивних операторiв [5] та клас необмежених операторiв (fS , fR)-типу,
який введено в статтi [6]. У цiй роботi показано, що для операторної експонен-
ти, породженої оператором (fS , fR)-типу, можливим є ефективне її наближення
чисельними методами, що дозволяє активно використовувати розвинену авторами
теорiю на практицi.
У данiй роботi розглянуто i детально дослiджено частковий випадок операторiв
(fS , fR)-типу та встановлено достатнi умови розв’язностi задачi Кошi для лiнiйного
диференцiального рiвняння в абстрактному просторi з вiдповiдним операторним
коефiцiєнтом. Наведемо потрiбнi означення.
Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, A — замкнений лiнiйний опе-
ратор, A : D(A)→ B, D(A) скрiзь щiльна в B.
Означення 1 [5]. Лiнiйний оператор A називається сильно позитивним, якщо
D(A) = B, його спектр σ(A) розмiщений у секторi S(α) = {reiϕ | 0 < r < +∞;
ϕ ∈ (−α;α)}, α ∈ (0;π/2), а поза сектором для резольвенти виконується оцiнка
‖(zI −A)−1‖B→B ≤
M
1 + |z|
.
Нехай тепер Γ — орiєнтований проти годинникової стрiлки контур, що склада-
ється iз двох дуг Γ+ i Γ− параболи: y2 = k(x − x′), k > 0, x′ — деяка фiксована
точка, Γ+ i Γ− з’єднано вiдрiзком Γ0 прямої x = x0. ΩΓ — область, що розташована
злiва при вказаному напрямку обходу контура Γ.
Означення 2 [5]. Лiнiйний оператор A : D(A) → B називається сильно P -
позитивним, якщо D(A) = B, його спектр σ(A) розмiщений в областi ΩΓ, а на Γ
та поза ΩΓ має мiсце оцiнка∥∥(zI −A)−1
∥∥
B→B
≤ M
1 +
√
|z|
.
Нехай fS , fR — деякi дiйснозначнi функцiї, ΓS — крива в комплекснiй площинi
z = ξ+ iη, визначена рiвнянням ξ = fS(η) в координатах ξ, η, ΩΓS := {z = ξ+ iη |
ξ > fS(η)} — область всерединi кривої ΓS .
c© Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1053
1054 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Означення 3 [6]. Лiнiйний оператор A : D(A) → B називається операто-
ром (fS , fR)-типу, якщо D(A) = B, його спектр σ(A) розмiщений в областi ΩΓS ,
а на C\ΩΓS має мiсце оцiнка
‖(zI −A)−1‖B→B ≤ fR(z).
Властивостi сильно P -позитивних (або секторiальних) операторiв детально ви-
кладено, наприклад, у роботах [4, 7]. У статтi [5] показано, що за умови сильної
P -позитивностi оператора A послаблений розв’язок задачi Кошi
u̇+Au = 0, t ∈ (0;T ], u(0) = u0,
де u : [0; +∞)→ B — вектор-функцiя, можна подати у виглядi
u(t) =
1
2πi
∫
Γ
e−zt(z −A)−1u0dz,
якщо u0 ∈ D(Aε) для довiльного ε >
1
2
.
У роботi [8] побудовано розв’язок неоднорiдної задачi Кошi з операторним кое-
фiцiєнтом, спектр якого належить сектору, а резольвента при λ→ +∞ оцiнюється
деякою функцiєю G.
Тепер розглянемо частковий випадок операторiв (fS , fR)-типу. Введемо до роз-
гляду контур Γβ,a =
{
z = (x, y) | |y| = axβ
}
, при a > 0, β ≥ 1 орiєнтований
проти годинникової стрiлки, Ωβ,a — область, що розташована злiва при вказаному
напрямку обходу Γβ,a.
Означення 4. Лiнiйний оператор A : D(A)→ B назвемо (α, β)-степеневим,
де α ∈ (0; 1], β ≥ 1, якщо D(A) = B, при деякому a > 0 його спектр σ(A)
розмiщений в областi Ωβ,a i виконується оцiнка
∀z ∈ C\Ωβ,a : ‖(zI −A)−1‖B→B ≤
M
1 + |z|α
.
Далi розв’яжемо задачу Кошi, розв’язок якої розумiтимемо таким чином.
Означення 5. Нехай функцiя f : (0;R)→ B, x0 ∈ B. Розв’язком задачi Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0;R), x(0) = x0, (1)
назвемо функцiю x : [0;R) → D(A), яка неперервна на [0;R), диференцiйовна на
(0;R) i задовольняє рiвняння та початкову умову.
2. Введення поняття операторної експоненти. Нехай A — (α, β)-степеневий
оператор, Γβ,a — контур з означення 4, Rz(A) := (A− zI)−1. Покладемо
e−At := − 1
2πi
∫
Γβ,a
e−tzRz(A)dz. (2)
Тут i далi всi iнтеграли будемо розумiти як iнтеграли Рiмана (власнi чи невласнi).
Лема 1. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi мають мiсце наступнi
твердження:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1055
1) iнтеграл (2) абсолютно збiжний i виконується оцiнка
∃C1 > 0 ∀t ∈ (0; 1] : ‖e−At‖ ≤ C1
tβ(1−α)
;
2) iснують сталi C2 > 0 i ε > 0 такi, що для будь-якого t > 1 ‖e−At‖ ≤
≤ C2e
−εt.
Доведення. 1. Доведення першої частини леми при малих t будемо проводити,
використовуючи видозмiнений контур iнтегрування. Нехай γ < 0 довiльне, x0 = tγ ,
новий контур Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3, де Γ2 — дуга кола радiуса r0 з центром у початку
координат, що обходить початок координат проти годинникової стрiлки вiд точки
(x0; axβ0 ) до точки (x0;−axβ0 ), Γ1 i Γ3 — верхня i нижня дуги степеневої функцiї
|y| = axβ вiдповiдно (вiд ∞ до точки (x0; axβ0 ) на дузi та вiд точки (x0;−axβ0 ) до
∞). Враховуючи аналiтичнiсть пiдiнтегральної функцiї, в (2) можна замiнити Γβ,a
на Γ.
Нехай
r0 :=
√
x2
0 + a2x2β
0 , ϕ0 := arctg(axβ−1
0 ).
Тодi
‖e−At‖ =
1
2π
∥∥∥∥∥∥
∫
Γ
e−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥ ≤ 1
2π
3∑
k=1
∫
Γk
|e−tz|‖Rz(A)‖|dz| =:
3∑
k=1
Ik.
а) Спочатку знайдемо оцiнки для iнтеграла по контуру Γ2. Виконаємо в I2
замiну z = r0 cosϕ+ ir0 sinϕ. Тодi
|z|α = (x2
0 + a2x2β
0 )α/2 = rα0 , |dz| = |(−r0 sinϕ+ ir0 cosϕ)|dϕ = r0dϕ.
Звiдси маємо
I2 ≤
1
2π
2π−ϕ0∫
ϕ0
e−tr0 cosϕ Mr0
1 + rα0
dϕ ≤ Mr0
1 + rα0
sup
ϕ∈[ϕ0;2π−ϕ0]
e−tr0 cosϕ ≤ Mr0e
tr0
1 + rα0
.
Враховуючи, що r0 ≤ (1 + a)xβ0 = (1 + a)tγβ , встановлюємо
∃C3 > 0 ∀t ∈ (0; 1] : I2 ≤ C3e
(1+a)tγβ+1
tγβ(1−α).
При γ < − 1
β
ця оцiнка не є ефективною при малих t, тому будемо вважати, що
γ ≥ − 1
β
. Тодi
∀t ∈ (0; 1] : I2 ≤
C3e
t−γβ(1−α)
≤ C3e
tβ(1−α)
. (3)
б) Знайдемо тепер оцiнку для iнтеграла по контуру Γ1 (для Γ3 аналогiчно) при
γ = −1.
Покладемо
g(x) :=
√
1 + a2β2x2β−2
1 + (x2 + a2x2β)
α/2
, x ∈ R.
Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1056 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
∀x ≥ 1: g(x) ≤ 1 + aβxβ−1
aαxβα
, (4)
то, виконавши замiну z = x+ iaxβ , отримаємо
I1 ≤
1
2π
+∞∫
t−1
e−txM
√
1 + a2β2x2β−2
1 + (x2 + a2x2β)
α/2
dx ≤
≤ M
2π
+∞∫
t−1
e−txa1−αβxβ−αβ−1dx+
M
2π
+∞∫
t−1
e−txa−αx−αβdx =
= |w = tx| = Ma1−αβ
2πtβ−αβ
+∞∫
1
e−wwβ−αβ−1dw+
+
Ma−α
2πt1−αβ
+∞∫
1
e−ww−αβdw ≤ C4
tβ−αβ
,
де
C4 =
Ma1−αβ
2π
+∞∫
1
e−wwβ−αβ−1dw +
Ma−α
2π
+∞∫
1
e−ww−αβdw,
тобто
∃C4 > 0 ∀t ∈ (0; 1] : I1 6
C4
tβ−αβ
.
Отже, з останнього спiввiдношення та нерiвностi (3) випливає твердження п. 1
леми.
2. Якщо розглядати t ≥ 1, то оцiнку для норми експоненти можна отримати не
видозмiнюючи контур:
‖e−At‖ =
1
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Γβ,a
e−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
2π
∫
Γβ,a
|e−tz|‖Rz(A)‖|dz| ≤ M
π
+∞∫
0
e−txg(x)dx.
Враховуючи (4) та оцiнку
∀x ∈ (0; 1] : g(x) ≤ 1 + aβxβ−1,
знаходимо
‖e−At‖ ≤ M
π
1∫
0
(1 + aβxβ−1)e−txdx+
+∞∫
1
e−tx
1 + aβxβ−1
aαxαβ
dx
≤ |w = tx| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1057
≤ M
π
(1 + aβ)t−1 +
tαβ−1
aα
+∞∫
t
e−ww−αβdw +
a1−αβ
tβ(1−α)
+∞∫
t
e−wwβ−1−αβdw
≤
≤ M
π
(
(1 + aβ)t−1 +
e−t
aαt
+
a1−αβe−t
t
)
≤ M
π
(
1 + aβ +
1
aα
+ βa1−α
)
. (5)
Другий пункт леми випливає з (5). Дiйсно, якщо виконуються умови означен-
ня 3, то iснують ε > 0 та a1 > a такi, що умови означення 3 виконуються для
оператора A − εI з замiною a на a1. Тому, застосувавши оцiнку (5) до оператора
A− εI, отримаємо
‖e−At‖ = e−εt‖e−(A−εI)t‖ ≤ C2e
−εt, t ≥ 1.
3. Властивостi операторної експоненти.
Теорема 1. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi
∀x ∈ B ∀t > 0: e−Atx ∈ D(A),
∃K > 0 ∃ε > 0 ∀t > 0: ‖Ae−At‖ ≤ Ke−εt
t2β−αβ
.
(6)
Доведення. Покажемо, що Ae−At = − 1
2πi
∫
Γβ,a
ze−ztRz(A)dz, де Γβ,a — кон-
тур з означення 4. Маємо∫
Γβ,a
ze−ztRz(A)dz =
∫
Γβ,a
ze−ztRz(A)dz +
∫
Γβ,a
(A− zI)e−ztRz(A)dz =
=
∫
Γβ,a
Ae−ztRz(A)dz = A
∫
Γβ,a
e−ztRz(A)dz
= −2πiAe−At,
де використано те, що
∫
Γβ,a
(A− zI)e−ztRz(A)dz =
∫
Γβ,a
e−ztIdz = O як iнтеграл
вiд аналiтичної функцiї. Тому
‖Ae−At‖ ≤ 1
2π
∫
Γβ,a
|z||e−tz|‖Rz(A)‖|dz| ≤
≤
∣∣∣z = x± iaxβ , dz = (1± iβaxβ−1)dx
∣∣∣ ≤ 1
π
+∞∫
0
e−txh(x)dx,
де
h(x) :=
√
x2 + a2(β2 + 1)x2β + β2a4x4β−2
1 + (x2 + a2x2β)
α
2
.
При x ∈ [0; 1]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1058 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
h(x) ≤
√
1 + a2(β2 + 1) + β2a4 =: C0,
а при x > 1
h(x) ≤ C ′x2β−1
xαβ
, C ′ :=
√
1 + a2(β2 + 1) + β2a4
aα
.
Тодi
‖Ae−At‖ ≤ 1
π
1∫
0
C0e
−txdx+
+∞∫
1
C ′e−txx2β−αβ−1dx
≤
≤ 1
π
(
C0
t
+
C ′′
t2β−αβ
)
,
де
C ′′ := C ′Γ(2β − αβ).
Використовуючи мiркування з останньої частини доведення леми 1 та врахову-
ючи, що 2β − αβ ≥ 1, отримуємо твердження теореми.
Теорема 2. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi
∀t > 0: (e−At)′ = −Ae−At.
Доведення. Розглянемо функцiю
h(w) =
e−w − 1 + w
w
.
Оскiльки h(w) → 1 при w → ∞ i Rew > 0 та h(w) → 0 при w → 0, то
h ∈ C(C), якщо h довизначити за неперервнiстю в точцi 0 i
∃L′ > 0 ∀w ∈ C, Rew > 0: |h(w)| ≤ L′.
Нехай ∆t > 0. Запишемо таку норму:∥∥∥∥e−A(t+∆t) − e−At
∆t
+Ae−At
∥∥∥∥ =
=
1
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Γβ,a
e−z(t+∆t) − e−zt
∆t
Rz(A)dz +
∫
Γβ,a
ze−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥∥ =
=
1
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Γβ,a
e−tz
(
e−z∆t − 1 + z∆t
∆t
)
Rz(A)dz
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
2π
∫
Γβ,a
|e−tz| |z| |h(z∆t)| ‖Rz(A)‖ |dz|.
Застосуємо теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, взявши за мажоранту
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1059
g(z) := L′|e−tz| |z| ‖Rz(A)‖.
Iнтеграл
∫
Γβ,a
g(z)|dz| є збiжним (в доведеннi теореми 1 наведено оцiнки) та iснує
границя
∀z ∈ C : |e−tz||z||h(z∆t)|‖Rz(A)‖ → 0, ∆t→ 0+,
тому за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть маємо збiжнiсть iнтеграла до
нуля, що й доводить рiвнiсть в теоремi.
Випадок ∆t < 0 розглядається аналогiчно.
Лема 2. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi
A−2
(
I − e−At
t
−A
)
→ 0, t→ 0 + .
Доведення. Нехай контури Γ, Γ1, Γ2, Γ3 такi, як в лемi 1 при γ = − 1
β
, тобто
починаючи з деякої точки (x0; axβ0 ) гiлка степеневої функцiї переходить у частину
кола i x0 = tγ = t−1/β .
Спочатку покажемо, що
A−2e−At = − 1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzRz(A)dz +A−2 −A−1t.
Використуючи теорiю лишкiв, записуємо
− 1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzRz(A)dz =
=
{
z−2Rz(A) = z−1(z−1A−1 +A−1Rz(A))
}
=
= −A
−1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzdz − A−1
2πi
∫
Γ
z−1e−tzRz(A)dz =
= −A
−1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzdz − A−1
2πi
∫
Γ
(
A−1
z
+A−1Rz(A)
)
e−tzdz =
= −A
−1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzdz − A−2
2πi
∫
Γ
z−1e−tzdz − A−2
2πi
∫
Γ
Rz(A)e−tzdz =
= A−1t−A−2 +A−2e−At,
звiдки отримуємо потрiбну рiвнiсть. З неї випливає∥∥∥∥A−2
(
I − e−At
t
−A
)∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥ t
−1
2πi
∫
Γ
z−2e−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥ .
Розглянемо окремо норму iнтеграла, використавши позначення ϕ0 з доведення
леми 1:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1060 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ∥∥∥∥∥∥
∫
Γ
z−2e−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥ ≤
3∑
k=1
∫
Γk
|e−tz|
|z|2
‖Rz(A)
|dz| ≤
≤ 2
+∞∫
x0
Me−tx
√
1 + a2β2x2β−2
(x2 + a2x2β)
(
1 + (x2 + a2x2β)α/2
)dx+
+
2π−ϕ0∫
ϕ0
Metr0√
t−2/β + a2t−2
(
1 + (t−2/β + a2t−2)α/2
)dϕ ≤
≤ 2
+∞∫
x0
Me−tx(1 + aβ)xβ−1
a2x2βaαxαβ
dx+
2πe
√
1+a2M
aα+1t−1−α ≤ |tx = y| ≤
≤ 2Ma−2−α(1 + βa)tαβ+β
+∞∫
t1−1/β
e−yy−β−αβ−1dy +
2πe
√
1+a2M
aα+1t−1−α ≤
≤ 2Ma−1−α(1 + βa)t1+α
β + αβ
+
2πe
√
1+a2M
aα+1t−1−α .
Отже,
‖t−1(A−2 − e−AtA−2) +A−1‖ ≤
≤ t−1
2π
(
2Ma−1−α(1 + βa)t1+α
β + αβ
+
2πe
√
1+a2M
aα+1t−1−α
)
→ 0, t→ 0+,
звiдки i випливає шукане твердження.
Лема 3. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi:
1) для будь-якого b ∈ B tβ(1−α)
(
e−At − I
)
b→ 0, t→ 0+;
2) якщо додатково b ∈ D(A), то(
e−At − I
)
b→ 0, t→ 0 + .
Доведення. а) Нехай b ∈ D(A). Тодi, використовуючи контур з доведення
леми 1 при γ = − 1
β
, маємо
e−Atb− b =
− 1
2πi
∫
Γ
e−tz(A− zI)−1dz
b+
1
2πi
∫
Γ
e−tz(−zI)−1dz
b =
=
{
(A− zI)−1 + z−1I = z−1(A− zI)−1A
}
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1061
=
− 1
2πi
∫
Γ
e−tz(A− zI)−1z−1dz
Ab,
звiдки
‖e−Atb− b‖ ≤ 1
2π
∫
Γ
|e−tz| 1
|z|
M
1 + |z|α
|dz| ‖Ab‖ =
=
M
2π
2π−ϕ0∫
ϕ0
e−t
√
t−2/β+a2t−2 cosϕ r0dϕ
r0
(
1 + (t−2/β + a2t−2)α/2
)‖Ab‖+
+
M
π
+∞∫
t−1/β
e−ty
√
1 + a2β2y2β−2dy√
y2 + a2y2β
(
1 + (y2 + a2y2β)α/2
)‖Ab‖ ≤
≤ Me‖Ab‖
t−α
+
M
√
1 + a2β2
πa
+∞∫
t−1/β
e−tyy−αβ−1dy‖Ab‖ = |u = ty| =
=
Me
t−α
+
M
√
1 + a2β2tαβ
πa
+∞∫
t1−1/β
e−uu−αβ−1du
‖Ab‖.
Оскiльки при β > 1
∫ +∞
t1−1/β
e−yy−αβ−1dy ∼ 1
αβ
t−α(β−1), t→ 0+, то
∃M ′ > 0: ‖e−Atb− b‖ ≤
(
Me
√
1+a2
t−α
+
Mβtαβ
πaα
M ′
αβ
t−α(β−1)
)
‖Ab‖ =
= Mtα
(
e
√
1+a2 +
M ′
πaα+1
)
‖Ab‖,
звiдки випливає, що
‖e−Atb− b‖ → 0, t→ 0 + .
б) Нехай b /∈ D(A). З означення випливає, що D(A) скрiзь щiльна в B. Тому
∃{bn : n ≥ 1} ⊂ D(A) : bn → b, n→∞.
За пунктом а) маємо
∀n ≥ 1: e−Atbn → bn, t→ 0 + .
Враховуючи оцiнку для норми операторної експоненти з леми 1, записуємо
∃C1 > 0 ∀t ∈ (0; 1] : ‖e−At‖ ≤ C1
tβ(1−α)
.
З викладеного вище також маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1062 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
∃n0 ≥ 1: ‖bn0 − b‖ <
ε
2C1
,
∃t1 > 0 ∀t ∈ (0; t1] : ‖e−Atbn0
− bn0
‖ < ε
2C1
.
Покладемо
t0 := min
{
1; t1;
(
C1
2
)1/β(1−α)
}
,
тодi для кожного t ∈ (0; t0) матимемо
tβ(1−α)‖e−Atb− b‖ ≤
≤ tβ(1−α)
(
‖e−Atb− e−Atbn0‖+ ‖e−Atbn0 − bn0‖+ ‖bn0 − b‖
)
≤
≤ tβ(1−α)
(
C1
tβ(1−α)
ε
2C1
+
ε
2C1
+
ε
2C1
)
≤ ε
(
1
2
+
tβ(1−α)
C1
)
< ε.
Лему доведено.
Лема 4. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор. Тодi
A−1e−At → A−1, t→ 0+,
до того ж
‖e−AtA−1 −A−1‖ = O(tα), t→ 0 + .
Доведення. Нехай Γ — контур, що використовувався при доведеннi леми 1,
γ = − 1
β
. Розглянемо рiзницю
‖A−1e−At −A−1‖ =
=
∥∥∥∥∥∥ 1
2πi
∫
Γ
z−1e−tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥ ≤ M
2π
∫
Γ
|z|−1
∣∣e−tz∣∣ |dz|
1 + |z|α
=
=
M
π
+∞∫
t−1/β
e−tx
(x2 + a2x2β)−1/2
√
1 + β2a2x2β−2
1 + (x2 + a2x2β)α/2
dx+
+
M
2π
2π−ϕ0∫
ϕ0
e−t cosϕ
√
t−2/β+a2t−2 (t−2/β + a2t−2)−1/2
1 + (t−2/β + a2t−2)α/2
dϕ ≤
≤ M(1 + βa)
π
+∞∫
t−1/β
e−tx
a−1x−βxβ−1
aαxαβ
dx+
M
2π
2π−ϕ0∫
ϕ0
e
√
1+a2 a−1t
aαt−α
dϕ ≤
≤ M(1 + βa)a−1−αβ
π
+∞∫
t−1/β
e−txx−αβ−1dx+
Ma−1−αe
√
1+a2
2π
2π−ϕ0∫
ϕ0
tα+1dϕ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1063
≤ |tx = y| ≤ M(1 + βa)a−1−αβ
π
+∞∫
t−1/β+1
e−y
y−βα−1
t−βα
dy +Ma−αe
√
1+a2tα+1 ≤
≤ K1Nt
(1−β)α+βα +K2t
α ≤ (K1N +K2)tα,
оскiльки
+∞∫
t−1/β+1
e−yy−βα−1dy ∼ N1t
α(1−β), t→ 0+,
де
N1 =
1
βα
, K1 :=
M(1 + βa)a−1−αβ
π
; K2 := Ma−1−αe
√
1+a2 .
Отже, ‖A−1e−At − A−1‖ = O(tα), t → 0+, а звiдси й випливає твердження
леми.
4. Розв’язання задачi Кошi. Перейдемо до розв’язання задачi Кошi, сформу-
льованої в першому пунктi.
Має мiсце така теорема.
Теорема 3. Нехай A — (α, β)-степеневий оператор, функцiя f : [0;R) →
→ D(A) має всi похiднi до порядку n включно, n ≥ 0, де n = [β(2 − α)] − 1, i
похiдна n-го порядку гельдерова з показником γ ∈ (β(2− α)− n− 1; 1], тобто
∃L > 0 ∀s1, s2 ∈ [0;R) : ‖f (n)(s1)− f (n)(s2)‖ ≤ L|s1 − s2|γ . (7)
Тодi функцiя
F (t) :=
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds, t ∈ (0;R), F (0) = ~0, (8)
є розв’язком задачi Кошi
F ′(t) := −AF (t) + f(t), t ∈ (0;R), F (0) = ~0. (9)
Доведення. Введемо позначення
G(t, s) := f(t) + f ′(t)(s− t) +
f ′′(t)
2!
(s− t)2 + . . .+
f (n)(t)
n!
(s− t)n,
t, s ∈ [0;R).
Спочатку покажемо, що F (t) ∈ D(A), t ∈ (0;R). Для цього запишемо
t∫
0
Ae−A(t−s)f(s)ds =
=
t∫
0
Ae−A(t−s) (f(s)−G(t, s)) ds+
t∫
0
Ae−A(t−s)G(t, s)ds =: J1(t) + J2(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1064 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Безпосередньо iнтегруванням можна показати, що
∀l ≥ 0:
t∫
0
Ae−A(t−s) f
(l)(t)
l!
(t− s)lds =
= (−1)lA−lf (l)(t)−
l∑
k=0
(−1)l
(l − k)!
A−ktl−ke−Atf (l)(t). (10)
Тому функцiя J2(t) визначена для всiх t ∈ (0;R).
Розглянемо окремо функцiю J1(t). Використовуючи узагальнену теорему Лаг-
ранжа [10, c. 555], гельдеровiсть n-ї похiдної функцiї f та теорему 1, можемо
записати
‖J1(t)‖ ≤
t∫
0
C ′
π
(t− s)γ(t− s)n
(t− s)β(2−α)
ds ≤
t∫
0
C ′
π
ds
(t− s)β(2−α)−γ−n .
Оскiльки за умовою γ ∈ (β(2−α)−n−1; 1], то J1(t) також визначена. Тому маємо
F (t) = A−1
t∫
0
Ae−A(t−s)f(s)ds, t ∈ (0, R),
отже, F (t) ∈ D(A), t ∈ (0, R) i F (t) = A−1J1(t) +A−1J2(t)→ 0, t→ 0 + .
Тепер покажемо, що функцiя F (t) задовольняє диференцiальне рiвняння в (9).
Розглядаючи випадок ∆t > 0, записуємо рiзницю
F (t+ ∆t)− F (t)
∆t
− (−AF (t) + f(t)) =
=
1
∆t
t+∆t∫
0
e−A(t+∆t−s)f(s)ds− 1
∆t
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds+
+
t∫
0
Ae−A(t−s)f(s)ds− f(t) =
=
t∫
0
e−A(t−s)
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
f(s)ds+
1
∆t
t+∆t∫
t
e−A(t+∆t−s)f(s)ds− f(t) =
=
t∫
0
e−A(t−s)
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
(f(s)−G(t, s)) ds+
+
1
∆t
t+∆t∫
t
e−A(t+∆t−s) (f(s)−G(t+ ∆t, s)) ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1065
+
t∫
0
e−A(t−s)
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
G(t, s)ds+
+
1
∆t
t+∆t∫
t
(
e−A(t+∆t−s)G(t+ ∆t, s)− f(t)
)
ds =: I1 + I2 + I3 + I4.
Оцiнимо кожен з отриманих iнтегралiв Ii, i = 1; 4.
Функцiя h(w) :=
e−w − 1 + w
w
при Rew > 0 обмежена деякою сталою L′ (див.
доведення теореми 2). Оскiльки
I1 = − 1
2πi
t∫
0
∫
Γa,β
e−z(t−s)
(
z
e−z∆t − 1 + z∆t
z∆t
)
Rz(A)(f(s)−G(t, s))dzds,
то, використовуючи теореми 1 та 2, лему 1, узагальнену теорему Лагранжа, а також
гельдеровiсть n-ї похiдної функцiї f, маємо
‖I1‖ ≤ −
1
2π
t∫
0
∫
Γa,β
|z|
∣∣e−z(t−s)∣∣ ∣∣∣∣e−z∆t − 1 + z∆t
z∆t
∣∣∣∣ ML
1 + |z|α
|t− s|n+γ |dz|ds.
Застосуємо теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, обравши за мажоранту
функцiю
g(z, s) :=
K1|z|
1 + |z|α
∣∣∣e−z(t−s)∣∣∣ (t− s)n+γ .
Скiнченнiсть iнтеграла
∫ ∫
[0;t]×Γa,β
g(z, s)|dz|ds випливає з леми 1 та умови тео-
реми.
Оскiльки
∀z ∈ C :
∣∣∣∣e−z∆t − 1 + z∆t
z∆t
∣∣∣∣→ 0, ∆t→ 0+,
то
I1 → 0, ∆t→ 0 + .
Крiм того, враховуючи узагальнену теорему Лагранжа i лему 1, отримуємо
‖I2‖ ≤
1
∆t
t+∆t∫
t
∥∥∥e−A(t+∆t−s)
∥∥∥ ‖f(s)−G(t+ ∆t, s)‖ds ≤
≤ 1
∆t
t+∆t∫
t
CL(t+ ∆t− s)n+γ
(t+ ∆t− s)β(1−α)
ds =
=
CL
∆t
t+∆t∫
t
(t+ ∆t− s)n+γ−β(1−α)ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1066 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
=
CL
∆t
∆t∫
0
yn+γ−β(1−α)dy =
CL∆tn+γ−β(1−α)+1
n+ γ − β(1− α) + 1
.
Виходячи з умови теореми, одержуємо
n+ γ − β(1− α) > 0,
тому
I2 → 0, ∆t→ 0 + .
Тепер будемо дослiджувати I3, використовуючи граничне спiввiдношення з ле-
ми 2:
I3 =
t∫
0
e−A(t−s)
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
f(t)ds+
+
t∫
0
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
e−A(t−s)
(
f ′(t)(t− s) + . . .+
f (n)(t)
n!
(t− s)n
)
ds =
= A−2(I − e−At)
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
Af(t)+
+
n∑
l=1
(−1)lA−l−1
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
f (l)(t)−
−
n∑
l=1
l∑
k=0
(−1)l
(l − k)!
A−k−2
(
e−A∆t − I
∆t
+A
)
tl−kAe−Atf (l)(t)→ 0,
∆t→ 0 + .
Дослiдимо поведiнку I4:
I4 =
1
∆t
t+∆t∫
t
(
e−A(t+∆t−s)f(t+ ∆t)− f(t)
)
ds+
+
1
∆t
t+∆t∫
t
e−A(t+∆t−s) (G(t+ ∆t, s)− f(t+ ∆t)) ds =
= A−1 I − e−A∆t
∆t
f(t+ ∆t)− f(t)+
+
1
∆t
t+∆t∫
t
e−A(t+∆t−s) (G(t+ ∆t, s)− f(t+ ∆t)) ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1067
=: J ′1 − f(t) + J ′2.
Покажемо, що
J ′1 → f(t), ∆t→ 0 + . (11)
Маємо
J ′1 = A−1
(
I − e−A∆t
∆t
)
(f(t+ ∆t)− f(t) + f(t)) =
= A−2
(
I − e−A∆t
∆t
)
Af(t) +A−1
(
I − e−A∆t
∆t
)
(f(t+ ∆t)− f(t)).
Другий доданок прямує до нуля. Дiйсно, при n > 0 можна скористатися лемою 4
та лiпшицевiстю функцiї f, а при n = 0 — лемою 4, гельдеровiстю функцiї f з
показником γ та нерiвнiстю γ > β(2−α)−1 ≥ 1−α, що випливає з умов теореми.
Крiм того, за лемою 2∥∥∥∥A−1
(
I − e−A∆t
∆t
)
(f(t+ ∆t)− f(t))
∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥A−1
(
I − e−A∆t
∆t
)∥∥∥∥K∆t =
=
K
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Γβ,a
z−1e−∆tzRz(A)dz
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ KMN1β
πaα
∆tαβ
+∞∫
∆t1−1/β
e−yy−1−αβdy +
MN2K∆tα
aα
≤
≤ KMN1N ′β∆tα+1
πaα
+
MN2K∆tα
aα
,
де використано той факт, що при β > 1
+∞∫
∆t1−1/β
e−yy−1−αβdy ∼ N∆tα(1−β)+1, N :=
β − 1
β(α(1− β) + 1)
,
тобто ∥∥∥∥A−1
(
I − e−A∆t
∆t
)
(f(t+ ∆t)− f(t))
∥∥∥∥→ 0, ∆t→ 0 + .
За лемою 2
A−2
(
I − e−A∆t
∆t
)
Af(t)→ f(t), ∆t→ 0 + .
Тому граничне спiввiдношення (11) має мiсце.
Далi будемо дослiджувати поведiнку J ′2, використуючи зображення (10):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1068 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
J ′2 = |s− t = y| =
=
1
∆t
∆t∫
0
e−A(∆t−y)
(
f ′(t+ ∆t)(∆t− y) + . . .+
f (n)(t+ ∆t)
n!
(∆t− y)n
)
dy =
=
1
∆t
n∑
l=1
(−1)lA−l−1f (l)(t+ ∆t)−
− 1
∆t
n∑
l=1
l∑
k=0
(−1)l
(l − k)!
A−k−1∆tl−ke−A∆tf (l)(t+ ∆t) =
=
1
∆t
n∑
l=1
l−1∑
k=0
(−1)l+1
(l − k)!
∆tl−ke−A∆tA−k−1f (l)(t+ ∆t)+
+
1
∆t
n∑
l=1
(−1)lA−l−1f (l)(t+ ∆t)− 1
∆t
n∑
l=1
(−1)lA−l−1e−A∆tf (l)(t+ ∆t) =
=
1
∆t
n∑
l=1
l−1∑
k=0
(−1)l+1
(l − k)!
∆tl−ke−A∆tA−k−1f (l)(t+ ∆t)+
+
1
∆t
n∑
l=1
(−1)lA−l−1(I − e−A∆t)f (l)(t+ ∆t).
Оскiльки з неперервностi похiдних функцiї f згiдно з лемою 2 отримуємо
A−1e−A∆tf (l)(t+ ∆t)→ A−1e−A∆tf (l)(t), ∆t→ 0+,
A−2
(
I − e−A∆t
∆t
)
→ A−1, ∆t→ 0+,
то
J ′2 →
n∑
l=1
A−l(−1)lf (l)(t) +
n∑
l=1
A−l(−1)l+1f (l)(t) = 0, ∆t→ 0 + .
Отже, I4 → 0, ∆t→ 0 + .
Повернемося до розгляду рiзницi
F (t+ ∆t)− F (t)
∆t
− (−AF (t) + f(t)) = I1 + I2 + I3 + I4 → 0, ∆t→ 0 + .
У випадку ∆t < 0 мiркування аналогiчнi. Отже, з викладеного вище можемо
зробити висновок, що функцiя F (t), визначена в (9), є розв’язком задачi Кошi (8) i
F ∈ C([0;R)).
Теорему доведено.
Також має мiсце наступна теорема єдиностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI . . . 1069
Теорема 4. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi для кожного x0 ∈
∈ D(A) iснує єдиний розв’язок задачi Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0;R), x(0) = x0,
до того ж
x(t) = e−Atx0 +
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds, t ∈ (0;R). (12)
Доведення. Функцiя (12) є розв’язком задачi Кошi за теоремами 2, 3 i лемою 4:
x′(t) = −Ae−Atx0 −A
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds+ f(t) = −Ax(t) + f(t), t > 0,
x(t)→ x0, t→ 0 + .
Покажемо, що цей розв’язок єдиний. Нехай x — розв’язок однорiдної задачi
Кошi
x′(t) +Ax(t) = ~0, t ∈ (0;R), x(0) = ~0.
Розглянемо функцiю u(t, s) = e−A(t−s)A−1x(s), 0 ≤ s ≤ t < R. Тодi функцiя
u(t, s) диференцiйовна по s ∈ (0; t) за теоремою 2. Звiдси
du
ds
= e−A(t−s)A−1x′(s) + e−A(t−s)x(s) = ~0.
Крiм того, u неперервна по s ∈ [0; t] за лемою 4, тому
u(t, s) = u(t, 0), s ∈ [0; t],
i як окремий випадок u(t, 0) = u(t, t), тобто e−AtA−1x(0) = A−1x(t), звiдки
x(t) = ~0, t ∈ (0;R).
5. Приклад. Розглянемо рiвняння з частинними похiдними, яке зводиться до
лiнiйного диференцiального рiвняння в банаховому просторi з (α, β)-степеневим
оператором
∂x
∂t
(s, t) = (s+ isβ)x(t, s) + u(t, s),
де u ∈ C([0,+∞)2) — деяка вiдома функцiя, x ∈ C([0,+∞)2) ∩ C1((0,+∞) ×
×[0,+∞)) — шуканий розв’язок, β > 1 фiксоване.
Нехай Z — простiр обмежених неперервних на [0,+∞) функцiй з рiвномiрною
метрикою. Тодi цю систему можна записати у виглядi рiвняння
x′(t) = −Ax(t) + u(t), t ≥ 0,
де u(t), t ≥ 0, — вiдома функцiя з класу C([0,+∞), Z), x(t), t ≥ 0, — шукана
функцiя з класу C([0,+∞), Z) ∩ C1((0,+∞), Z), A : D(A) ⊂ Z → Z — лiнiйний
оператор, визначений формулою
(Az)(s) = (s+ isβ)z(s), s ≥ 0, z ∈ D(A),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1070 Ю. В. IЛЬЧЕНКО, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
D(A) = {z | z(0) = 0, Az ∈ Z} .
Спектр оператора A складається з точок вигляду λ = s + isβ , s > 0. При
λ ∈ C\Ωβ,2 (область Ωβ,2 визначена, як у означеннi 4) маємо
((A− λI)−1z)(s) =
z(s)
s+ isβ − λ
, s ≥ 0.
Розглянемо випадок, коли λ := λ1 + iλ2 таке, що Reλ = λ1 > 0, Imλ = λ2 > 0,
|λ| > 1. Тодi з визначення областi Ωβ,2 отримуємо
λ1 ≤
(
λ2
2
)1/β
⇒ λ2 ≥ λ1 ⇒ λ2 ≥
√
λ2
1 + λ2
2√
2
=
|λ|√
2
,
а отже,
|s+ isβ − λ| ≥ |λ2 − λ1−1/β
2 λ1|√
1 + λ
2−2/β
2
≥
∣∣∣∣∣λ2 − λ1−1/β
2
(
λ2
2
)1/β
∣∣∣∣∣√
1 + λ
2−2/β
2
≥
≥ |λ2|1/β
(
1√
2
− 1
2(β+2)/2β
)
≥ |λ|1/β
(
1
2(β+1)/2β
− 1
2(β+3)/2β
)
.
Звiдси
∃C > 0: ‖(A− λI)−1‖ ≤ C
|λ|1/β
. (13)
Для iнших випадкiв розмiщення точок λ виконання оцiнки (13) для норми
резольвенти є очевидним. Отже, так побудований оператор A дiйсно є (α, β)- сте-
пеневим. Також неважко помiтити, що A не належить до класу сильно позитивних
та сильно P -позитивних операторiв.
6. Висновки. В роботi розглянуто задачу Кошi для лiнiйного неоднорiдного
диференцiального рiвняння з необмеженим операторним коефiцiєнтом в банахово-
му просторi для випадку (α, β)-степеневого оператора. Вдалося знайти розв’язки
такого рiвняння аналiтичними методами, а також дослiдити детально поведiнку
(α, β)-степеневих операторiв та порiвняти цей клас операторiв з розглядуваними
ранiше класами.
1. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука,
1967. – 464 с.
3. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. –
830с.
4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 c.
5. Макаров В. Л., Гаврилюк I. П. Експоненцiально збiжнi методи паралельної дискретизацiї для
еволюцiйних рiвнянь першого порядку // Доп. НАН України. – 2002. – № 3. – С. 24 – 28.
6. Gavrilyuk I. P., Hackbusch W., Khoromskij B. N. Data-sparse approximation to the operator-valued
functions of elliptic operator // Math. Comput. – 2004. – 73, № 247. – P. 1297 – 1324.
7. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. –
376 c.
8. Городний М. Ф., Чайковский А. В Обобщение понятия секториального оператора // Мат. сб. – 2006.
– 197, № 7. – С. 29 – 46.
9. Гаврилюк И. П., Макаров В. Л. Сильно позитивные операторы и алгоритмы без насыщения точнос-
ти. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2004. – 499 с.
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1989. – 624 c.
Одержано 27.12.10,
пiсля доопрацювання — 17.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2784 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c1/a0d36b8afa1686398db4f52521c26ec1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27842020-03-18T19:36:38Z Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient Задача Коші для диференціального рівняння в банаховому просторі з узагальненим сильно позитивним операторним коефіцієнтом Il'chenko, Yu. V. Chaikovs'kyi, A. V. Ільченко, Ю. В. Чайковський, А. В. The concept of strongly positive operator is generalized, and properties of the operators introduced are analyzed. The solutions of the Cauchy problem for a linear inhomogeneous differential equation with generalized strongly positive operator coefficient are found. Обобщено понятие сильно позитивного оператора, исследованы свойства введенных операторов. Получены решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с обобщенным сильно позитивным операторным коэффициентом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2784 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1053-1070 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1053-1070 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2784/2323 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2784/2324 Copyright (c) 2011 Il'chenko Yu. V.; Chaikovs'kyi A. V. |
| spellingShingle | Il'chenko, Yu. V. Chaikovs'kyi, A. V. Ільченко, Ю. В. Чайковський, А. В. Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title | Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title_alt | Задача Коші для диференціального рівняння в банаховому просторі з узагальненим сильно позитивним операторним коефіцієнтом |
| title_full | Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title_fullStr | Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title_full_unstemmed | Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title_short | Cauchy problem for a differential equation in the Banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| title_sort | cauchy problem for a differential equation in the banach space with generalized strongly positive operator coefficient |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2784 |
| work_keys_str_mv | AT il039chenkoyuv cauchyproblemforadifferentialequationinthebanachspacewithgeneralizedstronglypositiveoperatorcoefficient AT chaikovs039kyiav cauchyproblemforadifferentialequationinthebanachspacewithgeneralizedstronglypositiveoperatorcoefficient AT ílʹčenkoûv cauchyproblemforadifferentialequationinthebanachspacewithgeneralizedstronglypositiveoperatorcoefficient AT čajkovsʹkijav cauchyproblemforadifferentialequationinthebanachspacewithgeneralizedstronglypositiveoperatorcoefficient AT il039chenkoyuv zadačakošídlâdiferencíalʹnogorívnânnâvbanahovomuprostorízuzagalʹnenimsilʹnopozitivnimoperatornimkoefícíêntom AT chaikovs039kyiav zadačakošídlâdiferencíalʹnogorívnânnâvbanahovomuprostorízuzagalʹnenimsilʹnopozitivnimoperatornimkoefícíêntom AT ílʹčenkoûv zadačakošídlâdiferencíalʹnogorívnânnâvbanahovomuprostorízuzagalʹnenimsilʹnopozitivnimoperatornimkoefícíêntom AT čajkovsʹkijav zadačakošídlâdiferencíalʹnogorívnânnâvbanahovomuprostorízuzagalʹnenimsilʹnopozitivnimoperatornimkoefícíêntom |