On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations
We show that every homeomorphic solution of the Beltrami equation $\overline{\partial} f = \mu \partial f$ in the Sobolev class $W^{1, 1}_{\text{loc}}$ is a so-called lower $Q$-homeomorphism with $Q(z) = K_{\mu}(z)$, where $K_{\mu}$ is a dilatation quotient of this equation. On this basis, we deve...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508759080566784 |
|---|---|
| author | Kovtonyuk, D. A. Petkov, I. V. Ryazanov, V. I. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. |
| author_facet | Kovtonyuk, D. A. Petkov, I. V. Ryazanov, V. I. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. |
| author_sort | Kovtonyuk, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | We show that every homeomorphic solution of the Beltrami equation $\overline{\partial} f = \mu \partial f$ in the Sobolev class $W^{1, 1}_{\text{loc}}$ is a so-called lower $Q$-homeomorphism
with $Q(z) = K_{\mu}(z)$, where $K_{\mu}$ is a dilatation quotient of this equation.
On this basis, we develop the theory of the boundary behavior and the removability of singularities of these solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанов
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ
We show that every homeomorphic solution of the Beltrami equation ∂f = µ∂f in the Sobolev class W 1,1
loc
is a so-called lower Q -homeomorphism with Q(z) = Kµ(z), where Kµ(z) is a dilatation quotient of this
equation. On this basis, we develop the theory of the boundary behavior and the removability of singularities
of these solutions.
Показано, що будь-який гомеоморфний розв’язок рiвняння Бельтрамi ∂f = µ∂f класу Соболєва W 1,1
loc
є так званим нижнiм Q -гомеоморфiзмом з Q(z) = Kµ(z) , де Kµ(z) — дилатацiйне вiдношення цього
рiвняння. На цiй основi розвинено теорiю граничної поведiнки та усунення сингулярностей таких
розв’язкiв.
1. Введение. В этой статье приведены приложения ранее полученных авторами
результатов по так называемым нижним Q -гомеоморфизмам из монографии [1]
к исследованию граничного поведения решений уравнений Бельтрами с вырож-
дением.
Пусть D — область в комплексной плоскости C , т. е. связное и открытое
подмножество C и µ : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 почти всюду
(п. в.) в D. Уравнением Бельтрами называется уравнение вида
fz = m(z)fz, (1)
где fz = ∂f = (fx + ify)/2, fz = ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx и fy
— частные производные отображения f по x и y соответственно. Функция µ
называется комплексным коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— дилатационным отношением уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1) называет-
ся вырожденным, если ess supKµ(z) =∞.
Теоремы существования гомеоморфных решений класса W 1,1
loc были доказаны
для многих вырожденных уравнений Бельтрами (см., например, монографии [1, 2],
а также обзоры [3, 4] и библиографию в них).
Непрерывное отображение γ открытого подмножества ∆ действительной оси
R или окружности в D называется штриховой линией (см., например, раздел 6.3
в [1]). Напомним, что любое открытое множество ∆ в R состоит из счетного
набора попарно непересекающихся интервалов. Это дает основания для термина
„штриховая линия”.
Пусть задано семейство Γ штриховых линий γ в комплексной плоскости C.
Борелевскую функцию % : C → [0,∞] называют допустимой для Γ (пишут % ∈
∈ admΓ ), если ∫
γ
% ds > 1 ∀γ ∈ Γ. (2)
c© Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ, 2011
1078 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1079
Конформным модулем семейства Γ называется величина
M(Γ) = inf
%∈adm Γ
∫
C
%2(z) dm(z),
где dm(z) соответствует мере Лебега в C. Говорят, что свойство P имеет место
для почти всех (п. в.) γ ∈ Γ, если подсемейство всех линий в Γ , для которых
P не верно, имеет нулевой модуль (ср. с [5]). Также говорят, что измеримая по
Лебегу функция % : C → [0,∞] является обобщенно допустимой для Γ (пишут
% ∈ ext adm Γ ), если (2) имеет место для п. в. γ ∈ Γ (см., например, раздел 9.2
в [1]).
Следующее понятие мотивировано кольцевым определением Геринга квазикон-
формности в [6]. Для заданных областей D и D′ в C = C∪{∞} , z0 ∈ D \{∞} , и
измеримой функции Q : D → (0,∞) гомеоморфизм f : D → D′ является нижним
Q -гомеоморфизмом в точке z0, если
M(fΣε) > inf
%∈ext adm Σε
∫
D∩Rε
%2(x)
Q(x)
dm(x)
для каждого кольца
Rε = {z ∈ C : ε < |z − z0| < ε0}, ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d0),
где
d0 = sup
z∈D
|z − z0|,
и Σε — семейство всех пересечений окружностей
S(r) = S(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r}, r ∈ (ε, ε0),
с областью D (см. [7] или гл. 9 в монографии [1]).
Это понятие может быть распространено на случай z0 =∞ ∈ D стандартным
способом путем применения инверсии T относительно единичной окружности в
C , T (x) = z/|z|2, T (∞) = 0 , T (0) = ∞. Назовем гомеоморфизм f : D → D′
нижним Q -гомеоморфизмом в ∞ ∈ D , если F = f ◦ T является нижним Q∗ -
гомеоморфизмом с Q∗ = Q ◦ T в 0. Также будем говорить, что гомеоморфизм
f : D → C является нижним Q -гомеоморфизмом на ∂D, если f является ниж-
ним Q -гомеоморфизмом в любой точке z0 ∈ ∂D.
Далее покажем, что каждое гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса Соболева W 1,1
loc является нижним Q -гомеоморфизмом с Q(z) = Kµ(z) и,
таким образом, вся теория граничного поведения в [7] (см. также главу 9 в [1])
может быть применена к таким решениям. Другими словами, на плоскости это
справедливо для любых гомеоморфизмов с конечным искажением по Иванцу (см.,
например, монографии [1, 2] и библиографию в них). Последний факт имеет важное
значение при изучении краевых задач для уравнений Бельтрами с вырождением
(см., например, [8]).
2. Предварительные замечания. Напомним сначала следующие топологиче-
ские понятия. Область D ⊂ C назовем локально связной в точке z0 ∈ ∂D, если
для любой окрестности U точки z0 существует окрестность V ⊆ U точки z0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1080 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
такая, что V ∩D связно. Заметим, что каждая жорданова область D в C является
локально связной в любой точке из ∂D (см., например, [9, с. 66]).
Будем говорить, что ∂D слабо плоская в точке z0 ∈ ∂D, если для любой
окрестности U точки z0 и любого числа P > 0 существует окрестность V ⊂ U
точки z0 такая, что
M(∆(E,F ;D)) > P
для всех континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V. Здесь и далее
∆(E,F ;D) — семейство всех путей γ : [a, b]→ C, соединяющих E и F в D, т. е.
γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D для всех t ∈ (a, b). Назовем границу ∂D слабо
плоской, если она слабо плоская в каждой точке из ∂D.
Будем также говорить, что точка z0 ∈ ∂D является сильно достижимой, если
для любой окрестности U точки z0 существуют компакт E в D, окрестность
V ⊂ U точки z0 и число δ > 0 такие, что
M(∆(E,F ;D)) > δ
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Границу ∂D назовем
сильно достижимой, если любая точка z0 ∈ ∂D является сильно достижимой.
Здесь, в определениях сильно достижимых и слабо плоских границ, можно в
качестве окрестностей U и V точки z0 использовать только круги (замкнутые
или открытые) с центром в точке z0 или только окрестности z0 из какой-либо
другой фундаментальной системы окрестностей точки z0. Эти понятия могут быть
естественным образом продолжены на случай C и z0 = ∞. Тогда мы должны
использовать соответствующие окрестности ∞.
Легко видеть, что если область D из C является слабо плоской в точке z0 ∈ ∂D,
то точка z0 сильно достижима из D. Более того, было доказано, что если область
D из C является слабо плоской в точке z0 ∈ ∂D, то D локально связна в z0 (см.,
например, лемму 5.1 в [7] или лемму 3.15 в [1]).
Понятия сильно достижимых и слабо плоских граничных точек области в C
определены в [10] и являются локализацией и обобщением соответствующих по-
нятий, введенных в [11, 12] (ср. со свойствами P1 и P2 по Вяйсяля в [13] и
также с квазиконформной достижимостью и квазиконформной плоскостностью по
Някки в [14]). Многие теоремы о гомеоморфном продолжении на границу квази-
конформных отображений и их обобщений имеют место при условии, что границы
являются слабо плоскими. Условие сильной достижимости играет аналогичную
роль для непрерывного продолжения отображений на границу. В частности, недав-
но авторами были доказаны следующие важные утверждения (см. теорему 10.1
(лемму 6.1) в [7] либо теорему 9.8 (лемму 9.4) в [1]).
Предложение 1. Пусть D и D′ — ограниченные области в C, Q : D →
→ (0,∞) — измеримая функция и f : D → D′ — нижний Q -гомеоморфизм в ∂D.
Предположим, что область D является локально связной на ∂D, а область D′
имеет (сильно достижимую) слабо плоскую границу. Если
δ(z0)∫
0
dr
‖Q‖1(z0, r)
=∞ ∀z0 ∈ ∂D
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1081
для некоторого δ(z0) ∈ (0, d(z0)), где d(z0) = supz∈D | z − z0| и
‖Q‖1(z0, r) =
∫
D∩S(z0,r)
Q(z) ds,
то f имеет (непрерывное) гомеоморфное продолжение f на D, которое отоб-
ражает D (в) на D′ .
Здесь, как обычно, через S(z0, r) обозначена окружность |z − z0| = r.
Область D ⊂ C называется областью квазиэкстремальной длины (сокращен-
но QED-областью) [15], если
M(∆(E,F ;C) 6 K ·M(∆(E,F ;D))
для некоторого K > 1 и для всех пар непересекающихся континуумов E и
F в D.
Известно (см., например, теорему 10.12 в [13]), что
M(∆(E,F ;C)) >
2
π
log
R
r
для всех множеств E и F в C, пересекающих все окружности S(z0, ρ), ρ ∈ (r,R).
Следовательно, QED-области имеют слабо плоскую границу. В одном из примеров
[1] (раздел 3.8) показано, что обратное утверждение не верно даже для односвязных
областей на плоскости.
Область D ⊂ C называется равномерной областью, если любая пара точек z1
и z2 ∈ D может быть соединена спрямляемой кривой γ в D такой, что
s(γ) 6 a| z1 − z2|
и
min
i=1,2
s(γ(zi, z)) 6 bd(z, ∂D)
для всех z ∈ γ, где γ(zi, z) — часть кривой γ с концами в точках zi и z (см. [16]).
Известно, что каждая равномерная область является QED-областью, но существу-
ют QED-области, которые не являются равномерными (см. [15]). Ограниченные
выпуклые области и ограниченные области с гладкими границами дают простые
примеры равномерных областей и, следовательно, QED-областей, а также областей
со слабо плоскими границами.
Замкнутое множество X ⊂ C называется нуль-множеством экстремальной
длины (сокращено NED-множеством), если
M(∆(E,F ;C)) = M(∆(E,F ;C\X))
для каждой пары непересекающихся континуумов E и F ⊂ C\X.
Замечание 1. Известно, что если X ⊂ C является NED-множеством, то
|X| = 0
и X не разделяет локально C (см. [17]), т. е.
dimX 6 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1082 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
и, следовательно, всюду разрывно [18, с. 22, 104]. Обратно, если множество X ⊂ C
замкнуто и имеет нулевую длину,
H1(X) = 0,
то X является NED-множеством [17]. Здесь H1(X) обозначает одномерную меру
Хаусдорфа (длину) множества X в C. Отметим также, что дополнение NED-мно-
жества в C — частный случай QED-области.
Кроме того, C(X, f) обозначает предельное множество отображения f : D →
→ C для множества X ⊂ D ,
C(X, f) : =
{
w ∈ C : w = lim
k→∞
f(zk), zk → z0 ∈ X, zk ∈ D
}
.
Заметим, что включение C(∂D, f) ⊆ ∂D′ имеет место для любого гомеоморфизма
f : D → D′ (см., например, предложение 13.5 в [1]).
3. Основная теорема.
Теорема 1. Пусть f — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc . Тогда f является нижним Q -гомеоморфизмом в каждой точке
z0 ∈ D с Q(z) = Kµ(z) .
Доказательство. Пусть B — множество (борелевское) всех точек z из D, в
которых f имеет полный дифференциал с Jf (z) 6= 0. Известно, что B можно
представить в виде объединения счетного набора борелевских множеств Bl, l =
= 1, 2, . . . , таких, что fl = f |Bl являются билипшицевыми гомеоморфизмами (см.,
например, лемму 3.2.2 в [19]). Без потери общности можно считать, что Bl попарно
не пересекаются. Пусть B∗ — множество всех точек z ∈ D, где f имеет полный
дифференциал с fz = 0 .
Заметим, что по известной теореме Геринга – Лехто – Меньшова множество B0 =
= D \ (B ∪ B∗) имеет нулевую меру Лебега в C [20, 21]. Следовательно, по тео-
реме 2.11 в [22] (см. также лемму 9.1 в [1]) l(γ ∩ B0) = 0 для п. в. штриховых
линий γ в D. Покажем также, что l(f(γ) ∩ f(B0)) = 0 для п. в. окружностей γ с
центром в точке z0.
Последнее следует из абсолютной непрерывности f на замкнутых поддугах
γ ∩ D для п. в. окружностей γ. Действительно, класс W 1,1
loc является инвариант-
ным относительно локально квазиизометрических преобразований независимой
переменной (см., например, теорему 1.1.7 в [23]), и функции из W 1,1
loc абсолютно
непрерывны на линиях (см., например, теорему 1.1.3 в [23]). Применяя, например,
преобразование координат log(z − z0), убеждаемся в абсолютной непрерывности
на п. в. окружностях γ с центром в точке z0.
Таким образом, l(γ∗ ∩ f(B0)) = 0, где γ∗ = f(γ) , для п. в. окружностей γ с
центром в точке z0. Пусть теперь %∗ ∈ adm f(Γ), %∗ ≡ 0 вне f(D), где Γ — сово-
купность всех штриховых линий, образованных пересечениями всех окружностей
γ с центром в точке z0. Пусть % ≡ 0 вне D и
%(z) : = %∗(f(z)) (|fz|+ |fz̄|) для п. в. z ∈ D.
Согласно теореме 3.2.5 из [19] имеем (при m = 1)∫
γ
% ds >
∫
γ∗
%∗ ds∗ > 1 для п. в. γ ∈ Γ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1083
так как l(f(γ)∩f(B0)) = 0, а также l(f(γ)∩f(B∗)) = 0 для п. в. γ ∈ Γ вследствие
абсолютной непрерывности f на п. в. γ ∈ Γ. Следовательно, % ∈ ext adm Γ.
С другой стороны, получаем неравенство∫
D
%2(x)
Kµ(z)
dm(z) 6
∫
f(D)
%2
∗(w)dm(w),
поскольку %(z) = 0 на B∗. Следовательно,
M(fΓ) > inf
%∈ext adm Γ
∫
D
%2(z)
Kµ(z)
dm(z),
т. е. f действительно является нижним Q -гомеоморфизмом с Q(z) = Kµ(z).
4. Об устранении изолированных особенностей. В силу теоремы 1, согласно
теореме 4.1 из [7] или теореме 9.3 и следствию 6.2 из [1] (см. также следствие 5.2
из [24]), получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть D — область в C, z0 ∈ D и f — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0} . Предположим, что
ε0∫
0
dr
rkµ(r)
=∞,
где ε0 < dist(z0, ∂D) и kµ(r) — среднее значение дилатационного отношения Kµ
на окружности |z − z0| = r. Тогда f имеет гомеоморфное продолжение в D по
непрерывности в C .
Отсюда, в частности, получаем следующие следствия.
Следствие 1. Пусть D — область в C и f — гомеоморфное решение урав-
нения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0}. Если
kµ(r) = O
(
log
1
r
)
при r → 0,
то f имеет непрерывное продолжение в D .
Следствие 2. Пусть D — область в C, x0 ∈ D и f — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в D \ {z0}. Если
kµ(r) = O
(
log
1
r
log log
1
r
. . . log . . . log
1
r
)
при r → 0,
то f имеет непрерывное продолжение в D .
5. Непрерывное продолжение на границу. В силу теоремы 1, согласно теореме
6.1 из [7] или лемме 9.4 из [1], получаем следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть D и D′ — области в C, z0 ∈ ∂D и f : D → D′ — го-
меоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Предположим, что
область D локально связна в z0 ∈ ∂D и ∂D′ сильно достижима по крайней мере
в одной точке предельного множества C(z0, f). Если
ε0∫
0
dr
‖Kµ‖1(r)
=∞, (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1084 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
где 0 < ε0 < d0 = supz∈D |z − z0| и
‖Kµ‖1(r) =
∫
D∩S(z0,r)
Kµ ds,
то f продолжается в точку z0 по непрерывности в C .
В частности, справедливо следующее следствие леммы 1.
Следствие 3. Пусть D и D′ — QED-области в C, z0 ∈ ∂D и f : D → D′ —
гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Если имеет место
(3), то f продолжается в точку z0 по непрерывности в C .
Аналогично, в силу теоремы 1, а также теоремы 8.1 в [7] или теоремы 9.5 в [1],
справедлив следующий результат.
Теорема 3. Пусть D — область в C, X ⊂ D и f — гомеоморфное решение
уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Предположим, что X и C(X, f) — NED-
множества. Если
ε0∫
0
dr
‖Kµ‖1(r)
=∞,
где
0 < ε0 < d0 = dist(z0, ∂D)
и
‖Kµ‖1(r) =
∫
|z−z0|=r
Kµ(z) |dz|,
то f продолжимо в точку z0 по непрерывности в C .
6. Продолжение обратных отображений на границу. Основой для доказа-
тельства продолжимости обратных отображений гомеоморфных решений уравне-
ния Бельтрами (1) класса W 1,1
loc является следующая лемма о предельных мно-
жествах.
Лемма 2. Пусть D и D′ — области в C , z1 и z2 — различные точки на ∂D,
z1 6= ∞, и f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса
W 1,1
loc . Предположим, что функция Kµ интегрируема на штриховых линиях
D(r) = {z ∈ D : |z − z1| = r} = D ∩ S(z1, r)
для некоторого множества E чисел r < |z1− z2| положительной линейной меры.
Если D локально связна в z1 и z2 и ∂D′ слабо плоская, то
C(z1, f) ∩ C(z2, f) = ∅.
В силу теоремы 1 лемма 2 следует из леммы 9.1 в [7] или леммы 9.5 в [1].
Как непосредственное следствие леммы 2 имеем следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть D и D′ — области в C, D локально связна на ∂D и ∂D′
слабо плоская. Если f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc с Kµ ∈ L1(D), то f−1 имеет продолжение в D′ по непрерывности
в C .
Доказательство. По теореме Фубини множество
E = {r ∈ (0, d) : Kµ|D(r) ∈ L1(D(r))}
имеет положительную линейную меру, так как Kµ ∈ L1(D).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1085
Замечание 2. Достаточно предполагать в теореме 4, что Kµ интегрируема
только в окрестности ∂D.
Кроме того, в силу теоремы 1 получаем по теореме 9.2 из [7] или по теореме 9.7
из [1] следующий результат.
Теорема 5. Пусть D и D′ — области в C, D локально связна на ∂D, ∂D′
слабо плоская и f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc с коэффициентом µ таким, что
δ(z0)∫
0
dr
‖Kµ‖1(z0, r)
=∞ ∀z0 ∈ ∂D,
где δ(z0) ∈ (0, d(z0)) , d(z0) = supz∈D |z − z0| и
‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
D(z0,r)
Kµ ds
— L1 -норма Kµ над D(z0, r) = {z ∈ D : |z − z0| = r} = D ∩ S(z0, r). Тогда
существует продолжение f−1 в D′ по непрерывности в C .
7. Гомеоморфное продолжение на границу. Комбинируя лемму 1 и теорему 5,
получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть D и D′ — ограниченные области в C и f : D → D′ —
гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Предположим, что
область D локально связна на ∂D и область D′ имеет слабо плоскую границу.
Если
δ(z0)∫
0
dr
‖Kµ‖1(z0, r)
=∞ ∀z0 ∈ ∂D (4)
для некоторого δ(z0) ∈ (0, d(z0)), где d(z0) = supz∈D |z − z0| и
‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
D∩S(z0,r)
Kµ ds,
то f имеет продолжение по непрерывности на D, которое гомеоморфно отоб-
ражает D на D′ .
В частности, из теоремы 6 получаем следующее обобщение известной теоре-
мы Геринга – Мартио о гомеоморфном продолжении на границу квазиконформных
отображений между QED-областями (ср. с [15]).
Следствие 4. Пусть D и D′ — ограниченные области со слабо плоскими
границами C и f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc . Если условие (4) справедливо в каждой точке z0 ∈ ∂D, то f имеет
гомеоморфное продолжение f : D → D′ .
Согласно теореме 1 имеем также следующее утверждение (см. теорему 10.3 в
[7] или теорему 9.10 в [1]).
Теорема 7. Пусть D — ограниченная область в C, X ⊂ D и f : D \ {X} →
→ C — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Предпо-
ложим, что X и C(X, f) — NED-множества. Если условие (4) справедливо в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1086 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
каждой точке z0 ∈ X для δ(z0) < dist(z0, ∂D), где
‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
|z−z0|=r
Kµ(z) |dz|,
то f имеет гомеоморфное продолжение на D .
Замечание 3. В частности, заключение теоремы 7 справедливо, если X яв-
ляется замкнутым множеством с
H1(X) = 0 = H1(C(X, f)).
8. О некоторых интегральных условиях. Напомним теоремы о взаимосвязи
между некоторыми интегральными условиями из [25].
Для любой неубывающей функции Φ : [0,∞] → [0,∞] обратная функция
Φ−1 : [0,∞]→ [0,∞] может быть определена следующим образом:
Φ−1(τ) = inf
Φ(t)>τ
t .
Здесь инфимум равен ∞, если {t ∈ [0,∞] : Φ(t) ≥ τ} = ∅. Заметим, что функция
Φ−1 также неубывающая.
Замечание 4. Непосредственно из определения становится очевидно, что
Φ−1(Φ(t)) 6 t ∀ t ∈ [0,∞] (5)
с равенством в (5), за исключением интервалов постоянства функции Φ(t).
Далее интеграл в (7) понимается как интеграл Лебега – Стилтьеса, а интегралы
в (6) и (8) – (11) как обычные интегралы Лебега. В (6) и (7) доопределяем интегралы
∞, если Φ(t) =∞, соответственно H(t) =∞ для всех t > T ∈ [0,∞).
Теорема 8. Пусть Φ: [0,∞]→ [0,∞] — неубывающая функция и
H(t) = log Φ(t).
Тогда из равенства
∞∫
∆
H ′(t)
dt
t
=∞ (6)
следует равенство
∞∫
∆
dH(t)
t
=∞ (7)
и (7) эквивалентно равенству
∞∫
∆
H(t)
dt
t2
=∞ (8)
для некоторого ∆ > 0, а (8) эквивалентно каждому из равенств
δ∫
0
H
(
1
t
)
dt =∞ (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1087
для некоторого δ > 0,
∞∫
∆∗
dη
H−1(η)
=∞ (10)
для некоторого ∆∗ > H(+0) и
∞∫
δ∗
dτ
τΦ−1(τ)
=∞ (11)
для некоторого δ∗ > Φ(+0).
Кроме того, (6) эквивалентно (7) и, следовательно, условия (6) – (11) экви-
валентны, если Φ в дополнение абсолютно непрерывна. В частности, условия
(6) – (11) эквивалентны, если Φ выпукла и не убывает.
Замечание 5. Дадим несколько пояснений. В правых частях равенств (6) – (11)
мы имеем в виду +∞. Если Φ(t) = 0 для t ∈ [0, t∗], то H(t) = −∞ для t ∈ [0, t∗] и
мы завершаем определение H ′(t) = 0 для t ∈ [0, t∗]. Обратим внимание на то, что
(7) и (8) исключают принадлежность t∗ интервалу интегрируемости, потому что
в противном случае левые части в (7) и (8) либо равны −∞, либо неопределены.
Поэтому можно считать, что в (6) – (9) ∆ > t0 , где t0 : = supΦ(t)=0 t , t0 = 0, если
Φ(0) > 0, и δ < 1/t0 , соответственно.
Теорема 9. Пусть Q : D→ [0,∞] — измеримая функция такая, что∫
D
Φ(Q(z)) dxdy <∞, (12)
где Φ: [0,∞]→ [0,∞] — неубывающая выпуклая функция такая, что
∞∫
δ0
dτ
τΦ−1(τ)
=∞
для некоторого δ0 > Φ(0). Тогда
1∫
0
dr
rq(r)
=∞, (13)
где q(r) — среднее значение функции Q(z) на окружности |z| = r .
Здесь D обозначает единичный круг в C . Объединяя теоремы 8 и 9, получаем
следующее утверждение.
Следствие 5. Если Φ: [0,∞] → [0,∞] — неубывающая выпуклая функция и
Q : D→ [0,∞] удовлетворяет (12), то каждое из условий (6) – (11) влечет (13).
9. Об отображениях, квазиконформных в среднем. Интегральные условия
типа ∫
D
Φ(K(x)) dm(x) <∞
часто применяются в теории отображений (см., например, монографию [1] и при-
веденную в ней библиографию) .
Комбинируя теорему 9 с леммой 1 и теоремой 6, получаем следующее утверж-
дение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1088 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
Теорема 10. Пусть D и D′ — ограниченные области в C такие, что D
локально связна на ∂D , а D′ имеет слабо плоскую (сильно достижимую) границу.
Предположим, что f : D → D′ — гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc такое, что ∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞
для выпуклой неубывающей функции Φ: [0,∞]→ [0,∞]. Если
∞∫
δ0
dτ
τΦ−1(τ)
=∞ (14)
для некоторого δ0 > Φ(0), то f имеет гомеоморфное (непрерывное) продолжение
f на D, которое отображает D на (в) D′ .
Замечание 6. В частности, заключение о гомеоморфном продолжении спра-
ведливо для областей D и D′ с гладкими границами и для выпуклых областей.
Отметим также, что по теореме 8 условие (14) можно заменить каждым из условий
(6) – (10). Пример, приведенный в следующем пункте, показывает, что каждое из
данных условий является не только достаточным, но и необходимым для непре-
рывного продолжения f на границу.
10. Необходимые условия для продолжимости.
Теорема 11. Пусть Φ: [0,∞] → [0,∞] — выпуклая неубывающая функция
такая, что
∞∫
δ∗
dτ
τΦ−1(τ)
<∞ (15)
для некоторого δ∗ ∈ (τ0,∞), где τ0 : = Φ(0). Тогда существует диффеоморфное
решение f уравнения Бельтрами (1), отображающее проколотый единичный круг
D \ {0} на кольцо R = {ζ ∈ C : 1 < |ζ| < R} такое, что∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞, (16)
которое не может быть продолжено по непрерывности в начало координат.
Согласно известному критерию выпуклости (см., например, предложение 5 в
I.4.3 из [26]), отношение [Φ(t)− Φ(0)]/t не убывает. По условию (15) функция Φ
не может быть постоянной. Таким образом, доказательство теоремы 11 сводится к
доказательству следующего утверждения.
Лемма 3. Пусть Φ: [0,∞]→ [0,∞] — неубывающая функция такая, что
Φ(t) > Ct ∀t ∈ [T,∞]
для некоторого C > 0 и T ∈ (0,∞) и выполняется (15). Тогда существует
диффеоморфное решение f уравнения Бельтрами (1) в проколотом единичном
круге D \ {0}, отображающее его на кольцо R = {ζ ∈ C : 1 < |ζ| < R} и такое,
что (16) имеет место, но f не может быть продолжено по непрерывности в
начало координат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1089
Доказательство. Отметим, что по условию (15)
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
<∞ ∀δ ∈ (τ0,∞), (17)
так как Φ−1(τ) > 0 для всех τ > τ0 и Φ−1(τ) не убывает. Тогда, применяя
линейное преобразование αΦ + β с α = 1/C и β = T (см., например, (8)), можно
считать, что
Φ(t) > t ∀t ∈ [0,∞). (18)
Конечно, мы можем считать, что Φ(t) = t для всех t ∈ [0, 1) , так как значения Φ в
[0, 1) не дают информации о Kµ(z) > 1 . Ясно, что из (17) следует, что Φ(t) <∞
для всех t <∞ (см. (8), ср. с (11)).
Теперь заметим, что функция Ψ(t) : = tΦ(t) строго возрастает, Ψ(1) = Φ(1) и
Ψ(t)→∞ при t→∞. Следовательно, функциональное уравнение
Ψ(K(r)) =
(γ
r
)2
∀r ∈ (0, 1] , (19)
где γ = Φ1/2(1) > 1, разрешимо с K(1) = 1 и строго убывающей непрерывной
функцией K(r), K(r) < ∞, r ∈ (0, 1], и K(r) → ∞ при r → 0. Логарифмируя
(19), получаем равенство
log K(r) + log Φ(K(r)) = 2 log
γ
r
и, используя (18), имеем
K(r) 6
γ
r
.
Тогда в силу (19) и (5)
K(r) > Φ−1
(γ
r
)
.
Далее, мы определяем следующее отображение проколотого единичного круга
D \ {0} :
f(z) =
z
|z|
%(|z|),
где
%(t) = exp{I(t)}, I(t) =
t∫
0
dr
rK(r)
.
Далее,
I(t) =
t∫
0
dr
rK(r)
6
t∫
0
dr
rΦ−1
(
γ
r
) =
∞∫
γ
t
dτ
τΦ−1(τ)
∀t ∈ (0, 1],
где γ/t > γ > 1 > Φ(0) = 0 . Следовательно, по условию (17)
I(t) 6 I(1) =
1∫
0
dr
rK(r)
<∞ ∀t ∈ (0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1090 Д. А. КОВТОНЮК, И. В. ПЕТКОВ, В. И. РЯЗАНОВ
Отметим, что f ∈ C1 (D \ {0}) , так как K(r) непрерывна. Следовательно, f ло-
кально квазиконформно в D \ {0}.
Легко вычислить касательное и радиальное искажения при отображении f на
сфере |z| = ρ, ρ ∈ (0, 1) :
δτ (z) =
|f(z)|
|z|
=
exp
{∫ ρ
0
dr
rK(r)
}
ρ
,
δr(z) =
∂|f(z)|
∂|z|
=
exp
{∫ ρ
0
dr
rK(r)
}
ρK(ρ)
.
Мы видим, что δr(z) 6 δτ (z), так как K(ρ) > 1 . Следовательно, в силу сфериче-
ской симметрии f является диффеоморфным решением уравнения Бельтрами (1)
с комплексным коэффициентом µ таким, что
Kµ(z) =
δτ (z)
δr(z)
= K(|z|)
во всех точках z ∈ D \ {0} (см., например, подраздел I.4.1 в [27]). Таким образом,
из (19) получаем ∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) =
∫
D
Φ(K(|z|)) dm(z) =
= 2π
1∫
0
Ψ(K(r))
rK(r)
r2 dr = 2πγ2
1∫
0
dr
rK(r)
6 M : = 2πγ2I(1) <∞ .
С другой стороны, вдоль каждой радиальной линии z/|z| = η ∈ C , |η| = 1,
f(z) → η при |z| → 0 , т. е. мы не имеем определенного предела f при z → 0.
Легко видеть, что
lim
z→0
|f(z)| = lim
t→0
%(t) = e0 = 1 ,
т. е. f отображает проколотый единичный круг D \ {0} на кольцо 1 < |ζ| < R =
= eI(1).
Замечание 7. Области D = D \ {0} и D′ = R : = {ζ ∈ C : 1 < |ζ| < R}
имеют слабо плоские границы, условие (16) выполняется, однако f не может
быть продолжено по непрерывности на границу. Таким образом, условие (14) в
теореме 10 является необходимым.
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monographs
in Mathematics. – New York: Springer, 2009.
2. Astala K., Iwaniec T., Martin G. J. Elliptic differential equations and quasiconformal mappings in the
plane // Princeton Math. Ser. – Princeton: Princeton Univ. Press, 2009. – 48.
3. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami
equations // Ukr. Math. Bull. – 2010. – 7, № 4. – P. 467 – 515.
4. Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation // Handbook in Complex Analysis: Geometric Function
Theory. – 2005. – 2. – P. 555 – 597.
5. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 1091
6. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103.
– P. 353 – 393.
7. Ковтонюк Д., Рязанов В. К теории нижних Q -гомеоморфизмов // Укр. мат. вестн. – 2008. – 5,
№ 2. – С. 159 – 184.
8. Dybov Yu. On regular solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations // Complex Variables
and Elliptic Equat. – 2010. – 55, № 12. – P. 1099 – 1116.
9. Wilder R. L. Topology of manifolds. – New York: Amer. Math. Soc., 1949.
10. Ковтонюк Д., Рязанов В. К теории границ пространственных областей // Труды Ин-та прикл.
математики и механики НАН Украины, 2006. – 13. – С. 110 – 120.
11. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q -homeomorphisms // Contemp. Math. – 2004. – 364.
– P. 193 – 203.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q -homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. – 2005.
– 30. – P. 49 – 69.
13. Väisälä J. Lectures on n -dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
14. Näkki R. Boundary behavior of quasiconformal mappings in n -space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 1970. – 484. – P. 1 – 50.
15. Gehring F. W., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings
// J. Anal. Math. – 1985. – 45. – P. 181 – 206.
16. Martio O., Sarvas J. Injectivity theorems in plane and space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math. –
1978/1979. – 4. – P. 384 – 401.
17. Väisälä J. On the null-sets for extremal distances // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. Math. – 1962. –
322. – P. 1 – 12.
18. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1948.
19. Federer H. Geometric measure theory. – Berlin: Springer, 1969.
20. Gehring F. W., Lehto O. On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann. Acad.
Sci. Fenn. A1. Math. – 1959. – 272. – P. 1 – 9.
21. Menchoff D. Sur les differentielles totales des fonctions univalentes // Math. Ann. – 1931. – 105. – P. 75
– 85.
22. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On the theory of mappings with finite area distortion // J. Anal. Math. –
2008. – 104. – P. 291 – 306.
23. Maz’ya V. Sobolev classes. – Berlin: Springer, 1985.
24. Ignat’ev A. A., Ryazanov V. I. Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. – 2005.
– 2, № 3. – P. 403 – 424.
25. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Integral conditions in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. –
2010. – 7, № 1. – P. 73 – 87.
26. Bourbaki N. Functions of a real variable. – Berlin: Springer, 2004.
27. Reshetnyak Yu. G. Space mappings with bounded distortion // Transl. Math. Monographs. – 1989. – 73.
Получено 28.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2786 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:18Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/68ea1410e5ba91f1cd0baacf7fabf9bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27862020-03-18T19:36:38Z On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations О граничном поведении решений уравнений Бельтрами Kovtonyuk, D. A. Petkov, I. V. Ryazanov, V. I. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. We show that every homeomorphic solution of the Beltrami equation $\overline{\partial} f = \mu \partial f$ in the Sobolev class $W^{1, 1}_{\text{loc}}$ is a so-called lower $Q$-homeomorphism with $Q(z) = K_{\mu}(z)$, where $K_{\mu}$ is a dilatation quotient of this equation. On this basis, we develop the theory of the boundary behavior and the removability of singularities of these solutions. Показано, що будь-який гомеоморфний розв’язок рiвняння Бельтрамi $\overline{\partial} f = \mu \partial f$ класу Соболєва $W^{1, 1}_{\text{loc}}$ є так званим нижнiм $Q$-гомеоморфiзмом з $Q(z) = K_{\mu}(z)$, де $K_{\mu}$ — дилатацiйне вiдношення цього рiвняння. На цiй основi розвинено теорiю граничної поведiнки та усунення сингулярностей таких розв’язкiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2786 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1078-1091 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1078-1091 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2786/2327 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2786/2328 Copyright (c) 2011 Kovtonyuk D. A.; Petkov I. V.; Ryazanov V. I. |
| spellingShingle | Kovtonyuk, D. A. Petkov, I. V. Ryazanov, V. I. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. Ковтонюк, Д. А. Петков, И. В. Рязанов, В. И. On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title | On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title_alt | О граничном поведении решений уравнений Бельтрами |
| title_full | On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title_fullStr | On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title_full_unstemmed | On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title_short | On the boundary behavior of solutions of the Beltrami equations |
| title_sort | on the boundary behavior of solutions of the beltrami equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2786 |
| work_keys_str_mv | AT kovtonyukda ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT petkoviv ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT ryazanovvi ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT kovtonûkda ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT petkoviv ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT râzanovvi ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT kovtonûkda ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT petkoviv ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT râzanovvi ontheboundarybehaviorofsolutionsofthebeltramiequations AT kovtonyukda ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT petkoviv ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT ryazanovvi ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT kovtonûkda ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT petkoviv ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT kovtonûkda ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT petkoviv ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi ograničnompovedeniirešenijuravnenijbelʹtrami |