On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations
For a weakly nonlinear stochastic system, we construct a system of ordinary differential equations the behavior of solutions of which at infinity is similar to the behavior of solutions of the original stochastic system.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2788 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508761310887936 |
|---|---|
| author | Novak, I. H. Samoilenko, A. M. Stanzhitskii, A. N. Новак, І. Г. Самойленко, А. М. Станжицький, О. М. |
| author_facet | Novak, I. H. Samoilenko, A. M. Stanzhitskii, A. N. Новак, І. Г. Самойленко, А. М. Станжицький, О. М. |
| author_sort | Novak, I. H. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | For a weakly nonlinear stochastic system, we construct a system of ordinary differential equations the behavior of solutions of which at infinity is similar to the behavior of solutions of the original stochastic system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. М. Станжицький, I. Г. Новак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ
РОЗВ’ЯЗКАМИ СТОХАСТИЧНИХ ТА ЗВИЧАЙНИХ РIВНЯНЬ
For a weakly nonlinear stochastic system, we construct a system of ordinary differential equations the behavior
of solutions of which at infinity is similar to the behavior of solutions of the original stochastic system.
Для слабонелинейной стохастической системы построена система обыкновенных дифференциальных
уравнений, поведение решений которой на бесконечности подобно поведению решений исходной сто-
хастической системы.
1. Вступ. У данiй роботi вивчається асимптотична поведiнка на нескiнченностi
розв’язкiв стохастичної системи Iто методами якiсної теорiї звичайних диференцi-
альних рiвнянь.
Основна iдея полягає в застосуваннi до дослiдження методу асимптотичної
еквiвалентностi. Згiдно з цим методом за вихiдною нелiнiйною стохастичною сис-
темою будується лiнiйна система звичайних диференцiальних рiвнянь така, що
кожному розв’язку стохастичної системи можна поставити у вiдповiднiсть такий
розв’язок системи звичайних диференцiальних рiвнянь (взагалi кажучи, з випадко-
вими початковими даними), що в певних iмовiрнiсних сенсах їх рiзниця прямує до
нуля при t→∞.
Для звичайних диференцiальних рiвнянь даний пiдхiд є добре вiдомим. Першi
результати в цьому напрямку були отриманi Вiтнером [1], Левiнсоном [2], Якубови-
чем [3]. Пiсля пiонерських робiт цих авторiв проблеми асимптотичної еквiвалент-
ностi диференцiальних рiвнянь, включаючи лiнiйнi, нелiнiйнi та функцiональнi
рiвняння, вивчались у багатьох роботах (див., наприклад, [4, 6] та наведену в них
бiблiографiю).
На думку авторiв, даний пiдхiд до вивчення стохастичних систем також заслу-
говує на увагу.
Питанням дослiдження асимптотичної поведiнки стохастичних систем шляхом
порiвняння з детермiнованими присвячено порiвняно мало робiт (див., наприклад,
[6, 9, 10]).
У данiй роботi узагальнено результати роботи [11] та монографiї [12], в яких
отримано умови асимптотичної вiдповiдностi лiнiйної стохастичної системи i сис-
теми лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку, коли детермiнована
система є системою зi сталими коефiцiєнтами i всi її розв’язки обмеженi на пiвосi
t ≥ 0.
Ми розглянемо бiльш загальну ситуацiю, а саме, коли лiнiйна детермiнована
система є системою зi змiнними коефiцiєнтами i може допускати i необмеженi на
пiвосi розв’язки. Бiльш того, покажемо, що в лiнiйному випадку можна побудува-
ти вiдповiднiсть мiж системами, при якiй нетривiальним розв’язкам стохастичної
системи вiдповiдають нетривiальнi розв’язки детермiнованої системи.
Робота складається зi вступу i трьох пунктiв. У першому пунктi вивчаються
умови асимптотичної вiдповiдностi слабконелiнiйної стохастичної системи i лi-
c© А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1103
1104 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
нiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь у припущеннi, що остання є
експоненцiально дихотомiчною на осi.
У другому пунктi розглянуто лiнiйний випадок стохастичної системи. Тут побу-
довано вiдповiднiсть, яка кожному нетривiальному розв’язку стохастичної системи
ставить у вiдповiднiсть нетривiальний розв’язок детермiнованої системи.
Третiй пункт присвячено застосуванню отриманих результатiв.
2. Слабконелiнiйний випадок. Розглянемо систему стохастичних рiвнянь Iто
вигляду
dy = (A(t)y + f(t, y))dt+ σ(t, y)dW (t) (1)
i систему лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь
dx = A(t)xdt. (2)
Означення. Якщо кожному розв’язку y(t) системи (1) можна поставити у
вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (2) такий, що
lim
t→∞
E|x(t)− y(t)|2 = 0,
то систему (2) назвемо асимптотично вiдповiдною до системи (1) у середньому
квадратичному. Якщо ж кожному розв’язку y(t) системи (1) можна поставити у
вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (2) такий, що з iмовiрнiстю 1
lim
t→∞
|x(t)− y(t)| = 0,
то систему (2) назвемо асимптотично вiдповiдною до системи (1) з iмовiр-
нiстю 1.
У подальшому будемо вважати, що виконуються наступнi умови. Матриця A(t)
є неперервною й обмеженою при t ∈ R1. Позначимо
a := sup
t∈R1
‖A(t)‖,
де ‖A(t)‖ — норма матрицi.
Вiдносно функцiй f(t, y) i σ(t, y) будемо вважати, що вони неперервнi за су-
купнiстю змiнних при t ≥ 0, y ∈ Rn i задовольняють за змiнною y глобальну
умову Лiпшиця, W (t) — стандартний скалярний вiнерiвський процес, визначений
при t ≥ 0 на ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P), {Ft, t ≥ 0} — фiльтрацiя, вiдносно
якої узгоджено процес W (t).
Вiдомо (див., наприклад, [13, с. 107]), що за вказаних вище умов на функцiї
A, f та σ система стохастичних рiвнянь (1) має потраєкторно єдиний розв’язок
y(t) = y(t, ω) з початковою умовою y(t0) = y0, де y0 — випадкова величина, що є
Ft0 -вимiрною, i E|y0|2 <∞. Даний розв’язок визначено при t ≥ t0.
Нехай функцiї f i σ задовольняють умови: iснують невiд’ємнi неперервнi при
t ≥ 0 функцiї η(t) та ρ(t) такi, що для всiх t ≥ 0, x ∈ Rn
|f(t, x)| ≤ η(t)|x|, (3)
|σ(t, x)| ≤ ρ(t)|x|. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1105
Позначимо черезX(t, τ) матрицант системи (2), тобто фундаментальну систему
її розв’язкiв, X(τ, τ) = E — одинична матриця. Покладемо X(t) := X(t, 0).
Нехай система (2) експоненцiально дихотомiчна на R1, тобто iснують два до-
повнюючих проектори P1, P2, а також додатнi сталi N1, N2, ν1, ν2 такi, що вико-
нуються нерiвностi
‖X(t)P1X
−1(s)‖ ≤ N1e
−ν1(t−s), t ≥ s, (5)
‖X(t)P2X
−1(s)‖ ≤ N2e
−ν2(s−t), s ≥ t. (6)
Позначимо
X1(t, s) := X(t)P1X
−1(s),
X2(t, s) := X(t)P2X
−1(s).
З iнтегрального зображення матрицанту X(t, τ) та леми Гронуолла – Беллмана
для його норми отримуємо оцiнку при будь-яких t, τ ∈ R1:
‖X(t, τ)‖ ≤ ea|t−τ |. (7)
Вiдомо також, що матрицантX(t, τ) та матрицiXi(t, τ), i = 1, 2, задовольняють
еволюцiйну властивiсть для t, τ ∈ R1:
X(t, τ) = X(t, s)X(s, τ),
Xi(t, τ) = Xi(t, s)Xi(s, τ).
У подальшому нам знадобиться оцiнка другого моменту розв’язку системи (1).
Має мiсце наступна лема.
Лема 1. Нехай вiдносно функцiйA(t), f(t, x) та σ(t, x) виконуються наведенi
вище умови, а також
a1 :=
∞∫
0
η(t)dt <∞, (8)
a2 :=
∞∫
0
ρ2(t)dt <∞. (9)
Тодi iснує стала a3 > 0 така, що для довiльного розв’язку y(t) системи (1) при
t ≥ t0 справджується оцiнка
E|y(t)|2 ≤ a3E|y(t0)|2e2a(t−t0). (10)
Доведення. Неважко бачити, що y(t) задовольняє iнтегральне рiвняння
y(t) = X(t, t0)y(t0) +
t∫
t0
X(t, τ)f(τ, y(τ))dτ +
t∫
t0
X(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ). (11)
Звiдси отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1106 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
E|y(t)|2 < 3‖X(t, t0)‖2E|y(t0)|2 + 3E
t∫
t0
|X(t, τ)f(τ, y(τ))|dτ
2
+
+3
t∫
t0
‖X(t, τ)‖2ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 3e2a(t−t0)E|y(t0)|2 + 3
t∫
t0
η(τ)dτ
t∫
t0
e2a(t−τ)η(τ)E|y(τ)|2dτ+
+3
t∫
t0
e2a(t−τ)ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 3e2a(t−t0)E|y(t0)|2 + 3
t∫
t0
e2a(t−τ)(a1η(τ) + ρ2(τ))E|y(τ)|2dτ.
Отже,
E|y(t)|2 ≤ 3e2a(t−t0)E|y(t0)|2 + 3
t∫
t0
e2a(t−τ)(a1η(τ) + ρ2(τ))E|y(τ)|2dτ.
Домножаючи останню нерiвнiсть на e−2a(t−t0), маємо
E|y(t)|2e−2a(t−t0) ≤ 3E|y(t0)|2 + 3
t∫
t0
e−2a(τ−t0)(a1η(τ) + ρ2(τ))E|y(τ)|2dτ.
Звiдси i з нерiвностi Гронуолла – Беллмана отримуємо
E|y(t)|2e−2a(t−t0) ≤ 3E|y(t0)|2e
3
t∫
t0
(a1η(τ)+ρ
2(τ))dτ
,
або
E|y(t)|2 ≤ 3E|y(t0)|2e3a
2
1+3a2e2a(t−t0),
що i є потрiбною оцiнкою зi сталою a3 = 3e3a
2
1+3a2 .
Лему доведено.
Далi будемо використовувати невласний стохастичний iнтеграл вигляду
∞∫
t0
f(t)dw(t) (12)
вiд Ft-вимiрного процесу. Даний iнтеграл будемо розумiти як середньоквадратичну
границю власних стохастичних iнтегралiв:
∞∫
t0
f(t)dw(t) = lim
A→∞
A∫
t0
f(t)dw(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1107
Вiдносно iснування використовуваних у подальшому властивостей таких iнте-
гралiв справедливою є наступна лема.
Лема 2. Якщо для Ft-вимiрного випадкового процесу f(t) виконано умову∫ ∞
0
E|f(t)|2dt <∞, то стохастичний iнтеграл (12) iснує i має властивостi:
1) для будь-якого t1 > t0
∫ ∞
t0
f(t)dw(t) =
∫ t1
t0
f(t)dw(t) +
∫ ∞
t1
f(t)dw(t);
2) E
∫ ∞
t0
f(t)dw(t) = 0;
3) E
∣∣∣∣∫ ∞
t0
f(t)dw(t)
∣∣∣∣2 =
∫ ∞
t0
E|f(t)|2dt.
Доведення. Iснування iнтеграла випливає з того, що в умовах леми для довiльної
послiдовностi an → ∞, n → ∞, послiдовнiсть
∫ an
t0
f(t)dw(t) фундаментальна в
середньому квадратичному. Властивостi 1 – 3 отримуються граничним переходом
у вiдповiдних властивостях звичайних стохастичних iнтегралiв (див. також [14,
с. 259]).
Теорема 1. Нехай функцiя A(t) є неперервною i обмеженою при t ∈ R1,
функцiї f(t, x) i σ(t, x) неперервнi за сукупнiстю змiнних при t ≥ 0, x ∈ Rn i
задовольняють за змiнною x глобальну умову Лiпшиця та умови (3) i (4), система
(2) експоненцiально дихотомiчна на осi, а також
a4 :=
∞∫
0
e2atη2(t)dt <∞, (13)
a5 :=
∞∫
0
e2atρ2(t)dt <∞. (14)
Тодi система (2) асимптотично вiдповiдна в середньому квадратичному до
системи (1).
Доведення. Насамперед зазначимо, що з умов (13) i (14) випливають умови (8),
(9), а тому справджується оцiнка (10). Далi, оскiльки
X(t, τ) = X(t)X−1(τ) = X(t)(P1 + P2)X−1(τ) =
= X(t)P1X
−1(τ) +X(t)P2X
−1(τ) = X1(t, τ) +X2(t, τ),
то (11) можна записати у виглядi
y(t) = X(t, t0)y(t0) +
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ +
t∫
t0
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ+
+
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) +
t∫
t0
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ),
або
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1108 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
y(t) = X(t, t0)y(t0) +
∞∫
t0
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ +
∞∫
t0
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)−
−
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ −
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)+
+
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ +
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ).
Враховуючи, що X2(t, τ) = X(t, t0)X2(t0, τ), маємо
y(t) = X(t, t0)
y(t0) +
∞∫
t0
X2(t0, τ)f(τ, y(τ))dτ +
∞∫
t0
X2(t0, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
+
+
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ +
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)−
−
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ −
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ). (15)
Тепер кожному розв’язку y(t) системи (1), що починається у момент часу t0, по-
ставимо у вiдповiднiсть такий розв’язок x(t) системи (2), що
x(t0) = y(t0) +
∞∫
t0
X2(t0, τ)f(τ, y(τ))dτ +
∞∫
t0
X2(t0, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ). (16)
Перевiримо збiжнiсть у середньому квадратичному iнтегралiв у (15). Справдi з (6),
(8), (10), (13) та нерiвностi Кошi – Буняковського отримуємо
E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t0
X2(t0, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤ E
∞∫
t0
‖X2(t0, τ)‖η(τ)|y(τ)|dτ
2
≤
≤
∞∫
t0
‖X2(t0, τ)‖dτ
∞∫
t0
η2(τ)‖X2(t0, τ)‖E|y(τ)|2dτ ≤
≤ a3N2
2
∞∫
t0
e−ν2(τ−t0)dτ
∞∫
t0
η2(τ)e−ν2(τ−t0)e2a(τ−t0)E|y(t0)|2dτ ≤
≤ a3N
2
2
ν2
E|y(t0)|2
∞∫
t0
η2(τ)e2aτdτ <∞.
Для другого iнтеграла в (15) маємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1109
E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t0
X2(t0, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤
∞∫
t0
N2
2 e
−2ν2(τ−t0)ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ a3N2
2E|y(t0)|2
∞∫
t0
e−2ν2(τ−t0)ρ2(τ)e2a(τ−t0)dτ ≤
≤ a3N2
2E|y(t0)|2
∞∫
t0
ρ2(τ)e2aτdτ <∞.
Останнi два доданки в (15) оцiнюються аналогiчно. Покажемо тепер, що для
вiдповiдних розв’язкiв x(t) i y(t) має мiсце граничне спiввiдношення
E|x(t)− y(t)|2 → 0, t→∞. (17)
Оскiльки розв’язок системи (2) має вигляд x(t) = X(t, t0)x(t0), то з (15) i (16)
одержуємо
E|x(t)− y(t)|2 ≤ 4
E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+
+E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
+ E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+
+E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
. (18)
Оцiнимо у (18) кожен iз доданкiв. Маємо
E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤ E
t∫
t0
‖X1(t, τ)‖η(τ)|y(τ)|dτ
2
≤
≤
t∫
t0
‖X1(t, τ)‖dτ
t∫
t0
N1e
−ν1(t−τ)η2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ N2
1
t∫
t0
e−ν1(t−τ)dτ
t∫
t0
e−ν1(t−τ)η2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ N2
1
ν1
a3E|y(t0)|2
t∫
t0
e−ν1(t−τ)η2(τ)e2aτdτ. (19)
Але при t ≥ 2t0 отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1110 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
t∫
t0
e−ν1(t−τ)η2(τ)e2aτdτ =
t/2∫
t0
e−ν1(t−τ)η2(τ)e2aτdτ+
+
t∫
t/2
e−ν1(t−τ)η2(τ)e2aτdτ ≤ e−
ν1t
2
t/2∫
t0
η2(τ)e2aτdτ +
t∫
t/2
η2(τ)e2aτdτ ≤
≤ e−
ν1t
2
∞∫
t0
η2(τ)e2aτdτ +
t∫
t/2
η2(τ)e2aτdτ → 0, t→∞. (20)
Останнє спiввiдношення випливає з (13). Тому i вираз у правiй частинi (19) прямує
до нуля при t→∞.
Далi
E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤ a3
t∫
t0
N2
1 e
−2ν1(t−τ)ρ2(τ)e2aτE|y(t0)|2dτ ≤
≤ N2
1 a3E|y(t0)|2
t∫
t0
e−2ν1(t−τ)ρ2(τ)e2aτdτ → 0, t→∞, (21)
аналогiчно (19).
Оцiнимо третiй доданок у (18). З нерiвностi Кошi – Буняковського маємо
E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
∞∫
t
‖X2(t, τ)‖dτ
∞∫
t
‖X2(t, τ)‖η2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ a3N2
2
∞∫
t
e−ν2(τ−t)dτ
∞∫
t
η2(τ)e2a(τ−t0)E|y(t0)|2dτ ≤
≤ a3N
2
2E|y(t0)|2
ν2
∞∫
t
η2(τ)e2aτ → 0, t→∞. (22)
Останнє випливає з умови (13).
Оцiнимо нарештi останнiй доданок у (18):
E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤
∞∫
t
N2
2 ρ
2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
≤ a3E|y(t0)|2N2
2
∞∫
t
ρ2(τ)e2aτ → 0, t→∞, (23)
внаслiдок нерiвностi (14). Нерiвностi (18) – (23) завершують доведення теореми.
Виявляється, що, накладаючи бiльш жорсткi умови на функцiю ρ(t), нiж (14),
можна встановити й асимптотичну вiдповiднiсть з iмовiрнiстю 1 систем (1) i (2).
Має мiсце наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1111
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1, в якiй умову (14) замiнено
умовою
∞∫
0
tαe2atρ2(t)dt <∞ (24)
для деякого α > 1.
Тодi система (2) асимптотично вiдповiдна до системи (1) з iмовiрнiстю 1.
Доведення. Виберемо послiдовнiсть {nk|k ≥ 1} так, щоб nk > k, k ≥ 1 i
∞∫
nk
e2atη2(t)dt ≤ 1
2k
, k ≥ 1,
та послiдовнiсть {mk|k ≥ 1} так, щоб mk > k, k ≥ 1, i
∞∫
mk
tαe2atρ2(t)dt ≤ 1
2k
, k ≥ 1.
За умовами (13) i (24) такий вибiр є можливим.
За послiдовностями {nk} i {mk} побудуємо послiдовнiсть lk так, що
lk = 2 max{nk,mk}, k ≥ 1.
Тодi очевидними є оцiнки
∞∫
lk/2
e2atη2(t)dt ≤ 1
2k
, k ≥ 1, (25)
∞∫
lk/2
e2atρ2(t)dt ≤ 1
2k
, k ≥ 1, (26)
∞∫
lk/2
tαe2atρ2(t)dt ≤ 1
2k
, k ≥ 1. (27)
Для довiльного розв’язку y(t) системи (1), що починається у момент часу t0, та
вiдповiдного йому розв’язку x(t) системи (2), визначеного формулою (16), отри-
муємо
P
{
sup
t≥lk
|x(t)− y(t)| > 1
k
}
≤ P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
+
+P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
+
+P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1112 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
+P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
= P1 + P2 + P3 + P4. (28)
Оцiнимо кожну з iмовiрностей у (28) окремо.
Згiдно з нерiвнiстю Чебишова маємо
P1 ≤ 16k2E
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 16k2E
sup
t≥lk
t∫
t0
N1e
−ν1(t−τ)η(τ)|y(τ)|dτ
2
≤
≤ 16k2N2
1E
sup
t≥lk
lk/2∫
t0
e−ν1(t−τ)η(τ)|y(τ)|dτ
+
+ sup
t≥lk
t∫
lk/2
e−ν1(t−τ)η(τ)|y(τ)|dτ
2
≤
≤ 32k2N2
1
sup
t≥lk
lk/2∫
t0
e−2ν1(t−τ)dτ
lk/2∫
t0
η2(τ)E|y(τ)|2dτ+
+ sup
t≥lk
t∫
lk/2
e−2ν1(t−τ)dτ)
∞∫
lk/2
η2(τ)E|y(τ)|2dτ
, (29)
але
sup
t≥lk
lk/2∫
t0
e−2ν1(t−τ)dτ
= sup
t≥lk
e−2ν1t lk/2∫
t0
e2ν1τdτ
≤
≤ e−2ν1lk e
ν1lk − e2ν1t0
2ν1
≤ e−ν1lk
2ν1
≤ e−ν1k
2ν1
,
sup
t≥lk
t∫
lk/2
e−2ν1(t−τ)dτ
≤ sup
t≥lk
t∫
0
e−2ν1(t−τ)dτ
=
= sup
t≥lk
(
e−2ν1t
e2ν1t − 1
2ν1
)
≤ 1
2ν1
.
Тому з (29) отримуємо нерiвнiсть
P1 ≤ 32k2N2
1
e−ν1k
2ν1
∞∫
t0
η2(τ)a3e
2aτE|y(t0)|2dτ+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1113
+
1
2ν1
a3E|y(t0)|2
∞∫
lk/2
η2(τ)e2aτdτ
≤
≤ 16k2N2
1E|y(t0)|2a3
ν1
(
a4e
−ν1k +
1
2k
)
= I
(1)
k . (30)
Оцiнимо тепер доданок P2 у (28). Для цього введемо для натуральних N послi-
довностi подiй
AN =
ω| sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
.
Очевидно, що для довiльних K1 ≤ K2 AK1 ⊆ AK2 . Отже, AN – монотонно
зростаюча послiдовнiсть множин, до того ж
A =
ω| sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
=
=
⋃
N
AN = lim
N→∞
AN ,
а тому P2 = P{A} = limN→∞P(AN ).
При N > lk маємо
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
≤
≤ P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
lk∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
+
+P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
. (31)
Для першого доданка у правiй частинi (31) виконується, згiдно з нерiвнiстю
Чебишова, ланцюжок нерiвностей
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
lk∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 64k2E
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
lk∫
t0
X1(t, lk)X1(lk, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 64k2 sup
lk≤t≤N
(‖X1(t, lk)‖2)
lk∫
t0
‖X1(lk, τ)‖2ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1114 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
≤ 64k2N4
1 a3E|y(t0)|2e−2ν1lk
lk∫
t0
e2ν1τρ2(τ)e2aτdτ =
= 64k2N4
1 a3E|y(t0)|2e−2ν1lk
lk/2∫
t0
e2ν1τρ2(τ)e2aτdτ +
lk∫
lk/2
e2ν1τρ2(τ)e2aτdτ
≤
≤ 64k2N4
1 a3E|y(t0)|2
e−ν1lk ∞∫
t0
ρ2(τ)e2aτdτ +
∞∫
lk/2
ρ2(τ)e2aτdτ
.
З умови (24) випливає, що iнтеграл
∫ ∞
0
ρ2(τ)e2aτdτ є збiжним. Використовуючи
(26), отримуємо нерiвнiсть
64k2N4
1 a3E|y(t0)|2
e−ν1lk ∞∫
t0
ρ2(τ)e2aτdτ +
∞∫
lk/2
ρ2(τ)e2aτdτ
≤
≤ 64k2N4
1 a3E|y(t0)|2
e−ν1k ∞∫
0
ρ2(τ)e2aτdτ +
∞∫
lk/2
e2aτρ2(τ)dτ
≤
≤ 64k2N4
1 a3E|y(t0)|2
e−ν1k ∞∫
0
ρ2(τ)e2aτdτ +
1
2k
= Ck. (32)
Оцiнимо тепер другий доданок у правiй частинi (31):
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, lk)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
+
+P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
(X1(t, τ)−X1(t, lk))σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
. (33)
Оцiнимо кожен доданок останньої нерiвностi. Маємо
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, lk)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
≤
≤ P
sup
lk≤t≤N
‖X1(t, lk)‖ sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1115
≤ 256k2N2
1E
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 1024k2N2
1
N∫
lk
ρ2(τ)a3e
2a(τ−t0)E|y(t0)|2dτ ≤
≤ 1024k2N2
1 a3E|y(t0)|2
∞∫
lk
ρ2(τ)e2aτdτ ≤
≤ 1024k2N2
1 a3E|y(t0)|2 1
2k
. (34)
Для оцiнки iншого доданка у правiй частинi (33) врахуємо те, що X1(t, τ), як
функцiя другого аргументу, задовольняє диференцiальне рiвняння
dX1(t, τ)
dτ
= −X1(t, τ)A(τ). (35)
Останнє перевiряється безпосередньо.
З (35) випливає iнтегральне спiввiдношення
X1(t, τ) = X1(t, lk)−
τ∫
lk
X1(t, s)A(s)ds,
враховуючи яке, маємо
t∫
lk
(X1(t, τ)−X1(t, lk))σ(τ, y(τ))dW (τ) =
= −
t∫
lk
τ∫
lk
X1(t, s)A(s)ds)σ(τ, y(τ)
dW (τ) =
= −
t∫
lk
X1(t, s)A(s)
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
ds.
Остання рiвнiсть випливає з можливостi змiни порядку iнтегрування в звичайних
та стохастичних iнтегралах (див., наприклад, властивiсть 100 у [14, с. 256]).
Таким чином, отримуємо
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
(X1(t, τ)−X1(t, lk))σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
=
= P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, s)A(s)
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
ds
∣∣∣∣∣∣ > 1
16k
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1116 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
≤ 256k2E
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, s)A(s)
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
ds
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 256k2E
sup
lk≤t≤N
t∫
lk
N2
1 e
−2ν1(t−s)‖A(s)‖2ds×
×
t∫
lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
ds
≤
≤ 256k2N2
1 a
2
2ν1
E
sup
lk≤t≤N
t∫
lk
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
ds
≤
≤ 256k2N2
1 a
2
2ν1
N∫
lk
E
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
ds ≤
≤ 1024k2N2
1 a
2
2ν1
N∫
lk
N∫
s
ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ
ds ≤
≤ 1024k2N2
1 a
2E|y(t0|2a3
2ν1
N∫
lk
ρ2(τ)e2aτ
τ∫
lk
ds
dτ ≤
≤ 1024k2N2
1 a
2E|y(t0)|2a3
2ν1
N∫
lk
ρ2(τ)e2aττdτ ≤
≤ 1024k2N2
1 a
2E|y(t0)|2a3
2ν1
2−k. (36)
З (33), (34) i (36) одержуємо
P
sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 1024k2N2
1 a3E|y(t0)|2
(
1 +
a2
2ν1
)
1
2k
= Bk. (37)
Враховуючи тепер оцiнки (32) i (37), маємо
P
ω| sup
lk≤t≤N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
≤ Ck +Bk.
Спрямувавши N до нескiнченностi, отримаємо оцiнку для доданка P2 у (28):
P2 ≤ Ck +Bk = I2(k). (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1117
Оцiнимо доданок P3 у формулi (28). На пiдставi нерiвностi Чебишова, оцiнок
(3) i (6) маємо
P3 = P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
≤
≤ 16k2E
sup
t≥lk
∞∫
t
N2e
−ν2(τ−t)η(τ)|y(τ)|dτ
2
≤
≤ 16k2E
sup
t≥lk
∞∫
t
N2
2 e
−2ν2(τ−t)dτ
∞∫
t
η2(τ)|y(τ)|2dτ
≤
≤ 16k2N2
2
2ν2
a3E|y(t0)|2
∞∫
lk
η2(τ)e2aτdτ ≤ 16k2N2
2
2ν2
a3E|y(t0)|2 1
2k
= I
(3)
k . (39)
Остання нерiвнiсть випливає з оцiнки (25).
Залишилось оцiнити доданок P4 у формулi (28):
P4 = P
sup
t≥lk
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
=
= P
∞⋃
n=0
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
≤
≤
∞∑
n=0
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
4k
≤
≤
∞∑
n=0
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
+
+P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
. (40)
Оцiнимо кожен доданок пiд знаком суми окремо. Для цього врахуємо, що
X2(t, τ), як функцiя першого аргумента, задовольняє диференцiальне рiвняння
dX2(t, τ)
dt
= A(t)X2(t, τ).
Звiдси на пiдставi нерiвностi Гронуолла – Беллмана та нерiвностi (6) маємо
оцiнку
‖X2(t, τ)‖ ≤ N2e
a|t−τ |. (41)
Далi отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1118 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 64k2E
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
=
= 64k2E
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣X2(t, lk + n)
t∫
lk+n
X2(lk + n, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 64k2 sup
lk+n≤t<lk+n+1
‖X2(t, lk + n)‖2×
×E
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk+n
X2(lk + n, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣
2
.
Останнiй вираз, згiдно з нерiвнiстю (41) i властивостями стохастичного iнтеграла,
не перевищує iнтеграл
64k2N2
2 e
2a4
lk+n+1∫
lk+n
‖X2(lk + n, τ)‖2ρ2(τ)E|y(τ)|2dτ,
який на пiдставi нерiвностi (6) оцiнюється виразом
256k2N2
2 e
2a
lk+n+1∫
lk+n
N2
2 e
−2ν2(τ−lk−n)ρ2(τ)a3e
2a(τ−t0)E|y(t0)|2 ≤
≤ 256k2e2aa3E|y(t0)|2N2
2
lk+n+1∫
lk+n
ρ2(τ)e2aτdτ. (42)
Таким чином,
∞∑
n=0
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
t∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ))
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 256k2e2aa3N
2
2E|y(t0)|2
∞∑
n=0
lk+n+1∫
lk+n
ρ2(τ)e2aτdτ =
= 256k2e2aa3N
2
2E|y(t0)|2
∞∫
lk
ρ2(τ)e2aτdτ ≤
≤ 256k2e2aa3N
2
2E|y(t0)|2 1
2k
= I
(4)
k . (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1119
Залишилось оцiнити першу систему в (40). Маємо
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 64k2 sup
lk≤t<lk+n+1
(‖X2(t, lk + n)‖2)
∞∫
lk+n
‖X2(lk + n, τ)‖2ρ2(τ)e2aτE|y(t0)|2dτ.
Останнiй вираз, згiдно з нерiвностями (6) i (41), не перевищує наступного:
64k2N2
2 e
2a
∞∫
lk+n
N2
2 e
−2ν2(τ−lk−n)ρ2(τ)e2aτE|y(t0)|2dτ ≤
≤ 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2
∞∫
lk+n
ρ2(τ)e2aτdτ.
Таким чином, для оцiнки першої суми в (40) маємо
∞∑
n=0
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2
∞∑
n=0
∞∫
lk+n
ρ2(τ)e2aτdτ =
= 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2
∞∑
n=0
∞∫
lk+n
1
τα
ρ2(τ)e2aτταdτ ≤
≤ 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2
∞∑
n=0
1
(lk + n)α
∞∫
lk+n
ρ2(τ)e2aτταdτ ≤
≤ 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2
∞∫
lk
ρ2(τ)e2aτταdτ
∞∑
n=0
1
(n+ 1)α
.
Ряд
∑∞
n=0
1
(n+ 1)α
є збiжним. Позначимо його суму через S. Тодi на пiдставi
нерiвностi (27) маємо
∞∑
n=0
P
sup
lk+n≤t<lk+n+1
∣∣∣∣∣∣
∞∫
lk+n
X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ)
∣∣∣∣∣∣ > 1
8k
≤
≤ 64k2N4
2 e
2aE|y(t0)|2S 1
2k
= I
(5)
k . (44)
Отже, з огляду на нерiвностi (40), (43) i (44) для доданка P4 у формулi (28)
одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1120 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
P4 ≤ I4(k) + I5(k). (45)
З оцiнок (28), (30), (38), (39), (45) отримуємо
P
{
sup
t≥lk
|x(t)− y(t)| > 1
k
}
≤
5∑
i=1
Ii(k) = Ik.
Оскiльки ряд
∑∞
k=1
Ik є збiжним, то, застосовуючи лему Бореля – Кантелi,
завершуємо доведення теореми.
Приклад. Розглянемо в R2 стохастичну систему вигляду (1)
dy1 = (−(th t)y1 + f1(t) sin y2)dt+ σ1(t) sin y1dW (t),
dy2 = (y1 + (th t)y2 + f2 sin y1)dt+ σ2(t) sin y2dW (t),
(46)
де th — гiперболiчний тангенс, функцiї fi, σi неперервнi при t ≥ 0, i = 1, 2.
Матриця A(t) має вигляд
A(t) =
(
−th t 0
1 th t
)
.
Вiдповiдна незбурена система є такою:
dx1 = −(th t)x1dt,
dx2 = (x1 + th tx2)dt,
(47)
до того ж неважко бачити, що вона є експоненцiально дихотомiчною на осi. Вiд-
повiднi проектори мають вигляд
P1 =
(
1 0
0 0
)
, P2 =
(
0 0
0 1
)
.
Очевидно також, що supt∈R1 ‖A(t)‖ ≤
√
3.
Тодi, беручи, наприклад, η(t) = |f1(t)| + |f2(t)|, а ρ(t) = |σ1(t)| + |σ2(t)|,
при виконаннi умов
∫ ∞
0
η2(t)e3tdt < ∞,
∫ ∞
0
ρ2(t)e3tdt < ∞ отримуємо, що
система (47) асимптотично вiдповiдна системi (46) у середньому квадратичному, а
при умовах
∫ ∞
0
η2(t)e3tdt < ∞ i
∫ ∞
0
tαρ2(t)e3tdt < ∞ для деякого α > 1 така
вiдповiднiсть має мiсце з iмовiрнiстю 1.
3. Лiнiйний випадок. Розглянемо тепер випадок, коли система (1) є лiнiйною,
тобто має вигляд
dy = (A(t) +B(t))ydt+D(t)ydW (t), (48)
де B(t), D(t) — неперервнi детермiнованi матрицi при t ≥ 0, A(t) така, як i в
системi (1).
У цьому випадку теорему 2 вдається пiдсилити, а саме, показати, що можна
так побудувати вiдповiднiсть мiж системами (48) та (2), при якiй кожному нетривi-
альному розв’язку системи (48) буде вiдповiдати нетривiальний розв’язок системи
(1). Пiд нетривiальним розв’язком системи (48) будемо розумiти такий, що пере-
творюється в нуль лише з нульовою ймовiрнiстю.
Має мiсце наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1121
Теорема 3. Нехай система (2) експоненцiально дихотомiчна на осi. Тодi якщо
виконуються умови:
1)
∫ ∞
0
e2at‖B(t)‖2dt <∞;
2)
∫ ∞
0
tαe2at‖D(t)‖2dt <∞ для деякого α > 1,
то система (2) асимптотично вiдповiдна системi (48) в середньому квадратично-
му з iмовiрнiстю 1, до того ж вiдповiднiсть мiж розв’язками можна побудувати
так, що кожному нетривiальному розв’язку системи (48), що починається у мо-
мент часу t0 = 0, вiдповiдає розв’язок системи (2) з нетривiальними з iмовiрнiстю
1 початковими даними.
Доведення. Асимптотичну вiдповiднiсть встановлено в теоремах 1 та 2. Пока-
жемо тепер, що кожному нетривiальному розв’язку системи (48) y(t, y0), y(0, y0) =
= y0(ω) 6= 0 з iмовiрнiстю 1 вiдповiдає нетривiальний розв’язок системи (2).
Для доведення цього факту нам потрiбнi двi вiдомi леми з теорiї лiнiйних
систем.
Лема 3. Кожний розв’язок системи (2) можна зобразити у виглядi
x(t) = X(t, τ)x(τ), τ, t ∈ R1, (49)
де X(t, τ) — матрицант системи (2).
Доведення див., наприклад, у [15, с. 163].
Лема 4. Кожний розв’язок y(t, y0) системи (48) можна зобразити у виглядi
y(t, y0) = Y (t, t0)y(t0, y0), t ≥ t0, (50)
де Y (t, t0, ω) — фундаментальна матриця системи (48), невироджена з iмовiрнiс-
тю 1 для всiх t ≥ t0 ≥ 0 (Y (t0, t0) = E).
Доведення див., наприклад, у [16, с. 230] (п. 3.1.1).
Повернемося до доведення теореми. Зазначимо, що спiввiдношення (50) i
det Y (t, t0) 6= 0 (51)
виконуються для всiх t, t0 з iмовiрнiстю 1. Але внаслiдок неперервностi з iмовiрнiс-
тю 1 Y (t, t0) i y(t, y0) iснує множина Z ⊂ Ω, P(Z) = 1, така, що для всiх ω ∈ Z
спiввiдношення (50) i (51) виконуються при всiх t ≥ t0 ≥ 0.
Позначимо Z0 = Ω \ Z, P(Z0) = 0. Через A0 ⊂ Ω позначимо множину
A0 = {ω : |y0(ω)| 6= 0}.
Очевидно, що P(A0) = 1. Нехай A1 = A0 \ Z0. Тодi для кожного ω ∈ A1:
1) спiввiдношення (50) i (51) виконуються при всiх t ≥ t0 ≥ 0;
2) |y(t, y0(ω))| 6= 0 при всiх t ≥ 0.
При доведеннi теорем 1 i 2 вказана в них вiдповiднiсть мiж розв’язками систем
(1) i (2) будувалась за формулою (5), яка в лiнiйному випадку набере вигляду
x(t0) = y(t0, y0) +
∞∫
t0
X2(t0, τ)B(τ)y(τ, y0)dτ +
∞∫
t0
X2(t0, τ)D(τ)y(τ, y0)dW (τ)).
Враховуючи тепер (50), останнє спiввiдношення можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1122 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
x(t0) =
E +
∞∫
t0
X2(t0, τ)B(τ)Y (τ, t0)dτ+
+
∞∫
t0
X2(t0, τ)D(τ)Y (τ, t0)dW (τ)
y(t0, y0), (52)
або
x(t0) = (E + Φ(t0, ω))y(t0, ω), (53)
де
Φ(t0, ω) =
∞∫
t0
X2(t0, τ)B(τ)Y (τ, t0)dτ +
∞∫
t0
X2(t0, τ)D(τ)Y (τ, t0)dW (τ). (54)
Оскiльки фундаментальна матриця Y (t, t0) системи (48) складається з лiнiй-
но незалежних вектор-стовпчикiв, кожен з яких є розв’язком системи (48), то на
пiдставi леми 1 i умови Y (t0, t0) = E для Y (t, t0) отримуємо при t ≥ t0 оцiнку
E‖Y (t, t0)‖2 ≤ na3e2a(t−t0), (55)
де a i a3 — сталi з леми 1, а n — розмiрнiсть простору.
Мiркуючи, як i при встановленнi оцiнок iмовiрностей P3 i P4 в теоремi 2,
де замiсть t фiгурує t0, для кожного вектор-стовпика фундаментальної матрицi,
враховуючи, що математичне сподiвання норми його квадрата в точцi t0 дорiвнює
1, отримуємо, що
Φ(t0, ω)→ 0, t0 →∞, (56)
з iмовiрнiстю 1. Тому iснує цiлочислова випадкова величина t0(ω) така, що з iмо-
вiрнiстю 1 Φ(t0(ω), ω) < 1.
Подальше доведення аналогiчне доведенню вiдповiдного факту з [17].
Зауваження 1. З доведеної теореми випливає такий наслiдок.
Наслiдок. Якщо система (2) експоненцiально стiйка, тобто в означеннi ди-
хотомiї проектор P2 = 0, то всi розв’язки системи (48) прямують до нуля при
t→∞ в середньому квадратичному з iмовiрнiстю 1.
Якщо ж система (2) експоненцiально нестiйка, тобто в означеннi дихото-
мiї проектор P1 = 0, то всi нетривiальнi розв’язки системи (48) прямують до
нескiнченностi при t→∞ в середньому квадратичному з iмовiрнiстю 1.
4. Застосування отриманих результатiв. Продемонструємо деякi застосування
отриманих результатiв.
Лiнiйнi системи. Спочатку наведемо результат, що отримується без використан-
ня асимптотичної вiдповiдностi.
Теорема 4. Нехай матриця A(t) неперервна i обмежена при t ≥ 0, а система
(2) експоненцiально дихотомiчна при t ≥ 0.
Тодi якщо матрицi B(t) i D(t) неперервнi при t ≥ 0 i задовoльняють умову
B(t)→ 0, D(t)→ 0, t→∞, (57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1123
то iснує t0 > 0 таке, що при t ≥ t0 збурена система
dy = (A(t) +B(t)y)dt+D(t)dW (t) (58)
експоненцiально дихотомiчна в середньому квадратичному.
Зауваження 2. Експоненцiальна дихотомiя системи розумiється у сенсi озна-
чення 3.1 [12, с. 122].
Доведення. Дiйсно, якщо система (2) експоненцiально дихотомiчна, то, як ви-
пливає з роботи [18], iснує симетрична, гладка, обмежена при t ≥ 0 матриця S(t)
така, що для квадратичної форми
((
dS
dt
+ATS + SA
)
x, x
)
iснує N > 0 з вико-
нанням оцiнки ((
dS
dt
+ATS + SA
)
x, x
)
≤ −N |x|2 (59)
при x ∈ Rn, t ≥ 0.
Тодi, згiдно з умовою (57), iснує t0 > 0 таке, що при t ≥ t0 виконується оцiнка((
dS
dt
+ATS + SA+BTS + SB +DTSD
)
x, x
)
≤ −N
2
|x|2, (60)
а тому за теоремою 3.3 (див. [12, с. 134]) система (58) є експоненцiально дихото-
мiчною в середньому квардратичному, що i доводить теорему.
Для доведеного результату не потрiбно прямування до нуля збурюючих коефi-
цiєнтiв з вагами. Але для вияснення потраєкторної поведiнки розв’язкiв збуреної
системи (58) потрiбно бiльш швидке прямування до нуля B(t) i D(t).
Нехай тепер система (2) експоненцiально дихотомiчна на осi. Тодi iснує матриця
S(t) з властивостями, анонсованими в доведеннi попередньої теореми.
Теорема 5. Нехай B(t) i D(t) прямують до нуля при t → ∞ i виконуються
умови теореми 3.
Тодi iснує t0 > 0 таке, що при t > t0 система (58) експоненцiально дихотомiчна
в середньому квадратичному.
При цьому розв’язки, що починаються на стiйкому пiдпросторi (зi вказаного
вище означення 3.1) прямують до нуля з iмовiрнiстю 1 при t→∞.
Якщо до того ж множинa (t, x), t ≥ t0, x ∈ Rn така, що
((S(t)x, x) ≤ 0 (61)
(де S(t) — вказана перед теоремою матриця) iнварiантна для розв’язкiв системи
(58), то розв’язки такої системи, що починаються на нестiйкому пiдпросторi (зi
вказаного вище означення 3.1) прямують за нормою до нескiнченностi з iмовiрнiс-
тю 1 при t→∞.
Зауваження 3. Iнварiантнiсть множини (61) для процесу y(t) розумiється в
наступному сенсi: якщо y(t0) (не випадкове) задовольняє (61), то з iмовiрнiстю
1 (S(t)y(t), y(t)) ≤ 0 при t ≥ t0. З’ясуванню умов, при яких дана множина є
iнварiантною для розв’язкiв стохостичних систем, присвячено багато робiт (див.,
наприклад, [5, 7, 19]. Наведено необхiднi, достатнi, необхiднi та достатнi умови
iнварiантностi множин у термiнах коефiцiєнтiв рiвняння.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1124 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
Доведення. Експоненцiальна дихотомiя в середньому квадратичному випливає
з теореми 4. Тобто iснують додатнi сталiK, K1, γ та два доповнюючих пiдпростори
R−t0 , R
+
t0 (Rn = R−t0 ⊕ R
+
t0) такi, що якщо розв’язок системи (58) починається на
R−t0 (y(t0) не випадкове), то
E|y(s, t0, y(t0)|2 ≤ K exp−γ(s−τ) E|y(τ, t0, y(t0))|2
при s ≥ τ ≥ t0 i, вiдповiдно, якщо y(t0) ∈ R+
t0 , то
E|y(s, t0, y(t0)|2 ≥ K expγ(s−τ) E|y(τ, t0, y(t0)))|2
при s ≥ τ ≥ t0, .
Покажемо тепер, що розв’язки, якi починаються на R−t0 , прямують до нуля з
iмовiрнiстю 1, a тi, що починаються на R+
t0 , прямують за нормою до нескiнченностi
з iмовiрнiстю 1 при t→∞.
Дiйсно, якщо y(t0) = y ∈ R−t0 (розв’язок позначимо через y(s, t0, y0)), то
E|y(s, t0, y|2 → 0, s → ∞, а тому iснує послiдовнiсть {sn}, sn → ∞, така, що
y(sn, t0, y)→ 0 з iмовiрнiстю 1 при sn →∞.
Але внаслiдок асимптотичної вiдповiдностi для розв’язку y(s, t0, y) iснує
розв’язок x(s, t0, x0(ω)) системи (2) такий, що з iмовiрнiстю 1 |x(s, t0, x0(ω)) −
− y(s, t0, y)| → 0 при s→∞. Отже, i x(sn, t0, x0(ω)→ 0, s→∞, з iмовiрнiстю 1.
Але x(s, t0, x0(ω)) прямує або до нуля, або до нескiнченностi внаслiдок дихотомiї
системи (2). Тепер очевидно, що x(s, t0, x0(ω)) прямує до нуля, а тому i y(s, t0, y)
прямує до нуля з iмовiрнiстю 1.
Розглянемо розв’язок з R+
t0 y(s, t0, y):
y(t0, t0, y) = y(t0) = y0 ∈ R+
t0 , який задовольняє оцiнку
E|y(s, t0, y|2 ≥ K1 expγ(s−t0) |y|2 при s ≥ t0.
Iз доведення теореми 3.3 [12, с. 134] випливають два факти:
1) для будь-якого y ∈ Rn квадратична форма
(Ssy, y) = E(S(s)y(s, t, y), y(s, t, y)) = E(S(s)Y (s, t)y, Y (s, t)y),
як функцiя вiд s, є монотонно спадною, тобто (Ssy, y) < (Sτy, y) при s > τ ≥ t,
y 6= 0 (Y (t, s) — матрицант системи (58) у точцi t);
2) для розв’язку системи (58), що починається з точки y ∈ Rn такої, що
(Ssy, y) ≤ 0 при s ≥ t, справджується оцiнка
E|y(s, t, y)|2 ≥ K1 expγ(s−t) |y|2. (62)
Згiдно з фактом 1 для виконання нерiвностi (Ssy, y) ≤ 0 при s ≤ t достатньо її
виконання в точцi t, тобто
(Sty, y) = E(S(t)y(t, t, y)y(t, t, y)) = (S(t)y, y) < 0.
Розглянемо тепер функцiю
V (t, x) =
t+T∫
t
ds
E|y(s, t, x)|2
, x 6= 0, (63)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1125
де T > 0 є фiксованим i буде визначено пiзнiше.
Встановимо деякi її властивостi.
Насамперед зазначимо, що фyнкцiю визначено коректно, оскiльки при x 6= 0
точка x = 0 є недосяжною для процесу y(s, t, x).
З нерiвностi (10) випливає оцiнка
V (t, x) =
t+T∫
t
ds
E|y(s, t, x)|2
≥
t+T∫
t
exp−2(s−t)
a3|x|2
ds =
=
1
2aa3
(1− exp−2aT )
1
|x|2
=
A
|x|2.
(64)
З [13, с. 231] випливає, що V (t, x) є гладкою по t i двiчi гладкою по x при x 6= 0.
Обчислимо LV (t, x):
LV (t, x) =
∂V
∂t
+
(
∂V
∂x
, (A(t) +B(t))x
)
+
1
2
n∑
i,j=1
ai,j(t, x)
∂2V (t, x)
∂xi∂xj
.
При цьому очевидно, що
n∑
i,j=1
aij(t, x) ≤ ‖D(t)‖2|x|2. (65)
Маємо
∂V
∂t
=
1
E|y(t+ T, t, x)|2
− 1
|x|2
+
t+T∫
t
∂
∂t
(
1
E|y(s, t, x)|2
)
ds.
Позначимо us(t, x) = E|y(s, t, x)|2, a zs(t, x) =
1
us(t, x)
. Тодi
∂zs
∂t
= − 1
u2s(t, x)
∂u
∂t
,
∂z
∂xi
= − 1
u2s
∂u
∂xi
,
∂2z2
∂xi∂xj
= 2u−3s
∂us
∂xj
∂us
∂xi
− 1
u2s
∂2u
∂xi∂xj
.
Тому
LV (t, x)=
1
E|y(t+ T, t, x)|2
− 1
|x|2
+
t+T∫
t
− 1
u2s
(
∂us
∂t
+
(
∂us
∂x
, (A(t) +B(t)x)x
)
+
+
1
2
n∑
i,j=1
∂2us
∂xi∂xj
ai,j(t, x)
)
ds+
1
2
t+T∫
t
n∑
i,j=1
2∂us∂xj
∂us
∂xi
(E|y(s, t, x)|2)3
ai,j(t, x)ds. (66)
Перший iнтеграл у (66) за лемою 6.2. [13, с. 230] дорiвнює нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1126 А. М. САМОЙЛЕНКО, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, I. Г. НОВАК
Оцiнимо тепер LV (t, x) у випадку, коли точка (t, x) належить множинi (61). Iз
урахуванням (62) маємо
E|y(t+ T, t, x)|2 ≥ K1e
T |x|2. (67)
Виберемо T > 0 так, щоб
K1e
T > 4. (68)
Для частинних похiдних згiдно з лемою 6.1 [13, с. 226] справджується оцiнка∣∣∣∣∂us(t, x)
∂x
∣∣∣∣ ≤ K2e
2a(s−t)|x|,
з якої для LV (t, x) отримуємо нерiвнiсть
LV (t, x) ≤ 1
4|x|2
− 1
|x|2
+
t+T∫
t
n
K2
2e
4a(s−t)|x|2‖D(t)‖2|x|2
K3
1e
3γ(s−t)|x|6
ds ≤
≤ − 3
4|x|2
+ n
K1
K3
1
e4aTT‖D(t)‖2 1
|x|2
.
Оскiльки D(t)→ 0, t→ 0, то iснує t0 з оцiнки (60) i нерiвностi
n
K2
K1
exp4aT T‖D(t)‖2 < 1
4
(n — розмiрнiсть простору.) Тодi при t ≥ t0
LV (t, x) ≤ − 1
|x|2
< 0. (69)
Використовуючи (69) i iнварiантнiсть множини (61), приходимо до висновку, що
V (s, y(s, t, x)) — невiд’ємний супермартингал. Тому з iмовiрнiстю 1 iснує його скiн-
ченна границя при s → ∞. Отже, sups≥t0 V (s, y(s, t, x)) = Bt,y < ∞ з iмовiрнiс-
тю 1.
Тодi на пiдставi (64) |y(s, t, x)|2 ≥ A
Bty
з iмовiрнiстю 1. Отже, |y(s, t, x)| з
iмовiрнiстю 1 вiддiлений вiд нуля. Але внаслiдок асимптотичної вiдповiдностi
|y(s, t, x)| на майже всiх ω ∈ Ω прямує або до нуля, або до нескiнченностi. Та-
ким чином, |y(s, t, x)| → ∞ при t→∞ з iмовiрнiстю 1.
Теорему доведено.
Приклад. Розглянемо в R2 систему
dx1 = −x1dt+ (α1(t)x1 + α2(t)x2)dW (t),
dx2 = x2dt+ (α2(t)x1 + α1(t)x2)dW (t).
(70)
Вiдповiдна незбурена детермiнована система має вигляд
dx1
dt
= −x1,
dx2
dt
= x2
i є експоненцiально дихотомiчною на осi. Тут матриця
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ВIДПОВIДНIСТЬ МIЖ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1127
S(t) =
(
1 0
0 −1
)
,
а множина (61) задається нерiвнiстю x21 − x22 ≤ 0. Нехай αi(t) такi, що задо-
вольняють умови теореми 3. Тодi, як випливає з теореми 3 роботи [19], множина
x21 − x22 ≤ 0 iнварiантна для (61). Отже, система задовольняє умови теореми 5.
Нелiнiйнi системи. Для нелiнiйних систем навiть у детермiнованому випад-
ку не iснує завершена теорiя дихотомiї. Але з доведення теорем 1 i 2 випливає
наступна теорема.
Теорема 6. Якщо в системi (1) функцiї f i σ такi, що X2(t, τ)f(τ, y) = 0 та
X2(t, τ)σ(τ, y) = 0, то в теоремах 1 i 2 кожному розв’язку y(t, y0) системи (1)
з початковими даними y(0, y0) = y0 можна поставити у вiдповiднiсть розв’язок
x(t, y0) системи (2) з початковими даними x(0, y0) = y0 такий, що E|y(t, y0) −
− x(t, y0)|2 → 0 при t→∞ i з iмовiрнiстю 1 |y(t, y0)− x(t, y0)| → 0 при t→∞.
1. Witner A. Linear variations of constants // Amer. J. Math. – 1946. – 68. – P. 185 – 213.
2. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math.
J. – 1948. – 15. – P. 111 – 126.
3. Yakubovich V. A. On the asymptotic behavior of systems of differential equations // Mat. Sb. – 1951. –
28. – S. 217 – 240.
4. Akhmet M. U., Tleubergenova M. A., Zafer A. Asymptotic equivalence of differential equations and
asymptotically almost periodic solutions // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 2007. – 67. –
P. 1 – 14.
5. Aubin J. P., Da Plato G. Stochastic viability and invariance // Ann. Scuola: norm. Super Pisa. – 1990. –
27. – P. 595 – 694.
6. Buldygin V. V., Klesov O. I., Steinerbach J. G., Tymoshenko O. A. On the ϕ asymptotic behaviour of
solutions of stochastic differential equations // Theory Probab.: Math. Statist. – 2008. – 1. – P. 11 – 30.
7. Da Prato G., Frankowska H. Invariance of stochastic control systems with detrministic arguments // J.
Different. Equat. – 2004. – 200. – P. 18 – 52.
8. Hernandez M. Eduardo, Pelicer Mauricio L. Asymptotically almost periodic and almost periodic soluti-
ons for partial neutral differential equations // Appl. Math. Lett. – 2005. – 18. – P. 1265 – 1272.
9. Булдигiн В. В., Коваль В. О. Про асимптотичнi властивостi розв’язкiв лiнiйних стохастичних
диференцiальних рiвнянь в Rn // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 9. – С. 1166 – 1175.
10. Махно С. Я. Сходимость решений одномерных стохастических уравнений // Теория вероятности
и ее применение. – 1999. – 44, № 3. – С. 555 – 572.
11. Креневич А. П. Асимптотична еквiвалентнiсть розв’язкiв лiнiйних стохастичних систем Iто // Укр.
мат. журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1368 – 1384.
12. Самойленко А. М., Станжицький О. М. Якiсний та асимптотичний аналiз диференцiальних рiвнянь
з випадковими збуреннями. – Київ: Наук. думка, 2009. – 338 с.
13. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении
их параметров. – М.: Наука, 1969. – 367 с.
14. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных
и стохастических динамических систем. – Киев: Вища шк., 1992. – 320 c.
15. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння: Пiдручник. – Київ:
Либiдь, 2003. – 600 с.
16. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения функционально-дифференциальных уравнений. – Рига:
Зинатне, 1989. – 421 c.
17. Станжицкий А.Н., Креневич А.П., Новак И.Г. Асимптотическая эквивалентность линейных сто-
хастических систем Ито и колеблемость решений линейных уравнений второго порядка // Диффе-
ренц. уравнения. – 2011. – 47. – С. 1 – 15.
18. Майзель Ф. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Тр. Урал.
политехн. ин-та. Сер. мат. – 1954. – 51, № 10. – С. 20 – 50.
19. Milian A. Stochastic viability and comparison theorem // Colloq. math. – 1995. – 68. – P. 297 – 316.
Одержано 06.07.10,
пiсля доопрацювання — 17.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2788 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:21Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/104ff9099cb67fcf3ac7040fff01dd22.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27882020-03-18T19:36:38Z On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations Про асимптотичну відповідність між розв'язками стохастичних та звичайних рівнянь Novak, I. H. Samoilenko, A. M. Stanzhitskii, A. N. Новак, І. Г. Самойленко, А. М. Станжицький, О. М. For a weakly nonlinear stochastic system, we construct a system of ordinary differential equations the behavior of solutions of which at infinity is similar to the behavior of solutions of the original stochastic system. Для слабонелинейной стохастической системы построена система обыкновенных дифференциальных уравнений, поведение решений которой на бесконечности подобно поведению решений исходной стохастической системы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2788 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1103-1127 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1103-1127 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2788/2331 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2788/2332 Copyright (c) 2011 Novak I. H.; Samoilenko A. M.; Stanzhitskii A. N. |
| spellingShingle | Novak, I. H. Samoilenko, A. M. Stanzhitskii, A. N. Новак, І. Г. Самойленко, А. М. Станжицький, О. М. On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title | On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title_alt | Про асимптотичну відповідність між розв'язками стохастичних та звичайних рівнянь |
| title_full | On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title_fullStr | On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title_full_unstemmed | On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title_short | On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| title_sort | on asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2788 |
| work_keys_str_mv | AT novakih onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT samoilenkoam onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT stanzhitskiian onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT novakíg onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT samojlenkoam onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT stanžicʹkijom onasymptoticequivalenceofsolutionsofstochasticandordinaryequations AT novakih proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ AT samoilenkoam proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ AT stanzhitskiian proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ AT novakíg proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ AT samojlenkoam proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ AT stanžicʹkijom proasimptotičnuvídpovídnístʹmížrozv039âzkamistohastičnihtazvičajnihrívnânʹ |