On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality
The paper is devoted to the investigation of the topological properties of space mappings. It is shown that sense-preserving mappings $f : D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ in a domain $D \subset \mathbb{R}^n$, n ≥ 2, which are more general than mappings with bounded distortion, are open and di...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2789 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508760755142656 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | The paper is devoted to the investigation of the topological properties of space mappings. It is shown that sense-preserving mappings $f : D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ in a domain $D \subset \mathbb{R}^n$, n ≥ 2, which are more general than
mappings with bounded distortion, are open and discrete if a function Q corresponding to the control of the
distortion of families of curves under these mappings has slow growth in the domain f(D), e.g., if Q has
finite mean oscillation at an arbitrary point $y0 \in f(D)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБ ОТКРЫТОСТИ И ДИСКРЕТНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
КВАЗИКОНФОРМНОСТИ
The paper is devoted to the investigation of the topological properties of space mappings. It is shown that
sense-preserving mappings f : D → Rn in a domain D ⊂ Rn, n ≥ 2, which are more general than
mappings with bounded distortion, are open and discrete if a function Q corresponding to the control of the
distortion of families of curves under these mappings has slow growth in the domain f(D), e.g., if Q has
finite mean oscillation at an arbitrary point y0 ∈ f(D).
Статтю присвячено вивченню топологiчних властивостей просторових вiдображень. Показано, що вi-
дображення f : D → Rn, якi зберiгають орiєнтацiю в областi D ⊂ Rn, n ≥ 2, i є бiльш загальними,
нiж вiдображення з обмеженим спотворенням, вiдкритi та дискретнi за умови, що функцiя Q, яка
вiдповiдає за контроль спотворення сiмей кривих при таких вiдображеннях, має слабке зростання
в областi f(D). Наприклад, твердження набуває чинностi, якщо функцiя Q має скiнченне середнє
коливання в довiльнiй точцi y0 ∈ f(D).
1. Введение. Основные определения и обозначения, встречающиеся в настоящей
статье, могут быть найдены, например, в работе [1]. Всюду далее
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2} . (1)
Будем говорить, что отображение f : D → Rn сохраняет ориентацию, если топо-
логический индекс µ (y, f,G) удовлетворяет условию µ (y, f,G) > 0 для произ-
вольной области G ⊂ D такой, что G ⊂ D, и произвольного y ∈ f(G) \ f (∂G) .
Множество H ⊂ Rn будем называть всюду разрывным, если любая его компо-
нента связности вырождается в точку; в этом случае пишем dimH = 0, где dim
обозначает топологическую размерность множества H (см. [2]). Отображение
f : D → Rn называется нульмерным, если dim {f −1(y)} = 0 для каждого y ∈ Rn.
Напомним, что отображение f : D → Rn называется отображением с ограничен-
ным искажением, если выполнены следующие условия:
1) f ∈W 1,n
loc ,
2) якобиан J(x, f) отображения f в точке x ∈ D сохраняет знак почти всюду
в D,
3) при почти всех x ∈ D и некоторой постоянной K < ∞ имеет место соот-
ношение
‖f ′(x)‖n ≤ K|J(x, f)|, (2)
где, как обычно, ‖f ′(x)‖ := suph∈Rn : |h|=1 |f ′(x)h| (см., например, § 3 гл. I в [3]
либо определение 2.1 разд. 2 гл. I в [4]). Начало интенсивных исследований про-
странственных отображений с ограниченным искажением положено Ю. Г. Решетня-
ком. В его работах, в частности, доказаны открытость и дискретность отображений
f с ограниченным искажением (см. теоремы 6.3 и 6.4, § 6 гл. II в [3]). Наименьшую
из постоянных K, для которых соотношение (2) остается справедливым, обозначим
через KO(f). Для отображения f : D → Rn, множества E ⊂ D и y ∈ Rn опреде-
лим функцию кратности N(y, f, E) как число прообразов точки y во множестве
E, т. е. N(y, f, E) = card {x ∈ E : f(x) = y} , N(f,E) = supy∈Rn N(y, f, E).
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2011
1128 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ОБ ОТКРЫТОСТИ И ДИСКРЕТНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 1129
Здесь и далее кривой γ мы называем непрерывное отображение отрезка [a, b]
(либо открытого интервала (a, b) ) в Rn, γ : [a, b] → Rn. Под семейством кри-
вых Γ подразумевается некоторый фиксированный набор кривых γ, а f(Γ) =
= {f ◦ γ|γ ∈ Γ} . Следующие определения могут быть найдены, например, в разд.
1 – 6 гл. I в [5]. Борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для се-
мейства Γ кривых γ в Rn, если криволинейный интеграл первого рода
∫
γ
ρ(x)ds
удовлетворяет условию
∫
γ
ρ(x)ds ≥ 1 для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае
пишем ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈ adm Γ
∫
D
ρn(x)dm(x) .
Свойства модуля в некоторой мере аналогичны свойствам меры Лебега m в Rn
(см., например, теорему 6.2 в [5]). В частности, для произвольных семейств Γi
кривых γ в Rn имеет место свойство полуаддитивности модуля (см. там же)
M
( ∞⋃
i=1
Γi
)
≤
∞∑
i=1
M(Γi). (3)
Известно, что для произвольного отображения f : D → Rn с ограниченным иска-
жением имеет место неравенство
M(Γ) ≤ N(f,A)KO(f)M(f(Γ)) (4)
для любого борелевского множества A в области D такого, что N(f,A) < ∞, и
произвольного семейства Γ кривых γ в A (см. теорему 3.2 в [6] либо теорему 6.7
гл. II в [4]). В настоящей работе будем рассматривать отображения, удовлетворя-
ющие при заданной измеримой по Лебегу функции Q(x), Q : D̃ → [1,∞] более
общим, чем (4), оценкам вида
M(Γ) ≤
∫
D̃
Q(y)ρn∗ (y)dm(y), (5)
для произвольной функции ρ∗ такой, что произвольная кривая γ∗ ∈ f(Γ) имеет
длину не меньше единицы в метрике ρ∗, т. е.∫
γ∗
ρ∗(y)ds ≥ 1 ∀ γ∗ ∈ f(Γ),
где область D̃ ⊂ f(D). В (5) заданная функция Q(y), вообще говоря, неограничена
(см., например, неравенство (8.5) гл. VIII в [7]). Соотношения вида (5) установле-
ны для многих классов отображений, например для так называемых отображений
с конечным искажением длины при вполне конкретных значениях Q(y) (см., на-
пример, теорему 8.5 в [7], а также работу [8]). Заметим, что если Q(y) ≤ K почти
всюду, неравенство (5) при дополнительном условии гомеоморфности отображения
f определяет квазиконформные отображения, и только их (см. определение 13.1
и теорему 34.3 в [5]). Отметим также, что даже в случае ограниченной функции
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1130 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Q(y) в соотношении (5) соответствующее отображение f, не являющееся a priori
сохраняющим ориентацию, не должно быть ни открытым, ни дискретным, тем
более гомеоморфным (см., например, разд. 8.10 в [7]).
Ясно, что если в (4) функция кратности N(f,A) конечна, то сохраняющее
ориентацию отображение f, по определению, дискретно, а следовательно, в силу
следствия из [9, с. 333], и открыто. Поставим теперь обратную задачу: пусть мы
имеем неравенство вида (5), тогда что можно сказать об отображении f в плане
его дискретности и открытости?
Введем еще несколько определений и обозначений. Пусть Q : D → [0,∞] — из-
меримая по Лебегу функция, тогда qx0
(r) означает среднее интегральное значение
Q(x) над сферой S(x0, r),
qx0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dS , (6)
где dS — элемент площади поверхности S. Будем говорить, что функция ϕ : D →
→ R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D (пишем ϕ ∈ FMO(x0)),
если
lim
ε→0
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x)− ϕε| dm(x) < ∞,
где ϕε =
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
ϕ(x) dm(x) (см., например, разд. 6.1 гл. VI в [7]).
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема. Пусть f : D → Rn — сохраняющее ориентацию отображение.
Предположим, что для каждой области D ′ ⊂ f(D), D ′ ⊂ f(D), существует
функция Q : D ′ → [1,∞] такая, что для произвольного семейства Γ кривых γ
в D и произвольной функции ρ∗(y) ∈ adm f(Γ) выполнено соотношение вида (5).
Пусть функция Q(y) удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:
1) Q принадлежит FMO(y0) в произвольной точке y0 ∈ D ′,
2) qy0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0 и при всех y0 ∈ D ′, где функция
qy0(r) определена равенством (6),
3) для каждого y0 ∈ D ′ найдется некоторое число δ(y0) > 0, δ(y0) <
< dist (y0, ∂D
′) , такое, что
δ(y0)∫
0
dt
tq
1
n−1
y0 (t)
=∞ . (7)
Тогда отображение f открыто и дискретно.
Замечание 1. Строго говоря, функция Q в формулировке теоремы, вообще
говоря, зависит от области D ′, и должна обозначаться как QD ′ . Мы не используем
подобную запись, чтобы в дальнейшем не усложнять обозначения.
Заметим, что если Q(x) ≡ K = const, то теорема устанавливает откры-
тость и дискретность для отображений, удовлетворяющих условию вида M(Γ) ≤
≤ KM(f(Γ)), где постоянная K = KD ′ , вообще говоря, зависит от области D ′.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ОБ ОТКРЫТОСТИ И ДИСКРЕТНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 1131
Неравенствам такого вида удовлетворяют, в частности, все отображения с ограни-
ченным искажением, когда Q(x) = N (f,D ′)KO(f) (см. соотношение (4)).
Tеоремаостается справедливой также для отображений вида f : D → Rn при
условии, что требования 1 – 3 в этой теореме будут переформулированы в точке
y0 = 0 для отображения f̃ = f ◦ ϕ, где ϕ(x) =
x
|x|2
, ϕ : ∞ 7→ 0.
2. Формулировка и доказательство основной леммы. Связный компакт C ⊂
⊂ Rn будем называть континуумом. Пусть E, F ⊂ Rn — произвольные множества.
Обозначим через Γ(E,F,D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые со-
единяют E и F в D , т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Говорят,
что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если
для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству
Γ2. В этом случае M(Γ1) ≤M(Γ2) (см., например, теорему 6.4 в [5]). Следующая
лемма включает в себя основной результат настоящей работы в наиболее общей
ситуации.
Лемма. Пусть f : D → Rn — сохраняющее ориентацию отображение.
Предположим, что для каждой области G ⊂ f(D) такой, что G ⊂ f(D), суще-
ствует измеримая по Лебегу функция Q : G→ [1,∞] такая, что
M(Γ) ≤
∫
f(D)
Q(y)ρn∗ (y) dm(y) (8)
для произвольного семейства Γ кривых γ в G и произвольной функции ρ∗(y) ∈
∈ adm f(Γ). Далее, предположим, что для каждого y0 ∈ G найдется ε(y0) > 0,
для которого выполнено соотношение∫
A(ε,ε(y0),y0)
Q(y)ψn(|y − y0|) dm(y) = o (In(ε, ε0)) (9)
для некоторой борелевской функции ψ(t) : (0,∞)→ [0,∞] такой, что
0 < I(ε, ε(y0)) :=
ε(y0)∫
ε
ψ(t)dt <∞ (10)
при всех ε ∈ (0, ε(y0)), где A(ε, ε(y0), y0) определено в (1) при r1 = ε, r2 = ε(y0),
x0 = y0. Тогда отображение f открыто и дискретно.
Замечание 2. В условиях леммыможно считать, что для произвольного фик-
сированного A такого, что 0 < A < ε(y0), и всех ε ∈ (0, A) выполняется условие
вида
∫ A
ε
ψ(t)dt > 0. Действительно, из (9) и (10) следует, что
∫ A
ε
ψ(t)dt → ∞
при ε→ 0, поскольку Q ≥ 1, и величина интеграла слева в (9) увеличивается при
уменьшении ε.
Доказательство леммы. Поскольку произвольное сохраняющее ориентацию
нульмерное отображение f : D → Rn является открытым и дискретным в области
D (см., например, следствие из [9, с. 333]), для справедливости леммы достаточно
показать, что f — нульмерное отображение. Предположим противное. Тогда най-
дется y0 ∈ Rn такое, что множество {f −1(y0)} не является всюду разрывным.
Следовательно, по определению, существует континуум C ⊂ {f −1(y0)}. Заметим,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1132 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
что, поскольку отображение f сохраняет ориентацию, f 6≡ y0. Отсюда по теореме
о сохранении знака найдутся x0 ∈ D и ε0 > 0 такие, что B(x0, ε0) ⊂ D и
f(x) 6= y0 ∀x ∈ B(x0, ε0) . (11)
Выберем произвольным образом область G1 ⊂ D такую, что G1 ⊂ D, и так,
чтобы C ∪B(x0, ε0) ⊂ G1. Тогда, в силу леммы 1.15 в [10],
M
(
Γ
(
C,B(x0, ε0), G1
))
> 0 . (12)
Заметим, что в силу неравенства (11) и соотношения f(C) = {y0} ни одна из кри-
вых семейства ∆ = f
(
Γ
(
C,B(x0, ε0), G1
))
не вырождается в точку. В то же вре-
мя все кривые указанного выше семейства ∆ имеют одним из своих концов точку
y0. Пусть Γi — семейство кривых αi(t) : (0, 1)→ Rn таких, что αi(1) ∈ S(y0, ri),
ri < ε(y0), ri — некоторая строго положительная вещественная последователь-
ность такая, что ri → 0 при i→∞ и αi(t)→ y0 при t→ 0. Тогда
Γ
(
C,B(x0, ε0), G1
)
=
∞⋃
i=1
Γ∗i , (13)
где Γ∗i — подсемейство всех кривых γ из Γ
(
C,B(x0, ε0), G1
)
таких, что f(γ)
имеет подкривую в Γi. Зафиксируем i ∈ N и при каждом ε ∈ (0, ri) рассмотрим
семейство всех кривых Γi,ε, соединяющих сферы S(y0, ri) и S(y0, ε) в f(G1).
Заметим, что для произвольного ε ∈ (0, ri)
Γi > Γi,ε . (14)
Рассмотрим функцию
ρi,ε(y) =
ψ (|y − y0|) /I(ε, ri), y ∈ A(ε, ri, y0),
0, y ∈ Rn \A(ε, ri, y0) ,
где I(ε, ri) =
∫ ri
ε
ψ(t)dt. Заметим, что ρi,ε(y) ∈ adm Γi,ε. Действительно, соглас-
но теореме 5.7 в [5], интеграл от произвольной радиальной функции Ψ(|y − y0|)
по кривой, соединяющей сферы S(y0, ri) и S(y0, ε), не меньше, чем соответству-
ющий интеграл по отрезку (ε, ri) от функции Ψ(t), а именно,
∫
γ
ρi,ε(y)ds ≥
≥ 1
I (ε, ri)
∫ ri
ε
ψ(t)dt = 1 для произвольной кривой γ ∈ Γi,ε. Следовательно,
согласно (14), также ρi,ε(y) ∈ adm Γi и в силу соотношения (8)
M(Γ∗i ) ≤
∫
f(D)
Q(y)ρni,ε(y)dm(y) =
∫
A(ε,ε(y0),y0)
Q(y)ρni,ε(y) dm(y) ≤ Fi(ε), (15)
где Fi(ε) =
1
I(ε, ri)
n
∫
A(ε,ε(y0),y0)
Q(y)ψn(|y−y0|) dm(y) и I(ε, ri) =
∫ ri
ε
ψ(t)dt.
Учитывая (9), имеем следующее соотношение:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
ОБ ОТКРЫТОСТИ И ДИСКРЕТНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 1133
∫
A(ε,ε(y0),y0)
Q(y)ψn(|y − y0|) dm(y) = G(ε)
ε(y0)∫
ε
ψ(t)dt
n
,
где G(ε) → 0 при ε → 0 по условию леммы. Заметим, что Fi(ε) =
= G(ε)
1 +
∫ ε(y0)
ri
ψ(t)dt∫ ri
ε
ψ(t)dt
n
, где
∫ ε(y0)
ri
ψ(t)dt <∞ — фиксированное число, а
∫ ri
ε
ψ(t)dt→∞ при ε→ 0, так как величина интеграла слева в (9) увеличивает-
ся при уменьшении ε. Таким образом, Fi(ε)→ 0 при ε→ 0. Переходя к пределу
в неравенстве (15) при ε → 0, левая часть которого не зависит от ε, получаем
M(Γ∗i ) = 0 при любом натуральном i. Однако тогда M
(
Γ
(
C,B(x0, ε0), G1
))
= 0
в силу соотношений (13) и (3), что противоречит неравенству (12). Полученное
противоречие доказывает, что отображение f является нульмерным, а значит, со-
гласно следствию работы [9, с. 333], отображение f открыто и дискретно, что и
требовалось доказать.
Лемма доказана.
3. О доказательстве основного результата. Доказательство теоремы непосред-
ственно следует из леммы настоящей работы, а также леммы 8 в [1].
Замечание 3. Условие Q(x) ≥ 1 обеспечивает, что qx0(r) ≥ 1 при почти всех
значениях r. Поэтому
∫ ε2
ε1
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
≤ log
ε2
ε1
<∞ при всех ε1, ε2 > 0, в связи с
чем см. также лемму 8 в [1].
4. Примеры. Пример 1. Наиболее важным примером отображений, для кото-
рых выполнены оценки вида (5), являются так называемые отображения с конеч-
ным искажением длины (см., например, гл. VIII [7]). Введение и изучение указанно-
го выше класса обусловлено необходимостью описать „минимальные” требования,
налагаемые на отображения, влекущие выполнение каких-либо оценок искажения
модуля семейств кривых при них. Введем обозначения.
Внешняя дилатация отображения f в точке x определяется равенством
KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
, если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и
KO(x, f) =∞ в остальных точках. Полагаем
KI
(
y, f −1, E
)
:=
∑
x∈E∩f −1(y)
KO(x, f) .
Следствие. Пусть f : D → Rn — сохраняющее ориентацию отображение с
конечным искажением длины. Предположим, что для каждой области G ⊂ D,
G ⊂ D, функция KI
(
y, f −1, G
)
в произвольной точке y0 ∈ f(G) удовлетворяет
хотя бы одному из условий 1 – 3 теоремы. Тогда отображение f открыто и
дискретно.
Доказательство. Заметим, что любое отображение f : D → Rn с конечным
искажением длины удовлетворяет неравенству
M(Γ) ≤
∫
f(E)
KI
(
y, f −1, E
)
ρn∗ (y)dm(y)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1134 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
для любого измеримого множества E ⊂ D, произвольного семейства Γ ⊂ E
кривых γ в E и каждой функции ρ∗(y) ∈ adm f(Γ) (см., например, теорему 8.5
гл. VIII [7]). Все остальное следует из теоремы.
Следствие доказано.
Пример 2. Условие сохранения ориентации отображением f в формулировках
всех приведенных выше результатов, вообще говоря, нельзя опустить. В разд. 8.10
гл. VIII [7] приведен пример отображения f с конечным искажением длины, не
сохраняющего ориентацию, для которого M(f(Γ)) = M(Γ), т. е. в неравенстве (5)
функция Q ≡ 1, и которое не дискретно и не открыто.
Приведем другой пример. Пусть x = (x1, . . . , xn). Определим f в замкну-
той области {xn ≥ 0} как тождественное, а при xn < 0 полагаем f(x) =
= (x1, . . . ,−xn). Это отображение представляет собой отражение относительно
гиперплоскости xn = 0 при xn < 0 (а при неотрицательных значениях xn просто
тождественное отображение). Заметим, что f является отображением с конечным
искажением длины, более того, отображение f сохраняет длины кривых. Следо-
вательно, f удовлетворяет неравенству (5) при Q ≡ 1. Это отображение является
дискретным, но не является открытым: например, шар Bn при отображении f
переходит в полушарие {y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn : |y| < 1, yn ≥ 0}, которое не
является открытым множеством в Rn.
1. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазикон-
формности // Сиб. мат. журн. – 2010. – 51, № 5. – С. 1129 – 1146.
2. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. – 165 p.
3. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982. – 285 с.
4. Rickman S. Quasiregular mappings // Results in Math. and Relat. Areas (3), 26. – Berlin: Springer, 1993.
– 213 p.
5. Väisälä J. Lectures on n -dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
6. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A I. Math. – 1969. – 448. – P. 1 – 40.
7. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer
Science + Business Media, LLC, 2009. – 367 p.
8. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
9. Titus C. J., Young G. S. The extension of interiority with some applications // Trans. Amer. Math. Soc.
– 1962. – 103. – P. 329 – 340.
10. Näkki R. Boundary behavior pf quasiconformal mappings in n -space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 1970. – 484. – P. 1 – 50.
Получено 07.12.10,
после доработки — 17.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2789 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:20Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/2387a77d7c246275254d56c1f5e1c364.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27892020-03-18T19:36:38Z On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality Об открытости и дискретности отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The paper is devoted to the investigation of the topological properties of space mappings. It is shown that sense-preserving mappings $f : D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ in a domain $D \subset \mathbb{R}^n$, n ≥ 2, which are more general than mappings with bounded distortion, are open and discrete if a function Q corresponding to the control of the distortion of families of curves under these mappings has slow growth in the domain f(D), e.g., if Q has finite mean oscillation at an arbitrary point $y0 \in f(D)$. Статтю присвячено вивченню топологiчних властивостей просторових вiдображень. Показано, що вiдображення $f : D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$, якi зберiгають орiєнтацiю в областi $D \subset \mathbb{R}^n$, $n ≥ 2$, i є бiльш загальними, нiж вiдображення з обмеженим спотворенням, вiдкритi та дискретнi за умови, що функцiя $Q$, яка вiдповiдає за контроль спотворення сiмей кривих при таких вiдображеннях, має слабке зростання в областi $f(D)$. Наприклад, твердження набуває чинностi, якщо функцiя $Q$ має скiнченне середнє коливання в довiльнiй точцi $y0 \in f(D)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2789 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1128-1134 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1128-1134 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2789/2333 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2789/2334 Copyright (c) 2011 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title | On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_alt | Об открытости и дискретности отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_full | On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_fullStr | On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_full_unstemmed | On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_short | On the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_sort | on the openness and discreteness of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2789 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheopennessanddiscretenessofmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevostʹânovea ontheopennessanddiscretenessofmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevostʹânovea ontheopennessanddiscretenessofmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevost039yanovea obotkrytostiidiskretnostiotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti AT sevostʹânovea obotkrytostiidiskretnostiotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti AT sevostʹânovea obotkrytostiidiskretnostiotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti |