Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix
Polynomial matrices $A(x)$ and $B(x)$ of size $n \times n$ over a field $\mathbb{F}$ are called semiscalar equivalent if there exist a nonsingular $n \times n$ matrix $P$ over $\mathbb{F}$ and an invertible $n \times n$ matrix $Q(x)$ over $\mathbb{F}[x]$ such that $A(x) = PB(x)Q(x)$. We give a canon...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2793 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508765163356160 |
|---|---|
| author | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. |
| author_facet | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. |
| author_sort | Prokip, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:38Z |
| description | Polynomial matrices $A(x)$ and $B(x)$ of size $n \times n$ over a field $\mathbb{F}$ are called semiscalar equivalent if there exist a nonsingular $n \times n$ matrix $P$ over $\mathbb{F}$ and an invertible $n \times n$ matrix $Q(x)$ over $\mathbb{F}[x]$ such that $A(x) = PB(x)Q(x)$. We give a canonical form with respect to the semiscalar equivalence for a matrix pencil $A(x) = A_0x - A_1$, where $A_0$ and $A_1$ are $n \times n$ matrices over $\mathbb{F}$, and $A_0$ is nonsingular. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
В. М. Прокiп (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
КАНОНIЧНА ФОРМА ВIДНОСНО НАПIВСКАЛЯРНОЇ
ЕКВIВАЛЕНТНОСТI МАТРИЧНОЇ В’ЯЗКИ
З НЕВИРОДЖЕНОЮ ПЕРШОЮ МАТРИЦЕЮ
Polynomial matrices A(x) and B(x) of size n × n over a field F are called semiscalar equivalent if there
exist a nonsingular n × n matrix P over F and an invertible n × n matrix Q(x) over F[x] such that
A(x) = PB(x)Q(x). We give a canonical form with respect to the semiscalar equivalence for a matrix
pencil A(x) = A0x−A1, where A0 and A1 are n× n matrices over F, and A0 is nonsingular.
Многочленные (n×n)-матрицы A(x) и B(x) над полем F называются полускалярно эквивалентными,
если существуют неособенная (n × n)-матрица P над F и обратимая (n × n)-матрица Q(x) над
F[x] такие, что A(x) = PB(x)Q(x). Приведена каноническая форма относительно полускалярной
эквивалентности для матричного пучка A(x) = A0x−A1, где A0 и A1 — (n×n)-матрицы над полем
F и A0 — неособенная матрица.
Вступ. Нехай Mn,n(F) i Mn,n(F[x]) — кiльця (n × n)-матриць над полем F
i кiльцем многочленiв F[x] вiдповiдно. Далi через In позначатимемо одиничну
(n× n)-матрицю, а через 0k,m — нульову (k ×m)-матрицю.
Унiтальному многочлену a(x) = xn+a1x
n−1+. . .+an−1x+an ∈ F[x] поставимо
у вiдповiднiсть клiтину Фробенiуса (приєднану матрицю)
Ψa =
0 1 0 . . . . . . 0
0 0 1 0 · · · 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . 0 1
−an −an−1 . . . . . . −a2 −a1
∈Mn,n(F)
та многочленну (n× n)-матрицю
Ha(x) =
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 · · · 0 1 0
x x2 · · · xn−1 a(x)
∈Mn,n(F[x]).
Легко бачити, що Ψa(x) = Inx − Ψa i Ha(x) — еквiвалентнi матрицi з формою
Смiта S(x) = diag(1, . . . , 1, a(x)).
Кажуть, що матрицi A(x), B(x) ∈ Mn,n(F[x]) напiвскалярно еквiвалентнi [1 –
3], якщо для них iснують неособлива P ∈Mn,n(F) та оборотна Q(x) ∈Mn,n(F[x])
матрицi такi, що
A(x) = PB(x)Q(x).
У данiй статтi дослiджується напiвскалярна еквiвалентнiсть лiнiйних матричних
в’язок над довiльним полем. Перший пункт має допомiжний характер. Основнi
c© В. М. ПРОКIП, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8 1147
1148 В. М. ПРОКIП
результати викладено в п. 2. Там же доведено, що матрицi Inx−Ψa i Ha(x) напiв-
скалярно еквiвалентнi. На пiдставi цього встановлено канонiчну форму вiдносно
напiвскалярної еквiвалентностi для матричної в’язки A0x − A1 ∈ Mn,n(F[x]) з
неособливою матрицею A0.
1. Допомiжнi твердження. Нижче опишемо зв’язок мiж еквiвалентнiстю та
напiвскалярною еквiвалентнiстю лiнiйних матричних в’язок.
Лема 1. Матричнi в’язки A(x) = A0x−A1 ∈Mn,n(F[x]) i B(x) = B0x−B1 ∈
∈Mn,n(F[x]) з неособливими матрицями A0 i B0 напiвскалярно еквiвалентнi тодi
i тiльки тодi, коли вони скалярно еквiвалентнi.
Доведення. Очевидно, якщо лiнiйнi матричнi в’язки A(x) i B(x) скалярно
еквiвалентнi, тобто A(x) = PB(x)Q, де P, Q ∈ GL(n,F), то вони напiвскалярно
еквiвалентнi.
Навпаки, нехай матричнi в’язки A(x) = A0x−A1 ∈Mn,n(F[x]) i B(x) = B0x−
−B1 ∈Mn,n(F[x]) з неособливими матрицями A0 i B0 напiвскалярно еквiвалентнi,
тобто A(x) = PB(x)Q(x), де P ∈ GL(n,F) i Q(x) ∈ GL(n,F[x]). Припустимо,
що degQ(x) = k ≥ 1. З останньої рiвностi отримуємо
degA(x) = deg(PB(x)) + degQ(x). (1)
Оскiльки A0, B0 i P — неособливi матрицi, то з рiвностi (1) отримуємо degQ(x) =
= 0, тобто Q(x) ∈ GL(n,F). Отже, матричнi в’язки A(x) i B(x) скалярно еквiва-
лентнi.
Лему доведено.
Таким чином, задача про напiвскалярну еквiвалентнiсть лiнiйних матричних
в’язок A(x) = A0x−A1 i B(x) = B0x−B1 з неособливими матрицями A0 i B0 є
тривiальною. З огляду на викладене вище доведемо наступне твердження.
Лема 2. Лiнiйна матрична в’язка A(x) = A0x − A1 ∈ Mn,n(F[x]) з неособ-
ливою матрицею A0 скалярно еквiвалентна блочно-дiагональнiй матрицi Inx −
−
⊕m
i=1 Ψhi
, де Ψhi
— клiтини Фробенiуса, що вiдповiдають елементарним дiльни-
кам hi(x) ненульових степенiв матрицi A(x). При цьому матриця Inx−
⊕m
i=1 Ψhi
визначена однозначно з точнiстю до перестановки клiтин Ψhi
.
Доведення леми 2 випливає з того, що матрична в’язка A(x) = A0x − A1 ∈
∈ Mn,n(F[x]) з неособливою матрицею A0 скалярно еквiвалентна в’язцi Inx − B,
в якiй матриця B з точнiстю до подiбностi визначається матрицею Ψ =
⊕m
i=1 Ψhi
(див., наприклад, [4, с. 150]).
З огляду на лему 1 зауважимо, що пряма сума Inx −
⊕m
i=1 Ψhi
є канонiчною
формою матричної в’язки A(x) = A0x − A1 ∈ Mn,n(F[x]) з неособливою мат-
рицею A0 як вiдносно скалярної еквiвалентностi, так i вiдносно напiвскалярної
еквiвалентностi.
2. Основнi результати. Доведення основного результату базується на лемi, яка
має i самостiйний iнтерес.
Лема 3. Нехай a(x) = xn + a1x
n−1 + . . . + an−1x + an ∈ F[x] — унiтальний
многочлен степеня n ≥ 2. Тодi:
1) матрицi Ψa(x) = Inx−Ψa i Ha(x) напiвскалярно еквiвалентнi;
2) матриця Ha(x) елементарними перетвореннями стовпчикiв зводиться
до унiтальної матричної в’язки, тобто Ha(x)W (x) = Inx − C, де W (x) ∈
∈ GL(n,F[x]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
КАНОНIЧНА ФОРМА ВIДНОСНО НАПIВСКАЛЯРНОЇ ЕКВIВАЛЕНТНОСТI МАТРИЧНОЇ . . . 1149
Доведення. Розглянемо матрицi
Q1(x) =
0 . . . . . . . . . 0 1
0 . . . . . . 0 1 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 1 x . . . xn−3 xn−2
1 x x2 . . . xn−2 xn−1
∈ GL(n,F[x])
i
P1 =
0 . . . . . . 0 −1 0
0 . . . 0 −1 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−1 0 . . . . . . . . . 0
an−1 an−2 . . . a2 a1 1
∈ GL(n,F).
Тодi
P1Ψa(x)Q1(x) = H1(x) =
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 1 0
x h12(x) . . . h1,n−1(x) a(x)
,
де h1k(x) = xk + a1x
k−1 + . . . + ak−1x ∈ F[x] для всiх k = 2, 3, . . . , n− 1.
Покладемо
P2 =
1 −a1 −a2 . . . −an−2 0
0 1 0 . . . . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . 0 1 0
0 . . . . . . . . . 0 1
∈ GL(n,F).
Легко перевiрити, що
P−1
2 H1(x)P2 = H2(x) =
1 0 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . . . . 0 1 0
x x2 h23(x) . . . h2,n−1(x) a(x)
,
де h2k(x) = h1k(x)− akx ∈ F[x] для всiх k = 3, 4, . . . , n− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1150 В. М. ПРОКIП
Тепер матрицю H2(x) запишемо у виглядi
H2(x) =
1 0 . . . 0
0
...
0 H3(x)
x
,
де
H3(x) =
1 0 . . . . . . . . . 0
0 1 0 . . . . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 · · · . . . 0 1 0
x2 h23(x) · · · h2,n−2(x) h2,n−1(x) a(x)
∈
∈Mn−1,n−1(F[x]).
Проводячи над матрицею H3(x) операцiї, аналогiчнi таким, як i над матрицею
H1(x), отримуємо
P−1
3 H3(x)P3 = H4(x) =
1 0 . . . 0
0
...
0 H5(x)
x2
,
де
P3 =
1 −a1 −a2 . . . −an−3 0
0 1 0 . . . . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . 0 1 0
0 . . . . . . . . . 0 1
∈ GL(n− 1,F),
H5(x) =
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 1 0
x3 h34(x) . . . h3,n−1(x) a(x)
∈Mn−2,n−2(F[x])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
КАНОНIЧНА ФОРМА ВIДНОСНО НАПIВСКАЛЯРНОЇ ЕКВIВАЛЕНТНОСТI МАТРИЧНОЇ . . . 1151
i h3k(x) = h2k(x)− akx
2 для всiх k = 4, 5, . . . , n− 1.
Продовжуючи цi мiркування далi, через скiнченне число крокiв переконуємося,
що для матрицi Ψa(x) = Inx − Ψa iснують матрицi P ∈ GL(n,F) i Q(x) ∈
∈ GL(n,F[x]) такi, що
PΨa(x)Q(x) = Ha(x). (2)
Очевидно, що матриця Ha(x) визначена однозначно для матрицi Ψa(x) = Inx−Ψa
вiдносно перетворень напiвскалярної еквiвалентностi, тобто Ha(x) є канонiчною
формою вiдносно цих перетворень для матрицi Ψa(x).
Iз рiвностi (2) випливає PΨa(x) = Ha(x)Q−1(x). Звiдси отримуємо
PΨa(x)P−1 = Ha(x)W (x) = Inx− C,
де C = PΨaP
−1 ∈Mn,n(F) i W (x) = Q−1(x)P−1 ∈ GL(n,F[x]).
Лему доведено.
Тепер встановимо канонiчну форму вiдносно перетворень напiвскалярної еквi-
валентностi для матричної в’язки A(x) = A0x − A1 ∈ Mn,n(F[x]) з неособливою
матрицею A0.
Теорема 1. Нехай унiтальнi многочлени h1(x), h2(x), . . . , hm(x) належать
F[x], deg hi(x) = ki ≥ 1, i = 1, 2, . . . ,m, — елементарнi дiльники матричної в’язки
A(x) = A0x−A1 ∈Mn,n(F[x]). Якщо матриця A0 неособлива, то матрична в’язка
A(x) напiвскалярно еквiвалентна блочно-дiагональнiй (n× n)-матрицi
HA(x) =
m⊕
i=1
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 1 0
x x2 . . . xki−1 hi(x)
,
тобто PA(x)Q(x) = HA(x), де P ∈ GL(n,F) i Q(x) ∈ GL(n,F[x]). При цьому
матриця HA(x) визначена однозначно з точнiстю до перестановки блокiв Hhi
(x).
Доведення. Оскiльки detA0 6= 0, то на пiдставi леми 2 для матрицi A(x) =
= A0x−A1 iснують матрицi U, V ∈ GL(n,F) такi, що
UA(x)V =
Ψh1
(x) 0 . . . . . . 0
0 Ψh2
(x) 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . . . . 0 Ψhm
,
де Ψhi
(x) = Iki
x−Ψhi
∈Mki,ki
(F). Згiдно з лемою 3, матрицi Ψhi
(x) = Iki
x−Ψhi
i
Hhi(x) напiвскалярно еквiвалентнi, тобто iснують матрицi Pi ∈ GL(ki,F) i Qi(x) ∈
∈ GL(ki,F[x]) такi, що
PiΨki(x)Qi(x) = Hhi(x), i = 1, 2, . . . ,m.
Тепер легко переконатися в тому, що для матриць
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
1152 В. М. ПРОКIП
P = diag
(
P1, P2, . . . , Pm
)
U ∈ GL(n,F)
i
Q(x) = A−1
0 U−1diag
(
Q1(x), Q2(x), . . . , Qm(x)
)
∈ GL(n,F[x])
справджується рiвнiсть
PA(x)Q(x) = HA(x) =
m⊕
i=1
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 1 0
x x2 . . . xki−1 hi(x)
.
Очевидно, що матриця HA(x) =
⊕m
i=1 Hhi
(x) визначена однозначно з точнiстю до
перестановки дiагональних блокiв.
Теорему доведено.
1. Казiмiрський П. С. Розклад матричних многочленiв на множники. – Київ: Наук. думка, 1981. –
224 с.
2. Казiмiрський П. С., Петричкович В. М. Про еквiвалентнiсть полiномiальних матриць // Теорет. та
прикл. питання алгебри i диференц. рiвнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 61 – 66.
3. Dias da Silva J. A., Laffey T. J. On simultaneous similarity of matrices and related questions // Linear
Algebra and Appl. – 1999. – 291. – P. 167 – 184.
4. Ланкастер П. Tеория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272 с.
Одержано 07.10.10,
пiсля доопрацювання — 01.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2793 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/864abfb179f604d1b7c6513521ed3fe9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27932020-03-18T19:36:38Z Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix Канонічна форма відносно напівскалярної еквівалентності матричної в'язки з невиродженою першою матрицею Prokip, V. M. Прокіп, В. М. Polynomial matrices $A(x)$ and $B(x)$ of size $n \times n$ over a field $\mathbb{F}$ are called semiscalar equivalent if there exist a nonsingular $n \times n$ matrix $P$ over $\mathbb{F}$ and an invertible $n \times n$ matrix $Q(x)$ over $\mathbb{F}[x]$ such that $A(x) = PB(x)Q(x)$. We give a canonical form with respect to the semiscalar equivalence for a matrix pencil $A(x) = A_0x - A_1$, where $A_0$ and $A_1$ are $n \times n$ matrices over $\mathbb{F}$, and $A_0$ is nonsingular. Многочленные $(n \times n)$-матрицы $A(x)$ и $B(x)$ над полем $\mathbb{F}$ называются полускалярно эквивалентными, если существуют неособенная $(n \times n)$-матрица $P$ над $\mathbb{F}$ и обратимая $(n \times n)$-матрица $Q(x)$ над $\mathbb{F}[x]$ такие, что $A(x) = P B(x)Q(x)$. Приведена каноническая форма относительно полускалярной эквивалентности для матричного пучка $A(x) = A_0x − A_1$, где $A_0$ и $A_1$ — $(n \times n)$-матрицы над полем $\mathbb{F}$ и $A_0$ — неособенная матрица. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2793 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 8 (2011); 1147-1152 Український математичний журнал; Том 63 № 8 (2011); 1147-1152 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2793/2339 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2793/2340 Copyright (c) 2011 Prokip V. M. |
| spellingShingle | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title | Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title_alt | Канонічна форма відносно напівскалярної еквівалентності матричної в'язки з невиродженою першою матрицею |
| title_full | Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title_fullStr | Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title_full_unstemmed | Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title_short | Canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| title_sort | canonical form with respect to semiscalar equivalence for a matrix pencil with nonsingular first matrix |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2793 |
| work_keys_str_mv | AT prokipvm canonicalformwithrespecttosemiscalarequivalenceforamatrixpencilwithnonsingularfirstmatrix AT prokípvm canonicalformwithrespecttosemiscalarequivalenceforamatrixpencilwithnonsingularfirstmatrix AT prokipvm kanoníčnaformavídnosnonapívskalârnoíekvívalentnostímatričnoív039âzkiznevirodženoûperšoûmatriceû AT prokípvm kanoníčnaformavídnosnonapívskalârnoíekvívalentnostímatričnoív039âzkiznevirodženoûperšoûmatriceû |