Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications
For functions defined on the real line or a half-line, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the $L_p$-norms $(1 \leq p < \infty)$ of fractional derivatives in terms of the Lp-norms of functions (or the $L_p$-norms of their truncated derivatives) and their $L_p$-moduli of conti...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2794 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508768289161216 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Churilova, M. S. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. |
| author_facet | Babenko, V. F. Churilova, M. S. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | For functions defined on the real line or a half-line, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the
$L_p$-norms $(1 \leq p < \infty)$ of fractional derivatives in terms of the Lp-norms of functions (or the $L_p$-norms of their truncated derivatives) and their $L_p$-moduli of continuity and establish their sharpness for $p = 1$.
Applications of the obtained inequalities are given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Чурилова (Днепропетр. нац. ун-т)
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
For functions defined on the real line or a half-line, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the
Lp-norms (1 ≤ p < ∞) of fractional derivatives in terms of the Lp-norms of functions (or the Lp-norms
of their truncated derivatives) and their Lp-moduli of continuity and establish their sharpness for p = 1.
Applications of the obtained inequalities are given.
Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi-
нюють Lp-норми (1 ≤ p < ∞) дробових похiдних через Lp-норми функцiй (або Lp-норми їхнiх
зрiзаних похiдних) та їхнi Lp-модулi неперервностi, та при p = 1 встановлено їхню точнiсть. Наведено
застосування одержаних нерiвностей.
1. Введение. В настоящей статье будем рассматривать три взаимосвязанные задачи:
задачу о точных неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функ-
ций, заданных на всей числовой оси или полуоси, задачу о наилучшем приближе-
нии неограниченного оператора дробного дифференцирования линейными ограни-
ченными операторами, а также задачу об оптимальном восстановлении оператора
дробного дифференцирования на классе функций, заданных с известной погреш-
ностью. С результатами решения этих задач для операторов дифференцирования
целых порядков можно ознакомиться, например, в обзорах [1 – 3] и монографии
[4], где имеются также дальнейшие ссылки. По поводу известных случаев реше-
ния этих задач для операторов дробного дифференцирования см. [5 – 13]. Данная
работа является продолжением исследований, начатых авторами в работах [6, 8].
Опишем кратко структуру статьи. В п. 2 приведены пространства и произ-
водные, используемые в статье, а также общая постановка задачи аппроксимации
неограниченного оператора линейными ограниченными и задачи оптимального
восстановления операторов на классе функций, заданных с погрешностью.
В п. 3 изложено точное решение первой задачи в случае приближения операто-
ров дробного дифференцирования Dα
±, 0 < α < 1, в форме Маршо (см. [14, с. 95]).
В процессе решения этой задачи получены неравенства, оценивающие Lp-норму
дробных производных через Lp- и Hω
p -нормы самих функций, при p = 1 уста-
новлена точность полученных неравенств. Из доказанных неравенств выведено
следствие об оценке модуля непрерывности оператора дробного дифференцирова-
ния по Маршо и получено решение задачи оптимального восстановления операто-
ров дробного дифференцирования на классе функций, заданных с погрешностью.
В п. 4 установлены неравенства, оценивающие Lp-норму дробной производной
через Lp-норму усеченной дробной производной и Hω
p -норму функции, и доказана
их точность при p = 1.
2. Необходимые определения и обозначения. Постановки задач. Пусть G
есть R или R+. Через Lp (G) , 1 ≤ p ≤ ∞, обозначим пространство измеримых
функций x : G→ R с конечной нормой
c© В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1155
1156 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
‖x‖p = ‖x‖Lp(G) :=
(∫
G
|x(u)|p du
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
u∈G
|x(u)|, p =∞,
а через C (G) — пространство непрерывных ограниченных функций x : G → R с
нормой
‖x‖C = ‖x‖C(G) := sup
u∈G
|x(u)|.
Пусть ω(t) — некоторый модуль непрерывности, т. е. неубывающая на R+,
непрерывная и полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через Hω (G) будем
обозначать множество функций x ∈ C (G) таких, что
‖x‖Hω(G) := sup
t∈G
t 6=0
‖x(·)− x(·+ t)‖C(G)
ω (|t|)
<∞,
а через Hω
p (G) , 1 ≤ p <∞, — множество функций x ∈ Lp (G) , для которых
‖x‖Hωp (G) := sup
t∈G
t6=0
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
ω (|t|)
<∞.
Если ω(t) = tβ , 0 < β ≤ 1, то вместо Hω
p (G) будем писать Hβ
p (G).
Если X есть Hω (G) или Hω
p (G) , то через UX обозначим единичный шар
пространства X, т. е. множество функций x ∈ X таких, что ‖x‖X ≤ 1.
Производные Dα
±x, 0 < α < 1, в смысле Маршо для функций x : G → R
определяются следующим образом:
(Dα
±x)(u) := Aα
∞∫
0
x(u)− x(u∓ t)
t1+α
dt,
где Aα =
α
Γ(1− α)
(в случае G = R+ данной формулой определяется только
правосторонняя производная Dα
−x).
Усеченные дробные производные Маршо определяются так [14]:
(Dα
±,hx)(u) := Aα
∞∫
h
x(u)− x(u∓ t)
t1+α
dt, h > 0.
Рассматриваемая нами задача о неравенствах типа Колмогорова состоит в оцен-
ке
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
через ‖x‖Lp(G) и ‖x‖Hωp (G) , или, что эквивалентно, в решении
следующей экстремальной задачи на классе UHω
p (G):∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
→ sup, ‖x‖Lp(G) ≤ δ, δ > 0.
Общая постановка задачи наилучшего приближения неограниченного операто-
ра линейными ограниченными операторами (см. [15], а также, например, [1; 2; 4,
с. 391]) состоит в следующем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1157
Пусть X, Y — банаховы пространства; A : X → Y — некоторый оператор (не
обязательно линейный) с областью определения D(A) ⊂ X; L (N) = L (N ;X,Y )
— множество линейных ограниченных операторов T, которые действуют из X в
Y и нормы которых ‖T‖ = ‖T‖X→Y не превышают числа N > 0; Q ⊂ D (A) —
некоторый класс элементов. Величина
U (T ) = sup {‖Ax− Tx‖Y : x ∈ Q}
называется уклонением оператора T ∈ L (N) от оператора A на классе Q, а вели-
чина
E (N) = E (N ;A,Q) := inf {U (T ) : T ∈ L (N)} (1)
— наилучшим приближением оператора A множеством ограниченных операторов
L (N) на классе Q.
Задача состоит в вычислении (исследовании) величины E (N) и отыскании
(исследовании вопросов существования, единственности, характеризации) экстре-
мального оператора, т. е. оператора, реализующего нижнюю грань в правой час-
ти (1).
Для пространств X и Y, оператора A и класса Q функцию
Ω (δ) = Ω (δ,Q) = sup {‖Ax‖Y : x ∈ Q, ‖x‖X ≤ δ} (2)
переменной δ называют модулем непрерывности оператора A на классе Q. Задача
вычисления модуля непрерывности Ω (δ) является (см., например, [4]) абстрактной
версией задачи о точном неравенстве типа Колмогорова.
Пусть, далее,
∆ (N) = ∆ (N,Q) = sup {‖Ax‖Y −N ‖x‖X : x ∈ Q} = sup {Ω (δ)−Nδ : δ > 0} ,
l (δ) = inf {E (N) +Nδ : N ≥ 0} .
Следующая теорема С. Б. Стечкина дает простую, но часто используемую и эф-
фективную оценку снизу величины наилучшего приближения оператора через его
модуль непрерывности и, таким образом, устанавливает связь задачи наилучшего
приближения неограниченных операторов с задачей о точных неравенствах типа
Колмогорова.
Теорема 1 [15] (см. также [1, 2] и [4, с. 392] (теорема 7.1.1)). Если A — одно-
родный (в частности, линейный) оператор, Q — центрально-симметричное вы-
пуклое множество из области определения оператора A, то выполняются нера-
венства
E (N) ≥ ∆ (N) , N ≥ 0,
Ω (δ) ≤ l (δ) , δ ≥ 0.
Если при этом существуют элемент x ∈ Q и линейный ограниченный оператор
T такие, что
‖Ax‖Y = U (T ) + ‖T‖ ‖x‖X , (3)
то справедливы равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1158 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
ω (‖x‖X) = ‖Ax‖Y , E (‖T‖) = U (T ) = ‖Ax‖Y − ‖T‖ ‖x‖X ,
и, значит, оператор T является экстремальным в задаче (1) при N = ‖T‖ , а
элемент x — в задаче (2) при δ = ‖x‖X .
Многие задачи вычислительной математики, теории функций и других разделов
математики являются некорректными задачами восстановления значений оператора
A на элементах класса Q ⊂ D (A) в предположении, что элементы класса Q
заданы с известной погрешностью. Восстановление осуществляется с помощью
некоторого множестваR операторов (однозначных отображений), действующих из
пространства X в пространство Y. При этом в качестве R, как правило, берется
одно из следующих множеств:
O = O (X,Y ) — множество всех отображений пространства X в пространст-
во Y ;
L = L (X,Y ) — множество линейных операторов, действующих из X в Y ;
B = B (X,Y ) — множество всех линейных ограниченных операторов из X в Y ;
L (N) = L (N ;X,Y ) — множество операторов из B, норма которых не превы-
шает N.
Для числа δ ≥ 0 и оператора T ∈ R положим
Uδ (T ) := sup {‖Ax− Tη‖Y : x ∈ Q, η ∈ X, ‖x− η‖X ≤ δ} .
Тогда
Eδ (R) = Eδ (R;A,Q) = inf {Uδ (T ) : T ∈ R} (4)
есть величина наилучшего восстановления оператора A с помощью множества
отображений (методов восстановления) R на элементах класса Q, заданных с по-
грешностью δ.
Связь задачи (4) с неравенствами типа Колмогорова, с одной стороны, и задачей
приближения неограниченных операторов ограниченными, с другой, устанавливает
следующая теорема.
Теорема 2 [1, 2], [4, с. 403] (теорема 7.1.4). Если Ω (δ) — выпуклая вверх на
[0,∞] функция и для любого N > 0
E(N) = sup
δ>0
{Ω(δ)−Nδ},
то для любого δ > 0
Eδ (O) = Eδ (L) = Ω (δ) ,
причем экстремальные операторы в задаче (1) и задаче восстановления оператора
при δ > 0, если N является субдифференциалом (производной) Ω при этом фикси-
рованном δ, совпадают.
3. Решение задач о наилучшем приближении и оптимальном восстановле-
нии операторов дробного дифференцирования. Пусть α ∈ (0; 1), G = R или
G = R+, ω(t) — некоторый модуль непрерывности, такой, что
1∫
0
ω (t)
t1+α
dt <∞. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1159
Для операторов дробного дифференцирования Dα
± : Lp (G) → Lp (G) , 1 ≤ p < ∞
(при G = R+ только для Dα
−), будем рассматривать задачу наилучшего приближе-
ния этих операторов множеством линейных ограниченных операторов T : Lp (G)→
→ Lp (G) , для которых ‖T‖ ≤ N, N > 0, на классе UHω
p (G) .
С этой целью оценим уклонение оператора дробного дифференцирования Dα
−
от оператора взятия усеченной дробной производнойDα
−,h и покажем, что оператор
Dα
−,h и будет экстремальным в нашей задаче для пространства L1 (G) (рассуждения
в случае оператора Dα
+ аналогичны).
Прежде всего покажем, что линейный оператор Dα
−,h является ограниченным.
Используя обобщенное неравенство Минковского, получаем
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
= Aα
∥∥∥∥∥∥
∞∫
h
x(·)− x(·+ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα
∞∫
h
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤ Aα
∞∫
h
2 ‖x‖Lp(G)
t1+α
dt =
2Aα
αhα
‖x‖Lp(G) .
Cледовательно, ∥∥Dα
−,h
∥∥ = sup
‖x‖Lp(G)≤1
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
≤ 2Aα
αhα
.
Полагая
h = hN =
(
2Aα
αN
)1/α
=
(
2
NΓ(1− α)
)1/α
,
видим, что оператор Dα
−,hN принадлежит множеству приближающих операторов
(операторов, нормы которых не превышают N ).
Снова используя обобщенное неравенство Минковского и принадлежность функ-
ции x множеству UHω
p (G) , получаем следующую оценку уклонения:
U
(
Dα
−,h
)
= sup
x∈UHωp (G)
∥∥Dα
−x−Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
=
= Aα sup
x∈UHωp (G)
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(·+ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα sup
x∈UHωp (G)
h∫
0
‖x(·)− x(·+ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤
≤ Aα sup
x∈UHωp (G)
‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt = Aα
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Сопоставляя полученные оценки, приходим к аддитивному неравенству, которое
выполняется для произвольной функции x ∈ Hω
p (G) и произвольного h > 0:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1160 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА∥∥Dα
−x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
−x−Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
+
∥∥Dα
−,hx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhα
‖x‖Lp(G) . (6)
В случае G = R неравенство (6) было получено авторами в [8], причем при p = 1
доказана его точность; экстремальная функция для любого h > 0 имеет вид
xh(u) =
1
2
ω′ (u) , u ∈ (0, h),
0, u /∈ (0, h),
(7)
где ω(·) — локально абсолютно непрерывная функция на полуоси [0,∞). Заметим,
что в случае G = R+ при p = 1 неравенство (6) также является точным в том
смысле, что ни одну из констант в правой части (при фиксированной другой)
нельзя уменьшить, поскольку тогда для достаточно большого δ > 0 функция
xh,δ(u) =
1
2
ω′ (u− δ) , u ∈ (δ, h+ δ),
0, u ∈ R+ \ (δ, h+ δ),
(8)
будет удовлетворять неравенству противоположного смысла: ее нормы, содержа-
щиеся в правой части неравенства, равны соответственно
‖xh,δ‖Hω1 (R+) = 1, ‖xh,δ‖L1(R+) =
ω(h)
2
(т. е. совпадают с такими же нормами экстремали на оси), а L1-норма дробной
производной, стоящей слева, стремится к норме дробной производной экстремали
на оси при δ → ∞. Все нормы вычисляются непосредственно; пример такого
вычисления будет дан ниже, в доказательстве точности неравенства для усеченной
производной.
При ω(t) = tβ , 0 < α < β ≤ 1, для произвольной функции x ∈ Hβ
p (G)
неравенство записывается в мультипликативной форме
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα21−α/β
α(1− α/β)
‖x‖1−α/βLp(G) ‖x‖
α/β
Hβp (G)
и при G = R и p = 1 является точным с экстремальной функцией вида (7),
построенной по ω(t) = tβ . При G = R+ и p = 1 точность неравенства получается
с помощью функций (8) при ω(t) = tβ .
Полученное аддитивное неравенство (6) эквивалентно неравенству
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
0
min{2 ‖x‖Lp(G) , ‖x‖Hωp (G) ω(t)}
t1+α
dt (9)
(при G = R+ только для Dα
−).
Учитывая сделанное замечание, получаем следующую оценку для модуля непрерыв-
ности оператора дробного дифференцирования.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1161
Теорема 3. Пусть G = R или G = R+, 1 ≤ p < ∞, модуль непрерывности
ω(t) и число α ∈ (0, 1) таковы, что выполнено условие (5). Тогда для модулей
непрерывности операторов Dα
± (при G = R+ только оператора Dα
−) на классе
UHω
p (G) при любом δ > 0 справедлива оценка
Ω
(
δ, UHω
p (G)
)
≤ Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt.
В случае, когда p = 1 и модуль непрерывности ω(t) является локально абсолютно
непрерывной функцией,
Ω (δ, UHω
1 (G)) = Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt.
В частности, если 0 < α < β ≤ 1, то
Ω
(
δ, UHβ
1 (G)
)
=
Aα21−α/β
α(1− α/β)
δ1−α/β .
Продолжим решение задачи о наилучшем приближении оператора дробного
дифференцирования. При найденном hN для функций с единичной нормой
‖x‖Hωp (G) = 1 полученное аддитивное неравенство можно дополнить промежу-
точным звеном:∥∥Dα
−x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
−x−Dα
−,hNx
∥∥
Lp(G)
+
∥∥Dα
−,hNx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ U
(
Dα
−,hN
)
+N ‖x‖Lp(G) ≤ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhαN
‖x‖Lp(G) .
Поскольку неравенство (6) точное при G = R и p = 1, для экстремальной функции
xhN имеет место равенство∥∥Dα
−xhN
∥∥
L1(R)
= U
(
Dα
−,hN
)
+
∥∥Dα
−,hN
∥∥ ‖xhN ‖L1(R) .
Тогда по теореме 1
E (N) = E
(∥∥Dα
−,hN
∥∥) = U
(
Dα
−,hN
)
=
α
Γ(1− α)
( 2
NΓ(1−α) )
1/α∫
0
ω(t)
t1+α
dt,
и оператор Dα
−,hN является оператором наилучшего приближения при найден-
ном hN .
В случае полуоси G = R+ и p = 1 мы не можем указать экстремальную функ-
цию типа (7) и для вычисления величины наилучшего приближения поступим
иначе.
Из оценки уклонения оператора Dα
−,hN от Dα
−, полученной при выводе нера-
венства (6), следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1162 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
E (N) ≤ U
(
Dα
−,hN
)
≤ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Оценим величину E (N) снизу. Из теорем 1 и 3 при условии строгого неограни-
ченного возрастания модуля непрерывности ω(t) получаем
E(N) ≥ sup
δ>0
{Ω(δ)−Nδ} = sup
δ>0
Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt−Nδ
=
= sup
δ>0
Aα
ω−1(2δ)∫
0
ω(t)
t1+α
dt+Aα
∞∫
ω−1(2δ)
2δ
t1+α
dt−Nδ
.
Отсюда, выбирая δ = δN =
1
2
ω(hN ) и учитывая соотношение N =
2Aα
αhαN
, имеем
E(N) ≥ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+Aα · 2δN
∞∫
hN
dt
t1+α
−NδN =
= Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
2Aα
αhαN
δN −NδN = Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Следовательно,
E(N) ≥ Aα
hN∫
0
ω(t)
t1+α
dt.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Пусть G = R или G = R+, ω(t) — некоторый неограниченно
строго возрастающий модуль непрерывности, α ∈ (0; 1) такое, что выполняется
условие (5). Тогда для наилучшего приближения E (N) операторов Dα
± (при G =
= R+ только Dα
−) на классе UHω
1 (G) справедливо равенство
E (N) =
α
Γ(1− α)
( 2
NΓ(1−α) )
1/α∫
0
ω(t)
t1+α
dt,
причем операторами наилучшего приближения являются операторы Dα
±,hN при
hN =
(
2
NΓ(1− α)
)1/α
=
(
2Aα
αN
)1/α
.
Следствие 1. Пусть G = R или G = R+, 0 < α < β ≤ 1. Для наилучшего
приближенияE (N) операторов дробного дифференцированияDα
± в форме Маршо
(при G = R+ только Dα
−) на классе UHβ
1 (G) справедливо равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1163
E (N) =
(
2
N
) β
α−1 α
(β − α) Γ
β
α (1− α)
,
причем операторами наилучшего приближения являются определенные в теоре-
ме 4 операторы Dα
±,hN .
Кроме того, с помощью теорем 2 и 3 получаем решение задачи оптимального
восстановления операторов дробного дифференцирования Dα
± в форме Маршо на
классах UHω
1 (G) и UHβ
1 (G) функций, заданных с погрешностью δ, т. е. имеет
место следующая теорема.
Теорема 5. В условиях теоремы 4 при любом δ > 0 справедливы следующие
равенства:
на классе UHω
1 (G)
Eδ (L) = Aα
∞∫
0
min{2δ, ω(t)}
t1+α
dt,
на классе UHβ
1 (G)
Eδ (L) =
Aα21−α/β
α(1− α/β)
δ1−α/β .
4. Неравенства с нормой усеченной производной. Рассмотрим теперь нера-
венства типа (6), в которых вместо интегральной нормы функции x используются
более индивидуальные, чем норма, характеристики функции. На целесообразность
получения неравенств типа Колмогорова с такими характеристиками обращал вни-
мание С. Б. Стечкин (см. [15]). В качестве таких характеристик мы используем
Lp-нормы усеченных производных.
Теорема 6. Пусть G = R или G = R+, модуль непрерывности ω(t) и число
α ∈ (0, 1) таковы, что выполнено условие (5). Тогда для любой функции x ∈ Hω
p (G),
1 ≤ p <∞, и любого h > 0 имеют место неравенства
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
+Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du
(при G = R+ только для Dα
−). В случае, когда p = 1 и модуль непрерывности
ω(t) является локально абсолютно непрерывной функцией, неравенства являются
точными.
Доказательство. Для любого h > 0 имеем (при G = R+ рассматривается
только правосторонняя производная Dα
−)
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
= Aα
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt+
∞∫
h
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα
∥∥∥∥∥∥
h∫
0
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
+Aα
∥∥∥∥∥∥
∞∫
h
x(·)− x(· ∓ t)
t1+α
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp(G)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1164 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
Второе слагаемое представляет собой Lp-норму усеченной производной. Применяя
к первому слагаемому обобщенное неравенство Минковского и учитывая принад-
лежность функции x множеству Hω
p (G), последовательно получаем
∥∥Dα
±x
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
h
‖x(·)− x(· ∓ t)‖Lp(G)
t1+α
dt+
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
≤
≤ Aα ‖x‖Hωp (G)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du+
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
,
и неравенство доказано.
Докажем сначала его точность в случае G = R для Dα
− (для Dα
+ рассуждения
аналогичны). Это неравенство обращается в равенство для функций (7). Действи-
тельно, найдем ‖xh‖Hω1 (R) . При t ∈ (0, h) имеем
‖xh(·)− xh(· − t)‖L1(R) =
=
1
2
(ω(t) + ω(h− t)− ω(h) + ω(t) + ω(h)− ω(h− t)) = ω(t),
при t > h
‖xh(·)− xh(· − t)‖L1(R) = ω(h).
Значит,
‖xh‖Hω1 (R) = 1.
Теперь найдем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
. Имеем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
0∫
−∞
+
h∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt
∣∣∣∣∣∣ du.
Для u < 0
xh(u)− xh(u+ t) =
0, 0 ≤ t < −u,
−1
2
ω′(t+ u), −u < t < h− u,
0, t > h− u.
Если 0 < u < h, то
xh(u)− xh(u+ t) =
1
2
ω′(u)− 1
2
ω′(u+ t), 0 ≤ t < h− u,
1
2
ω′(u), t > h− u.
Таким образом,
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα 0∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dt du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1165
+Aα
h∫
0
h−u∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dtdu+Aα
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h−u
1
t1+α
dt du
=
=
1
2
Aα(I1 + I2 + I3).
Вычислим I1:
I1 =
0∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dtdu =
∞∫
0
h+u∫
u
ω′(t− u)
t1+α
dtdu =
=
h∫
0
dt
t1+α
t∫
0
ω′(t− u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
t∫
t−h
ω′(t− u)du =
=
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+ ω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
=
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Теперь вычислим I2:
I2 =
h∫
0
h−u∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dtdu =
h∫
0
h−t∫
0
ω′(u)− ω′(t+ u)
t1+α
dudt =
=
h∫
0
ω(h− t)− ω(h) + ω(t)
t1+α
dt.
Наконец, найдем I3:
I3 =
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h−u
1
t1+α
dtdu =
h∫
0
dt
t1+α
h∫
h−t
ω′(u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
h∫
0
ω′(u)du =
=
h∫
0
ω(h)− ω(h− t)
t1+α
dt+ ω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
=
h∫
0
ω(h)− ω(h− t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Таким образом,
I1 + I2 + I3 = 2
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
Следовательно,
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
h∫
0
ω(t)
t1+α
dt+
ω(h)
αhα
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1166 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
Теперь найдем
∥∥∥Dα
−,hxh
∥∥∥
L1(R)
. Имеем
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
= Aα
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
h
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt
∣∣∣∣∣∣ du.
Поскольку t > h, то
xh(u)− xh(u+ t) =
−1
2
ω′(t+ u), −t < u < h− t,
1
2
ω′(u), 0 < u < h,
0, u 6∈ (−t, h− t) ∪ (0, h),
т. е. при u < −h
xh(u)− xh(u+ t) =
−
1
2
ω′(t+ u), −u < t < h− u,
0, t 6∈ (−u, h− u),
при −h < u < 0
xh(u)− xh(u+ t) =
−
1
2
ω′(t+ u), h < t < h− u,
0, t 6∈ (h, h− u),
при 0 < u < h
xh(u)− xh(u+ t) =
1
2
ω′(u), h < t <∞,
0, t < h.
Таким образом,
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα −h∫
−∞
h−u∫
−u
ω′(t+ u)
t1+α
dt du+
+Aα
0∫
−h
h−u∫
h
ω′(t+ u)
t1+α
dtdu+Aα
h∫
0
ω′(u)
∞∫
h
1
t1+α
dt du
.
Изменяя порядок интегрирования, получаем
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R)
=
1
2
Aα ∞∫
h
dt
t1+α
h−t∫
−t
ω′(t+ u)du+
∞∫
h
dt
t1+α
h∫
0
ω′(u)du
=
= Aαω(h)
∞∫
h
dt
t1+α
= Aα
ω(h)
αhα
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОЦЕНКИ НОРМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДУЛИ . . . 1167
Используя значения
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
и ‖xh‖Hω1 (R) , имеем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R)
= Aα
h∫
0
ω(u)
u1+α
du+
ω(h)
αhα
=
=
∥∥Dα
±,hxh
∥∥
L1(R)
+Aα ‖xh‖Hω1 (R)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du.
Точность неравенства при p = 1 для G = R доказана.
Докажем теперь точность неравенства для G = R+.
Для сужения xh на полуось R+, за которым сохраним обозначение xh, имеем
‖xh‖Hω1 (R+) =
1
2
и
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R+)
= Aα
h∫
0
∞∫
h
xh(u)− xh(u+ t)
t1+α
dt du =
=
Aα
2
h∫
0
ω′(u)du
∞∫
h
dt
t1+α
=
Aα
2
ω(h)
αhα
.
Вычисляя
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R+)
, получаем
∥∥Dα
−xh
∥∥
L1(R+)
=
Aα
2
h∫
0
ω (u)
u1+α
du+
ω(h)
αhα
=
=
∥∥Dα
−,hxh
∥∥
L1(R+)
+Aα ‖xh‖Hω1 (R+)
h∫
0
ω (u)
u1+α
du.
Точность неравенства при p = 1 доказана.
Отметим, что
∥∥Dα
±,hx
∥∥
Lp(G)
≤ Aα
∞∫
h
‖x(u)− x(u∓ t)‖Lp(G)
t1+α
dt ≤
≤ Aα
∞∫
h
2 ‖x‖Lp(G)
t1+α
dt = Aα
2 ‖x‖Lp(G)
αhα
.
Поэтому из доказанной теоремы вытекает неравенство (6), из которого, как уже
отмечалось, следует неравенство (9).
1. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстре-
мальные задачи // Успехи мат. наук. – 1996. – 51, № 6. – С. 88 – 124.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1168 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ЧУРИЛОВА
2. Арестов В. В., Габушин В. Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограничен-
ными // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 11. – С. 42 – 63.
3. Бабенко В. Ф. Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных
периодических функций и их приложениям // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 9 – 29.
4. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
5. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Тheory. – 1979. – 4. –
P. 19 – 34.
6. Бабенко В. Ф., Чурiлова М. Г. Про нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2001. – Вип. 6. – С. 16 – 20.
7. Babenko V. F., Churilova M. G. On the Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives // East J.
Approxim. – 2002. – 8, № 4. – P. 437 – 446.
8. Бабенко В. Ф., Чурилова М. С. О неравенствах для Lp-норм дробных производных на оси // Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2007. – Вип. 12. – С. 26 – 30.
9. Бабенко В. Ф., Чурiлова М. С. Про нерiвностi типу Колмогорова для дробових похiдних функцiй,
заданих на дiйснiй осi // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 13. – С. 28 – 34.
10. Гейсберг С. П. Обобщение неравенства Адамара. Исследования по некоторым вопросам конструк-
тивной теории функций // Сб. научн. трудов ЛОМИ. – 1965. – 50. – C. 42 – 54.
11. Magarill-Il’jaev G. G., Tikhomirov V. M. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the
half-line // Anal. Math. – 1981. – 7. – P. 37 – 47.
12. Чурилова М. С. О неравенствах типа Ландау – Колмогорова для дробных производных на отрезке
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2005. – № 6, вип. 10. – С. 127 – 134.
13. Чурилова М. С. О неравенствах для дробных производных банаховозначных функций из гельде-
ровых пространств // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2006. – № 11, вип. 10. – С. 120 – 127.
14. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
15. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. – 1967. – 1, № 2. –
С. 137 – 148.
Получено 05.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2794 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:27Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/57/d3defd809ba7fe5c4d090381038ba457.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27942020-03-18T19:36:55Z Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения Babenko, V. F. Churilova, M. S. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. For functions defined on the real line or a half-line, we obtain Kolmogorov-type inequalities that estimate the $L_p$-norms $(1 \leq p < \infty)$ of fractional derivatives in terms of the Lp-norms of functions (or the $L_p$-norms of their truncated derivatives) and their $L_p$-moduli of continuity and establish their sharpness for $p = 1$. Applications of the obtained inequalities are given. Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють $L_p$-норми $(1 \leq p < \infty)$ дробових похiдних через $L_p$-норми функцiй (або $L_p$-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi $L_p$-модулi неперервностi, та при $p = 1$ встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2794 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1155-1168 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1155-1168 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2794/2341 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2794/2342 Copyright (c) 2011 Babenko V. F.; Churilova M. S. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Churilova, M. S. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. Бабенко, В. Ф. Чурилова, М. С. Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title | Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title_alt | Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения |
| title_full | Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title_fullStr | Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title_full_unstemmed | Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title_short | Estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| title_sort | estimates for the norms of fractional derivatives in terms of integral moduli of continuity and their applications |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2794 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT churilovams estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT babenkovf estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT čurilovams estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT babenkovf estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT čurilovams estimatesforthenormsoffractionalderivativesintermsofintegralmoduliofcontinuityandtheirapplications AT babenkovf ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT churilovams ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT babenkovf ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT čurilovams ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT babenkovf ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ AT čurilovams ocenkinormdrobnyhproizvodnyhčerezintegralʹnyemodulinepreryvnostiiihpriloženiâ |