Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation
We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2795 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508770917941248 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98 + 517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ
НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В L2-ВЕРСИИ
We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this
operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation.
Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах
вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона.
Классический конечномерный лапласиан изначально появился в задачах математи-
ческой физики в виде
∆u = div(gradu). (1)
Отсутствие в бесконечномерных пространствах инвариантной меры и задание
классического лапласиана в виде (∆u)(x) = j(u′′(x)) (j(A) = trA; более общо
j(A) = trCA, C > 0) инициировало различные версии бесконечномерного обоб-
щения лапласиана для функций на гильбертовом пространстве H, основанные на
его представлении в виде (∆u)(x) = j(u′′(x)), где j — неотрицательный линейный
функционал, определенный на пространстве самосопряженных линейных ограни-
ченных операторов в H (или на некотором его подпространстве) (см., например,
работы [1 – 5]).
Начиная с 90-х годов прошлого века появилась серия работ, посвященных раз-
личным „существенно бесконечномерным” версиям лапласиана (см., например, ра-
боты [6 – 8]). Предлагаемая в настоящей работе версия обобщения оператора Лап-
ласа не исключает конечномерный случай, является вариантом обобщения естест-
венного его задания в форме (1) и, насколько известно автору, ранее не исследо-
валась.
В качестве применения предложенной в статье версии оператора Лапласа рас-
смотрена задача Дирихле. При этом для определенного класса замкнутых поверх-
ностей коразмерности 1 предложен альтернативный подход построения поверх-
ностной меры.
1. Лапласиан по мере в L2-версии. Пусть H — сепарабельное вещественное
гильбертово пространство (dimH 6 ∞); µ — конечная (неотрицательная) боре-
левская мера на H. Условимся говорить, что (вещественнозначная) функция f
(соответственно, векторное поле X), определенная на всем H, принадлежит классу
C1
b = C1
b (H) (соответственно, C1
b (H;H)), если f (соответственно, X) имеет в каж-
дой точке x ∈ H сильную производную, которая вместе с самой f (соответственно,
с X) непрерывна и ограничена на всемH; пусть также Cb = Cb(H) — пространство
непрерывных и ограниченных функций наH. По аналогии определяется Cb(H;H).
ПустьG— ограниченная область вH с границей S = ∂G. СимволомC1(G) обо-
значим семейство функций в G, допускающих продолжение на все H до функций
класса C1
b , а символом C1
0 (G) — семейство функций из C1(G), носители которых
лежат в G. Аналогично определяем C(G) и C0(G); C(G;H), C1(G;H).
Через L2(G) обозначим пространство интегрируемых с квадратом измеримых
функций на G по отношению к мере µ|G. Аналогично определяется гильберто-
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1169
1170 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
во пространство L2(G;H) квадратично интегрируемых векторных полей на G.
При этом норму в L2(G;H) задаем и обозначаем согласно формуле |||Z|||2 =
=
∫
G
‖Z(x)‖2dµ, а интегрируемость векторного поля трактуем по Бохнеру (см.,
например, [9]).
Предложение 1. Пусть G — область в H, для которой µ(∂G) = 0. Тогда
C1
0 (G) плотно в L2(G).
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого α > 0 и любого бо-
релевского множества A ⊂ G \ (∂G)α (здесь и в дальнейшем Cα — α-окрестность
множества C) индикатор jA множества A аппроксимируется в L2(G) функциями
из C1
0 (G). При этом вследствие радоновости меры µ в качестве A можно взять
компакт.
Зафиксируем δ > 0. Тогда найдется β ∈
(
0;
α
2
)
такое, что µ(A2β \ A) < δ (A
замкнуто, а потому A =
∞⋂
n=1
A1/n). Отсюда следует существование множества B —
объединения конечного числа шаров радиуса β : B =
m⋃
k=1
Bk(xk;β), для которого
A ⊂ B ⊂ Bβ ⊂ A2β ⊂ G, и достаточно для каждого ε ∈
(
0;
β
2
)
уметь строить
функцию u ∈ C1
0 (G), для которой |u(x)− 1| < ε для x ∈ B; u(x) = 0 вне B2ε.
Для одного шара B(xk; ε) = {x | ‖x − xk‖ < ε} возьмем функцию vk(x) =
= h(‖x−xk‖), h ∈ C1(R), h(t) = 1 при t 6 ε, h(t) = 0 при t > 2ε, 0 6 h(t) 6 1 при
всех t ∈ R. Пусть f(~y) = max{y1, . . . , ym} — функция на Rm. Тогда f ∈ C(Rm);
f(~0) = 0. Пусть g ∈ C1(Rm) и при этом g(~0) = f(~0) = 0; |g(~y) − f(~y)| < ε для
каждого ~y ∈ {~y | 0 6 yk 6 1, k = 1, . . . ,m}. Тогда u(x) = g(v1(x), . . . , vm(x))
удовлетворяет требуемым условиям.
В дальнейшем всегда будем предполагать
µ(∂G) = 0. (2)
Для функций u ∈ C1(G) определено векторное поле gradu ∈ C(G;H), что
позволяет определить на L2(G) оператор grad : L2(G) → L2(G;H) с областью
определения C1(G).
Пусть граница S области G представляет собой гладкое вложенное в H под-
многообразие коразмерности 1 (см., например, [10]). Обозначим через n векторное
поле класса C1
b на H, которое является продолжением поля единичной внешней
нормали границы S.
Пусть Φn
t — поток векторного поля n; семейство мер µt определим равенством
µt(A) = µ(Φn
t A) для всех борелевских множеств A ∈ B(H). Семейство мер µt
слабо сходится к мере µ при t→ 0. В дальнейшем будем предполагать дифференци-
руемость меры µ вдоль поля n в следующем смысле: семейство знакопеременных
мер
1
t
(µt − µ) слабо фундаментально при t→ 0, т. е. для всех f ∈ Cb существует
limt→0
1
t
(∫
H
fdµt −
∫
H
fdµ
)
, что, в силу слабой полноты пространства боре-
левских мер на H, приводит к существованию (знакопеременной) борелевской
меры ϑ такой, что для всех f ∈ Cb limt→0
1
t
(∫
H
fdµt −
∫
H
fdµ
)
=
∫
H
fdϑ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1171
ϑ = dnµ. При этом предполагается, что ϑ ≺ µ, т. е. существует логарифмическая
производная ρnµ =
dϑ
dµ
.
Существование такого векторного поля n постулируется и представляет собой
дополнительное условие на гладкость границы S. В дальнейшем кратко говорим о
„согласовании S с мерой µ” (соответствующее поле нормали n назовем „согласо-
ванным с мерой µ”). Далее, при дополнительных условиях на меру µ будет доказана
замыкаемость оператора grad (см. п. 3). Дополнительное условие (2), в силу пред-
ложения 1, позволяет корректно ввести оператор div = −(grad)∗ : L2(G;H) →
→ L2(G). Лапласиан определим формулой ∆ = div ◦grad.
2. Интегрирование по частям. Пусть G — ограниченная область в H с гладкой
границей S = ∂G, согласованной с мерой µ. Пусть также выполнено условие (2).
Предложение 2. Пусть u ∈ C1
b . Тогда имеет место равенство
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
G
(gradu(x),n(x))dµ+
∫
G
u · ρnµdµ. (3)
Доказательство. Пусть u ∈ C1
b . Тогда для t 6= 0 имеем:
1
t
∫
Φn
t G
udµ−
∫
G
udµ
=
1
t
∫
G
u(Φn
t x)dµt −
∫
G
udµ
=
=
1
t
∫
G
(u(Φn
t x)− u(x))dµt +
1
t
∫
G
udµt −
∫
G
udµ
. (4)
Докажем, что второе слагаемое в правой части равенства (4) стремится к
∫
G
udϑ
при t → 0. Действительно, из согласования границы S и меры µ следует спра-
ведливость для каждого борелевского множества A ∈ B(H) равенства ϑ(A) =
= limt→0
1
t
(µt(A)−µ(A)), а потому для функции v = u · jG (здесь jG — индикатор
G) имеем limt→0
1
t
(∫
H
vdµt −
∫
H
vdµ
)
=
∫
H
vdϑ.
Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части (4). При t → 0 функции
gt(x) =
1
t
(u(Φn
t x)−u(x))→ (gradu(x),n(x)) = g0(x); gt ·jG → g0 ·jG поточечно;
gt равномерно ограничены на H. Поскольку для каждого A ∈ B(H) µt(A) →
→ µ(A), t → 0, в силу теоремы 1.2.19 [11] имеет место равенство
∫
H
g0 · jGdµ =
= limt→0
∫
H
gt · jGdµt.
Таким образом, существует предел правой части равенства (4), равный∫
G
(gradu(x),n(x))dµ +
∫
G
u · ρnµdµ, откуда следует существование производной
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ и равенство (3).
В случае, когда u является первым интегралом векторного поля n, формула (3)
упрощается и принимает вид
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
G
u · ρnµdµ. Отметим, что по-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1172 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
следняя формула, как следует из предыдущих рассуждений, остается в силе и в
случае, когда u является ограниченной непрерывной функцией в H, постоянной на
траекториях поля n.
Цель последующих рассуждений — построение на S поверхностной меры σ,
ассоциированной с исходной мерой µ, и получение варианта формулы интегриро-
вания по частям.
Лемма 1. Пусть S = ∂G согласована с мерой µ. Тогда существует n —
продолжение на H поля единичной внешней нормали S такое, что для любой
функции f ∈ C(S) (соответственно, f ∈ C1(S)) существует f̂ — продолжение
f на все H, для которого f̂ ∈ Cb (соотвественно, f̂ ∈ C1
b ) и f̂ постоянна на
траекториях поля n.
Доказательство. Векторное поле ищем в виде n(x) = ϕ(x)n1(x), где n1 —
векторное поле, существование которого гарантировано определением согласова-
ния S с мерой µ, а ϕ — гладкая функция на H. Более точно, если Φ(t, x) — поток
поля n1, то для y ∈ S задаем n(Φ(t, y)) = n1(Φ(t, y))h(t), где h(s) = 1 при
s ∈ [−δ; δ], h(s) = 0 вне (−2δ; 2δ) при некотором δ > 0. При этом продолжение f̂
формируется по формуле f̂(Φ(t, y)) = f(y)h
(
t
3
)
, y ∈ S, а для тех x ∈ H, которые
не представимы в виде x = Φ(t, y), y ∈ S, полагаем n(x) = 0, f̂(x) = 0. Заме-
тим, что путем уменьшения δ > 0 носитель векторного поля n можно поместить в
заранее заданную окрестность границы S.
Непрерывность и ограниченность функции f̂ очевидны, и единственную слож-
ность представляет обоснование ее непрерывной дифференцируемости и ограни-
ченности производной f̂ ′ в случае, когда f ∈ C1(S).
Гладкость потока Φ(t, x) по совокупности переменных следует, например, из
теоремы 1 [10, с. 90], а анализ доказательства той же теоремы приводит к выводу
о том, что частные производные потока Φ(t, x) по обеим переменным равномерно
ограничены на множестве {〈t;x〉} = [−t0; t0]×H.
Для x ∈ supp f̂ определим t(x) формулой Φ(t(x), x) ∈ S. Существование и
единственность такого t(x) следует из приведенной выше конструкции f̂ . В силу
теоремы о неявной функции t(·) является функцией класса C1 (при этом учи-
тывается тот факт, что S — вложенное в H гладкое многообразие). Стандартные
выкладки приводят к формуле
grad t(x) = −
(
∂Φ
∂x
(t(x), x)
)∗
n1(Φ(t(x), x)). (5)
Положим Ψ(x) = Φ(t(x), x). Тогда Ψ — отображение класса C1 и при этом
Ψ′(x) =
∂Φ
∂t
(t(x), x) · t′(x) +
∂Φ
∂x
(t(x), x) =
∂Φ
∂x
(t(x), x) + n1(Φ(t(x), x)) · t′(x).
В силу (5) получаем
Ψ′(x) =
(
I − n1(Φ(t(x), x))
(
n1(Φ(t(x), x))
)∗)∂Φ
∂x
(t(x), x).
Поэтому существует константаC, для которой при всех x ∈ supp f̂ имеем ‖Ψ′(x)‖ 6
6 C
∥∥∥∥∂Φ
∂x
(t(x), x)
∥∥∥∥.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1173
Если g — функция из C1
b , ограничение которой на S и есть f, то f̂(x) = g(Ψ(x))
и, следовательно, f̂ ∈ C1
b наряду с g.
Замечание 1. Векторное поле n = ϕ · n1, полученное при доказательстве
леммы 1, также согласовано с мерой µ, и при этом ρnµ = ϕ · ρn1
µ + n1ϕ.
Действительно, если Φt — поток векторного поля n1, то согласованность поля
n1 с мерой µ эквивалентна равенству
∫
H
(f ◦ Φt − f)dµ = −
t∫
0
ds
∫
H
(f ◦ Φs) · ρn1
µ dµ, (6)
справедливому для всех f ∈ Cb. Подходящей аппроксимацией f ∈ Cb функци-
ями из класса C1
b доказывается, что равенство (6), а поэтому и определяющее
ρn1
µ равенство
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
H
fdµt =
∫
H
f · ρn1
µ dµ, достаточно проверять лишь для
f ∈ C1
b . Для функций f ∈ C1
b
∫
H
f · ρn1
µ dµ = −
∫
H
n1fdµ, откуда в силу равен-
ства −
∫
H
nfdµ = −
∫
H
(n1(ϕf) − f · n1ϕ)dµ =
∫
H
(ϕ · ρn1
µ + n1ϕ)fdµ следует
согласование поля n с мерой µ.
Пусть векторное поле n выбрано в соответствии с леммой 1.
Для каждой ограниченной непрерывной функции f на S определим число
In(f) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
f̂dµ =
∫
G
f̂ρnµdµ. (7)
In — линейный функционал на пространстве C(S). Он неотрицателен в силу пер-
вого равенства в (7) и имеет свойство: из поточечной монотонной сходимости
fm ↘ 0 следует In(fm) ↘ 0, m → ∞, в силу второго равенства. Поэтому, как
следует из схемы Даниэля построения интеграла Лебега (см. [12, с. 150]), сущест-
вует и притом единственная мера σ на борелевской σ-алгебре в S, для которой
In(f) =
∫
S
fdσ для всех f ∈ C(S).
Однако функционал In и мера σ формально зависят от выбора поля нормали n.
Лемма 2. Пусть выполнено условие
µ(Sε) = O(ε), ε→ 0, (8)
где Sε — ε-окрестность поверхности S. Пусть n1, n2 — два векторных поля класса
C1
b на H, которые являются продолжениями поля единичной внешней нормали на
S. Пусть, далее, fk, k = 1, 2, — ограниченные непрерывные функции на H, посто-
янные на траекториях векторного поля nk, представляющие собой продолжение
заданной на S функции g. Тогда
In1
(g) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n1
t G
f1dµ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
f2dµ = In2
(g). (9)
Доказательство. В [13] доказано, что в условиях леммы имеет место равен-
ство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1174 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
d
dt
∣∣∣
t=0
µ(Φn1
t G) =
d
dt
∣∣∣
t=0
µ(Φn2
t G).
Это следует из соотношения µ((Φn1
t G)∆(Φn2
t G)) = o(t) при t → 0, откуда также
следует равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n1
t G
f1dµ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
f1dµ. (10)
Если функция g = f1|S = f2|S равномерно непрерывна на S, то supx∈Sε
|f1(x)−
− f2(x)| → 0 при ε→ 0, поэтому
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
n2
t G
(f1 − f2)dµ = 0. (11)
Таким образом, в силу равенства (10) для равномерно непрерывных на S функций
g формула (9) установлена. Но этого достаточно для совпадения соответствующих
мер на S, поэтому равенство (9) имеет место для всех ограниченных непрерывных
функций g на S.
Тем самым на S корректно определена (конечная) поверхностная мера σ и для
непрерывных ограниченных на S функций имеет место равенство∫
S
gdσ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
ĝdµ =
∫
G
ĝρnµdµ. (12)
Из (11) также следует, что для равномерно непрерывных в окрестности S функций
u имеет место равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φn
t G
udµ =
∫
S
udσ, (13)
а для функций класса C1
b , в силу предложения 2∫
S
udσ =
∫
G
(gradu(·),n(·))dµ+
∫
G
uρnµdµ. (14)
Итак, получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть G — ограниченная область в H, граница которой S = ∂G
согласована с мерой µ и выполнено условие µ(Sε) = O(ε). Тогда на S существует
и притом единственная конечная борелевская мера σ, для которой имеют место
равенства (12) (здесь ĝ — продолжение g на H, построенное согласно лемме 1).
При этом для равномерно непрерывных в окрестности S функций u выполнено
равенство (13), а для функций класса C1
b имеет место формула (14).
Замечание 2. Классический конечномерный вариант формулы (14) в случае
инвариантной меры эквивалентен формуле Гаусса – Остроградского.
3. Исследование оператора grad. Напомним, что вектор a ∈ H называется
допустимым сдвигом меры µ, если µa ≺ µ, где µa(A) = µ{x − a | x ∈ A} (для
всех борелевских множеств A ∈ B(H)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1175
Наложим на меру µ дополнительное условие (∗): пусть существуют a ∈ H,
a 6= 0, и δ > 0 такие, что для каждого s ∈ (0; δ) вектор sa является допустимым
сдвигом меры µ и при этом функции
dµsa
dµ
равномерно относительно s ∈ (0; δ)
ограничены (в существенном) на шарах в H, т. е. для каждого r > 0 существует
C > 0 такое, что при всех 〈s;x〉 ∈ (0; δ) × {x | ‖x‖ 6 r} выполнено неравенство∣∣∣∣dµsadµ
∣∣∣∣ 6 C почти всюду.
Предложение 3. Пусть мера µ удовлетворяет условию (∗). Тогда сущест-
вует C1 > 0 такое, что для всех u ∈ C1
0 (G) имеет место неравенство ‖u‖L2(G) 6
6 C1|||gradu|||L2(G;H).
Доказательство. Не теряя общности можно считать, что ‖a‖ = d, где d =
= diamG, δ = 1. Тогда для всех x ∈ G, u ∈ C1
0 (G) имеем u(x+a) = 0 (доопределяя
u вне G нулем), поэтому для x ∈ G −u2(x) = 2
∫ 1
0
u(x+ sa)(gradu(x+ sa), a)ds,
∫
H
u2dµ 6 2
∫
H
dµ
1∫
0
|u(x+ sa)| · |(gradu(x+ sa), a)|ds =
= 2
1∫
0
ds
∫
H
|u(x)| · |(gradu(x), a)|dµsa
dµ
(x)dµ 6
6 2Cd · ‖u‖L2(G) · |||gradu|||L2(G;H).
Отсюда ‖u‖L2(G) 6 2Cd|||gradu|||L2(G;H).
Пусть в дальнейшем мера µ удовлетворяет условиям:
1) для меры µ выполнено условие (∗);
2) существует полная в H система векторов, вдоль которых µ L2-дифференци-
руема (т. е. таких векторов h ∈ H, для которых dhµ ≺ µ и соответствующая
плотность ρhµ ∈ L2(H)).
Примером такой меры является гауссова мера, корреляционный оператор которой
имеет плотный образ вH [11]. Анализ выполнения условий 1, 2 для других классов
мер в бесконечномерном гильбертовом пространстве автором не проводился.
Относительно области G далее предполагается следующее:
3) ∂G согласована с мерой µ;
4) µ(Sε) = O(ε) при ε→ 0.
Предложение 4. Пусть, дополнительно, ρnµ|G ∈ L2(G). Тогда оператор
grad : L2(G)→ L2(G;H) (с областью определения C1(G)) замыкаем.
Доказательство. Пусть um ∈ C1(G), um → 0, gradum → Z 6= 0. Полагая
δ =
∫
G
‖Z(·)‖2dµ > 0, выбираем ε > 0 так, что
∫
G\Sε
‖Z(·)‖2dµ > δ
2
.
Пусть ϕ ∈ C1
0 (G) такова, что 0 6 ϕ(x) 6 1 и при этом ϕ(x) = 0 при x ∈ Sε/2,
ϕ(x) = 1 при x ∈ G \ Sε. Тогда ϕum → 0 (в L2(G)), gradϕum = ϕgradum +
+ um gradϕ → ϕZ. При этом |||ϕZ||| >
√
δ/2 > 0 и потому, не теряя общности,
можно считать, что um ∈ C1
0 (G), причем suppum ⊂ G \ Sε/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1176 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Но тогда, в силу (14), для любого согласованного с мерой µ поля нормали
n1 имеем 0 =
∫
S
umdσ =
∫
G
(gradum(·),n1(·))dµ +
∫
G
umρ
n1
µ dµ. Если при этом
ρn1
µ |G ∈ L2(G), то второе слагаемое стремится к 0 при m → ∞, а первое — к∫
G
(Z,n1)dµ. Согласно замечанию 1 в качестве поля n1 можно взять поле ϕ·h+ψ·n,
где ϕ,ψ ∈ C1
b , suppψ ⊂ Sδ, suppϕ ⊂ G\Sδ, δ > 0 и мера µ L2-дифференцируема
вдоль h. Тогда ρn1
µ |G ∈ L2(G) и при δ ∈ (0; ε/2) получим равенство
∫
G
(Z, ϕh)dµ =
= 0.
Поэтому в силу условий 2 – 4, наложенных на меру и область в данном пункте,
Z ортогонально в L2(G;H) всем возможным линейным комбинациям индикаторов
открытых подмножеств в G (с векторными коэффициентами), которые плотны в
L2(G;H). Получили противоречие с исходным допущением.
4. Оператор следа. Пусть u ∈ C1(G), ϕ ∈ C1
0 (G), ϕ(x) = 1 для x ∈ G \ Sε.
Тогда в силу предложения 3 ‖uϕ‖ 6 C1|||grad(uϕ)|||, причем константа C1 не
зависит от выбора ϕ.
Далее |||grad(uϕ)||| 6 ‖(u‖gradϕ‖)‖L2(G)+‖(ϕ‖gradu‖)‖L2(G). Второе сла-
гаемое в правой части последнего неравенства оценивается сверху |||gradu|||.
Выбирая специальным образом последовательность ϕm, можно для любого k > 1
обеспечить выполнение условий: для всех m ϕm(x) > 0, ϕm(x) = 1 при x ∈
∈ Φn
−1/mG, ‖gradϕm(x)‖ 6 km. Следовательно,∫
G
|u| · ‖gradϕm‖dµ 6 km
∫
G\Φn
−1/m
G
|u|dµ,
∫
G
|u · ϕm|dµ 6 C1
∫
G
ϕ‖gradu‖dµ+ km
∫
G\Φn
−1/m
G
|u|dµ
.
Предельным переходом, учитывая произвольность k > 1, получаем
‖u‖L1(G) 6 C1
(
|||gradu|||L1(G;H) + ‖u|S‖L1(S)
)
. (15)
Здесь |||Z|||L1(G;H) =
∫
G
‖Z(x)‖dµ.
Пусть, далее, ρnµ|G ∈ L∞(G), u ∈ C1(G). Тогда в силу (15) имеем
‖u|S‖L2(S) =
∫
S
u2dσ
1/2
6
6
∫
G
∣∣(grad (u2
)
,n
)∣∣ dµ
1/2
+
∫
G
|u2ρnµ|dµ
1/2
6
6 C‖u‖+ C̃|||gradu||| (16)
(константы C, C̃ от функции u ∈ C1(G) не зависят!).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ . . . 1177
Определение 1. Оператором следа γ : L2(G) → L2(S) с областью опреде-
ления D
(
grad
)
назовем продолжение оператора C1(G) 3 u 7→ u|S , корректное
в силу (16).
Неравенство (16) для u ∈ D
(
grad
)
переходит в следующее:
‖γ(u)‖ 6 C‖u‖+ C̃|||gradu|||, (17)
а при предельном переходе из (15) получаем
‖u‖L1(G) 6 C1
(
|||gradu|||L1(G;H) + ‖γ(u)‖L1(S)
)
. (18)
5. Задача Дирихле. Как и в п. 1, определим операторы
div = −(grad)∗ : L2(G;H)→ L2(G), ∆ = div ◦grad
и поставим первую краевую задачу поиска функции u ∈ D(∆), для которой
∆u = f, f ∈ L2(G), (19)
γ(u) = g, g ∈ γ(D(∆)). (20)
Задачу (19), (20) можно свести к задаче (19) – (21) с условием
γ(u) = 0 (21)
(берем любое v ∈ D(∆), для которого g = γ(v), и переходим к u1 = u− v).
Уравнение (19), вследствие плотности C1
0 (G) в L2(G) (см. предложение 1),
эквивалентно равенству
∫
G
(
gradu,gradϕ
)
dµ = −
∫
G
fϕdµ, которое должно вы-
полняться для всех ϕ ∈ C1
0 (G). Обозначим через W замыкание
{
gradϕ | ϕ ∈
∈ C1
0 (G)
}
в L2(G;H). Очевидно, W ⊂ Im
(
grad
)
.
В условиях предложения 3 функционал α : gradϕ 7→ −
∫
G
fϕdµ ограничен на
плотном в W линейном многообразии
{
gradϕ | ϕ ∈ C1
0 (G)
}
. Поэтому по теореме
Рисса существует Z ∈W такое, что α(gradϕ) =
∫
G
(Z,gradϕ)dµ.
Если последовательность ϕm ∈ C1
0 (G) такова, что gradϕm → Z, то в силу
предложения 3 существует limϕm = u. Значит Z = gradu, а в силу неравен-
ства (17) γ(u) = limϕm|S = 0.
Для проверки единственности решения задачи (19), (20) заметим, что уравне-
ние ∆u = 0 равносильно уравнению gradu = 0. Если, дополнительно, γ(u) = 0,
то существует последовательность um ∈ C1(G) такая, что um → u в L2(G),
gradum → gradu в L2(G;H), um|S → 0 в L2(S).Отсюда следует сходимость ука-
занных последовательностей в соответствующих пространствах L1(G), L1(G;H),
L1(S), и в силу неравенства (18) приходим к нулевому решению.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1 – 4 из п. 3 и ρnµ|G ∈ L∞(G). Тогда
задача Дирихле (19), (20) имеет и притом единственное решение.
Замечание 3. Можно доказать, что условие (8) в формулировке леммы 2 и в
последующем тексте излишне и его можно заменить более слабым условием (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1178 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
1. Gross L. Potential theory on Hilbert space // J. Funct. Anal. – 1967. – 1. – P. 123 – 181.
2. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические
уравнения // Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 4. – С. 3 – 54.
3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.
4. Немировский А. С., Шилов Г. Е. Об аксиоматическом описании оператора Лапласа для функций
на гильбертовом пространстве // Функцион. анализ и его прил. – 1969. – 3, № 3. – С. 79 – 85.
5. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными
эллиптическими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781 – 784.
6. Accardi L., Smolianov O. G. On Laplacians and traces // Conf. Sem. Univ. Bari. – 1993. – 250. – P. 1 – 25.
7. Accardi L., Barhoumi A., Ouerdiane H. A quantum approach to Laplace operators // Infin. Dimens. Anal.
Quantum Probab. Relat. Top. – 2006. – 9. – P. 215 – 248.
8. Accardi L., Ji U. C., Saito K. Exotic Laplacians and associated stohastic processes // Infin. Dimens.
Anal. Quantum Probab. Relat. Top. – 2009. – 12. – P. 1 – 19.
9. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
10. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
11. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – Москва; Ижевск: РХД, 2008.
– 544 с.
12. Богачев В. И. Основы теории меры. – Москва; Ижевск: РХД, 2006. – Т. 2. – 680 с.
13. Богданський Ю. В. Бездивергентний варiант формули Гаусса – Остроградського на нескiнченно-
вимiрних многовидах // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2008. – № 4. – С. 132 – 138.
Получено 22.02.11,
после доработки — 24.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2795 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:30Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b1/d89063154764243f002bdbc5e65d01b1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27952020-03-18T19:36:55Z Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L 2 -версии Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. We propose a version of the Laplace operator for functions on a Hilbert space with measure. In terms of this operator, we investigate the Dirichlet problem for the Poisson equation. Запропоновано варiант оператора Лапласа для функцiй на гiльбертовому просторi з мiрою. В термiнах вказаного оператора дослiджено задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2795 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1169-1178 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1169-1178 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2795/2343 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2795/2344 Copyright (c) 2011 Bogdanskii Yu. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_alt | Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в L 2 -версии |
| title_full | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_fullStr | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_full_unstemmed | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_short | Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L 2-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation |
| title_sort | laplacian with respect to a measure on a hilbert space and an l 2-version of the dirichlet problem for the poisson equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2795 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv laplacianwithrespecttoameasureonahilbertspaceandanl2versionofthedirichletproblemforthepoissonequation AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttoameasureonahilbertspaceandanl2versionofthedirichletproblemforthepoissonequation AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttoameasureonahilbertspaceandanl2versionofthedirichletproblemforthepoissonequation AT bogdanskiiyuv laplasianpomerenagilʹbertovomprostranstveizadačadirihledlâuravneniâpuassonavl2versii AT bogdanskijûv laplasianpomerenagilʹbertovomprostranstveizadačadirihledlâuravneniâpuassonavl2versii AT bogdanskijûv laplasianpomerenagilʹbertovomprostranstveizadačadirihledlâuravneniâpuassonavl2versii |