Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues
The manifold of symmetric real matrices with fixed multiplicities of eigenvalues was considered for the first time by V. Arnold. In the case of compact real self-adjoint operators, analogous results were obtained by Japanese mathematicians D. Fujiwara, M. Tanikawa, and S. Yukita. They introduced a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2796 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508772789649408 |
|---|---|
| author | Bondar, A. A. Dymarskii, Ya. M. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. |
| author_facet | Bondar, A. A. Dymarskii, Ya. M. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. |
| author_sort | Bondar, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | The manifold of symmetric real matrices with fixed multiplicities of eigenvalues was considered for the first time by V. Arnold.
In the case of compact real self-adjoint operators, analogous results were obtained by Japanese mathematicians D. Fujiwara, M. Tanikawa, and S. Yukita.
They introduced a special local diffeomorphism that maps Arnold's submanifold to a flat subspace. The properties of the indicated diffeomorphism were further studied by Ya. Dymarskii.
In the present paper, we describe the smooth structure of submanifolds of finite-dimensional and compact operators of the general form in which a selected eigenvalue is associated with a single Jordan block. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.643.8
А. А. Бондарь (Луган. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
Я. М. Дымарский (Луган. гос. ун-т внутренних дел им. Э. А. Дидоренко)
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С ФИКСИРОВАННЫМИ КРАТНОСТЯМИ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
The manifold of symmetric real matrices with fixed multiplicities of eigenvalues was considered for the first ti-
me by V. Arnold. In the case of compact real self-adjoint operators, analogous results were obtained by Japanese
mathematicians D. Fujiwara, M. Tanikawa, and S. Yukita. They introduced a special local diffeomorphism that
maps Arnold’s submanifold to a flat subspace. The properties of the indicated diffeomorphism were further
studied by Ya. Dymarskii. In the present paper, we describe the smooth structure of submanifolds of finite-
dimensional and compact operators of the general form in which a selected eigenvalue is associated with a
single Jordan block.
Многовид симетричних дiйсних матриць з фiксованими кратностями власних значень уперше розгля-
нув В. I. Арнольд. Для випадку компактних дiйсних самоспряжених операторiв аналогiчнi результати
отримано групою японських математикiв D. Fujiwara, M. Tanikawa, Sh. Yukita. Ними був уведений
до розгляду спецiальний локальний дифеоморфiзм, який „розпрямляє” многовид Арнольда. Подальше
дослiдження властивостей зазначеного дифеоморфiзму виконано Я. М. Димарським. У статтi описано
гладку структуру пiдмноговидiв скiнченновимiрних та компактних операторiв загального вигляду, у
яких видiленому власному значенню вiдповiдає єдина клiтина Жордана.
1. Обозначения. Пусть X — банахово пространство над полем C. Рассмотрим
банахово пространство Lc компактных операторов, действующих в X. Пусть A0 ∈
∈ Lc — фиксированный оператор и λ01 6= 0 — его собственное значение кратности
m, которое отлично от всех остальных. Обозначим через Vε(A0) ε-окрестность A0
в Lc. Мы будем исследовать множество Lc
(
A0, ε, λ01,m
)
компактных операторов
A ∈ Vε(A0), у которых собственное значение λ, близкое к λ01, имеет ту же крат-
ность m.
Поскольку собственное значение λ01 не совпадает с остальными собственными
значениями оператора A0, спектр A0 разбит на две непересекающиеся замкнутые
части: изолированное собственное значение λ01 и его дополнение. Все пространство
X представимо в виде прямой суммы образов двух операторов проектирования:
X = P1X ⊕ P2X, где P1 — проекционный оператор, соответствующий собствен-
ному значению λ01, а P2 — проекционный оператор, соответствующий остальной
части спектра компактного оператораA0 [1]. Произвольный операторB ∈ Lc имеет
блочное представление
B = P1BP1 + P1BP2 + P2BP1 + P2BP2 =
(
B11 B12
B21 B22
)
. (1)
В частности, в каноническом базисе подпространства X1 = P1X оператор A0
имеет вид
A0 =
(
J0
1 0
0 A0
22
)
, (2)
где J0
1 — единственная клетка Жордана, соответствующая собственному значе-
нию λ01.
Указанный канонический базис индуцирует изоморфизм между операторами
на X1 и матрицами размерности m×m. Поэтому будем использовать обозначения
B11 и для операторов, и для матриц, что не приводит к двусмысленности.
c© А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1179
1180 А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ
В дальнейшем нам понадобятся конечномерные операторы и компактные опе-
раторы специального вида, порожденные разложением (1). Введем следующие обо-
значения:
Ant (B) :=
(
0 B12
−B21 0
)
, Diag (B) :=
(
B11 0
0 B22
)
,
By :=
(
0 B12
B21 B22
)
.
Обозначим через Ly пространство компактных операторов вида By, через L(m)
пространство операторов, действующих в X1
∼= Cm, а через L(m)
c ⊂ Lc простран-
ство m-мерных операторов вида
B(m)
c :=
(
B(m) 0
0 0
)
∈ Lc, где B(m) ∈ L(m).
Имеют место канонические изоморфизмы L(m) ∼= L
(m)
c , Lc ∼= L(m) × Ly. В даль-
нейшем будем отождествлять операторы из пространств L(m) и L(m)
c . Разложение
пространстваX индуцирует разложение в прямую сумму пространства операторов:
Lc = L(m)
c ⊕ Ly,
так как любой оператор B ∈ Lc единственным образом представим в виде B =
= B
(m)
c +By. Поскольку
B =
(
B11 0
0 0
)
+
(
0 B12
0 0
)
+
(
0 0
B21 0
)
+
(
0 0
0 B22
)
,
также имеет место еще одно разложение пространства операторов в прямую сумму:
Lc = L(m)
c ⊕ L12 ⊕ L21 ⊕ L22.
Наконец, через Vε,m(0), Vε,m,y(0) обозначим ε-окрестности нулей пространств
L
(m)
c и Ly соответственно.
Опишем кратко построение статьи. Второй пункт посвящен исследованию
свойств локального диффеоморфизма, распрямляющего исследуемое многообра-
зие. В третьем пункте описана гладкая структура подмногообразия конечномерных
операторов, у которых каноническое матричное представление состоит из одной
клетки Жордана. В четвертом пункте сформулирована и доказана основная теоре-
ма о многообразии операторов, у которых отслеживаемому собственному значению
соответствует одна клетка Жордана. Наконец, последний пункт содержит теорему
о многообразии операторов, у которых отслеживается конечное количество соб-
ственных значений фиксированной кратности.
2. Вспомогательный изоморфизм. Вслед за работами [2, 3] рассмотрим отоб-
ражение
Ψ: Lc → Lc, Ψ(B) := exp (Ant (B))(A0 + Diag (B)) exp (−Ant (B)), (3)
где exp (B) = E + B + (1/2!)B2 + . . . — операторная экспонента. Поскольку
exp (Ant (B)) exp (−Ant (B)) = E, операторы Ψ(B) и A0 + Diag (B) подобны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ . . . 1181
Лемма. Справедливы следующие утверждения:
1. Отображение Ψ является аналитическим на всем пространстве.
2. Существует такое ε, что Ψ диффеоморфно отображает некоторую окрест-
ность V (0) нуля пространства Lc на окрестность Vε(A0) точки A0.
3. Подпространства L
(m)
c , L12, L21, L22, Ly являются инвариантными для
производной DΨ(0).
4. Сужения отображения DΨ(0) на подпространства L(m)
c и L22 являются
тождественными отображениями, а сужения отображения DΨ(0) на подпро-
странства L12 и L21 — изоморфизмами.
5. Сужение отображения Ψ на подпространство L(m)
c ⊕L22 является сдвигом
на A0, сужения отображения Ψ на подпространства L12 и L21 являются ло-
кальными иммерсиями в окрестностях нулей соответствующих подпространств,
а сужение отображения Ψ на подпространство L12 ⊕ L21 является локальной
иммерсией в окрестности нуля, трансверсальной подпространству L(m)
c ⊕ L22.
Доказательство. Аналитичность отображения Ψ следует из линейности и
ограниченности отображений Ant, Diag и аналитичности отображения exp .
Непосредственно из определения следует, что Ψ(0) = A0. Найдем производную
DΨ(0) в точке 0 ∈ Lc и докажем, что она является линейным изоморфизмом.
Тогда из теоремы о существовании обратного отображения будет следовать второе
утверждение леммы. С этой целью разложим операторную экспоненту в ряд и
выделим линейную часть:
Ψ(B) = exp (Ant (B))(A0 + Diag (B)) exp (−Ant (B)) =
= A0 + Diag (B) + Ant (B) · A0 −A0 ·Ant (B) + o(B),
где o(B) — бесконечно малая второго порядка. Поэтому
DΨ(0)B = Diag (B) + Ant (B) ·A0 −A0 ·Ant (B),
т. е.
DΨ(0)B =
(
B11 B12A
0
22 − J0
1B12
A0
22B21 −B21J
0
1 B22
)
. (4)
Из (4) следует, что отображение DΨ(0) ограничено, а его сужения на подпростран-
ства L(m)
c и L22 являются тождественными отображениями. Покажем, что DΨ(0)
является биекцией. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение
DΨ(0)B = C (5)
имело единственное решение B при любых C ∈ Lc. Уравнение (5) соответствует
системе операторных уравнений
B11 = C11,
B22 = C22,
B12A
0
22 − J0
1B12 = C12,
A0
22B21 −B21J
0
1 = C21.
(6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1182 А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ
Последние два уравнения являются уравнениями типа Сильвестра – Крейна. Со-
гласно выбору A0, собственное значение клетки J0
1 не совпадает с собственными
значениями оператора A0
22. Из теоремы 3.2 [4, c. 38] следует, что указанные урав-
нения разрешимы, причем единственным образом. Отсюда следуют утверждения
2 – 4 леммы.
Если B ∈ L(m)
c ⊕L22, то exp (Ant (B)) = exp (−Ant (B)) = exp (0) = 1, откуда
Ψ(B) = A0 + B, т. е. сужение отображения Ψ на подпространство L
(m)
c ⊕ L22
является сдвигом на A0. Наконец, остальные утверждения п. 5 следуют из п. 4.
Лемма доказана.
3. Конечномерный случай. Обозначим через L(m)(J0
1 , ε,m) множество матриц
из ε-окрестности клетки J0
1 , у которых собственное значение имеет максимальную
кратность m.
Теорема 1. Для всех достаточно малых ε справедливы следующие утверж-
дения:
1. Жорданова форма произвольной матрицы A(m) ∈ L(m)(J0
1 , ε,m) состоит из
единственной жордановой клетки размера m, соответствующей собственному
значению λ, близкому к λ01, т. е. жорданова клетка устойчива при возмущении,
которое сохраняет максимальную кратность собственного значения.
2. Подмножество L(m)(J0
1 , ε,m) ⊂ L(m) является аффинным алгебраическим
множеством, которое задается следующими условиями:
∂j
∂λj
det(J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0
1+Sp(B
(m))/m
= 0, j = 0, 1, . . . ,m− 2. (7)
3. Подмножество L(m)(J0
1 , ε,m) ⊂ L(m) является аналитическим подмного-
образием комплексной коразмерности
co dimL(m)(J0
1 , ε,m) = m− 1. (8)
4. Касательное пространство TJ0
1
L(m)(J0
1 , ε,m) состоит из матриц Ξ(m) вида
Ξ(m) =
ξ11 . . . ξ1m
...
. . .
...
ξm1 . . . ξmm
=
. . . ξij
d1 . . .
c1 d2 . . .
b1 c2 d3 . . .
a1 b2 c3 d4 . . .
, (9)
где на главной диагонали и выше стоят произвольные элементы ξij , i ≤ j, а
нижнедиагональные элементы ξij , i > j, связаны соотношениями
a1 = 0,
b1 + b2 = 0,
c1 + c2 + c3 = 0,
d1 + d2 + d3 + d4 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ . . . 1183
Доказательство. Пусть J — жорданова форма матрицыA(m) ∈ L(m)(J0
1 , ε,m),
а λ — ее собственное значение. Для доказательства первого утверждения теоремы
необходимо и достаточно показать, что
rank (J − λE)(m−1) = 1
(если жордановых клеток две или более, то rank (J − λE)(m−1) = 0). Поскольку
rank (J − λE)(m−1) = rank (A(m) − λE)(m−1),
то достаточно убедиться в том, что rank (A(m) − λE)(m−1) = 1. Матрица A(m) ∈
∈ L(m)(J0
1 , ε,m), значит, A(m) = J0
1 +B(m), где B(m) — малая матрица. Поэтому
A(m) − λE = (J0
1 − λ0E) + (B(m) + (λ0 − λ)E),
следовательно,
rank (A(m) − λE)m−1 = rank
(
(J0
1 − λ0E) + (B(m) + (λ0 − λ)E)
)m−1
.
В силу малости матрицы B(m) и возмущения |λ− λ0| получаем
rank (A(m) − λE)m−1 ≥ rank (J0
1 − λ0E)m−1.
Поскольку матрица J0
1 представляет собой жорданову клетку, соответствующуюm-
кратному собственному значению, то rank (J0
1 − λ0E)(m−1) = 1. Поэтому
rank (A(m) − λE)m−1 ≥ 1.
С другой стороны, так как собственное значение λ матрицы A(m) имеет мак-
симальную кратность m, то rank (J − λE)(m−1) может быть равен либо 1, либо
0. Значит, rank (J − λE)(m−1) = rank (A(m) − λE)(m−1) = 1, т. е. собственному
значению λ, близкому к λ0, соответствует одна клетка Жордана.
Докажем второе утверждение. Из определения кратности собственного значе-
ния следует, что матрица A(m) = J0
1 + B(m) ∈ L(m)(J0
1 , ε,m) имеет собственное
значение λ кратности m (близкое к λ10) тогда и только тогда, когда выполняются
следующие условия:
det(J0
1 +B(m) − λE) = 0,
∂
∂λ
det(J0
1 +B(m) − λE) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂m−2
∂λm−2
det(J0
1 +B(m) − λE) = 0,
∂m−1
∂λm−1
det(J0
1 +B(m) − λE) = 0.
(11)
В условиях (11) можно исключить параметр λ. Для этого перепишем последнее из
условий следующим образом:
∂m−1
∂λm−1
(
(λ0 − λ)m + b11((λ0 − λ)m−1) + . . .+ bmm((λ0 − λ)m−1) + P (λ)
)
= 0,
где P (λ) — полином степени m− 2. Вычисляя производную, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1184 А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ
m!(λ0 − λ) + (m− 1)!b11 + . . .+ (m− 1)!bmm = 0.
Следовательно,
λ = λ0 +
Sp(B(m))
m
. (12)
Подставив полученное значение λ в (11), получим условия (7) в количестве m− 1,
которые являются алгебраическими.
Покажем, что условия (7) линейно независимы. Элементы матрицы B(m) обо-
значим через bij , i, j = 1, 2, . . . ,m. Чтобы проверить линейную независимость
уравнений (7), достаточно доказать, что частные производные
dk :=
∂
∂bm−k,1
(
∂k
∂λk
det(J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+
Sp(B(m))
m
∣∣∣∣∣∣
bij=0
, (13)
k = 0, 1, . . . ,m− 2,
не равны нулю. Поскольку
J0
1 +B(m) − λE =
b11 + λ0 − λ b12 + 1 . . . b1m
b12 b22 + λ0 − λ . . . b2m
...
...
. . .
...
bm1 bm2 . . . bmm + λ0 − λ
,
то в силу формулы (12) собственное значение λ не зависит от нижнедиагональных
элементов bm−k,1, k = 0, 1, . . . ,m−2. Поэтому в выражениях (13) можно поменять
порядок дифференцирования. После дифференцирования по переменной bm−k,1,
k = 0, 1, . . . ,m− 2, выражение (13) принимает вид
dk = (−1)m−k+1×
×
∂k
∂λk
det
1 0 . . . 0 0
λ0 − λ 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ0 − λ 1
0
0
λ0 − λ 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ0 − λ 1
0 0 . . . 0 λ0 − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
λ=λ0
.
Теперь очевидно, что
dk = (−1)m−k+1 ∂
k
∂λk
(λ0 − λ)k
∣∣∣∣∣
λ=λ0
=
= (−1)m−k+1 ∂
k
∂λk
(λ0 − λ)k
∣∣∣∣∣
λ=λ0
= (−1)m−k+1 · (−1)k! = (−1)m−kk! 6= 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ . . . 1185
для любых k = 0, . . . ,m− 2. Независимость условий (7) доказана. Отсюда следу-
ет, что подмножество L(m)(J0
1 , ε,m) является аналитическим подмногообразием,
коразмерность которого вычисляется по формуле (8).
Докажем последнее утверждение. По определению, касательное пространство
TJ0
1
L(m)(J0
1 , ε, ,m) — это ядро линеаризованного по B(m) условия (7), т. е. это
множество матриц Ξ(m) = (ξij), элементы которых удовлетворяют системе
m∑
i,j=1
∂
∂bij
(
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
)∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
· ξij = 0,
m∑
i,j=1
∂
∂bij
∂
∂λ
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
· ξij = 0,
(14)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m∑
i,j=1
∂
∂bij
∂m−2
∂λm−2
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
· ξij = 0.
Покажем, что в первом уравнении из (14) все производные, кроме производной по
bm1, равны нулю; во втором уравнении все производные, кроме производных по
переменным bm−1,1 и bm,2, равны нулю, а производные по bm−1,1 и bm,2 отличны от
нуля и совпадают и т. д. Точнее, покажем, что в k-м, k = 0, 1, . . . ,m−2, уравнении
системы (14) коэффициент cm−i,j при элементе ξm−i,j , i = 0, 1, . . . ,m − 1, j =
= 1, 2, . . . ,m, равен
cm−i,j :=
:=
∂
∂bm−i,j
∂k
∂λk
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
= (−1)kk!
(15)
при k = i+ j − 1, m− i > j, и
cm−i,j :=
∂
∂bm−i,j
∂k
∂λk
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
= 0
(16)
в остальных случаях ({k = i+ j−1 и m− i ≤ j} или {k 6= i+ j−1}). Докажем ра-
венство (15). В силу (12), собственное значение λ зависит только от диагональных
элементов матрицы B(m). Поэтому при m − i > j в определении коэффициента
cm−i,j мы вправе поменять порядок дифференцирования. При условии B(m) = 0
производная определителя det
(
J0
1 +B(m) − λE
)
есть определитель матрицы, у
которой в (m − i)-й строке стоят только нулевые элементы, кроме j-го места, где
находится единица. Расписав полученный определитель по элементам (m − i)-й
строки, получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1186 А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ
cm−i,j =
∂k
∂λk
∣∣∣∣∣∣∣∣
(λ0 − λ)Ej−1 0 0
0 Em−i−j 0
0 0 (λ0 − λ)Ei
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
где Ep — единичная матрица размера p× p. Таким образом,
cm−i,j =
∂
∂bm−i,j
∂k
∂λk
det(J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0
=
=
∂k
∂λk
(λ0 − λ)j−1 · 1 · (λ0 − λ)i
∣∣∣∣∣
λ=λ0
=
=
∂k
∂λk
(λ0 − λ)j+i−1
∣∣∣∣∣
λ=λ0
=
∂k
∂λk
(λ0 − λ)k
∣∣∣∣∣
λ=λ0
= (−1)k · k!,
что доказывает (15).
Повторяя предыдущие рассуждения для нижнедиагональных элементов bm−i,j ,
m− i > j, при условии k 6= i+ j − 1 получаем
cm−i,j =
∂k
∂λk
(λ0 − λ)j+i−1
∣∣∣∣∣
λ=λ0
= 0.
Рассмотрим случай, когда производные берутся по верхнедиагональным элементам
bm−i,j , m − i < j. Учитывая (12) и то обстоятельство, что производные в (16)
берутся только по переменной bm−i,j в точке bm−i,j = 0, коэффициент cm−i,j
можно записать следующим образом:
cm−i,j =
∂
∂bm−i,j
(
∂k
∂λk
(λ0 − λ)m
∣∣∣∣∣
λ=λ0
)∣∣∣∣∣
B(m)=0
= 0.
Осталось доказать равенство (16) для случая диагональных элементов bjj , m−
− i = j, т. е. что
cjj =
∂
∂bjj
∂k
∂λk
det (J0
1 +B(m) − λE)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
B(m)=0
= 0, (17)
k = 0, . . . ,m− 2.
Учитывая (12) и тот факт, что частная производная в (17) берется по диагональному
элементу матрицы, коэффициент cjj из (17) равен
cjj =
∂
∂bjj
∂k
∂λk
(λ0 − λ+ b11) . . . (λ0 − λ+ bmm)
∣∣∣∣∣
λ=λ0+Sp(B(m))/m
∣∣∣∣∣∣
bjj=0
.
(18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ . . . 1187
При взятии частной производной по элементу b11 можно считать, что все остальные
элементы bjj , j = 2, 3, . . . ,m, равны нулю, т. е. левая часть (18) принимает вид
c11 =
∂
∂b11
∂k
∂λk
(λ0 − λ+ b11) (λ0 − λ)
m−1
∣∣∣∣∣
λ=λ0−b11/m
∣∣∣∣∣∣
b11=0
=
=
∂
∂b11
∂k
∂λk
(
(λ0 − λ)m + b11(λ0 − λ)m−1
)∣∣∣∣∣
λ=λ0−b11/m
∣∣∣∣∣∣
b11=0
=
=
∂
∂b11
m!
(m− k)!
(
−
b11
m
)m−k
+
(m− 1)!
(m− 1− k)!
(
−
b11
m
)m−k
∣∣∣∣∣∣
b11=0
,
что равно нулю для всех k = 0, 1, . . . ,m− 2.
Аналогичные рассуждения справедливы, если брать частные производные по
элементам b22, b33, . . . , bmm.
Теорема 1 доказана.
4. Бесконечномерный случай одного собственного значения. В этом пункте
мы сформулируем и докажем основной результат работы.
Теорема 2. Для всех достаточно малых ε справедливы следующие утверж-
дения:
1. Подмножество Lc(A0, ε, λ01,m) ⊂ Lc определяется следующим образом:
Lc(A
0, ε, λ01,m) = Ψ
(
(L(m)(J0
1 , ε,m)− J0
1 )× Vε,m,y(0)
)
.
2. Подмножество Lc(A0, ε, λ01,m) ⊂ Lc является аналитическим подмногооб-
разием комплексной коразмерности
co dimLc(A
0, ε, λ01,m) = m− 1.
3. Касательное пространство
TA0Lc(A
0, ε, λ01,m) = TJ0
1
L(m)(J0
1 , ε,m)× Ly,
состоит из операторов
(
Ξ11 Ξ12
Ξ21 Ξ22
)
, у которых блоки Ξ12, Ξ21, Ξ22 произволь-
ные, а блок Ξ11 имеет вид (9) и для него выполняются условия (10).
Доказательство. Возьмем произвольные малые операторыB
(m)
c ∈ L(m)
c , By ∈
∈ Vε,m,y(0) и применим к их сумме отображение Ψ:
A := Ψ(B(m) +By) = exp (Ant (By))(J0
1 +B(m) + Diag (By)) exp (−Ant (By)).
Теперь доказательство пунктов 1, 2 теоремы непосредственно следует из свойств
1, 2 отображения Ψ (см. лемму) и п. 3 теоремы 1.
Из п. 4 леммы следует, что
TA0Lc(A
0, ε, λ01,m) = DΨ(0)T0((L(m)(J0
1 , ε,m)− J0
1 )× Vε,m,y) =
= TJ0
1
L(m)(J0
1 , ε,m)× Ly.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1188 А. А. БОНДАРЬ, Я. М. ДЫМАРСКИЙ
Заметим, что теорема 2 справедлива для пространства Ln комплексных матриц
порядка n (n ≥ m). Нетрудно убедиться, что подмногообразие матриц Ln(A0, ε, λ01,
m) ⊂ Ln является трансверсальным к описанному В. И. Арнольдом миниверсаль-
ному семейству матриц [5]. При этом касательные пространства подмногообразия
Ln(A0, ε, λ01,m) и миниверсального семейства пересекаются по одномерному под-
пространству скалярных матриц.
5. Случай нескольких собственных значений. Пусть у компактного операто-
ра A0 собственные значения λ0i 6= 0 кратностей mi, i = 1, 2, . . . , s, не равны между
собой и не совпадают с остальными собственными значениями. Будем исследовать
подмножество Lc(A0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) ⊂ Lc компактных опера-
торов A ∈ Vε(A0), у которых собственные значения λi, близкие к λ0i , имеет ту же
кратность mi, i = 1, 2, . . . , s.
Будем использовать обозначения, аналогичные введенным в п. 1. Во-первых,
обозначим через m := (m1, . . . ,ms) вектор с указанными натуральными координа-
тами. Во-вторых, инвариантные подпространства, соответствующие выделенным
собственным значениям, и дополняющее их подпространство порождают блочное
представление произвольного оператора
B =
B1
B2 B12,s
. . .
Bs
B21,s Bs+1
.
Введем обозначения
Diags(B) :=
B1
B2 0
. . .
Bs
0 Bs+1
,
Ants(B) :=
0
0 B12,s
. . .
0
−B21,s 0
.
Обозначим через Vε,m,y(0) ⊂ Lc ε-окрестность нуля, состоящую из операторов
вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ . . . 1189
By,s =
0
0 B12,s
. . .
0
B21,s Bs+1
.
Наконец, введем в рассмотрение отображение
Ψs : Lc → Lc, Ψs(B) := exp (Ants(B))(A0 + Diags(B)) exp (−Ants(B)).
Для отображения Ψs справедливы утверждения, аналогичные утверждениям лем-
мы из п. 2.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Для всех достаточно малых ε справедливы следующие утверж-
дения:
1. Подмножество Lc(A0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) определяется сле-
дующим образом:
Lc(A
0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) =
= Ψs
(
(L(m1)(J0
1 , ε,m1)− J0
1 )× . . .× (L(ms)(J0
s , ε,ms)− J0
s )× Vε,m,y(0)
)
.
2. ПодмножествоLc(A0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) ⊂ Lc является ана-
литическим подмногообразием комплексной коразмерности
co dimLc(A
0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) =
= (m1 − 1) + (m2 − 1) + . . .+ (ms − 1) = m− s,
где m = m1 + . . .+ms.
3. Касательное пространство TA0Lc(A
0, ε, (λ01,m1), (λ02,m2), . . . , (λ0s,ms)) со-
стоит из операторов
Ξ =
Ξ1
Ξ2 Ξ12,s
. . .
Ξs
Ξ21,s Ξs+1
,
в которых блоки Ξ12,s, Ξ21,s, Ξs+1 произвольные, а блоки Ξi размерностей mi
имеют свойство (9) для всех i = 1, 2, . . . , s.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
1. Садовничий В. А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004. – 385 с.
2. Fujiwara D., Tanikawa M., Yukita Sh . The spectrum of Laplasian and boundary perturbation I // Proc.
Jap. Acad. Ser. A. – 1978. – 54, № 4.– P. 87 – 91.
3. Dymarskii Ya. M. Manifold method in the eigenvector theory of nonlinear operators // J. Math. Sci. –
2008. – 154, № 5.– P. 655 – 815.
4. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве – М.: Наука, 1970. – 535 c.
5. Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров // Успехи мат. наук. – 1971. – 26, вып. 2 (158).
– C. 101 – 114.
Получено 24.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2796 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:31Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d4/707010947f22671d7e824076f82a7ad4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27962020-03-18T19:36:55Z Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues Подмногообразия компактных операторов с фиксированными кратностями собственных значений Bondar, A. A. Dymarskii, Ya. M. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. The manifold of symmetric real matrices with fixed multiplicities of eigenvalues was considered for the first time by V. Arnold. In the case of compact real self-adjoint operators, analogous results were obtained by Japanese mathematicians D. Fujiwara, M. Tanikawa, and S. Yukita. They introduced a special local diffeomorphism that maps Arnold's submanifold to a flat subspace. The properties of the indicated diffeomorphism were further studied by Ya. Dymarskii. In the present paper, we describe the smooth structure of submanifolds of finite-dimensional and compact operators of the general form in which a selected eigenvalue is associated with a single Jordan block. Многовид симетричних дiйсних матриць з фiксованими кратностями власних значень уперше розглянув В. I. Арнольд. Для випадку компактних дiйсних самоспряжених операторiв аналогiчнi результати отримано групою японських математикiв D. Fujiwara, M. Tanikawa, Sh. Yukita. Ними був уведений до розгляду спецiальний локальний дифеоморфiзм, який „розпрямляє” многовид Арнольда. Подальше дослiдження властивостей зазначеного дифеоморфiзму виконано Я. М. Димарським. У статтi описано гладку структуру пiдмноговидiв скiнченновимiрних та компактних операторiв загального вигляду, у яких видiленому власному значенню вiдповiдає єдина клiтина Жордана. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2796 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1179-1189 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1179-1189 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2796/2345 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2796/2346 Copyright (c) 2011 Bondar A. A.; Dymarskii Ya. M. |
| spellingShingle | Bondar, A. A. Dymarskii, Ya. M. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. Бондарь, А. А. Дымарский, Я. М. Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title | Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title_alt | Подмногообразия компактных операторов с фиксированными кратностями собственных значений |
| title_full | Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title_fullStr | Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title_full_unstemmed | Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title_short | Submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| title_sort | submanifolds of compact operators with fixed multiplicities of eigenvalues |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2796 |
| work_keys_str_mv | AT bondaraa submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT dymarskiiyam submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT bondarʹaa submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT dymarskijâm submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT bondarʹaa submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT dymarskijâm submanifoldsofcompactoperatorswithfixedmultiplicitiesofeigenvalues AT bondaraa podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij AT dymarskiiyam podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij AT bondarʹaa podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij AT dymarskijâm podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij AT bondarʹaa podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij AT dymarskijâm podmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannymikratnostâmisobstvennyhznačenij |