Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives
We propose a regularization of the formal differential expression $$l(y) = i^m y^{(m)}(t) + q(t)y(t),\; t \in (a, b),$$ of order $m \geq 3$ by using quasiderivatives. It is assumed that the distribution coefficient $q$ has an antiderivative $Q \in L ([a, b]; \mathbb{C})$. In the symmetric case $(Q...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2797 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508772903944192 |
|---|---|
| author | Goryunov, A. S. Mikhailets, V. A. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. |
| author_facet | Goryunov, A. S. Mikhailets, V. A. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. |
| author_sort | Goryunov, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | We propose a regularization of the formal differential expression
$$l(y) = i^m y^{(m)}(t) + q(t)y(t),\; t \in (a, b),$$
of order $m \geq 3$ by using quasiderivatives. It is assumed that the distribution coefficient $q$ has an antiderivative $Q \in L ([a, b]; \mathbb{C})$.
In the symmetric case $(Q = \overline{Q})$, we describe self-adjoint and maximal dissipative/accumulative
extensions of the minimal operator and its generalized resolvents. In the general (nonselfadjoint)
case, we establish conditions for the convergence of the resolvents of the considered operators in
norm.
The case where $m = 2$ and $Q \in L_2 ([a, b]; \mathbb{C})$ was studied earlier. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.5
А. С. Горюнов, В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ
ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
We propose a regularization of the formal differential expression
l(y) = imy(m)(t) + q(t)y(t), t ∈ (a, b),
of order m > 3 by using quasiderivatives. It is assumed that the distribution coefficient q has an antideri-
vative Q ∈ L ([a, b];C). In the symmetric case (Q = Q), we describe self-adjoint and maximal dissipati-
ve/accumulative extensions of the minimal operator and its generalized resolvents. In the general (nonself-
adjoint) case, we establish conditions for the convergence of the resolvents of the considered operators in
norm.
The case where m = 2 and Q ∈ L2 ([a, b];C) was studied earlier.
Запропоновано регуляризацiю формального диференцiального виразу порядку m > 3
l(y) = imy(m)(t) + q(t)y(t), t ∈ (a, b),
з допомогою квазiпохiдних. Припускається, що коефiцiєнт-розподiл q має первiсну Q ∈ L ([a, b];C).
У симетричному випадку (Q = Q) описано самоспряженi, максимальнi дисипативнi / акумулятивнi
розширення мiнiмального оператора i його узагальненi резольвенти. У загальному (несамоспряженому)
випадку знайдено умови збiжностi резольвент розглянутих операторiв за нормою.
Випадок m = 2 при Q ∈ L2 ([a, b];C) дослiджено ранiше.
1. Введение. Рассмотрим на конечном интервале J := (a, b) формальное диффе-
ренциальное выражение порядка m
l(y) = imy(m)(t) + q(t)y(t), t ∈ J . (1)
Еслиm = 2 и коэффициент q ∈ L (J ;R) , то дифференциальное уравнение l(y) = f
является классическим уравнением Штурма – Лиувилля и изучено весьма полно.
Современное изложение теории такого уравнения приведено во многих моногра-
фиях (см. [1] и указанную там библиографию). Как выяснилось после появления
работы [2], многие положения этой теории распространяются на существенно бо-
лее общий случай
q = Q′, Q ∈ L2 (J ;C) , (2)
где производная понимается в смысле обобщенных функций. В частности, это от-
носится к физически содержательному случаю, когда q является мерой Радона на J
либо имеет неинтегрируемые точечные особенности. Подобные операторы задолго
до этого появлялись в различных задачах математической физики и исследова-
лись многими авторами, главным образом, с помощью средств теории операторов
(см. работу [3] и библиографию в ней). В частности, случай дифференциального
выражения произвольного четного порядка изучался в [4].
В связи с этим представляет интерес задача о регуляризации дифференциаль-
ного выражения (1) с сингулярным коэффициентом q /∈ L (J ;C) при произвольном
значении m > 2. Ее решению посредством специально подобранных квазипроиз-
водных и посвящена данная работа. При этом условие (2) нам удалось ослабить до
следующего:
q = Q′, Q ∈ L (J ;C) =: L1. (3)
c© А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ, 2011
1190 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1191
Случай общего выражения Штурма – Лиувилля
l(y) = −(p(t)y′)′ + q(t)y, t ∈ J ,
с сингулярными коэффициентами
q = Q′, 1/p, Q/p, Q2/p ∈ L1
с аналогичных позиций исследован авторами ранее в работе [5] (см. также [6]).
Работа структурирована следующим образом.
В пункте 2 вводится регуляризация формального дифференциального выраже-
ния (1) в предположении (3) и определяются соответствующие максимальный и
минимальный операторы в гильбертовом пространстве L2 (J ;C) =: L2.
В пункте 3 установлены достаточные условия равномерной резольвентной ап-
проксимации расширений построенного минимального оператора Lmin семейством
операторов того же класса, в частности, с гладкими коэффициентами.
В пункте 4 в предположении симметричности минимального оператора описы-
ваются все его самосопряженные, максимальные диссипативные и максимальные
аккумулятивные расширения в терминах однородных граничных условий канони-
ческого вида. Эти расширения параметризуются соответственно унитарными опе-
раторами и сжатиями в Cm. Такая параметризация является биективной и непре-
рывной.
В пункте 5 описаны все обобщенные резольвенты минимального оператора вне
вещественной оси.
Случай общих симметрических квазидифференциальных операторов исследо-
ван авторами в [7, 8]. Предварительный вариант этой статьи см. в [9].
2. Регуляризация сингулярного выражения. Рассмотрим формальное диф-
ференциальное выражение (1) порядка m ≥ 3 при условиях (3).
Введем последовательно квазипроизводные
D[k]y(t) := y(k)(t), k = 0,m− 2,
D[m−1]y(t) := y(m−1)(t) + i−mQ(t)y(t),
D[m]y(t) := (D[m−1]y(t))′ − i−mQ(t)D[1]y(t).
В условиях (3) они являются квазипроизводными по Шину – Цеттлу (см. [12],
разд. 1).
Поэтому формальное выражение (1) можно корректно определить как квази-
дифференциальное выражение Шина – Цеттла
l[y] := imD[m].
Определение 1. Решение задачи Коши для резольвентного уравнения
l[y]− λy = f ∈ L2, (D[k]y)(c) = αk, k = 0,m− 1, (4)
где c ∈ J и αk ∈ C, k = 0,m− 1, определяется как первая компонента реше-
ния задачи Коши для соответствующей системы дифференциальных уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1192 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
первого порядка
w′(t) = Aλ(t)w(t) + ϕ(t), w(c) = (α0, α1, . . . , αm−1), (5)
где вектор-функцияw(t) := (D[0]y(t), D[1]y(t), . . . , D[m−1]y(t)), квадратная матрица-
функция
Aλ(t) :=
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 1 0
−i−mQ(t) 0 0 . . . 0 1
i−mλ i−mQ(t) 0 . . . 0 0
∈ Lm×m1 , (6)
а вектор-функция ϕ(t) := (0, 0, . . . , 0, i−mf(t)) принадлежит Lm1 .
Лемма 1. Задача Коши (4) при условии (3) имеет решение на J , притом оно
единственное.
Доказательство. Задача (5) при Aλ(·) ∈ Lm×m1 имеет и притом единственное
решение при каждом c ∈ J и (α0, α2, . . . , αm−1) ∈ Cm в силу теоремы 1.2.1 из [1].
Поэтому утверждение леммы следует из определения 1 и указанной теоремы.
Введенное квазидифференциальное выражение l[y] порождает в гильбертовом
пространстве L2 (см. [11, 12]) максимальный квазидифференциальный оператор
Lmax : y → l[y],
Dom(Lmax) =
{
y
∣∣∣D[k]y ∈ AC(J , C), k = 0,m− 1, D[m]y ∈ L2
}
.
Минимальный квазидифференциальный оператор определяется как сужение опера-
тора Lmax на линейное многообразие
Dom(Lmin) :=
{
y ∈ Dom(Lmax)
∣∣∣D[k]y(a) = D[k]y(b) = 0, k = 0,m− 1
}
.
Следующее утверждение показывает, что введенные нами операторы не зависят
от выбора первообразной Q.
Лемма 2. Если в равенствах (1) и (3) заменить выбранную первообразную Q
произвольной
Q̃ := Q+ c, c ∈ C,
то операторы Lmax, Lmin не изменятся.
Доказательство. Покажем, что оператор Lmax = Lmax(Q) совпадает с опера-
тором L̃max = Lmax(Q̃). Обозначим через D̃[0]y, D̃[1]y, . . . , D̃[m]y квазипроизвод-
ные, соответствующие отличной от Q первообразной Q̃.
Пусть y ∈ Dom(Lmax). Непосредственными вычислениями находим
D̃[0]y = D[0]y ∈ AC(J ,C),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1193
D̃[m−2]y = D[m−2]y ∈ AC(J ,C),
D̃[m−1]y = D[m−1]y + i−mcD̃[0]y ∈ AC(J ,C),
D̃[m]y = D[m]y ∈ L2.
Это означает, что
Dom(Lmax) ⊂ Dom(L̃max) =
{
y
∣∣∣D̃[k]y ∈ AC(J ,C), k = 0,m− 1, D̃[m]y ∈ L2
}
.
Аналогично показывается, что Dom(Lmax) ⊃ Dom(L̃max). Наконец,
L̃maxy = imD̃[m]y = imD[m]y = Lmaxy, y ∈ Dom(Lmax).
Покажем теперь, что L̃min = Lmin.
Пусть y ∈ Dom(Lmin). Тогда
D̃[0]y(a) = D[0]y(a) = 0,
D̃[0]y(b) = D[0]y(b) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D̃[m−2]y(a) = D[m−2]y(a) = 0,
D̃[m−2]y(b) = D[m−2]y(b) = 0,
D̃[m−1]y(a) = D[m−1]y(a) + i−mcD̃[0]y(a) = 0 + 0 = 0,
D̃[m−1]y(b) = D[m−1]y(b) + i−mcD̃[0]y(b) = 0 + 0 = 0.
Это означает, что Dom(Lmin) ⊂ Dom(L̃min). Аналогично устанавливается, что
Dom(Lmin) ⊃ Dom(L̃min).
Поскольку L̃miny = L̃maxy = Lmaxy = Lminy на функциях y ∈ Dom(Lmin),
лемма доказана.
Рассмотрим наряду с (1) формально сопряженное дифференциальное выраже-
ние
l+(y) = imy(m)(t) + q(t)y(t),
где черта обозначает комплексное сопряжение. Обозначим через L+
max и L+
min по-
рождаемые им максимальный и минимальный операторы в пространстве L2. Тогда
из результатов монографии [12] для общих квазидифференциальных выражений
Шина – Цеттла и приведенного выше следует такая теорема.
Теорема 1. Операторы Lmin, L
+
min, Lmax, L
+
max являются плотно заданными
и замкнутыми в пространстве L2,
L∗min = L+
max, L∗max = L+
min.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1194 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
Если функция q вещественнозначна, то оператор Lmin = L+
min является симмет-
рическим с индексом дефекта (m,m) и
L∗min = Lmax, L∗max = Lmin.
3. Аппроксимация резольвенты. Рассмотрим семейство квазидифференци-
альных выражений lε[y] вида (1) с коэффициентами qε = Q′ε, Qε ∈ L1, ε ∈ [0, ε0].
Соответствующие им квазипроизводные будем обозначать через D[0]
ε y,D
[1]
ε y, . . .
. . . , D
[m]
ε y.
В гильбертовом пространстве L2 с нормой ‖·‖2 такие выражения при каждом ε
порождают операторы Lεmin, L
ε
max. Пусть матрицы α(ε), β(ε) ∈ Cm×m, а векторы
Yε(a) := {D[0]
ε y(a), D[1]
ε y(a), . . . , D[m−1]
ε y(a)} ∈ Cm,
Yε(b) := {D[0]
ε y(b), D[1]
ε y(b), . . . , D[m−1]
ε y(b)} ∈ Cm.
Зададим для каждого фиксированного значения ε операторы
Lεy = lε[y],
Dom(Lε) = {y ∈ Dom (Lεmax)|α(ε)Yε(a) + β(ε)Yε(b) = 0}.
Очевидно, что
Lεmin ⊂ Lε ⊂ Lεmax, ε ∈ [0, ε0].
Будем обозначать через ρ(L) резольвентное множество оператора L. Напомним,
что операторы Lε сходятся при ε→ 0+ к оператору L0 в смысле равномерной
резольвентной сходимости, Lε
R→ L0, если существует µ ∈ C такое, что µ ∈ ρ(L0),
µ ∈ ρ(Lε) для достаточно малых ε и
‖(Lε − µ)−1 − (L0 − µ)−1‖ → 0, ε→ 0 + .
Это определение не зависит от выбора µ ∈ ρ(L0) [13].
Введем обозначение c∨(t) :=
∫ t
a
c(s)ds.
Основным результатом этого пункта является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть ρ(L0) непусто и при ε→ 0+ выполняются условия:
1) ‖(Qε −Q0)∨‖C → 0;
2) α(ε)−→α(0), β(ε)−→β(0).
Тогда Lε
R→ L0.
Замечание 1. Условие ‖Qε − Q0‖1 → 0, ε → 0+, очевидно, достаточно для
выполнения условия 1. Поскольку множество бесконечно дифференцируемых фи-
нитных функций C∞0 (J ,C) плотно в пространстве L1, из теоремы 2 следует, что
каждый из введенных операторов L0 с сингулярным коэффициентом можно ап-
проксимировать в смысле равномерной резольвентной сходимости последователь-
ностью дифференциальных операторов с коэффициентами из C∞0 (J ,C).
Доказательство теоремы 2 основывается на одном вспомогательном результате.
Следуя работам [14, 15], обозначим через Mn(J ) =: Mn, n ∈ N, класс всех
параметризованных числом ε матриц-функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1195
R(·; ε) : [0, ε0]→ Ln×n1 ,
для которых решение задачи Коши
Z ′(t; ε) = R(t; ε)Z(t; ε), Z(a; ε) = In,
удовлетворяет предельному соотношению
lim
ε→0+
‖Z(·; ε)− In‖C = 0,
где ‖ · ‖C — sup-норма.
В работах [15, 16] установлена следующая общая теорема.
Теорема 3. Пусть для краевой задачи
y′(t; ε) = A(t; ε)y(t; ε) + f(t; ε), t ∈ J , ε ∈ [0, ε0], (7)
Uεy(·; ε) = 0, (8)
где матрицы-функции A(·, ε) ∈ Ln×n1 , вектор-функции f(·, ε) ∈ Ln1 , а линейные
непрерывные операторы
Uε : C(J ;Cn)→ Cn, n ∈ N,
выполнены условия:
1) однородная предельная краевая задача (7), (8) с ε = 0 и f(·; 0) ≡ 0 имеет
только тривиальное решение;
2) A(·; ε)−A(·; 0) ∈Mn;
3) ‖Uε − U0‖ → 0, ε→ 0 + .
Тогда для достаточно малых ε существуют матрицы Грина G(t, s; ε) задач (7),
(8) и на квадрате J × J
‖G(·, ·; ε)−G(·, ·; 0)‖∞ → 0, ε→ 0+, (9)
где ‖ · ‖∞ — норма в пространстве L∞.
Замечание 2. Условие 3 теоремы 3 нельзя заменить более слабым условием
сильной сходимости операторов Uε
s→ U0 [15]. Однако, как нетрудно убедиться,
для двухточечных краевых операторов
Uεy := B1(ε)y(a) +B2(ε)y(b), Bk(ε) ∈ Cn×n, k ∈ {1, 2},
как условие сильной, так и условие равномерной сходимости равносильны тому,
что
‖Bk(ε)−Bk(0)‖ → 0, ε→ 0+, k ∈ {1, 2}.
Приведенное определение класса Mn не является конструктивным. Имеют-
ся различные достаточные условия принадлежности матричной функции R(·; ε)
классу Mn. В частности, из результатов работы А. Ю. Левина [17] следует такая
лемма.
Лемма 3. Пусть R(·; ε) : [0, ε0] → Ln×n1 . Если при ε → 0+ выполнено одно
из четырех (неэквивалентных между собой) условий:
(α) ‖R(·; ε)‖1 = O(1);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1196 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
(β) ‖R∨(·; ε)R(·; ε)‖1 → 0;
(γ) ‖R(·; ε)R∨(·; ε)‖1 → 0;
(∆) ‖R∨(·; ε)R(·; ε)−R(·; ε)R∨(·; ε)‖1 → 0,
то условие ‖R∨(·; ε)‖C → 0, ε→ 0+, равносильно включению R(·; ε) ∈Mn.
Следующее утверждение позволит редуцировать теорему 2 к теореме 3.
Лемма 4. Функция y(t) является решением краевой задачи
lε[y](t) = f(t; ε) ∈ L2, ε ∈ [0, ε0], (10)
α(ε)Yε(a) + β(ε)Yε(b) = 0 (11)
тогда и только тогда, когда вектор-функция
w(t) = (D[0]
ε y(t), D[1]
ε y(t), . . . , D[m−1]
ε y(t))
является решением краевой задачи
w′(t) = A(t; ε)w(t) + ϕ(t; ε), (12)
α(ε)w(a) + β(ε)w(b) = 0, (13)
где квадратная матрица-функция
A(·; ε) :=
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . 1 0
−i−mQ(·; ε) 0 0 . . . 0 1
0 i−mQ(·; ε) 0 . . . 0 0
∈ Lm×m1 , (14)
а ϕ(·; ε) := (0, 0, . . . , 0, i−mf(·; ε)) принадлежит Lm1 .
Доказательство. Рассмотрим систему уравнений
(D[0]
ε y(t))′ = D[1]
ε y(t),
(D[1]
ε y(t))′ = D[2]
ε y(t),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D[m−3]
ε y(t))′ = D[m−2]
ε y(t),
(D[m−2]
ε y(t))′ = −i−mQε(t)D[0]
ε y(t) +D[m−1]
ε y(t),
(D[m−1]
ε y(t))′ = i−mQε(t)D
[1]
ε y(t) + i−mf(t; ε).
Если y(·) — решение уравнения (10), то из определения квазипроизводных сле-
дует, что y(·) является решением этой системы. С другой стороны, положив w(t) =
= (D
[0]
ε y(t), D
[1]
ε y(t), . . . , D
[m−1]
ε y(t)) и ϕ(t; ε) = (0, 0, . . . , 0, i−mf(t; ε)), данную
систему можно записать в виде уравнения (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1197
Учитывая, что Yε(a) = w(a), Yε(b) = w(b), легко видеть, что краевые усло-
вия (11) эквивалентны краевым условиям (13).
В силу леммы 4 из предположения
(E) однородная краевая задача
D
[m]
0 y(t) = 0, α(0)Y0(a) + β(0)Y0(b) = 0
имеет только тривиальное решение
следует, что однородная краевая задача
w′(t) = A(t; ε)w(t), α(ε)w(a) + β(ε)w(b) = 0
также имеет только тривиальное решение при достаточно малых ε.
Лемма 5. Пусть для задачи (12), (13) при достаточно малых ε существует
матрица Грина
G(t, s, ε) = (gij(t, s))
m
i,j=1 ∈ Lm×m∞ .
Тогда существует функция Грина Γ(t, s; ε) полуоднородной краевой задачи (10),
(11) и
Γ(t, s; ε) = i−mg1m(t, s; ε) почти всюду.
Доказательство. Согласно определению матрицы Грина, единственное реше-
ние задачи (12), (13) записывается в виде
wε(t) =
b∫
a
G(t, s; ε)ϕ(s; ε)ds, t ∈ J .
В силу леммы 4 последнее равенство можно переписать в виде
D[0]
ε yε(t) =
b∫
a
g1m(t, s; ε)i−mf(s; ε)ds,
D[1]
ε yε(t) =
b∫
a
g2m(t, s; ε)i−mf(s; ε)ds,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D[m−1]
ε yε(t) =
b∫
a
gmm(t, s; ε)i−mf(s; ε)ds,
где yε(·) — единственное решение задачи (10), (11). Отсюда следует утверждение
леммы 5.
Доказательство теоремы 2. В силу условия 1 теоремы 2 можно, не уменьшая
общности, считать, что 0 ∈ ρ(L0).
Покажем, что sup‖f‖2=1 ‖L−1ε f − L−10 f‖ → 0, ε→ 0 + .
Уравнение L−1ε f = yε эквивалентно тому, что Lεyε = f, т. е. yε является реше-
нием задачи (10), (11). При этом из включения 0 ∈ ρ(L0) следует, что выполняется
предположение (E).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1198 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
Обозначим r(·; ε) := i−mQ(·; ε)− i−mQ(·; 0). Тогда
A(·; ε)−A(·; 0) =
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
−r(·; ε) 0 0 . . . 0 0
0 r(·; ε) 0 . . . 0 0
,
(A(·; ε)−A(·; 0))
∨
=
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
−r∨(·; ε) 0 0 . . . 0 0
0 r∨(·; ε) 0 . . . 0 0
,
где матрица-функция A(·; ε) задана формулой (14).
Легко видеть, что
(A(·; ε)−A(·; 0)) (A(·; ε)−A(·; 0))
∨
= (A(·; ε)−A(·; 0))
∨
(A(·; ε)−A(·; 0)) .
Поэтому матричная функцияA(·; ε)−A(·; 0) приm ≥ 3 удовлетворяет условию (∆)
леммы 3.
Очевидно, что условие ‖ (A(·; ε)−A(·; 0))
∨ ‖C → 0, ε → 0+, эквивалентно
условию 1 теоремы 2. Поэтому из леммы 3 следует, что выполнены условия тео-
ремы 3 для задачи (12), (13).
Это значит, что существуют матрицы Грина G(t, s; ε) задач (12), (13) и вы-
полняется предельное соотношение (9). Согласно лемме 5 это влечет предельное
равенство
‖Γ(·, ·; ε)− Γ(·, ·; 0)‖∞ → 0, ε→ 0 + .
Тогда
‖L−1ε − L−10 ‖ = sup
‖f‖2=1
∥∥∥∥∥∥
b∫
a
[Γ(t, s; ε)− Γ(t, s; 0)]f(s)ds
∥∥∥∥∥∥
2
≤
≤ (b− a)1/2 sup
‖f‖2=1
∥∥∥∥∥∥
b∫
a
|Γ(t, s; ε)− Γ(t, s; 0)||f(s)|ds
∥∥∥∥∥∥
C
≤
≤ (b− a)
∥∥Γ(·, ·; ε)− Γ(·, ·; 0)
∥∥
∞ → 0, ε→ 0+,
что влечет утверждение теоремы 2.
4. Расширения симметрического минимального оператора. Всюду далее
будем предполагать, что функции q и, следовательно, Q вещественнозначны. Это
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1199
условие влечет формальную самосопряженность выражения l[y] (см. [12]) и, со-
гласно теореме 1, симметричность оператора Lmin. Поэтому содержателен вопрос
об описании (с помощью однородных краевых условий) некоторых классов (са-
мосопряженных, максимальных диссипативных, максимальных аккумулятивных)
расширений в гильбертовом пространстве L2 симметрического оператора Lmin.
Для ответа на него будем использовать понятие пространства граничных значений.
Определение 2. Пусть L — замкнутый симметрический оператор в гиль-
бертовом пространствеH с равными (конечными или бесконечными) дефектными
числами. Тройка (H,Γ1,Γ2), гдеH — вспомогательное гильбертово пространство,
а Γ1, Γ2 — линейные отображения Dom(L∗) в H, называется пространством гра-
ничных значений (сокращенно ПГЗ) симметрического оператора L, если:
1) для любых f, g ∈ Dom (L∗)
(L∗f, g)H − (f, L∗g)H = (Γ1f,Γ2g)H − (Γ2f,Γ1g)H ;
2) для любых векторов f1, f2 ∈ H существует вектор f ∈ Dom (L∗) такой,
что Γ1f = f1, Γ2f = f2.
Из определения ПГЗ следует, что f ∈ Dom (L) тогда и только тогда, когда
Γ1f = Γ2f = 0. ПГЗ существует для любого симметрического оператора с равны-
ми ненулевыми дефектными числами (см. [18 – 20]). Оно всегда не единственно.
Следующий результат является ключевым для дальнейшего изложения.
Основная лемма. Пусть Γ1, Γ2 — линейные отображения из Dom(Lmax) в
Cm такие, что:
при m = 2n, n ≥ 2,
Γ1y := i2n
−D[2n−1]y(a)
. . . . . . . . . . . . . . .
(−1)nD[n]y(a)
D[2n−1]y(b)
. . . . . . . . . . . . . . .
(−1)n−1D[n]y(b)
, Γ2y :=
D[0]y(a)
. . . . . . . . .
D[n−1]y(a)
D[0]y(b)
. . . . . . . . .
D[n−1]y(b)
,
а при m = 2n+ 1, n ∈ N,
Γ1y := i2n+1
−D[2n]y(a)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(−1)nD[n+1]y(a)
D[2n]y(b)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(−1)n−1D[n+1]y(b)
αD[n]y(b) + βD[n]y(a)
, Γ2y :=
D[0]y(a)
. . . . . . . . . . . .
D[n−1]y(a)
D[0]y(b)
. . . . . . . . . . . .
D[n−1]y(b)
γD[n]y(b) + δD[n]y(a)
,
где числа α = 1, β = 1, γ =
(−1)n
2
+ i, δ =
(−1)n+1
2
+ i.
Тогда тройка (Cm,Γ1,Γ2) является пространством граничных значений опе-
ратора Lmin.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1200 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
Замечание 3. Приведенные значения коэффициентов можно заменить произ-
вольными наборами чисел, которые удовлетворяют системе
αγ + αγ = (−1)n,
βδ + βδ = (−1)n+1,
αδ + βγ = 0,
βγ + αδ = 0,
αδ − βγ 6= 0.
(15)
Обозначим через LK сужение оператора Lmax на множество функций y(t) ∈
∈ Dom(Lmax), удовлетворяющих однородному краевому условию канонического
вида
(K − I) Γ1y + i (K + I) Γ2y = 0, (16)
где K — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Cm.
Аналогично обозначим через LK сужение оператора Lmax на множество функ-
ций y(t) ∈ Dom(Lmax), удовлетворяющих однородному краевому условию кано-
нического вида
(K − I) Γ1y − i (K + I) Γ2y = 0, (17)
где K — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Cm.
В сочетании с результатами [18] основная лемма влечет следующее описание
самосопряженных расширений Lmin.
Теорема 4. Каждое LK , где K — унитарный оператор в пространстве Cm,
является самосопряженным расширением оператора Lmin. Обратно, для каждого
самосопряженного расширения L̃ оператора Lmin найдется унитарный оператор
K такой, что L̃ = LK . Соответствие между унитарными операторами {K} и
расширениями {L̃} биективно.
Замечание 4. Из теорем 2 и 4 следует, что отображение K → LK является не
только биективным, но и непрерывным. Более точно, если унитарные операторы
Kn сходятся по норме к оператору K, то∥∥∥(LK − λ)
−1 − (LKn
− λ)
−1
∥∥∥→ 0, n→∞, Imλ 6= 0.
При этом, поскольку множество унитарных операторов в конечномерном простран-
стве Cm компактно в метрике нормы оператора, верно и обратное утверждение,
т. е. отображение
K → (LK − λ)
−1
, Imλ 6= 0,
является при каждом фиксированном λ ∈ C \ R гомеоморфизмом.
Напомним известное определение.
Определение 3. Плотно заданный линейный оператор L в комплексном гиль-
бертовом пространстве H называют диссипативным (аккумулятивным), если
Im (Lf, f)H ≥ 0 (≤ 0), f ∈ Dom(L),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1201
и максимальным диссипативным (максимальным аккумулятивным), если, кроме
того, у оператора L нет нетривиальных диссипативных (аккумулятивных) рас-
ширений в пространстве H.
В частности, каждый симметрический оператор — диссипативный и аккуму-
лятивный, а самосопряженный — максимальный диссипативный и максимальный
аккумулятивный одновременно. Поэтому для симметрического квазидифференци-
ального оператора Lmin можно поставить вопрос об описании всех его макси-
мальных диссипативных и максимальных аккумулятивных расширений. Согласно
теореме Р. Филлипса [18, 21], каждое диссипативное и каждое аккумулятивное
расширение симметрического оператора является сужением его сопряженного.
Поэтому любое максимальное диссипативное или максимальное аккумулятивное
расширение оператора Lmin является сужением оператора Lmax.
Параметрическое описание всех максимальных диссипативных расширений
симметрического квазидифференциального оператора Lmin дает следующая тео-
рема.
Теорема 5. Каждое LK , где K — сжатие в пространстве Cm, является
максимальным диссипативным расширением LK оператора Lmin. Обратно, для
каждого максимального диссипативного расширения L̃ оператора Lmin найдется
сжатие K такое, что L̃ = LK . Соответствие между сжатиями {K} и расши-
рениями {L̃} биективно.
Параметрическое описание всех максимальных аккумулятивных расширений
симметрического квазидифференциального оператора Lmin дает следующая те-
орема.
Теорема 6. Каждое LK , где K — сжатие в пространстве Cm, является
максимальным аккумулятивным расширением LK оператора Lmin. Обратно, для
каждого максимального аккумулятивного расширения L̃ оператора Lmin найдет-
ся сжатие K такое, что L̃ = LK . Соответствие между сжатиями {K} и
расширениями {L̃} биективно.
Замечание 5. Отображения
K → (LK − λ)
−1
, Imλ < 0,
K →
(
LK − λ
)−1
, Imλ > 0,
являются при каждом фиксированном λ гомеоморфизмами (см. замечание 4).
Перейдем к доказательствам сформулированных результатов. Доказательству
основной леммы предпошлем две леммы, являющиеся частными случаями со-
ответствующих утверждений для общих квазидифференциальных выражений
(см. [12]).
Лемма 6. Пусть y, z ∈ Dom(Lmax). Тогда
b∫
a
(
D[m]y · z − y ·D[m]z
)
dx =
m∑
k=1
(−1)k−1D[m−k]y ·D[k−1]z
∣∣x=b
x=a .
Лемма 7. Для произвольных наборов комплексных чисел {α0, α1, . . . , αm−1},
{β0, β1, . . . , βm−1} существует функция y ∈ Dom(Lmax) такая, что
D[k]y(a) = αk, D[k]y(b) = βk, k = 0, 1, . . . ,m− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1202 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
Доказательство основной леммы. Достаточно показать, что тройка (Cm,Γ1,
Γ2) удовлетворяет условиям 1 и 2 определения ПГЗ с H = L2. Согласно теореме 1
L∗min = Lmax. Согласно лемме 6
(Lmaxy, z)− (y, Lmaxz) = im
m∑
k=1
(−1)k−1D[m−k]y ·D[k−1]z
∣∣x=b
x=a .
Однако легко подсчитать, что в случае m = 2n
(Γ1y,Γ2z) = i2n
n∑
k=1
(−1)k−1D[2n−k]y ·D[k−1]z
∣∣x=b
x=a ,
и
(Γ2y,Γ1z) = i2n
2n∑
k=n+1
(−1)kD[2n−k]y ·D[k−1]z
∣∣x=b
x=a .
Это показывает, что выполняется условие 1. Выполнение условия 2 следует непо-
средственно из леммы 7.
В случае m = 2n+ 1 введем обозначения
Γ1 =: (Γ1a,Γ1b,Γ1ab),
Γ2 =: (Γ2a,Γ2b,Γ2ab),
где
Γ1a = i2n+1
(
−D[2n]y(a), . . . , (−1)nD[n+1]y(a)
)
,
Γ1b = i2n+1
(
D[2n]y(b), . . . , (−1)n+1D[n+1]y(a)
)
,
Γ1ab = i2n+1
(
αD[n]y(b) + βD[n]y(a)
)
,
Γ2a =
(
D[0]y(a), . . . , D[n−1]y(a)
)
,
Γ2b =
(
D[0]y(b), . . . , D[n−1]y(b)
)
,
Γ2ab = γD[n]y(b) + δD[n]y(a).
Тогда легко проверить, что
(Γ1ay,Γ2az) = i2n+1
n∑
k=1
(−1)k−1D[2n−k]y(a) ·D[k−1]z(a),
(Γ2ay,Γ1az) = i2n+1
2n+1∑
k=n+2
(−1)kD[2n−k]y(a) ·D[k−1]z(a),
(Γ1by,Γ2bz) = i2n+1
n∑
k=1
(−1)k−1D[2n−k]y(b) ·D[k−1]z(b),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1203
(Γ2by,Γ1bz) = i2n+1
2n+1∑
k=n+2
(−1)kD[2n−k]y(b) ·D[k−1]z(b),
(Γ1aby,Γ2abz)− (Γ2aby,Γ1abz) =
= i2n+1(−1)n
(
D[n]y(b) ·D[n]z(b)−D[n]y(a) ·D[n]z(a)
)
.
Из приведенных соотношений следует, что выполняется условие 1 определе-
ния 2. Выполнение условия 2 следует из леммы 7 и последнего из соотноше-
ний (15).
Доказательство теорем 4 – 6. Утверждения теорем следуют из основной лем-
мы и теоремы 1.6 гл. 3 монографии [18] для ПГЗ абстрактного симметрического
оператора.
5. Обобщенные резольвенты. Напомним известное определение.
Определение 4. Обобщенной резольвентой замкнутого симметрического опе-
ратора L называют операторную функцию Rλ комплексного параметра λ ∈ C\R,
допускающую представление вида
Rλf = P+
(
L+ − λI+
)−1
f, f ∈ H,
где L+ — какое-либо самосопряженное расширение оператора L с выходом, вооб-
ще говоря, в более широкое, чем H, пространство H+, I+ — единичный оператор
в H+, P+ — оператор ортогонального проектирования H+ на H.
Операторная функция Rλ (Imλ 6= 0) является обобщенной резольвентой сим-
метрического оператора L тогда и только тогда, когда
(Rλf, g)H =
+∞∫
−∞
d (Fµf, g)
µ− λ
, f, g ∈ H,
где Fµ — обобщенная спектральная функция оператора L. Это означает, что опе-
раторная функция Fµ, µ ∈ R, имеет следующие свойства [22]:
1◦) при µ2 > µ1 разность Fµ2 −Fµ1 является ограниченным неотрицательным
оператором;
2◦) Fµ+ = Fµ при всех вещественных µ;
3◦) при любом x ∈ H
lim
µ→−∞
||Fµx||H = 0, lim
µ→+∞
||Fµx− x||H = 0.
Следующий результат принадлежит В. М. Бруку [20].
Пусть H — вспомогательное сепарабельное гильбертово пространство. Симво-
лом {X,X ′} будем обозначать упорядоченную пару из X,X ′ ∈ H. Пары {X,X ′}
рассматриваются как элементы пространстваH⊕H. Предположим, что существует
линейный оператор γ, отображающий область определения Dom(L∗) сопряженно-
го к L оператора L∗ на H ⊕H, такой, что имеет место равенство
(L∗x, y)− (x, L∗y) = (X ′, Y )H − (X,Y ′)H ,
где x, y ∈ Dom(L), {X,X ′} = γx, {Y, Y ′} = γy.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1204 А. С. ГОРЮНОВ, В. А. МИХАЙЛЕЦ
Теорема 7. Существует взаимно однозначное соответствие между обоб-
щенными резольвентами оператора L и краевыми задачами
L∗y = λy + h,
(K(λ)− I)Y ′ ∓ i (K(λ) + I)Y = 0,
где {Y, Y ′} = γy, h ∈ H, λ — комплексное число и знак „+” в краевом условии
берется для значений λ из верхней полуплоскости, а „−” — для λ из нижней
полуплоскости. K(λ) — заданная регулярная в верхней полуплоскости операторная
функция в H такая, что ‖K(λ)‖ ≤ 1; для значений λ из нижней полуплоскости
K(λ) := K∗(λ).
Каждое решение задачи определяет обобщенную резольвенту оператора L и,
обратно, каждая обобщенная резольвента оператора L определяется решением
данной задачи.
Эта теорема дает возможность описать все обобщенные резольвенты симмет-
рического оператора Lmin вне вещественной оси.
Параметрическое внутреннее описание всех обобщенных резольвент оператора
Lmin дает следующая теорема.
Теорема 8. 1. Каждая обобщенная резольвента Rλ оператора Lmin в полу-
плоскости Imλ < 0 задается формулой Rλh = y, где y — решение краевой задачи
вида
l[y] = λy + h,
(K(λ)− I) Γ[1]f + i (K(λ) + I) Γ[2]f = 0.
Здесь h(x) ∈ L2 (J ,C) иK(λ) — регулярная в нижней полуплоскости операторная
функция в пространстве C2 такая, что ||K(λ)|| ≤ 1.
2. В полуплоскости Imλ > 0 каждая обобщенная резольвента оператора Lmin
задается формулой Rλh = y, где y — решение краевой задачи вида
l[y] = λy + h,
(K(λ)− I) Γ[1]f − i (K(λ) + I) Γ[2]f = 0.
Здесь h(x) ∈ L2 (J ,C) и K(λ) — регулярная в верхней полуплоскости операторная
функция в пространстве C2 такая, что ||K(λ)|| ≤ 1.
Эта параметризация обобщенных резольвент операторными функциями K
является биективной.
Доказательство. В силу основной леммы вспомогательное сепарабельное
гильбертово пространство Cm и оператор γy = {Γ[1]y,Γ[2]y}, отображающий
Dom(Lmin) на Cm ⊕ Cm, удовлетворяют условиям теоремы 7.
Таким образом, утверждение теоремы 8 вытекает из теоремы 7.
1. Zettl A. Sturm – Liouville theory. – Providence: Amer. Math. Soc., 2005. – 328 p.
2. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма – Лиувилля с сингулярными потенциалами //
Мат. заметки. – 1999. – 66, № 6. – С. 897 – 912.
3. Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. – New
York: Springer, 1988. – 452 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КВАЗИПРОИЗВОДНЫМИ ДВУЧЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1205
4. Mikhailets V. A., Molyboga V. M. Singularly perturbed periodic and semiperiodic differential operators
// Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6. – С. 785 – 797.
5. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm – Liouville equations // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2010. – № 2. – P. 120 – 130.
6. Горюнов А. С., Михайлец В. А. Резольвентная сходимость операторов Штурма – Лиувилля с син-
гулярными потенциалами // Мат. заметки. – 2010. – 87, № 2. – С. 311 – 315.
7. Горюнов А. С., Михайлец В. А. О расширениях симметрических квазидифференциальных опера-
торов четного порядка // Доп. НАН України. – 2009. – № 4. – С. 19 – 24.
8. Горюнов А. С., Михайлец В. А. О расширениях симметрических квазидифференциальных опера-
торов нечетного порядка // Доп. НАН України. – 2009. – № 9. – С. 27 – 31.
9. Горюнов А. С., Михайлец В. А. Регуляризация двучленных дифференциальных уравнений с сингу-
лярным коэффициентом // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 49 – 67
// arXiv:1106.3275 [math.FA]
10. Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Мат. сб. – 1943. –
13(55), № 1. – С. 39 – 70.
11. Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky Mountain J. Math. – 1975. – 5, № 3. –
P. 453 – 474.
12. Everitt W. N., Markus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and
quasi-differential operators. – Providence: Amer. Math. Soc., 1999. – 187 p.
13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
14. Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых
задач // Доп. НАН України. – 2008. – № 9. – С. 23 – 27.
15. Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру решений общих краевых задач // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 227 – 239.
16. Кодлюк Т. И., Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру решений одномерных
краевых задач // arXiv:1106.4174 [math.AP]
17. Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ = An(t)X // Докл. АН СССР. –
1967. – 176, № 4. – С. 774 – 777.
18. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
19. Кочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отноше-
ний // Мат. заметки. – 1975. – 17, № 1. – С. 41 – 48.
20. Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии //
Мат. сб. – 1976. – 100(142), № 2(6). – С. 210 – 216.
21. Phillips R. S. Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1959. – 90. – P. 193 – 254.
22. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.:
Наука, 1966. – 544 с.
Получено 21.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2797 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:32Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/156375b4af9bf481c6f1defbfe2c5307.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27972020-03-18T19:36:55Z Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives Регуляризация квазипроизводными двучленных дифференциальных уравнений с сингулярным коэффициентом Goryunov, A. S. Mikhailets, V. A. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. We propose a regularization of the formal differential expression $$l(y) = i^m y^{(m)}(t) + q(t)y(t),\; t \in (a, b),$$ of order $m \geq 3$ by using quasiderivatives. It is assumed that the distribution coefficient $q$ has an antiderivative $Q \in L ([a, b]; \mathbb{C})$. In the symmetric case $(Q = \overline{Q})$, we describe self-adjoint and maximal dissipative/accumulative extensions of the minimal operator and its generalized resolvents. In the general (nonselfadjoint) case, we establish conditions for the convergence of the resolvents of the considered operators in norm. The case where $m = 2$ and $Q \in L_2 ([a, b]; \mathbb{C})$ was studied earlier. Запропоновано регуляризацiю формального диференцiального виразу порядку $m > 3$ $$l(y) = i^m y^{(m)}(t) + q(t)y(t),\; t \in (a, b),$$ з допомогою квазiпохiдних. Припускається, що коефiцiєнт-розподiл $q$ має первiсну $Q \in L ([a, b]; \mathbb{C})$. У симетричному випадку $(Q = \overline{Q})$ описано самоспряженi, максимальнi дисипативнi / акумулятивнi розширення мiнiмального оператора i його узагальненi резольвенти. У загальному (несамоспряженому) випадку знайдено умови збiжностi резольвент розглянутих операторiв за нормою. Випадок $m = 2$ при $Q \in L_2 ([a, b]; \mathbb{C})$ дослiджено ранiше. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2797 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1190-1205 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1190-1205 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2797/2347 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2797/2348 Copyright (c) 2011 Goryunov A. S.; Mikhailets V. A. |
| spellingShingle | Goryunov, A. S. Mikhailets, V. A. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. Горюнов, А. С. Михайлец, В. А. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title | Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title_alt | Регуляризация квазипроизводными двучленных дифференциальных уравнений с сингулярным коэффициентом |
| title_full | Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title_fullStr | Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title_full_unstemmed | Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title_short | Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| title_sort | regularization of two-term differential equations with singular coefficients by quasiderivatives |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2797 |
| work_keys_str_mv | AT goryunovas regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT mikhailetsva regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT gorûnovas regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT mihajlecva regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT gorûnovas regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT mihajlecva regularizationoftwotermdifferentialequationswithsingularcoefficientsbyquasiderivatives AT goryunovas regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom AT mikhailetsva regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom AT gorûnovas regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom AT mihajlecva regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom AT gorûnovas regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom AT mihajlecva regulârizaciâkvaziproizvodnymidvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijssingulârnymkoéfficientom |