On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups
We study the $ZG$-module $A$ such that $Z$ is the ring of integers, the group $G$ has infinite section $ p$-rank (or infinite 0-rank), $C_G(A) = 1$, $A$ is not a minimax $Z$-module, and, for every proper subgroup $H$ of infinite section $p$-rank (or infinite 0-rank, respectively), the quotient modul...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2798 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508772785455104 |
|---|---|
| author | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_facet | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_sort | Dashkova, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | We study the $ZG$-module $A$ such that $Z$ is the ring of integers, the group $G$ has infinite section $ p$-rank (or infinite 0-rank), $C_G(A) = 1$, $A$ is not a minimax $Z$-module, and, for every proper subgroup $H$ of infinite section $p$-rank (or infinite 0-rank, respectively), the quotient module $A/C_A(H)$ is a minimax $Z$-module. It is proved that if the group $G$ under consideration is locally solvable, then $G$ is a solvable group. Some properties of a solvable group of this type are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
О. Ю. Дашкова (Днепропетр. нац. ун-т)
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ
КОЛЬЦАМИ ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП
С РАНГОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОДГРУППЫ
We study the ZG-module A such that Z is the ring of integers, the group G has infinite section p-rank (or
infinite 0-rank), CG(A) = 1, A is not a minimax Z-module, and, for every proper subgroup H of infinite
section p-rank (or infinite 0-rank, respectively), the quotient module A/CA(H) is a minimax Z-module. It is
proved that if the group G under consideration is locally solvable, then G is a solvable group. Some properties
of a solvable group of this type are obtained.
Дослiджується ZG-модуль A такий, що Z — кiльце цiлих чисел, група G має нескiнченний секцiйний
p-ранг (або нескiнченний 0-ранг), CG(A) = 1, A не є мiнiмаксним Z-модулем та для кожної власної
пiдгрупи H нескiнченного секцiйного p-рангу (або нескiнченного 0-рангу вiдповiдно) фактор-модуль
A/CA(H) є мiнiмаксним Z-модулем. Доведено, що якщо група G локально розв’язна, то група G
розв’язна. Отримано деякi властивостi розв’язної групи цього типу.
1. Введение. Пусть A — векторное пространство над полем F. Подгруппы группы
GL(F,A) всех автоморфизмов пространства A называются линейными группами.
Если A имеет конечную размерность над полем F, GL(F,A) можно рассматри-
вать как группу невырожденных (n× n)-матриц, где n = dimFA. Конечномерные
линейные группы играют важную роль в различных областях науки и изучены
достаточно полно. В случае, когда пространство A имеет бесконечную размер-
ность над полем F, ситуация кардинально меняется. Бесконечномерные линейные
группы исследовались мало. Изучение этого класса групп требует дополнитель-
ных ограничений. Одним из таких ограничений является финитарность линейной
группы. Группа G называется финитарной, если для каждого ее элемента g под-
пространство CA(g) имеет конечную коразмерность в A (см., например [1, 2]).
В [3] было введено понятие центральной размерности бесконечномерной линей-
ной группы. Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). H действует на фактор-
пространстве A/CA(H) естественным образом. Авторы определяют centdimF H
как dimF (A/CA(H)). Говорят, что подгруппа H имеет конечную центральную
размерность, если centdimF H конечна, и H имеет бесконечную центральную раз-
мерность, если centdimF H бесконечна.
В [4] изучались линейные группы бесконечной центральной размерности и
бесконечного ранга, у которых каждая собственная подгруппа бесконечного ранга
имеет конечную центральную размерность, для различных рангов группы.
Напомним, что группа G имеет конечный 0-ранг r0(G) = r, если G обладает
конечным субнормальным рядом с r бесконечными циклическими факторами, все
остальные факторы которого периодические. 0-ранг группы не зависит от выбора
ряда и является числовым инвариантом.
Пусть теперь p — простое число. Говорят, что группа G имеет конечный сек-
ционный p-ранг rp(G) = r, если каждая элементарная абелева p-секция группы G
имеет порядок, не превышающий pr, и существует элементарная абелева p-секция
U/V такая, что |U/V | = pr. Мы будем говорить о секционном p-ранге, подразу-
мевая, что p = 0, или p — простое число, делая необходимые оговорки, если это
необходимо. В дальнейшем для удобства изложения секционный p-ранг группы
будем называть p-рангом группы.
c© О. Ю. ДАШКОВА, 2011
1206 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1207
В работе также используются понятия абелева секционного ранга группы и
специального ранга группы. Группа G имеет конечный абелев секционный ранг,
если каждая абелева секция группы G имеет конечный p-ранг для всех p ≥ 0. Бэр и
Хайнекен доказали, что для разрешимых (и даже гиперабелевых) групп конечность
абелева секционного ранга эквивалентна конечности абелева подгруппового ранга
(группа G имеет конечный абелев подгрупповой ранг, если все абелевы подгруппы
группы G имеют конечный p-ранг для всех p ≥ 0) [5]. Группа G имеет конечный
специальный ранг r(G) = r, если r является наименьшим числом с тем свойством,
что каждая конечнопорожденная подгруппа группы G может быть порождена не
более чем r элементами. Это определение было введено А. И. Мальцевым [6].
Специальный ранг группы иногда называют рангом Прюфера – Мальцева.
Если G ≤ GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным
обобщением этого случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — коль-
цо, структура которого близка к структуре поля. При этом обобщением понятия
центральной размерности подгруппы линейной группы является понятие коцентра-
лизатора подгруппы, введенное в [7]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G —
группа. ЕслиH ≤ G, то фактор-модуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль,
называется коцентрализатором подгруппы H в модуле A.
Отметим, что до настоящего времени исследование алгебраических систем,
удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности, остается актуаль-
ным. Примерами таких систем являются классы нетеровых и артиновых модулей.
Напомним, что модуль называется артиновым, если упорядоченное множество его
подмодулей удовлетворяет условию минимальности. Модуль называется нетеро-
вым, если упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет условию мак-
симальности. Естественным обобщением классов артиновых и нетеровых модулей
является класс минимаксных модулей (см. гл. 7 [8]). R-модуль A называется ми-
нимаксным, если он имеет конечный ряд подмодулей, каждый фактор которого
является либо нетеровым R-модулем, либо артиновым R-модулем.
В [9] исследовался RG-модуль A такой, что R — дедекиндова область, коцент-
рализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем, CG(A) = 1,
G — локально разрешимая группа бесконечного ранга и коцентрализатор каж-
дой собственной подгруппы H в модуле A, имеющей бесконечный ранг, является
артиновым R-модулем. Было установлено, что локально разрешимая группа G,
удовлетворяющая заданным условиям, разрешима, и описана структура группы G.
В [10] рассматривалась аналогичная проблема для условия нетеровости. Изучался
RG-модуль A такой, что R — коммутативное нетерово кольцо, коцентрализатор
группы G в модуле A не является нетеровым R-модулем, CG(A) = 1, G — локаль-
но разрешимая группа бесконечного ранга, и коцентрализатор каждой собственной
подгруппы H в модуле A, имеющей бесконечный ранг, является нетеровым R-
модулем. В этом случае также было установлено, что локально разрешимая группа
G, удовлетворяющая заданным условиям, разрешима, и описана ее структура. Рас-
сматривались случаи различных рангов группы – p-ранга группы, 0-ранга группы,
абелева секционного и специального рангов группы.
В настоящей работе рассматривается обобщение двух данных проблем. Изучает-
ся RG-модуль A такой, что R = Z — кольцо целых чисел, коцентрализатор группы
G в модуле A не является минимаксным Z-модулем, CG(A) = 1, G — локаль-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1208 О. Ю. ДАШКОВА
но разрешимая группа бесконечного ранга и коцентрализатор каждой собственной
подгруппы H в модуле A, имеющей бесконечный ранг, является минимаксным Z-
модулем. Доказана разрешимость рассматриваемой группы G (теоремы 4.2 – 4.4)
и описана ее структура для различных рангов группы (теоремы 3.1 – 3.3). Как и
в работах [9, 10], обобщаются результаты о бесконечномерных линейных группах
[4] на случай модулей с коммутативным кольцом скаляров.
2. Предварительные результаты. Cформулируем элементарные результаты,
которые будут использоваться при доказательстве основных теорем.
В леммах 2.1, 2.2, 2.6, 2.7, 4.2, 4.3, 4.4 и теоремах 3.1 – 3.3, 4.2 – 4.4 рассматри-
вается ZG-модуль A такой, что CG(A) = 1 и коцентрализатор группы G в модуле
A не является минимаксным Z-модулем.
Лемма 2.1. Пусть A — ZG-модуль и ранг rp(G) бесконечен для некоторого
p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной подгруппы M такой, что
rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M в A — минимаксный Z-модуль.
Тогда имеют место следующие утверждения:
(i) Если U, V — собственные подгруппы группы G и G = 〈U, V 〉, то по крайней
мере одна из подгрупп U или V имеет конечный p-ранг.
(ii) Если H — собственная подгруппа G, такая, что ранг rp(H) бесконечен,
то коцентрализатор любой подгруппы H и коцентрализатор любой собственной
подгруппы группы G, содержащей H, являются минимаксными Z-модулями.
(iii) Пусть K, L — собственные подгруппы группы G, содержащие подгруппу
H такую, что ранг rp(H) бесконечен. Тогда 〈K,L〉 — собственная подгруппа
группы G.
Лемма 2.2. ПустьA — ZG-модуль, ранг rp(G) бесконечен для некоторого p ≥ 0.
Предположим, что для каждой собственной подгруппы M такой, что ранг rp(M)
бесконечен, коцентрализатор M в модуле A — минимаксный Z-модуль. Если K —
собственная нормальная подгруппа группы G такая, что ранг rp(K) бесконечен
и фактор-группа G/K конечно порождена, то G/K — циклическая q-группа для
некоторого простого числа q.
Доказательство. Предположим, что G = 〈K,S〉 для некоторого конечного
множества S с тем свойством, что если T — собственное подмножество множест-
ва S, то G 6= 〈K,T 〉. Пусть S состоит из элементов x1, x2, . . . , xn. Если n > 1,
то 〈K,x1, x2, . . . , xn−1〉 и 〈K,xn〉 являются собственными подгруппами группы
G, что противоречит лемме 2.1. Отсюда следует, что фактор-группа G/K цик-
лическая. В случаях, когда фактор-группа G/K бесконечна либо G/K конечна,
но |π(G/K)| > 1, группа G является произведением двух собственных подгрупп
G1 и G2 таких, что ранги rp(G1) и rp(G2) бесконечны. Пришли к противоречию
с леммой 2.1. Следовательно, фактор-группа G/K — циклическая q-группа для
некоторого простого числа q.
Лемма доказана.
Лемма 2.3 [4]. Пусть G — группа и q — простое число. Предположим, что
A — бесконечная нормальная элементарная абелева q-подгруппа группы G та-
кая, что фактор-группа G/A конечна. Тогда G порождается двумя подгруппами,
имеющими бесконечный q-ранг.
Лемма 2.4 [4]. ПустьG — группа, q — простое число и A — нормальная делимая
абелева q-подгруппа группы G такая, что фактор-группа G/A конечна. Если A
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1209
имеет бесконечный q-ранг, то G порождается двумя собственными подгруппами,
имеющими бесконечный q-ранг.
Лемма 2.5 [4]. Пусть G — группа, A — нормальная абелева подгруппа группы G
такая, что G/A — бесконечная периодическая почти абелева фактор-группа. Если
|π(G/A)| > 1, то группа G является произведением двух собственных подгрупп,
содержащих A.
Лемма 2.6. Пусть A — ZG-модуль, ранг rp(G) бесконечен для некоторого
p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной подгруппы M такой, что ранг
rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M в A является минимаксным
Z-модулем. Если K — нормальная подгруппа H, H ≤ G, фактор-группа H/K
почти абелева и ранг rp(H/K) бесконечен, то коцентрализатор подгруппы H в
A является минимаксным Z-модулем.
Доказательство. Предположим сначала, что p = 0. Пусть L — нормальная
подгруппа группы H такая, что фактор-группа H/L конечна, а L/K абелева. Если
r0(L/K) бесконечен, то фактор-группа L/K содержит свободную абелеву под-
группу B/K такую, что ранг r0(B/K) бесконечен и фактор-группа L/B перио-
дическая. Поскольку фактор-группа H/L конечна, подгруппа B имеет конечное
число сопряженных подгрупп в H. Обозначим эти подгруппы как B1, . . . , Bm.
Если C = coreH B, то существует вложение фактор-группы L/C в прямое про-
изведение L/B1 × L/B2 × . . . × L/Bm. Отсюда следует, что фактор-группа L/C
периодическая, и, поскольку r0(C/K) бесконечен, r0(C) также бесконечен. Отме-
тим также, что фактор-группа C/K является свободной абелевой. Если фактор-
группа H/C конечна либо π(H/C) = 1, то выберем простое число q 6∈ π(H/C) и
положим D/K = (C/K)q. Если фактор-группа H/C бесконечна и |π(H/C)| > 1,
положимD = C. Тогда в каждом из этих случаевH/D бесконечна и |π(H/D)| > 1,
причем r0(D) бесконечен. Применяя леммы 2.5 и 2.1 к подгруппе H, видим, что
коцентрализатор подгруппы H в модуле A является минимаксным Z-модулем.
Предположим теперь, что p > 0 и L — подгруппа, определенная выше. Выбе-
рем свободную абелеву подгруппу B/K фактор-группы L/K такую, что фактор-
группа L/B является периодической. Если ранг r0(B/K) бесконечен, проводим
те же рассуждения, что и в случае при p = 0. Поэтому полагаем, что r0(B/K)
конечен. Как и ранее, если C = coreH B, то фактор-группа L/C периодическая,
и rp(L/C) бесконечен. Рассматривая, если это необходимо, фактор-группу группы
L/C по ее силовской p′-подгруппе, получаем, что L/C является p-группой. Если
фактор-группа L/LpC бесконечна, то H/LpC удовлетворяет условиям леммы 2.3,
и поэтому H является произведением двух своих собственных подгрупп, имеющих
бесконечный p-ранг. Таким образом, в этом случае коцентрализатор подгруппыH в
A является минимаксным Z-модулем. Если фактор-группа L/LpC конечна, то для
нее имеет место равенство L/C = E/C ×D/C для некоторой конечной подгруп-
пы E/C и делимой подгруппы D/C. Поскольку фактор-группа H/L конечна, а
L/C абелева, то фактор-группа F/C = (E/C)H/C также конечна. Более того, L/F
является делимой абелевой p-группой бесконечного p-ранга, и, применяя лемму
2.4 к фактор-группе H/F, получаем, что H является произведением двух своих
собственных подгрупп, каждая из которых имеет бесконечный p-ранг, и, следова-
тельно, коцентрализатор подгруппы H в A является минимаксным Z-модулем.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1210 О. Ю. ДАШКОВА
Лемма 2.7. Пусть A — ZG-модуль, ранг rp(G) бесконечен для некоторого
p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной подгруппы M такой, что
rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M в A является минимаксным Z-
модулем. Если H — нормальная подгруппа группы G и фактор-группа G/H почти
абелева, то G/H изоморфна подгруппе Cq∞ для некоторого простого числа q.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когдаG 6= H. Если rp(G/H)
бесконечен, то коцентрализатор группы G в A является минимаксным Z-модулем
по лемме 2.6. Таким образом, rp(G/H) конечен, и поэтому ранг rp(H) бесконечен.
Более того, если фактор-группа G/H конечна, справедливость данного утверж-
дения следует из леммы 2.2. Таким образом, полагаем, что фактор-группа G/H
бесконечна.
Предположим сначала, что фактор-группаG/H абелева. Согласно лемме 2.1 (iii)
G/H не является свободной абелевой группой. Обозначим через B/H свобод-
ную абелеву подгруппу группы G/H такую, что фактор-группа G/B периоди-
ческая. Поскольку ранг rp(H) бесконечен, ранг rp(B) также бесконечен. Если
|π(G/B)| > 1, то группа G является произведением двух своих собственных под-
групп, имеющих бесконечный p-ранг, что противоречит лемме 2.1 (iii). Таким об-
разом, фактор-группа G/B является q-группой для некоторого простого числа q.
Пусть фактор-группа B/H нетривиальна и r — простое число, отличное от q. По-
ложим C/H = (B/H)r 6= B/H. Отсюда следует, что фактор-группа G/C является
периодической и π(G/C) состоит из двух различных простых чисел q и r. Как
и ранее, приходим к противоречию. Следовательно, фактор-группа G/H является
периодической q-группой. Если G/H делимая, то она разлагается в прямое про-
изведение квазициклических q-групп, и, согласно лемме 2.1 (iii), G/H ' Cq∞ . В
противном случае фактор-группа (G/H)/(G/H)q является нетривиальной элемен-
тарной абелевой q-группой, и по лемме 2.1 (iii) получаем |(G/H)/(G/H)q| = q.
Отсюда следует, что G/H = (E/H) × (D/H), где D/H — делимая подгруппа,
|E/H| = q, и по лемме 2.1 (iii) вновь получаем противоречие.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Пусть L/H — нормальная
абелева подгруппа фактор-группы G/H такая, что фактор-группа G/L конечна.
Пусть U/H — произвольная подгруппа конечного индекса в группе G/H. Если
V/H = coreG/HU/H, то G/V конечна, причем ранг rp(V ) бесконечен. Согласно
лемме 2.2 фактор-группа G/V является циклической q-группой для некоторого
простого числа q, и поэтомуG′ ≤ V ≤ U. Таким образом, еслиW/H — пересечение
всех подгрупп конечного индекса фактор-группы L/H, то G/W абелева, W имеет
бесконечный p-ранг, а фактор-группа G/W финитно аппроксимируема и поэтому
конечна. Таким образом, G = WK для некоторой подгруппы K, содержащей H,
причем фактор-группа K/H конечно порождена. Поскольку G/H бесконечна, из
леммы 2.2 следует, что G 6= K. Отсюда по лемме 2.1 (iii) получаем G =W, и тогда
фактор-группа G/H абелева, и справедливость результата следует из первой части
доказательства.
Лемма доказана.
3. Модули над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп.
Опишем структуру разрешимой группы, удовлетворяющей рассматриваемым усло-
виям.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1211
Теорема 3.1. Пусть A — ZG-модуль, G — разрешимая группа и ранг rp(G)
бесконечен для некоторого p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной
подгруппы M такой, что rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M в A
является минимаксным Z-модулем. Тогда G содержит нормальную нильпотент-
ную подгруппуH такую, что ранг rp(H) бесконечен, иG/H ' Cq∞ для некоторого
простого числа q.
Доказательство. Если G = D0 ≥ D1 ≥ . . . ≥ Dn−1 ≥ Dn = E — производ-
ный ряд группы G, то существует натуральное число m такое, что фактор-группа
G/Dm конечна, а фактор-группаDm/Dm+1 бесконечна. ПустьK = Dm. По лемме
2.7 G/K ′ ' Cq∞ для некоторого простого числа q. Поскольку ранг rp(K ′) бесконе-
чен, коцентрализатор подгруппы K ′ в A является минимаксным Z-модулем. Пусть
C = CA(K
′). Тогда A/C — минимаксный Z-модуль. Поскольку K ′ ≤ CG(C) и
коцентрализатор G в A не является минимаксным Z-модулем, G/CG(C) ' Cq∞ .
Так как K ′ — нормальная подгруппа группы G, C — ZG-подмодуль модуля A.
Поскольку фактор-модуль A/C — минимаксный Z-модуль, A имеет конечный ряд
ZG-подмодулей
0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . . ≤ Ct = A
такой, что каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , t, является либо конечным ZG-
модулем, либо квазиконечным ZG-модулем, либо ZG-модулем, аддитивная группа
которого – абелева группа без кручения конечного 0-ранга. Отсюда следует, что
можно построить ряд подмодулей 0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . . ≤ Cl = A
такой, что l ≥ t и каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо конеч-
ным ZG-модулем, либо квазиконечным ZG-модулем, либо G-рационально непри-
водимым ZG-модулем, аддитивная группа которого – абелева группа без кручения
конечного 0-ранга. В случаях, когда фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является ли-
бо конечным ZG-модулем, либо квазиконечным ZG-модулем, по лемме 16.19 [11]
фактор-группа G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева. В случае, когда фактор Cj/Cj−1
G-рационально неприводим и его аддитивная группа является абелевой группой
без кручения конечного 0-ранга, фактор-группуG/CG(Cj/Cj−1) можно рассматри-
вать как неприводимую подгруппу GLr(Q). По теореме А. И. Мальцева (лемма 3.5
[12]) G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева.
ПоложимH = CG(C1)∩CG(C2/C1)∩CG(C3/C2)∩. . .∩CG(Cl/Cl−1).Подгруп-
па H действует тривиально в каждом факторе ряда 0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . .
. . . ≤ Cl = A. Следовательно, H нильпотентна. По теореме Ремака G/H вкла-
дывается в прямое произведение фактор-групп G/CG(Cj/Cj−1), j = 1, 2, . . . , l,
поэтому фактор-группа G/H почти абелева. По лемме 2.7 фактор-группа G/H
изоморфна подгруппе Cq∞ для некоторого простого числа q. Так как H ≤ CG(C1),
и G/CG(C) ' Cq∞ , отсюда следует, что G/H ' Cq∞ , и ранг rp(H) бесконечен.
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть A — ZG-модуль, G — разрешимая группа бесконечного абе-
лева секционного ранга. Предположим, что коцентрализатор каждой собствен-
ной подгруппы бесконечного абелева секционного ранга в A является минимаксным
Z-модулем. Тогда G содержит нормальную нильпотентную подгруппу H такую,
что ранг rp(H) бесконечен, и G/H ' Cq∞ для некоторого простого числа q.
Доказательство. Поскольку группа G разрешима и имеет бесконечный абелев
секционный ранг, существует простое число p такое, что ранг rp(G) бесконечен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1212 О. Ю. ДАШКОВА
Для этого простого числа в случае, когда H — собственная подгруппа и ранг rp(H)
бесконечен, подгруппаH имеет бесконечный абелев секционный ранг. Поэтому ко-
централизатор подгруппы H в A является минимаксным Z-модулем. Теперь можно
применить теорему 3.1.
Теорема доказана.
Теорема 3.3. Пусть A — ZG-модуль, G — разрешимая группа бесконечного
специального ранга. Предположим, что коцентрализатор каждой собственной
подгруппы бесконечного специального ранга вA является минимаксным Z-модулем.
Тогда G содержит нормальную нильпотентную подгруппу H такую, что ранг
rp(H) бесконечен, и G/H ' Cq∞ для некоторого простого числа q.
Доказательство. Если G имеет бесконечный абелев секционный ранг и X —
собственная подгруппа бесконечного абелева секционного ранга, то коцентрализа-
тор подгруппы X в модуле A является минимаксным Z-модулем. Справедливость
доказываемой теоремы следует из теоремы 3.2. Следовательно, можно считать, что
группа G имеет конечный абелев секционный ранг.
Пусть U — нормальная подгруппа группы G такая, что G/U — бесконечная
почти абелева фактор-группа, и предположим, что V/U — нормальная абелева
подгруппа G/U, для которой фактор-группа G/V конечна. Поскольку ранг r0(G)
конечен, фактор-группа V/U содержит конечнопорожденную подгруппу B/U та-
кую, что V/B периодическая. Если C/U = (B/U)G/U , то C/U также конечно
порождена. Предположим, что G/U имеет бесконечный специальный ранг. По-
скольку группа G имеет конечный абелев секционный ранг, отсюда следует, что
p-подгруппы фактор-группы V/C черниковские для каждого простого числа p.
Таким образом, π(V/C) бесконечно. Если D/C — силовская π(G/V )-подгруппа
V/C, то фактор-группа V/D имеет бесконечный специальный ранг. С учетом лем-
мы 1.D.4 [13] получаем G/D = (V/D)(W/D), где V/D — нормальная подгруппа
G/D, (V/D)∩(W/D) = E,W/D — конечная подгруппа и π(V/D)∩π(W/D) пусто.
Тогда V/D является произведением двух G-инвариантных подгрупп бесконечного
специального ранга. Следовательно, G/D представима в виде произведения двух
собственных подгрупп бесконечного специального ранга. Поэтому коцентрализа-
тор группы G в A является минимаксным Z-модулем. Пришли к противоречию.
Следовательно, специальный ранг фактор-группыG/U конечен, и поэтому U имеет
бесконечный специальный ранг. Как и при доказательстве леммы 2.7, показываем,
что G/U ' Cq∞ для некоторого простого числа q. Как и в теореме 3.1, G удовлет-
воряет требованиям доказываемой теоремы.
Теорема доказана.
4. Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разреши-
мых групп. Докажем разрешимость локально разрешимой группы, удовлетворяю-
щей рассматриваемым условиям.
Лемма 4.1. Пусть A — ZG-модуль, G — локально разрешимая группа. Пред-
положим, что коцентрализатор группы G в модуле A является минимаксным
Z-модулем и CG(A) = 1. Тогда группа G разрешима.
Доказательство. Пусть C = CA(G). Как и при доказательстве теоремы 3.1,
устанавливаем, что A имеет конечный ряд ZG-подмодулей
0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . . ≤ Cl = A
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1213
такой, что каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо конечным ZG-
модулем, либо квазиконечным ZG-модулем, либо G-рационально неприводимым
ZG-модулем, аддитивная группа которого — абелева группа без кручения ко-
нечного 0-ранга. В случаях, когда фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо
конечным ZG-модулем, либо квазиконечным ZG-модулем, по лемме 16.19 [11]
фактор-группа G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева. В случае, когда фактор Cj/Cj−1
G-рационально неприводим и его аддитивная группа является абелевой группой
без кручения конечного 0-ранга, фактор-группу G/CG(Cj/Cj−1) можно рассмат-
ривать как неприводимую подгруппу GLr(Q). По теореме А. И. Мальцева (лем-
ма 3.5 [12]) G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева. Из выбора подгруппы C1 следует, что
фактор-группа G/CG(C1) тривиальна.
Пусть
H = CG(C1) ∩ CG(C2/C1) ∩ CG(C3/C2) ∩ . . . ∩ CG(Cl/Cl−1).
Подгруппа H действует тривиально в каждом факторе ряда 0 = C0 ≤ C = C1 ≤
≤ C2 ≤ . . . ≤ Cl = A. Следовательно, подгруппа H нильпотентна. По теореме
Ремака
G/H ≤ G/CG(C1)×G/CG(C2/C1)×G/CG(C3/C2)× . . .×G/CG(Cl/Cl−1).
Отсюда следует, что фактор-группа G/H почти абелева, и поэтому группа G раз-
решима.
Лемма доказана.
Лемма 4.2. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима и ранг rp(G)
бесконечен для некоторого p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной
подгруппы M такой, что rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M в A
— минимаксный Z-модуль. Если группа G не является разрешимой, то она совер-
шенна.
Доказательство. Отметим, что если H — собственная подгруппа группы G
конечного индекса, то ранг rp(H) бесконечен, и поэтому коцентрализатор под-
группы H в модуле A — минимаксный Z-модуль. Согласно лемме 4.1, подгруппа
H разрешима. По лемме 2.2 фактор-группа G/H абелева. Следовательно, груп-
па G разрешима. Пришли к противоречию. Пусть G 6= G′. Тогда фактор-группа
G/G′ является делимой. Отсюда следует, что G содержит нормальную подгруппу
H такую, что G/H ' Cq∞ для некоторого простого числа q. Тогда ранг rp(H)
бесконечен. Следовательно, коцентрализатор подгруппы H в модуле A является
минимаксным Z-модулем. По лемме 4.1 подгруппа H разрешима. Тогда и группа
G разрешима. Противоречие.
Лемма доказана.
Обозначим через d(G) ступень разрешимости группы G. При рассмотрении
случая, когда p является простым числом, нам понадобится следующий результат.
Теорема 4.1 [4]. Пусть p — простое число, G — локально разрешимая группа
конечного p-ранга, причем rp(G) = r. Тогда фактор-группа G/T (G) разрешима,
d(G/T (G)) ≤ sp(r), и G/T (G) имеет конечный специальный ранг, не превышаю-
щий fp(r).
Лемма 4.3. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима и ранг rp(G)
бесконечен для некоторого p ≥ 0. Предположим, что для каждой собственной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1214 О. Ю. ДАШКОВА
подгруппы M такой, что rp(M) бесконечен, коцентрализатор M в A является
минимаксным Z-модулем. Если группа G не является разрешимой, H — нормальная
подгруппа группы G и ранг rp(H) конечен, то фактор H/T (H) G-централен.
Доказательство. Пусть rp(H) = r. В случае, когда p = 0, применим к под-
группе H лемму 2.12 [14], а при p > 0 — теорему 4.1. В обоих случаях по-
лучаем, что фактор-группа H/T (H) разрешима и имеет конечный специальный
ранг, являющийся функцией числа r. Положим n = r0(H/T (H)), причем чис-
ло n зависит только от r. Подгруппа H имеет ряд G-инвариантных подгрупп
T (H) = H0 ≤ H1 ≤ . . . ≤ Hd = H, каждый фактор которого абелев.
Отметим, что фактор-группа H1/T (H) — группа без кручения конечного спе-
циального ранга, не превышающего числа n, и поэтому Aut(H1/T (H)) изоморфна
подгруппе группы GL(n,Q). Следовательно, фактор-группа G/CG(H1/T (H)) ло-
кально разрешима и изоморфна некоторой подгруппе группы GL(n,Q). Из след-
ствия 3.8 [12] следует, что фактор-группа G/CG(H1/T (H)) разрешима, и тогда по
лемме 4.2 она тривиальна. Таким образом, [G,H1] ≤ T (H).
Применим метод математической индукции. Согласно индуктивному предпо-
ложению, [G,Hd−1] ≤ T (H). Тогда Hd−1/T (H) ≤ Z(G/T (H)), где Z(G/T (H))
— центр фактор-группы G/T (H). Поэтому фактор-группа H/T (H) нильпотент-
на и ее класс нильпотентности не превышает 2. Пусть K/T (H) = Z(H/T (H)).
Как и ранее, устанавливаем, что, поскольку K/T (H) и H/K — абелевы груп-
пы без кручения конечного специального ранга, не превышающего числа n, то
[G,K] ≤ T (H) и [G,H] ≤ K. По лемме о трех подгруппах и лемме 4.2 получаем
[G,H] = [G,G,H] ≤ T (H), и лемма доказывается индукцией по числу d.
Лемма доказана.
Лемма 4.4. Пусть A — ZG-модуль, G – неразрешимая локально разрешимая
группа и ранг rp(G) бесконечен для некоторого p ≥ 0. Предположим, что для каж-
дой собственной подгруппы M такой, что rp(M) бесконечен, коцентрализатор
M в модуле A — минимаксный Z-модуль. Тогда группа G содержит собственную
нормальную подгруппу V такую, что если U – нормальная подгруппа группы G и
V ≤ U ≤ G, U 6= G, то U разрешима, и коцентрализатор подгруппы U в модуле
A является минимаксным Z-модулем.
Доказательство. Пусть T = T (G), T 6= G, и ранг rp(T ) конечен (если p = 0,
это условие автоматически выполняется). По лемме 4.2 фактор-группа G/T нераз-
решима и, согласно следствию 1 к теореме 5.27 [15], не является простой. Следо-
вательно, группа G содержит собственную нормальную подгруппу L ≥ T, L 6= T.
Если ранг rp(L) конечен, то по лемме 4.3 фактор L/T G-централен, и поэтомуG/T
содержит нетривиальную максимальную нормальную абелеву подгруппу V/T. Из
выбора подгруппы V следует, что V 6= G. Если U — нормальная подгруппа группы
G и
V ≤ U ≤ G, V 6= U, U 6= G,
то по лемме 4.3 ранг rp(U) бесконечен, следовательно, коцентрализатор подгруппы
U в модуле A является минимаксным Z-модулем. По лемме 4.1 подгруппа U раз-
решима. Если подгруппы L с заданными свойствами не существует, то полагаем
V = T, и, как и ранее, подгруппа V имеет указанные свойства.
Теперь предположим, что p > 0. Рассмотрим сначала случай, когда ранг rp(T )
бесконечен. Если T 6= G, то коцентрализатор подгруппы T в модуле A является
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1215
минимаксным Z-модулем, и тогда по лемме 4.1 подгруппа T разрешима. Сле-
довательно, фактор-группа G/T неразрешима и, согласно следствию 1 к теоре-
ме 5.27 [15], она не является простой. Если U — нормальная подгруппа группы
G и T ≤ U ≤ G, U 6= G, то ранг rp(U) бесконечен, поэтому коцентрализатор
подгруппы U в модуле A является минимаксным Z-модулем. Лемма 4.1 влечет
разрешимость подгруппы U. Таким образом, и в этом случае можно положить
T = V.
Рассмотрим теперь случай, когда T = G. Предположим сначала, что все си-
ловские p-подгруппы группы G имеют конечный p-ранг. Тогда по лемме 3.1 [13]
группаG удовлетворяет условию минимальности для p-подгрупп. Пришли к проти-
воречию, поскольку в этом случае p-подгруппы являются черниковскими и имеют
конечные специальные ранги, ограниченные некоторой величиной. Таким образом,
группа G содержит некоторую p-подгруппу P бесконечного специального ранга.
Тогда по следствию 2 к теореме 6.36 [15] группа G содержит также бесконеч-
ную элементарную абелеву p-подгруппу A. Поскольку A — собственная подгруппа
группы G, для любой собственной нормальной подгруппы U группы G получа-
ем UA 6= G. В противном случае фактор-группа G/U абелева, что противоречит
лемме 4.2. Таким образом, UA является собственной подгруппой группы G, при-
чем p-ранг подгруппы UA бесконечен. Следовательно, коцентрализатор подгруп-
пы UA в модуле A является минимаксным Z-модулем, и поэтому коцентрализатор
подгруппы U в модуле A также является минимаксным Z-модулем. В этом случае
полагаем V = 1.
Лемма доказана.
Теорема 4.2. Пусть A — ZG-модуль, G — локально разрешимая группа и ранг
rp(G) бесконечен для некоторого p ≥ 0. Предположим, что для каждой собствен-
ной подгруппы M такой, что rp(M) бесконечен, коцентрализатор подгруппы M
в A — минимаксный Z-модуль. Тогда группа G разрешима.
Доказательство. Предположим противное, т. е. группа G не является разреши-
мой. По лемме 4.4 группа G содержит нормальную подгруппу V с тем свойством,
что если U — нормальная подгруппа группыG, для которой V ≤ U ≤ G, U 6= G, то
подгруппа U разрешима, и коцентрализатор подгруппы U в A является минимакс-
ным Z-модулем. Положим V = U0 и d(U0) = d0. Предположим, что мы построили
нормальные разрешимые подгруппы
U0 ≤ U1 ≤ . . . ≤ Un
такие, что d(Ui) = di для i = 0, 1, . . . , n и di < di+1 для i = 0, 1, . . . , n − 1.
Поскольку группа G не является разрешимой, существует нормальная подгруппа
Un+1, включающая в себя Un, такая, что d(Un+1) = dn+1 > d(Un). Поэтому мы
получаем возрастающий ряд разрешимых нормальных подгрупп, ступени разре-
шимости которых возрастают. Положим W =
⋃
n≥1 Un. По построению подгруппа
W не является разрешимой и V ≤W. Отсюда следует, что W = G.
Положим теперь Cn = CA(Un) для любого n ∈ N. Так как Un — нормаль-
ная подгруппа группы G, Cn является ZG-подмодулем для каждого n, и по-
скольку коцентрализатор подгруппы Un в A является минимаксным Z-модулем,
фактор-модуль A/Cn — минимаксный Z-модуль. A/Cn можно рассматривать как
Z(G/CG(A/Cn))-модуль. Согласно лемме 4.1 фактор-группа G/CG(A/Cn) разре-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1216 О. Ю. ДАШКОВА
шима. Из леммы 4.2 следует, что G = CG(A/Cn) для каждого n ∈ N. Поскольку
G =
⋃
n≥1 Un, отсюда следует, что
CA(G) =
⋂
n≥1
CA(Un) =
⋂
n≥1
Cn,
и тогда G тривиально действует в каждом факторе ряда 0 ≤ CA(G) ≤ A. Следова-
тельно, группа G абелева. Противоречие. Теорема доказана.
Используя метод доказательства теоремы 3.1, а также применяя теорему 4.2,
получаем следующий результат.
Теорема 4.3. Пусть A — ZG-модуль, G – локально разрешимая группа беско-
нечного абелева секционного ранга. Предположим, что коцентрализатор каждой
собственной подгруппы бесконечного абелева секционного ранга в A — минимакс-
ный Z-модуль. Тогда группа G разрешима.
Теорема 4.4. ПустьA— ZG-модуль,G— локально разрешимая группа бесконеч-
ного специального ранга. Предположим, что коцентрализатор каждой собствен-
ной подгруппы бесконечного специального ранга в A — минимаксный Z-модуль.
Тогда группа G разрешима.
Доказательство. Пусть G — контрпример для данной теоремы. Если N —
собственная нормальная подгруппа бесконечного специального ранга, то коцент-
рализатор подгруппы N в модуле A является минимаксным Z-модулем. Согласно
лемме 4.1, подгруппа N разрешима. Если N имеет конечный специальный ранг, то
по лемме 10.39 [15] подгруппа N гиперабелева. Обозначим через {Nα} семейство
всех собственных нормальных продгрупп группы G. Тогда подгруппа J =
∏
Nα
также гиперабелева. Поскольку простая локально разрешимая группа циклическая,
группа G также гиперабелева. Согласно теореме 7 [5], G содержит подгруппу K,
которая либо является элементарной абелевой q-группой для некоторого просто-
го числа q, имеющей бесконечный специальный ранг, либо абелевой группой без
кручения бесконечного специального ранга. Пусть N — собственная нормальная
подгруппа группы G, имеющая конечный специальный ранг. Согласно лемме 10.39
[15], существует натуральное число d такое, что подгруппа N (d) является прямым
произведением черниковских p-групп для различных простых p. Если N (d)K 6= G,
то отсюда следует, что подгруппа N разрешима. Пусть N (d)K = G, r — некоторое
простое число, отличное от q, X — силовская {q, r}′-подгруппа N (d). Поскольку
XK 6= G, проводя аналогичные рассуждения, получаем, что подгруппа X, а следо-
вательно иN, разрешима. Таким образом, каждая собственная нормальная подгруп-
па группы G разрешима, и ее коцентрализатор в модуле A является минимаксным
Z-модулем. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, примененным при
доказательстве теоремы 4.2, убеждаемся в справедливости теоремы.
Теорема доказана.
1. Phillips R. E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119, № 2. –
P. 400 – 448.
2. Phillips R. E. Finitary linear groups: a survey. "Finite and locally finite groups"// NATO ASI. Ser. C.
Math. Phys. Sci. – 1995.– 471. – P. 111 – 146.
3. Dixon M. R., Evans M. J., Kurdachenko L. A. Linear groups with the minimal condition on subgroups
of infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, № 1. – P. 172 – 186.
4. Dashkova O. Yu., Dixon M. R., Kurdachenko L. A. Linear groups with rank restrictions on the subgroups
of infinite central dimension // J. Pure and Appl. Algebra. – 2007. – 208, № 3. – P. 785 – 795.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
О МОДУЛЯХ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ . . . 1217
5. Baer R., Heineken H. Radical groups of finite abelian subgroup rank // Ill. J. Math. – 1972. – 16, № 4.
– P. 533 – 580.
6. Мальцев А. И. О группах конечного ранга // Мат. сб. – 1948. – 22, № 2. – С. 351 – 352.
7. Курдаченко Л. А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные
группы и примыкающие алгебраические структуры. – Киев, 1993. – С. 160 – 177.
8. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya., Semko N. N. Insight into modules over Dedekind Domains. – Kyiv:
Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2008. – 119 p.
9. Dashkova O. Yu. On modules over group rings of locally soluble groups with rank restrictions on some
systems of subgroups // Asian-Eur. J. Math. – 2010. – 3, № 1. – P. 45 – 55.
10. Дашкова О. Ю. Об одном классе модулей, близких к нетеровым // Фундам. и прикл. математика.
– 2009. – 15, № 7. – С. 113 – 125.
11. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. – Basel etc.: Birkhäuser,
2007. – 248 p.
12. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups // Ergeb. Math. und ihrer Grenzgebiete. – 1973. – 229 p.
13. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – North-Holland; Amsterdam; London: North-
Holland Math. Library, 1973. – 210 p.
14. Franciosi S., De Giovanni F. The Shur property and groups with uniform conjugacy classes // J. Algebra.
– 1995. – 174, № 3. – P. 823 – 847.
15. Robinson D. J. R. Finiteness conditions and generalized soluble groups // Ergeb. Math. und ihrer
Grenzgebiete. – 1972. – Vols. 1, 2. – 464 p.
Получено 11.05.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2798 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:31Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2f/7d2d09620a32151695fd75be47a4682f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27982020-03-18T19:36:55Z On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups О модулях над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ранговыми ограничениями на подгруппы Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. We study the $ZG$-module $A$ such that $Z$ is the ring of integers, the group $G$ has infinite section $ p$-rank (or infinite 0-rank), $C_G(A) = 1$, $A$ is not a minimax $Z$-module, and, for every proper subgroup $H$ of infinite section $p$-rank (or infinite 0-rank, respectively), the quotient module $A/C_A(H)$ is a minimax $Z$-module. It is proved that if the group $G$ under consideration is locally solvable, then $G$ is a solvable group. Some properties of a solvable group of this type are obtained. Дослiджується $ZG$-модуль $A$ такий, що $Z$ — кiльце цiлих чисел, група $G$ має нескiнченний секцiйний $p$-ранг (або нескiнченний 0-ранг), $C_G(A) = 1$, $A$ не є мiнiмаксним $Z$-модулем та для кожної власної пiдгрупи $H$ нескiнченного секцiйного $p$-рангу (або нескiнченного 0-рангу вiдповiдно) фактор-модуль $A/C_A(H)$ є мiнiмаксним $Z$-модулем. Доведено, що якщо група $G$ локально розв’язна, то група $G$ розв’язна. Отримано деякi властивостi розв’язної групи цього типу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2798 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1206-1217 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1206-1217 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2798/2349 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2798/2350 Copyright (c) 2011 Dashkova O. Yu. |
| spellingShingle | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title | On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title_alt | О модулях над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ранговыми ограничениями на подгруппы |
| title_full | On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title_fullStr | On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title_full_unstemmed | On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title_short | On modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| title_sort | on modules over integer-valued group rings of locally soluble groups with rank restrictions imposed on subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2798 |
| work_keys_str_mv | AT dashkovaoyu onmodulesoverintegervaluedgroupringsoflocallysolublegroupswithrankrestrictionsimposedonsubgroups AT daškovaoû onmodulesoverintegervaluedgroupringsoflocallysolublegroupswithrankrestrictionsimposedonsubgroups AT daškovaoû onmodulesoverintegervaluedgroupringsoflocallysolublegroupswithrankrestrictionsimposedonsubgroups AT dashkovaoyu omodulâhnadceločislennymigruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgruppsrangovymiograničeniâminapodgruppy AT daškovaoû omodulâhnadceločislennymigruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgruppsrangovymiograničeniâminapodgruppy AT daškovaoû omodulâhnadceločislennymigruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgruppsrangovymiograničeniâminapodgruppy |