Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable
For a semigroup $S$, the set of all isomorphisms between subsemigroups of $S$ is an inverse monoid with respect to composition, which is denoted by $P A(S)$ and is called the monoid of local automorphisms of $S$. A semigroup $S$ is called permutable if, for any pair of congruences $p, \sigma$ on $S...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2799 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508773665210368 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | For a semigroup $S$, the set of all isomorphisms between subsemigroups of $S$ is an inverse monoid with respect to composition, which is denoted by $P A(S)$ and is called the monoid of local automorphisms of $S$.
A semigroup $S$ is called permutable if, for any pair of congruences $p, \sigma$ on $S$, one has $p \circ \sigma = \sigma \circ p$.
We describe the structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite band whose monoids of local automorphisms are permutable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
СТРУКТУРА СКIНЧЕННОЇ КОМУТАТИВНОЇ
IНВЕРСНОЇ НАПIВГРУПИ I СКIНЧЕННОЇ В’ЯЗКИ,
ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД ЛОКАЛЬНИХ
АВТОМОРФIЗМIВ Є ПЕРЕСТАВНИМ
For a semigroup S, the set of all isomorphisms between subsemigroups of S is an inverse monoid with
respect to composition, which is denoted by PA(S) and is called the monoid of local automorphisms of S.
A semigroup S is called permutable if, for any pair of congruences ρ, σ on S, one has ρ ◦ σ = σ ◦ ρ. We
describe the structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite band whose monoids of local
automorphisms are permutable.
Для полугруппы S множество всех изоморфизмов между подполугруппами полугруппы S относительно
композиции является инверсным моноидом, который обозначается через PA(S) и называется моноидом
локальных автоморфизмов полугруппы S. Полугруппа S называется переставной, если для любой
пары конгруэнций ρ, σ на S ρ ◦ σ = σ ◦ ρ. В данной статье описана структура конечной коммута-
тивной инверсной полугруппы и конечной связки, чьи моноиды локальных аавтоморфизмов являются
переставными.
Локальним автоморфiзмом напiвгрупи S називають iзоморфiзм мiж двома її пiдна-
пiвгрупами. Множина всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи S вiдносно звичай-
ної операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв. Цей моноїд будемо позначати через PA(S). У бiльшостi статей,
що стосуються напiвгрупи PA(S), розглядається проблема опису таких напiвгруп
B, що PA(B) ∼= PA(S) для даної напiвгрупи S. Важливою також є проблема
знаходження взаємозв’язкiв мiж властивостями напiвгрупи S i властивостями iн-
версної напiвгрупи PA(S). Зокрема, в статтi [1] (крiм iншого) знайдено структуру
групи G, для якої iнверсний моноїд PA(G) є клiфордовим. У роботi [2] описано
iнверснi напiвгрупи S, для яких iнверсний моноїд усiх локальних автоморфiзмiв
мiж iнверсними пiднапiвгрупами напiвгрупи S є цiлком напiвпростим або фунда-
ментальним.
Вiдомо [3], що iнверсна напiвгрупа локальних автоморфiзмiв скiнченновимiр-
ного лiнiйного простору є переставною (тобто будь-якi двi її конгруенцiї комутують
вiдносно композицiї). Аналогiчне твердження має мiсце i для iнверсної напiвгрупи
локальних автоморфiзмiв скiнченної напiвгрупи лiвих нулiв (яка, зрозумiло, iзо-
морфна скiнченнiй симетричнiй iнверснiй напiвгрупi). Пiсля цих зауважень цiлком
природно виникає задача знаходження структури таких напiвгруп, iнверснi моної-
ди локальних автоморфiзмiв яких є переставними. У данiй статтi цю задачу ми
розв’язуємо для скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи, а також скiнченної
в’язки. Основними результатами статтi є теореми 2 i 3.
1. Основнi означення i термiнологiя. Напiврешiтка E називається напiвре-
шiткою скiнченної довжини, якщо iснує натуральне число n таке, що довжина
будь-якого ланцюжка з E не перевищує числа n.
Нехай S — довiльна напiвгрупа, а N0 — множина всiх невiд’ємних цiлих чисел.
Функцiю rank: S → N0 називають ранговою на напiвгрупi S, якщо для будь-яких
a, b ∈ S виконується нерiвнiсть rank(ab) ≤ min(rank(a), rank(b)). Число rank(x)
називають рангом елемента x.
c© В. Д. ДЕРЕЧ, 2011
1218 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СТРУКТУРА СКIНЧЕННОЇ КОМУТАТИВНОЇ IНВЕРСНОЇ НАПIВГРУПИ . . . 1219
Нехай S — iнверсна напiвгрупа, напiврешiтка iдемпотентiв якої має скiнченну
довжину. Функцiя rank(a) = h(aa−1), де h(aa−1) — висота iдемпотента aa−1 у
напiврешiтцi iдемпотентiв напiвгрупи S, є ранговою функцiєю (див. [4]). Будемо
говорити, що iнверсна напiвгрупа є напiвгрупою скiнченного рангу, якщо напiвре-
шiтка її iдемпотентiв має скiнченну довжину.
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Решiтку всiх її пiднапiвгруп будемо позначати
через Sub(S). Якщо напiвгрупа S мiстить найменшу непорожню пiднапiвгрупу
(наприклад, одинична пiдгрупа в групi), то найменшим елементом Sub(S) вважа-
ється саме ця пiднапiвгрупа. Якщо ж найменшої непорожньої пiднапiвгрупи в S
не iснує, то найменшим елементом Sub(S) будемо вважати порожню множину ∅.
Легко зрозумiти, що решiтка iдемпотентiв iнверсної напiвгрупи PA(S) iзоморфна
решiтцi Sub(S).
Якщо ϕ ∈ PA(S), то через dom(ϕ) i im(ϕ) будемо позначати вiдповiдно область
визначення i множину значень локального автоморфiзму ϕ. Якщо A ∈ Sub(S), то
через ∆A будемо позначати вiдношення рiвностi на пiднапiвгрупi A.
Нехай P — впорядкована множина з найменшим елементом 0. Через ≺ будемо
позначати вiдношення покриття. Якщо 0 ≺ a, то елемент a називають атомом впо-
рядкованої множини P. Якщо E — нетривiальна напiврешiтка скiнченної довжини,
то, очевидно, вона мiстить атоми. Кажуть, що елемент b ∈ E є об’єднанням атомiв,
якщо iснує пiдмножина C множини атомiв така, що sup(C) = b. Якщо елементи
a i b впорядкованої множини P непорiвняльнi (тобто утворюють антиланцюг)), то
цей факт будемо позначати через a ‖ b.
Нетривiальну напiврешiтку називають примiтивною, якщо кожний її ненульо-
вий елемент є атомом.
Напiвгрупа називається переставною, якщо будь-якi двi її конгруенцiї комуту-
ють вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень.
Якщо S — iнверсна напiвгрупа, то через E(S) позначають напiврешiтку всiх
iдемпотентiв напiвгрупи S.
Група G називається елементарною абелевою p-групою, якщо будь-який її вiд-
мiнний вiд одиницi елемент має порядок p.
Всi iншi необхiднi поняття з теорiї напiвгруп можна знайти в [5].
2. Необхiднi i достатнi умови лiнiйної впорядкованостi iдеалiв напiвгрупи
PA(S). Вiдомо (див. [6], теорема 4), що iдеали переставної напiвгрупи утворюють
ланцюг вiдносно включення. Оскiльки далi мова йтиме про переставнi iнверснi
напiвгрупи скiнченного рангу, то актуально знайти необхiднi i достатнi умови для
того, щоб iдеали такої напiвгрупи були лiнiйно впорядкованими.
Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу. Легко перевiрити, що пiд-
множина Ik = {x ∈ S | rank(x) ≤ k } напiвгрупи S є iдеалом. Такий iдеал назвемо
ранговим. Далi, будемо говорити, що iнверсна напiвгрупа S задовольняє умову L,
якщо для будь-яких a, b ∈ S з рiвностi rank(a) = rank(b) випливає SaS = SbS.
Сформулюємо твердження, яке нам знадобиться в подальшому.
Твердження 1 (див. [4], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченно-
го рангу. Наступнi умови є еквiвалентними:
1) iдеали напiвгрупи S лiнiйно впорядкованi;
2) головнi iдеали напiвгрупи S лiнiйно впорядкованi;
3) кожний iдеал напiвгрупи S є головним;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1220 В. Д. ДЕРЕЧ
4) напiвгрупа S задовольняє умову L;
5) кожний iдеал напiвгрупи S є ранговим.
Щоб сформулювати i довести зручну ознаку лiнiйної впорядкованостi iдеалiв iнверс-
ної напiвгрупи PA(S), нам знадобиться наступна лема.
Лема 1. Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу. Нехай iдемпотен-
ти a, b ∈ E(S) такi, що xay = b для деяких x, y ∈ S.
Якщо rank(a) = rank(b) = rank(x) = rank(y), то y = x−1. Крiм того, a =
= x−1bx, x−1x = a, xx−1 = b.
Доведення. Оскiльки xay = b, то xx−1xay = xx−1b = xay = b. Отже, b ≤
≤ xx−1. Якщо припустити, що b < xx−1, то rank(b) < rank(xx−1) = rank(x), що
суперечить умовi. Отже,
b = xx−1. (1)
Аналогiчно, якщо b = xay, то by−1y = xayy−1y = xay = b. Отже, b ≤ y−1y. А
оскiльки rank(b) = rank(y), то
b = y−1y. (2)
Отже, з (1) i (2) випливає
xx−1 = y−1y. (3)
Далi, з (1) безпосередньо випливає
bx = x. (4)
Використавши рiвнiсть (4), покажемо, що xax−1 = b. Дiйсно, xax−1 =
= bxax−1b = bxax−1xay = bxx−1xaay = bxay = b.
Тепер покажемо, що xa = x. Справдi, позаяк xax−1 = b, то xax−1x = bx = x
або xx−1xa = x. Звiдси
xa = x. (5)
За умовою xay = b, тому (враховуючи рiвнiсть (5)) маємо xy = b. Звiдси
xyy−1 = by−1. А оскiльки b = y−1y (див. (2)), то xyy−1 = y−1yy−1 = y−1. З
останньої рiвностi випливає, що y−1 ≤ x. Позаяк rank(y−1) = rank(y) = rank(x),
то y−1 = x. Звiдси y = x−1. Оскiльки (див. (5))) xa = x, то x−1xa = x−1x. Звiдси
x−1x ≤ a. Позаяк rank(x−1x) = rank(a), то x−1x = a.
Нарештi покажемо, що x−1bx = a. Дiйсно, x−1bx = x−1x. Оскiльки (див.
(4) i (5)) bx = xa = x, то x−1xa = x−1x. Отже, x−1x ≤ a. Позаяк rank(x) =
= rank(x−1x) = rank(a), то x−1x = a.
Отже, x−1bx = x−1x = a.
Лему 1 доведено.
Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Через h(A) будемо позначати висоту пiднапiв-
групи A в решiтцi Sub(S). Зручною ознакою того, щоб iдеали напiвгрупи PA(S)
були лiнiйно впорядкованими, є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Iдеали напiвгрупи PA(S) лiнiйно
впорядкованi тодi i тiльки тодi, коли в решiтцi Sub(S) неiзоморфнi пiднапiвгрупи
мають рiзну висоту.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СТРУКТУРА СКIНЧЕННОЇ КОМУТАТИВНОЇ IНВЕРСНОЇ НАПIВГРУПИ . . . 1221
Доведення. Нехай iдеали iнверсної напiвгрупи PA(S) утворюють ланцюг
вiдносно включення. Далi, нехай A, B ∈ Sub(S) такi, що h(A) = h(B). Тодi
rank(∆A) = rank(∆B). За умовою iдеали напiвгрупи PA(S) лiнiйно впорядкованi,
тому (див. твердження 1) PA(S)◦∆A◦PA(S) = PA(S)◦∆B ◦PA(S). Звiдси iсну-
ють ψ, ϕ ∈ PA(S) такi, що ∆B = ψ◦∆A◦ϕ або ∆B = ψ◦∆A◦∆A◦∆A◦ϕ. Зазначи-
мо, що rank(ψ ◦∆A) = rank(∆A). Справдi, по-перше, rank(ψ ◦∆A) ≤ rank(∆A).
Крiм того, rank(∆A) = rank(∆B) = rank(ψ ◦ ∆A ◦ ϕ) ≤ rank(ψ ◦ ∆A). От-
же, rank(ψ ◦ ∆A) = rank(∆A). Аналогiчно, rank(∆A ◦ ϕ) = rank(∆A). Згiдно
з лемою 1 ∆B = ψ ◦ ∆A ◦ ∆A ◦ (ψ ◦ ∆A)−1 = ψ ◦ ∆A ◦ ψ−1. Покажемо те-
пер, що dom(ψ ◦ ∆A) = B i im(ψ ◦ ∆A) = A. Дiйсно, ψ ◦ ∆A ◦ (ψ ◦ ∆A)−1 =
= ψ ◦ ∆A ◦ ψ−1 = ∆B . Отже, dom(ψ ◦ ∆A) = B. Далi, згiдно з лемою 1
(ψ ◦∆A)−1 ◦ ψ ◦∆A = ∆A. Звiдси im(ψ ◦∆A) = A. Позаяк ψ ◦∆A ∈ PA(S), до
того ж dom(ψ ◦∆A) = B i im(ψ ◦∆A) = A, то B ∼= A.
Нехай тепер виконується iмплiкацiя: для будь-яких A, B ∈ Sub(S) h(A) =
= h(B) ⇒ A ∼= B. Доведемо, що iдеали напiвгрупи PA(S) утворюють ланцюг
вiдносно включення. Для цього знов скористаємося твердженням 1. Отже, нехай
ϕ, ψ ∈ PA(S) такi, що rank(ϕ) = rank(ψ). Позначимо dom(ϕ ◦ ϕ−1) через F, а
dom(ψ ◦ ψ−1) через C. Оскiльки rank(ϕ ◦ ϕ−1) = rank(ψ ◦ ψ−1), то h(F ) = h(C).
Звiдси F ∼= C. Отже, iснує iзоморфiзм β : F → C. Тодi ∆F = β ◦ ∆C ◦ β−1 i
∆C = β−1 ◦ ∆F ◦ β. Звiдси PA(S) ◦ ∆F ◦ PA(S) = PA(S) ◦ ∆C ◦ PA(S), або
PA(S) ◦ (ϕ ◦ ϕ−1) ◦ PA(S) = PA(S) ◦ (ψ ◦ ψ−1) ◦ PA(S). З останньої рiвностi
випливає PA(S) ◦ϕ ◦PA(S) = PA(S) ◦ψ ◦PA(S). Отже, згiдно з твердженням 1
iдеали напiвгрупи PA(S) лiнiйно впорядкованi вiдносно включення.
Теорему 1 доведено.
3. Структура скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи з переставною
напiвгрупою локальних автоморфiзмiв. У цьому пунктi ми встановимо структу-
ру скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи, напiвгрупа локальних автоморфi-
змiв якої є переставною. У подальших викладках будемо суттєво використовувати
наступне твердження.
Твердження 2 (див. [3], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнчен-
ного рангу з нулем. Тодi S є переставною в тому i лише в тому випадку, коли
виконуються такi двi умови:
1) якщо для будь-яких a, b ∈ S rank(a) = rank(b), то SaS = SbS;
2) для будь-якого e ∈ E(S)(rank(e) ≥ 2) iснують iдемпотенти f i g такi, що
f 6= g, f < e, g < e i rank(f) = rank(g) = rank(e)− 1.
Зауваження (див. [3], теорема 1). Якщо ранг довiльного елемента нетривiаль-
ної iнверсної напiвгрупи S з нулем не перевищує 1, то напiвгрупа S переставна
тодi i лише тодi, коли вона є напiвгрупою Брандта.
Лема 2. Якщо для скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи S напiвгрупа
PA(S) є переставною, то S є або напiврешiткою, або абелевою групою.
Доведення. Вiдомо [5], що комутативна iнверсна напiвгрупа є напiврешiткою
груп. Це означає, що на S iснує конгруенцiя θ така, що S/θ є напiврешiткою i
кожний клас цiєї конгруенцiї є групою. Припустимо, що |S/θ| ≥ 2. Оскiльки напiв-
решiтка E(S) скiнченна, то вона мiстить найменший елемент 0. Позаяк |S/θ| ≥ 2,
то iснує вiдмiнний вiд 0 iдемпотент f ∈ E(S). Очевидно, що A = {f, 0} ∈ Sub(S)
i h(A) = 2. Припустимо, що деякий клас B конгруенцiї θ не є одноелементним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1222 В. Д. ДЕРЕЧ
Очевидно, що група B мiстить просту нетривiальну пiдгрупу C. Отже, h(C) = 2.
Оскiльки h(C) = h(A), то згiдно з теоремою 1 A ∼= C. Позаяк A є нетривiальною
напiврешiткою, а C — нетривiальна група, то одержуємо суперечнiсть. Отже, у
випадку коли |S/θ| ≥ 2 напiвгрупа S є напiврешiткою. Якщо ж |S/θ| = 1, то S —
група.
Лему 2 доведено.
Твердження 3. Нехай S — скiнченна напiврешiтка. Iнверсна напiвгрупа
PA(S) переставна тодi i тiльки тодi, коли напiврешiтка S є або ланцюгом або
примiтивною напiврешiткою.
Доведення. Нехай iнверсна напiвгрупа PA(S) є переставною. Нехай l(S) ≥ 2,
де l(S) — довжина напiврешiтки S.Припустимо, що S не є ланцюгом, тодi S мiстить
лiнiйно впорядковану пiднапiврешiтку A (до того ж |A| = 3) i пiднапiврешiтку B
(|B| = 3), яка не є ланцюгом. Очевидно, A � B. Оскiльки PA(S) — переставна
iнверсна напiвгрупа, то (див. [6], теорема 4) її iдеали лiнiйно впорядкованi вiдносно
включення. Крiм того, h(A) = h(B) = 3, тому згiдно з теоремою 1 A ∼= B.
Суперечнiсть. Таким чином, напiврешiтка S є або ланцюгом, або примiтивною
напiврешiткою.
Доведемо зворотне твердження. Нехай S — лiнiйно впорядкована напiврешiтка.
Тодi, очевидно, Sub(S) = B(S) (де B(S) — булеан S). Вище вже вiдмiчалося, що
напiврешiтка (в даному разi — решiтка) iдемпотентiв iнверсної напiвгрупи PA(S)
iзоморфна решiтцi Sub(S). Отже, умова 2 (див. твердження 2) очевидно викону-
ється. Крiм того, для будь-яких A, B ∈ Sub(S) з умови h(A) = h(B) випливає
рiвнiсть |A| = |B|, а отже, A ∼= B. Це означає (див. теорему 1), що iдеали напiв-
групи PA(S) утворюють ланцюг вiдносно включення. Отже, умова 1 твердження
2 (див. також теорему 1 i твердження 1) виконується. Таким чином, напiвгрупа
PA(S) є переставною.
Якщо ж S — примiтивна нетривiальна напiврешiтка, то, мiркуючи аналогiчно,
переконуємося, що PA(S) є переставною.
Твердження 3 доведено.
Для з’ясування структури групи з переставною напiвгрупою локальних авто-
морфiзмiв нам знадобляться ще двi леми.
Лема 3. Якщо S — переставна iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з нулем,
то кожний її ненульовий iдемпотент є об’єднанням атомiв у напiврешiтцi E(S).
Доведення. Твердження леми є очевидним для атомiв напiврешiтки E(S). Не-
хай тепер кожний iдемпотент рангу k − 1 є об’єднанням атомiв. Беремо довiльний
iдемпотент, e причому rank(e) = k. Згiдно з твердженням 2 iснують iдемпотенти
f i g такi, що f 6= g, f < e, g < e i rank(f) = rank(g) = rank(e) − 1. Звiд-
си f ≺ e i g ≺ e (тут ≺ — знак покриття). Легко довести, що e = sup{f, g}.
Оскiльки rank(f) = rank(g) = k − 1, то f = sup(A1) i g = sup(A2) для де-
яких A1 i A2, що включаються в множину атомiв напiврешiтки E(S). Отже,
e = f ∨ g = sup(A1) ∨ sup(A2) = sup(A1 ∪ A2). Тобто елемент e є об’єднан-
ням деякої множини атомiв напiврешiтки E(S). Таким чином, твердження леми
доведено iндукцiєю за рангом елемента.
Лема 4. Нехай S — переставна iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з нулем.
Якщо ненульовi iдемпотенти b i c такi, що b 6= c i rank(b) = rank(c), то iснує
атом a ∈ E(S) такий, що a ≤ b i a ‖ c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СТРУКТУРА СКIНЧЕННОЇ КОМУТАТИВНОЇ IНВЕРСНОЇ НАПIВГРУПИ . . . 1223
Доведення. Позначимо через A(b) i A(c) атоми вiдповiдно iдемпотентiв b i
c в напiврешiтцi E(S). Скориставшись попередньою лемою, легко довести, що
b = sup(A(b)) i c = sup(A(c)). Припустимо, що A(b) ⊆ A(c), тодi sup(A(b)) ≤
≤ sup(A(c)), тобто b ≤ c. Оскiльки за умовою b 6= c, то b < c. Звiдси rank(b) <
< rank(c), що суперечить умовi. Отже, A(b) * A(c). Це означає, що iснує атом
a ∈ E(S) такий, що a ∈ A(b) i a /∈ A(c). Звiдси a ≤ b i a ‖ c.
Лему 4 доведено.
Пiдсумуємо результати цього пункту.
Теорема 2. Нехай S — скiнченна комутативна iнверсна напiвгрупа. Напiв-
група PA(S) є переставною в таких i лише таких випадках:
1) S — лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
2) S — примiтивна напiврешiтка;
3) S — елементарна абелева p-група.
Доведення. Нехай S — скiнченна комутативна iнверсна напiвгрупа така, що
напiвгрупа PA(S) є переставною. Тодi згiдно з лемою 2 напiвгрупа S є або напiв-
решiткою, або абелевою групою. Якщо S — напiврешiтка, то згiдно з твердженням 3
вона є або ланцюгом, або примiтивною напiврешiткою. I навпаки, якщо напiвре-
шiтка S є ланцюгом або примiтивною напiврешiткою, то, згiдно з твердженням 3,
iнверсна напiвгрупа PA(S) є переставною.
Нехай тепер S — група така, що iнверсний моноїд PA(S) є переставним, i
|S| = m. Припустимо, що простi числа p1 i p2 (p1 6= p2) є дiльниками числа m. За
теоремою Кошi група S мiстить пiдгрупи A i B, порядки яких вiдповiдно p1 i p2.
Оскiльки напiвгрупа PA(S) переставна, то її iдеали лiнiйно впорядкованi вiдносно
включення (див. [6], теорема 4). Позаяк h(A) = h(B) = 1, то згiдно з теоремою 1
A ∼= B. Суперечнiсть. Таким чином, число m має лише один простий дiльник.
Позначимо його через p. Звiдси m = pn для деякого натурального числа n.
Твердження теореми будемо доводити iндукцiєю за висотою пiдгрупи в решiтцi
Sub(S). Нехай G2 — пiдгрупа групи S порядку p2. Тодi h(G2) = 2. Пiдгрупа G2
мiстить групу A, порядок якої p. Згiдно з твердженням 2 iснує пiдгрупа B така, що
B ⊂ G2, B 6= A i h(A) = h(B). З останньої рiвностi згiдно з теоремою 1 маємо
A ∼= B. Оскiльки A ∩ B = {e}, то G2 = A · B ∼= A × A. Оскiльки усi пiдгрупи
порядку p2 мають висоту 2 в решiтцi Sub(S), то за теоремою 1 вони попарно
iзоморфнi мiж собою. Отже, кожна пiдгрупа порядку p2 є елементарною абелевою
p-групою.
Нехай тепер G3 — довiльна пiдгрупа порядку p3. Отже, h(G3) = 3. Згiдно
з твердженням 2 iснують пiдгрупи C i D, кожна з яких порядку p2, такi, що
C 6= D, C ⊂ G3, D ⊂ G3 i h(C) = h(D). Згiдно з лемою 4 iснує пiдгрупа
F (|F | = p) така, що F * C i F ⊂ D. Оскiльки C ∩ F = {e}, |F | = p, |C| = p2,
то G3 = C · F ∼= A × A × A, де |A| = p. Позаяк усi пiдгрупи порядку p3 мають
висоту 3 в решiтцi Sub(S), то за теоремою 1 вони попарно iзоморфнi мiж собою.
Отже, кожна пiдгрупа порядку p3 є елементарною абелевою p-групою. Аналогiчно
продовжуючи цей алгоритм, переконуємося, що група S є елементарною абелевою
p-групою порядку pn.
Доведемо тепер зворотне твердження. Окремо розглянемо випадок, коли |S| =
= p, тодi PA(S) = Aut(S) ∪
{(
e
e
)}
, де e — одиниця групи S. Зазначимо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1224 В. Д. ДЕРЕЧ
елемент
(
e
e
)
∈ PA(S) є зовнi приєднаним нулем до групи автоморфiзмiв Aut(S).
Вiдомо, що будь-якi двi конгруенцiї довiльної групи комутують вiдносно компози-
цiї бiнарних вiдношень, тобто група є переставною напiвгрупою. Легко довести,
що група з зовнi приєднаним нулем теж є переставною. Нехай тепер група S є
елементарною абелевою p-групою порядку pn, n ≥ 2. Доведемо спочатку, що iде-
али iнверсної напiвгрупи PA(S) лiнiйно впорядкованi. Нехай B i C — довiльнi
пiдгрупи такi, що h(B) = h(C) = k, тодi |B| = |C| = pk для деякого числа k.
Оскiльки група S є прямим добутком циклiчних груп, то пiдгрупи B i C теж є
прямим добутком циклiчних груп. Позаяк кожний елемент (вiдмiнний вiд одиницi)
групи S має порядок p, то нетривiальнi циклiчнi пiдгрупи групи S вичерпуються
пiдгрупами порядку p. Отже, групи B i C є прямим добутком циклiчних груп по-
рядку p. Оскiльки |B| = |C|, то B ∼= C. Таким чином, згiдно з теоремою 1 iдеали
напiвгрупи PA(S) утворюють ланцюг вiдносно включення.
Нехай тепер D — довiльна пiдгрупа групи S порядку pr, r ≥ 2. Розглянемо
окремо випадок |D| = p2. Оскiльки група D не є циклiчною, то вона мiстить двi
рiзнi пiдгрупиM i T такi, щоM ⊂ D, T ⊂ D i h(M) = h(T ) = h(D)−1 = 1. Отже,
для будь-якої пiдгрупи порядку p2 виконується умова 2 твердження 2. Якщо |D| =
= pr, r ≥ 3, то вона мiстить деяку пiдгрупу F порядку pr−1. Далi скористаємося
твердженням (див. [7], теорема 12.5.3), яке формулюється так:
Група порядку pn, яка мiстить лише одну пiдгрупу порядку pm, де 1 < m < n,
є циклiчною.
Оскiльки група D не є циклiчною, то група D мiстить принаймнi ще одну
пiдгрупу K порядку pr−1. Оскiльки F 6= K, F ⊂ D, K ⊂ D i h(F ) = h(K) =
= h(D)− 1 = r − 1, то виконується умова 2 твердження 2. Таким чином, згiдно з
твердженням 2 iнверсна напiвгрупа PA(S) є переставною.
Теорему 2 доведено.
4. Структура скiнченної в’язки, напiвгрупа локальних автоморфiзмiв якої
є переставною. Нехай S — скiнченна в’язка, тобто напiвгрупа, всi елементи якої
є iдемпотентами. Вiдомо [5], що на будь-якiй в’язцi S вiдношення Грiна J є
конгруенцiєю, до того ж кожний клас цiєї конгруенцiї є прямокутною в’язкою i
фактор-напiвгрупа S/J є напiврешiткою. Коротше кажучи, в’язка S є напiврешi-
ткою прямокутних в’язок.
В’язку S назвемо структурно рiвномiрною, якщо для будь-якихA, B ∈ Sub(S)
з умови h(A) = h(B) випливає A ∼= B.
Лема 5. Якщо скiнченна в’язка S є структурно рiвномiрною, то кожний клас
конгруенцiї J є або напiвгрупою правих нулiв, або напiвгрупою лiвих нулiв.
Доведення. Кожний клас конгруенцiї J є прямокутною в’язкою. Нехай C — до-
вiльний клас цiєї конгруенцiї. Як вiдомо [5], прямокутна в’язка є прямим добутком
напiвгрупи правих i лiвих нулiв, тобто C ∼= A×B, де A — напiвгрупа лiвих нулiв,
а B — напiвгрупа правих нулiв. Нехай |A| > 1 i |B| > 1. Далi, нехай a1, a2 ∈ A
i a1 6= a2, а також b1, b2 ∈ B i b1 6= b2. Напiвгрупа K = {(a1, b1), (a1, b2)} є (з
точнiстю до iзоморфiзму) пiднапiвгрупою класу C. Очевидно, що K є напiвгрупою
правих нулiв. Тепер розглянемо пiднапiвгрупу M = {(a1, b1), (a2, b1)}. Очевидно,
що M є напiвгрупою лiвих нулiв. Крiм того, h(K) = h(M) = 2. Оскiльки за умо-
вою в’язка S є структурно рiвномiрною, то K ∼= M. Суперечнiсть. Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СТРУКТУРА СКIНЧЕННОЇ КОМУТАТИВНОЇ IНВЕРСНОЇ НАПIВГРУПИ . . . 1225
|A| = 1 або |B| = 1. Звiдси робимо висновок, що кожний клас C конгруенцiї J є
або напiвгрупою лiвих нулiв, або напiвгрупою правих нулiв.
Лему 5 доведено.
Лема 6. Нехай S — скiнченна структурно рiвномiрна в’язка. Якщо |S/J | ≥ 2,
то нульовий клас конгруенцiї J є одноелементним.
Доведення. Позначимо нульовий клас конгруенцiї J через K. Припустимо, що
|K| ≥ 2. За попередньою лемою кожний клас конгруенцiїJ є або напiвгрупою лiвих
нулiв, або напiвгрупою правих нулiв. Нехай для конкретностi клас K є напiвгрупою
лiвих нулiв (тобто xy = x для будь-яких x, y ∈ K). Оскiльки |S/J | ≥ 2, то iснує
клас A конгруенцiї J , вiдмiнний вiд K. Зрозумiло, що K·A ⊆ K i A ·K ⊆ K. Нехай
x ∈ K i a ∈ A, тодi xa = (xx)a = x(xa) = x. Розглянемо множину {a, x, ax}.
Можливi два випадки:
1) ax = x;
2) ax 6= x.
Якщо ax = x, то {a, x} — пiднапiвгрупа напiвгрупи S. За припущенням |K| ≥ 2,
тому знайдуться u, v ∈ K такi, що u 6= v. Очевидно, що {u, v} — пiднапiвгрупа,
до того ж h({a, x}) = h({u, v}) = 2. Отже, {a, x} ∼= {u, v}. Оскiльки {a, x} є
комутативною напiвгрупою, а напiвгрупа {u, v} не комутативна, то приходимо до
суперечностi.
Нехай тепер ax 6= x, тодi {a, x, ax} — пiднапiвгрупа. Легко перевiрити, що
{a, ax} — напiврешiтка. Крiм того, h({a, ax}) = h({u, v}) = 2. Звiдси {a, ax} ∼=
∼= {u, v}. Суперечнiсть. Отже, |K| = 1. Таким чином, K = {0}.
Лему 6 доведено.
Лема 7. Нехай S — скiнченна структурно рiвномiрна в’язка. Якщо |S/J | ≥ 2,
то S — напiврешiтка.
Доведення. Вище ми довели, що напiвгрупа S мiстить нуль 0. Покажемо, що
кожний вiдмiнний вiд нульового клас конгруенцiї J є одноелементним. Припус-
тимо протилежне, тобто iснує клас A конгруенцiї J такий, що |A| ≥ 2. Згiдно з
лемою 5 клас A є або напiвгрупою лiвих нулiв, або напiвгрупою правих нулiв. Не-
хай u, v ∈ A i u 6= v. Очевидно, що {0, u} є напiврешiткою, а {u, v} — напiвгрупою
лiвих або правих нулiв. Легко перевiрити, що h({0, u}) = h({u, v}) = 2. Оскiльки
в’язка S є структурно рiвномiрною, то {0, u} ∼= {u, v}. Суперечнiсть. Отже, в’язка
S є напiврешiткою.
Лему 7 доведено.
Лема 8. Повний список скiнченних структурно рiвномiрних напiврешiток є
таким:
1) лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
2) примiтивна напiврешiтка.
Доведення. Легко перевiрити, що напiврешiтка з даного списку є структурно
рiвномiрною. Покажемо, що iнших структурно рiвномiрних скiнченних напiврешi-
ток немає.
Нехай S — скiнченна структурно рiвномiрна напiврешiтка, довжина якої ≥ 2.
Покажемо, що в цьому випадку S є лiнiйно впорядкованою напiврешiткою. При-
пустимо протилежне, тобто iснують принаймнi два елементи a i b такi, що a ‖ b.
Очевидно, що {a, b, ab} — пiднапiврешiтка. Оскiльки довжина напiврешiтки S не
менша 2, то iснують три елементи x, y, z ∈ S такi, що x < y < z. Легко перевiрити,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1226 В. Д. ДЕРЕЧ
що h({a, b, ab}) = h({x, y, z}). Звiдси випливає, що {a, b, ab} ∼= {x, y, z}). Позаяк
a ‖ b i {x, y, z} — лiнiйно впорядкована напiврешiтка, то одержуємо суперечнiсть.
Якщо ж довжина напiврешiтки S не перевищує 1, то S або тривiальна, або
примiтивна.
Лему 8 доведено.
Теорема 3. Нехай S — скiнченна в’язка. Напiвгрупа PA(S) є переставною в
таких i лише в таких випадках:
1) S — лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
2) S — примiтивна напiврешiтка;
3) S — напiвгрупа лiвих нулiв;
3) S — напiвгрупа правих нулiв.
Доведення. Нехай iнверсна напiвгрупа PA(S) є переставною. Тодi (див. теоре-
му 1 i твердження 2) в’язка S є структурно рiвномiрною. Якщо |S/J | ≥ 2, то (див.
лему 7) в’язка S є напiврешiткою. Згiдно з лемою 8 вона або лiнiйно впорядкована,
або є примiтивною напiврешiткою. Якщо ж |S/J | = 1, то згiдно з лемою 5 в’язка
S є напiвгрупою лiвих або напiвгрупою правих нулiв.
Залишилося показати, що для будь-якої в’язки з перелiчених в теоремi iнверс-
на напiвгрупа локальних автоморфiзмiв PA(S) є переставною. Вище (див. твер-
дження 3) ми вже показали, що для скiнченної примiтивної i скiнченної лiнiйно
впорядкованої напiврешiтки iнверсна напiвгрупа PA(S) є переставною. Якщо ж S
є напiвгрупою лiвих (правих) нулiв, то, очевидно, що в цьому випадку напiвгрупа
PA(S) збiгається з симетричною iнверсною напiвгрупою на множинi S. Викорис-
товуючи той факт, що конгруенцiї на скiнченнiй симетричнiй групi утворюють
ланцюг, а також опис конгруенцiй на скiнченнiй симетричнiй iнверснiй напiвгрупi
(див. [8], теорема 6.3.10), легко довести, що решiтка конгруенцiй на напiвгрупi
PA(S) утворює ланцюг, а отже, напiвгрупа PA(S) є переставною.
Теорему 3 доведено.
1. Либих А. Л. Инверсные полугруппы локальных автоморфизмов абелевых групп // Исследования
по алгебре. – 1973. – Вып. 3. – С. 25 – 33.
2. Goberstein S. M. Inverse semigroups with certain types of partial automorphism monoids // Glasgow
Math. J. – 1990. – 32. – P. 189 – 195.
3. Дереч В. Д. Характеристика напiврешiтки iдемпотентiв переставної iнверсної напiвгрупи скiнчен-
ного рангу з нулем // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1353 – 1362.
4. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 4. – С. 469 – 473.
5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т. 1, 2.
6. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1975. –
10. – P. 55 – 66.
7. Холл М. Теория групп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 468 с.
8. Ganyushkin O., Mazorchuk V. Classical finite transformation semigroups. An introduction. – Springer,
2009. – xii + 314 p.
Одержано 24.06.10,
пiсля доопрацювання — 22.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2799 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:32Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/42c403bd0d7a5cd1514aa16572f9b04a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27992020-03-18T19:36:55Z Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable Структура скінченної комутативної інверсної напівгрупи і скінченної в'язки, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставним Derech, V. D. Дереч, В. Д. For a semigroup $S$, the set of all isomorphisms between subsemigroups of $S$ is an inverse monoid with respect to composition, which is denoted by $P A(S)$ and is called the monoid of local automorphisms of $S$. A semigroup $S$ is called permutable if, for any pair of congruences $p, \sigma$ on $S$, one has $p \circ \sigma = \sigma \circ p$. We describe the structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite band whose monoids of local automorphisms are permutable. Для полугруппы $S$ множество всех изоморфизмов между подполугруппами полугруппы $S$ относительно композиции является инверсным моноидом, который обозначается через $P A(S)$ и называется моноидом локальных автоморфизмов полугруппы $S$. Полугруппа $S$ называется переставной, если для любой пары конгруэнций $p, \sigma$ на $S\;$ $p \circ \sigma = \sigma \circ p$. В данной статье описана структура конечной коммутативной инверсной полугруппы и конечной связки, чьи моноиды локальных аавтоморфизмов являются переставными. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2799 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1218-1226 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1218-1226 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2799/2351 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2799/2352 Copyright (c) 2011 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title | Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_alt | Структура скінченної комутативної інверсної напівгрупи і скінченної в'язки, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставним |
| title_full | Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_fullStr | Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_full_unstemmed | Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_short | Structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_sort | structure of a finite commutative inverse semigroup and a finite bundle for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2799 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd structureofafinitecommutativeinversesemigroupandafinitebundleforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutable AT derečvd structureofafinitecommutativeinversesemigroupandafinitebundleforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutable AT derechvd strukturaskínčennoíkomutativnoíínversnoínapívgrupiískínčennoív039âzkidlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnim AT derečvd strukturaskínčennoíkomutativnoíínversnoínapívgrupiískínčennoív039âzkidlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnim |