On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary
For a solution of a reflection problem on a half-line similar to the Skorokhod reflection problem but with possible jump-like exit from zero, we obtain an explicit formula and study its properties. We also construct a Wiener process on a half-line with Wentzell boundary condition as a strong soluti...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2801 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508774239830016 |
|---|---|
| author | Pilipenko, A. Yu. Пилипенко, А. Ю. Пилипенко, А. Ю. |
| author_facet | Pilipenko, A. Yu. Пилипенко, А. Ю. Пилипенко, А. Ю. |
| author_sort | Pilipenko, A. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | For a solution of a reflection problem on a half-line similar to the Skorokhod reflection problem but with
possible jump-like exit from zero, we obtain an explicit formula and study its properties.
We also construct a Wiener process on a half-line with Wentzell boundary condition as a strong solution
of a certain stochastic differential equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
А. Ю. Пилипенко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ОТРАЖЕНИЕМ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ
СКАЧКООБРАЗНОГО ВЫХОДА ИЗ ГРАНИЦЫ*
For a solution of a reflection problem on a half-line similar to the Skorokhod reflection problem but with
possible jump-like exit from zero, we obtain an explicit formula and study its properties.
We also construct a Wiener process on a half-line with Wentzell boundary condition as a strong solution
of a certain stochastic differential equation.
Отримано явну формулу та дослiджено властивостi розв’язку задачi вiдбиття на пiвпрямiй, подiбної до
задачi вiдбиття Скорохода, але з можливiстю стрибкоподiбного виходу з нуля.
Також побудовано вiнеровий процес на пiвпрямiй з граничною умовою Вентцеля як сильний розв’я-
зок деякого стохастичного диференцiального рiвняння.
Введение. Рассмотрим линейный оператор второго порядка L = a(x)
d2
dx2
+
+ b(x)
d
dx
, x ≥ 0, где b — непрерывная функция, a — непрерывная и положи-
тельная функция. Известно, что если {Tt, t ≥ 0} — феллеровская полугруппа в
Cb([0,∞)) и ее генератор A является сужением (L,C2
b ([0,∞))), то функции из
D(A) ⊂ C2
b ([0,∞)) должны удовлетворять граничному условию вида
qf(0) +
∞∫
0
(f(x)− f(0))µ(dx) + γf ′(0) + σLf(0) = 0,
где q ≥ 0, γ ≥ 0, σ ≥ 0, µ — мера на (0,∞). Соответствующее утверждение было
получено А. Д. Вентцелем [1] (см. [2] для многомерного случая). Неформально
коэффициенты q, γ, σ отвечают за „погибание” процесса в нуле, „непрерывное,
мгновенное” отражение в нуле и „залипание” в нуле соответственно. Мера µ отве-
чает за скачкообразный выход процесса из нуля.
Построениям марковских процессов с граничными условиями Вентцеля посвя-
щено множество работ (см., например, [3 – 13] и приведенную там библиографию).
Отметим отдельно подход А. В. Скорохода [3], который предложил стохастические
дифференциальные уравнения, соответствующие граничному условию f ′(0) ≡ 0,
а именно, уравнения вида
dξ(t) = b(ξ(t))dt+
√
a(ξ(t))dw(t) + dL(t), t ≥ 0,
где ξ(t) ≥ 0 при t ≥ 0,
L — монотонный, непрерывный, Ft-согласованный процесс, L(0) = 0, (1)
L(t) =
t∫
0
1Iξ(s)=0dL(s), t ≥ 0. (2)
*Выполнена при частичной поддержке гранта Государственного фонда фундаментальных исследо-
ваний Украины и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № Ф40.1/023.)
c© А. Ю. ПИЛИПЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1241
1242 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Последнее условие означает, что процесс L может возрастать лишь в те момен-
ты времени, когда ξ попадает в 0.
Отправной точкой для решения описанных выше стохастических уравнений
было решение следующей детерминированной задачи. Для непрерывной (неслу-
чайной) функции w,w(0) ≥ 0, найти такие непрерывные функции x и L, что
x(t) = w(t) + L(t), t ≥ 0, (3)
L непрерывна, монотонно не убывает, L(0) = 0, (4)
L(t) =
t∫
0
1Ix(s)=0dL(s), t ≥ 0, (5)
x(t) ≥ 0, t ≥ 0. (6)
Известно, что решение проблемы Скорохода (3) – (6) существует, единственно
и задается формулами
L(t) = (Γw)(t) := − min
s∈[0,t]
{w(s) ∧ 0},
x(t) = w(t) + L(t).
Отметим также работы С. В. Ануловой [5, 6], в которых диффузии с гранич-
ными условиями Вентцеля были получены как слабые решения некоторых сто-
хастических дифференциальных уравнений. Например, если q = σ = 0, то полу-
группа {Tt} соответствовала бы уравнению
dξ(t) = b(ξ(t))dt+
√
a(ξ(t))dw(t) + dL(t) + dΠ(L(t)), t ≥ 0,
где L удовлетворяет условиям (4), (5), Π — некоторый неубывающий процесс с
независимыми приращениями, не зависимый от w.
Замечание 1. В работах [5, 6] рассматривалась, вообще говоря, гораздо более
общая многомерная ситуация.
Целью данной работы является получение явной формулы и исследование
свойств для решения задачи отражения, подобной проблеме Скорохода (3) – (6),
но с возможностью скачкообразного выхода из нуля.
В частности, будет доказано, что если Π — неубывающий, скачкообразный про-
цесс Леви (с возможно бесконечной мерой Леви), не зависимый отw, то существует
единственное сильное решение стохастического уравнения
dξ(t) = dw(t) + dL(t) + dΠ(L(t)), t ≥ 0,
где L удовлетворяет (4), (5).
При этом будет показано, что пара (ξ(t), L(t)), t ≥ 0, является решением сле-
дующей проблемы мартингалов. Процесс
f(ξ(t))− 1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s))ds−
f ′(0) +
∞∫
0
(f(u)− f(0))µ(du)
L(t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1243
является мартингалом для любой f ∈ C2([0,∞)), имеющей компактный носитель.
Здесь µ — мера Леви процесса Π.
1. О решении одной задачи отражения. Пусть C([0,∞)) и D([0,∞)) — про-
странства непрерывных функций и, соответственно, функций, непрерывных справа
и имеющих пределы слева. Введем в них топологию с помощью следующих мет-
рик. Положим
ρ(f, g) = sup
t≥0
e−t(|f(t)− g(t)| ∧ 1), f, g ∈ C([0,∞)),
т. е. топология в C([0,∞)) соответствует равномерной сходимости на компактах.
Пусть Λ — множество непрерывных возрастающих функций λ : [0;∞)→ [0;∞)
таких, что
‖λ‖ := sup
s,t∈[0;∞),s<t
log(
λ(t)− λ(s)
t− s
) <∞.
Положим
d(f, g) =
∑
n≥1
2−n
(
inf
λ1,λ2∈Λ
(‖λ1‖+ ‖λ2‖+ sup
t∈[0;n]
|f(λ1(t))− g(λ2(t))|) ∧ 1
)
для f, g ∈ D([0,∞)).
ЧерезC0([0,∞)) иD0([0,∞)) обозначим подпространстваC([0,∞)) иD([0,∞)),
соответственно, функций, удовлетворяющих условию f(0) = 0.
Пусть w ∈ C0([0,∞)) — непрерывная функция, F ∈ D0([0,∞)) — возрастаю-
щая функция.
Пусть x0 ≥ 0. Рассмотрим систему уравнений относительно пары неизвестных
функций (ξ, L):
ξ(t) = x0 + w(t) + F (L(t)), t ∈ [0,∞), (7)
L(0) = 0, L монотонно не убывает и непрерывна, (8)
t∫
0
1Iξ(s)=0dL(s) = L(t), t ∈ [0,∞), (9)
ξ(t) ≥ 0, t ∈ [0,∞). (10)
Условие (9) означает, что функция L возрастает лишь в те моменты времени,
когда функция ξ попадает в 0.
Систему (7) – (10) будем обозначать через W (x0, w, F ). Если же уравнение (7)
заменено на
ξ(t) = w(t) + F (L(t)), t ∈ [0,∞),
где w ∈ C([0,∞)), w(0) ≥ 0 (w(0) не обязательно равно нулю), то систему будем
обозначать через W (w,F ), т. е. W (w,F ) = W (w(0), w(·)− w(0), F ).
Рассмотрим два важных примера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1244 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Пример 1. Пусть F (x) = x. Тогда система (7) – (10) принимает вид
ξ̃(t) = x0 + w(t) + L̃(t), t ∈ [0,∞), (11)
L̃(0) = 0, L̃ монотонно не убывает и непрерывна, (12)
t∫
0
1Iξ̃(s)=0dL̃(s) = L̃(t), t ∈ [0,∞), (13)
ξ̃(t) ≥ 0. (14)
Данная система впервые была предложена А. В. Скороходом [3]. Решение этой
системы существует, единственно и дается формулой
L̃(t) = Γ(x0 + w(·))(t), ξ̃(t) = x0 + w(t) + L̃(t), (15)
где
(Γf)(t) = − min
s∈[0,t]
{f(s) ∧ 0}. (16)
Задачу Скорохода (11) – (14) будем обозначать через S(x0, w) или S(w), если
вместо (11) рассматривается уравнение ξ̃(t) = w(t) + L̃(t) с w(0) ≥ 0, т. е. S(w) =
= S(w(0), w(·)− w(0)).
Известно, что если w(t), t ≥ 0, является винеровским процессом, то L̃(t), t ≥ 0,
— локальное время в нуле отраженного винеровского процесса ξ̃(t), t ≥ 0.
Пример 2. Предположим, что F (x) = x + Π(x), где Π(x) =
=
∑n
k=1
ak1I(bk,bk+1](x), 0 < a1 < . . . < an, 0 < b1 < . . . < bn < bn+1 = +∞, —
скачкообразная неубывающая функция, имеющая конечное число скачков, либо
Π(x) =
∞∑
k=1
ak1I(bk,bk+1](x),
0 < a1 < . . . < an < . . . , 0 < b1 < . . . < bn < . . . , limn→∞ bn = +∞.
В этом случае решение системы W (x0, w, F ) можно получить следующим об-
разом. Пусть (ξ̃, L̃) — решение задачи Скорохода S(x0, w). Обозначим через t1
момент, в который L̃ достигaeт уровня a1. Положим ξ(t) := ξ̃(t), t ∈ [0, t1),
ξ(t1) := b1. Затем снова будем решать задачу Скорохода при t ≥ t1 с начальным
условием ξ̃(t1) = b1, L̃(t1) = 0 до тех пор пока (новая) функция L̃ не достиг-
нет уровня a2 − a1 в некоторый момент t2. Положим ξ(t) := ξ̃(t), t ∈ [t1, t2),
ξ(t2) := b2 − b1. И так далее.
Пусть {w(t), t ≥ 0} — винеровский процесс, {Π(t), t ≥ 0} — не зависимый от
{w(t), t ≥ 0} неубывающий процесс Леви с конечной мерой Леви µ. Отметим, что
Π(t) является составным пуассоновским процессом и представим в виде
Π(t) =
N(t)∑
n=1
ψn,
где N(t), t ≥ 0, — пуассоновский процесс с интенсивностью α = µ((0,∞)), {ψn,
n ≥ 1} — н. о. р. случайные величины, не зависимые от N(t), t ≥ 0, такие, что
P(ψn ≤ x) = µ((0, x])/α.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1245
Процесс {Π(t), t ≥ 0} удовлетворяет сформулированным выше условиям при-
мера и решение задачи W (x0, w, F ) с F (x) = x + Π(x) можно получить, после-
довательно решая задачу Скорохода и добавляя необходимые скачки. Несложно
также видеть, что процесс L будет локальным временем для ξ в нуле.
Отметим, что если процесс Π имеет бесконечную меру Леви, то с вероят-
ностью 1 он имеет бесконечное число скачков на каждом интервале и рассуждения
из примера 2 неприменимы.
Основным результатом данного пункта является следующая теорема.
Теорема 1. Предположим, что F ∈ D0([0,∞)) — строго возрастающая
функция,
lim
x→∞
F (x) =∞.
Тогда существует единственное решение системы W (x0, w, F ). При этом
L(t) = F (−1)(Γ(x0 + w(·))(t)), (17)
где отображение Γ задано в (16), а обобщенная обратная функция F (−1) задана
соотношением
F (−1)(x) = inf{y ≥ 0: F (y) ≥ x}. (18)
Доказательство. Единственность получается аналогично доказательству Ско-
рохода в случае F (x) = x. Действительно, пусть (ξ1, L1), (ξ2, L2) — два решения.
Предположим, что ξ1(t) > ξ2(t) для некоторого t > 0. Положим t0 = sup{z ≤
≤ t : ξ1(z) ≤ ξ2(z)}. Поскольку F — возрастающая функция, то
L1(t) > L2(t), L1(t0) ≤ L2(t0). (19)
Из того, что ξ1(s) > ξ2(s) ≥ 0, s ∈ (t0, t], следует, что L1(s) = L1(t), s ∈ (t0, t].
Отсюда с учетом непрерывности L1 следует L1(t0) = L1(t). Это противоречит
(19), так как
L1(t0) = L1(t) > L2(t) ≥ L2(t0) ≥ L1(t0),
что невозможно. Единственность доказана.
Существование. Несложно доказать следующую лемму.
Лемма 1. Пусть F ∈ D([0,∞)) — строго возрастающая функция и
lim
x→∞
F (x) =∞.
Тогда F (−1) является непрерывной неубывающей функцией.
Из леммы 1 и того, что F (0) = 0, следует, что функция L, определенная в (17),
также непрерывна, монотонна, L(0) = 0.
Для завершения доказательства теоремы остается проверить (9), (10) для функ-
ции ξ, определенной в (7).
Пусть {qk} — точки скачков функции F,
xk = F (qk), x̃k = F (qk−).
Заметим, что
F (−1)(x) = qk, x ∈ [x̃k, xk], (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1246 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
F (F (−1)(x)) =
{
x, x /∈ ∪k[x̃k, xk),
xk, x ∈ ∪k[x̃k, xk),
и, в частности,
F (F (−1)(x)) ≥ x.
Поэтому
F (L(t)) ≥ Γ(x0 + w(·))(t), t ∈ [0,∞).
Значит,
ξ(t) ≥ x0 + w(t) + Γ(x0 + w(·))(t).
Правая часть неотрицательна, более того, она совпадает с ξ̃(t) — решением задачи
Скорохода (11) – (14). Таким образом, мы доказали, что
ξ(t) ≥ ξ̃(t) ≥ 0, t ∈ [0,∞). (21)
Проверим (9). Пусть ξ(t) > 0 для некоторого t ∈ (0,∞). Предположим, что
L̃(t) /∈ ∪k[x̃k, xk), где L̃ определяется из (11) – (14) и задано формулой (15). Тогда
F (F (−1)(Γ(x0 + w(·))(t)) = F (F (−1)(L̃(t))) = L̃(t).
Поэтому
ξ(t) = ξ̃(t). (22)
Если ξ̃(t) > 0, то для некоторого ε > 0
ξ̃(s) > 0, s ∈ [t− ε, t+ ε].
Из (13) следует, что L̃(t) = L̃(t− ε)− L̃(t+ ε), т. е.
Γ(x0 + w(·))(t) = Γ(x0 + w(·))(t− ε) = Γ(x0 + w(·))(t+ ε).
Поэтому L(t− ε) = L(t+ ε) и, значит,
∞∫
0
1Iξ(s)>01IL̃(s)/∈∪k[x̃k,xk)dL(s) = 0.
Замечание 2. Из неравенства (21) и справедливости (22) для t таких, что
L̃(t) /∈ ∪k(x̃k, xk) и ξ(t) > 0, следует утверждение
∀ t /∈ L̃−1(∪k[x̃k, xk)) : ξ̃(t) = ξ(t). (23)
Если же L̃(t) ∈ ∪k[x̃k, xk), то L(t) ∈ ∪k{qk} (см. (20)). Поскольку функция L
непрерывна, то
∫
∪k{qk}
dL(t) = 0. Отсюда следует, что
∞∫
0
1Iξ(s)>0dL(s) = 0.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1247
Замечание 3. Пусть tk = inf{t : L̃(t) = xk}, t̃k = sup{t : L̃(t) = x̃k}. Тогда
несложно проверить, что ξ(tk) = 0, ξ(t) > 0 для всех t ∈ [t̃k, tk). Более того,
ξ(t) > ξ̃(t), t ∈ [t̃k, tk). Объединяя это с (23), получаем
ξ(t) = ξ̃(t), t /∈ ∪k[t̃k, tk),
ξ(t) > ξ̃(t), t ∈ ∪k[t̃k, tk),
при этом ∪k[t̃k, tk) = L̃−1(∪k[x̃k, xk)).
2. Предельное поведение решений. В данном пункте исследуется непрерывная
зависимость решений системы (7) – (10) от функций w и F.
Отметим, что функции F, F (−1), L̃ монотонно неубывающие. Приведем ряд
утверждений для композиций монотонных функций из D([0;∞)) или C([0;∞)).
Несложно доказать следующие две леммы.
Лемма 2. Справедливо утверждение
∀ w1, w2 ∈ C([0, T ]) : ‖Γ(w1)− Γ(w2)‖C([0,T ]) ≤ ‖w1 − w2‖C([0,T ]).
Лемма 3. Пусть Fn : [0,∞) → R, n ≥ 0, — последовательность неубываю-
щих функций таких, что F0 ∈ C([0,∞)) и Fn(x) → F0(x), n → ∞, для любого
x ≥ 0. Тогда для любого T > 0 имеет место равномерная сходимость
sup
x∈[0,T ]
|Fn(x)− F0(x)| → 0, n→∞.
Лемма 4. Пусть F0 ∈ D0([0,∞)) — монотонно возрастающая функция,
limx→+∞ F0(x) = +∞. Предположим, что последовательность неубывающих
функций {Fn, n ≥ 1} ⊂ D0([0,∞)) такова, что Fn(x) → F0(x), n → ∞, для
каждого x, являющегося точкой непрерывности функции F0. Тогда
∀ T > 0: sup
x∈[0,T ]
|F (−1)
n (x)− F (−1)
0 (x)| → 0, n→∞.
Замечание 4. Для любого T > 0 найдется n0 такое, что F (−1)
n определено на
[0;T ] для любого n ≥ n0.
Доказательство. Поскольку F (−1)
0 непрерывна (лемма 1), из леммы 3 следует,
что достаточно проверить поточечную сходимость
∀ x > 0: F (−1)
n (x)→ F
(−1)
0 (x), n→∞. (24)
Из предположений о функции F0 следует, что для каждого x0 > 0 существует
единственное y0 ≥ 0, в котором достигается инфимум inf{y : F0(y) ≥ x0}.
Пусть y1 > y0 — произвольная точка непрерывности функции F0. Тогда
lim
n→∞
Fn(y1) = F0(y1) > F0(y0) = x0.
Следовательно,
lim
n→∞
F (−1)
n (x0) ≤ y1. (25)
Аналогично, если y2 — точка непрерывности F0 такая, что y2 < y0, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1248 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
lim
n→∞
Fn(y2) = F0(y2) < x0.
Поэтому
lim
n→∞
F (−1)
n (x0) ≥ y2. (26)
Из (25), (26) и того, что множество точек разрыва F0 не более чем счетно, следует
(24).
Лемма 4 доказана.
Из лемм 2, 4 и теоремы 1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть {Fn, n ≥ 0} ⊂ D0([0,∞)) — последовательность воз-
растающих функций, {wn, n ≥ 0} ⊂ C([0,∞)). Допустим, что:
1) wn(0) ≥ 0, n ≥ 0;
2) limx→+∞ Fn(x) = +∞, n ≥ 0;
3) ∀ T > 0: maxt∈[0,T ] |wn(t)− w0(t)| → 0, n→∞;
4) limn→∞ Fn(x) = F0(x) для любой точки x ≥ 0, являющейся точкой непре-
рывности F0.
Пусть (ξn, Ln) — решение W (wn, Fn).
Тогда для любого T > 0 имеет место равномерная сходимость
max
t∈[0,T ]
|Ln(t)− L0(t)| → 0, n→∞.
Лемма 5. Пусть {Fn, n ≥ 0} ⊂ D([0,∞)) — последовательность неубы-
вающих функций. Обозначим через {tk} множество точек разрыва функции F0.
Последовательность {Fn} сходится к F0 в D([0,∞)) при n → ∞ тогда и
только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) для каждого t, являющегося точкой непрерывности функции F0, имеет
место сходимость
lim
n→∞
Fn(t) = F0(t);
2) для любого tk существует последовательность {tn,k}, limn→∞ tn,k = tk,
такая, что
∆Fn(tn,k)→ ∆F0(tk), n→∞.
Доказательство основывается на определении сходимости в D (см. также [14],
§ 14).
Лемма 6. Пусть {Fn, n ≥ 0} ⊂ D0([0,∞)), {fn, n ≥ 0} ⊂ C([0,∞)) — по-
следовательности неубывающих неотрицательных функций, причем
limx→+∞ F0(x) = +∞. Обозначим через {tn,k} множество разрывов функции
Fn, xn,k = Fn(tn,k), x̃n,k = Fn(tn,k−).
Предположим, что:
1) Fn → F0, n→∞, в D([0,∞));
2) fn → f0, n→∞, в C([0,∞));
3) для любого k уравнение
f0(t) = x̃0,k
имеет не более одного решения.
Тогда Fn ◦ F (−1)
n ◦ fn → F0 ◦ F (−1)
0 ◦ f0, n→∞, в D([0,∞)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1249
Доказательство. Заметим, что
Fn ◦ F (−1)
n (x) =
{
xn,k, x ∈ [x̃n,k;xn,k],
x, x /∈ ∪k[x̃n,k, xn,k].
(27)
Из леммы 5 следует, что для любого k существует такая последовательность {ln},
что
x̃n,ln → x̃0,k и xn,ln → x0,k при n→∞. (28)
Применяя лемму 5 к выражению (27), получаем
Fn ◦ F (−1)
n → F0 ◦ F (−1)
0 , n→∞, в D([0,∞)).
Проверим условие 2 леммы 5 для последовательности {Fn ◦ F (−1)
n ◦ fn}. Точками
разрыва функции F0 ◦ F (−1)
0 ◦ f0 могут быть лишь решения уравнений вида
f0(t) = x̃0,k. (29)
Пусть f0(t0,k) = x̃0,k. Из того, что t0,k — единственное решение (29) и f0 моно-
тонна, следует, что для любого δ > 0
lim
n→∞
fn(t0,k − δ) = f0(t0,k − δ) < f0(t0,k) < f0(t0,k + δ) = lim
n→∞
fn(t0,k + δ).
Из условия 2 леммы 6 и (28) вытекает, что
∃n0 ∀n ≥ n0 ∃ tn,k ∈ (t0,k − δ; t0,k + δ) :
fn(tn,k) = x̃n,k и fn(t) < x̃n,k при t < tn,k.
В силу произвольности δ > 0 отсюда следует, что
∆(Fn ◦ F (−1)
n ◦ fn)(tn,k)→ ∆(F0 ◦ F (−1)
0 ◦ f0)(t0,k), n→∞.
Условие 1 леммы 5 и, соответственно, доказательство леммы 6 вытекают из
следующего утверждения.
Лемма 7. Пусть {Gn, n ≥ 0} — последовательность монотонно неубываю-
щих функций. Предположим, что Gn(x) → G0(x), n → ∞, для каждой точки x,
являющейся точкой непрерывности G0.
Пусть:
1) G0 непрерывна в x0,
2) xn → x0, n→∞.
Тогда limn→∞Gn(xn) = G0(x0).
Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно. Выберем такое δ > 0, что (x0 − δ)
и (x0 + δ) — точки непрерывности G0 и
(G0(x0 + δ)−G0(x0)) ∨ (G0(x0)−G0(x0 − δ)) < ε.
Заметим, что начиная с некоторого номера имеет место включение xn ∈ (x0 −
− δ, x0 + δ). Поэтому
G0(x0 − δ) = lim
n→∞
Gn(x0 − δ) ≤ lim
n→∞
Gn(xn) ≤ lim
n→∞
Gn(xn) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1250 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
≤ lim
n→∞
Gn(x0 + δ) = G0(x0 + δ).
Отсюда следует, что∣∣∣∣ lim
n→∞
Gn(xn)−G(x0)
∣∣∣∣ ∨ ∣∣∣ lim
n→∞
Gn(xn)−G(x0)
∣∣∣ ≤ ε.
В силу произвольности ε > 0 лемма 7 доказана.
Следствие 2. Пусть последовательность возрастающих функций {Fn, n ≥
≥ 0} ⊂ D0([0,∞)) и последовательность {wn, n ≥ 0} ⊂ C([0,∞)), wn(0) ≥ 0,
таковы, что:
1) Fn → F0, n→∞, в D([0,∞));
2) wn → w0, n→∞, в C([0,∞));
3) limx→+∞ Fn(x) = +∞, n ≥ 0.
Обозначим через {tk} множество точек разрыва функции F0, x̃k := F0(tk−).
Предположим, что:
4) для любого x̃k уравнение
Γ(w0)(t) = x̃k
имеет не более одного решения.
Пусть (ξn, Ln) — решение W (wn, Fn).
Тогда ξn → ξ0, n→∞, в D([0,∞)).
Следствие 3. Пусть (ξn, Ln) — решение W (wn, Fn), где
Fn(x) = x+ Π(nx), n ≥ 1,
Π — функция распределения локально конечной атомической меры.
Предположим, что wn → w, n → ∞, в C([0,∞)), Π(+∞) = +∞ и Π моно-
тонно возрастает (т. е. Π имеет скачки на каждом интервале). Обозначим через
{tk} множество точек разрыва Π, x̃k = Π(tk−). Допустим, что для любого k
уравнение
Γw(t) = x̃k
имеет не более одного решения. Тогда
ξn → ξ0, n→∞, в D([0,∞)),
где ξ0 — решение W (w,Π).
Доказательство. Пусть F̃n(x) =
x
n
+ Π(x). Заметим, что
Fn ◦ F (−1)
n = F̃n ◦ F̃ (−1)
n .
Для завершения доказательства осталось воспользоваться следствием 2.
Следствие 4. Пусть {wn}n≥0 — последовательность винеровских процессов,
{Πn}n≥0 — последовательность неубывающих процессов Леви, {xn}n≥0 ⊂ [0,∞).
Допустим, что:
1) процессы w0 и Π0 независимы;
2) wn → w0, n→∞, почти наверное в C([0,∞));
3) Πn → Π0, n→∞, почти наверное в D([0,∞));
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1251
4) limn→∞ xn = x0.
Обозначим через (ξn, Ln) решениеW (xn, wn, Fn), где Fn(x) = x+Πn(x). Тогда
ξn → ξ0, n→∞, почти наверное в D([0,∞));
Ln → L0, n→∞, почти наверное в C([0,∞)).
Для доказательства надо воспользоваться следствиями 1 и 2. Условие 4 cлед-
ствия 2 вытекает из независимости w0, Π0 и того, что распределение Γ(x0 +
+ w0(·))(t) не имеет атомов в (0,∞) для любого t > 0.
Аналогично, из следствий 1 – 3 можно получить такое утверждение.
Следствие 5. Пусть {wn}n≥0 — последовательность винеровских процессов,
Π0 — скачкообразный неубывающий процесс Леви (отсутствует компонента вида
at), {xn}n≥0 ⊂ [0,∞).
Допустим, что:
1) процессы w0 и Π0 независимы;
2) wn → w0, n→∞, почти наверное в C([0,∞));
3) limn→∞ xn = x0.
Положим Πn(t) := Π0(nt), Fn(x) = x+ Πn(x).
Обозначим через (ξn, Ln), n ≥ 1, решения W (xn, wn, Fn), n ≥ 1. Если мера
Леви процесса Π0 бесконечна (т. е. Π0 монотонно возрастающий), то
ξn → ξ0, n→∞, почти наверное в D([0,∞)),
Ln → L0, n→∞, почти наверное в C([0,∞)),
где (ξ0, L0) — решение W (x0, w0,Π0).
Если же мера Леви процесса Π0 конечна, то
ξn(·)→ x0 + w0(·) + Π0 ◦Π
(−1)
0 ◦ Γ(u0 + w0(·)),
n→∞, почти наверное в D([0,∞)).
3. Построение винеровского процесса на полупрямой с граничными усло-
виями Вентцеля. Пусть {w(t), t ≥ 0} — винеровский процесс, {Π(t), t ≥ 0} — не
зависимый от него неубывающий скачкообразный процесс Леви.
Пусть π — пуассоновская точечная мера, соответствующая процессу Π, µ —
мера Леви,
Π(t) =
∫
[0,t]
∞∫
0
λπ(ds, dλ),
Eπ(A× [t1, t2]) = µ(A)(t2 − t1), A ∈ B((0,∞)),
∞∫
0
λ ∧ 1µ(dλ) <∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1252 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
В случае, когда µ — конечная мера, процесс Π имеет ограниченное число скачков
на ограниченных интервалах почти наверное, а если µ — бесконечная мера, то Π
имеет бесконечное число скачков на любом невырожденном интервале времени
почти наверное.
Пусть (ξ(t), L(t)), t ≥ 0, — решение задачи W (x0, w, Π̃), где Π̃(x) = x+ Π(x).
Тогда (см. п. 2)
ξ(t) = x0 + w(t) + L(t) + Π(L(t)),
L(t) = Π̃(−1)(L̃(t)) = Π̃(−1)(Γ(x0 + w(·))(t)),
где обобщенная обратная функция Π̃(−1) задана в (18).
В данном пункте мы покажем, что ξ(t), t ≥ 0, является решением некоторой
проблемы мартингалов, и отождествим процесс L с локальным временем процесса
ξ в нуле.
Введем σ-алгебры:
Fwt = σ(w(s), s ∈ [0, t]), Fw∞ = ∪t≥0Fwt ,
FΠ
t = σ(Π(s), s ∈ [0, t]), FΠ
∞ = ∪t≥0FΠ
t , (30)
FΠ◦L
t = σ(Π(L(s)), s ∈ [0, t]), Ft = Fwt ∪ FΠ◦L
t .
Теорема 2. Предположим, что функция f ∈ C2([0;∞)) имеет компактный
носитель.
Тогда процесс
f(ξ(t))− 1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s))ds−
f ′(0) +
∞∫
0
(f(u)− f(0))µ(du)
L(t)
является Ft-мартингалом.
В частности, если f ′(0) +
∫ ∞
0
(f(u) − f(0))µ(du) = 0, то процесс f(ξ(t)) −
− 1
2
∫ t
0
f ′′(ξ(s))ds является Ft-мартингалом.
Кроме того, L(t) является локальным временем процесса ξ в нуле за интервал
времени [0, t], т. е.
ε−1
t∫
0
1I{ξ(s)∈[0,ε]}ds→ L(t), ε→ 0+, почти наверное.
Замечание 5. Существование и единственность решения даже более общей
проблемы мартингалов доказаны в [7, 8]. Теорема 2 показывает, что процесс ξ, по-
строенный по w и Π указанным в п. 2 способом, действительно является решением
проблемы мартингалов.
Замечание 6. Предположим, что µ((0;∞)) = ∞. Несложно проверить, что
между различными экскурсиями процесса ξ(·) с вероятностью 1 найдутся как экс-
курсии, стартующие из 0, так и экскурсии, стартующие не из 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1253
Доказательство теоремы 2. Проверим, во-первых, что w(t), t ≥ 0, является
Ft-винеровским процессом. Для этого достаточно доказать, что для любых s ≥ 0,
t ≥ 0 случайная величина w(t+ s)− w(t) не зависит от σ-алгебры Ft.
Заметим, что L̃(t) является Fwt -измеримой случайной величиной, а Π̃(−1)(L(t))
— FΠ
∞∪Fwt -измеримой. Поэтому Ft ⊂ FΠ
∞∪Fwt . Из предположений о процессах w
и Π следует, что w(t+s)−w(t) не зависит от FΠ
∞ и от Fwt . Поэтому w(t+s)−w(t)
не зависит от FΠ
∞ ∪ Fwt , а значит, и от Ft.
Процесс Π̃(L(t)) является неубывающим cádlág процессом, согласованным с
потоком Ft.
Из всего изложенного выше следует, что к процессу f(ξ(t)) можно применить
формулу Ито:
f(ξ(t)) = f(ξ(0)) +
1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s−))ds+
t∫
0
f ′(ξ(s−))dL(s)+
+
t∫
0
f ′(ξ(s))dw(s) +
∑
ξ(s−)6=ξ(s)
(f(ξ(s))− f(ξ(s−))).
Заметим, что если ξ(s−) 6= ξ(s), то ξ(s−) = 0 и
f(ξ(s))− f(ξ(s−)) = f(Π(L(s)))− f(0).
Кроме того, f(ξ(s−)) = 0 в точках роста процесса L.
Поскольку процесс ξ имеет не более чем счетное число разрывов, формула Ито
принимает вид
f(ξ(t)) = f(ξ(0)) +
1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s))ds+ f ′(0)L(t)+
+
∑
ξ(s−) 6=ξ(s)
(f(Π(L(s)))− f(0)) +
t∫
0
f ′(ξ(s))dw(s) =
= f(ξ(0)) +
1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s))ds+ f ′(0)L(t) +
L(t)∫
0
∞∫
0
(f(u)− f(0))π(ds, du).
Из предположения о функции f следует, что
|f(u)− f(0)| ≤ (sup
v
|f ′(v)|u) ∧ sup
v
|f(v)| ≤ K(u ∧ 1),
где K = const.
Следовательно, процесс
M(t) =
t∫
0
∞∫
0
(f(u)− f(0))π(ds, du)−
∞∫
0
(f(u)− f(0))µ(du)t
является FΠ
t -мартингалом, а также FΠ
t ∪ Fw∞-мартингалом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1254 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что процесс {M(L(t)), t ≥
≥ 0} удовлетворяет соотношению
∀t1 ≤ t2 : E(M(L(t2))/Ft1) = M(L(t1)) почти наверное. (31)
Заметим, что для любого t0 ≥ 0 случайная величина L(t0) = Π̃(−1)(L̃(t0))
является FΠ
t ∪ Fw∞-моментом остановки. Действительно, для любого t ≥ 0
{Π̃(−1)(L̃(t0)) ≤ t} = {Π̃(t) ≥ L̃(t0)} ∈ FΠ
t ∪ Fw∞.
Лемма 8. Пусть (N(t),Gt)t≥0 — cádlág мартингал, τ1 и τ2 — конечные мо-
менты остановки, τ1 ≤ τ2,
E sup
t∈[0,τ2]
|N(t)| <∞.
Тогда
E(N(τ2)/Gτ1) = N(τ1) почти наверное.
Доказательство леммы стандартно. Сначала надо использовать теорему Дуба и
получить равенство
E(N(τ2 ∧ t2)/Gτ1∧t1) = N(τ1 ∧ t1) почти наверное
для любых t1, t2, 0 ≤ t1 ≤ t2, а затем перейти к пределу при t2 ↑ ∞ и t1 ↑ ∞.
Применим лемму 8. Пусть N(t) = M(t), Gt = FΠ
t ∪ Fw∞, τi = L(ti) =
= Π̃(−1)(L̃(ti)), i ∈ {1, 2}, t1 ≤ t2. Заметим, что
|M(t)| ≤ K
t∫
0
∞∫
0
u ∧ 1π(ds, du) +
∞∫
0
u ∧ 1µ(du)t
.
Поэтому
E sup
t∈[0,τ2]
|M(t)| = lim
n→∞
E sup
t∈[0,τ2∧n]
|M(t)| ≤
≤ K lim
n→∞
E
τ2∧n∫
0
∞∫
0
u ∧ 1π(ds, du) +
∞∫
0
u ∧ 1µ(du)
τ2 ∧ n
=
= 2K
∞∫
0
u ∧ 1µ(du) lim
n→∞
Eτ2 ∧ n =
= 2K
∞∫
0
u ∧ 1µ(du)Eτ2 = 2K
∞∫
0
u ∧ 1µ(du)
∞∫
0
EΠ̃(−1)(y)FL̃(t2)(dy), (32)
где FL̃(t2) — функция распределения L̃(t2).
Поскольку Π̃(x) ≥ x, то Π̃(−1)(x) ≤ x. Поэтому правая часть (32) не превышает
const E(x0 + maxs∈[0,t2] |w(s)|), что, в свою очередь, конечно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ СКОРОХОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОТРАЖЕНИЕМ . . . 1255
Таким образом,
E(M(L(t2))/GL(t1)) = M(L(t1)).
Для завершения доказательства осталось проверить, что Ft ⊂ GL(t) для любого
t ≥ 0. Действительно, пусть s ∈ [0, t], x ≥ 0, A = [a, b]. Тогда
{w(s) ∈ A} ∩ {L(t) ≤ x} = {w(s) ∈ A} ∩ {Π̃(x) ≥ L̃(t)} ∈ FΠ
x ∪ Fwt ⊂ Gx,
{Π(L(s)) ∈ A} ∩ {L(t) ≤ x} ∈ FΠ
x ∪ Fw∞ = Gx.
Отсюда легко вывести, что для любого события B ∈ FΠ◦L
t ∪ Fwt имеет место
включение
B ∩ {L(t) ≤ x} ∈ Gx,
значит, Ft = FΠ◦L
t ∪ Fwt ⊂ GL(t).
Тот факт, что L(t) является локальным временем процесса ξ, следует из фор-
мулы Танака (см. [15]).
Теорема 2 доказана.
Аналогично теореме 2 можно доказать следующее утверждение.
Теорема 3. Предположим, что мера Леви процесса Π(t), t ≥ 0, бесконечна,
т. е. µ((0,∞)) =∞. Пусть (ξ, L) — решение задачи W (x0, w,Π). Тогда для любой
функции f ∈ C2([0,∞)), имеющей компактный носитель, случайный процесс
f(ξ(t))− 1
2
t∫
0
f ′′(ξ(s))ds−
∞∫
0
(f(u)− f(0))µ(du)L(t),
является Ft-мартингалом, где Ft определено в ().
Замечание 7. Существование и единственность решения задачи W (x0, w,Π)
в этом случае доказаны в п. 2.
Доказательство данной теоремы практически повторяет доказательство теоре-
мы 2. Единственное отличие заключается в доказательстве конечности правой
части (32), где вместо Π̃(−1) взято Π(−1). Для доказательства соответствующего
факта надо заметить, что функция [0,∞) 3 x 7→ EΠ(−1)(x) ∈ [0,∞) (сред-
нее время до перескока уровня x) является конечной и полуаддитивной, т. е.
Π(−1)(x + y) ≤ Π(−1)(x) + Π(−1)(y). Поэтому существует такое K > 0, что
EΠ(−1)(x) ≤ K(1 + x), x ≥ 0.
Автор признателен А. А. Дороговцеву за полезные обсуждения данной работы.
1. Вентцель А. Д. Полугруппы операторов, соответствующие обобщенному дифференциальному
оператору второго порядка // Докл. АН СССР. – 1956. – 111, № 2. – С. 269 – 272.
2. Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов // Теория
вероятностей и ее применения. – 1959. – 4, № 2. – С. 172 – 185.
3. Скороход А. В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами. I // Теория
вероятностей и ее применения. – 1961. – 6, вып. 3. – С. 287 – 298.
4. Watanabe S. Construction of diffusion processes with Wentzell’s boundary conditions by means of
Poisson point process of excursions // III Советско-японский симп. по теории вероятностей. – Таш-
кент: Фан, 1975. – С. 311 – 345.
5. Анулова С. В. О стохастических дифференциальных уравнениях с граничными условиями в по-
лупространстве // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1981. – 45, № 3. – С. 491 – 508.
6. Анулова С. В. О процессах с производящим оператором Леви в полупространстве // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1978. – 42, № 4. – С. 708 – 750.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1256 А. Ю. ПИЛИПЕНКО
7. Микулявичюс Р. О существовании решений проблемы мартингалов // Лит. мат. сб. – 1977. – 17,
№ 4. – С.149 – 168.
8. Микулявичюс Р. О единственности решений проблемы мартингалов // Лит. мат. сб. – 1978. – 18,
№ 2. – С. 63 – 73.
9. Komatsu T. Markov processes associated with certain integro-differential operators // Osaka J. Math. –
1973. – 10, № 2. – P. 271 – 303.
10. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary // J. Math. Kyoto
Univ. – 1965. – 4. – P. 529 – 605.
11. Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.
– М.: Наука, 1986. – 456 с.
12. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка,
1968. – 354 с.
13. Stroock D. W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes // Grundlehren math. Wiss. –
1979. – 233. – XII + 338 p.
14. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
15. Protter P. E. Stochastic integration and differential equations. – Second edition // Appl. Math. (New
York). Stochast. Modelling and Appl. Probab. – 2004. – 21. – XIV + 415 p.
Получено 04.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2801 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/75ebca712e911637bfc2d4ab8835a110.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28012020-03-18T19:36:55Z On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary Об отображении Скорохода для уравнений с отражением с возможностью скачкообразного выхода из границы Pilipenko, A. Yu. Пилипенко, А. Ю. Пилипенко, А. Ю. For a solution of a reflection problem on a half-line similar to the Skorokhod reflection problem but with possible jump-like exit from zero, we obtain an explicit formula and study its properties. We also construct a Wiener process on a half-line with Wentzell boundary condition as a strong solution of a certain stochastic differential equation. Отримано явну формулу та дослiджено властивостi розв’язку задачi вiдбиття на пiвпрямiй, подiбної до задачi вiдбиття Скорохода, але з можливiстю стрибкоподiбного виходу з нуля. Також побудовано вiнеровий процес на пiвпрямiй з граничною умовою Вентцеля як сильний розв’язок деякого стохастичного диференцiального рiвняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2801 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1241-1256 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1241-1256 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2801/2355 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2801/2356 Copyright (c) 2011 Pilipenko A. Yu. |
| spellingShingle | Pilipenko, A. Yu. Пилипенко, А. Ю. Пилипенко, А. Ю. On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title | On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title_alt | Об отображении Скорохода для уравнений с отражением с возможностью скачкообразного выхода из границы |
| title_full | On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title_fullStr | On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title_full_unstemmed | On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title_short | On the Skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| title_sort | on the skorokhod mapping for equations with reflection and possible jump-like exit from a boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2801 |
| work_keys_str_mv | AT pilipenkoayu ontheskorokhodmappingforequationswithreflectionandpossiblejumplikeexitfromaboundary AT pilipenkoaû ontheskorokhodmappingforequationswithreflectionandpossiblejumplikeexitfromaboundary AT pilipenkoaû ontheskorokhodmappingforequationswithreflectionandpossiblejumplikeexitfromaboundary AT pilipenkoayu obotobraženiiskorohodadlâuravnenijsotraženiemsvozmožnostʹûskačkoobraznogovyhodaizgranicy AT pilipenkoaû obotobraženiiskorohodadlâuravnenijsotraženiemsvozmožnostʹûskačkoobraznogovyhodaizgranicy AT pilipenkoaû obotobraženiiskorohodadlâuravnenijsotraženiemsvozmožnostʹûskačkoobraznogovyhodaizgranicy |