Systems of essentially infinite-dimensional differential equations
We investigate systems of differential equations with essentially infinite-dimensional elliptic operators (of the Laplace - Levy type). For nonlinear systems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions. For a linear system, we give an explicit formula for the solution.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2802 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508775610318848 |
|---|---|
| author | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. |
| author_facet | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. |
| author_sort | Statkevych, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | We investigate systems of differential equations with essentially infinite-dimensional elliptic operators (of the Laplace - Levy type).
For nonlinear systems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions. For a linear system, we give an explicit formula for the solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.986.7
В. М. Статкевич (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
СИСТЕМИ СУТТЄВО НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We investigate systems of differential equations with essentially infinite-dimensional elliptic operators (of the
Laplace – Lévy type). For nonlinear systems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions.
For a linear system, we give an explicit formula for the solution.
Исследуются системы дифференциальных уравнений с существенно бесконечномерными эллиптиче-
скими операторами (типа Лапласа – Леви). Для нелинейных систем доказаны теоремы существования и
единственности, для линейной системы приведена явная формула решения.
У нескiнченновимiрних просторах виникають оператори, якi не мають скiнченно-
вимiрних аналогiв. Таким, зокрема, є класичний оператор Лапласа – Левi, введений
П. Левi [1], — диференцiальний оператор другого порядку, який визначений на
функцiях нескiнченновимiрного аргументу, задовольняє лейбнiцевську властивiсть
L(uv) = Lu · v + u · Lv i набуває нульового значення на цилiндричних функцiях.
Саме тому Г. Є. Шилов, редактор перекладу [1], назвав його суттєво нескiнченно-
вимiрним. Сучасний стан теорiї оператора Лапласа – Левi викладено у роботi [2],
вiдповiднi нелiнiйнi рiвняння дослiджувались у роботах [3, 4]. Системи було роз-
глянуто в роботi [5], а системи рiвнянь з оператором квазiдиференцiювання (одним
з узагальнень оператора Лапласа – Левi) — у [6]. Дослiдження проводились в iнших
функцiональних класах iз застосуванням технiки, що вiдрiзняється вiд наведеної в
данiй роботi.
Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний оператор, запропонований Ю. В. Бог-
данським [7], узагальнює оператор Лапласа – Левi. Рiвняння з такими операторами
мають специфiчнi властивостi, в певному сенсi спорiдненi з властивостями кла-
сичних звичайних диференцiальних рiвнянь. Дана робота продовжує серiю робiт
[8, 9] з дослiдження рiвнянь з такими операторами.
1. НехайH — нескiнченновимiрний сепарабельний дiйсний гiльбертiв простiр,
BC(H) — банахiв простiр самоспряжених обмежених лiнiйних операторiв на H,
BR = {x ∈ H | ‖x‖ 6 R} — куля радiуса R (R > 0), J — конус невiд’ємних лiнiй-
них функцiоналiв на BC(H).МножинуD ⊂ BC(H) називаємо майже компактною,
якщо для кожного ε > 0 iснують компактна множина K ⊂ BC(H) та числа n ∈ N
та d > 0 такi, що K + Qn,d є ε-сiткою для D (тут Qn,d ⊂ BC(H) — множина
операторiв, ранг яких не перевищує n, а норма не перевищує d).
Нехай Z — множина функцiй класу C2(H;R), носiї яких належать BR, u
′′
рiвномiрно неперервна на H, а множина {u′′(x) | x ∈ BR} є майже компактною.
X — замикання Z за нормою supx∈H |u(x)| — дiйсна комутативна банахова алгеб-
ра вiдносно поточкових операцiй. Нехай Zn (вiдповiдно Xn) — множина функцiй
~u(x) = (u1(x), . . . , un(x)) таких, що кожна координатна функцiя ui належить Z
(вiдповiдно X). Далi Rn вважаємо комутативною алгеброю вiдносно покоординат-
них операцiй, ‖~y‖ = |y1| + . . . + |yn| для ~y ∈ Rn. Zn є дiйсною комутативною
нормованою (|||~u||| = supx∈H ‖~u(x)‖) алгеброю вiдносно поточкових операцiй, а
Xn збiгається iз замиканням Zn за цiєю нормою та є банаховою алгеброю.
Суттєво нескiнченновимiрним функцiоналом j ∈ J називаємо такий ненульо-
вий функцiонал, що всi оператори з BC(H) скiнченного рангу належать його ядру
c© В. М. СТАТКЕВИЧ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1257
1258 В. М. СТАТКЕВИЧ
[7]. Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний оператор L : X ⊃ Z → X задається
формулою (Lu)(x) =
1
2
j(u′′(x)) i допускає замикання L̄, яке генерує (C0)-пiвгрупу
стиску T j(t) у просторi X. Значення функцiї T j(t)u в точцi x залежить лише
вiд значень функцiї u на сферi K =
{
y ∈ H | ‖y − x‖ =
√
t‖j‖
}
; при цьому
infK u 6 (T j(t)u)(x) 6 supK u [7]. Пiвгрупа T j(t) є нiльпотентною
(
∃t0 =
R2
‖j‖
:
T j(t0) = 0
)
та мультиплiкативною (∀u, v ∈ X : T j(t)(uv) = T j(t)uT j(t)v), а та-
кож ∀j1, j2 ∈ J : T j1(t)T j2(t) = T j2(t)T j1(t), ∀τ > 0: T j(τt) = T τj(t) [10]. Тодi
для довiльної g ∈ C(R) такої, що g(0) = 0, виконується рiвнiсть T j(t)(g(u)) =
= g(T j(t)u), зокрема T j(t)(|u|) = |T j(t)u|.
Для i = 1, . . . , n виберемо ji ∈ J, (Liu)(x) =
1
2
ji(u
′′(x)); L̄i генерують пiв-
групи T i(t), якi комутують: T i(t)T k(τ) = T tji(1)T τjk(1) = T τjk(1)T tji(1) =
= T k(τ)T i(t). Оператор L : Xn ⊃ Zn → Xn, заданий формулою (L~u)(x) =
= ((L1u
1)(x), . . . , (Lnu
n)(x)), задовольняє лейбнiцевську властивiсть та допускає
замикання L̄: (L̄~u)(x) =
(
(L̄1u
1)(x), . . . , (L̄nu
n)(x)
)
з областю визначенняD(L̄) ⊂
⊂ Xn.
Якщо ~u ∈ D(L̄), то D(L) 3 ~um → ~u, L~um → ~v = L̄~u, D(Li) 3 uim → ui,
Liu
i
m → vi при m→∞, тому ui ∈ D(L̄i). Навпаки, якщо ui ∈ D(L̄i), то D(Li) 3
3 uimi
→ ui, Liu
i
mi
→ vi = L̄iu
i (mi → ∞), тому в D(L) iснує послiдовнiсть
~um, збiжна до ~u, для якої L~um → ~v, звiдки ~u ∈ D(L̄). З наведеного випливає, що
вiдображення D(L̄i) 3 ui 7→ (0, . . . , 0, ui, 0, . . . , 0) iзоморфно переводить D(L̄i) на
пiдпростiр в D(L̄); D(L̄) iзоморфна D(L̄1)+̇ . . . +̇D(L̄n).
2. Нехай F(Q;Rn) — банахова алгебра всiх обмежених функцiй на довiльнiй
множинi Q зi значеннями в Rn
(
вiдносно поточкових операцiй, з нормою |||~u||| =
= supx∈Q ‖~u(x)‖
)
, X ⊂ F(Q;R) — замкнена пiдалгебра. X +̇ . . . +̇X ототожнимо
з замкненою пiдалгеброю Xn ⊂ F(Q;Rn); далi вважатимемо X пiдпростором в
Xn з урахуванням iзоморфiзму.
Нехай Si(t), i = 1, . . . , n, — (C0)-пiвгрупи стиску в X з генераторами S′i(0),
нiльпотентнi (∃si > 0: Si(si) = 0) та мультиплiкативнi, якi комутують: Si(t)Sk(τ) =
= Sk(τ)Si(t). Тодi сiм’я S(t) така, що S(t)~u =
(
S1(t)u1, . . . , Sn(t)un
)
визначає
(C0)-пiвгрупу в Xn: кожна координата (S(t)~u)i належить X , тому S(t)~u ∈ Xn;
пiвгруповий закон та рiвнiсть S(0) = I перевiряються покоординатно; з неперерв-
ностi Si(t) в нулi випливає, що Si(t)ui → ui при t→ 0, тому S(t)~u→ ~u. Пiвгрупа
S(t) нiльпотентна (∃s = max(s1, . . . , sn) : S(s) = 0) та мультиплiкативна, її по-
роджує оператор S′(0), визначений формулою S′(0)~u =
(
S′1(0)u1, . . . , S′n(0)un),
D(S′(0)
)
щiльна в Xn. З наведених мiркувань випливає, що оператор L̄ (див. п. 1)
породжує пiвгрупу з вiдповiдними властивостями.
Теорема 1. Нехай ~F = (F 1, . . . , Fn) : Xn → Xn — нелiнiйне вiдображення,
iснує C > 0 таке, що для будь-яких ~u,~v ∈ Xn i x ∈ Q виконується нерiвнiсть
‖(~F (~u )− ~F (~v ))(x)‖ 6 C‖(~u− ~v)(x)‖. Тодi рiвняння S′(0)~u = ~F (~u ) має розв’язок
в Xn i до того ж єдиний.
Доведення. Накладена на ~F умова еквiвалентна таким умовам на F i : Xn → X :
|F i(~u )−F i(~v )| 6 C
∑n
k=1
|uk−vk|. Єдиним розв’язком рiвняння S′(0)~u = ~f (~f ∈
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СИСТЕМИ СУТТЄВО НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1259
∈ Xn) є ~u = −
∫ s
0
S(t)~fdt, тому вихiдне рiвняння еквiвалентне ~u = −
∫ s
0
S(t) ×
×(~F (~u ))dt = ~g(~u ). Тодi ∥∥(~gm(~u )− ~gm(~v ))(x)
∥∥ 6
6
n∑
k1=1
s∫
0
(
Sk1(t1)
∣∣∣F k1(~gm−1(~u ))− F k1(~gm−1(~v ))
∣∣∣)(x)dt1 6
6 C
n∑
k1=1
n∑
k2=1
s∫
0
Sk1(t1)
s∫
0
Sk2(t2)|F k2(~gm−2(~u ))− F k2(~gm−2(~v ))|dt2
(x)dt16 . . .
. . .6 Cm
n∑
k=1
. . .
n∑
km+1=1
s∫
0
dt1 . . .
s∫
0
(
Sk1(tk1) . . . Skm(tkm)
∣∣ukm+1 − vkm+1
∣∣)(x)dtkm 6
6 Cmsm
∑
m1+...+mn=m
m!
(m1!)2 . . . (mn!)2
n∑
k=1
|uk(x)− vk(x)| 6
6
(n2Cs)m
m!
‖(~u− ~v)(x)‖.
Тут використано комутацiю пiвгруп Si(t) та оцiнки
∫ s
0
dt1 . . .
∫ s
0
dtpSk(t1) . . .
. . . Sk(tp)|f | 6
spk
p!
|f |, f ∈ X , p ∈ N,
∑
m1+...+mn=m
(m!)2
(m1!)2 . . . (mn!)2
6
6
(∑
m1+...+mn=m
m!
m1! . . .mn!
)2
= n2m. Тому iснує m, для якого ~gm є стиском
в Xn, що й доводить теорему.
Розглянемо нелiнiйну систему першого порядку з операторами L̄1, . . . , L̄n:(
L̄iu
i
)
(x) = f i(x, ~u(x)) = f i(x, u1(x), . . . , un(x)), (1)
де ui ∈ D(L̄i), f
i : H×Rn → R. З урахуванням позначень ~u ∈ D(L̄), ~f : H×Rn →
→ Rn вона набирає еквiвалентного вигляду (L̄~u)(x) = ~f(x, ~u(x)).
Теорема 2. Нехай для довiльного ~p ∈ Rn ~f(·, ~p ) належить Xn та ~f є лiп-
шицевою за другим аргументом (рiвномiрно вiдносно першого): iснує C > 0 таке,
що для будь-яких ~p, ~q ∈ Rn i x ∈ H виконується нерiвнiсть ‖~f(x, ~p )− ~f(x, ~q)‖ 6
6 C‖~p− ~q ‖. Тодi система (1) має розв’язок i до того ж єдиний.
Доведення. Для посилання на теорему 1 потрiбно перевiрити, що ~f(·, ~u(·))
належить Xn для ~u ∈ Xn, та виконання вiдповiдної умови на вiдображення ~u 7→
7→ ~f(·, ~u(·)). Сформулюємо узагальнення теореми Стоуна – Вейєрштрасса (див. [9],
лема 1).
Лема. Нехай Y ⊂ F(Q;R) — замкнена пiдалгебра, 1 ∈ Y, T — хаусдорфiв
компакт, C(T ;Y ) — алгебра всiх неперервних функцiй на T зi значеннями в Y,
W ⊂ C(T ;Y ) — пiдалгебра, що мiстить тотожно одиничну функцiю та подi-
ляє точки: для будь-яких t1, t2 ∈ T iснує g ∈ W така, для якої g(t1) − g(t2) —
оборотний елемент в Y. Тодi W щiльна в C(T ;Y ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1260 В. М. СТАТКЕВИЧ
Нехай ~u ∈ Xn, аналогiчно [9] (наслiдок 1) Y — алгебра, отримана приєднанням
одиницi до X, T =
[
infH u
1; supH u
1
]
× . . . ×
[
infH u
n; supH u
n
]
. Зафiксуємо i
та для довiльного ε > 0 функцiю f i(x, ~p ) ∈ C(T ;Y ) наблизимо многочленом
gi(~p ) =
∑
k1,...,kn
hk1,...,kn(p1)k1 . . . (pn)kn , hk1,...,kn ∈ Y, тодi supH |f i(x, ~u(x))−
− gi(~u(x))| 6 ε. Тому f i(x, ~u(x)) ∈ Y, з обмеженостi supp f i(x, ~u(x)) випливає,
що f i(x, ~u(x)) ∈ X, звiдки ~f(x, ~u(x)) ∈ Xn.
Виконання умови теореми 1 для вiдображення ~u 7→ ~f(·, ~u(·)) є очевидним, тому
посилання на теорему 1 завершує доведення теореми.
Зауважимо, що аналогiчнi умови запропоновано в роботах [5, 6].
Розглянемо нелiнiйну систему вищого порядку з операторами L̄1, . . . , L̄n:
(L̄dii u
i)(x) = f i
(
x, u1(x), . . . , (L̄d1−11 u1)(x), . . . , un(x), . . . , (L̄dn−1n un)(x)
)
, (2)
де ui ∈ D(L̄dii ), f i : H×Rd → R, ~f = (f1, . . . , fn) : H×Rd → Rn, d = d1+. . .+dn,
di > 0, i = 1, . . . , n. Така форма запису не вимагає рiвностi всiх di мiж собою.
Областю визначення ~u є множина D
(
L̄d11
)
+̇ . . . +̇D
(
L̄dnn
)
. Але якщо всi di одна-
ковi: di = s, то остання iзоморфна D(L̄s) та система (2) набирає еквiвалентного
вигляду
(
L̄s~u
)
(x) = ~f
(
x, ~u(x), . . . , (L̄s−1~u)(x)
)
, ~u ∈ D(L̄s).
Теорема 3. Нехай функцiя ~f задовольняє умови теореми 2. Тодi система (2)
має розв’язок i до того ж єдиний.
Доведення. Замiною ~v ∈ Xd, де v1 = u1, . . . , vd1 = L̄d1−11 u1, . . . , vd−dn+1 =
= un, . . . , vd = L̄dn−1n un система (2) зводиться до рiвняння (L̄~v )(x) = ~g(x,~v(x)) в
Xd; для функцiї ~g : H × Rd 3 (x, ~p ) 7→ (p2, . . . , pd1 , f1(x, ~p ), . . . , pd−dn+2, . . . , pd,
fn(x, ~p )) ∈ Rd виконуються умови теореми 1. Подальшi мiркування аналогiчнi
доведенню теореми 2.
3. Нехай всi S′i(0) (див. п. 2) однаковi: S′i(0) = A, Si(t) = Ŝ(t). Розглянемо
лiнiйну систему першого порядку з оператором A:
(Aui)(x) +
n∑
k=1
aik(x)uk(x) = f i(x), (3)
де ui ∈ D(A), aik ∈ X — змiннi коефiцiєнти, f i ∈ X , i = 1, . . . , n, або у векторнiй
формi (S′(0)~u)(x) + a(x)~u(x) = ~f(x), a(x) = (aik(x))ni,k=1, ~u ∈ D(S′(0)), ~f ∈
∈ Xn. Для функцiї ~F (~u ) = ~f − a~u виконується нерiвнiсть ‖(~F (~u )− ~F (~v ))(x)‖ 6
6 nmaxi,k=1,...,n ‖aik‖ ‖(~u−~v)(x)‖, тому теорема 1 доводить iснування та єдинiсть
розв’язку.
Теорема 4. Нехай (S(τ)a)(x) = ((Ŝ(τ)aik)(x))ni,k=1. Тодi єдиний розв’язок
системи (3) має вигляд ~u(x) = −
∫ s
0
exp
(∫ t
0
(S(τ)a)(x)dτ
)
(S(t)~f )(x)dt.
Доведення. Аналогiчно [8] (теорема 3) запишемо
−
s∫
0
exp
t∫
0
S(τ)adτ
S(t)~fdt =
= −
s∫
0
exp
t∫
0
S(τ)adτ
S(t)(S′(0)~u+ a~u)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
СИСТЕМИ СУТТЄВО НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1261
= −
s∫
0
exp
t∫
0
S(τ)adτ
dS(t)
dt
~udt−
s∫
0
exp
t∫
0
S(τ)adτ
S(t)aS(t)~udt =
= − exp
t∫
0
S(τ)adτ
S(t)~u
∣∣∣∣∣
t=s
t=0
= ~u
(у передостаннiй рiвностi до першого доданка застосовано формулу iнтегрування
частинами, а складова другого доданка S(t)aS(t)~u є добутком матрицi на вектор).
Iншi варiанти явних формул розв’язку системи вигляду (3) запропоновано в
роботах [5, 6]: у [5] розглядаються однорiднi системи f i ≡ 0, i = 1, . . . , n, а в [6]
— неоднорiднi. Наведемо два приклади використання теореми 4: „суттєво нескiн-
ченновимiрний” та застосування до класичної теорiї диференцiальних рiвнянь.
1. В якостi S′i(0) вiзьмемо L̄ (див. п. 1), а в „одновимiрному” випадку для
S′(0) = L̄ система (3) перетворюється у рiвняння
(L̄u)(x) + a(x)u(x) = f(x), a, f ∈ X, (4)
дослiджене у [8]. Вiзьмемо a(x) = f(x) = h(x), де h(x) = R2 − ‖x‖2 для x ∈ BR,
h(x) = 0 зовнi BR, h ∈ X. За теоремою 4 маємо
u(x) = −
t0∫
0
exp
t∫
0
(T j(τ)h)(x)dτ
(T j(t)h)(x)dt =
= − exp
t∫
0
(T j(τ)h)(x)dτ
∣∣∣∣∣
t=t0
t=0
=
= 1− exp
R2/‖j‖∫
0
T j(τ)(R2 − ‖x‖2)dτ
.
Обчислимо, наприклад, u(0) та (L̄u)(0). Функцiя R2 − ‖x‖2 скрiзь на сферi
{
y ∈
∈ H | ‖y‖ =
√
τ‖j‖
}
набуває значення R2 − τ‖j‖, тому згiдно з п. 1 (T j(τ)(R2 −
−‖x‖2))(0) = R2−τ‖j‖ та u(0) = 1−exp
(
R4
2‖j‖
)
, а при пiдстановцi у рiвняння (4)
маємо (L̄u)(0) = f(0)− a(0)u(0) = R2 exp
(
R4
2‖j‖
)
.
2. Нехай ~u, ~f ∈ C([α;β];Rn) — неперервнi функцiї на [α;β] зi значеннями в
Rn, a — матриця, елементи якої належать C([α;β];R), x0 ∈ [α;β]. Розв’язок задачi
Кошi ~u′(x) + a(x)~u(x) = ~f(x), ~u(x0) = ~u0 має вигляд
~u(x) = exp
x0∫
x
a(t)dt
~u0 +
x∫
x0
exp
t∫
x
a(τ)dτ
~f(t)dt.
Покажемо, що цей факт можна отримати з теореми 4 за умов a(x0) = 0, ~f(x0) = ~0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1262 В. М. СТАТКЕВИЧ
Зафiксуємо x < x0. Розглянемо банахову алгебру Y + = C([x; +∞);Rn) обме-
жених рiвномiрно неперервних функцiй на пiвосi [x; +∞). Пiсля природного ото-
тожнення її пiдалгебри
{
~u ∈ Y + | ~u(τ) = ~0, τ > x0
}
з X+ =
{
~u ∈ C([x;x0];Rn) |
~u(x0) = ~0
}
введемо в X+ пiвгрупу зсувiв (T+(t)~u)(τ) = ~u(t + τ), мульти-
плiкативну та нiльпотентну (оскiльки T+(x0 − x) = 0), породжену оператором
A+ =
d
dτ
з областю визначення D(A+) = {~u ∈ X+ | ∃~u′ ∈ X+}. Замiною
~v(τ) = ~u(τ) − ~u0, ~g(τ) = ~f(τ) − a(τ)~u0 вихiдна задача Кошi зводиться до еквiва-
лентної ~v′(τ) + a(τ)~v(τ) = ~g(τ), ~g(x0) = ~0, ~v,~g ∈ X+. Розв’язок останньої задачi
Кошi за теоремою 4 має вигляд
~v(τ) = −
x0−x∫
0
exp
η∫
0
a(τ + ξ)dξ
(~f(τ + η)− a(τ + η)~u0)dη.
Покладемо τ = x, виконаємо замiну η = η − x, ξ = ξ − x та отримаємо шукану
явну формулу.
У випадку x > x0 покладемо X− =
{
~u ∈ C([x0;x];Rn) | ~u(x0) = ~0
}
,
(T−(t)~u)(τ) = ~u(τ − t), A− = − d
dτ
, а рiвнiсть ~u′(x0 − 0) = 0 = ~u′(x0 + 0)
доводить, що ~u належить C1([α;β];Rn).
Автор вдячний Ю. В. Богданському за постiйну увагу до даної роботи.
1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.
2. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
3. Феллер М. Н. Об одном нелинейном уравнении, не разрешенном относительно лапласиана Леви
// Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 719 – 721.
4. Феллер М. Н. Задача Рикьера для нелинейного уравнениия, разрешенного относительно итериро-
ванного лапласиана Леви // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 11. – С. 1574 – 1577.
5. Шилов Г. Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. III // Мат. сб. – 1967. –
74(116), № 1. – С. 161 – 168.
6. Сикирявый В. Я. Оператор квазидифференцирования и связанные с ним краевые задачи // Тр.
Моск. мат. о-ва. – 1972. – 27. – С. 195 – 246.
7. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными
эллиптическими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781 – 784.
8. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з суттєво нескiнченнови-
мiрними операторами // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2008. – № 2. – С. 144 – 147.
9. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Нелiнiйнi рiвняння з суттєво нескiнченновимiрними дифе-
ренцiальними операторами // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 11. – С. 1571 – 1576.
10. Богданский Ю. В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с нерегулярными эллиптически-
ми операторами // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 5. – С. 584 – 590.
Одержано 18.02.11,
пiсля доопрацювання — 23.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2802 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:34Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/34/f8e2ab63ed1e7eda328476ee35aa9f34.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28022020-03-18T19:36:55Z Systems of essentially infinite-dimensional differential equations Системи суттєво нескінченновимірних диференціальних рівнянь Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. We investigate systems of differential equations with essentially infinite-dimensional elliptic operators (of the Laplace - Levy type). For nonlinear systems, we prove theorems on the existence and uniqueness of solutions. For a linear system, we give an explicit formula for the solution. Исследуются системы дифференциальных уравнений с существенно бесконечномерными эллиптическими операторами (типа Лапласа – Леви). Для нелинейных систем доказаны теоремы существования и единственности, для линейной системы приведена явная формула решения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2802 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1257-1262 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1257-1262 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2802/2357 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2802/2358 Copyright (c) 2011 Statkevych V. M. |
| spellingShingle | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title | Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title_alt | Системи суттєво нескінченновимірних диференціальних рівнянь |
| title_full | Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title_fullStr | Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title_full_unstemmed | Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title_short | Systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| title_sort | systems of essentially infinite-dimensional differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2802 |
| work_keys_str_mv | AT statkevychvm systemsofessentiallyinfinitedimensionaldifferentialequations AT statkevičvm systemsofessentiallyinfinitedimensionaldifferentialequations AT statkevychvm sistemisuttêvoneskínčennovimírnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT statkevičvm sistemisuttêvoneskínčennovimírnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |