On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner
Let $G$ be a bounded domain with a Jordan boundary that is smooth at all points except a single point at which it forms a nonzero angle. We prove Korevaar’s conjecture on the order of polynomial approximation of a conformal mapping of this domain into a disk. We also obtain a pointwise estimate for...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2805 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508781548404736 |
|---|---|
| author | Zherebko, T. M. Жеребко, Т. М. |
| author_facet | Zherebko, T. M. Жеребко, Т. М. |
| author_sort | Zherebko, T. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | Let $G$ be a bounded domain with a Jordan boundary that is smooth at all points except a single point at
which it forms a nonzero angle. We prove Korevaar’s conjecture on the order of polynomial approximation
of a conformal mapping of this domain into a disk. We also obtain a pointwise estimate for the error of
approximation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. М. Жеребко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО НАБЛИЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНАМИ КОНФОРМНОГО
ВIДОБРАЖЕННЯ ОБЛАСТI З НЕНУЛЬОВИМ КУТОМ
Let G be a bounded domain with a Jordan boundary that is smooth at all points except a single point at
which it forms a nonzero angle. We prove Korevaar’s conjecture on the order of polynomial approximation
of a conformal mapping of this domain into a disk. We also obtain a pointwise estimate for the error of
approximation.
Пусть G — ограниченная область с жордановой границей, гладкой во всех точках, за исключением
одной, и угол, который в этой точке образует граница, не является нулевым. Доказана гипотеза Коре-
ваара о порядке приближения многочленами конформного отображения этой области в круг, а также
установлена поточечная оценка величины приближения.
1. Вступ. Нехай G ⊂ C — обмежена область з жордановою межею ∂G, яка скла-
дається з двох гладких кривих Γ1 i Γ2 таких, що Γ1 ∩ Γ2 = {z1, z2}, де z1 = 1.
Позначимо через αjπ кути в точках zj , j = 1, 2, мiж кривими Γ1 i Γ2, якi є зовнiш-
нiми вiдносно областi G. Будемо вважати, що 0 < α1 < 2, а α2 = 1. Також для
спрощення записiв будемо писати α замiсть α1, тобто α := α1. Припустимо, що
0 ∈ G.
Для функцiї g : G → C позначимо ‖g‖G := supz∈G |g(z)| i нехай Pn — простiр
многочленiв степеня < n.
Метою роботи є наближення функцiї Рiмана f, яка здiйснює конформне вiдобра-
ження внутрiшностi областi G в круг w : |w| < 1, нормоване умовами f(0) = 0
та f ′(0) > 0. Для цього В. В. Андрiєвський [1], Ф. Г. Абдуллаєв [2], Д. Гайєр [3]
та iншi автори застосовували многочлени Бiбербаха πn ∈ Pn. Наприклад, Д. Гайєр
(див. [3]) довiв наступну теорему (яку сформулюємо для випадку, коли межа скла-
дається з двох кривих Γ1 та Γ2).
Теорема Г. Для будь-якого γ < min
{
α
2− α
,
1
2
}
iснує стала c(γ,G) така, що
виконується нерiвнiсть
‖f − πn‖G ≤
c(γ,G)
nγ
, n ∈ N.
У вказанiй роботi зазначено, що для величини найкращого наближення
En(f,G) = inf
Pn∈Pn
‖f − Pn‖G
може мати мiсце „краща оцiнка”
En(f,G) ≤ c(G)
nγ0
, (1)
де γ0 = min
{
α
2− α
, 1
}
. Зокрема, з роботи [4] випливає, що оцiнка (1) має мiсце
для випадку, коли область G симетрична вiдносно дiйсної осi i дуга ∂G\{1} є C∞.
У данiй роботi ми покажемо, що оцiнка (1) є правильною при значно ширших
умовах на область G. Бiльш того, ми одержимо точнiшу поточкову оцiнку рiзницi
|f(z)− Pn(z)| , яка в „найгiрших” випадках збiгається з (1).
c© Т. М. ЖЕРЕБКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9 1285
1286 Т. М. ЖЕРЕБКО
Будемо вважати, що мають мiсце нерiвностi
c ≤ |f ′(z)| |z − 1|(1−α)/(2−α) ≤ C, z ∈ G \ {1}, (2)
де c = c(G) i C = C(G) — сталi, якi залежать вiд G. Нагадаємо (див. [5]), що
умова (2) виконується, якщо гладкi кривi Γ1 та Γ2 є, скажiмо, кривими Ляпунова,
або навiть такими, що задовольняють умову Дiнi. Далi через c будемо позначати
рiзнi сталi, якi можуть залежати лише вiд G.
Теорема 1. Для кожного n ≥ 1 має мiсце нерiвнiсть
En(f,G) ≤ c
nγ0
,
де γ0 = min
{
α
2− α
, 1
}
.
Теорема 1 є очевидним наслiдком наступної теореми про поточкову оцiнку
рiзницi f(z)− Pn(z).
Теорема 2. Для кожного n ≥ 1 iснує многочлен Pn ∈ Pn такий, щo для
кожного z ∈ G мають мiсце оцiнки
|f(z)− Pn(z)| ≤ c|z − 1|1/(2−α), якщо |z − 1| ≤ n−α та 0 < α ≤ 1,
|f(z)− Pn(z)| ≤ c|z − 1|nα(1−α)/(2−α), якщо |z − 1| ≤ n−α та 1 < α < 2,
|f(z)− Pn(z)| ≤ c 1
n
|z − 1|2(α−1)/α(2−α), якщо |z − 1| > n−α.
2. Допомiжнi леми. Нагадаємо, що за теоремою Каратеодорi функцiя f, яка
здiйснює комформне вiдображення внутрiшностi областi G на одиничний круг
{w : |w| < 1}, може бути неперервно продовженою на G.
Означення 1. Для n ∈ N i z ∈ C означимо
ρn(z) :=
n−α, якщо |z − 1| ≤ n−α,
|z − 1|(α−1)/α
n
в протилежному випадку.
Лема 1. Для кожного z ∈ G i z0 ∈ G має мiсце оцiнка
|f(z)− f(z0)| ≤ c |z − z0| |z0 − 1|(α−1)/(2−α)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − 1|
)α/(2−α)
.
Доведення. Зафiксуємо z0 ∈ G i z ∈ G. Лема 3 статтi [6] гарантує iснування
простої жорданової спрямної кривої γ з початком у точцi 1 такої, що z ∈ γ, z0 ∈ γ i
γ\{1} ⊂ G, i для її натуральної параметризацiї ζ : [0; l]→ γ виконується нерiвнiсть
|s′ − s| ≤ c|ζ(s′)− ζ(s)|, s, s′ ∈ [0; l].
Нехай a ∈ [0; l] та b ∈ [0; l] такi, що z0 = ζ(a) та z = ζ(b). Зрозумiло, що ζ(0) = 1.
Нехай γ0 є дугою γ з кiнцями в точках z0 i z. Тодi
|f(z)− f(z0)| =
∣∣∣∣∣∣
z∫
z0
f ′(ζ)dζ
∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
γ0
|f ′(ζ)| |dζ| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПРО НАБЛИЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНАМИ КОНФОРМНОГО ВIДОБРАЖЕННЯ ОБЛАСТI . . . 1287
≤ C
∫
γ0
|ζ − 1|(α−1)/(2−α) |dζ| ≤ c
b∫
a
∣∣∣s(α−1)/(2−α)∣∣∣ ds =
= c
∣∣∣b1/(2−α) − a1/(2−α)∣∣∣ ≤ c|b− a|a(α−1)/(2−α)(1 +
|b− a|
a
)α/(2−α)
≤
≤ c |z − z0| |z0 − 1|(α−1)/(2−α)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − 1|
)α/(2−α)
.
Лему доведено.
З леми 1, означення 1 для ρn та оцiнки |1− z0| ≥ cρn(z0) для |1− z0| ≥ n−α
безпосередньо випливає наступна лема.
Лема 2. Нехай n ∈ N, z0 ∈ G. Тодi:
1) якщо |z0 − 1| ≥ n−α, то
|f(z)− f(z0)| ≤ cnα/(2−α)ρα/(2−α)n (z0) |z − z0|
(
1 +
|z − z0|
ρn(z0)
)α/(2−α)
, z ∈ G;
2) якщо z ∈ G i |z − 1| ≤ |z0 − 1| = n−α, то
|f(z)− f(z0)| ≤ cn−α/(2−α).
Сформулюємо ще один результат.
Лема 3. Для кожного n ∈ N iснує многочлен Rn ∈ Pn такий, що для кожного
z ∈ G виконуються нерiвностi
|f(z)−Rn(z)| ≤ cnα/(2−α)ρ1+α/(2−α)n (z), (3)
|R′n(z)| ≤ cnα/(2−α)ρα/(2−α)n (z). (4)
Доведення проводиться аналогiчно доведенню теореми 9 статтi [6] i базується
на використаннi многочленних ядер Дзядика [7, 8]. Замiсть оцiнок з леми 5 статтi
[6] використовуємо оцiнки з леми 2 даної статтi, в якостi многочлена Тейлора
розглядаємо T (z, z0) = f(z0), r = 1, β =
−α
2− α
.
За означенням 1 нерiвнiсть (3) рiвносильна нерiвностям
|f(z)−Rn(z)| ≤ c |z − 1|(2(α−1))/(α(2−α))
n
, якщо |z − 1| > n−α,
i
|f(z)−Rn(z)| ≤ cn−α/(2−α), якщо |z − 1| ≤ n−α.
У наступному пунктi знайдемо многочлен, який дає точнiшi оцiнки у випадку
|z − 1| ≤ n−α.
3. Доведення теореми 2. Позначимо
r∗ =
⌈
max
{
1
α
,
2
2− α
}⌉
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1288 Т. М. ЖЕРЕБКО
За лемою 7 статтi [6], застосованої до випадку l = 1, при кожному n ≥ r∗ iснує
многочлен Q0,1 ∈ Pn такий, що Q0,1(1) = 1 та для всiх q = 0, . . . , r∗ виконується
нерiвнiсть ∣∣∣Q(q)
0,1(z)
∣∣∣ ≤ cρr
∗
n (1)ρr
∗
n (z)
(|z − 1|+ ρn(z))
2r∗+q ,
зокрема ∣∣Q′0,1(z)
∣∣ ≤ c
|z − 1|+ ρn(z)
≤ c
ρn(1)
= cnα. (5)
Розглянемо многочлени
Qn(z) := (f(1)−Rn(1))Q0,1(z)
та Pn := Rn +Qn, де Rn ∈ Pn — многочлен iз леми 3. Позначимо
Gn :=
{
z ∈ G : |z − 1| ≤ 1
nα
}
.
Якщо z ∈ G \ Gn, то за означенням ρn(z) =
1
n
|z − 1|(α−1)/α. Враховуючи (3) й
умову r∗ ≥ 2
2− α
, маємо
|Qn(z)| ≤ cnα/(2−α)ρ2/(2−α)n (1)
ρr
∗
n (1)ρr
∗
n (z)
(|z − 1|+ ρn(z))
2r∗ ≤ cn
α/(2−α)ρ2/(2−α)n (z).
Отже,
|f(z)− Pn(z)| ≤ c
n
|z − 1|(2(α−1))/(α(2−α)), z ∈ G \Gn.
Якщо ж z ∈ Gn, то, врахувавши нерiвностi (2), (4) та (5), отримаємо
|f(z)− Pn(z)| ≤ |f(z)− f(1) + Pn(1)− Pn(z)| =
∣∣∣∣∣∣
z∫
1
(f ′(ζ)− P ′n(ζ)) dζ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
z∫
1
|f ′(ζ)|dζ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
1∫
z
|R′n(ζ)|dζ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
1∫
z
|Q′n(ζ)|dζ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c|z − 1|1/(2−α) + cnα(1−α)/(2−α)|z − 1|.
Якщо 0 < α ≤ 1, то |z − 1|1/(2−α) ≥ nα(1−α)/(2−α)|z − 1|, тому в цьому випадку
остаточна оцiнка має вигляд
|f(z)− Pn(z)| ≤ c|z − 1|1/(2−α), z ∈ Gn.
Якщо ж 1 < α < 2, то |z − 1|1/(2−α) ≤ nα(1−α)/(2−α)|z − 1|, i маємо остаточну
оцiнку
|f(z)− Pn(z)| ≤ cnα(1−α)/(2−α)|z − 1|, z ∈ Gn.
Таким чином, теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПРО НАБЛИЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНАМИ КОНФОРМНОГО ВIДОБРАЖЕННЯ ОБЛАСТI . . . 1289
1. Андрiєвський В. В. Рiвномiрна збiжнiсть многочленiв Бiбербаха в областях з кусково-квазiкон-
формною межею // Теорiя вiдображень i наближення функцiй / Пiд ред. Г. Д. Суворова та iн. –
Київ: Наук. думка, 1983. – С. 3 – 18 .
2. Abdullayev F. G. Uniform convergence of the bieberbach polynomials inside and on the closure of
domain in the complex plane // East J. Approxim. – 2001. – 7, № 1. – P. 77 – 101.
3. Dieter Gaier. On the convergence of the Bieberbach polinomials in regions with corners // Constructive
Approxim. – 1988. – 4. – P. 289 – 305.
4. Korevaar J. Polynomial and rational approximation in the complex domain // Aspects of Contemporary
Complex Analysis. Proc. Conf., Univ. Durham / Eds D. A. Brannan, J. G. Clunie. – New York: Acad.
Press, 1979. – P. 251 – 292.
5. Алибеков Г. А. Свойства конформного отображения на областях с углами // Вопросы теории
приближений функций и ее приложение. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. – P. 4 – 18.
6. Abdullayev F. G., Shevchuk I. A. Uniform estimates for polynomial approximation in domains with
corners // J. Approxim. Theory. – 2005. – 137. – P. 143 – 165.
7. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука,
1977. – 512 с.
8. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев:
Наук. думка, 1992. – 224 с.
Одержано 21.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2805 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:40Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/5c17a89ea02caeee7e855b29bda38dc5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28052020-03-18T19:36:55Z On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner Про наближення многочленами конформного відображення області з ненульовим кутом Zherebko, T. M. Жеребко, Т. М. Let $G$ be a bounded domain with a Jordan boundary that is smooth at all points except a single point at which it forms a nonzero angle. We prove Korevaar’s conjecture on the order of polynomial approximation of a conformal mapping of this domain into a disk. We also obtain a pointwise estimate for the error of approximation. Пусть $G$ — ограниченная область с жордановой границей, гладкой во всех точках, за исключением одной, и угол, который в этой точке образует граница, не является нулевым. Доказана гипотеза Кореваара о порядке приближения многочленами конформного отображения этой области в круг, а также установлена поточечная оценка величины приближения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2805 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1285-1289 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1285-1289 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2805/2363 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2805/2364 Copyright (c) 2011 Zherebko T. M. |
| spellingShingle | Zherebko, T. M. Жеребко, Т. М. On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title | On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title_alt | Про наближення многочленами конформного відображення області з ненульовим кутом |
| title_full | On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title_fullStr | On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title_full_unstemmed | On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title_short | On the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| title_sort | on the polynomial approximation of a conformal mapping of a domain with nonzero corner |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2805 |
| work_keys_str_mv | AT zherebkotm onthepolynomialapproximationofaconformalmappingofadomainwithnonzerocorner AT žerebkotm onthepolynomialapproximationofaconformalmappingofadomainwithnonzerocorner AT zherebkotm pronabližennâmnogočlenamikonformnogovídobražennâoblastíznenulʹovimkutom AT žerebkotm pronabližennâmnogočlenamikonformnogovídobražennâoblastíznenulʹovimkutom |