On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument
We consider linear first-order differential equations with shifts of arguments with respect to functions with values in a Banach space. Sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions of homogeneous equations are obtained. Ordinary differential equations are constructed for which all...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2806 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508783704276992 |
|---|---|
| author | Chaikovs'kyi, A. V. Чайковський, А. В. |
| author_facet | Chaikovs'kyi, A. V. Чайковський, А. В. |
| author_sort | Chaikovs'kyi, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:36:55Z |
| description | We consider linear first-order differential equations with shifts of arguments with respect to functions with
values in a Banach space. Sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions of homogeneous
equations are obtained. Ordinary differential equations are constructed for which all solutions defined on an
axis are solutions of a given equation with shifts of the argument. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ВИЗНАЧЕНI НА ОСI РОЗВ’ЯЗКИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI ЗСУВАМИ АРГУМЕНТУ
We consider linear first-order differential equations with shifts of arguments with respect to functions with
values in a Banach space. Sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions of homogeneous
equations are obtained. Ordinary differential equations are constructed for which all solutions defined on an
axis are solutions of a given equation with shifts of the argument.
Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения первого порядка со сдвигами аргумента
относительно функций со значениями в банаховом пространстве. Установлены достаточные условия
существования нетривиальных решений однородных уравнений. Построены обыкновенные диффе-
ренциальыне ураавнения, для которых все определенные на всей оси решения являются решениями
заданного уравнения со сдвигами аргумента.
1. Вступ. Диференцiальнi рiвняння з вiдхиленнями аргументу привертають значну
увагу математикiв з середини минулого сторiччя (див. монографiї [1 – 4]). Однiєю
з важливих задач, що ставиться для таких рiвнянь, є задача вiдшукання розв’язкiв,
що визначенi на всiй осi. Питанню iснування та єдиностi обмежених та перiодичних
розв’язкiв диференцiальних рiвнянь з вiдхиленнями аргументу присвячено роботи
[5 – 12]. Нестандартний пiдхiд до дослiдження розв’язкiв, визначених на всiй осi,
запропоновано в роботi [13]. У нiй розглядається рiвняння
x′(t) = A1(t)x(t) +A2(t)x(t+ λ) + f(t), t∈ R, (1)
де f : R → Rn, A1, A2 : R → Mn — вiдомi вимiрнi (за Лебегом) функцiї, x : R →
→ Rn — шукана функцiя, λ∈ R — стала, Mn — множина всiх матриць розмiрностi
n× n. Доведено, що за умов
‖A1(t)‖ 6 α, ‖A2(t)‖ 6 β, ‖f(t)‖ 6 1, t∈ R, |λ|βe|λ|α+1 < 1 (2)
iснують обмеженi вимiрнi функцiї g : R→ Rn, C : R→Mn такi, що всi розв’язки
рiвняння
x′(t) = C(t)x(t) + g(t), t∈ R, (3)
є розв’язками рiвняння (1).
Наприклад, в частинному випадку рiвняння зi сталим коефiцiєнтом
x′(t) = A2x(t− 1) + f(t), t∈ R,
умова (2) набирає вигляду
‖A2‖ < e−1, ‖f(t)‖ 6 1, t∈ R.
У цiй роботi iдею зведення рiвняння з вiдхиленнями аргументу до звичайно-
го диференцiального рiвняння застосовано до дослiдження диференцiальних рiв-
нянь зi сталими операторними коефiцiєнтами вiдносно функцiй зi значеннями в
комплексному банаховому просторi.
Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, L(B) — простiр усiх лiнiйних
неперервних операторiв в B, N — натуральне, {Ak : 1 6 k 6 N} ⊂ L(B) — набiр
c© А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2011
1290 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПРО ВИЗНАЧЕНI НА ОСI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI ЗСУВАМИ . . . 1291
попарно комутуючих операторiв, {τk : 1 6 k 6 N} ⊂ R. Покладемо
Q(z) := z −
N∑
k=1
Ake
−τkz, z ∈ C.
Розглянемо диференцiальне рiвняння з вiдхиленнями аргументу
x′(t) =
N∑
k=1
Akx(t− τk) + y(t), t∈ R, (4)
де y ∈ C(R, B) — вiдома функцiя, x ∈ C1(R, B) — шукана функцiя.
У роботi [7] показано, що необхiдною i достатньою умовою того, що для кожної
обмеженої функцiї y iснує єдиний обмежений розв’язок x, є умова на спектр
0 6∈ σ(Q(it)) для всiх t∈ R. (5)
У роботi [14] розглянуто однорiдне рiвняння
x′(t) = A1x(t− 1), t∈ R. (6)
Для нього умову (5) можна записати у виглядi
σ(A1) ∩ Γ = ∅,
де Γ := {iteit | t∈ R} — подвiйна спiраль з самоперетинами. У випадку порушення
умови (5) описано деякi достатнi умови на розташування спектра, за яких iснують
ненульовi розв’язки. Зокрема, доведене таке твердження.
Теорема [14]. Нехай умова (5) не виконується i спектр σ(A1) складається з
кiлькох замкнених частин, що не перетинаються мiж собою, i кожна з них або не
перетинається зi спiраллю Γ, або є частиною Γ i не мiстить точок самоперетину
спiралi, або є одноточковою множиною. Тодi iснують нетривiальнi розв’язки рiв-
няння (4), що зростають повiльнiше довiльної експоненти. При цьому вони мають
загальний вигляд
m∑
k=1
eCktbk,
де bk : 1 6 k 6 m — довiльнi елементи простору B, {Ck : 1 6 k 6 m} ⊂ L(B) —
фiксований набiр операторiв.
У цiй роботi за бiльш слабких умов на спектр операторного коефiцiєнта побу-
довано розв’язки однорiдного рiвняння (6), а також бiльш загального однорiдного
рiвняння, що вiдповiдає рiвнянню (4). Також отримано умови побудови звичай-
них диференцiальних рiвнянь першого порядку, всi розв’язки яких є розв’язками
неоднорiдного рiвняння (4).
2. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай σ(A1) × σ(A2) × . . . × σ(AN ) ⊂ U, де U — однозв’язна
обмежена область в CN , V — обмежена область в C,
F (z, w) : = z −
N∑
k=1
wke
−τkz, z ∈ V, w = (w1, . . . , wN ) ∈ U.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1292 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Припустимо, що виконуються умови:
1) для кожного w ∈ U iснує z ∈ V таке, що F (z, w) = 0;
2) iснує ε > 0 таке, що для всiх z ∈ V i w ∈ U справджується нерiвнiсть
|F (z, w)|+ |F ′z(z, w)| > ε.
Тодi iснує оператор C ∈ L(B) такий, що для довiльного елемента b ∈ B
функцiя
x(t) = eCtb, t∈ R,
є розв’язком рiвняння
x′(t) =
N∑
k=1
Akx(t− τk), t∈ R.
Наслiдок 1. Нехай σ(A1)×σ(A2) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область,
замикання якої не мiстить точок вигляду (−ez−1, z) при z ∈ C. Тодi iснує оператор
C ∈ L(B) такий, що для довiльного елемента b ∈ B функцiя
x(t) = eCtb, t∈ R,
є розв’язком рiвняння
x′(t) = A1x(t− 1) +A2x(t), t∈ R.
Наслiдок 2. Нехай σ(A1) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область, що не
мiстить точки (−e−1). Тодi iснує оператор C ∈ L(B) такий, що для довiльного
елемента b ∈ B функцiя
x(t) = eCtb, t∈ R,
є розв’язком рiвняння (6).
Теорема 2. Нехай σ(A1) × σ(A2) × . . . × σ(AN ) ⊂ U, де U — однозв’язна
обмежена область в CN , V — обмежена область в C та виконуються умови 1, 2
теореми 1 i для довiльного t∈ R
0 6∈ σ(Q(it)),
u — обмежена функцiя. Тодi iснує оператор C ∈ L(B) та для кожної обмеженої
функцiї y iснує обмежена функцiя u така, що кожен розв’язок рiвняння
x′(t) = Cx(t) + u(t), t∈ R, (7)
є розв’язком рiвняння (4).
При цьому у випадку τk ∈ Q, 1 6 k 6 N, якщо функцiя u є майже перiодичною,
або перiодичною з перiодом T > 0, таку ж властивiсть має функцiя y.
Наслiдок 3. Нехай σ(A1)×σ(A2) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область,
замикання якої не мiстить точок вигляду (−ez−1, z) при z ∈ C. Тодi iснує оператор
C ∈ L(B) та для кожної обмеженої функцiї y iснує обмежена функцiя u така, що
кожен розв’язок рiвняння (7) є розв’язком рiвняння
x′(t) = A1x(t− 1) +A2x(t) + y(t), t∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПРО ВИЗНАЧЕНI НА ОСI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI ЗСУВАМИ . . . 1293
Наслiдок 4. Нехай σ(A1) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область, що не
мiстить точки (−e−1). Тодi iснує оператор C ∈ L(B) такий, що кожен розв’язок
рiвняння (7) є розв’язком рiвняння
x′(t) = A1x(t− 1) + y(t), t∈ R.
3. Доведення теорем.
Лема 1. Нехай U — однозв’язна обмежена область в CN , V — обмежена
область в C. Припустимо, що виконуються умови 1, 2 теореми 1.
Тодi iснує аналiтична функцiя g : U → V така, що для всiх w ∈ U справджу-
ється рiвнiсть
F (g(w), w) = 0.
Доведення. Розглянемо довiльну точку w0 ∈ U . За умовою 1 можна вибрати
z0 ∈ V так, що F (z0, w0) = 0. За умовою 2 F ′z(z
0, w0) 6= 0. Тому в околi точки
(z0, w0) застосовна теорема про локальне iснування неявної функцiї g. Завдяки
обмеженостi областей U, V радiус околу точки в цiй теоремi можна вибрати один
для всiх точок w0 ∈ U. Тому функцiю g можна, починаючи з довiльної точки
(z0, w0) ∈ V × U такої, що F (z0, w0) = 0, аналiтично продовжити вздовж довiль-
ного шляху.
Враховуючи однозв’язнiсть областi U, за теоремою про монодромiю [15] функ-
цiя g, починаючи з довiльної точки (z0, w0), однозначно продовжується аналiтично
на область U.
Лема 2. Нехай σ(A1)× σ(A2)× . . .× σ(AN ) ⊂ U, де U — однозв’язна обме-
жена область в CN , V — обмежена область в C та виконуються умови 1, 2
теореми 1. Тодi iснує оператор C ∈ L(B) такий, що
C =
N∑
k=1
Ake
−τkC .
Доведення. Враховуючи лему 1 та теорiю аналiтичних функцiй вiд операторiв
[16], можна покласти C := g(A1, . . . , AN ). Тодi отримаємо F (C,A1, . . . , AN ) = 0,
що i дає потрiбну рiвнiсть.
Лема 3. Для довiльного R1 > 0 iснує R2 > 0 таке, що для кожного комп-
лексного числа w такого, що |w| 6 R1, iснує комплексне число z таке, що |z| 6 R2
i zez = w.
Доведення. Нехай w = Reiψ, R > 0, ψ ∈ [0, 2π). При достатньо малих R
потрiбне z iснує за теоремою про обернену функцiю. Розглянемо випадок, коли
R > ε при деякому ε > 0.
Шукатимемо z у виглядi z = reiϕ, r > 0, ϕ∈ R. Тодi рiвняння zez = w
еквiвалентне системi
R = rer cosϕ,
ψ = ϕ+ r sinϕ.
Виражаючи r з другого рiвняння i пiдставляючи в перше, отримуємо
R =
ψ − ϕ
sinϕ
e(ψ−ϕ) ctgϕ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1294 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
r =
ψ − ϕ
sinϕ
.
Аналiзуючи функцiю f(ϕ) =
ψ − ϕ
sinϕ
e(ψ−ϕ) ctgϕ у правiй частинi першого рiв-
няння системи, бачимо, що це рiвняння за теоремою Кошi про промiжне значення
при кожному ψ ∈ [0, 2π) має розв’язок ϕ ∈ (3π, 4π). Якщо при цьому R ∈ [ε,R1],
то ϕ не наближається до кiнцiв iнтервала, отже, r є обмеженим.
Лема 4. Нехай σ(A1) × σ(A2) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область,
замикання якої не мiстить точок вигляду (−ez−1, z) при z ∈ C. Тодi iснує оператор
C ∈ L(B) такий, що
C = A1e
−C +A2.
Доведення. Нехай R1 := sup(w1,w2)∈U ‖w1‖e‖w2‖, R3 := sup(w1,w2)∈U ‖w2‖.
Вибравши R2 за лемою 3, покладемо
V := {z ∈ C | |z| 6 R2 +R3, ∃w∈ C : (zez − wez, w) ∈ U} .
Перевiримо умови леми 2 при N = 2, τ1 = 1, τ2 = 0.
1. Рiвняння z = w1e
−z+w2 можна записати у виглядi (z−w2)ez−w2 = w1e
−w2 .
Потрiбне твердження випливає з леми 3.
2. Якщо припустити, що ця умова не виконується, то в замиканнi областi U
знайдеться точка (z, w) така, що |z − w1e
−z − w2| + |1 + w1e
−z| = 0, тобто z =
= −1 + w2, w1 = −ew2−1, що неможливо за умовою.
Застосовуючи лему 2, отримаємо потрiбне твердження.
Наслiдок 5. Нехай σ(A1) ⊂ U, де U — обмежена однозв’язна область, що не
мiстить точки (−e−1). Тодi iснує оператор C ∈ L(B) такий, що
CeC = A1.
Доведення теореми 1 випливає з леми 2 та властивостей операторної експо-
ненти [16].
Зауваження. З доведення лем 1, 2 випливає, що вибираючи рiзнi початковi
точки (z0, w0), можна визначати рiзнi оператори C.
Доведення наслiдкiв з теореми 1 випливає з леми 4 та властивостей оператор-
ної експоненти [16].
Доведення теореми 2. Нехай C — оператор, визначений у лемi 2. Якщо x —
розв’язок рiвняння (7), то
∃x0 ∈ B : x(t) = eCtx0 +
t∫
0
eC(t−s)u(s)ds, t∈ R.
Пiдставляючи його в рiвняння (4), отримуємо(
C −
N∑
k=1
Ake
−τkC
)
x0 + C
t∫
0
eC(t−s)u(s)ds+ u(t)−
−
N∑
k=1
Ak
t−τk∫
0
eC(t−τk−s)u(s)ds = y(t), t∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
ПРО ВИЗНАЧЕНI НА ОСI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI ЗСУВАМИ . . . 1295
Враховуючи лему 2, маємо
C
t∫
0
eC(t−s)u(s)ds−
N∑
k=1
t−τk∫
0
Ake
C(t−τk−s)u(s)ds = y(t)− u(t), t∈ R.
Здиференцiюємо цю рiвнiсть по t :
Cu(t) + C2
t∫
0
eC(t−s)u(s)ds−
N∑
k=1
(Aku(t− τk)+
+C
t−τk∫
0
Ake
C(t−τk−s)u(s)ds) = (y − u)′(t), t∈ R,
або, враховуючи попередню рiвнiсть,
Cy(t)−
N∑
k=1
Aku(t− τk) = (y − u)′(t), t∈ R.
З урахуванням умови на спектр з [7] випливає, що це рiвняння має єдиний обме-
жений неперервний розв’язок u.
Враховуючи результати роботи [17], отримуємо останнє твердження теореми.
Теорему 2 доведено.
4. Висновки. У роботi знайдено достатнi умови iснування нетривiальних
розв’язкiв однорiдних диференцiальних рiвнянь зi зсувами аргументу в банахо-
вому просторi. Також побудовано звичайнi диференцiальнi рiвняння, для яких всi
визначенi на всiй осi розв’язки є розв’язками заданого рiвняння зi зсувами аргу-
менту.
1. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1961. – 248 с.
2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1967. – 548 с.
3. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – М.:
Наука, 1972. – 352 с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.
5. Мухамадиев Э. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и
ограниченных на оси функций // Докл. АН СССР. Сер. мат., физ. – 1971. – 196, № 1. – С. 47 – 49.
6. Курбатов В. Г. О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными
коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, № 10. – С. 1770 – 1775.
7. Слюсарчук В. Е. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве бесконечно
дифференцируемых на оси функций // Дифференц. уравнения. – 1979. – 15, № 10. – С. 1796 – 1803.
8. Слюсарчук В. Е. О разрешимости функциональных и функционально-дифференциальных урав-
нений в пространстве ограниченных на оси функций // Приближенные и качественные методы
теории дифференциально-функциональных уравнений. – Киев, 1983. – С. 83 – 88.
9. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов //
Мат. сб. – 1986. – 130(172), № 1(5). – С. 86 – 104.
10. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функциональ-
но-дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
11. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 2. – С. 201 – 205.
12. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифферен-
циально-функциональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103 – 126.
13. Самойленко А. М. Об одной задаче исследования глобальных решений линейных дифференциаль-
ных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 5. – С. 631 – 640.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
1296 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
14. Чайковський А. В. Дослiдження одного лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою уза-
гальнених функцiй зi значеннями у банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 5. –
С. 688 – 693.
15. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. – М.: Наука, 1964.
– 411 с.
16. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – М.: Наука, 1970. – 536 с.
17. Чайковський А. В. Про iснування та єдинiсть перiодичних розв’язкiв лiнiйного диференцiального
рiвняння зi зсувами аргументу в банаховому просторi // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика i механiка.
– 2001. – Вип. 6. – С. 62 – 65.
Одержано 07.06.10,
пiсля доопрацювання — 06.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2806 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:42Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c6/3bada12517e6168dcbb5d4d6df65bcc6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28062020-03-18T19:36:55Z On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument Про визначені на осі розв'язки диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу Chaikovs'kyi, A. V. Чайковський, А. В. We consider linear first-order differential equations with shifts of arguments with respect to functions with values in a Banach space. Sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions of homogeneous equations are obtained. Ordinary differential equations are constructed for which all solutions defined on an axis are solutions of a given equation with shifts of the argument. Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения первого порядка со сдвигами аргумента относительно функций со значениями в банаховом пространстве. Установлены достаточные условия существования нетривиальных решений однородных уравнений. Построены обыкновенные дифференциальыне ураавнения, для которых все определенные на всей оси решения являются решениями заданного уравнения со сдвигами аргумента. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2806 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 9 (2011); 1290-1296 Український математичний журнал; Том 63 № 9 (2011); 1290-1296 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2806/2365 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2806/2366 Copyright (c) 2011 Chaikovs'kyi A. V. |
| spellingShingle | Chaikovs'kyi, A. V. Чайковський, А. В. On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title | On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title_alt | Про визначені на осі розв'язки диференціальних рівнянь зі зсувами аргументу |
| title_full | On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title_fullStr | On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title_full_unstemmed | On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title_short | On solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| title_sort | on solutions defined on an axis for differential equations with shifts of the argument |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2806 |
| work_keys_str_mv | AT chaikovs039kyiav onsolutionsdefinedonanaxisfordifferentialequationswithshiftsoftheargument AT čajkovsʹkijav onsolutionsdefinedonanaxisfordifferentialequationswithshiftsoftheargument AT chaikovs039kyiav proviznačenínaosírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹzízsuvamiargumentu AT čajkovsʹkijav proviznačenínaosírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹzízsuvamiargumentu |