On one generalization of modular subgroups
We study the influence of generalized modular subgroups on the structure of finite groups.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2808 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508785601150976 |
|---|---|
| author | Vasil'ev, V. A. Skiba, A. N. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. |
| author_facet | Vasil'ev, V. A. Skiba, A. N. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. |
| author_sort | Vasil'ev, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:09Z |
| description | We study the influence of generalized modular subgroups on the structure of finite groups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. А. Васильев, А. Н. Скиба (Гомель. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП
We study the influence of generalized modular subgroups on the structure of finite groups.
Дослiджується вплив узагальнених модулярних пiдгруп на будову кiнцевих груп.
1. Введение. Все рассматриваемые в данной работе группы конечны.
Напомним, что подгруппа M группы G называется модулярной подгруппой в
G, если выполняются следующие условия:
1) 〈X,M ∩ Z〉 = 〈X,M〉 ∩ Z для всех X ≤ G, Z ≤ G таких, что X ≤ Z;
2) 〈M,Y ∩ Z〉 = 〈M,Y 〉 ∩ Z для всех Y ≤ G, Z ≤ G таких, что M ≤ Z.
Отметим, что модулярная подгруппа является модулярным элементом (в смыс-
ле Куроша [1, с. 43], гл. 2) решетки всех подгрупп группы. Понятие модулярной
подгруппы впервые анализировалось в работе Р. Шмидта [2] и оказалось полезным
в вопросах классификации составных групп. В частности, в монографии Р. Шмид-
та [1] (гл. 5) модулярные подгруппы были использованы для получения новых
характеризаций различных классов групп. Подгруппа, порожденная двумя моду-
лярными подгруппами, является модулярной (см. раздел 5.1 в [1]). Таким образом,
каждая подгруппа H группы G имеет наибольшую содержащуюся в ней моду-
лярную подгруппу HmG группы G. Мы называем подгруппу HmG модулярным
ядром подгруппы H . Базируясь на понятии модулярного ядра, введем следующее
обобщение понятия модулярной подгруппы.
Определение 1.1. Подгруппу H группы G назовем m-добавляемой в G, если
в G существует такая подгруппа K, что G = HK и H ∩K ≤ HmG.
Легко видеть, что любая модулярная подгруппа является m-добавляемой и, в
то же время, существуют группы, в которых класс m-добавляемых подгрупп шире,
чем класс всех ее модулярных подгрупп (см. пример в конце п. 4).
Подгруппа A группы G называется квазинормальной (Оре [3]) или перестано-
вочной (Стоунхьюер [4]) в G, если AB = BA для всех B ≤ G. Квазинормальные
подгруппы обладают многими интересными свойствами, в частности, если A —
квазинормальная подгруппа группы G, то AG/AG ≤ Z∞(G/AG) [5], т. е. каждый
главный фактор группы G/AG ниже AG/AG является центральным.
Согласно теореме 5.1.1 [1] (гл. 5), подгруппа A является квазинормальной в
группе G тогда и только тогда, когда A субнормальна в G и является модулярной
подгруппой в G. Оказалось, что если подгруппа A модулярна в G, то каждый
главный фактор группыG/AG нижеAG/AG является циклическим [1] (гл. 5, теоре-
ма 5.2.5).
Дополняя эти результаты, в данной работе мы докажем следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть E — нормальная подгруппа группы G, p — простой дели-
тель порядка подгруппы E и (p− 1, |E|) = 1. Если каждая циклическая подгруппа
из E порядка p или порядка 4 является m-добавляемой в G, то каждый главный
фактор группы G между E и Op′(E) является циклическим.
Теорема 1.2. Пусть E — нормальная подгруппа группы G. Если каждая цик-
лическая подгруппа из E нечетного простого порядка является m-добавляемой в
G, то каждый главный фактор группыG междуE иO2(E) является циклическим.
c© В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА, 2011
1314 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1315
Теорема 1.3. Пусть E — нормальная подгруппа группы G. Если каждая цик-
лическая подгруппа из E простого порядка или порядка 4 является m-добавляемой
в G, то каждый главный фактор группы G ниже E является циклическим.
Мы докажем эти теоремы в п. 3. В п. 4 рассмотрены приложения этих теорем.
Используемая в статье терминология стандартна, при необходимости мы отсылаем
читателя к монографиям [6 – 8].
2. Некоторые предварительные результаты. Следующие известные свойства
модулярных подгрупп будут использованы в данной работе.
Лемма 2.1 ([1], гл. 5, раздел 5.1). Пусть G — группа. Тогда справедливы сле-
дующие утверждения:
(а) если M1 и M2 являются модулярными в G подгруппами, то 〈M1,M2〉 —
модулярная в G подгруппа;
(b) если N — нормальная в G подгруппа, то N является модулярной в G под-
группой;
(c) если N — нормальная в G подгруппа и M — модулярная в G подгруппа, то
MN/N — модулярная в G/N подгруппа;
(d) если N ≤ M ≤ G, N нормальна в G и M/N модулярна в G/N, то M
модулярна в G;
(e) если M ≤M1 ≤ G и M модулярна в G, то M модулярна в M1;
(f) если ϕ — изоморфизм группы G на группу Ḡ и M модулярна в G, то Mϕ
модулярна в Ḡ;
(g) если M является модулярной в G подгруппой, то H ∩M — модулярная в H
подгруппа для всех H ≤ G;
(h) если G = G1 ×G2, (|G1|, |G2|) = 1 и подгруппы M1,M2 являются модуляр-
ными вG1, G2 соответственно, тоM1×M2 является модулярной подгруппой вG.
Следующая лемма показывает, что модулярное ядро имеет свойства, аналогич-
ные свойствам нормального ядра подгруппы.
Лемма 2.2. Пусть G — группа и H ≤ K ≤ G. Тогда справедливы следующие
утверждения:
(1) HmG — модулярная в G подгруппа и HG ≤ HmG;
(2) HmG ≤ HmK ;
(3) если H нормальна в G, то (K/H)m(G/H) = KmG/H;
(4) HmG — нормальная в H подгруппа.
Доказательство. (1) Это утверждение следует из леммы 2.1(a).
(2) Применяя лемму 2.1(e), видим, что множество всех модулярных в G под-
групп из H содержится во множестве всех модулярных в K подгрупп из H . Значит,
HmG ≤ HmK .
(3) Пусть M1/H, M2/H, . . . ,Mn/H — набор всех тех модулярных в G/H
подгрупп, которые содержатся в K/H . Тогда (K/H)m(G/H) = 〈M1/H,M2/H, . . .
. . . ,Mn/H〉 = 〈M1,M2, . . . ,Mn〉/H. По лемме 2.1(d) M1,M2, . . . ,Mn — модуляр-
ные вG подгруппы, которые содержатся вK. Значит, (K/H)m(G/H) = 〈M1,M2, . . .
. . . ,Mn〉/H ⊆ KmG/H.
Если же K1,K2, . . .Kt — набор всех модулярных в G подгрупп, содержащихся
в K, то KmG = 〈K1,K2, . . . ,Kt〉. Согласно лемме 2.1(c) KiH/H — модулярная
в G/H подгруппа, и, очевидно, KiH/H ⊆ K/H, i = 1, . . . , t. Значит, KmG/H ⊆
⊆ (K/H)m(G/H). Таким образом, (K/H)m(G/H) = KmG/H .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1316 В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА
(4) Из HmG ⊆ H следует, что (HmG)h ⊆ H для любого h ∈ H . Так как,
согласно первому утверждению леммы, HmG — модулярная в G подгруппа, то
(HmG)h — модулярная в G подгруппа по лемме 2.1(f). Значит, (HmG)h ⊆ HmG, а
это влечет (HmG)h = HmG. Таким образом, HmG нормальна в H .
Лемма доказана.
Символом ZU (G) обозначают наибольшую нормальную подгруппу группыG, у
которой все G-главные факторы цикличны (ZU (G) = 1, если в G нет неединичных
нормальных подгрупп с таким свойством).
Лемма 2.3 ([1], гл. 5, теорема 5.2.5). Если подгруппа H модулярна в G, то
HG/HG ≤ ZU (G/HG).
Общие свойства m-добавляемых подгрупп описывает следующая лемма.
Лемма 2.4. Пусть G — группа. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если H является m-добавляемой в G подгруппой и H ≤ M ≤ G, то H
является m-добавляемой в M подгруппой;
(2) если N — нормальная подгруппа в G и N ≤ H, то H является m-добав-
ляемой в G в подгруппой тогда и только тогда, когда H/N — m-добавляемая в
G/N подгруппа;
(3) если N — нормальная подгруппа группы G, H — m-добавляемая подгруппа
в G и (|H|, |N |) = 1, то HN — m-добавляемая подгруппа в G;
(4) пусть π — некоторое множество простых чисел, N — нормальная π′-под-
группа в G, H — π-подгруппа в G; если H — m-добавляемая в G подгруппа, то
HN/N является m-добавляемой в G/N подгруппой.
Доказательство. (1) Пусть T — подгруппа группы G такая, что HT = G и
H ∩ T ≤ HmG. Тогда M = H(T ∩M) и (T ∩M)∩H = T ∩H ≤ HmG ≤ HmM по
лемме 2.2(2).
(2) Предположим, что H/N является m-добавляемой в G/N подгруппой. Тогда
существует подгруппа K/N в G/N такая, что G/N = (H/N)(K/N) и (H/N) ∩
∩ (K/N) ≤ (H/N)m(G/N). Тогда G = HK и по лемме 2.2(3) (H/N)m(G/N) =
= HmG/N, что влечет (H/N)∩ (K/N) = (H ∩K)/N ≤ HmG/N . Значит, H ∩K ≤
≤ HmG и поэтому H является m-добавляемой в G.
Обратно, если H является m-добавляемой в G подгруппой, то существует такая
подгруппа K в G, что G = HK и H ∩ K ≤ HmG. Покажем, что H/N является
m-добавляемой в G/N подгруппой. Понятно, что (H/N)(KN/N) = G/N . Из
H ∩K ≤ HmG получаем (H/N) ∩ (KN/N) = (H ∩KN)/N = N(H ∩K)/N ≤
≤ HmG/N = (H/N)m(G/N). Значит, H/N является m-добавляемой в G/N .
(3) Поскольку H m-добавляема в G, существует такая подгруппа T в G, что
G = HT и H ∩ T ≤ HmG. Понятно, что N ≤ T и HNT = HT = G. Так
как T ∩HN = N(T ∩H) ≤ NHmG, по лемме 2.1(a), (b) получаем, что NHmG ≤
≤ (NH)mG. Значит, T ∩HN ≤ (NH)mG, а это означает, чтоHN —m-добавляемая
подгруппа в G.
(4) Следует из второго и третьего утверждений леммы.
Лемма доказана.
Пусть F — любой класс групп, содержащий все единичные группы. Тогда GF
используется для обозначения пересечения всех нормальных подгрупп N группы
G таких, что G/N ∈ F . Класс групп F называется формацией, если либо F = ∅,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1317
либо F 6= ∅ и для каждой группы G любой гомоморфный образ ее фактор-группы
G/GF принадлежит F . Напомним, что формация F называется насыщенной, если
F содержит каждую группу G такую, что GF ≤ Φ(G).
Лемма 2.5 ([6], гл. VI, теорема 24.2). Пусть F — насыщенная формация и G
— минимальная не-F-группа с разрешимым F-корадикалом GF . Тогда:
(а) P = GF является p-группой для некоторого простого p и P — группа
экспоненты p или экспоненты 4 (если P является неабелевой 2-группой);
(b) P/Φ(P ) — главный фактор группы G и (P/Φ(P ))h (G/CG(P/Φ(P ))) 6∈ F .
Лемма 2.6. Пусть L — минимальная нормальная подгруппа группы G и L ≤
≤ Op(G). Если некоторая минимальная подгруппа из L является m-добавляемой в
G, то |L| = p.
Доказательство. Предположим, что |L| > p. Пусть R — минимальная подгруп-
па в L. Поскольку R является m-добавляемой в G, существует такая подгруппа T
в G, что RT = G и R ∩ T ≤ RmG. Предположим, что T < G. Тогда G = L h T,
что влечет RT 6= G. Это противоречие показывает, что T = G. Тогда R = RmG —
модулярная подгруппа в G. Значит, по лемме 2.3 RG/RG ≤ ZU (G/RG). Но RG = 1
и RG 6= 1. Следовательно, RG ≤ ZU (G) и L ∩ ZU (G) 6= 1, что влечет L ≤ ZU (G).
Значит, |L| = p. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Лемма 2.7. Пусть P — нормальная подгруппа группы G и L — некоторая
ее циклическая подгруппа простого порядка или порядка 4. Предположим, что в
G имеется такая подгруппа T, что LT = G и T ∩ L < L. Тогда для некоторой
нормальной в G подгруппы D имеет место D < P и P/D — циклическая группа.
Доказательство. Если |L| = p, то |P : P ∩ T | = p. Следовательно, D = P ∩ T
— максимальная подгруппа из P и поэтому D нормальна в P . Но D нормальна
в T . Значит, D является нормальной подгруппой в G и |P/D| = p. Предположим
теперь, что |L| = 4 и T ∩ L = 1. Возможны два случая:
a) D = P ∩ T является нормальной подгруппой в G и P/D ' L — циклическая
подгруппа;
b) P ∩ T не является нормальной подгруппой в G.
Поскольку P ∩T 6= P, существует такая подгруппа P1 в P, что P ∩T максималь-
на в P1 и, значит, P1 6≤ T . Следовательно, T < 〈P1, T 〉 ≤ NG(P ∩ T ) и NG(P ∩ T )
максимальна вG. Поэтому |G : NG(P∩T )| = 2 иNG(P∩T ) нормальна вG. Значит,
NG(P ∩T )∩P нормальна вG. Так какNG(P ∩T )P/NG(P ∩T ) ' P/NG(P ∩T )∩P,
то P/NG(P ∩ T ) ∩ P — группа порядка p.
Случай, когда |L| = 4 и |L : T ∩ L| = 2, рассматривается аналогично.
Лемма доказана.
Пусть P — некоторая p-подгруппа. Если P не является неабелевой 2-группой,
то мы используем символ Ω(P ) для обозначения подгруппы Ω1(P ). В противном
случае Ω(P ) = Ω2(P ).
Лемма 2.8. Пусть P — нормальная p-подгруппа группы G и Ω(P ) = P . Если
каждая циклическая подгруппа из P простого порядка и порядка 4 (если P —
неабелева 2-группа) является m-добавляемой в G, то P ≤ ZU (G).
Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна и группа G —
контрпример с наименьшим |G||P |. По лемме 2.6 P не является минимальной
нормальной подгруппой в G. Покажем, что группа G содержит нормальную под-
группу R ≤ P такую, что P/R является нециклическим главным фактором группы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1318 В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА
G, R ≤ ZU (G) и V ≤ R для любой нормальной подгруппы V 6= P из G, со-
держащейся в P . Действительно, пусть P/R — главный фактор группы G. Тогда
условие леммы верно для (G,R). Значит, R ≤ ZU (G) и поэтому P/R — нецик-
лический фактор по выбору (G,P ). Пусть теперь V 6= P — любая нормальная
подгруппа группы G, содержащаяся в P . Тогда V ≤ ZU (G). Если V 6≤ R, то
из G-изоморфизма P/R = V R/R ' V/V ∩ R получаем, что P ≤ ZU (G), а это
противоречит выбору (G,P ). Значит, V ≤ R.
Пусть V1, V2, . . . , Vt — множество всех циклических подгрупп из P порядка
p и порядка 4 (если P — неабелева 2-группа). По условию все они являются m-
добавляемыми подгруппами в G. Ясно, что P/R = (V1R/R)(V2R/R) . . . (VtR/R).
Не нарушая общности, можно предположить, что V1R/R 6= 1. Заметим, что
|V1R/R| ' |V1/V1 ∩ R| = p. Если V1 модулярна в G, то по лемме 2.1(a) – (c)
V1R/R модулярна в G/R и по лемме 2.6 получаем, что P/R — циклическая груп-
па. Это противоречит вышеизложенному. Значит, V1 не модулярна в G. Заметим,
что V1 имеет добавление T в G такое, что T ∩ V1 < V1. Действительно, так как V1
является m-добавляемой подгруппой в G, то G = TV1 и T ∩ V1 ≤ (V1)mG. Если
V1 = T∩V1 ≤ (V1)mG, то V1 = (V1)mG — модулярная подгруппа. Это противоречит
предположению о подгруппе V1. Значит, T ∩ V1 < V1. По лемме 2.7 для некоторой
нормальной в G подгруппы D имеет место D < P и P/D — циклическая груп-
па. Но, как показано выше, D ≤ R. Получили противоречие с тем, что P/R —
нециклический фактор.
Лемма доказана.
Лемма 2.9. Пусть P — нормальная p-подгруппа группы G. Если Ω(P ) ≤
≤ ZU (G), то P ≤ ZU (G).
Доказательство. Пусть C = CG(P ) и H/K — произвольный главный фактор-
группы G ниже P . Тогда Op(G/CG(H/K)) = 1 согласно лемме 3.9 в [6] (гл. I).
Поскольку Ω(P ) ≤ ZU (G), то (G/CG(Ω(P )))A(p−1) является p-подгруппой соглас-
но лемме 2.2 [11]. Значит, (G/C)A(p−1) — p-группа по теореме 2.4 [10]. Таким
образом, G/CG(H/K) ∈ A(p− 1) и поэтому |H/K| = p согласно теореме 4.1 в [6]
(гл. I). Следовательно, P ≤ ZU (G).
Лемма доказана.
Лемма 2.10 ([13], лемма 2.8). Если группа G p-сверхразрешима и Op′(G) = 1,
то G сверхразрешима и p — наибольший простой делитель |G|.
Следуя Дерку и Хоуксу [7], используем Cp(G) для обозначения пересечения
централизаторов всех абелевых p-главных факторов группы G (Cp(G) = G, если
G не имеет таких главных факторов).
Для каждой функции f вида
f : P ∪ {0} → {формации групп} (2.1)
положим, следуя [9], CLF (f) = {G — группа | G/GS ∈ f(0) и G/Cp(G) ∈
∈ f(p) для любого простого числа p ∈ π(Com(G))}. Здесь GS обозначает S-ра-
дикал группы G (т. е. наибольшую нормальную разрешимую подгруппу группы
G); Com(G) — класс всех абелевых групп A таких, что A ' H/K для некоторого
композиционного фактора H/K группы G. Формация F называется композицион-
ной, если для некоторой функции вида (2.1) имеет место F = CLF (f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1319
Лемма 2.11. Пусть F — композиционная формация, содержащая все сверх-
разрешимые группы, и G — группа, содержащая нормальную подгруппу E такую,
что G/E ∈ F . Если E — циклическая подгруппа, то G ∈ F .
Доказательство. Не нарушая общности, можно предположить, что E — ми-
нимальная нормальная подгруппа группы G, и поэтому |E| = p для некоторого
простого числа p. Согласно теореме 1 [9], F = CLF (f) для некоторой функ-
ции вида (2.1). Ясно, что группа H = E h (G/CG(E)) является сверхразреши-
мой, поэтому H ∈ F . Значит, G/CG(E) ∈ f(p). Пусть Cp/E = Cp(G/E). Тогда
Cp(G) = Cp ∩ CG(E) согласно теореме 3.2 [7] (гл. A). Но так как G/E ∈ F , то
G/Cp ' (G/E)/Cp(G/E) ∈ f(p) и поэтому G ∈ F .
Лемма доказана.
Лемма 2.12 ([1], гл. 5, раздел 5.2). ЕслиM является циклической квазинормаль-
ной подгруппой группы G, то каждая подгруппа из M квазинормальна в G.
Лемма 2.13 ([12], гл. 1, лемма 1.37). Пусть G = AB, где A и B — подгруппы
группы G. Тогда для любого простого числа p существуют такие силовские p-
подгруппы P, P1 и P2 соответственно в G, A и B, что P = P1P2.
3. Доказательства теорем 1.1 – 1.3. Доказательство теоремы 1.1. Предполо-
жим, что теорема не верна, и рассмотрим контрпример (G,E), для которого |G||E|
является минимальным. Пусть Z = ZU (G) и C = CG(P ), где P — силовская
p-подгруппа в E.
(1) Если V — нормальная p′-холлова подгруппа в E, то условие теоремы выпол-
няется для (G/V,E/V ).
Понятно, что E/V нормальна в G/V и p — простой делитель |E/V | и (p −
− 1, |E/V |) = 1. Заметим также, что P ' PV/V ∈ Sylp(E/V ). Пусть теперь
L/V ≤ PV/V, где L/V — циклическая подгруппа порядка p или порядка 4. Так
как L/V = V (L ∩ P )/V ' (L ∩ P )/V ∩ (L ∩ P ) = (L ∩ P )/1 ' L ∩ P, то L ∩ P
— циклическая подгруппа из P порядка p или порядка 4. Поэтому по условию
теоремы L∩P являетсяm-добавляемой подгруппой вG. НоL = L∩PV = V (L∩P )
и (|V |, |L∩P |) = 1, и, значит, по лемме 2.4(4) V (L∩P )/V являетсяm-добавляемой
подгруппой в G. Таким образом, условие теоремы верно для (G/V, E/V ).
(2) E является p-нильпотентной группой.
Предположим, что E 6= G. По лемме 2.4(1) условие теоремы верно для (E,E).
Значит, E является p-нильпотентной группой по выбору (G,E). Теперь предполо-
жим, что E = G. ТогдаG не является p-нильпотентной группой, и поэтомуG имеет
p-замкнутую подгруппу Шмидта H = Hp h Hq согласно теореме 5.4 [7] (гл. IV).
Не нарушая общности, можем полагать, что Hp ≤ P . По лемме 2.5 Hp/Φ(Hp)
является нецентральным главным фактором группы H и Hp — группа экспоненты
p или экспоненты 4 (если p = 2 и P неабелева). Значит, |Hp/Φ(Hp)| > p, так
как по условию теоремы p является простым делителем порядка группы G = E
и (p − 1, |E|) = 1. Пусть Φ = Φ(Hp), X/Φ — минимальная подгруппа в Hp/Φ,
x ∈ X \ Φ и L = 〈x〉. Тогда |L| = p или |L| = 4. Следовательно, L является
m-добавляемой подгруппой в G. Предположим, что LmG 6= L. Тогда для некото-
рой собственной подгруппы T из G имеем LT = G и H = L(T ∩ H). Понятно,
что T ∩ H < H . Поскольку Φ ≤ Φ(H), получаем Φ(T ∩ H) < H . Пусть L1 —
максимальная в L подгруппа. Заметим, что L1 ≤ Φ. Значит, |H : ΦT | = p. Следо-
вательно, |Hp/Φ| = |H/Φ : ΦT/Φ| = |H : ΦT | = p. Это противоречие показывает,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1320 В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА
что LmG = L и L является модулярной подгруппой в G. Значит, LΦ/Φ = X/Φ яв-
ляется модулярной подгруппой в H/Φ по лемме 2.1(a) – (c). Следовательно, каждая
минимальная подгруппа из Hp/Φ является m-добавляемой в H/Φ. Таким образом,
|Hp/Φ| = p по лемме 2.6. Полученное противоречие показывает, что E является
p-нильпотентной.
(3) E = P 6≤ Z и P не является минимальной нормальной подгруппой в G.
Пусть V — p′-холлова подгруппа в E. Тогда, согласно утверждению (2), V яв-
ляется нормальной подгруппой в E, а значит, и характеристической в E подгруп-
пой. Следовательно, V является нормальной подгруппой в G. Согласно утверж-
дению (1), условие теоремы верно для (G/V,E/V ). Предположим, что V 6= 1.
Тогда E/V ≤ ZU (G/V ) по выбору (G,E). Это противоречит выбору этой пары.
Значит, V = 1 и E = P 6≤ Z. По лемме 2.6 P не является минимальной нормальной
подгруппой в G.
(4) Группа G содержит неединичную нормальную подгруппу R ≤ P такую,
что P/R является нециклическим главным фактором группы G, R ≤ Z и V ≤ R
для любой нормальной подгруппы V 6= P из G, содержащейся в P .
См. доказательство леммы 2.8.
(5) Ω(E) = Ω 6≤ Z.
Это утверждение следует из леммы 2.9 и утверждения (3).
(6) Ω(E) = E.
Предположим, что Ω < P = E. Тогда в силу (4) Ω ≤ Z, что противоречит (5).
Заключительное противоречие. Применяя лемму 2.8, получаем, что P ≤ Z.
Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Доказательство теоремы 1.2. Предположим, что теорема не верна, и рас-
смотрим контрпример (G,E), для которого |G||E| минимально. Сначала покажем,
что E является 2′-сверхразрешимой группой. Действительно, предположим, что
E 6= G. По лемме 2.4 условие теоремы выполняется для (E,E), и поэтому E
является 2′-сверхразрешимой группой по выбору (G,E). Пусть теперь E = G.
В силу леммы 2.4(1) условие теоремы выполняется для любой подгруппы из
G. Следовательно, каждая максимальная подгруппа из G является 2′-сверхразре-
шимой по выбору G. Поэтому каждая максимальная подгруппа из G является
разрешимой.
Сначала покажем, что группа G разрешима. Предположим, что это не так.
Тогда G = G′ и если F = F (G), то F = Φ(G) G/F — простая неабелева группа и
каждая собственная нормальная подгруппа из G содержится в F . Ясно, что каждая
максимальная подгруппа из G/F является разрешимой и, значит, в силу [15] G/F
изоморфна одной из следующих групп: PSL2(p) (где p > 3 — такое простое число,
что p2 + 1 ≡ 0(5)), PSL2(3p) (где p — нечетное простое число), PSL2(2p) (где p —
простое число), PSL3(3), группа Сузуки Sz(2p) (где p — нечетное простое число).
Пусть r — наибольший простой делитель |G/F | и Gr — силовская r-подгруппа
изG. Тогда r > 3 по теореме Бернсайда о разрешимости бипримарных групп. Пусть
p — любой нечетный простой делитель |G/F |, Cp — циклическая подгруппа из G
порядка p. Покажем, что Cp ≤ F . Предположим, что это не так и Cp не является
модулярной подгруппой в G. Поскольку по условию Cp является m-добавляемой
в G, существует такая подгруппа T в G, что CpT = G и Cp ∩ T ≤ (Cp)mG = 1.
Следовательно, T является дополнением к Cp в G и поэтому |G : T | = p. Рассмат-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1321
ривая представление группы G/TG подстановками на множестве правых смежных
классов по T/TG, видим, что G/TG изоморфна некоторой подгруппе симметри-
ческой группы Sp степени p. Поскольку T — максимальная подгруппа в G, то
F = Φ(G) ≤ T . Значит, TG = F . Следовательно, p = r и силовская p-подгруппа
из G/TG имеет простой порядок. Поэтому для любого нечетного простого чис-
ла p < r, делящего |G/F |, Cp является модулярной подгруппой в G. Значит, по
лемме 2.1(a) – (c), D/F = CpF/F — модулярная подгруппа в G/F . По лемме 2.3
(D/F )G/F /(D/F )G/F ≤ ZU (G/F ) = 1. Следовательно, (D/F )G/F = (D/F )G/F ,
что влечет D/F = (D/F )G/F , т. е. D/F нормальна в G/F . Поскольку G/F — про-
стая неабелева группа, то D/F = G/F . Но |D/F | = p. Полученное противоречие
показывает, что Cp ≤ F .
Пусть P — силовская p-подгруппа из F . Так как P нормальна в F, P charF и
F нормальна в G, то P нормальна в G. Пусть R = (Gr)x для некоторого x ∈ G.
Покажем, что V = P hR нильпотентна. В силу леммы 2.4(1) каждая минимальная
подгруппа из P является m-добавляемой в V . Cледовательно, Q ≤ ZU (V ) по
теореме 1.1. Значит, V сверхразрешима и из p < r следует, что R нормальна в
V по теореме 9.1(c) из [14] (гл. VI). Следовательно, V нильпотентна, что влечет
R ≤ CG(P ). Так как (Gr)G нормальна в G и (Gr)G 6≤ F, то (Gr)G = G ≤ CG(P ).
Отсюда P ≤ Z(G) и P ≤ Φ(G) в силу того, что F = Φ(G).
ПустьW — p′-холловская подгруппа из F . Тогда PW/W ≤ Z(G/W ) и PW/W ≤
Φ(G/W ). Значит, p делит |M(G/F )|, где M(G/F ) — мультипликатор Шура для
G/F . Поскольку p > 2, то p = 3, π(|M(G/F )|) ⊆ 2, 3 и 5 делит |G/F | (см. [16],
гл. 4). Кроме того, видим, что 5 — не наибольший простой делитель |G/F | или
порядок силовской 5-подгруппы G/F является непростым. Следовательно, 5 < r
и 5 делит |F |.
Пусть G3 — силовская 3-подгруппа группы G и L — силовская 5-подгруппа
из F . Так как V = G3L разрешима, то V 6= G и поэтому V сверхразрешима.
Следовательно, для любого главного фактора H/K из V ниже L получаем, что
|V/CV (H/K)| делит 4. Поэтому CV (H/K) = V и L ≤ Z∞(V ). Значит, V нильпо-
тентна. Таким образом, L ≤ Z(G) и 5 делит |M(G/F )|. Это противоречие означает,
что G разрешима.
Пусть теперь p — любое нечетное простое число. Покажем, что G являет-
ся p-сверхразрешимой. Предположим, что это не так. Тогда p делит |G| и G
— разрешимая минимальная не p-cверхразрешимая группа. Известно, что класс
всех p-сверхразрешимых групп F является насыщенной формацией (см. [6, с. 35],
гл. 1). Значит, по лемме 2.5(a) GF является p-группой. Поэтому, согласно теоре-
ме 1.1, GF ≤ ZU (G) и G является p-сверхразрешимой группой по лемме 2.11.
Это противоречие завершает доказательство того, что E — 2′-сверхразрешимая
группа.
Из этого следует, что E/O2(E) сверхразрешима по лемме 2.10. Допустим, что
O2(E) 6= 1. Но по выбору (G,E) теорема верна для (G/O2(E), E/O2(E)). Та-
ким образом, каждый главный фактор (H/O2(E))/(K/O2(E)) группы G/O2(E)
между E/O2(E) и 1 является циклическим. В силу G-изоморфизма
(H/O2(E))/(K/O2(E)) ' H/K любой главный фактор группы G между E и
O2(E) является циклическим, что противоречит выбору группыG. Значит,O2(E) =
= 1. Снова применяя лемму 2.10, убеждаемся, что E сверхразрешима. Рассмотрим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1322 В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА
Eq — силовскую q-подгруппу группы E, где q — наибольший простой делитель |E|.
Поскольку Eq характеристична в E, а E является нормальной подгруппой в G, Eq
нормальна в G. Допустим теперь, что Eq < E. Тогда по лемме 2.4(1), (2) условие
выполняется для (G,Eq) и (G/Eq, E/Eq), что влечет E ≤ ZU (G). Полученное
противоречие показывает, что Eq = E. Значит, в силу теоремы 1.1 каждый глав-
ный фактор группы G ниже E является циклическим. Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы.
Доказательство теоремы 1.3. Предположим, что теорема не верна, и рас-
смотрим контрпример (G,E), для которого |G||E| минимально. Пусть p — наи-
меньший простой делитель |E|, P — силовская p-подгруппа группы E. Заметим,
что условие теоремы выполняется для (E,E) по лемме 2.4(1). Значит,E является p-
нильпотентной группой по теореме 1.1. Заметим также, что если X — неединичная
нормальная холлова подгруппа из E, то X = E. Действительно, согласно лем-
ме 2.4(4), условие теоремы выполняется для (G/X,E/X) и (G,X). Если X 6= E,
то минимальный выбор (G,E) влечет E/X ≤ ZU (G/X) и X ≤ ZU (G). Значит,
E ≤ ZU (G). Полученное противоречие показывает, что E = P . Следовательно,
каждый главный фактор группы G ниже E = P является циклическим по теоре-
ме 1.1.
Теорема доказана.
4. Приложения теорем 1.1 – 1.3. Многие результаты теории формаций связаны
с изучением условий, при которых та или иная группа принадлежит насыщен-
ной формации. В этом направлении было найдено большое количество критериев
разрешимости, сверхразрешимости, p-нильпотентности, нильпотентности и т. д., а
также общих критериев принадлежности группы насыщенной формации. Тем не
менее в этом направлении почти нет результатов, связанных с композиционны-
ми формациями. Одним из первых приложений теоремы 1.3 является следующий
результат.
Теорема 4.1. Пусть F — композиционная формация, содержащая все сверх-
разрешимые группы, и G — группа, содержащая нормальные подгруппы X ≤ E
такие, что G/E ∈ F . Предположим, что все циклические подгруппы из X про-
стого порядка или порядка 4 являются m-добавляемыми в G. Если X = E или
X = F ∗(E), то G ∈ F .
Еще одним ключевым фактом, лежащим в основе доказательства теоремы 4.1,
является следующее предложение.
Предложение 4.1 ([18], предложение C). Пусть E — нормальная подгруппа
группы G. Если каждый главный фактор группы G ниже F ∗(E) является цик-
лическим, то каждый главный фактор группы G ниже E также является цикли-
ческим.
В этом предложении F ∗(E) обозначает обобщенную подгруппу Фиттинга груп-
пы E, т. е. произведение всех нормальных квазинильпотентных подгрупп группы
E.
Доказательство теоремы 4.1. Прежде всего предположим, что X = F ∗(E).
Тогда по теореме 1.3 каждый главный фактор группы G ниже F ∗(E) является
циклическим. Значит, согласно предложению 4.1, каждый главный фактор ниже E
является циклическим. Теперь применяя лемму 2.10, заключаем, что G ∈ F .
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1323
В литературе можно встретить следующие частные случаи теоремы 4.1.
Следствие 4.1 [19]. ПустьG— группа нечетного порядка. Если все подгруппы
из G простого порядка являются нормальными в G, то G сверхразрешима.
Следствие 4.2 ([14], теорема 5.7). Если каждая минимальная подгруппа
группы G является нормальной в G, то коммутатор G′ группы G является 2-
замкнутым.
Следствие 4.3 [20]. Предположим, что группаG разрешима и содержит та-
кую нормальную подгруппу H, что G/H сверхразрешима. Если все минимальные
подгруппы из F (H) являются дополняемыми в G, то G сверхразрешима.
Следствие 4.4 [21]. Пусть F — насыщенная формация, содержащая U , и G
— группа с абелевыми силовскими 2-подгруппами. Если H — нормальная подгруппа
из G такая, что G/H ∈ F и каждая минимальная подгруппа из H является
перестановочной в G, то G ∈ F .
Напомним, что подгруппа H группы G называется c-нормальной [22] в G, если
существует такая нормальная подгруппа T из G, что TH = G и H ∩K ⊆ HG.
Следствие 4.5 [22]. Если все подгруппы группы G простого порядка или по-
рядка 4 являются c-нормальными в G, то G сверхразрешима.
Следствие 4.6 [23]. Пусть F — насыщенная формация, содержащая U . Если
все минимальные подгруппы и все циклические подгруппы порядка 4 группы GF
являются c-нормальными в G, то G ∈ F .
Следствие 4.7 [24]. ПустьF — насыщенная формация, содержащая все сверх-
разрешимые группы, и G — группа, содержащая нормальную подгруппу E такую,
что G/E ∈ F . Если циклические подгруппы из F ∗(E) простого порядка или по-
рядка 4 являются c-нормальными, то G ∈ F .
Следствие 4.8 [25]. Пусть p — простое число и H — нормальная подгруппа
группы G такая, что G/H ∈ Up. Если подгруппы из H порядка p или порядка 4
если p = 2, являются c-нормальными в G, то G ∈ Up.
Следствие 4.9 [26]. Пусть F — насыщенная формация, содержащая U , и G
— группа с разрешимой нормальной подгруппой E такой, что G/E ∈ F . Если все
минимальные подгруппы и все циклические подгруппы порядка 4 из F (E) являются
c-нормальными в G, то G ∈ F .
Напомним, что подгруппа H группы G называется c-добавляемой [27] в G,
если существует такая подгруппа K из G, что G = HK и H ∩K ⊆ HG.
Следствие 4.10 [27, 28]. Пусть F — насыщенная формация, содержащая все
сверхразрешимые группы, и G — группа, содержащая нормальную подгруппу E
такую, что G/E ∈ F . Если циклические подгруппы из E простого порядка или
порядка 4 являются c-добавляемыми в G, то G ∈ F .
Следствие 4.11 [29, 30]. Пусть F — насыщенная формация, содержащая все
сверхразрешимые группы, и G — группа, содержащая нормальную подгруппу E
такую, что G/E ∈ F . Если циклические подгруппы из F ∗(E) простого порядка
или порядка 4 являются c-добавляемыми в G, то G ∈ F .
В заключение приведем пример, показывающий, что в общем случае класс
всех m-добавляемых подгрупп группы является более широким, чем класс всех ее
c-добавляемых подгрупп и класс всех ее модулярных подгрупп.
Пример 4.1. В работе [31] показано, что существует группа E порядка 217
с такой циклической квазинормальной подгруппой X порядка 27, что [X,E]′ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1324 В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. Н. СКИБА
= X64 = Ω(X). Пусть M — максимальная в X подгруппа. Понятно, что подгруппа
M не является нормальной в E. Пусть 2 < q < t < p < r — простые числа, где
t|(r − 1) и q|(p− 1) (например, q = 3, t = 5, p = 7 и r = 11).
Пусть A = (P h Q) × P1, где P h Q — неабелева группа порядка pq, |Q| =
= q и |P | = |P1| = p. Легко показать, что подгруппа Q не является модулярной
в A (см. упражнение 3 на с. 216 в книге [1]). Пусть B = R h T — неабелева
группа порядка rt, где |R| = r и |T | = t. Пусть G = A × B × E и H = QTM .
Покажем, что HmG = TM . По лемме 2.12 M — квазинормальная в E подгруппа.
Следовательно,M модулярна вG по лемме 2.1(h). Понятно также, что T модулярна
в G. Следовательно, MT ⊆ HmG по лемме 2.1(h). Предположим, что HmG = H .
Тогда H ∩ A = Q модулярна в A по лемме 2.1(g), что противоречит изложенному
выше о подгруппе Q. Значит, HmG 6= H, и поэтому H не является модулярной
подгруппой в G. Поэтому HmG = MT . Легко также видеть, что HG = 1.
Предположим, что подгруппа H имеет в G дополнение Y . По лемме 2.13 най-
дется такая силовская 2-подгруппа Y2 в Y, что E = MY2. Тогда X = M(X ∩ Y2),
что противоречит цикличности подгруппы X . Значит, H не имеет дополнения в
G, и поэтому H не является c-добавляемой в G. Пусть теперь V = PP1RE. То-
гда G = V H и V ∩ H ≤ M ≤ HmG. Таким образом, подгруппа H является
m-добавляемой в G.
1. Schmidt R. Subgroup Lattices of Groups. – Berlin etc: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.
2. Schmidt R. Modulare Untergruppen endlicher Gruppen // J. Ill. Math. – 1969. – 13. – P. 358 – 377.
3. Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order // Duke Math. J. – 1939. – 5. – P. 431 – 460.
4. Stonehewer S. E. Permutable subgroups in infinite groups // Math. Z. – 1972. – 125. – S. 1 – 16.
5. Maier R., Schmid P. The embedding of permutable subgroups in finite groups // Math. Z. — 1973. – 131.
– S. 269 – 272.
6. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.
7. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin etc: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
8. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of finite groups. – Dordrecht etc: Springer, 2006. – 385 p.
9. Skiba A. N., Shemetkov L. A. Multiply L-composition formations of finite groupsv // Укр. мат. журн. –
2000. – 52, № 6. – С. 783 – 797.
10. Gagen T. M. Topics in finite groups. – Cambridge Univ. Press, 1976. – 85 p.
11. Skiba A. N. On two questions of L. A. Shemetkov concerning hypercyclically embedded subgroups of
finite groups // J. Group Theory. – 2010. – 13, № 6. – P. 841 – 850.
12. Черников Н. С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Наук.
думка, 1987. – 208 с.
13. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. Criterions of supersolubility for products of supersoluble groups //
Publ. Math. Debrecen. – 2006. – 68, № 3 – 4. – P. 433 – 449.
14. Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin etc: Springer, 1967. — 793 S.
15. Thompson J. G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1968. – 74, № 3. – P. 383 – 437.
16. Горенстейн Д. Конечные простые группы. – М.: Мир, 1985. – 350 с.
17. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 272 с.
18. Skiba A. N. A characterization of the hypercyclically embedded subgroups of finite groups // J. Pure and
Appl. Algebra. – 2010. (available at:doi:10.1016/j.jpaa.2010.04.017).
19. Buckley J. Finite groups whose minimal subgroups are normal // Math. Z. – 1970. – 15. – S. 15 – 17.
20. Li D., Guo X. On Complemented subgroups of finite groups // Chinese Ann. Math. Ser. B. – 2001. – 22.
– P. 249 – 254.
21. Ballester-Bolinches A., Pedraza-Aguilera M. C. On minimal subgroups of finite groups // Acta math.
hungar. – 1996. – 73, № 4. – P. 335 – 342.
22. Wang Y. c-Normality of groups and its properties // J. Algebra. – 1996. – 180. – P. 954 – 965.
23. Ballester-Bolinches A., Wang Y. Finite groups with some C-normal minimal subgroups // J. Pure and
Appl. Algebra. – 2000. – 153. – P. 121 – 127.
24. Wei H., Wang Y., Li Y. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite
groups, II // Communs Algebra. – 2003. – 31. – P. 4807 – 4816.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МОДУЛЯРНЫХ ПОДГРУПП 1325
25. Ramadan M., Ezzat Mohamed M., Heliel A. A. On c-normality of certain subgroups of prime power
order of finite groups // Arch. Math. – 2005. – 85. – P. 203 – 210.
26. Wei H. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups // Communs
Algebra. – 2001. – 29. – P. 2193 – 2200.
27. Ballester-Bolinches A., Wang Y., Guo X. Y. c-Supplemented subgroups of finite groups // Glasgow Math.
J. – 2000. – 42. – P. 383 – 389.
28. Wang Y., Li Y., Wang J. Finite groups with c-supplemented minimal subgroups // Algebra Colloq. – 2003.
– 10, № 3. – P. 413 – 425.
29. Wang Y., Wei H., Li Y. A generalization of Kramer’s theorem and its applications // Bull. Austral. Math.
Soc. – 2002. – 65. – P. 467 – 475.
30. Wei H., Wang Y., Li Y. On c-supplemented maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite
groups // Proc. Amer. Math. Soc. – 2004. – 132, № 8. – P. 2197 – 2204.
31. Stonehewer S. E. Old, recent and new results on quasinormal subgroups // Irish Math. Soc. Bull. – 2005.
– 56. – P. 125 – 133.
Получено 03.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2808 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a9/a3422fb8248dc19945d8850d7d0b56a9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28082020-03-18T19:37:09Z On one generalization of modular subgroups Об одном обобщении модулярных подгрупп Vasil'ev, V. A. Skiba, A. N. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. We study the influence of generalized modular subgroups on the structure of finite groups. Дослiджується вплив узагальнених модулярних пiдгруп на будову кiнцевих груп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2808 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 10 (2011); 1314-1325 Український математичний журнал; Том 63 № 10 (2011); 1314-1325 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2808/2369 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2808/2370 Copyright (c) 2011 Vasil'ev V. A.; Skiba A. N. |
| spellingShingle | Vasil'ev, V. A. Skiba, A. N. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. Васильев, В. А. Скиба, А. Н. On one generalization of modular subgroups |
| title | On one generalization of modular subgroups |
| title_alt | Об одном обобщении модулярных подгрупп |
| title_full | On one generalization of modular subgroups |
| title_fullStr | On one generalization of modular subgroups |
| title_full_unstemmed | On one generalization of modular subgroups |
| title_short | On one generalization of modular subgroups |
| title_sort | on one generalization of modular subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2808 |
| work_keys_str_mv | AT vasil039evva ononegeneralizationofmodularsubgroups AT skibaan ononegeneralizationofmodularsubgroups AT vasilʹevva ononegeneralizationofmodularsubgroups AT skibaan ononegeneralizationofmodularsubgroups AT vasilʹevva ononegeneralizationofmodularsubgroups AT skibaan ononegeneralizationofmodularsubgroups AT vasil039evva obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp AT skibaan obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp AT vasilʹevva obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp AT skibaan obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp AT vasilʹevva obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp AT skibaan obodnomobobŝeniimodulârnyhpodgrupp |