Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type
We present the group classification of one class of (1 + 3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2811 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508787866075136 |
|---|---|
| author | Kovalenko, S. S. Коваленко, С. С. |
| author_facet | Kovalenko, S. S. Коваленко, С. С. |
| author_sort | Kovalenko, S. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:09Z |
| description | We present the group classification of one class of (1 + 3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of
the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used
for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the class under study. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.957+512.816
С. С. Коваленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
ОДНОГО КЛАСУ (1 + 3)-ВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ТИПУ СТЕФАНА
We present the group classification of one class of (1+3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of
the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used
for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the class under study.
Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа
Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты
применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса.
1. Вступ. Теоретико-груповi методи є сучасним математичним апаратом, що широ-
ко застосовується при дослiдженнi математичних моделей на базi диференцiальних
рiвнянь (як звичайних, так i з частинними похiдними). На сьогоднiшнiй день ви-
вчено симетрiйнi властивостi багатьох вiдомих рiвнянь механiки, газової динамiки,
електродинамiки, теплофiзики, квантової фiзики тощо (див. монографiї [1 – 5] та
бiблiографiю, наведну в них). Проте у бiльшостi публiкацiй диференцiальнi рiв-
няння дослiджувалися без урахування будь-яких початкових та крайових умов.
Це можна пояснити тим, що широко вживанi крайовi умови (наприклад, умови
Дiрiхле, Ноймана тощо) рiдко коли є iнварiантними вiдносно перетворень з гру-
пи симетрiї базових диференцiальних рiвнянь. Це, у свою чергу, призводить до
малої ефективностi застосувань групових методiв для пошуку, наприклад, точних
розв’язкiв крайових задач.
Одним iз можливих напрямкiв подолання цiєї проблеми є застосування тео-
ретико-групових методiв до крайових задач з рухомими границями (вiльними по-
верхнями). Незважаючи на те, що такi задачi є набагато складнiшим об’єктом для
аналiзу, нiж традицiйнi крайовi задачi з фiксованими межами, застосування, на-
приклад, класичного методу Лi до задач такого типу може виявитися набагато
ефективнiшим саме через те, що структура невiдомих (вiльних) границь може за-
лежати вiд iнварiантних змiнних, i це дає можливiсть звести дослiджувану крайову
задачу до iншої задачi меншої розмiрностi [6]. Вiдомi публiкацiї, в яких автори
застосовують теоретико-груповi методи до крайових задач з рухомими границя-
ми у випадку двох незалежних змiнних (див. [7] та наведену в нiй бiблiографiю).
Однак на сьогоднiшнiй день є лише кiлька робiт, присвячених вивченню застосу-
вання групових методiв до складних багатовимiрних задач з рухомими границями
[8 – 10], хоча отриманi в них результати свiдчать про ефективнiсть такого пiдходу.
У цiй роботi ми розглядаємо широкий клас (1+3)-вимiрних крайових задач типу
Стефана, що моделюють процеси плавлення та випаровування металiв пiд дiєю
потужних потокiв випромiнювання. У другому пунктi сформульовано теорему, що
дає вичерпний опис симетрiй Лi крайових задач з дослiджуваного класу. У третьому
пунктi результати проведеної групової класифiкацiї застосовано для редукцiї та
побудови точного розв’язку однiєї крайової задачi з розглядуваного класу.
2. Iнварiантнiсть одного класу (1 + 3)-вимiрних крайових задач, що мо-
делюють процеси плавлення та випаровування металiв. Сформулюємо мате-
матичну модель процесiв плавлення та випаровування металiв пiд дiєю потужних
c© С. С. КОВАЛЕНКО, 2011
1352 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1353
потокiв випромiнювання. Нехай Ω = {x = (x1, x2, x3) : x3 > 0} — пiвпростiр три-
вимiрного евклiдового простору R3, який початково займає тверда фаза металу. В
момент часу t = 0 на поверхню x = 0 починає падати потужний потiк випромi-
нювання Q(t) = (0, 0, Q(t)). Тут i далi ми нехтуємо початковою короткочасною
нерiвноважною стадiєю процесу та вивчаємо процеси плавлення та випаровування
на стадiї, коли три фази (газоподiбна, рiдка та тверда) мають мiсце, i вважаємо,
що ця ситуацiя виникає у деякий момент часу t ∈ T = (t∗,+∞), де t∗ — деяке
додатне дiйсне число. Таким чином, область Ω(t) = Ω × T складається з трьох
областей, зайнятих газоподiбною, рiдкою та твердою фазами, якi будемо позначати
вiдповiдно через Ω0(t), Ω1(t) та Ω2(t), та двох гладких поверхонь S1(t, x) = 0 та
S2(t, x) = 0, що роздiляють цi фази. Iншими словами, область Ω(t) можна записати
у виглядi
Ω(t) = Ω0(t) ∪ Γ1(t) ∪ Ω1(t) ∪ Γ2(t) ∪ Ω2(t),
де
Γk(t) = (t, x) : Sk(t, x) = 0, t ∈ T, x ∈ Ω, k = 1, 2,
Ω0(t) = (t, x) : S1(t, x) < 0, S2(t, x) < 0, t ∈ T, x ∈ Ω,
Ω1(t) = (t, x) : S1(t, x) > 0, S2(t, x) < 0, t ∈ T, x ∈ Ω,
Ω2(t) = (t, x) : S1(t, x) > 0, S2(t, x) > 0, t ∈ T, x ∈ Ω.
Тодi вiдповiдний клас (1 + 3)-вимiрних нелiнiйних крайових задач типу Стефа-
на, що моделюють процеси плавлення та випаровування металiв пiд дiєю потужних
потокiв випромiнювання, можна подати у виглядi [11, 12]
∂u
∂t
= ∇ (d1(u)∇u) , (t, x) ∈ Ω1(t), (1)
∂v
∂t
= ∇ (d2(v)∇v) , (t, x) ∈ Ω2(t), (2)
S1(t, x) = 0 : d1v
∂u
∂n1
= HvV1 · n1 −Q(t) · n1, u = uv, (3)
S2(t, x) = 0: d2m
∂v
∂n2
= d1m
∂u
∂n2
+HmV2 · n2, u = um, v = vm, (4)
|x| = +∞ : v = v∞, t ∈ T, (5)
де u, v — шуканi температурнi поля; d1(u), d2(v) — коефiцiєнти температуропро-
вiдностi; d1v = d1(uv), d1m = d1(um), d2m = d2(vm); Hv , Hm, uv , um, vm, v∞ —
деякi вiдомi сталi; Q(t) = (0, 0, Q(t)) — тепловий потiк; Sk(t, x) = 0, k = 1, 2, —
шуканi поверхнi подiлу фаз; Vk(t, x), k = 1, 2, — швидкостi руху мiжфазових меж;
nk, k = 1, 2, — одиничнi зовнiшнi нормалi до поверхонь Sk(t, x) = 0, k = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1354 С. С. КОВАЛЕНКО
вiдповiдно; ∇ =
(
∂
∂x1
,
∂
∂x1
,
∂
∂x3
)
; iндекси k = 1 та k = 2 вiдповiдають рiдкiй та
твердiй фазам металу.
З математичної та фiзичної точок зору ми повиннi накласти деякi додатковi
умови на функцiї та сталi, що з’являються у дослiджуваному класi крайових задач.
А саме, ми припускаємо, що всi функцiї у задачi (1) – (5) є достатньо гладкими;
вiльнi поверхнi Sk(t, x) = 0 задовольняють наступнi умови:
∂Sk
∂t
6= 0 та |∇Sk| 6= 0,
k = 1, 2; тепловий потiк не є нульовим, тобто Q(t) 6= 0 та Vk · nk 6= 0, k = 1, 2.
Зрештою сталi uv , um, vm, та v∞ повиннi задовольняти природнi нерiвностi uv 6=
6= um, vm 6= v∞.
Базуючись на означеннi iнварiантностi у сенсi Лi крайової задачi з вiльними
поверхнями, яке було запропоноване нами у роботi [7], та застосувавши класичнi
методи групової класифiкацiї класiв диференцiальних рiвнянь [1, 4, 5], ми дослi-
дили симетрiйнi властивостi класу крайових задач (1) – (5). Наведенi нижче лема 1
та теорема 1 дають вичерпний опис симетрiй Лi крайових задач з цього класу.
Лема 1. Клас крайових задач (1) – (5) допускає групу перетворень еквiвалент-
ностi ẼBVP
eq :
x̃1 = β (x1 cosβ1 + x2 sinβ1) + γ1,
x̃2 = β (−x1 sinβ1 + x2 cosβ1) + γ2,
x̃3 = βx3 + γ3,
t̃ = αt+ γ0, ũ = δ1u+ γ4, ṽ = δ2v + γ5, S̃1 = S1, S̃2 = S2,
d̃1 =
β2
α
d1, d̃2 =
β2
α
d2,
d̃1v =
β2
δ1
d1v, d̃1m =
β2
δ1
d1m, d̃2m =
β2
δ2
d2m, H̃v = αHv, H̃m = αHm,
ũv = δ1uv + γ4, ũm = δ1um + γ4, ṽm = δ2v + γ5, Q̃ = βQ
з довiльними дiйсними коефiцiєнтами α, β, β1, γ0, . . . , γ5, δ1, δ2, що задовольняють
умову
αβδ1δ2 6= 0.
Теорема 1. Крайова задача (1) – (5) з довiльними заданими додатними функ-
цiями d1(u), d2(v) та Q(t) є iнварiантною у сенсi Лi вiдносно 4-параметричної
групи Лi, породженої такими iнфiнiтезимальними операторами:
P1 =
∂
∂x1
, P2 =
∂
∂x2
, P3 =
∂
∂x3
, J12 = x2
∂
∂x1
− x1
∂
∂x2
.
Максимальна група iнварiантностi задачi (1) – (5) не залежить вiд форми функцiй
d1(u), d2(v), а залежить вiд функцiї Q(t). Iснують лише двi крайовi задачi з класу
(1) – (5) (з точнiстю до перетворень еквiвалентностi з групи ẼBVP
eq ) з коректно
вибраною функцiєю Q(t), якi допускають 5-параметричну групу iнварiантностi,
породжену операторами P1, P2, P3, J12 та операторами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1355
1) D = 2t
∂
∂t
+ x1
∂
∂x1
+ x2
∂
∂x2
+ x3
∂
∂x3
при Q(t) =
q√
t
,
2) Pt =
∂
∂t
при Q(t) = q, вiдповiдно,
де q — деяка довiльна додатна стала.
Зауваження 1. У теоремi 1 довiльну сталу q, з точнiстю до перетворень еквi-
валентностi з групи ẼBVP
eq , можна покласти рiвною 1 (нагадаємо, щоQ(t) — додатна
функцiя).
Зауваження 2. При доведеннi теореми випадок d1(u) = d2(v) = const не
дослiджувався, оскiльки вiн фiзично не обґрунтований.
Зауваження 3. У випадку однiєї просторової змiнної x3 задача (1) – (5) суттєво
спрощується i пошуку її точних розв’язкiв та симетрiй Лi присвячено низку робiт,
зокрема [6, 7, 13, 14].
3. Симетрiйна редукцiя та приклад побудови точного розв’язку однiєї крайо-
вої задачi з дослiджуваного класу. У цьому пунктi ми продемонструємо, як можна
застосувати результати, отриманi у п. 2, до побудови точних розв’язкiв крайових
задач з дослiджуваного класу. Зосередимося на розглядi крайової задачi (1) – (5) з
тепловим потоком Q(t) = q ≡ (0, 0, q), q = const. Згiдно з теоремою 1, така задача
допускає 5-вимiрну алгебру iнварiантностi A5 з такими базисними операторами:
Pt =
∂
∂t
, P1 =
∂
∂x1
, P2 =
∂
∂x2
, P3 =
∂
∂x3
, J12 = x2
∂
∂x1
− x1
∂
∂x2
.
Тепер застосуємо цi оператори для редукцiї дослiджуваної крайової задачi до
крайових задач меншої розмiрностi. Для реалiзацiї цiєї мети ми використаємо
оптимальну систему s-вимiрних пiдалгебр (s ≤ 5) алгебри A5. Оскiльки алгебра
A5 може бути подана у виглядi A5 = 〈P1, P2, J12〉 ⊕ 〈P3〉 ⊕ 〈Pt〉, то, застосувавши
вiдомий алгоритм Лi – Гурса класифiкацiї пiдалгебр алгебр Лi, що розкладаються
у пряму суму [15], та результати класифiкацiї пiдалгебр низькорозмiрних дiйсних
алгебр Лi [16], вдалося отримати повний список шуканих пiдалгебр, якi наведено
нижче.
Пiдалгебри розмiрностi 1:
〈P3 cosφ+ Pt sinφ〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ)〉 ,
〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ)〉 ;
пiдалгебри розмiрностi 2:
〈P3, Pt〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P2〉 ,
〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P3 sinφ− Pt cosφ〉 ,
〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P3 sinφ− Pt cosφ〉 ;
пiдалгебри розмiрностi 3:
〈P1, P3, Pt〉 , 〈J12, P3, Pt〉 ,
〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P2, P3 sinφ− Pt cosφ〉 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1356 С. С. КОВАЛЕНКО
〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P1, P2〉 ;
пiдалгебри розмiрностi 4:
〈P1, P2, P3, Pt〉 , 〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P1, P2, P3 sinφ− Pt cosφ〉 ;
пiдалгебри розмiрностi 5:
〈J12, P1, P2, P3, Pt〉 .
де α ≥ 0 та β — довiльнi дiйснi сталi, 0 ≤ φ < π.
Розглянемо, для прикладу, алгебру 〈J12, P3 sinφ− Pt cosφ〉. Розв’язавши вiдпо-
вiдну систему рiвнянь Лагранжа, легко отримати анзац, що вiдповiдає цiй алгебрi:
u = u(r, z), v = v(r, z), Sk = Sk(r, z), k = 1, 2, (6)
де z = x3 − µt, r =
√
x21 + x22 — новi незалежнi змiннi (iнварiантнi змiннi). Зау-
важимо, що цi змiннi допускають чiткий фiзичний змiст: перша з них здiйснює
перехiд до рухомої системи координат (у напрямку змiнної x3) з початком коор-
динат на поверхнi S1 = 0, друга вказує на радiальну симетрiю процесу вiдносно
змiнних x1 та x2.
Пiдставимо анзац (6) у крайову задачу (1) – (5) з Q(t) = q. Пiсля вiдповiд-
них обчислень отримуємо таку крайову задачу для двовимiрної системи рiвнянь
елiптичного типу:
1
r
(rd1(u)ur)r + (d1(u)uz)z + µuz = 0, (7)
1
r
(rd2(v)vr)r + (d2(v)vz)z + µvz = 0, (8)
S1(r, z) = 0: d1v∇′u · ∇′S1 = (µHv − q)
∂S1
∂z
, u = uv, (9)
S2(r, z) = 0: d2m∇′v · ∇′S2 = d1m∇′u · ∇′S2 + µHm
∂S2
∂z
,
(10)
u = um, v = vm,
r2 + z2 = +∞ : v = v∞, (11)
де ∇′ =
(
∂
∂r
,
∂
∂z
)
, µ — деякий невiдомий параметр, iндекси r та z позначають
диференцiювання за цими змiнними.
Незважаючи на те, що отримана крайова задача є набагато простiшим об’єк-
том, нiж початкова задача (1) – (5), вона все ще залишається нелiнiйною задачею з
базовими двовимiрними рiвняннями з частинними похiдними. Наша головна мета
полягає у тому, щоб звести задачу (7) – (11) до крайової задачi з базовими звичай-
ними диференцiальними рiвняннями. Звичайно, що для виконання такої редукцiї
можна застосувати рiзнi пiдходи, проте ми зупинимося тут лише на одному цiка-
вому прикладi. Розглянемо анзац [17]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1357
u = u(ω), v = v(ω), Sk = Sk(ω), ω = z +
√
z2 + r2, k = 1, 2.
(12)
Зауважимо, що цей анзац є нелiївським, оскiльки максимальна алгебра iнварiант-
ностi системи (7), (8) з довiльними функцiями d1(u) та d2(v) є тривiальною i
генерується оператором зсуву
∂
∂z
.
Пiдставивши анзац (12) у крайову задачу (7) – (11) та провiвши вiдповiднi обчис-
лення, отримаємо крайову задачу для системи звичайних диференцiальних рiвнянь:
d
dω
(
ωd1(u)
du
dω
)
+ µ
ω
2
du
dω
= 0, 0 < ω1 < ω < ω2, (13)
d
dω
(
ωd2(v)
dv
dω
)
+ µ
ω
2
dv
dz
= 0, ω > ω2, (14)
ω = ω1 : 2d1v
du
dω
= µHv − q, u = uv, (15)
ω = ω2 : 2d2m
dv
dω
= 2d1m
du
dω
+ µHm, u = um, v = vm, (16)
ω = +∞ : v = v∞, (17)
де ωk, k = 1, 2, та µ — невiдомi параметри, якi потрiбно знайти при розв’язаннi
задачi.
Тепер ми маємо змогу визначити форму вiльних поверхонь Sk(t, x) = 0, k =
= 1, 2, оскiльки, у вiдповiдностi з анзацем (12),
Sk(ω) ≡ z +
√
z2 + r2 = ωk, k = 1, 2.
Останнє рiвняння можна записати у виглядi
x21 + x22
ω2
k
= 1− 2z
ωk
, k = 1, 2. (18)
Таким чином, ми отримали рiвняння параболоїдов обертання у просторi змiнних
x1, x2, z. З фiзичної точки зору, невiдомi параметри ω1 та ω2 повиннi задоволь-
няти нерiвностi ω2 > ω1 > 0. Бiльш того, параметр ω1 може бути визначений з
наступних мiркувань. Якщо у рiвняннi (18) покласти z = 0, то ω1 =
√
x21 + x22.
З iншого боку, тiльки та частина поверхнi S1 = 0, що обмежена колом радiуса
R, отримує потiк Q(t) = q. Отже, не втрачаючи загальностi мiркувань, можемо
покласти ω1 = R.
Перейдемо тепер до побудови точного розв’язку задачi (13) – (17). Тут головна
проблема полягає у розв’язаннi системи нелiнiйних звичайних диференцiальних
рiвнянь (13), (14), оскiльки її загальний розв’язок у загальному випадку є не-
вiдомим. Проте в деяких спецiальних випадках це вдається зробити. Зазначимо,
що розв’язок задачi (13) – (17) у випадку лiнiйних базових рiвнянь (тобто коли
d1(u) = a1 та d2(v) = a2, де a1, a2 ∈ R+) отримано у роботi [12]. Ми зупинимося
на одному конкретному випадку нелiнiйної системи рiвнянь (13), (14), а саме, при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1358 С. С. КОВАЛЕНКО
d1(u) = u−1 та d2(v) = 1. В цьому випадку її точний розв’язок можна подати у
неявному виглядi (див., наприклад, [18])
ωu∫
a
dν
ν
(
1 + e−W (eA)+A
) = lnω + C2, v = C3Φ(ω) + C4, (19)
де Φ(ω) =
∫ +∞
ω
ω−1e−µω/2dω, W (x) — функцiя Ламберта, A = −µ
2
ν + C1, a —
деяка стала, C1, . . . , C4 — довiльнi сталi iнтегрування. Пiдставляючи розв’язок (19)
у крайовi умови (15) – (17) та беручи до уваги, що
dΦ
dω
= ω−1e−µω/2, ln
(
ω
u
du
dω
)
+
ω
u
du
dω
= A,
отримуємо шуканий точний розв’язок
ωu∫
Ruv
dν
ν
(
1 + e−W (eA)+A
) = ln
ω
R
, v =
vm − v∞
Φ2(ω2)
Φ2(ω) + v∞, (20)
де параметри ω2 та µ повиннi бути знайденi з системи трансцендентних рiвнянь
ω2um∫
Ruv
dν
ν
(
1 + e−W (eA)+A
) = ln
ω2
R
,
2
vm − v∞
Φ(ω2)
e−µω2/2 = 2e−W (eA(ω2))+A(ω2) + µω2Hm.
Тут ми використали такi позначення:
A = −µ
2
ν + ln
(
(µHv − q)
R
2
)
+ (µHv − q)
R
2
+
µ
2
Ruv
та
A(ω2) =
µ
2
(Ruv − ω2um) + ln
(
(µHv − q)
R
2
)
+ (µHv − q)
R
2
.
Тепер, використовуючи формули (20), (6) та (12), отримуємо точний розв’язок
у неявному виглядi початкової крайової задачi (1) – (5) при d1(u) = u−1, d2(v) = 1
та Q(t) = q :
(√
x2
1+x
2
2+(x3−µt)2+x3−µt
)
u∫
Ruv
dν
ν
(
1 + e−W (eA)+A
) =
= ln
√
x21 + x22 + (x3 − µt)2 + x3 − µt
R
,
v =
vm − v∞
Φ(ω2)
Φ
(√
x21 + x22 + (x3 − µt)2 + x3 − µt
)
+ v∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1359
Sk ≡
x21 + x22
ω2
k
+
2(x3 − µt)
ωk
− 1 = 0, k = 1, 2.
1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
2. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. – М.: Наука, 1990. –
400 с.
3. Фущич В.И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 336 с.
4. Лагно В. I., Спiчак С. В., Стогнiй В. I. Симетрiйний аналiз рiвнянь еволюцiйного типу // Працi
Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 42. – 360 с.
5. Bluman G. W., Anco S. C. Symmetry and integration methods for differential equations. – New York:
Springer, 2002. – 420 p.
6. Cherniha R., Kovalenko S. Exact solutions of nonlinear boundary value problems of the Stefan type //
J. Phys. A: Math. Theor. – 2009. – 42. – 355202.
7. Cherniha R., Kovalenko S. Lie symmetries of nonlinear boundary value problems. – Kyiv, 2010. – 21 p.
– (Preprint / arXiv:1012.5606).
8. Чернiга Р. М. Нелiнiйнi еволюцiйнi рiвняння: галiлеївська iнварiантнiсть, точнi розв’язки та їхнє
застосування: Дис. . . . д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2003. – 327 с.
9. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье – Стокса, описывающие движения со
свободной границей // Докл. АН СССР. – 1972. – 202, № 2. – С. 302 – 305.
10. Benjamin T. B., Olver P. J. Hamiltonian structure, symmetries and conservation laws for water waves //
J. Fluid Mech. – 1982. – 125. – P. 137 – 185.
11. Анисимов С. И., Имас Я. А., Романов Г. С., Ходыко Ю. В. Действие излучения большой мощности
на металлы. – М.: Наука, 1970. – 272 с.
12. Любов Б. Я., Соболь Э. Н. Расчет кинетики плавления и испарения твердого тела под действием
потока энергии // Физ.-хим. обработка материалов. – 1982. – № 1. – С. 13 – 18.
13. Чернiга Р. М., Однороженко I. Г. Точнi розв’язки нелiнiйної задачi плавлення та випаровування
металу при дiї потужного потоку енергiї // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1990. – № 12. – C. 44 – 47.
14. Cherniha R. M., Cherniha N. D. Exact solutions of a class of nonlinear boundary value problems with
moving boundaries // J. Phys. A: Math. and Gen. – 1993. – 26. – P. L935 – L940.
15. Pathera J., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. I.
General method and the Poincare group // J. Math. Phys. – 1975. – 16, № 8. – P. 1597 – 1615.
16. Pathera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-diensional Lie algebras // J. Math. Phys. –
1977. – 18, № 7. – P. 1449 – 1455.
17. Иванцов Г. П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного
кристалла, растущего в переохлажденном расплаве // Докл. АН СССР. – 1947. – 48, № 4. – С. 567
– 569.
18. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.:
Физматлит, 2001. – 576 с.
Одержано 24.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2811 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:46Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/57/e278e67bace0ebcf154d137dd6635a57.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28112020-03-18T19:37:09Z Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана Kovalenko, S. S. Коваленко, С. С. We present the group classification of one class of (1 + 3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the class under study. Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2811 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 10 (2011); 1352-1359 Український математичний журнал; Том 63 № 10 (2011); 1352-1359 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2811/2375 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2811/2376 Copyright (c) 2011 Kovalenko S. S. |
| spellingShingle | Kovalenko, S. S. Коваленко, С. С. Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title | Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title_alt | Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана |
| title_full | Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title_fullStr | Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title_full_unstemmed | Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title_short | Symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the Stefan type |
| title_sort | symmetry analysis and exact solutions of one class of (1 + 3)-dimensional boundary-value problems of the stefan type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2811 |
| work_keys_str_mv | AT kovalenkoss symmetryanalysisandexactsolutionsofoneclassof13dimensionalboundaryvalueproblemsofthestefantype AT kovalenkoss symmetryanalysisandexactsolutionsofoneclassof13dimensionalboundaryvalueproblemsofthestefantype AT kovalenkoss simetríjnijanalíztatočnírozv039âzkiodnogoklasu13vimírnihkrajovihzadačtipustefana AT kovalenkoss simetríjnijanalíztatočnírozv039âzkiodnogoklasu13vimírnihkrajovihzadačtipustefana |