On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series
The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex orthogonal series defined on an arbitrary measure space.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2812 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508787368001536 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:09Z |
| description | The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to
Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex
orthogonal series defined on an arbitrary measure space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.362
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Чернигов. технол. ун-т)
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ
ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to
Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex
orthogonal series defined on an arbitrary measure space.
Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональ-
них рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi
на просторi з довiльною мiрою.
1. Введение. В теории ортогональных рядов важную роль играет теорема Мень-
шова – Радемахера (см., например, [1], п. 2.3.2, [2], гл. 9, § 1). Она утверждает,
что последовательность чисел (log2
2 n) является множителем Вейля для сходимос-
ти почти всюду (п.в.) относительно меры Лебега ряда по произвольной ортонор-
мированной системе (ОНС) вещественных функций, заданных на ограниченном
интервале оси. Как отмечено, например, в работах Б. М. Макарова [3] (п. 2.3.1),
Ф. Морица, К. Тандори [4], К. Мини [5], эта теорема сохраняет силу для общих
ортогональных вещественных или комплексных рядов, заданных на произвольном
измеримом пространстве.
Вместе с тем известные авторам теоремы о безусловной сходимости п.в. ортого-
нальных рядов установлены в предположении, что ОНС состоит из вещественных
функций, заданных на ограниченном интервале оси. Среди этих результатов су-
щественное место занимает теорема Орлича [6], которая дает достаточное условие
того, что последовательность чисел (ωn log2
2 n) является множителем Вейля для
безусловной сходимости п.в. (см. также [1], п. 2.5.1). Как показал К. Тандори [7],
условие теоремы Орлича на возрастающую последовательность (ωn) нельзя осла-
бить.
В этой связи возникает вопрос: верна ли теорема Орлича для любой ОНС комп-
лекснозначных функций, заданных на произвольном измеримом пространстве? В
настоящей работе дается положительный ответ на этот вопрос. Приведенное здесь
доказательство отлично от данного В. Орличем. Оно опирается на теорему Тандори
[7] о безусловной сходимости п.в., которую мы также распространяем на общие
ортогональные ряды.
Отметим, что в случае ортогональных рядов по комплекснозначным собствен-
ным функциям самосопряженного эллиптического оператора, заданного на замкну-
том компактном многообразии X , условия теорем Меньшова – Радемахера и Ор-
лича равносильны принадлежности разлагаемой функции изотропным простран-
ствам Хермандера H log(X) и Hϕ log(X) соответственно (см. [8, 9] и [10], п. 2.3.2).
Здесь возрастающая функция ϕ : [1,∞) → (0,∞) регулярно меняется на +∞ по
Карамата и удовлетворяет условию
∞∫
2
dt
t (log2 t)ϕ
2(t)
<∞.
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2011
1360 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1361
Общие формы теорем Меньшова – Радемахера и Орлича имеют содержательные
приложения к исследованию сходимости кратных тригонометрических рядов, сум-
мируемых различными методами. Соответствующие результаты будут приведены
в другой статье.
2. Основные результаты. Пусть X— произвольное измеримое пространство,
на котором задана некоторая σ-аддитивная мера µ ≥ 0. Не предполагается, что эта
мера конечна или σ-конечна.
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L2(X, dµ), образованное
измеримыми функциями f : X → C такими, что
‖f‖ :=
∫
X
|f(x)|2 dµ(x)
1/2 <∞
(точнее, классами функций, эквивалентных относительно µ).
Пусть в пространстве L2(X, dµ) произвольно выбрана ортонормированная сис-
тема комплекснозначных функций (ϕn)∞n=1. Исследуем безусловную сходимость
µ-почти всюду (µ-п.в.) на X ортогонального ряда
∞∑
n=1
an ϕn(x), (1)
где коэффициенты an — комплексные числа.
Напомним, что ряд (1) называется безусловно сходящимся µ-п.в. на X , если для
любой перестановки натурального ряда σ = (σ(n))∞n=1 сходится µ-п.в. на X ряд
∞∑
n=1
aσ(n) ϕσ(n)(x). (2)
(При этом множество меры нуль расходимости ряда (2) может зависеть от переста-
новки σ.) Отметим, что из сходимости ряда (1) µ-п. в. (на X) не следует, вообще
говоря, что этот ряд безусловно сходится µ-п. в.
Теорема 1 (общая форма теоремы Тандори). Пусть последовательность комп-
лексных чисел (an)∞n=1 удовлетворяет условию
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
<∞, (3)
где νk := 22
k
. Тогда ряд (1) безусловно сходится µ-п.в. на X .
Это теорема доказана К. Тандори [7] в случае, когда
X = (α, β), −∞ < α < β <∞, µ — мера Лебега,
ϕn : (α, β)→ R, an ∈ R, n ≥ 1.
(4)
Им также показано, что она окончательная в следующем смысле: для фиксирован-
ной убывающей последовательности положительных чисел (an)∞n=1 ряд (1) без-
условно сходится п.в. на интервале (0; 1) для любой ОНС вещественных функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1362 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
(ϕn)∞n=1 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3). Изложение этих ре-
зультатов К. Тандори приведено в монографии [2] (гл. 9, § 2 и примечание к гл. 9
на с. 532).
Достаточное условие безусловной сходимости ряда (1) можно выразить в тер-
минах множителей Вейля.
Теорема 2 (общая форма теоремы Орлича). Пусть последовательность комп-
лексных чисел (an)∞n=1 и возрастающая (нестрого) последовательность положи-
тельных чисел (ωn)∞n=1 удовлетворяют следующим условиям:
∞∑
n=2
|an|2(log2
2 n)ωn <∞, (5)
∞∑
n=2
1
n(log2 n)ωn
<∞. (6)
Тогда ряд (1) безусловно сходится µ-п.в. на X .
В случае (4) эта теорема является эквивалентной формулировкой теоремы Ор-
лича [6], предложенной П. Л. Ульяновым [11, с. 53] (см. также [12, с. 53]). Теорема
Орлича и ее доказательство приведены, например, в монографии [1] (п. 2.5.1). Как
уже отмечалось, в этой теореме условие (6) на последовательность (ωn)∞n=1 нельзя
ослабить.
Теоремы 1 и 2 будут доказаны ниже в пп. 4 и 5 соответственно.
3. Вспомогательные факты. Сначала сделаем одно замечание. Без потери
общности в доказательствах можно предполагать, что мера µ является σ-конечной.
В самом деле, поскольку все функции |ϕn|2, n ≥ 1, интегрируемы на X , каждое
множество {x ∈ X : |ϕn(x)| > 1/j}, где j ≥ 1 целое, имеет конечную меру.
Следовательно, мера µ является σ-конечной на множестве всех тех точек x ∈ X ,
где ϕn(x) 6= 0 хотя бы для одного значения n. Вне этого множества все члены
ряда (1) суть тождественные нули. Поэтому указанное предположение не приводит
к потере общности в доказательствах.
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующий факт.
Лемма 1 (общая форма леммы Меньшова – Радемахера). Пусть произвольно за-
даны целое число N ≥ 1, конечная ОНС функций Ψ := (ψn)Nn=1 в L2(X, dµ) и
конечный набор комплексных чисел b := (bn)Nn=1. Тогда для функции
S∗N (Ψ, b, x) := max
1≤j≤N
∣∣∣∣∣
j∑
n=1
bnψn(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X, (7)
выполняется неравенство
‖S∗N (Ψ, b, ·)‖ ≤ C log2(N + 1)
(
N∑
n=1
|bn|2
)1/2
. (8)
Здесь C — некоторая универсальная положительная постоянная.
В случае (4) неравенство (8) получено независимо Д. Е. Меньшовым и Г. Раде-
махером и использовано ими для доказательства теоремы о сходимости п.в. орто-
гональных рядов (см. изложение их результатов в монографиях [1], пп. 2.3.1, 2.3.2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1363
и [2], гл. 9, § 1). Оно известно также и в рассматриваемой нами общей ситуации
(см., например, [13] (теорема 3) и [5] (предложение 2.1)). Отметим, что полная
характеризация последовательностей (an)∞n=1 таких, что ряд (1) сходится п.в. для
произвольной ОНС функций в L2(X, dµ;R), дана А. Пашкевичем [14].
4. Доказательство теоремы 1. Мы в основном следуем схеме доказательства
из монографии [2] (гл. 9, § 2, теорема 5), где рассмотрен случай (4).
Не ограничивая общности, можно считать, что a1 = a2 = 0. Для целого k ≥ 0
обозначим
Hk := {j ∈ N : νk + 1 ≤ j ≤ νk+1};
здесь, напомним, νk := 22
k
. Рассмотрим произвольную перестановку (2) ортого-
нального ряда (1). Определим последовательность чисел
(
ε
(k)
n
)∞
n=1
по формуле
ε(k)n :=
1, если σ(n) ∈ Hk,
0, если σ(n) /∈ Hk.
Для произвольных p, q ∈ N таких, что p ≤ q, можем записать
q∑
n=p
aσ(n) ϕσ(n)(x) =
∞∑
k=0
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n) ϕσ(n)(x), x ∈ X. (9)
Ряд в правой части равенства (9) сходится для каждого x ∈ X, так как он содержит
лишь конечное число ненулевых членов.
Для целого k ≥ 0 положим
δk(x) := sup
1≤p<q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X. (10)
Отметим, что
δk(x) ≤ 2 sup
1≤q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=1
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X, (11)
причем последняя сумма содержит лишь слагаемые, для которых индекс σ(n) ∈
∈ Hk. Положим в лемме 1
Ψ := {ϕσ(n) : n ∈ N такое, что σ(n) ∈ Hk},
b := {aσ(n) : n ∈ N такое, что σ(n) ∈ Hk},
N = N(k) := νk+1 − νk = νk(νk − 1).
Тогда
S∗N(k)(Ψ, b, x) = sup
1≤q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=1
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1364 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Поэтому в силу леммы 1 и неравенства (11) имеем
‖δk‖ ≤ 2C log2(N(k) + 1)
∑
n : σ(n)∈Hk
|aσ(n)|2
1/2 =
= 2C log2(N(k) + 1)
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2
)1/2
.
Следовательно, поскольку
log2(N(k) + 1) = log2(νk(νk − 1) + 1) ≤ 2 log2 νk,
приходим к оценке∫
X
δ 2
k (x)dµ(x)
1/2 ≤ 4C
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
. (12)
Покажем, что отсюда следует неравенство
∞∑
k=0
δk(x) <∞ для µ-п.в. x ∈ X. (13)
Как отмечалось выше, можно предполагать без потери общности, что мера µ яв-
ляется σ-конечной.
Если µ(X) < ∞, то в силу неравенства Коши для интегралов, оценки (12) и
условия (3) имеем
∞∑
k=0
∫
X
δk(x)dµ(x) ≤
∞∑
k=0
∫
X
dµ(x)
1/2∫
X
δ2k(x) dµ(x)
1/2 ≤ (14)
≤ 4C
√
µ(X)
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
<∞. (15)
Следовательно, по теореме Б. Леви∫
X
( ∞∑
k=0
δk(x)
)
dµ(x) =
∞∑
k=0
∫
X
δk(x)dµ(x) <∞, (16)
откуда получаем (13) (напомним, что все δk ≥ 0).
Если µ(X) = ∞, то представим X в виде счетного объединения измеримых
множеств Xj , j ∈ N, меры которых конечны. Для каждого номера j неравен-
ства (14), (15) и их следствия — формулы (16), (13) — сохраняют силу, если в них
заменить X на Xj . Отсюда снова получаем (13).
В силу (13) для µ-п.в. x ∈ X и любого числа ε > 0 найдется такой номер
m = m(x, ε), что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1365
∞∑
k=m
δk(x) < ε. (17)
Выберем номер p = p(x, ε) настолько большим, что сумма
p−1∑
n=1
aσ(n)ϕσ(n)(x)
содержит все функции ϕn с номерами из Hk, где 0 ≤ k < m(x, ε). Тогда в силу
(10) и (17) для любого целого q ≥ p имеем∣∣∣∣∣
q∑
n=p
aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
k=m
∣∣∣∣∣
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
k=m
δk(x) < ε.
Таким образом, для µ-п. в. x ∈ X и любого числа ε > 0 найдется такой номер
p = p(x, ε), что при любом целом q ≥ p выполняется неравенство∣∣∣∣∣
q∑
n=p
aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ < ε.
Тем самым установлено, что ряд (2) сходится для µ-п. в. x ∈ X .
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2. Мы выведем ее из теоремы 1, показав, что
условия (5) и (6) влекут за собой условие (3).
Для каждого целого числа k ≥ 0 полагаем
Ak :=
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n,
где, как и прежде, νk := 22
k
. Воспользовавшись неравенством Коши, можем запи-
сать
∞∑
k=0
A
1/2
k =
∞∑
k=0
A
1/2
k ω1/2
νk
ω−1/2νk
≤
( ∞∑
k=0
Akωνk
)1/2( ∞∑
k=0
ω−1νk
)1/2
.
Как отмечалось в [11, с. 53, 54], условие (6) равносильно следующему:
c :=
∞∑
k=0
ω−1νk <∞. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1366 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
(Для полноты изложения докажем это в конце настоящего пункта.) Следовательно,
в силу условия (5) и возрастания последовательности (ωn)∞n=1 имеем( ∞∑
k=0
A
1/2
k
)2
≤ c
∞∑
k=0
Akωνk = c
∞∑
k=0
ωνk
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n ≤
≤ c
∞∑
k=0
νk+1∑
n=νk+1
|an|2(log2
2 n)ωn = c
∞∑
n=3
|an|2(log2
2 n)ωn <∞.
Таким образом, выполняется условие (3):
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
=
∞∑
k=0
A
1/2
k <∞.
Следовательно, по теореме 1 ряд (1) безусловно сходится µ-п.в̇. на X .
Теорема 2 доказана.
В приведенном доказательстве был использован следующий факт.
Предложение 1. Для любой возрастающей (нестрого) последовательности
положительных чисел (ωn)∞n=1 условия (6) и (18) равносильны.
Доказательство. Как известно, для любой убывающей (нестрого) последова-
тельности положительных чисел (dn)∞n=1
∞∑
n=1
dn <∞⇔
∞∑
n=0
2n d2n <∞. (19)
Дважды применяя (19) сначала для dn := (n(log2 n)ωn)−1, а затем для dn :=
:= (nω2n)−1, получаем требуемую равносильность:
∞∑
n=2
1
n (log2 n)ωn
<∞⇔
∞∑
n=1
1
nω2n
<∞⇔
∞∑
n=0
1
ωνn
<∞.
Предложение 1 доказано.
6. Заключительное замечание. Как видно из доказательств леммы 1 и тео-
рем 1 и 2, они сохраняют силу, если система (ϕn)∞n=1 образует базис Рисса [15]
(гл. VI, § 2) в замыкании своей линейной оболочки в пространстве L2(X, dµ;C).
При этом в лемме 1 в правой части неравенства (8) постоянная C уже не является
универсальной и зависит от выбора системы (ϕn)∞n=1.
1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 360 с.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. – М.: Изд-во АФЦ, 1999. – 560 с.
3. Makarov B. M. p-Absolutely summing operators and some of their applications // St. Petersburg Math.
J. – 1992. – 3, № 2. – P. 227 – 298.
4. Móricz F., Tandori K. An improved Menshov – Rademacher theorem // Proc. Amer. Math. Soc. – 1996. –
124, № 3. – P. 877 – 885.
5. Meaney C. Remarks on the Rademacher – Menshov theorem // Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat.
Univ. – 2007. – 42. – P. 100 – 110.
6. Orlicz W. Zur Theorie der Orthogonalreihen // Bull. Int. Acad. Sci. Polon. Cracovie. – 1927. – P. 81 – 115.
7. Tandori K. Über die orthogonalen Functionen X (unbedingte Kovergenz) // Acta Sci. Math. – 1962. –
23, № 3-4. – P. 185 – 221.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1367
8. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces //
Methods Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
9. Михайлец В. А., Мурач А. А. Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии // Доп.
НАН України. – 2009. – № 3. – С. 29 – 35.
10. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. –
Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (arXiv:1106.3214)
11. Ульянов П. Л. О множителях Вейля для безусловной сходимости // Мат. сб. – 1963. – 60, № 1. –
С. 39 – 62.
12. Ульянов П. Л. Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных
рядов // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 1. – С. 3 – 69.
13. Móricz F. Moment inequalities and the strong laws of large numbers // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und
verw. Geb. – 1976. – 35, № 4. – S. 299 – 314.
14. Paszkiewicz A. A complete characterization of coefficients of a.e. convergent orthogonal series and
majorizing measures // Invent. math. – 2010. – 180, № 1. – P. 55 – 110.
15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1965. – 448 с.
Получено 14.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2812 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:45Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/58/88a74e1e61d4e086b0858a980b2a1b58.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28122020-03-18T19:37:09Z On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex orthogonal series defined on an arbitrary measure space. Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональних рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi на просторi з довiльною мiрою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2812 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 10 (2011); 1360-1367 Український математичний журнал; Том 63 № 10 (2011); 1360-1367 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2812/2377 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2812/2378 Copyright (c) 2011 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title | On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title_alt | О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_full | On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title_fullStr | On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title_full_unstemmed | On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title_short | On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| title_sort | on the unconditional almost-everywhere convergence of general orthogonal series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2812 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT murachaa ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT mihajlecva ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT muračaa ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT mihajlecva ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT muračaa ontheunconditionalalmosteverywhereconvergenceofgeneralorthogonalseries AT mikhailetsva obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT murachaa obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT mihajlecva obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT muračaa obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT mihajlecva obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT muračaa obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov |