On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space
We give necessary and sufficient conditions for the sum of subspaces $H_1,..., H_n,, \quad n \geq 2,$ of a Hilbert space $H$ to be a subspace and present various properties of $n$-tuples of subspaces with closed sum.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2814 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508794791919616 |
|---|---|
| author | Feshchenko, I. S. Фещенко, И. С. Фещенко, И. С. |
| author_facet | Feshchenko, I. S. Фещенко, И. С. Фещенко, И. С. |
| author_sort | Feshchenko, I. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:09Z |
| description | We give necessary and sufficient conditions for the sum of subspaces $H_1,..., H_n,, \quad n \geq 2,$ of a Hilbert space $H$ to be a subspace and present various properties of $n$-tuples of subspaces with closed sum. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.982.22
И. С. Фещенко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
We give necessary and sufficient conditions for the sum of subspaces H1, . . . , Hn, n ≥ 2, of a Hilbert space
H to be a subspace and present various properties of n-tuples of subspaces with closed sum.
Наведено необхiднi та достатнi умови для того, щоб сума пiдпросторiв H1, . . . , Hn, n ≥ 2, гiль-
бертового простору H була пiдпростором, а також рiзнi властивостi n-ок пiдпросторiв iз замкненою
сумою.
1. Введение. Изучение систем L = (V ;V1, . . . , Vn) n подпространств V1, . . . , Vn
линейного пространства V, в частности, описание неразложимых четверок под-
пространств V (с точностью до эквивалентности), описание неразложимых пред-
ставлений в пространстве V конечных частично упорядоченных множеств и т.д.
являются классическими задачами алгебры (см., например, библиографию в [28]).
ПустьH — комплексное гильбертово пространство, аHi, 1 6 i 6 n, — набор его
подпространств. Изучение системы подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn) гильбер-
това пространства H (или, что то же самое, наборов соответствующих ортопро-
екторов P1, . . . , Pn) является важной задачей функционального анализа, которой
посвящены многочисленные публикации (см., например, [28] и приведенную там
библиографию).
Пусть H — комплексное гильбертово пространство, H1, . . . ,Hn — набор его
подпространств. Если dimH < ∞, то сумма H1 + . . . + Hn замкнута в H. В
бесконечномерном гильбертовом пространстве это утверждение, вообще говоря,
неверно (даже при n = 2 сумма H1 + H2 может не быть замкнутой). Поэтому
естественной является задача нахождения необходимых и достаточных условий
(или только достаточных), при которых H1 + . . . + Hn есть подпространством H
(см., например, [3, 6 – 8, 11, 12, 17, 18, 21, 22, 24, 29]).
Системы подпространств с замкнутой суммой имеют многочисленные прило-
жения: к построению статистических оценок [2], к задачам квадратичного програм-
мирования [21], томографии [18, 24], параллельным вычислениям [3], алгоритмам
для решения выпуклых задач существования (см. [1] и приведенную там биб-
лиографию), изучению сходимости произведений ортопроекторов (итерационного
процесса) (см. [5, 15] и библиографию в них), методам Шварца (численные мето-
ды, которые применяются, например, для численного решения дифференциальных
уравнений в частных производных (методы разбиения области)) (см. [15] и приве-
денную там библиографию). В подпункте 4.2 показана связь задачи о замкнутости
суммы подпространств со свойством обратного наилучшего приближения системы
подпространств (IBAP), которое имеет приложения к периодическим проекцион-
ным алгоритмам, гармоническому анализу, интегральным уравнениям, вейвлетам
(см. [7]).
В пунктах 2 – 5 приведены необходимые и достаточные условия для того, что-
бы сумма подпространств H1, . . . ,Hn гильбертова пространства H была подпро-
странством, а также различные свойства n-ок подпространств с замкнутой сум-
мой. Особое внимание уделено линейно независимым системам подпространств
(см. пункт 4).
c© И. С. ФЕЩЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1381
1382 И. С. ФЕЩЕНКО
В пункте 2 изучается задача о замкнутости суммы пары подпространств. Ос-
новным рабочим инструментом является спектральная теорема для пары ортопро-
екторов („представление” П. Халмоша для пары подпространств).
В пункте 3 показано, как задача о замкнутости суммы n подпространств сво-
дится к задаче о замкнутости суммы пары подпространств. С помощью критериев
замкнутости суммы пары подпространств получены критерии замкнутости суммы
n подпространств.
В пункте 4 изучаются линейно независимые системы подпространств. В част-
ности, доказано, что произвольная система n подпространств может быть „умень-
шена” до линейно независимой системы подпространств с сохранением суммы
подпространств (см. теоремы 4.2, 4.3).
В пункте 5 изучается более общий объект, чем система подпространств — систе-
ма образов линейных непрерывных операторов. Такой подход позволяет получить
новые критерии замкнутости суммы n подпространств, изучить некоторые свой-
ства сумм n-ок подпространств H.
Обозначения. В данной работе мы рассматриваем комплексные гильберто-
вые пространства, которые, как правило, обозначаем буквами H, M, K. Отме-
тим, что мы не накладываем дополнительных условий на размерность гильбертова
пространства. Для гильбертова пространства H IH — единичный оператор в H
(или просто I, если понятно, о каком гильбертовом пространстве идет речь); если
A : H → H — линейный непрерывный оператор, то σ(A) — спектр A. Некоторые
ортогональные разложения гильбертовых пространств, рассмотренные в работе,
могут содержать нулевые компоненты. Спектр оператора, определенного на такой
компоненте, считаем равным пустому множеству.
2. Замкнутость суммы пары подпространств. Задаче о замкнутости суммы
пары подпространств посвящены многочисленные публикации (см., например, [6,
8, 11, 12, 17, 21, 22]), некоторые критерии замкнутости суммы пары подпространств
уже стали математическим фольклором.
Для получения критериев замкнутости суммы пары подпространств будем ис-
пользовать спектральную теорему для пары ортопроекторов („представление”
П. Халмоша для пары подпространств). Многочисленные применения спектраль-
ной теоремы для пары ортопроекторов содержатся в [4, 14]. Критерии замкнутости
суммы пары подпространств, сформулированные в терминах обобщенных обрат-
ных операторов Мура – Пенроуза, содержатся в [6].
Отметим, что задача о замкнутости суммы пары подпространств в некотором
смысле является базовой — в пункте 3 мы покажем, как задача о замкнутости суммы
n подпространств сводится к задаче о замкнутости суммы пары подпространств.
2.1. Спектральная теорема для пары ортопроекторов. Пусть H — комплекс-
ное гильбертово пространство, H1 и H2 — подпространства H. Будем говорить,
что они находятся в общем положении (по Халмошу) (см. [14]), если
H1 ∩H2 = H1 ∩H⊥2 = H⊥1 ∩H2 = H⊥1 ∩H⊥2 = 0.
Теорема 2.1 [14]. Пусть H1 и H2 — подпространства H, которые находятся
в общем положении, P1, P2 — соответствующие ортопроекторы. Тогда най-
дутся гильбертово пространство K и ограниченный самосопряженный оператор
a : K → K, 0 ≤ a = a∗ ≤ IK , ker(a) = ker(IK − a) = 0 такие, что H = K ⊕K,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1383
а блочные разложения P1 и P2 имеют вид
P1 =
(
IK 0
0 0
)
, P2 =
(
a
√
a(IK − a)√
a(IK − a) IK − a
)
.
Наоборот, каждому такому оператору a соответствуют определенные выше
ортопроекторы P1 и P2 на подпространства H1 и H2 гильбертова пространства
H = K ⊕K, которые находятся в общем положении.
Пусть теперь H1 и H2 — произвольные подпространства H. Тогда можем запи-
сать
H = (H1 ∩H2)⊕ (H1 ∩H⊥2 )⊕ (H⊥1 ∩H2)⊕ (H⊥1 ∩H⊥2 )⊕ H̃, (2.1)
H1 = (H1 ∩H2)⊕ (H1 ∩H⊥2 )⊕ 0⊕ 0⊕ H̃1, (2.2)
H2 = (H1 ∩H2)⊕ 0⊕ (H⊥1 ∩H2)⊕ 0⊕ H̃2, (2.3)
где H̃1, H̃2 — подпространства H̃, которые находятся в общем положении. Непо-
средственно из теоремы 2.1 получаем следующую теорему.
Теорема 2.2 (спектральная теорема для пары ортопроекторов). ПустьH1 иH2
— подпространства H, P1 и P2 — соответствующие ортопроекторы. Тогда най-
дутся гильбертово пространство K и ограниченный самосопряженный оператор
a : K → K, 0 ≤ a = a∗ ≤ IK , ker(a) = ker(IK − a) = 0, такие, что
H = (H1 ∩H2)⊕ (H1 ∩H⊥2 )⊕ (H⊥1 ∩H2)⊕ (H⊥1 ∩H⊥2 )⊕ (K ⊕K) , (2.4)
а блочные разложения P1 и P2 имеют вид
P1 = IH1∩H2
⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ 0H⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
IK 0
0 0
)
, (2.5)
P2 = IH1∩H2
⊕ 0H1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
a
√
a(IK − a)√
a(IK − a) IK − a
)
.
(2.6)
Используя спектральное представление самосопряженного оператора a в виде
спектрального интеграла по разложению единицы Ea(·) в K на (0, 1), имеем
P1 = IH1∩H2 ⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ 0H⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
1 0
0 0
)
⊗ IK ,
P2 = IH1∩H2 ⊕ 0H1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
⊕
∫
(0,1)
(
x
√
x(1− x)√
x(1− x) 1− x
)
⊗ dEa(x),
где интеграл сходится равномерно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1384 И. С. ФЕЩЕНКО
Это представление для пары подпространств позволяет провести аналогию с
двумерным случаем (dimK = 1). Действительно, существует и единственный са-
мосопряженный оператор Θ: K → K, 0 6 Θ 6
π
2
IK , ker(Θ) = ker
(π
2
IK −Θ
)
=
= 0 (угловой оператор пары подпространств), такой, что a = cos2 Θ, IK − a =
= sin2 Θ. Тогда ортопроекторы имеют вид
P1 = IH1∩H2
⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ 0H⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
IK 0
0 0
)
,
P2 = IH1∩H2 ⊕ 0H1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
cos2 Θ cos Θ sin Θ
cos Θ sin Θ sin2 Θ
)
.
Далее в этом пункте будем использовать обозначения теоремы 2.2, а также
(2.1) – (2.3).
2.2. Классические критерии замкнутости суммы пары подпространств как
следствия спектральной теоремы для пары ортопроекторов. В этом подпункте
приведены критерии замкнутости суммы пары подпространств, которые были по-
лучены многими авторами и относятся к математическому фольклору. Наша цель
— показать, что с помощью спектральной теоремы для пары ортопроекторов эти
критерии доказываются несложно и единообразно.
Утверждение 2.1. Следующие условия равносильны:
(1) H1 +H2 замкнуто,
(2) 1 /∈ σ(a),
(3) σ(P1P2) ∩ (1− ε, 1) = ∅ для некоторого ε > 0,
(4) ‖P1P2 − PH1∩H2‖ < 1,
(5) H⊥1 +H⊥2 замкнуто,
(6) Im ((I − P1)P2) замкнуто,
(7) Im (I − P1P2) замкнуто.
Доказательство. 1. Сумма H1 + H2 замкнута тогда и только тогда, когда
H̃1 + H̃2 замкнуто в H̃ = K ⊕ K. Поскольку H̃1 = {(x, 0), x ∈ K}, H̃2 =
= {(
√
ax,
√
I − ax), x ∈ K}, то H̃1 + H̃2 = {(x,
√
I − ay), x, y ∈ K}. Так как
ker(I − a) = 0, то H̃1 + H̃2 плотно в K ⊕K и замкнуто тогда и только тогда, когда
Im
√
I − a = K. Это условие равносильно обратимости оператора I − a. Таким
образом, H1 +H2 замкнуто тогда и только тогда, когда 1 /∈ σ(a).
2. Поскольку P1P2 = I ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕
(
a
√
a(I − a)
0 0
)
, σ(P1P2) совпадает
с σ(a) с точностью до точек 0, 1. Предположим, что 1 /∈ σ(a). Тогда σ(a) ⊂
⊂ [0, 1 − ε] для некоторого ε > 0, поэтому σ(P1P2) ∩ (1 − ε, 1) = ∅. Наоборот,
пусть σ(P1P2) ∩ (1 − ε, 1) = ∅ для некоторого ε > 0. Тогда σ(a) ∩ (1 − ε, 1) =
= ∅. Поскольку ker(I − a) = 0 и изолированная точка спектра самосопряженного
оператора является его собственным значением, то 1 /∈ σ(a).
3. Поскольку P1P2P1 − PH1∩H2
= 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕
(
a 0
0 0
)
, то ‖P1P2 −
−PH1∩H2
‖2 = ‖P1P2P1 −PH1∩H2
‖ = ‖a‖. Поэтому 1 /∈ σ(a) тогда и только тогда,
когда ‖P1P2 − PH1∩H2‖ < 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1385
4. Из формул (2.5), (2.6) следует, что σ((I − P1)(I − P2)) совпадает с σ(a)
с точностью до точек 0, 1. Поэтому σ((I − P1)(I − P2)) совпадает с σ(P1P2) с
точностью до точек 0, 1, откуда следует нужное утверждение.
5. Из формул (2.5), (2.6) следует, что
Im((I − P1)P2) = 0⊕ 0⊕H⊥1 ∩H2 ⊕ 0⊕ (0⊕ Im
√
I − a).
Поэтому Im((I−P1)P2) замкнуто тогда и только тогда, когда Im(
√
I − a) замкнуто.
Последнее равносильно 1 /∈ σ(a).
6. Обозначим через P̃1, P̃2 ортопроекторы на H̃1, H̃2. Im(I−P1P2) замкнут тогда
и только тогда, когда Im(I− P̃1P̃2) замкнут. Поскольку Im(I− P̃1P̃2) = {((I−a)y−
−
√
a(I − a)z, z), y, z ∈ K}, последнее условие равносильно замкнутости Im(I −
− a), т. е. 1 /∈ σ(a).
Утверждение 2.1 доказано.
Пример 2.1. Пусть 0 = τ0 < τ1 < . . . < τn < τn+1 = 1, а P1, P2 удовлетворя-
ют равенству
∏n+1
k=0
(P1P2P1 − τkP1) = 0.
Поскольку блочные разложения P1, P2 имеют вид (2.5), (2.6), то
P1P2P1 − τP1 = (1− τ)I ⊕−τI ⊕ 0⊕ 0⊕
(
a− τI 0
0 0
)
.
Поэтому
∏n+1
k=0
(a − τkI) = 0, т. е. σ(a) ⊂ {τ1, . . . , τn} (напомним, что ker(a) =
= ker(I − a) = 0). Следовательно, H1 +H2 — подпространство.
Приведем условие замкнутости суммы пары подпространств в терминах угла
(по Фридрихсу) между ними.
Определение 2.1 [11]. Углом γ = γ(H1, H2), 0 6 γ 6 π/2, между подпрост-
ранствами H1, H2 назовем угол, определенный равенством
cos γ = sup{|(x, y)|, x ∈ H1 (H1 ∩H2), ‖x‖ = 1, y ∈ H2 (H1 ∩H2), ‖y‖ = 1}.
Если H1 ⊂ H2 или H2 ⊂ H1, то полагаем cos γ = 0, т. е. γ = π/2.
Пусть x = (0, x2, 0, 0, z1, 0) ∈ H1 (H1 ∩H2), тогда ‖x‖2 = ‖x2‖2 + ‖z1‖2 = 1.
Далее, пусть y = (0, 0, x3, 0,
√
az2,
√
1− az2) ∈ H2 (H1 ∩ H2), тогда ‖y‖2 =
= ‖x3‖2 + ‖z2‖2 = 1. Здесь векторы записаны покомпонентно относительно ор-
тогонального разложения H (2.4). Тогда (x, y) = (z1,
√
az2). Отсюда следует, что
cos γ =
√
‖a‖. H1 + H2 замкнуто тогда и только тогда, когда ‖a‖ < 1. Таким
образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 2.2. H1 + H2 замкнуто тогда и только тогда, когда
γ(H1, H2) > 0.
Замечание 2.1. В терминах углового оператора Θ (см. теорему 2.2) угол γ =
= min{λ, λ ∈ σ(Θ)}.
Следующее утверждение касается линейно независимых пар подпространств,
т. е. таких, что H1 ∩H2 = 0.
Утверждение 2.3. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) H1 ∩H2 = 0 и H1 +H2 замкнуто,
(2) ‖P1P2‖ < 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1386 И. С. ФЕЩЕНКО
(3) существует ε > 0 такое, что |(x, y)| 6 1 − ε для произвольных x ∈ H1,
y ∈ H2, ‖x‖ = ‖y‖ = 1,
(4) существует ε > 0 такое, что ‖x+ y‖2 > ε(‖x‖2 + ‖y‖2) для произвольных
x ∈ H1, y ∈ H2,
(5) существует ε > 0 такое, что ‖(I − P1)x‖ > ε‖x‖ для произвольного
x ∈ H2.
Доказательство. Равносильность (1) – (3) следует из утверждений 2.1, 2.2.
(3) ⇔ (4). Пусть выполнено (3). Тогда для произвольных x ∈ H1, y ∈ H2
имеем ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re (x, y) > ε(‖x‖2 + ‖y‖2).
Пусть выполнено (4). Рассмотрим произвольные x ∈ H1, y ∈ H2, ‖x‖ = ‖y‖ =
= 1. Для произвольных комплексных t1, t2 имеем ‖t1x+t2y‖2 > ε(|t1|2+|t2|2), т. е.
матрица
(
1− ε (x, y)
(y, x) 1− ε
)
неотрицательно определена. Поэтому |(x, y)| 6 1− ε.
(1) ⇔ (5). Пусть выполнено (1). Тогда ортогональное разложение H (2.4) не
содержит компоненты H1 ∩ H2. Пусть x = (0, y, 0,
√
az,
√
I − az) ∈ H2, тогда
‖x‖2 = ‖y‖2 + ‖z‖2. Поскольку (I−P1)x = (0, y, 0, 0,
√
I − az), то ‖(I−P1)x‖2 =
= ‖y‖2 + ((I − a)z, z). Tак как 1 /∈ σ(a), то для некоторого ε > 0 I − a > ε2I.
Следовательно, ‖(I − P1)x‖ > ε‖x‖.
Пусть выполнено (5). Очевидно, чтоH1∩H2 = 0. Из предыдущих рассуждений
следует, что I − a > ε2I, откуда 1 /∈ σ(a).
Утверждение 2.3 доказано.
Следующее утверждение доказано в [18] для подпространств пространства
Фреше. Мы приведем простое доказательство с помощью спектральной теоре-
мы для пары ортопроекторов. Обозначим через S∞(H) множество компактных
операторов в H.
Утверждение 2.4. Если P1P2 компактный, тоH1+H2 замкнуто и PH1+H2 =
= P1 + P2 (mod S∞(H)).
Доказательство. Поскольку P1P2 компактный, то dim(H1
⋂
H2) < ∞ и a ∈
∈ S∞(H), а так как ker(I − a) = 0, то 1 /∈ σ(a), поэтому сумма H1 +H2 замкнута.
Имеем
P1 + P2 = 2IH1∩H2 ⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
IK + a
√
a(IK − a)√
a(IK − a) IK − a
)
,
PH1+H2
= IH1∩H2
⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
IK 0
0 IK
)
.
Следовательно, PH1+H2
= P1 + P2 (mod S∞(H)).
Утверждение 2.4 доказано.
2.3. Условие замкнутости H1 +H2 в терминах свойств функций от P1,
P2. Пусть f1(x), f2(x), f3(x), f4(x) — непрерывные на [0, 1] комплекснозначные
функции. Определим оператор
b = P1f1(P1P2P1) + P2f2(P2P1P2) + P1P2f3(P2P1P2) + P2P1f4(P1P2P1). (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1387
Замечание 2.2. Алгебра, порожденная ортопроекторами P1, P2, имеет вид
A(P1, P2) = {b}, где f1, f2, f3, f4 пробегают множество полиномов.
Сужения оператора b на компоненты ортогонального разложения H (2.4) обо-
значим через b1,1, b1,0, b0,1, b0,0, b̃. Спектр σ(b) является объединением спектров
операторов b1,1, b1,0, b0,1, b0,0, b̃.
На компоненте H1 ∩H2 P1 = P2 = I, поэтому b1,1 = (f1(1) + f2(1) + f3(1) +
+ f4(1))I; на компоненте H1 ∩ H⊥2 P1 = I, P2 = 0, поэтому b1,0 = f1(0)I;
на компоненте H⊥1
⋂
H2 P1 = 0, P2 = I, поэтому b0,1 = f2(0)I; на компоненте
H⊥1
⋂
H⊥2 P1 = P2 = 0, поэтому b0,0 = 0. Рассмотрим компонентуK⊕K. Сужения
ортопроекторов P1, P2 на K ⊕K равны
P̃1 =
(
I 0
0 0
)
, P̃2 =
(
a
√
a(I − a)√
a(I − a) I − a
)
,
поэтому
P̃1P̃2 =
(
a
√
a(I − a)
0 0
)
, P̃2P̃1 =
(
a 0√
a(I − a) 0
)
и
P̃1P̃2P̃1 =
(
a 0
0 0
)
= aP̃1, P̃2P̃1P̃2 =
(
a2 a
√
a(I − a)
a
√
a(I − a) a(I − a)
)
= aP̃2.
Здесь умножение на a означает умножение на оператор
(
a 0
0 a
)
. Для непрерыв-
ной на [0, 1] комплекснозначной функции f(x) имеем
P̃1f(P̃1P̃2P̃1) = f(a)P̃1, P̃2f(P̃2P̃1P̃2) = f(a)P̃2,
поэтому
b̃ = f1(a)P̃1 + f2(a)P̃2 + f3(a)P̃1P̃2 + f4(a)P̃2P̃1 =
=
(
f1(a) + af2(a) + af3(a) + af4(a)
√
a(I − a)(f2(a) + f3(a))√
a(I − a)(f2(a) + f4(a)) (I − a)f2(a)
)
.
Определим функции T (x) = f1(x) + f2(x) + x(f3(x) + f4(x)) и D(x) = (1 −
− x)(f1(x)f2(x)− xf3(x)f4(x)), x ∈ [0, 1]. У операторной (2× 2)-матрицы, задаю-
щей b̃, компоненты коммутируют, ее операторный след (сумма диагональных эле-
ментов) равен T (a), а операторный определительD(a). Оператор λI− b̃ не обратим
тогда и только тогда, когда операторный определитель операторной (2×2)-матрицы,
задающей λI− b̃, не обратим (см. [29], задача 55). Этот операторный определитель
равен λ2I−λT (a)+D(a). Поскольку функции T (x), D(x) непрерывны, по теореме
об отображении спектра σ(λ2I−λT (a) +D(a)) = {λ2−T (x)λ+D(x), x ∈ σ(a)}.
Таким образом, σ(̃b) — множество решений уравнения λ2 − T (x)λ + D(x) = 0,
когда x пробегает σ(a).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1388 И. С. ФЕЩЕНКО
Сумма H1 + H2 замкнута тогда и только тогда, когда 1 /∈ σ(a). Теперь можно
сформулировать критерий замкнутости H1 +H2 в терминах спектра b (напомним,
что b задан формулой (2.7)). Определим функцию F (x) = f1(x)f2(x)−xf3(x)f4(x),
x ∈ [0, 1].
Утверждение 2.5. Пусть функция F (x) не обращается в 0 на [0, 1). Тогда:
(1) сумма H1 + H2 замкнута тогда и только тогда, когда существует ε > 0
такое, что σ(b) ∩ ({z ∈ C, |z| < ε} \ {0}) = ∅;
(2) пусть дополнительно f1(1)+f2(1)+f3(1)+f4(1) 6= 0; сумма H1 +H2 = H
тогда и только тогда, когда оператор b обратим.
Доказательство. Докажем (1). Предположим, что 1 /∈ σ(a). Тогда существует
m1 > 0, для которого |D(x)| > m1, x ∈ σ(a). Кроме того, существуетm2 такое, что
|T (x)| 6 m2 для произвольного x ∈ σ(a). Отсюда следует существование искомого
ε > 0.
Предположим, что 1 ∈ σ(a). Поскольку изолированная точка спектра само-
сопряженного оператора является его собственным значением и ker(I − a) = 0,
существует последовательность xj ∈ σ(a), j > 1, сходящаяся к 1, причем для всех
j > 1 xj < 1. Теперь из теоремы о непрерывной зависимости корней полинома от
его коэффициентов следует существование последовательности λj ∈ σ(b̃) ⊂ σ(b),
сходящейся к 0, причем для всех j > 1 λj 6= 0.
Докажем (2). Пусть H1 + H2 = H. Тогда H⊥1 ∩ H⊥2 = 0. Спектры σ(b1,1) =
= f1(1) + f2(1) + f3(1) + f4(1) 6= 0, σ(b1,0) = f1(0) 6= 0, σ(b0,1) = f2(0) 6= 0
(здесь равенства записаны при условии, что соответствующий спектр непустой).
Поскольку 1 /∈ σ(a), то 0 /∈ σ(̃b). Поэтому b обратим.
Пусть b обратим. Тогда Im(b) = H. Из определения b следует, что Im(b) ⊂
⊂ H1 +H2. Поэтому H1 +H2 = H.
Утверждение 2.5 доказано.
Пример 2.2. Пусть f1(x) = f2(x) = 1, f3(x) = f4(x) = 0. Тогда оператор
b = P1 + P2 неотрицателен. Сумма H1 + H2 замкнута тогда и только тогда, когда
существует ε > 0 такое, что σ(P1 + P2) ∩ (0, ε) = ∅. Сумма H1 +H2 = H тогда и
только тогда, когда существует ε > 0 такое, что P1 + P2 > εI.
Пример 2.3. Пусть f1 = τ1, f2 = τ2, f3 = f4 = 0, где τ1, τ2 — действительные
числа, отличные от 0. Используя выражение для спектра τ1P1 + τ2P2, условие
замкнутостиH1+H2 можно сформулировать точнее, чем в утверждении 2.5: сумма
H1 +H2 является подпространством тогда и только тогда, когда существует ε > 0
такое, что:
(1) если τ1 > 0, τ2 > 0, то σ(τ1P1 + τ2P2) ∩ (0, ε) = ∅,
(2) если τ1 < 0, τ2 < 0, то σ(τ1P1 + τ2P2) ∩ (−ε, 0) = ∅,
(3) если τ1, τ2 имеют разные знаки и τ1+τ2 > 0, то σ(τ1P1+τ2P2)∩(−ε, 0) = ∅,
(4) если τ1, τ2 имеют разные знаки и τ1 +τ2 6 0, то σ(τ1P1 +τ2P2)∩ (0, ε) = ∅.
Утверждение 2.6. Пусть функция F (x) не обращается в 0 на [0, 1). H1 +H2
замкнуто тогда и только тогда, когда Im(b) замкнут.
Доказательство. Im(b) замкнут тогда и только тогда, когда Im(̃b) замкнут.
Из теоремы Дугласа (см. [9], а также подпункт 5.1 данной работы) следует, что
Im(̃b) = Im(̃b(̃b)∗)1/2. Поэтому Im(b) является подпространством тогда и только
тогда, когда для некоторого ε > 0 σ(̃b(̃b)∗) ∩ (0, ε) = ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1389
1. Пусть H1 +H2 — подпространство, т. е. 1 /∈ σ(a). Тогда оператор b̃ обратим,
поэтому Im(̃b) = H̃.
2. Пусть теперь H1 + H2 не является подпространством, т. е. 1 ∈ σ(a). Су-
ществует последовательность xk ∈ σ(a), xk → 1, причем xk < 1, k > 1. Опера-
торный определитель блочной (2× 2)-матрицы, задающей b̃(̃b)∗, равен D1(a), где
D1(x) = (1 − x)2|F (x)|2, а ее операторный след равен T1(a) для некоторой (ее
явный вид нам не нужен) непрерывной на [0, 1] функции T1(x). Спектр оператора
b̃(̃b)∗ есть множество решений λ уравнения λ2 − T1(x)λ+D1(x) = 0, когда x про-
бегает σ(a). Теперь из теоремы про непрерывную зависимость корней полинома
от его коэффициентов следует существование последовательности λj ∈ σ(̃b(̃b)∗),
сходящейся к 0, причем λj 6= 0 для всех j > 1. Поэтому Im(̃b) — не подпростран-
ство.
Утверждение 2.6 доказано.
Утверждение 2.7. Предположим, что Im(̃b) = H̃1 + H̃2. Тогда H1 + H2 —
подпространство.
Доказательство. Пусть Im(̃b) = H̃1 + H̃2. Из теоремы Дугласа (см. [9], а
также подпункт 5.1 данной работы) следует, что существует ε > 0 такое, что
b̃(̃b)∗ > ε(P̃1 + P̃2). Для x ∈ [0, 1] определим следующие (2× 2)-матрицы:
b̃(x) =
(
f1(x) + xf2(x) + xf3(x) + xf4(x)
√
x(1− x)(f2(x) + f3(x))√
x(1− x)(f2(x) + f4(x)) (1− x)f2(x)
)
и
P̃1(x) =
(
1 0
0 0
)
, P̃2(x) =
(
x
√
x(1− x)√
x(1− x) 1− x
)
.
Тогда b̃(x)(̃b(x))∗ > ε(P̃1(x) + P̃2(x)) для каждого x ∈ σ(a), поэтому
det(̃b(x)(̃b(x))∗) > ε2 det(P̃1(x) + P̃2(x)). Значит, (1 − x)2|F (x)|2 > ε2(1 − x),
т. е. (1−x)|F (x)|2 > ε2 для любого x ∈ σ(a)\{1}. Поэтому 1 /∈ σ(a), что означает
замкнутость H1 +H2.
Утверждение 2.7 доказано.
Следствие 2.1. Если Im(b) = H1 +H2, то H1 +H2 — подпространство.
Следствие 2.2. Пусть F (x) не обращается в 0 на [0, 1) и H1 ∩ H2 = 0.
Сумма H1 +H2 является подпространством тогда и только тогда, когда Im(b) =
= H1 +H2.
Следствие 2.3. Пусть F (x) не обращается в 0 на [0, 1) и f1(1) + f2(1) +
+ f3(1) + f4(1) 6= 0. Сумма H1 +H2 является подпространством тогда и только
тогда, когда Im(b) = H1 +H2.
Следствие 2.4. Пусть F (x) не обращается в 0 на [0, 1). Сумма H1 +H2 явля-
ется подпространством тогда и только тогда, когда Im(b) ⊃ (H1 +H2)
⋂
(H1 ∩
∩H2)⊥.
В дальнейшем нам понадобится свойство „почти” симметричности σ(b). Из
полученных формул для σ(b) вытекает следующее утверждение.
Утверждение 2.8. Пусть функция f1(x) + f2(x) + x(f3(x) + f4(x)) = c, x ∈
∈ [0, 1]. Тогда σ(b) „почти” симметричен относительно точки c/2 : если λ ∈ σ(b)
и λ /∈ {0, f1(0), f2(0), c}, то (c− λ) ∈ σ(b).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1390 И. С. ФЕЩЕНКО
3. Сведение задачи о замкнутости суммы n подпространств к задаче о за-
мкнутости суммы пары подпространств. 3.1. Пусть H1, . . . ,Hn — подпростран-
ства гильбертова пространства H, P1, . . . , Pn — соответствующие ортопроекторы.
Введем в рассмотрение гильбертово пространство X = H ⊕ . . .⊕H︸ ︷︷ ︸
n
. Опре-
делим в нем подпространства ∆ = {(x, . . . , x), x ∈ H} и H̃ = H1 ⊕ . . . ⊕ Hn.
Соответствующие ортопроекторы имеют вид
P∆ =
1
n
IH . . .
1
n
IH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
n
IH . . .
1
n
IH
, PH̃ = diag(P1, . . . , Pn).
Поскольку
∆⊥ =
{
(x1, . . . , xn), xk ∈ H, 1 6 k 6 n,
n∑
k=1
xk = 0
}
,
то
∆⊥ + H̃ =
{
(x1, . . . , xn),
n∑
k=1
xk ∈ H1 + . . .+Hn
}
.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Утверждение 3.1.
∑n
k=1
Hk замкнуто тогда и только тогда, когда ∆⊥+H̃
замкнуто.
∑n
k=1
Hk = H тогда и только тогда, когда ∆⊥ + H̃ = X.
Для того чтобы воспользоваться критерием замкнутости суммы пары подпро-
странств, рассмотрим оператор
P∆PH̃P∆ =
1
n2
n∑
k=1
Pk . . .
n∑
k=1
Pk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n∑
k=1
Pk . . .
n∑
k=1
Pk
.
Легко проверить, что σ(P∆PH̃P∆) = 0∪σ
(
P1 + . . .+ Pn
n
)
. Используя спектраль-
ную теорему для пары ортопроекторов P∆, PH̃ , несложно получить σ(P∆⊥PH̃) =
=
{
1− α, α ∈ σ
(
P1 + . . .+ Pn
n
)}
с точностью до точек 0, 1. Используя утверж-
дение 2.1, получаем следующий критерий замкнутости суммы n подпространств.
Утверждение 3.2. H1 + . . . + Hn замкнуто тогда и только тогда, когда
существует ε > 0 такое, что σ(P1 + . . .+ Pn) ∩ (0, ε) = ∅.
Из утверждения 3.2 с учетом того, что изолированная точка спектра самосопря-
женного оператора является его собственным значением, следует, что
∑n
k=1
Hk =
= H тогда и только тогда, когда
∑n
k=1
Pk обратим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1391
Замечание 3.1. Утверждение 3.2 можно получить различными способами,
например:
(a) используя теорему Р. Дугласа (см. подпункт 5.1),
(b) достаточно показать, что если H1 + . . .+Hn = H, то P1 + . . .+Pn обратим.
Определим операторA :
⊕n
k=1Hk → H равенствомA(x1, . . . , xn) =
∑n
k=1
xk.
Тогда Im(A) = H, поэтому A∗ — изоморфное вложение (т. е. ‖A∗x‖ > ε‖x‖, x ∈ H,
для некоторого ε > 0), AA∗ обратим. Поскольку A∗x = (P1x, . . . , Pnx), x ∈ H,
оператор AA∗ = P1 + . . .+ Pn обратим.
Пример 3.1. Пусть A = A(P1, . . . , Pn) — алгебра, порожденная P1, . . . , Pn.
Предположим, что dimA < ∞. Тогда для элемента Q = P1 + . . . + Pn этой
алгебры существует ненулевой полином R(z), для которого R(Q) = 0. Поэтому
σ(Q) состоит из конечного числа точек, а значит H1 + . . .+Hn — подпространство.
В качестве примеров приведем такие системы подпространств:
1. Пусть ортопроекторы P1, . . . , Pn попарно коммутируют. Тогда dimA 6 2n−
− 1. В этом случае σ(P1 + . . .+ Pn) ∈ {0, 1, . . . , n}.
2. Пусть система H1, . . . ,Hn является „простой” n-кой подпространств, связан-
ной с деревом G (см. [28]). Тогда dimA 6 n2.
Теперь, используя критерии замкнутости суммы пары подпространств, можем
получить критерии замкнутости суммы n подпространств. Сначала приведем при-
мер.
Пример 3.2. Сумма H1 + . . .+Hn = H тогда и только тогда, когда существует
ε > 0 такое, что P∆⊥ + PH̃ > εIX . Возьмем x = (x1, . . . , xn) ∈ X. Тогда условие
((P∆⊥ + PH̃)x, x) > ε‖x‖2 принимает вид
n∑
k=1
‖Pkxk‖2 >
1
n
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
xk
∥∥∥∥∥
2
− (1− ε)
(
n∑
k=1
‖xk‖2
)
.
3.2. Критерий замкнутости суммы подпространств в терминах их орто-
гональных дополнений. Сумма H1 + . . . + Hn = H тогда и только тогда, когда
∆⊥ + H̃ = X. Поскольку для подпространств M1, M2 M1 +M2 замкнуто тогда и
только тогда, когда M⊥1 +M⊥2 замкнуто, последнее условие равносильно следую-
щему: ∆∩ H̃⊥ = 0 и ∆ + H̃⊥ замкнуто, что, в силу утверждения 2.3, равносильно
существованию ε1 > 0 такого, что ‖(I − P∆)x‖2 > ε1‖x‖2 для произвольного
x ∈ H̃⊥. Возьмем x = (x1, . . . , xn), xi ∈ H⊥i , 1 6 i 6 n. Тогда неравенство
‖(I − P∆)x‖2 > ε1‖x‖2 можно записать в виде
n∑
k=1
‖xk‖2 −
1
n
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
xk
∥∥∥∥∥
2
> ε1
n∑
k=1
‖xk‖2,
что равносильно
∑
i<j
‖xi−xj‖2 > nε1
∑n
k=1
‖xk‖2. Таким образом,
∑n
k=1
Hk =
= H тогда и только тогда, когда существует ε > 0 такое, что для произвольных
xk ∈ H⊥k , 1 6 k 6 n,
∑
i<j
‖xi − xj‖2 > ε
n∑
k=1
‖xk‖2. (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1392 И. С. ФЕЩЕНКО
Далее Γ обозначает неориентированный граф с множеством вершин V (Γ) =
= {1, 2, . . . , n}. Обозначим через E(Γ) множество ребер Γ. Будем писать i ∼ j,
если i соединено с j.
Утверждение 3.3. Пусть Γ — связный граф. Тогда следующие утверждения
равносильны:
(1)
∑n
k=1
Hk = H,
(2) существует ε > 0 такое, что для произвольных xk ∈ H⊥k , 1 6 k 6 n,
∑
{i,j}∈E(Γ)
‖xi − xj‖2 > ε
n∑
k=1
‖xk‖2.
Доказательство. (2)⇒ (1) очевидно.
(1) ⇒ (2). Пусть i 6= j. Поскольку Γ связен, то существует путь i = i(0) ∼
∼ i(1) ∼ . . . ∼ i(m) = j. Тогда
‖xi − xj‖2 6
(
m−1∑
k=0
‖xi(k+1) − xi(k)‖
)2
6 m
m−1∑
k=0
‖xi(k+1) − xi(k)‖2.
Теперь из неравенства (3.1) получаем требуемое утверждение.
Утверждение 3.3 доказано.
Пусть, например, E(Γ) = {{1, 2}, {2, 3}, . . . , {n − 1, n}}, т. е. Γ — цепь. Из
утверждения 3.3 следует, что сумма H1 + . . .+Hn = H тогда и только тогда, когда
существует ε > 0 (уменьшенное ε из утверждения 3.3) такое, что для произвольных
xk ∈ H⊥k , ‖xk‖ = 1, 1 6 k 6 n, и для произвольных tk ∈ C, 1 6 k 6 n, не равных
одновременно 0, выполнено
n−1∑
k=1
‖tkxk − tk+1xk+1‖2 > ε
n∑
k=1
|tk|2.
Это условие равносильно положительной определенности эрмитовой матрицы
AC =
1− ε −(x1, x2) 0 . . . 0
−(x2, x1) 2− ε −(x2, x3)
. . .
...
0 −(x3, x2)
. . .
. . . 0
...
. . .
. . . 2− ε −(xn−1, xn)
0 . . . 0 −(xn, xn−1) 1− ε
.
Используя критерий Сильвестра, можно получить необходимые и достаточные
условия для положительной определенности AC.
Пример 3.3. Пусть n = 3. Сумма H1 + H2 + H3 = H тогда и только тогда,
когда
sup{|(x1, x2)|2 + |(x2, x3)|2, xk ∈ H⊥k , ‖xk‖ = 1, k = 1, 2, 3} < 2.
Далее будем рассматривать графы Γ с положительными весами на ребрах. Это
значит, что каждому ребру e = {i, j} ∈ E(Γ) сопоставлено число γe > 0, которое
будем обозначать γi,j = γj,i. Для вершины i определим ρi =
∑
j∼i
γi,j .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1393
Утверждение 3.4. Пусть Γ — связный граф с положительными весами на
ребрах. Тогда следующие утверждения равносильны:
(1)
∑n
k=1
Hk = H,
(2) существует ε > 0 такое, что для произвольных xk ∈ H⊥k , 1 6 k 6 n,
2
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,j |(xi, xj)| 6
n∑
i=1
(ρi − ε)‖xi‖2. (3.2)
Доказательство. (2)⇒ (1). Для произвольных xk ∈ H⊥k , 1 6 k 6 n, имеем
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,j‖xi − xj‖2 =
n∑
i=1
ρi‖xi‖2 − 2
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,jRe(xi, xj) >
>
n∑
i=1
ρi‖xi‖2 − 2
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,j |(xi, xj)| > ε
n∑
i=1
‖xi‖2.
Из утверждения 3.3 следует, что
∑n
k=1
Hk = H.
(1)⇒ (2). Докажем требуемое утверждение индукцией по |E(Γ)|. Наименьшее
возможное значение |E(Γ)| равно n − 1 и достигается тогда и только тогда, когда
Γ — дерево. Из утверждения 3.3 следует, что существует ε > 0 такое, что
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,j‖yi − yj‖2 > ε
n∑
i=1
‖yi‖2
для произвольных yk ∈ H⊥k , т. е.
2
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,jRe(yi, yj) 6
n∑
i=1
(ρi − ε)‖yi‖2. (3.3)
Зафиксируем произвольные xk ∈ H⊥k , 1 6 k 6 n. В неравенство (3.3) подставим
yk = eiϕkxk, где ϕk ∈ R. Поскольку Γ — дерево, ϕk можно выбрать так, что
(yk, yl) = |(xk, xl)|, если k ∼ l. Тогда из неравенства (3.3) следует требуемое.
Выполним индукционный переход. Пусть |E(Γ)| > n. Тогда в Γ есть цикл
i1, i2, . . . , im, ik ∼ ik+1, 1 6 k 6 m (здесь im+1 = i1). Для k = 1, 2, . . . ,m
обозначим через Γk граф, полученный из Γ удалением ребра {ik, ik+1}. Ясно, что
Γk связен. Веса γ
(k)
i,j на ребрах Γk определим следующим образом: если ребро
{i, j} является ребром цикла {ip, ip+1}, то γ
(k)
i,j = γi,j , иначе γ(k)
i,j =
m− 1
m
γi,j .
Из предположения индукции следует, что существует εk > 0 такое, что для Γk
выполнено неравенство (3.2). Уменьшив εk, можно считать, что ε1 = . . . = εm = ε.
Для произвольных xi ∈ H⊥i имеем
2
∑
{i,j}∈E(Γk)
γ
(k)
i,j |(xi, xj)| 6
n∑
i=1
(ρ
(k)
i − ε)‖xi‖
2.
Прибавив эти неравенства для k = 1, 2, . . . ,m, получим неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1394 И. С. ФЕЩЕНКО
2(m− 1)
∑
{i,j}∈E(Γ)
γi,j |(xi, xj)| 6
n∑
i=1
((m− 1)ρi −mε)‖xi‖2.
Разделив его на m− 1, будем иметь требуемое утверждение.
Утверждение 3.4 доказано.
4. Линейно независимые системы подпространств.
Определение 4.1. Подпространства X1, . . . , Xn банахова пространства X
линейно независимы, если из
n∑
j=1
xj = 0, xj ∈ Xj , 1 6 j 6 n,
следует x1 = . . . = xn = 0.
В этом пункте будем изучать n-ки подпространств с замкнутой суммой с до-
полнительным условием линейной независимости n-ки. Свойство линейной неза-
висимости „хорошо сочетается” со свойством замкнутости суммы. Как мы увидим
в этом пункте, некоторые свойства n-ок, неверные только при условии замкнуто-
сти суммы, становятся верными при дополнительном условии линейной независи-
мости.
Отметим, что при n > 3 задача об описании неприводимых n-ок ортопроекто-
ров с точностью до унитарной эквивалентности чрезвычайно сложна (см., напри-
мер, [19]). Поэтому „хорошего” представления (типа представления П. Халмоша
для пары подпространств) n-ки подпространств при n > 3 нет. Однако некоторые
представления для линейно независимых n-ок подпространств с суммой H суще-
ствуют (см., например, [23]). В указанной работе используется, но не доказано, что
если H1, . . . ,Hn — линейно независимые подпространства H и H1 + . . .+Hn = H,
то для всех 1 6 k 6 n сумма H1 + . . .+Hk замкнута. Это легко восполнить с по-
мощью следствия 4.1.
Приведем несколько примеров условий, при выполнении которых подпростран-
ства H1, . . . ,Hn линейно независимы, а их сумма замкнута.
Пример 4.1. Пусть H1, . . . ,Hn — ненулевые подпространства гильбертова
пространства H, P1, . . . , Pn — соответствующие ортопроекторы, τ1, . . . , τn — по-
ложительные числа. Предположим, для некоторого γ > 0 выполнено τ1P1 + . . .
. . .+ τnPn 6 γI. Покажем, что если
γ <
∑n
j=1
τj
n− 1
, (4.1)
то H1, . . . ,Hn линейно независимы, а их сумма замкнута.
Поскольку Hj 6= 0, 1 6 j 6 n, то τj 6 γ, 1 6 j 6 n. Определим подпро-
странства Mk = H1 + . . .+Hk, 1 6 k 6 n. Проводя рассуждения, аналогичные
доказательству леммы 2 в [25], убеждаемся, что для всех 1 6 k 6 n выполнено
τ1P1 + . . . + τkPk > (τ1 + . . . + τk − (k − 1)γ)PMk
. Подставляя в это неравен-
ство k = n и используя неравенство (4.1), получаем, что H1 + . . . + Hn — под-
пространство. Покажем, что H1, . . . ,Hn линейно независимы. Предположим, что
существует x ∈ Hn ∩ (H1 + . . .+Hn−1), x 6= 0. Тогда из неравенств
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1395
γ||x||2 > ((τ1P1 + . . .+ τn−1Pn−1)x, x) + τn(Pnx, x) >
>
(
n−1∑
k=1
τk − (n− 2)γ
)
||x||2 + τn||x||2
получаем γ >
∑n
j=1
τj
n− 1
. Пришли к противоречию. Из соображений симметрии
имеем Hi ∩
(∑
j 6=i
Hi
)
= 0 для всех 1 6 i 6 n, что и означает линейную
независимость H1, . . . ,Hn.
Оценка (4.1) для γ, при выполнении которой H1, . . . ,Hn линейно независимы,
а их сумма замкнута, вообще говоря, неулучшаема. В работе [25] показано, что в
гильбертовом пространстве H = Cn−1 существуют одномерные подпространства
H1, . . . ,Hn, для которых P1 + . . . + Pn =
n
n− 1
I. Ясно, что H1, . . . ,Hn линейно
зависимы.
Пример 4.2 [13]. Пусть X,Y, Z — банаховы пространства, T : X → Y, S :
Y → Z — линейные непрерывные операторы. Предположим, что ST : X → Z
— изоморфизм. Тогда Im(T ) — подпространство; подпространства Im(T ) и ker(S)
линейно независимы и их сумма равна Y.
4.1. Критерий замкнутости суммы линейно независимых подпространств.
Примеры его использования.
Теорема 4.1. ПустьX1, . . . , Xn — подпространства банахова пространства
X. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если для некоторого ε > 0 и для произвольных xj ∈ Xj , 1 6 j 6 n,
выполнено
‖x1 + . . .+ xn‖ > ε(‖x1‖+ . . .+ ‖xn−1‖),
то X1, . . . , Xn линейно независимы и их сумма — подпространство;
(2) если X1, . . . , Xn — линейно независимые подпространства, X1 + . . . + Xn
— подпространство, то существует ε > 0 такое, что для произвольных xj ∈
∈ Xj , 1 6 j 6 n, выполнено
‖x1 + . . .+ xn‖ > ε(‖x1‖+ . . .+ ‖xn‖).
Доказательство. Докажем (1). Ясно, что X1, . . . , Xn линейно независимы.
Покажем, что X1 + . . .+Xn — подпространство. Пусть xk,1 + . . .+ xk,n → z, где
xk,i ∈ Xi, k > 1, 1 6 i 6 n. Поскольку
‖xk,1 + . . .+ xk,n − (xl,1 + . . .+ xl,n)‖ > ε
(
n−1∑
i=1
‖xk,i − xl,i‖
)
,
при 1 6 i 6 n − 1 последовательность {xk,i, k > 1} фундаментальна, а потому
xk,i → xi ∈ Xi. Поэтому последовательность xk,n → xn ∈ Xn. Тогда
z = x1 + . . .+ xn,
откуда следует замкнутость X1 + . . .+Xn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1396 И. С. ФЕЩЕНКО
Докажем (2). На пространстве X1 ⊕ . . . ⊕ Xn определим норму
‖(x1, . . . , xn)‖ =
∑n
i=1
‖xi‖, относительно которой это пространство банахово.
Рассмотрим оператор A : X1 ⊕ . . . ⊕ Xn → X1 + . . . + Xn, определенный равен-
ством A(x1, . . . , xn) = x1 + . . .+ xn.
Очевидно, A является линейным непрерывным оператором между банаховы-
ми пространствами, причем A — биекция. По теореме Банаха A обратим, откуда
непосредственно следует нужное неравенство.
Теорема 4.1 доказана.
Замечание 4.1. Вместо
∑n
i=1
‖xi‖ иногда удобнее рассматривать эквива-
лентную величину
(∑n
i=1
‖xi‖p
)1/p
, 1 ≤ p < ∞. Тогда условие замкнутости
X1 + . . .+Xn и линейной независимости X1, . . . , Xn примет вид∥∥∥∥∥
n∑
i=1
xi
∥∥∥∥∥
p
> ε
(
n∑
i=1
‖xi‖p
)
для некоторого ε > 0 и произвольных x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.
Следствие 4.1. Пусть X1, . . . , Xn — линейно независимые подпространства
банахова пространства X и сумма X1 + . . .+Xn — подпространство. Тогда для
произвольного набора индексов i(1), . . . , i(k) сумма Xi(1) + . . . + Xi(k) является
подпространством.
Следствие 4.2. Пусть X1, . . . , Xn — линейно независимые подпространства
банахова пространства X, сумма X1 + . . . + Xn — подпространство и подпро-
странство Yk ⊂ Xk для каждого 1 6 k 6 n. Тогда Y1 + . . . + Yn является
подпространством.
Следствие 4.1 показывает, что при условии линейной независимости из замкну-
тости суммы всех подпространств следует замкнутость суммы любого поднабора.
Если не накладывать условия линейной независимости, то это утверждение невер-
но. Более того, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Пусть Nn = {1, 2, . . . , n} и множество {I ⊂ Nn, |I| > 2}
разбито на две части: Ic и Inc. Тогда существуют гильбертово пространство H
и n-ка подпространств H1, . . . ,Hn в нем такие, что если I ∈ Ic, то
∑
j∈Ic
Hj
замкнута, а если I ∈ Inc, то
∑
j∈Inc
Hj не замкнута.
Доказательство. 1. Сначала построим пример гильбертова пространства H
и его подпространств H1, . . . ,Hn таких, что для произвольного I ⊂ Nn, |I| 6
6 n − 1, сумма
∑
j∈I
Hj замкнута, а H1 + . . . + Hn не замкнута. Для k > 1
в пространстве Cn выберем ортонормированный базис e1, . . . , en и определим
набор одномерных подпространств H1,k = 〈e1〉, . . . ,Hn−1,k = 〈en−1〉, Hn,k =
=
〈
e1 + . . .+ en−1 +
1
k
en
〉
. Легко видеть, что гильбертово пространство H =
=
⊕∞
k=1 Cn и набор подпространств Hj =
⊕∞
k=1Hj,k, 1 6 j 6 n, имеют нужные
свойства.
2. Докажем утверждение 4.1 индукцией по n. При n = 2 утверждение очевидно.
Выполним индукционный переход. Предположим, что {1, 2, . . . , n} ∈ Ic. Для n
гильбертовых пространств L1, . . . , Ln определим H = L1 ⊕ . . .⊕ Ln и
Hj = Rj,1 ⊕ . . .⊕Rj,j−1 ⊕ Lj ⊕Rj,j+1 ⊕ . . .⊕Rj,n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1397
для некоторых подпространств Rj,i ⊂ Li. Очевидно, H1 + . . . + Hn = H. Оста-
лось выбрать подпространства {Rj,i}, чтобы выполнялись все нужные условия.
Зафиксируем произвольное 1 6 m 6 n. На подпространства Rj,m, j 6= m, на-
ложим такие условия: если множество I ⊂ Nn \ {m} является элементом Ic, то∑
j∈I
Rj,m замкнута, если же I является элементом Inc, то сумма
∑
j∈I
Rj,m не
замкнута. Из индукционного предположения следует, что существуют гильбертово
пространство Lm и набор подпространств Rj,m, j 6= m, с нужными свойства-
ми. Очевидно, построенная n-ка H1, . . . ,Hn гильбертова пространства H имеет
нужные свойства.
Пусть теперь {1, 2, . . . , n} ∈ Inc. Возьмем гильбертово пространство K и набор
подпространствK1, . . . ,Kn в нем такие, что для всех множеств I ⊂ Nn, |I| 6 n−1,
сумма
∑
j∈I
Kj замкнута, а сумма K1 + . . .+Kn не замкнута. Для гильбертовых
пространств L1, . . . , Ln определим H = L1 ⊕ . . .⊕ Ln ⊕K и подпространства
Hj = Rj,1 ⊕ . . .⊕Rj,j−1 ⊕ Lj ⊕Rj,j+1 ⊕ . . .⊕Rj,n ⊕Kj
для некоторых подпространств Rj,i ⊂ Li. Очевидно, сумма H1 + . . . + Hn не
замкнута. Для фиксированного 1 6 m 6 n набор подпространств Rj,m, j 6= m,
пространства Lm (и само Lm) выбирается аналогично предыдущему случаю.
Утверждение 4.1 доказано.
Аналогом предыдущего утверждения для линейно независимых n-ок подпро-
странств, с учетом следствия 4.1, является следующее утверждение.
Утверждение 4.2. Пусть n > 2 и множество {I ⊂ Nn, |I| > 2} разбито
на две части: Ic и Inc, причем выполнено следующее условие: если A,B ⊂ Nn,
|A| > 2, |B| > 2, A ⊂ B и B ∈ Ic, то A ∈ Ic. Тогда существуют гильбертово
пространство H и линейно независимые подпространства H1, . . . ,Hn в нем та-
кие, что если I ∈ Ic, то
∑
j∈Ic
Hj замкнута, а если I ∈ Inc, то
∑
j∈Inc
Hj не
замкнута.
Доказательство. Положим N = 2n − 1− n. Занумеруем элементы множества
{I ⊂ Nn, |I| > 2} числами от 1 до N, т. е. {I ⊂ Nn, |I| > 2} = {I1, . . . , IN}.
Гильбертово пространство H и линейно независимые подпространства H1, . . . ,Hn
в нем будем искать в следующем виде:
Hi = Ri,1 ⊕ . . .⊕Ri,N , 1 6 i 6 n, H = R1 ⊕ . . .⊕RN ,
где для каждого 1 6 j 6 N Ri,j , 1 6 i 6 n, есть подпространства гильбер-
това пространства Rj . Покажем, как их выбрать, чтобы выполнялись требуемые
условия. Зафиксируем 1 6 j 6 N и пусть Ij = {i(1), . . . , i(s)}. Предположим,
что Ij ∈ Inc. Существуют гильбертово пространство K и линейно независи-
мые подпространства K1, . . . ,Ks в нем такие, что
∑
l∈J
Kl замкнута для всех
J ⊂ {1, 2, . . . , s}, |J | < s, а сумма K1 + . . . + Ks не замкнута. Положим Rj = K,
Ri(1),j = K1, . . . , Ri(s),j = Ks, остальные Ri,j = 0. Предположим, что Ij ∈ Ic.
Тогда положим Rj = C1, R1,j = . . . = Rn,j = 0. Легко видеть, что построенные
таким образом подпространства H1, . . . ,Hn гильбертова пространства H удовле-
творяют всем нужным условиям.
Утверждение 4.2 доказано.
Приведем несколько примеров использования теоремы 4.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1398 И. С. ФЕЩЕНКО
Пример 4.3. Пусть X,Y — банаховы пространства, линейные непрерывные
операторы a1, . . . , an : X → Y таковы, что оператор a =
∑n
k=1
ak обратим.
Тогда подпространства Xi =
⋂
j 6=i
ker(aj), 1 6 i 6 n, линейно независимы и их
сумма замкнута.
Доказательство. Пусть xi ∈ Xi, 1 6 i 6 n. Рассмотрим произвольное 1 6 k 6
6 n. Тогда
‖ak‖
∥∥∥∥∥
n∑
i=1
xi
∥∥∥∥∥ > ‖akxk‖ = ‖axk‖ > ‖a−1‖−1‖xk‖.
Прибавив полученые неравенства для k = 1, 2, . . . , n, из теоремы 4.1 получим
нужное утверждение.
В частности, если
∑n
k=1
Hk = H, то
∑n
k=1
Pk обратим, а поэтому подпро-
странства Mk =
⋂
i6=k
H⊥i , 1 6 k 6 n, линейно независимы и их сумма замкнута.
Пример 4.4. Покажем связь между операторами с конечным спектром и сис-
темами линейно независимых подпространств с суммой H. Пусть A : H → H
— линейный непрерывный оператор с конечным спектром σ(A) = {λ1, . . . , λn}.
Пусть Γk, 1 6 k 6 n, — окружность достаточно малого радиуса с центром в λk.
Напомним, что проектором Рисса, соответствующим изолированной точке спектра
λk, называется оператор Rk =
1
2πi
∫
Γk
R(z,A) dz =
1
2πi
∫
Γk
(zI−A)−1 dz. Извест-
но (см., например, [27]), что Rk 6= 0 при всех k, R2
k = Rk, RiRj = 0 при i 6= j,
сумма R1 + . . .+Rn = I.
Определим Hk = Im(Rk), 1 6 k 6 n. Подпространство Hk называется подпро-
странством Рисса, соответствующим изолированной точке спектра λk. Очевидно,
H1, . . . ,Hn — ненулевые линейно независимые подпространства, сумма которых
равна H. Справедливо и обратное утверждение.
Утверждение 4.3. Пусть {λ1, . . . , λn} — множество n комплексных чисел,
H1, . . . ,Hn — ненулевые линейно независимые подпространства H, сумма кото-
рых равна H. Тогда найдется линейный непрерывный оператор A : H → H со
спектром σ(A) = {λ1, . . . , λn}, для которого Hk является подпространством
Рисса, соответствующим λk для всех 1 6 k 6 n.
Доказательство. Каждый x ∈ H однозначно представляется в виде x =
=
∑n
k=1
xk, где xk ∈ Hk, 1 6 k 6 n. Определим Qkx = xk, тогда из теоремы 4.1
следует, что Qk ограничен.
Определим линейный непрерывный оператор A : H → H равенством Ax =
= λ1Q1 + . . . + λnQn. Иначе говоря, для x = x1 + . . . + xn, xi ∈ Hi, 1 6 i 6 n,
Ax = λ1x1 + . . .+λnxn. Очевидно, σ(A) = {λ1, . . . , λn}. Для точки λk, 1 6 k 6 n,
соответствующий проектор Рисса равен
Rk =
1
2πi
∫
Γk
(zI −A)−1 dz =
1
2πi
∫
Γk
n∑
j=1
1
z − λj
Qj dz = Qk,
а поэтому соответствующее подпространство Рисса равно Hk.
Утверждение 4.3 доказано.
Покажем несколько применений теоремы 4.1 для гильбертова пространства H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1399
Пример 4.5. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства гильбертова пространства
H. Сформулируем условие их линейной независимости и замкнутости их суммы.
Это равносильно существованию ε > 0 такого, что для произвольных действитель-
ных чисел t1, . . . , tn ∈ R, не равных одновременно 0, и для произвольных xk ∈ Hk,
‖xk‖ = 1, 1 6 k 6 n, выполняется неравенство ‖t1x1+. . .+tnxn‖2 > ε(t21+. . .+t2n).
Поставленное условие равносильно положительной определенности действитель-
ной симметричной матрицы
AR =
1− ε Re(x1, x2) . . . Re(x1, xn)
Re(x2, x1) 1− ε
. . .
...
...
. . .
. . . Re(xn−1, xn)
Re(xn, x1) . . . Re(xn, xn−1) 1− ε
.
Используя критерий Сильвестра, можно получить необходимые и достаточные
условия для положительной определенности AR. В частности, при n = 2 име-
ем условие |Re(x1, x2)| < 1 − ε, которое равносильно условию |(x1, x2)| < 1 − ε
для всех xj ∈ Hj , ‖xj‖ = 1, j = 1, 2.
При n = 3 имеем условия:
(1) |Re(x1, x2)| < 1− ε,
(2) (Re(x1, x2))2 + (Re(x2, x3))2 + (Re(x3, x1))2 < (1− ε)2 +
2
1− ε
Re(x1, x2)×
×Re(x2, x3)Re(x3, x1).
Аналогично можно найти условие линейной независимости и замкнутости сум-
мы подпространств H1, . . . ,Hn, считая числа t1, . . . , tn комплексными. Тогда при-
ходим к условию положительной определенности эрмитовой матрицы
AC =
1− ε (x1, x2) . . . (x1, xn)
(x2, x1) 1− ε
. . .
...
...
. . .
. . . (xn−1, xn)
(xn, x1) . . . (xn, xn−1) 1− ε
.
Используя критерий Сильвестра, можно получить необходимые и достаточные
условия для положительной определенности AC. В частности, при n = 3 име-
ем условия:
(1) |(x1, x2)| < 1− ε,
(2) |(x1, x2)|2 + |(x2, x3)|2 + |(x3, x1)|2 < (1− ε)2 +
2
1− ε
Re((x1, x2)(x2, x3)×
×(x3, x1)).
Пример 4.6. Пусть H — гильбертово пространство, n ≥ 2 и для каждого
k = 1, . . . , n {ek,s, s ∈ Z} — ортонормированная система в H. Пусть Hk — подпро-
странство, порожденное системой {ek,s, s ∈ Z}.
Использовав предыдущий пример, найдем достаточные условия, при которых
подпространства H1, . . . ,Hn линейно независимы, а их сумма H1 + . . . + Hn яв-
ляется подпространством.
Для каждого целого p и индексов i 6= j, 1 6 i, j 6 n определим αi,j,p =
= supl−k=p |(ei,k, ej,l)|. Очевидно, что αi,j,p = αj,i,−p. Для каждой пары i 6= j,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1400 И. С. ФЕЩЕНКО
1 6 i, j 6 n, определим βi,j =
∑
p∈Z
αi,j,p. Предположим, что βi,j < ∞ для всех
i 6= j.
Пусть xk =
∑
s∈Z
xk,sek,s ∈ Hk для k = 1, . . . , n, причем ‖xk‖ = 1. Это
означает, что
∑
s∈Z
|xk,s|2 = 1. Тогда для произвольных i 6= j имеем
|(xi, xj)| 6
∑
v,w∈Z
|xi,v||xj,w|αi,j,w−v 6 βi,j ,
откуда |Re(xi, xj)| 6 βi,j .
Для t1, . . . , tn ∈ R рассмотрим квадратичную форму∑
k 6=l
tktlRe(xk, xl) > −
∑
k 6=l
βk,l|tk||tl|.
Отсюда следует, что если существует ε > 0, для которого матрица
B =
1− ε −β1,2 . . . −β1,n
−β2,1 1− ε . . .
...
...
. . .
. . . −βn−1,n
−βn,1 . . . −βn,n−1 1− ε
положительно определена, то подпространства H1, . . . ,Hn линейно независимы
и их сумма замкнута. В частности, если maxk
(∑
l 6=k
βk,l
)
< 1, то это условие
выполнено
(
при ε < 1−maxk
(∑
l 6=k
βk,l
))
.
Следующий пример мотивирован результатами работ [2, 12]. К сожалению, в
работе [12] есть ошибки. На с. 184 определение P(A ∩ B) = P1(A)P2(B) для
A ∈ F1, B ∈ F2, вообще говоря, некорректно, поскольку множество может допус-
кать различные представления в виде A∩B, A ∈ F1, B ∈ F2. Кроме того, наложив
дополнительные условия на σ-алгебры F1,F2, чтобы определение P стало кор-
ректным (такое условие мы приводим в следующем примере), для продолжения
по Каратеодори надо показать, что P является мерой на полуалгебре Γ = {A ∩ B,
A ∈ F1, B ∈ F2}.
Пример 4.7 (замкнутость суммы маргинальных подпространств). Пусть (Ω,
F ,P) — вероятностное пространство, F1, . . . ,Fn — σ-алгебры, причем Fj ⊂ F , 1 6
6 j 6 n. Будем говорить, что F-измеримые комплекснозначные случайные величи-
ны ξ и η эквивалентны, если P{ξ 6= η} = 0. Определим пространствоH как множе-
ство классов эквивалентности всех F-измеримых комплекснозначных случайных
величин ξ, для которых
∫
Ω
|ξ|2 dP <∞ и
∫
Ω
ξ dP = 0. Ясно, что H — гильбертово
пространство относительно скалярного произведения (ξ, η) =
∫
Ω
ξη dP. Пусть Hi,
1 6 i 6 n, — множество классов эквивалентности из H, в которых есть хотя бы
одна Fi-измеримая случайная величина. Легко видеть, что Hi — подпространство
H. Hi называют маргинальным подпространством H. Наша цель — показать, что
если существует ε > 0 такое, что для произвольных A1 ∈ F1, . . . , An ∈ Fn
P(A1 ∩ . . . ∩An) > εP(A1) . . .P(An), (4.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1401
то H1, . . . ,Hn линейно независимы и их сумма является подпространством. Итак,
далее считаем, что выполнено неравенство (4.2). Через Pn обозначим продакт-
меру P× . . .× P︸ ︷︷ ︸
n
на измеримом пространстве Ωn = Ω× . . .× Ω︸ ︷︷ ︸
n
с σ-алгеброй
F ⊗ . . .⊗F︸ ︷︷ ︸
n
(порожденной измеримыми брусами A1×. . .×An, Ai ∈ F , 1 6 i 6 n).
Лемма 4.1. Пусть Xi, Yi ∈ Fi, 1 6 i 6 n и X1 ∩ . . . ∩ Xn ⊂ Y1 ∩ . . . ∩ Yn.
Тогда
Pn((X1 × . . .×Xn) \ (Y1 × . . .× Yn)) = 0.
Доказательство. Поскольку X1 ∩ . . . ∩ Xn ⊂ Y1 ∩ . . . ∩ Yn, для каждого 1 6
6 i 6 n X1 ∩ . . . ∩ Xi−1 ∩ (Xi \ Yi) ∩ Xi+1 . . . ∩ Xn = ∅. Из (4.2) следует, что
Pn(X1 × . . .×Xi−1 × (Xi \ Yi)×Xi+1 . . .×Xn) = 0.
Лемма 4.1 доказана.
Определим класс множеств P = {X1∩. . .∩Xn, Xi ∈ Fi, 1 6 i 6 n}. Очевидно,
P — полуалгебра. Определим функцию множеств Q на P равенством
Q(X1 ∩ . . . ∩Xn) = P(X1) . . .P(Xn) = Pn(X1 × . . .×Xn).
В силу леммы 4.1 Q определена корректно. Покажем, что Q — мера на P. Для этого
необходима следующая лемма.
Лемма 4.2. Пусть множества Xk,j ∈ Fj , 1 6 k 6 t, 1 6 j 6 n. Тогда
Pn
(
t⋃
k=1
Xk,1 × . . .×Xk,n
)
6
1
ε
P
(
t⋃
k=1
Xk,1 ∩ . . . ∩Xk,n
)
.
Доказательство. Представим множество
⋃t
k=1
Xk,1 × . . . × Xk,n в виде⋃s
l=1
Yl,1 × . . . × Yl,n, где множества Yl,j ∈ Fj , 1 6 l 6 s, 1 6 j 6 n, и мно-
жества Yl,1 × . . .× Yl,n, l > 1, попарно не пересекаются. Тогда
Pn
(
t⋃
k=1
Xk,1 × . . .×Xk,n
)
= Pn
(
s⋃
l=1
Yl,1 × . . .× Yl,n
)
=
=
s∑
l=1
Pn(Yl,1 × . . .× Yl,n) 6
1
ε
s∑
l=1
P(Yl,1 ∩ . . . ∩ Yl,n) =
=
1
ε
P
(
s⋃
l=1
Yl,1 ∩ . . . ∩ Yl,n
)
=
1
ε
P
(
t⋃
k=1
Xk,1 ∩ . . . ∩Xk,n
)
,
что и требовалось доказать.
Лемма 4.2 доказана.
Теперь покажем, что Q является мерой на P. Предположим, что
A1 ∩ . . . ∩An =
∞⋃
k=1
(Ak,1 ∩ . . . ∩Ak,n),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1402 И. С. ФЕЩЕНКО
где Aj , Ak,j ∈ Fj , 1 6 j 6 n, k > 1, и множества Ak,1 ∩ . . .∩Ak,n, k > 1, попарно
не пересекаются. Определим на Ωn функции
F1(x1, . . . , xn) = IA1
(x1) . . . IAn
(xn), F2(x1, . . . , xn) =
∞∑
k=1
IAk,1
(x1) . . . IAk,n
(xn).
Покажем, что F1 = F2 почти всюду относительно Pn. Для этого предположим, что
для элемента (x1, . . . , xn) F1 6= F2. Возможны следующие варианты:
(1) F1 = 0, F2 > 1,
(2) F1 = 1, F2 > 2,
(3) F1 = 1, F2 = 0.
Множество элементов (x1, . . . , xn), для которых выполнено (1), имеет вид
∞⋃
k=1
n⋃
j=1
(Ak,1 × . . .×Ak,j−1 × (Ak,j \Aj)×Ak,j+1 × . . .×Ak,n),
и в силу леммы 4.1 имеет Pn-меру 0.
Множество элементов (x1, . . . , xn), для которых имеет место второй случай,
вложено в множество⋃
k>l
((Ak,1 ∩Al,1)× . . .× (Ak,n ∩Al,n)),
которое, как следует из неравенства (4.2), имеет Pn-меру 0.
Осталось показать, что множество элементов, для которых имеет место третий
вариант, имеет Pn-меру 0. Это множество равноA1×. . .×An\
⋃∞
k=1Ak,1×. . .×Ak,n.
Имеем
Pn
(
A1 × . . .×An \
∞⋃
k=1
Ak,1 × . . .×Ak,n
)
=
= lim
t→∞
Pn
(
A1 × . . .×An \
t⋃
k=1
Ak,1 × . . .×Ak,n
)
=
= lim
t→∞
Pn
⋃
I1
⋃
...
⋃
In=Nt
(
A1 \
⋃
k∈I1
Ak,1
)
× . . .×
(
An \
⋃
k∈In
Ak,n
) 6
6 lim
t→∞
1
ε
P
⋃
I1
⋃
...
⋃
In=Nt
(
A1 \
⋃
k∈I1
Ak,1
)
∩ . . . ∩
(
An \
⋃
k∈In
Ak,n
) =
= lim
t→∞
1
ε
P
(
A1 ∩ . . . ∩An \
t⋃
k=1
Ak,1 ∩ . . . ∩Ak,n
)
=
= lim
t→∞
1
ε
P
⋃
k>t+1
Ak,1 ∩ . . . ∩Ak,n
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1403
Интегрируя равенство F1 = F2, выполненное почти всюду относительно Pn, по
множеству Ωn и мере Pn, получаем
Q(A1 ∩ . . . ∩An) =
∞∑
k=1
Q(Ak,1 ∩ . . . ∩Ak,n).
Таким образом, мы показали, что Q — мера на P. Q имеет единственное продол-
жение на σ-алгебру G = σa(F1, . . . ,Fn) ⊂ F . При этом P(A) > εQ(A), A ∈ G
(поскольку это неравенство выполнено для множеств A = A1 ∩ . . . ∩ An, Aj ∈
∈ Fj , 1 6 j 6 n). Также отметим, что если ξj является Fj-измеримой случайной
величиной, интегрируемой по P (1 6 j 6 n), то величина ξ1 . . . ξn G-измерима и
интегрируема по мере Q, причем∫
Ω
ξ1 . . . ξn dQ =
∫
Ω
ξ1 dP . . .
∫
Ω
ξn dP.
Теперь легко показать, что H1, . . . ,Hn линейно независимы и их сумма за-
мкнута. Пусть ξj ∈ Hj , 1 6 j 6 n, является Fj-измеримой случайной величиной.
Неравенство
‖ξ1 + . . .+ ξn‖2 > ε(‖ξ1‖2 + . . .+ ‖ξn‖2)
равносильно неравенству∫
Ω
|ξ1 + . . .+ ξn|2 dP > ε
∫
Ω
|ξ1 + . . .+ ξn|2 dQ,
которое, очевидно, выполнено.
Замечание 4.2. Полученный результат можно применить в следующем слу-
чае. Пусть (Ωj ,Gj), 1 6 j 6 n, — измеримое пространство, Ω = Ω1 × . . . × Ωn и
σ-алгебра F = G1 ⊗ . . .⊗ Gn. Определим σ-алгебру
Fj = {Ω1 × . . .× Ωj−1 ×Aj × Ωj+1 × . . .× Ωn, Aj ∈ Gj}
для всех 1 6 j 6 n и маргинальную вероятность Pj на (Ωj ,Gj), 1 6 j 6 n,
равенством
Pj(Aj) = P(Ω1 × . . .× Ωj−1 ×Aj × Ωj+1 × . . .× Ωn), Aj ∈ Gj .
Если существует ε > 0 такое, что для произвольных A1 ∈ G1, . . . , An ∈ Gn
P(A1 × . . .×An) > εP1(A1) . . .Pn(An),
то маргинальные подпространства H1, . . . ,Hn (в данном случае Hj — множество
(классов эквивалентности) случайных величин ξ(x1, . . . , xn) = η(xj), где η Gj-
измерима) линейно независимы, а их сумма является подпространством.
4.2. Свойство обратного наилучшего приближения системы подпрост-
ранств гильбертова пространства. Пусть H — гильбертово пространство, Hi,
1 6 i 6 n, — система его подпространств с соответствующими ортопроекто-
рами Pi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1404 И. С. ФЕЩЕНКО
Определение 4.2. Будем говорить, что n-ка подпространств H1, . . . ,Hn
имеет свойство обратного наилучшего приближения относительно набора ли-
нейных непрерывных операторов Ai : H → H, 1 6 i 6 n, если:
(1) Im(Ai) ⊂ Hi, 1 6 i 6 n,
(2) для произвольных u1 ∈ H1, . . . , un ∈ Hn найдется x ∈ H такой, что
Akx = uk, 1 6 k 6 n.
Системы подпространств, имеющие свойство обратного наилучшего прибли-
жения относительно Ai = Pi, изучаются в [7]. Далее будем предполагать условие
(1) определения 4.2 выполненным.
Определим оператор A : H →
⊕n
k=1Hk равенством Ax = (A1x, . . . , Anx),
x ∈ H, тогда A∗(y1, . . . , yn) =
∑n
k=1A
∗
kyk. Система подпространств Hi, 1 6
6 i 6 n, имеет свойство обратного наилучшего приближения относительно Ai,
1 6 i 6 n, тогда и только тогда, когда Im(A) =
⊕n
k=1Hk. Это равносильно тому,
что A∗ является изоморфным вложением (т. е. ‖A∗y‖ > ε‖y‖, y ∈
⊕n
k=1Hk, для
некоторого ε > 0). Последнее равносильно существованию ε > 0 такого, что для
произвольных yi ∈ Hi, 1 6 i 6 n,∥∥∥∥∥
n∑
k=1
A∗kyk
∥∥∥∥∥ > ε
n∑
k=1
‖yk‖ (4.3)
(мы перешли к эквивалентной норме).
Утверждение 4.4. Система подпространств Hi, 1 6 i 6 n, имеет свойство
обратного наилучшего приближения относительно набора операторов Ai, 1 6
6 i 6 n, тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
(1) A∗k �Hk
— изоморфное вложение,
(2) подпространства A∗k(Hk), 1 6 k 6 n, линейно независимы и их сумма
замкнута.
Доказательство. Необходимость. Из неравенства (4.3) следует, что ‖A∗kyk‖ >
> ε‖yk‖, yk ∈ Hk, т. е. A∗k �Hk
является изоморфным вложением. Поэтому A∗k(Hk)
— подпространство. С помощью неравенства (4.3) легко получить (2).
Достаточность. Из (1) следует, что существует ε1 > 0 такое, что для yk ∈ Hk,
k = 1, 2, . . . , n, выполнено ‖A∗kyk‖ > ε1‖yk‖. Из (2) следует, что существует ε2 > 0
такое, что для произвольных zi ∈ A∗i (Hi), 1 6 i 6 n, выполнено
∥∥∥∑n
i=1
zi
∥∥∥ >
> ε2
∑n
i=1
‖zi‖. Тогда для произвольных yi ∈ Hi, 1 6 i 6 n,
∥∥∥∥∥
n∑
i=1
A∗i yi
∥∥∥∥∥ > ε2
n∑
i=1
‖A∗i yi‖ > ε1ε2
n∑
i=1
‖yi‖,
откуда следует требуемое утверждение.
Утверждение 4.4 доказано.
Утверждение 4.5. Пусть ker(Ak) = ker(A∗k), 1 6 k 6 n. Система подпро-
странств Hk, 1 6 k 6 n, имеет свойство обратного наилучшего приближения
относительно набора операторов Ak, 1 6 k 6 n, тогда и только тогда, когда
выполнены следующие условия:
(1) ak = Ak �Hk
: Hk → Hk, k = 1, 2, . . . , n, обратим,
(2) H1, . . . ,Hn линейно независимы и их сумма замкнута.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1405
Доказательство. Относительно ортогонального разложения H = Hk ⊕ H⊥k
оператор Ak = ak ⊕ 0H⊥k .
Необходимость. Из утверждения 4.4 следует, что a∗k — изоморфное вложение.
Поэтому Im(ak) = Hk. Поскольку ker(Ak) = ker(A∗k), то ker(ak) = ker(a∗k) = 0.
Поэтому ak обратим. Следовательно, a∗k также обратим, Im(a∗k) = Hk. Из утвер-
ждения 4.4 следует, что H1, . . . ,Hn линейно независимы и их сумма замкнута.
Достаточность следует из утверждения 4.4.
Утверждение 4.5 доказано.
Пример 4.8. Пусть Ak = Pk, 1 6 k 6 n. Система подпространств H1, . . . ,Hn
имеет свойство обратного наилучшего приближения относительно Pk, 1 6 k 6 n,
тогда и только тогда, когда H1, . . . ,Hn линейно независимы и их сумма замкнута.
Другие критерии того, что H1, . . . ,Hn имеет свойство обратного наилучшего
приближения относительно Pk, 1 6 k 6 n, см. в [7] (теорема 2.8). Отметим, что
эти критерии следуют непосредственно из приведенного критерия и критериев
замкнутости суммы пары подпространств.
4.3. Спектральные свойства линейной комбинации ортопроекторов на ли-
нейно независимые подпространства H1, . . . ,Hn с суммой H1 + . . .+Hn =
= H . При изучении спектральных свойств линейной комбинации ортопроекторов
будем использовать следующее утверждение.
Утверждение 4.6. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, α1, . . . , αn —
положительные числа. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) для произвольных xi ∈ Hi, 1 6 i 6 n,
‖x1 + . . .+ xn‖2 >
1
α1
‖x1‖2 + . . .+
1
αn
‖xn‖2,
(2) H1, . . . ,Hn линейно независимы и σ(α1P1 + . . .+ αnPn) ∩ (0, 1) = ∅.
Доказательство. (1) ⇒ (2). Очевидно, H1, . . . ,Hn линейно независимы. Для
x ∈ H положим xi = αiPix, 1 6 i 6 n. Тогда( n∑
i=1
αiPi
)2
x, x
> (( n∑
i=1
αiPi
)
x, x
)
.
Поэтому
(∑n
i=1
αiPi
)2
>
∑n
i=1
αiPi, т.е. σ(α1P1 + . . .+ αnPn) ∩ (0, 1) = ∅.
(2)⇒ (1). Ясно, что
∑n
k=1
Hk замкнуто и
∑n
k=1
αkPk > PH1+...+Hn
.Поэтому
H1 + . . . + Hn = Im(α1P1 + . . . + αnPn). Следовательно, для произвольных xi ∈
∈ Hi, 1 6 i 6 n, существует x ∈ H, для которого
(∑n
k=1
αkPk
)
x =
∑n
k=1
xk. Из
линейной независимости H1, . . . ,Hn следует xk = αkPkx, 1 6 k 6 n. Повторяя
рассуждения из доказательства (1) ⇒ (2), завершаем доказательство утвержде-
ния 4.6.
Следствие 4.3. Пусть H1, . . . ,Hn — линейно независимые подпространства
H, α1, . . . , αn, ε — положительные числа. Если α1P1 + . . . + αnPn > εI, то для
произвольных (попарно различных) индексов i(1), . . . , i(s)
αi(1)Pi(1) + . . .+ αi(s)Pi(s) > εPHi(1)+...+Hi(s)
(из следствия 4.1 следует замкнутость Hi(1) + . . .+Hi(s)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1406 И. С. ФЕЩЕНКО
Частный случай следующего утверждения (для α1 = . . . = αn = 1) сформули-
рован в [20].
Утверждение 4.7. Пусть H1, . . . ,Hn — ненулевые линейно независимые под-
пространства H, α1, . . . , αn, ε — положительные числа. Если α1P1 + . . .+αnPn >
> εI, то
α1P1 + . . .+ αnPn 6
(
n∑
i=1
αi − (n− 1)ε
)
I.
Доказательство. Сразу отметим, что для всех 1 6 i 6 n выполнено αi > ε.
Докажем требуемое утверждение индукцией по n. При n = 2 оно следует из
свойств спектра линейной комбинации двух ортопроекторов (см. утверждение 2.8).
Выполним индукционный переход. Пусть α1P1 + . . .+ αn+1Pn+1 > εI. Тогда
α1P1 + . . .+ αnPn > εPH1+...+Hn
,
поэтому из предположения индукции следует, что
α1P1 + . . .+ αnPn 6
(
n∑
i=1
αi − (n− 1)ε
)
PH1+...+Hn
.
Поэтому (
n∑
i=1
αi − (n− 1)ε
)
PH1+...+Hn
+ αn+1Pn+1 > εI.
Из свойств спектра линейной комбинации двух ортопроекторов имеем(
n∑
i=1
αi − (n− 1)ε
)
PH1+...+Hn
+ αn+1Pn+1 6
(
n+1∑
i=1
αi − nε
)
I,
поэтому
α1P1 + . . .+ αn+1Pn+1 6
(
n+1∑
i=1
αi − nε
)
I,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4.7 доказано.
Следствие 4.4. Пусть H1, . . . ,Hn — ненулевые подпространства H, α1, . . .
. . . , αn, ε — положительные числа. Предположим, что α1P1 + . . .+ αnPn > εI и
для некоторых t 6 n− 1 индексов i Hi
⋂∑
j 6=i
Hj = 0. Тогда
α1P1 + . . .+ αnPn 6
(
n∑
i=1
αi − tε
)
I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1407
Доказательство. Можно считать, что индексами из условия являются 1, . . . , t.
Подпространства H1, . . . ,Ht, Ht+1 + . . .+Hn линейно независимы и
α1P1 + . . .+ αtPt +
(
n∑
i=t+1
αi
)
PHt+1+...+Hn
> εI.
Поэтому
α1P1 + . . .+ αtPt +
(
n∑
i=t+1
αi
)
PHt+1+...+Hn
6
(
n∑
i=1
αi − tε
)
I,
что и завершает доказательство следствия 4.4.
4.4. „Сведение” системы подпространств H1, . . . ,Hn к линейно незави-
симой системе подпространств с сохранением суммы подпространств. Пусть
H1, H2 — подпространства гильбертова пространства H. Определим M1 = H1 и
M2 = H2 (H1 ∩H2). Тогда подпространства M1,M2 линейно независимы и сум-
ма M1 + M2 = H1 + H2. Таким образом, имея пару подпространств, мы можем
их „уменьшить” до линейно независимых, не меняя суммы. В этом подпункте мы
докажем аналогичное утверждение для произвольной n-ки подпространств.
Теорема 4.2. Для каждого n > 2 существует постоянная cn, 0 < cn < 1, с
таким свойством: если H1, . . . ,Hn — подпространства H и 0 < ε < 1 такое, что
PH1
+ . . .+PHn
> εI, то существуют подпространства M2, . . . ,Mn такие, что:
(1) Mk ⊂ Hk для всех 2 6 k 6 n,
(2) подпространства H1,M2, . . . ,Mn линейно независимы,
(3) PH1 + PM2 + εPM3 + . . .+ εn−2PMn ≥ cnεn−1I.
Для доказательства теоремы 4.2 нужна следующая лемма.
Лемма 4.3. ПустьH1, H2 — подпространстваH. Для произвольного 0 < ε <
< 1 существует подпространство M2 ⊂ H2 такое, что:
(1) H1 +M2 — подпространство,
(2) 3(PH1
+ PM2
) + εI > PH1
+ PH2
,
(3) PH1
+ PM2
>
ε
4
PH1+M2
.
Доказательство. Достаточно доказать лемму для случая, когда H = K ⊕ K
для некоторого гильбертова пространства K, а ортопроекторы
PH1
=
(
a
√
a(I − a)√
a(I − a) I − a
)
, PH2
=
(
I 0
0 0
)
для некоторого самосопряженного оператора a : K → K, 0 6 a = a∗ 6 I, ker(a) =
= ker(I − a) = 0 (см. подпункт 2.1).
Тогда H1 = {(
√
ax,
√
I − ax), x ∈ K}, H2 = {(x, 0), x ∈ K}. Рассмот-
рим спектральное представление a =
∫
[0,1)
x dE(x). Для числа δ < 1, кото-
рое мы определим позже, определим подпространство K1 = E([0, δ))K. Пусть
q = E([0, δ)). Определим подпространство M2 = {(x, 0), x ∈ K1}. Поскольку
|(
√
ax, x1)| 6
√
δ‖x‖‖x1‖, x ∈ K, x1 ∈ K1, то H1 + M2 — подпространство,
причем PH1
+ PM2
> (1−
√
δ)PH1+M2
>
1− δ
2
PH1+M2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1408 И. С. ФЕЩЕНКО
Так как PM2
=
(
q 0
0 0
)
, неравенство 3(PH1
+PM2
) + εI > PH1
+PH2
равно-
сильно неотрицательности оператора
A =
(
3q + 2a+ (ε− 1)I 2
√
a(I − a)
2
√
a(I − a) 2(I − a) + εI
)
.
Точка λ ∈ σ(A) тогда и только тогда, когда операторный определитель det(λI −A)
не обратим. Операторный определитель имеет вид
λ2I − (3q + (2ε+ 1)I)λ+ (3q + 2a+ (ε− 1)I)(2(I − a) + εI)− 4a(I − a) =
=
∫
[0,1)
(
λ2 − (3 · I[0,δ) + 2ε+ 1)λ+ (3 · I[0,δ) + 2x+ ε− 1)×
×(2(1− x) + ε)− 4x(1− x)) dE(x).
Для доказательства того, что при λ < 0 det(λI − A) обратим, достаточно
доказать, что при x ∈ [0, 1) выполняется неравенство
(3 · I[0,δ) + 2x+ ε− 1)(2(1− x) + ε) > 4x(1− x).
При x ∈ [0, δ) это неравенство имеет вид (2x+ ε+ 2)(2(1−x) + ε) > 4x(1−x)
и является очевидным.
При x ∈ [δ, 1) рассматриваемое неравенство имеет вид (2x− (1−ε))(2(1−x)+
+ ε) > 4x(1 − x), т. е. x > 1 − ε
2
− ε2
2
. Поэтому, выбрав δ = 1 − ε
2
, будем иметь
нужное. Осталось заметить, что при таком δ выполнено PH1
+ PM2
>
ε
4
PH1+M2
.
Лемма 4.3 доказана.
Доказательство теоремы 4.2 проведем индукцией по n. При n = 2 подой-
дет c2 =
1
2
. Выполним шаг индукции. Пусть мы имеем n ≥ 3 подпространств
H1, . . . ,Hn таких, что PH1
+ . . .+ PHn
> εI. Пусть H ′2 = H2 (H1 ∩H2). Тогда
PH1
+ PH′2 + . . .+ PHn
>
ε
2
I.
Из леммы 4.3 следует, что существует подпространство M2 ⊂ H ′2 такое, что
H1 + M2 — подпространство, 3(PH1 + PM2) +
ε
4
I > PH1 + PH′2 и PH1 + PM2 >
>
ε
16
PH1+M2
. Тогда
PH1
+ PM2
+ PH3
+ . . .+ PHn
>
ε
12
I,
а потому
PH1+M2 + PH3 + . . .+ PHn >
ε
24
I.
Используем предположение индукции для набора подпространств (H1 + M2),
H3, . . . ,Hn. Существуют подпространства Mk ⊂ Hk, 3 6 k 6 n, такие, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1409
(H1 +M2),M3, . . . ,Mn линейно независимы и PH1+M2
+
∑n
k=3
( ε
24
)k−3
PMk
>
> cn−1
( ε
24
)n−2
I. Домножая обе части на ε/16, имеем
PH1
+ PM2
+
n∑
k=3
εk−2
16 · 24k−3
PMk
> cn−1
( ε
24
)n−2 ε
16
I.
Поэтому можно положить cn =
cn−1
16 · 24n−2
.
Теорема 4.2 доказана.
Следствие 4.5. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, сумма которых
H1 + . . .+Hn = H. Тогда существуют подпространства Mk, 2 6 k 6 n, такие,
что:
(1) Mk ⊂ Hk для всех 2 6 k 6 n,
(2) H1,M2, . . . ,Mn линейно независимы,
(3) H1 +M2 + . . .+Mn = H.
Следствие 4.6. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, причем H1 + . . .
. . . + Hn = H, и ∆ — подпространство в H. Тогда существуют линейно незави-
симые подпространства Mj , 1 6 j 6 n, такие, что:
(1) Mj ⊂ Hj для всех 1 6 j 6 n,
(2) M1 + . . .+Mn — подпространство,
(3) M1 + . . .+Mn + ∆ = H,
(4) (M1 + . . .+Mn)
⋂
∆ = 0.
Доказательство. Из следствия 4.5 для набора подпространств ∆, H1, . . . ,Hn
получим нужное утверждение.
Следующее утверждение показывает, что в следствии 4.5 подпространства мож-
но заменить на образы линейных непрерывных операторов.
Следствие 4.7. Пусть K1, . . . ,Kn — гильбертовы пространства, ai : Ki →
→ H, 1 6 i 6 n, — линейные непрерывные операторы, причем Im(a1) + . . .
. . .+ Im(an) = H. Тогда существуют линейно независимые подпространства Mj ,
1 6 j 6 n, такие, что Mj ⊂ Im(aj), 1 6 j 6 n, и сумма M1 + . . .+Mn = H.
Доказательство. Im(a1) +
(∑
i 6=1
Im(ai)
)
= H. Из теоремы 2.4 работы [10]
(см. также подпункт 5.1) следует, что существует подпространство H1 ⊂ Im(a1)
такое, что H1 + Im(a2) + . . .+ Im(an) = H. Рассуждая аналогично, находим набор
подпространств H2 ⊂ Im(a2), . . . ,Hn ⊂ Im(an) таких, что H1 + . . . + Hn = H.
Осталось воспользоваться следствием 4.5.
Следствие 4.7 доказано.
Теперь мы докажем, что произвольную n-ку подпространств можно „умень-
шить” до линейно независимой n-ки с сохранением суммы подпространств. Введем
необходимые обозначения. Для подпространств H1, . . . ,Hn определим гильберто-
во пространство H̃ = H1⊕ . . .⊕Hn и в нем подпространства ∆0 =
{
(x1, . . . , xn),∑n
k=1
xk = 0
}
и H̃k = {(0, . . . , 0, x︸︷︷︸
k
, 0 . . . , 0), x ∈ Hk}, 1 6 k 6 n.
Теорема 4.3. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H. Тогда существуют
подпространства Mj ⊂ Hj , 2 6 j 6 n, такие, что:
(1) H1,M2, . . . ,Mn линейно независимы,
(2) H1 +M2 + . . .+Mn = H1 + . . .+Hn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1410 И. С. ФЕЩЕНКО
Замечание 4.3. Эта теорема означает следующее: можно не „уменьшать”
H1, а „уменьшить” подпространства H2, . . . ,Hn так, что сумма не изменится, но
„уменьшенные” подпространства уже линейно независимы.
Доказательство. Заметим, что ∆0 ∩ H̃1 = 0 и ∆0 + H̃1 =
{
(x1, . . . , xn),∑n
i=1
xi ∈ H1
}
замкнуто в H̃.Используя следствие 4.5 для набора подпространств
∆0+H̃1, H̃2, . . . , H̃n, убеждаемся, что существуют подпространстваMk ⊂ Hk, 2 6
6 k 6 n, такие, что
(H1 ⊕M2 ⊕ . . .⊕Mn) ∩∆0 = 0, (H1 ⊕M2 ⊕ . . .⊕Mn) + ∆0 = H̃.
Тогда H1,M2, . . . ,Mn линейно независимы и H1 +M2 + . . .+Mn = H1 + . . .+Hn.
Теорема 4.3 доказана.
Теперь естественно возникает следующий вопрос: пусть для некоторого m < n
подпространства H1, . . . ,Hm линейно независимы. Можно ли „уменьшить” толь-
ко Hm+1, . . . ,Hn, чтобы сумма не изменилась, но „уменьшенные” пространства
были линейно независимы? В связи с этим вопросом дадим следующее опреде-
ление. (Систему подпространств H1, . . . ,Hn пространства H будем обозначать
S = (H;H1, . . . ,Hn).)
Определение 4.3. Для m 6 n определим RPS(H,m, n) (reduction preserving
sum) как множество n-ок подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn), для которых
существуют подпространства Mj ⊂ Hj , m+ 1 6 j 6 n, такие, что:
(1) H1, . . . ,Hm,Mm+1, . . . ,Mn линейно независимы,
(2) H1 + . . .+Hm +Mm+1 + . . .+Mn = H1 + . . .+Hn.
Замечание 4.4. Если S ∈ RPS(H,m, n), то H1, . . . ,Hm линейно независимы.
Мы изучим некоторые свойства классов RPS(H,m, n). Из теоремы 4.3 следует,
что RPS(H, 1, n) совпадает с множеством n-ок подпространств H, кроме того,
очевидно, RPS(H,n, n) совпадает с множеством n-ок подпространств, для которых
H1, . . . ,Hn линейно независимы. Далее m < n.
Используя следствие 4.1 и теорему 4.3, легко получить следующее утверждение.
Утверждение 4.8. ПустьH1+. . .+Hn — подпространство. S ∈ RPS(H,m, n)
тогда и только тогда, когда H1, . . . ,Hm линейно независимы и H1 + . . .+Hm —
подпространство.
Утверждение 4.9. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) S ∈ RPS(H,m, n),
(2) H1, . . . ,Hm линейно независимы и ∆0 + H̃1 + . . .+ H̃m — подпространство
в H̃,
(3) существует ε > 0 такое, что для произвольных yj ∈ Hj , 1 6 j 6 n,∑n
j=1
yj = 0 выполнено
‖ym+1‖+ . . .+ ‖yn‖ > ε(‖y1‖+ . . .+ ‖ym‖).
Доказательство. (1) ⇒ (2). Пусть S ∈ RPS(H,m, n). Для соответствующих
подпространств Mj , m + 1 6 j 6 n (см. определение 4.3), обозначим M̃j =
= {(0, . . . , 0, x︸︷︷︸
j
, 0, . . . , 0), x ∈ Mj}. Тогда подпространства ∆0, H̃1, . . . , H̃m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1411
M̃m+1, . . . , M̃n линейно независимы и их сумма равна H̃. Из следствия 4.1 следует,
что ∆0 + H̃1 + . . .+ H̃m — подпространство в H̃.
(2) ⇒ (1). Пусть H1, . . . ,Hm линейно независимы и ∆0 + H̃1 + . . . + H̃m
замкнуто в H̃. Применив теорему 4.3 к набору подпространств (∆0 + H̃1 + . . .
. . . + H̃m), H̃m+1, . . . , H̃n, убедимся, что существуют подпространства Mj ⊂ Hj ,
m+ 1 6 j 6 n, для которых
(H1 ⊕ . . .⊕Hm ⊕Mm+1 ⊕ . . .⊕Mn) ∩∆0 = 0
и
(H1 ⊕ . . .⊕Hm ⊕Mm+1 ⊕ . . .⊕Mn) + ∆0 = H̃.
Эти Mj , m+ 1 6 j 6 n, являются требуемыми.
(2)⇔ (3). H1, . . . ,Hm линейно независимы и сумма ∆0 +H̃1 + . . .+H̃m — под-
пространство тогда и только тогда, когда ∆0∩
(∑m
i=1
H̃i
)
= 0 и ∆0 +
(∑m
i=1
H̃i
)
замкнуто в H̃. В силу утверждения 2.3 последнее равносильно существованию
такого ε1 > 0, что для произвольного (y1, . . . , yn) ∈ ∆0 выполнено (нам удобнее
перейти к эквивалентной норме)
n∑
j=m+1
‖yj‖ > ε1
n∑
i=1
‖yi‖.
Отсюда следует, что (2)⇔ (3).
Утверждение 4.9 доказано.
Отметим, что
∆0 + H̃1 + . . .+ H̃m =
(x1, . . . , xn) ∈ H̃,
n∑
j=m+1
xj ∈ H1 + . . .+Hm
.
Следствие 4.8. Если H1, . . . ,Hm линейно независимы и (H1 + . . . + Hm) ∩
∩ (Hm+1 + . . .+Hn) замкнуто в Hm+1 + . . .+Hn, то S ∈ RPS(H,m, n).
Следствие 4.9. S ∈ RPS(H,n − 1, n) тогда и только тогда, когда H1, . . .
. . . , Hn−1 линейно независимы и Hn ∩ (H1 + . . .+Hn−1) — подпространство.
Следствие 4.10. Пусть для двух систем подпространств S = (H;H1, . . .
. . . , Hn), S′ = (H;H ′1, . . . ,H
′
n) Hk ⊂ H ′k, 1 6 k 6 n. Если S′ ∈ RPS(H,m, n), то
и S ∈ RPS(H,m, n).
Следствие 4.11. Если S ∈ RPS(H,m, n),то для любого l 6 m и 1 6 r 6 n−m
система подпространств S′ = (H;H1, . . . ,Hl, Hm+1, . . . ,Hm+r) ∈ RPS(H, l, l +
+ r).
Следствие 4.12. Если S ∈ RPS(H,m, n), то для любого m + 1 6 j 6 n
Hj ∩ (H1 + . . .+Hm) — подпространство.
Утверждение 4.10. Пусть множество {m + 1, . . . , n} разбито на подмно-
жества Ik, 1 6 k 6 r. Тогда:
(1) если S′ =
(
H;H1, . . . ,Hm,
∑
j∈I1
Hj , . . . ,
∑
j∈Ir
Hj
)
∈ RPS(H,m,m +
+ r), то S ∈ RPS(H,m, n),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1412 И. С. ФЕЩЕНКО
(2) пусть для всех 1 6 k 6 r
∑
j∈Ik
Hj — подпространство; eсли S ∈
∈ RPS(H,m, n), то S′ =
(
H;H1, . . . ,Hm,
∑
j∈I1
Hj , . . . ,
∑
j∈Ir
Hj
)
∈ RPS(H,
m,m+ r).
Доказательство. Докажем (1). Для доказательства нужного утверждения ис-
пользуем утверждение 4.9. Пусть yj ∈ Hj , 1 6 j 6 n,
∑n
j=1
yj = 0. Для всех
1 6 k 6 r
∑
j∈Ik
‖yj‖ >
∥∥∥∑
j∈Ik
yj
∥∥∥ . Отсюда легко получаем, что S ∈
∈ RPS(H,m, n).
Докажем (2). Пусть для всех 1 6 k 6 r сумма
∑
j∈Ik
Hj является подпро-
странством, S ∈ RPS(H,m, n). Для всех 1 6 k 6 r существуют подпространства
Kj ⊂ Hj , j ∈ Ik, такие, что Kj , j ∈ Ik, линейно независимы и сумма
∑
j∈Ik
Kj =
=
∑
j∈Ik
Hj . Тогда n-ка S′′ = (H;H1, . . . ,Hm,Km+1, . . . ,Kn) ∈ RPS(H,m, n).
Для любого 1 6 k 6 r существует εk > 0 такое, что для произвольных yj ∈ Kj , j ∈
∈ Ik, выполняется
∥∥∥∑
j∈Ik
yj
∥∥∥ > εk
(∑
j∈Ik
‖yj‖
)
. Используя утверждение 4.9,
убеждаемся что
(
H;H1, . . . ,Hm,
∑
j∈I1
Kj , . . . ,
∑
j∈Ir
Kj
)
∈ RPS(H,m,m+r),
что и требовалось доказать.
Утверждение 4.10 доказано.
Следствие 4.13. ПустьHm+1 +. . .+Hn — подпространство. S ∈ RPS(H,m,
n) тогда и только тогда, когдаH1, . . . ,Hm линейно независимы и (H1+. . .+Hm)∩
∩ (Hm+1 + . . .+Hn) — подпространство.
5. Замкнутость суммы образов операторов. В этом пункте рассмотрим более
общий объект, чем систему подпространств, — систему образов линейных непре-
рывных операторов. Отметим, что изучение таких систем не сводится к изучению
системы линеалов в H, так как в бесконечномерном гильбертовом пространстве
есть линеалы, отличные от образов линейных непрерывных операторов (см. [10]).
Рассмотрение системы подпространств Hi, 1 6 i 6 n, как системы Hi =
= Im(PHi
), 1 6 i 6 n, позволит получить критерии замкнутости суммы подпро-
странств, а также изучить некоторые свойства сумм подпространств H.
5.1. Теорема Р. Дугласа и ее следствия.
Теорема 5.1 [9]. Пусть H,H1, H2 — гильбертовы пространства, A : H1 →
→ H, B : H2 → H — линейные непрерывные операторы. Тогда следующие условия
эквивалентны:
(1) Im(A) ⊂ Im(B),
(2) существует λ > 0 такое, что AA∗ 6 λBB∗,
(3) существует линейный непрерывный оператор C : H1 → H2 такой, что
A = BC.
Кроме того, при выполнении (1) оператор C может быть выбран так, что
kerC = kerA, Im(C) ⊂ (kerB)⊥.
Следствие 5.1. ПустьA : H1 → H — линейный непрерывный оператор. Тогда
Im(A) = Im(
√
AA∗).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1413
Следствие 5.2. Пусть H,H1, . . . ,Hn — гильбертовы пространства, ak :
Hk → H, 1 ≤ k ≤ n, — линейные непрерывные операторы. Тогда
∑n
k=1
Im(ak) =
= Im
(√∑n
k=1
aka
∗
k
)
.
Доказательство. Определим оператор A : H1 ⊕ . . . ⊕ Hn → H равенством
A(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn. Блочная запись A имеет вид (a1, . . . , an),
поэтому A∗ = (a∗1, . . . , a
∗
n)>. Отсюда AA∗ =
∑n
k=1
aka
∗
k. Осталось заметить, что∑n
k=1
Im(ak) = Im(A) = Im(
√
AA∗).
Следствие 5.2 доказано.
Следствие 5.3. ПустьH1, . . . ,Hn — подпространстваH, P1, . . . , Pn — соот-
ветствующие ортопроекторы. Тогда сумма H1 + . . .+Hn = Im(
√
P1 + . . .+ Pn).
Отсюда следует, что сумма H1 + . . .+Hn замкнута тогда и только тогда, когда
σ(P1 + . . .+ Pn) ∩ (0, ε) = ∅ для некоторого ε > 0.
Утверждение 5.1. Пусть ak : H → H, 1 6 k 6 n, — неотрицательные
самосопряженные операторы в H. Тогда следующие условия равносильны:
(1) Im(a1) + . . .+ Im(an) замкнуто,
(2) для некоторого ε > 0 σ(a1 + . . .+ an) ∩ (0, ε) = ∅.
При выполнении этих условий (одного из этих условий)
∑n
k=1
Im(ak) =
= Im
(∑n
k=1
ak
)
.
Доказательство. Определим подпространства H1 =
∑n
k=1
Im(ak), H2 =
=
⋂n
k=1
ker(ak). Тогда H = H1 ⊕H2. Относительно этого ортогонального разло-
жения пространства H оператор ai = bi ⊕ 0, где bi : H1 → H1 — неотрицательный
самосопряженный оператор. Ясно, что
⋂n
k=1
ker(bi) = 0.
1. Пусть
∑n
k=1
Im(ak) замкнута. Тогда
∑n
k=1
Im(bk) замкнута. Поскольку⋂n
k=1
ker(bk) = 0, то
∑n
k=1
Im(bk) плотно в H1. Поэтому
∑n
k=1
Im(bk) = H1,
т. е. Im(
√
b21 + . . .+ b2n) = H1. Тогда b21 + . . .+ b2n > ε1IH1
для некоторого ε1 > 0.
Поскольку ‖bi‖bi > b2i , то b1 + . . . + bn > ε2IH1 для некоторого ε2 > 0. Поэтому
σ
(∑n
k=1
ak
)
∩ (0, ε2) = ∅ и Im(a1 + . . .+ an) = H1, что и требовалось доказать.
2. Пусть σ(a1 + . . . + an) ∩ (0, ε) = ∅ для некоторого ε > 0. Тогда σ(b1 + . . .
. . .+bn)∩(0, ε) = ∅. Поскольку ker(b1+. . .+bn) = 0, то 0 /∈ σ(b1+. . .+bn), поэтому
b1 + . . .+ bn > εIH1
. Следовательно, Im(a1 + . . .+ an) = H1 =
∑n
k=1
Im(ak).
Утверждение 5.1 доказано.
Пример 5.1. Пусть a1, . . . , an — неотрицательные операторы в H, причем
для произвольного 1 6 k 6 n Im(ak) — подпространство. Определим оператор
C = a1 + . . .+ an. Предположим, что Cak = akC, 1 6 k 6 n. Тогда Im(a1) + . . .
. . .+ Im(an) — подпространство.
Доказательство. Существует ε > 0 такое, что σ(ak)
⋂
(0, ε) = ∅ для всех
1 6 k 6 n. Поскольку C > ak и Cak = akC, то Cak > a2
k > εak, 1 6 k 6 n.
Прибавив полученные неравенства, получим C2 > εC, откуда σ(C)
⋂
(0, ε) = ∅.
5.2. Различные критерии замкнутости
∑n
k=1
Im(Ti). В этом подпункте
T1, . . . , Tn — неотрицательные операторы в H, причем ‖Tk‖ < 2, 1 6 k 6 n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1414 И. С. ФЕЩЕНКО
Определим E = (I − Tn) . . . (I − T1). Лемма 5.1 следует из лемм 3.3, 3.10 рабо-
ты [16].
Лемма 5.1. Пусть ‖Tk‖ 6 ω < 2, 1 6 k 6 n. Тогда для любого x ∈ H
2 + ω2n(n− 1)
2− ω
(‖x‖2 − ‖Ex‖2) >
n∑
k=1
(Tkx, x).
Следующая лемма следует из леммы 5.1, но мы приведем непосредственное
доказательство.
Лемма 5.2. Если ‖Ex‖ = ‖x‖ для некоторого x ∈ H, то Tkx = 0, 1 6 k 6 n.
Доказательство. Отметим, что для неотрицательного оператора T с нормой
‖T‖ < 2 и для произвольного x ∈ H ‖(I−T )x‖ 6 ‖x‖. Если ‖(I−T )x‖ = ‖x‖, то
Tx = 0. Действительно, пусть ‖(I − T )x‖ = ‖x‖. Тогда ‖x− Tx‖2 = ‖x‖2, откуда
‖Tx‖2 = 2(Tx, x). Поскольку ‖Tx‖2 6 ‖T‖(Tx, x), то (Tx, x) = 0, Tx = 0.
Предположим, что ‖Ex‖ = ‖x‖. Поскольку ‖Ex‖ 6 ‖(I − T1)x‖ 6 ‖x‖, то
‖(I − T1)x‖ = ‖x‖, откуда T1x = 0. Тогда Ex = (I − Tn) . . . (I − T2)x. Продолжая
аналогичные рассуждения, получаем T2x = . . . = Tnx = 0.
Лемма 5.2 доказана.
Обобщая определение работы [26] на бесконечномерный случай, дадим следу-
ющее определение.
Определение 5.1. Пусть A1, . . . , An — линейные непрерывные операторы в
H, 1 6 p <∞. p-Радиусом набора операторов A1, . . . , An назовем число
ρ̂p(A1, . . . , An) = lim
k→∞
(
1
nk
∑
‖Ai(1) . . . Ai(k)‖p
)1/pk
,
где сумма берется по всем наборам индексов 1 6 i(1), . . . , i(k) 6 n.
Определение корректно. Действительно, определим ak,p =
( 1
nk
∑
‖Ai(1) . . .
. . . Ai(k)‖p
)1/p
. Ясно, что ak+l,p 6 ak,pal,p, k, l > 1. Поэтому существует
limk→∞ a
1/k
k,p . Различные свойства p-радиуса для операторов в конечномерном гиль-
бертовом пространстве, а также его применения содержатся в работе [26]. Мы
сформулируем условие замкнутости суммы образов операторов T1, . . . , Tn в тер-
минах p-радиуса набора операторов I − T1, . . . , I − Tn.
Утверждение 5.2. Пусть 1 6 p < ∞. Сумма Im(T1) + . . . + Im(Tn) = H
тогда и только тогда, когда ρ̂p(I − T1, . . . , I − Tn) < 1.
Доказательство. 1. Пусть Im(T1)+ . . .+ Im(Tn) 6= H. Тогда для произвольного
набора индексов i(1), . . . , i(k) норма ‖(I−Ti(1)) . . . (I−Ti(k))‖ = 1. Действительно,
если ‖(I − Ti(1)) . . . (I − Ti(k))‖ < 1, то оператор I − (I − Ti(1)) . . . (I − Ti(k))
обратим, а потому Im(T1) + . . . + Im(Tn) = H. Пришли к противоречию. Отсюда
ρ̂p(I − T1, . . . , I − Tn) = 1.
2. Пусть теперь Im(T1) + . . . + Im(Tn) = H. Тогда T1 + . . . + Tn > εI для
некоторого ε > 0. Из леммы 5.1 следует, что ‖(I − Tn) . . . (I − T1)‖ < 1. Поэтому
an,p(I − T1, . . . , I − Tn) < 1. Для всех k > 1 akn,p 6 akn,p, a
1/kn
kn,p 6 a
1/n
n,p . Переходя
к границе при k →∞, получаем ρ̂p(I − T1, . . . , I − Tn) 6 a1/n
n,p < 1.
Утверждение 5.2 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1415
Сформулируем условие замкнутости суммы образов операторов в терминах
порожденной ими C∗-алгебры. Пусть B(H) — множество всех линейных непре-
рывных операторов в H. Пусть A(T1, . . . , Tn) — алгебра, порожденная T1, . . .
. . . , Tn, и C∗(T1, . . . , Tn) — замыкание A(T1, . . . , Tn) в B(H).
Утверждение 5.3. Ортопроектор PIm(T1)+...+Im(Tn)
∈ C∗(T1, . . . , Tn) тогда
и только тогда, когда Im(T1) + . . .+ Im(Tn) — подпространство.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
∑n
k=1
Im(Tk)
плотно в H.
1. Пусть Im(T1) + . . .+ Im(Tn) = H. Тогда ‖(I − Tn) . . . (I − T1)‖ < 1, поэтому
I − ((I − Tn) . . . (I − T1))k → I, k →∞. Отсюда I ∈ C∗(T1, . . . , Tn).
2. Пусть теперь I ∈ C∗(T1, . . . , Tn). Существует элемент a ∈ A(T1, . . . , Tn)
такой, что ‖I − a‖ < 1. Тогда a обратим. Следовательно, Im(a) = H, а значит, и
Im(T1) + . . .+ Im(Tn) = H.
Утверждение 5.3 доказано.
Замечание 5.1. Из приведенного доказательства следует, что I ∈ C∗(T1, . . .
. . . , Tn) тогда и только тогда, когда
∑n
k=1
Im(Tk) = H. Это верно для произ-
вольных неотрицательных Tk (не обязательно ‖Tk‖ < 2). Действительно, вместо
операторов Tk можно рассмотреть операторы λTk, где λ > 0 таково, что λ‖Tk‖ < 2,
1 6 k 6 n.
Следствие 5.4. Пусть алгебра A = A(T1, . . . , Tn) конечномерна. Определим
T =
∑n
k=1
Tk. Поскольку A конечномерна, то для некоторого ненулевого полино-
ма F F (T ) = 0. Поэтому σ(T ) конечен. Тогда
∑n
k=1
Im(Tk) замкнуто, кроме то-
го, C∗(T1, . . . , Tn) = A(T1, . . . , Tn). Поэтому PIm(T1)+...+Im(Tn) ∈ A(T1, . . . , Tn).
Из утверждений 5.3 и 2.4 вытекает следующий критерий замкнутости суммы
подпространств.
Утверждение 5.4. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, натуральное
m 6 n − 1. Предположим, что оператор PiPj компактный для всех 1 6 i 6 m,
m + 1 6 j 6 n. Если H1 + . . . + Hm, Hm+1 + . . . + Hn — подпространства, то
H1 + . . .+Hn — подпространство, причем
PH1+...+Hn
= PH1+...+Hm
+ PHm+1+...+Hn
(mod S∞(H)).
Как показывает следующий пример, обратное утверждение неверно.
Пример 5.2. В гильбертовом пространстве H = l2
⊕
l2 рассмотрим подпро-
странства H1, H2, H3, ортопроекторы на которые
P1 =
(
0 0
0 I
)
, P2 =
(
I 0
0 0
)
, P3 =
(
I − a2 a
√
(I − a2)
a
√
(I − a2) a2
)
,
где самосопряженный a : l2 → l2, 0 6 a 6 I, ker(a) = 0 и a компактный. Тог-
да операторы P1P2, P1P3 компактны, H1 + H2 + H3 = H, но H2 + H3 — не
подпространство.
5.3. Образы элементов алгебры, порожденной T1, . . . , Tn. Для последова-
тельности I = (i(1), . . . , i(k)), 1 6 i(r) 6 n, 1 6 r 6 k, определим оператор
EI = (I−Ti(1)) . . . (I−Ti(k)).Определим последовательность I∗ = (i(k), . . . , i(1)),
тогда E∗I = EI∗ . Далее будем рассматривать оператор T =
∑
I∈U
αIEI , где все
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1416 И. С. ФЕЩЕНКО
αI > 0, I ∈ U (здесь U — некоторое множество последовательностей). Мы пред-
полагаем, что для любого 1 6 l 6 n найдется последовательность I ∈ U , в которой
встречается l.
Утверждение 5.5. Следующие условия равносильны:
(1)
∑n
k=1
Im(Tk) замкнуто,
(2) Im
((∑
I∈U
αI
)
I − T
)
замкнуто.
При выполнении этих условий (одного из этих условий)
∑n
k=1
Im(Tk) =
= Im
((∑
I∈U
αI
)
I − T
)
.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
∑n
k=1
Im(Tk)
плотно в H.
1. Пусть Im(T1) + . . . + Im(Tn) = H. Тогда T1 + . . . + Tn > εI для некоторого
ε > 0. Возьмем произвольный x ∈ H. Из леммы 5.1 следует, что для любого
I ∈ U существует mI > 0, не зависящее от x, такое, что mI(‖x‖2 − ‖EIx‖2) >
>
∑
i∈I
(Tix, x). Прибавим эти неравенства. Тогда
∑
I∈U
mI(‖x‖2 − ‖EIx‖2) >
> ε‖x‖2. Поэтому существует J ∈ U (зависящее от x), для которого mJ (‖x‖2 −
− ‖EJ x‖2) >
ε
|U|
‖x‖2, т. е. ‖EJ x‖ 6
√
1− ε
mJ |U|
‖x‖. Поэтому
‖Tx‖ 6
∑
I6=J
αI + αJ
√
1− ε
mJ |U|
‖x‖.
ПосколькуJ = J (x) ∈ U , то ‖T‖ <
∑
I∈U
αI , поэтому оператор
(∑
I∈U
αI
)
I−
− T обратим, откуда следует нужное.
2. Пусть теперь Im
((∑
I∈U
αI
)
I − T
)
— подпространство. Обозначим A =
=
(∑
I∈U
αI
)
I−T. Покажем, что ker(A∗) = 0. Действительно, пусть x ∈ kerA∗.
Поскольку все αI > 0, I ∈ U , то для любого I ∈ U ‖EI∗x‖ = ‖x‖. Из леммы 5.2
получаем x ∈
⋂
i∈I
kerTi. Поэтому x ∈
⋂n
i=1
kerTi, т.е. x = 0. Итак, kerA∗ = 0,
поэтому Im(A) = H. Поскольку A принадлежит алгебре, порожденной T1, . . . , Tn,
то Im(T1) + . . .+ Im(Tn) = H.
Утверждение 5.5 доказано.
После этого утверждения естественно возникает вопрос: следует ли из равен-
ства Im(T1) + . . . + Im(Tn) = Im
((∑
I∈U
αI
)
I − T
)
замкнутость Im(T1) + . . .
. . .+ Im(Tn)? Всегда Im(T1) = Im(I− (I−T1)), но Im(T1) не обязательно замкнут.
Поэтому естественно наложить на операторы Ti, 1 6 i 6 n, дополнительное усло-
вие, состоящее в том, что Im(Ti) замкнут для всех 1 6 i 6 n.
Для изучения этого вопроса нам понадобятся вспомогательные результаты.
Лемма 5.3. Пусть M — гильбертово пространство, a, b ∈ B(M), c = aba∗.
Если Im(c) = Im(a), то Im(c) ⊃ (ker(c))⊥.
Доказательство. Из теоремы Р. Дугласа следует, что a = cd, где Im(d) ⊂
⊂ (ker(c))⊥. Тогда c = cdba∗, c(I−dba∗) = 0. Для произвольного x ∈M x = (I−
−dba∗)x+dba∗x, при этом (I−dba∗)x ∈ ker(c), dba∗x ∈ (ker(c))⊥.Поэтому dba∗ =
= P(ker(c))⊥ — ортопроектор на (ker(c))⊥. Поскольку ортопроектор самосопряжен,
то ab∗d∗ = P(ker(c))⊥ , откуда (ker(c))⊥ ⊂ Im(a) = Im(c).
Лемма 5.3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1417
Для гильбертовых пространств H,H ′ обозначим через B(H,H ′) множество
всех линейных непрерывных операторов из H в H ′. Пусть M1, . . . ,Mn,M — гиль-
бертовы пространства, ai ∈ B(Mi,M) — набор линейных непрерывных операторов.
Определим
M(a1, . . . , an) =
∑
16i,j6n
aiai,ja
∗
j , ai,j ∈ B(Mj ,Mi), 1 6 i, j 6 n
⊂ B(M).
Отметим, чтоM(a1, . . . , an) — ∗-алгебра. Из теоремы Р. Дугласа следует, что если
набор операторов ãk ∈ B(M̃k,M), 1 6 k 6 n, такой, что Im(ãk) = Im(ak), 1 6
6 k 6 n, тоM(a1, . . . , an) =M(ã1, . . . , ãn).
Лемма 5.4. Пусть оператор a ∈ M(a1, . . . , an) и Im(a) =
∑n
k=1
Im(ak).
Тогда Im(a) ⊃ (ker a)⊥.
Доказательство. Определим b =
(∑n
k=1
aka
∗
k
)1/2
, тогда Im(b) =
=
∑n
k=1
Im(ak) ⊃ Im(ai). Из теоремы Р. Дугласа следует, что ai = bbi, 1 6 i 6 n,
где bi ∈ B(Mi,M). Тогда a∗i = b∗i b. Поэтому a = b
(∑
i,j
biai,jb
∗
j
)
b. Из леммы 5.3
следует Im(a) ⊃ (ker(a))⊥.
Лемма 5.4 доказана.
Следствие 5.5. Пусть в условиях леммы 5.4 ker a = ker a∗ (это выполнено,
например, если a нормальный). Тогда Im(a) =
∑n
k=1
Im(ak) замкнут.
Утверждение 5.6. Пусть
∑n
k=1
Im(Tk) =
((∑
I∈U
αI
)
I − T
)
и для всех
1 6 k 6 n образ Im(Tk) замкнут. Тогда
∑n
k=1
Im(Tk) замкнуто.
Доказательство. Пусть A =
(∑
I∈U
αI
)
I−T. Поскольку Im(Tk) замкнут, то
Im(Tk) = Im(T
1/2
k ). Ясно, что A ∈M(T
1/2
1 , . . . , T
1/2
n ). Аналогично доказательству
второй части утверждения 5.5 можно показать, что kerA =
⋂n
k=1
kerTk. Теперь
из леммы 5.4 следует Im(A) ⊃ Im(A), что означает замкнутость Im(A).
Утверждение 5.6 доказано.
Пример 5.3. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, P1, . . . , Pn — соот-
ветствующие ортопроекторы. Следующие утверждения равносильны:
(1) Im(I − (I − Pn) . . . (I − P1)) =
∑n
k=1
Hk,
(2)
∑n
k=1
Hk замкнуто.
Используя лемму 5.4, можем сформулировать следующий критерий замкнуто-
сти суммы образов операторов.
Утверждение 5.7. Пусть ak ∈ B(Mk,M), 1 6 k 6 n. Сумма
∑n
k=1
Im(ak)
замкнута тогда и только тогда, когда (a1a
∗
1 + . . .+ ana
∗
n)1/2 ∈M(a1, . . . , an).
Доказательство. 1. Пусть сначала a = (a1a
∗
1 + . . .+ana
∗
n)1/2 ∈M(a1, . . . , an).
Поскольку Im(a) =
∑n
k=1
Im(ak) и ker a = (Im(a))⊥ (так как a самосопряжен), то
из леммы 5.4 получим Im(a) ⊃ Im(a), т. е. Im(a) — подпространство.
2. Пусть теперь сумма
∑n
k=1
Im(ak) — подпространство. Рассмотрев операторы
bk = (aka
∗
k)1/2, можем сразу считать, что операторы ak принадлежат B(M), само-
сопряжены и неотрицательны. Кроме того, можно считать, что
∑n
k=1
Im(ak) = H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1418 И. С. ФЕЩЕНКО
Тогда оператор a2
1 + . . .+ a2
n обратим. Поэтому
(a2
1 + . . .+ a2
n)
1
2 = (a2
1 + . . .+ a2
n)(a2
1 + . . .+ a2
n)−
3
2 (a2
1 + . . .+ a2
n) =
=
∑
16i,j6n
a2
i (a
2
1 + . . .+ a2
n)−
3
2 a2
j ∈M(a1, . . . , an).
Утверждение 5.7 доказано.
Следствие 5.6. ПустьH1, . . . ,Hn — подпространстваH, P1, . . . , Pn — соот-
ветствующие ортопроекторы. Сумма
∑n
k=1
Hk замкнута тогда и только тогда,
когда
(∑n
k=1
Pk
)1/2
∈M(P1, . . . , Pn).
5.4. Критерии замкнутости суммы подпространств в терминах Im(A),
где A =
∑
i,j
αi,jPiPj, αi,j ∈ C . Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H с
соответствующими ортопроекторами P1, . . . , Pn. Пусть сначала n = 2. Из утверж-
дения 2.7 следует, что если A ∈ A(P1, P2) (алгебра, порожденная ортопроекторами
P1, P2) и Im(A) = H1 +H2, то H1 +H2 замкнуто. При n > 3 аналогичное утвер-
ждение, вообще говоря, неверно.
Пример 5.4. Пусть A = P1P2 + P3. Построим подпространства H1, H2, H3
такие, что:
(Cond1) Im(A) = H1 +H2 +H3,
(Cond2) H1 +H2 +H3 не замкнуто.
(Cond1) равносильно H2 ⊂ H1 + H3 и Im(A) = H1 + H3. Для выполнения
Im(A) = H1 + H3 достаточно, чтобы пара подпространств H1, H3 имела свой-
ство обратного наилучшего приближения относительно пары операторов P1P2, P3
(см. подпункт 4.2). Используя утверждение 4.4, убеждаемся, что для выполнения
(Cond1), (Cond2) достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
(1) H2 ⊂ H1 +H3,
(2) существует ε > 0 такое, что ‖P2x‖ > ε‖x‖, x ∈ H1,
(3) подпространства P2(H1), H3 линейно независимы и их сумма замкнута,
(4) H1 +H3 не замкнуто.
Пусть операторы a, b : l2 → l2 удовлетворяют следующим условиям:
(1) a самосопряжен и
1
4
I 6 a 6 I,
(2) 1 ∈ σ(a) и ker(I − a) = 0,
(3)E([1/4, 3/4))l2 бесконечномерно, здесьE(·) — спектральная проекторнознач-
ная мера a,
(4) (I − a−1/2b) — изометрия и Im(I − a−1/2b) = E([1/4, 3/4))l2.
Определим H = l2 ⊕ l2, H1 = {(x, 0), x ∈ l2}, H2 = {(
√
ax,
√
I − ax), x ∈ l2},
H3 = {(bx,
√
I − ax), x ∈ l2}.
Убедимся, что H3 — подпространство. Для этого достаточно показать, что
существует ε1 > 0 такое, что для любого x ∈ l2 ‖bx‖ + ‖
√
I − ax‖ > ε1‖x‖.
Для этого достаточно доказать, что если xn ∈ l2, bxn → 0,
√
I − axn → 0, то
xn → 0. Имеем −a−1/2bxn → 0, (I−a−1/2b)xn−xn → 0,
√
I − a(I−a−1/2b)xn−
−
√
I − axn → 0,
√
I − a(I − a−1/2b)xn → 0. Поскольку ‖
√
I − az‖ > 1
2
‖z‖ для
z ∈ E([1/4, 3/4))l2, то (I − a−1/2b)xn → 0, xn → 0. Итак, H3 — подпространство.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1419
Поскольку H1 + H3 = {(x,
√
I − ay), x, y ∈ l2}, то H2 ⊂ H1 + H3 и H1 + H3
не замкнуто.
Пусть x = (y, 0) ∈ H1. Поскольку P2 =
(
a
√
a(I − a)√
a(I − a) I − a
)
, то
‖P2x‖2 = (ay, y) >
1
4
‖y‖2 =
1
4
‖x‖2, ‖P2x‖ > (1/2)‖x‖. Легко видеть, что
P2(H1) = H2.
Покажем, что H2, H3 линейно независимы и их сумма замкнута. Для этого
достаточно доказать, что если Xn ∈ H2, Yn ∈ H3 и Xn + Yn → 0, то Xn → 0.
Пусть Xn = (
√
axn,
√
I − axn), Yn = (byn,
√
I − ayn). Тогда
√
axn + byn → 0 и√
I − a(xn + yn) → 0. Поэтому xn + a−1/2byn → 0,
√
I − a(I − a−1/2b)yn → 0,
(I − a−1/2b)yn → 0. Поскольку I − a−1/2b — изометрия, то yn → 0, xn → 0.
Итак, H1, H2, H3 удовлетворяют условиям (Cond1), (Cond2).
Далее будем рассматривать операторы вида A =
∑n
i,j=1
αi,jPiPj , где αi,j ∈ C.
Как показывает предыдущий пример, из Im(A) =
∑n
k=1
Hk, вообще говоря, не
следует замкнутость
∑n
k=1
Hk. Будем накладывать условия на αi,j , чтобы это
стало верным. Далее αi,i > 0, i = 1, 2, . . . , n. Определим βi,i = αi,i и
βi,j = −1
2
√
(Reαi,j + Reαj,i)2 + (Imαi,j − Imαj,i)2, i 6= j.
Для произвольного x ∈ H
Re(Ax, x) =
n∑
i=1
αi,i‖Pix‖2 +
∑
i<j
Re(αi,j(Pjx, Pix) + αj,i(Pix, Pjx)) >
>
n∑
i=1
αi,i‖Pix‖2 + 2
∑
i<j
βi,j |(Pix, Pjx)| >
∑
i,j
βi,j‖Pix‖‖Pjx‖. (5.1)
Утверждение 5.8. Пусть матрица B = (βi,j) положительно определена.
Тогда следующие условия равносильны:
(1)
∑n
k=1
Hk замкнута,
(2) Im(A) =
∑n
k=1Hk,
(3) Im(A) замкнут.
Доказательство. Можно считать, что
∑n
k=1
Hk плотна в H. Из неравенств
(5.1) и положительной определенности B следует, что существует ε1 > 0 такое,
что для произвольного x ∈ H
Re(Ax, x) > ε1
n∑
k=1
‖Pkx‖2.
(1) ⇒ (2), (3). Поскольку
∑n
k=1
Hk = H, существует ε2 > 0 такое, что∑n
k=1
Pk > ε2I. Тогда Re(Ax, x) > ε1ε2‖x‖2, поэтому A обратим. В частности,
Im(A) = H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1420 И. С. ФЕЩЕНКО
(2) ⇒ (1). Поскольку A ∈ M(P1, . . . , Pn), то из леммы 5.4 следует Im(A) ⊃
⊃ (ker(A))⊥. Пусть x ∈ ker(A), тогда Ax = 0, Re(Ax, x) = 0. Поэтому Pkx =
= 0, k = 1, 2, . . . , n, откуда x = 0. Итак, ker(A) = 0, поэтому Im(A) = H и∑n
k=1
Hk = H.
(3)⇒ (1). В этом случае Im(A) = (ker(A∗))⊥. Пусть x ∈ ker(A∗), тогда A∗x =
= 0, (A∗x, x) = 0, (Ax, x) = 0, Re(Ax, x) = 0. Поэтому x = 0. Итак, ker(A∗) = 0,
поэтому Im(A) = H,
∑n
k=1
Hk = H.
Утверждение 5.8 доказано.
Теперь откажемся от положительной определенности B. Далее предполагаем,
что выполнены следующие условия:
(B1) B неотрицательно определена, 0 ∈ σ(B) и имеет кратность 1,
(B2) построим граф Γβ с множеством вершин 1, 2, . . . , n следующим образом:
i соединено с j, если βi,j 6= 0. Граф Γβ связен.
Пусть вектор s = (s1, . . . , sn) ∈ Rn является базисом ker(B). Тогда (Bs, s) = 0.
Определим s′ = (|s1|, . . . , |sn|). Поскольку βi,i > 0 и βi,j 6 0 при i 6= j, то
(Bs′, s′) 6 (Bs, s) = 0. Из неотрицательной определенности B следует (Bs′, s′) =
= 0, Bs′ = 0. Поэтому можем считать, что s1, . . . , sn неотрицательны. Поскольку
Bs = 0, то
∑n
j=1
βi,jsj = 0, αi,isi =
∑
j 6=i
(−βi,j)sj . Поэтому если si = 0 и
βi,j 6= 0 (т. е. βi,j < 0), то sj = 0. Предположив, что для некоторого i si = 0,
из связности Γβ получим s1 = . . . = sn = 0. Пришли к противоречию. Итак,
s1, . . . , sn > 0.
Замечание 5.2. Легко показать, что если выполнено условие (B1) и s1, . . .
. . . , sn > 0, то выполнено и условие (B2).
Утверждение 5.9. Пусть выполнены условия (B1), (B2). Тогда:
(1) если Im(A) =
∑n
k=1
Hk, то
∑n
k=1
Hk замкнуто,
(2) если Im(A) замкнут, то
∑n
k=1
Hk замкнуто,
(3) если
∑n
k=1
Hk =
∑n
k=1
H⊥k = H, то A обратим.
Лемма 5.5. Пусть выполнены условия (B1), (B2) и
⋂n
k=1
Hk =
⋂n
k=1
H⊥k =
= 0. Тогда ker(A) = ker(A∗) = 0.
Доказательство. Пусть x ∈ ker(A). Тогда Ax = 0, Re(Ax, x) = 0. Из нера-
венств (5.1) и неотрицательной определенности B следует, что в неравенствах (5.1)
везде достигаются равенства и
∑
i,j
βi,j‖Pix‖‖Pjx‖ = 0. Поэтому ‖Pkx‖ = λsk,
1 6 k 6 n, для некоторого λ > 0. Если λ = 0, то Pkx = 0, k = 1, 2, . . . , n, откуда
x = 0. Предположим, что λ > 0. Тогда Pkx 6= 0, 1 6 k 6 n. Поскольку в нера-
венствах (5.1) достигаются равенства, если βi,j 6= 0, то |(Pix, Pjx)| = ‖Pix‖‖Pjx‖,
существует λi,j ∈ C такое, что Pix = λi,jPjx. Так как Γβ связен, то P1x =
= λ2P2x = . . . = λnPnx для некоторых комплексных λ2, . . . , λn. Далее, поскольку⋂n
k=1
Hk = 0, то P1x = 0. Пришли к противоречию с λ > 0. Итак, ker(A) = 0.
Докажем, что ker(A∗) = 0. Пусть x ∈ ker(A∗), тогда Re(Ax, x) = 0. Повторяя
предыдущие рассуждения, получаем x = 0.
Лемма 5.5 доказана.
Доказательство утверждения 5.9. Можно считать, что
⋂n
k=1
Hk =
=
⋂n
k=1
H⊥k = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1421
Докажем (1). Поскольку A ∈ M(P1, . . . , Pn), из леммы 5.4 следует Im(A) ⊃
⊃ (ker(A))⊥. Из леммы 5.5 получаем ker(A) = 0. Поэтому Im(A) = H, откуда∑n
k=1
Hk = H.
Докажем (2). Имеем Im(A) = (ker(A∗))⊥ = H, откуда
∑n
k=1
Hk = H.
Докажем (3). Пусть γi,j = −βi,j , i 6= j. Поскольку Bs = 0, то
∑n
j=1
βi,jsj = 0,
αi,i =
∑
j 6=i
γi,j
sj
si
. Из неравенств (5.1) для произвольного x ∈ H имеем
Re(Ax, x) >
n∑
i=1
αi,i‖Pix‖2 − 2
∑
i<j
γi,j |(Pix, Pjx)| =
=
n∑
i=1
∑
j 6=i
γi,jsisj
‖Pix/si‖2 − 2
∑
i<j
γi,jsisj |(Pix/si, Pjx/sj)|. (5.2)
У нас
∑n
k=1
H⊥k = H, s1, . . . , sn > 0, Γβ связен. Поэтому из утверждения 3.4
следует, что существует ε1 > 0 такое, что для произвольных yk ∈ Hk, 1 6 k 6 n,
2
∑
i<j
γi,jsisj |(yi, yj)| 6
n∑
i=1
∑
j 6=i
γi,jsisj − ε1
‖yi‖2.
Подставив в это неравенство yi = Pix/si, 1 6 i 6 n, из неравенства (5.2) полу-
чим Re(Ax, x) > ε1
∑n
i=1
‖Pix/si‖2 > ε2
∑n
i=1
‖Pix‖2 для некоторого ε2 > 0.
Поскольку
∑n
k=1
Hk = H, то Re(Ax, x) > ε3‖x‖2 для некоторого ε3 > 0. Отсюда
следует, что A обратим.
Утверждение 5.9 доказано.
Рассмотрим применения утверждения 5.9. Пусть Γ — связный граф с множест-
вом вершин 1, 2, . . . , n. Будем писать i ∼ j, если i соединено с j в Γ. Пусть
каждой паре вершин i, j, соединенных ребром в Γ, сопоставлены действительные
числа ξi,j , ξj,i, причем ξi,j + ξj,i > 0. Для каждого i = 1, 2, . . . , n определим
ξi = (1/2)
∑
j∼i
(ξi,j + ξj,i). Ясно, что ξi > 0 и
∑n
i=1
ξi =
∑
i∼j
ξi,j . Определим
A =
∑n
i=1
ξiPi −
∑
i∼j
ξi,jPiPj .
Пример 5.5. Пусть E(Γ) = {{1, 2}, {2, 3}, . . . , {n, 1}}, т. е. Γ — цикл. Пусть
ξ1,2 = ξ2,3 = . . . = ξn,1 = 1, ξ2,1 = ξ3,2 = . . . = ξ1,n = 0. Тогда ξ1 = . . . = ξn = 1 и
A =
∑n
i=1
Pi −
∑n
i=1
PiPi+1, где обозначено Pn+1 = P1.
В предыдущих обозначениях оператор A получается при выборе αi,j таким
образом:
(1) αi,i = ξi, i = 1, 2, . . . , n,
(2) αi,j = −ξi,j , если i ∼ j,
(3) αi,j = 0, если i 6= j и i не соединено с j в Γ.
Тогда для βi,j имеем
(1) βi,i = ξi, i = 1, 2, . . . , n,
(2) βi,j = −1
2
(ξi,j + ξj,i), если i ∼ j,
(3) βi,j = 0, если i 6= j и i не соединено с j в Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1422 И. С. ФЕЩЕНКО
На векторе t = (t1, . . . , tn) ∈ Rn квадратичная форма, порожденная B, равна
(Bt, t) =
n∑
i=1
ξit
2
i −
∑
{i,j}∈E(Γ)
(ξi,j + ξj,i)titj =
∑
{i,j}∈E(Γ)
1
2
(ξi,j + ξj,i)(ti − tj)2.
Поэтому B неотрицательно определена, 0 ∈ σ(B) имеет кратность 1, соответству-
ющий собственный вектор: (1, 1, . . . , 1) (это следует из связности Γ). Также ясно,
что Γβ = Γ. Таким образом, условия (B1), (B2) выполнены.
Утверждение 5.10. Следующие утверждения равносильны:
(1)
∑n
k=1
Hk,
∑n
k=1
H⊥k замкнуты,
(2) Im(A) =
(∑n
k=1
Hk
)⋂(⋂n
k=1
Hk
)⊥
,
(3) Im(A) замкнут.
Доказательство. Разложим H =
⋂n
k=1
H⊥k ⊕
⋂n
k=1
Hk ⊕ H̃, тогда Hk = 0 ⊕
⊕
⋂n
k=1
Hk⊕H̃k, где H̃k — подпространство H̃. Ясно, что
⋂n
k=1
H̃⊥k =
⋂n
k=1
H̃k =
= 0 (здесь H̃⊥k обозначает ортогональное дополнение H̃k в H̃). Обозначим через
P̃k ортопроектор на H̃k в пространстве H̃. Тогда Pk = 0 ⊕ I ⊕ P̃k. Поскольку∑n
i=1
ξi =
∑
i∼j
ξi,j , то A = 0 ⊕ 0 ⊕ Ã, где Ã =
∑n
i=1
ξiP̃i −
∑
i∼j
ξi,jP̃iP̃j .
Таким образом, достаточно доказать нужное утверждение для подпространств H̃k
пространства H̃. Поэтому сразу будем считать, что
⋂n
k=1
Hk =
⋂n
k=1
H⊥k = 0.
(1) ⇒ (2), (3). Поскольку
∑n
k=1
Hk =
∑n
k=1
H⊥k = H, то нужное следует из
утверждения 5.9.
(2) ⇒ (1). Имеем Im(A) =
∑n
k=1
Hk. Из утверждения 5.9 следует замкну-
тость
∑n
k=1
Hk, поэтому
∑n
k=1
Hk = H, и, следовательно, Im(A) = H. Для
i = 1, 2, . . . , n обозначим через Qi ортопроектор на H⊥i . Тогда Pi = I −Qi. Поэто-
му
A =
n∑
i=1
ξi(I −Qi)−
∑
i∼j
ξi,j(I −Qi)(I −Qj).
Поскольку
∑n
i=1
ξi =
∑
i∼j
ξi,j , при раскрытии скобок слагаемые, кратные I,
сократятся, поэтому Im(A) ⊂
∑n
k=1
H⊥k . Отсюда следует, что
∑n
k=1
H⊥k = H.
(3) ⇒ (1). Из леммы 5.5 следует ker(A∗) = 0, поэтому Im(A) = H. Отсюда∑n
k=1
Hk = H. Повторив рассуждения при доказательстве импликации (2)⇒ (1),
получим
∑n
k=1
H⊥k = H.
Утверждение 5.10 доказано.
5.5. Сумма n подпространств представима в виде суммы пары подпрост-
ранств. Рассмотрим следующий вопрос: пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H.
Можно ли суммуH1+. . .+Hn представить в виде суммы двух подпространств, т. е.
существуют ли подпространстваM1,M2, для которыхH1+. . .+Hn = M1+M2 ? В
случае сепарабельного пространства H утвердительный ответ следует из теоремы
2.6 работы [10]. Однако упомянутая теорема неверна в случае несепарабельного
пространства (см. замечание после ее доказательства). Тем не менее мы покажем,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1423
что ответ утвердительный в случае произвольного гильбертова пространства H
(отметим, что, например, гильбертово пространство почти периодических функ-
ций на R, имеющее размерность континуум, имеет многочисленные применения в
теории дифференциальных уравнений и математической физике).
Теорема 5.2. Для произвольных подпространств H1, . . . ,Hn существуют
два подпространства M1,M2 такие, что H1 + . . .+Hn = M1 +M2.
Для доказательства необходимы несколько лемм. Следующая лемма мотивиро-
вана леммой 3.2 в [10].
Лемма 5.6. Пусть A,B — неотрицательные самосопряженные операторы,
EA, EB — их спектральные меры. Пусть Im(A) ⊂ Im(B). Тогда существуетK > 0
такое, что для всех α > 0
dimEA([α,+∞))H 6 dimEB([α/K,+∞))H.
Доказательство. Достаточно доказать, что существует K > 0, для которого
(EA([α,+∞))H) ∩ (EB([α/K,+∞))H)⊥ = 0 для всех α > 0. Из теоремы Р. Дуг-
ласа следует, что существует оператор C ∈ B(H), для которого A = BC, поэтому
A = C∗B. Пусть x ∈ EA([α,+∞))H. Тогда ‖Ax‖ > α‖x‖, ‖C∗Bx‖ > α‖x‖, а
следовательно, ‖Bx‖ > α
‖C‖
‖x‖. Поэтому нам подойдет K = 2‖C‖.
Лемма 5.6 доказана.
Лемма 5.7. Пусть A — неотрицательный самосопряженный оператор в H,
причем kerA = 0, E — его спектральная мера. Линеал Im(A) можно предста-
вить в виде суммы пары подпространств тогда и только тогда, когда dimE([ε,
+∞))H = dimH для некоторого ε > 0.
Доказательство. Пусть сначала dimE([ε,+∞))H = dimH для некоторого
ε > 0. Можем считать, что ε < 1. Разложим H = E([0, ε))H ⊕ E([ε,∞))H.
Относительно этого ортогонального разложения A = A1 ⊕ A2, где 0 6 A1 6 εI, а
A2 обратим. Поэтому Im(A) = Im(A1) ⊕ E([ε,∞))H. Ясно, что dimE([0, ε))H 6
6 dimE([ε,∞))H.
Таким образом, достаточно доказать следующее: в гильбертовом пространстве
M ⊕M ⊕ N линеал Im(B) ⊕M ⊕ N (здесь оператор B : M → M ) можно пред-
ставить в виде суммы пары подпространств M1,M2. Ясно, что M1 = {(Bx, (I −
−B)x, 0), x ∈M}, M2 = 0
⊕
M
⊕
N — искомые подпространства.
Пусть теперь Im(A) можно представить в виде суммы пары подпространств. Ес-
ли H конечномерно, то нужное утверждение очевидно, поэтому далее H бесконеч-
номерно. Пусть Im(A) = H1 +H2, P1, P2 — соответствующие ортопроекторы. По-
скольку kerA = 0, то H⊥1 ∩H⊥2 = 0. Определим подпространства H1,1 = H1 ∩H2,
H1,0 = H1 ∩ H⊥2 , H0,1 = H⊥1 ∩ H2. Применим для пары подпространств H1, H2
теорему 2.2, используем ее обозначения. В ортогональном разложении (2.4) ком-
понента H⊥1 ∩H⊥2 отсутствует.
Тогда
H1 +H2 = H1,1 ⊕H1,0 ⊕H0,1 ⊕K ⊕ Im(
√
I − a)
— образ оператора B = IH1,1⊕IH1,0⊕IH0,1⊕IK⊕
√
I − a. Из леммы 5.6 (Im(B) ⊂
⊂ Im(A)) следует существование ε > 0, для которого dimE([ε,∞))H > dimH1,1+
+ dimH1,0 + dimH0,1 + dimK = dimH, т. е. dimE([ε,∞))H = dimH.
Лемма 5.7 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1424 И. С. ФЕЩЕНКО
Доказательство теоремы 5.2. Можно считать, что H1 + . . .+Hn = H. В
случае конечномерного H утверждение теоремы очевидно, поэтому далее H бес-
конечномерно. Пусть размерность dimH1 — наибольшая из dimHi, 1 6 i 6 n.
Тогда dimH1 = dimH. Определим оператор A =
√
P1 + . . .+ Pn, пусть E —
его спектральная мера. Поскольку Im(P1) ⊂ Im(A), из леммы 5.6 следует, что
существует ε > 0, для которого dimE([ε,+∞))H > dimH1 = dimH. Поэтому
dimE([ε,+∞))H = dimH. Теперь из леммы 5.7 следует нужное утверждение.
Теорема 5.2 доказана.
5.6. Когда из замкнутости H1 + . . .+Hn следует замкнутость H1 + . . .
. . .+Hm (m < n фиксировано).
Утверждение 5.11. Пусть M1,M2 — гильбертовы пространства, a : M1 →
→ H, b : M2 → H — линейные непрерывные операторы, причем Im(a)
⋂
Im(b),
Im(a) + Im(b) — подпространства в H. Тогда Im(a), Im(b) — подпространства.
Доказательство. 1. Сначала докажем требуемое утверждение при условии
Im(a)
⋂
Im(b) = 0. Без ограничения общности можно считать, что ker(a) = 0
и ker(b) = 0. Определим оператор c : M1 ⊕ M2 → Im(a) + Im(b) равенством
c(x, y) = ax + by. Тогда c непрерывен и биективен, а потому обратим. Поэто-
му существует ε > 0 такое, что для произвольных x ∈ M1, y ∈ M2 выполнено
‖ax + by‖2 > ε2(‖x‖2 + ‖y‖2). Подставив y = 0, получим ‖ax‖ > ε‖x‖, x ∈ M1,
поэтому Im(a) — подпространство. Аналогично Im(b) — подпространство.
2. Теперь рассмотрим общий случай. Обозначим M = Im(a)∩ Im(b). Разложим
M1 = a−1(M)⊕M ′1 и определим оператор a′ : M ′1 → H равенством a′x = ax, x ∈
∈M ′1. Тогда Im(a′)∩Im(b) = 0 и Im(a′)+Im(b) = Im(a)+Im(b) — подпространство,
поэтому Im(b) — подпространство. Аналогично Im(a) — подпространство.
Утверждение 5.11 доказано.
Следствие 5.7. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H и H1 + . . .+Hn —
подпространство. Если для некоторогоm < n (H1+. . .+Hm)∩(Hm+1+. . .+Hn)
— подпространство, то H1 + . . .+Hm, Hm+1 + . . .+Hn — подпространства.
Следствие 5.8. Пусть H1, . . . ,Hn — подпространства H, сумма которых
H1 + . . .+Hn замкнута. Предположим, что для любого I ⊂ {1, 2, . . . , n}, |I| < n,
существует J ⊂ {1, 2, . . . , n}, J * I, такое, что
(∑
i∈I
Hi
)
∩
(∑
j∈J
Hj
)
—
подпространство. Тогда для любого I ⊂ {1, 2, . . . , n} сумма
∑
i∈I
Hi — подпро-
странство.
Доказательство получается применением индукции „сверху вниз” по |I|, база
индукции — |I| = n.
Автор искренне признателен своему научному руководителю Ю. С. Самойлен-
ко, а также В. И. Рабановичу, А. В. Стрельцу за полезные советы и обсуждения
результатов, приведенных в работе. Автор выражает благодарность С. Ф. Коляде
за помощь при работе с литературой.
1. Bauschke H. H., Borwein J. M. On projection algorithms for solving convex feasibility problems //
SIAM Rev. – 1996. – 38, № 3. – P. 367 – 426.
2. Bickel P. J., Ritov Y., Wellner J. A. Efficient estimation of linear functionals of a probability measure P
with known marginal distributions // Ann. Statist. – 1991. – 19, № 3. – P. 1316 – 1346.
3. Björstad P. E., Mandel J. On the spectra of sums of orthogonal projections with applications to parallel
computing // BIT. – 1991. – 31. – P. 76 – 88.
4. Böttcher A., Spitkovsky I. M. A gentle guide to the basics of two projections theory // Linear Algebra
and its Appl. – 2010. – 432. – P. 1412 – 1459.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О ЗАМКНУТОСТИ СУММЫ n ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1425
5. Browder F. E. Convergence theorems for sequences of nonlinear operators in banach spaces // Math. Z.
– 1967. – 100. – S. 201 – 225.
6. Chunyuan D., Hongke D. A new characterization of the closedness of the sum of two subspaces // Acta
Math. Sci. – 2008. – 28B. – P. 17 – 23.
7. Combettes P. L., Reyes N. N. Functions with prescribed best linear approximations // arXiv:0905.3520v1
[math.FA] 21 May 2009.
8. Davis C. Separation of two linear subspaces // Acta Sci. Math. Szeged. – 1958. – 19. – P. 172 – 187.
9. Douglas R. G. On majorization, factorization and range inclusion of operators in Hilbert space // Proc.
Amer. Math. Soc. – 1966. – 17. – P. 413 – 416.
10. Fillmore P., Williams J. On operator ranges // Adv. Math. – 1971. – 7. – P. 254 – 281.
11. Friedrichs K. On certain inequalities and characteristic value problems for analytic functions and for
functions of two variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1937. – 41. – P. 321 – 364.
12. Grobler J. J. Closed sums of marginal subspaces of Banach function spaces // Contemp. Math. – 2007.
– 435. – P. 183 – 190.
13. Guachalla J. H. A characterization of reflexivity for dual Banach spaces // arXiv:math/0509683v1
[math.FA] 29 Sep 2005.
14. Halmos P. R. Two subspaces // Trans. Amer. Math. Soc. – 1969. – 144. – P. 381 – 389.
15. Hildebrandt S., Schmidt B. Zur Konvergenz von Operatorprodukten im Hilbertraum // Math. Z. – 1968.
– 105. – S. 62 – 71.
16. Holst M. Algebraic Schwarz theory (Technical Report CRPC-TR994-10). – 1994.
17. Kober H. A theorem on Banach spaces // Compos. Math. – 1940. – 7. – P. 135 – 140.
18. Lang H. On sum of subspaces in topological vector spaces and an application in theoretical tomography //
Appl. Anal. – 1984. – 18, № 4. – P. 257 – 265.
19. Ostrovskyĭ V. L., Samoĭlenko Yu. S. Introduction to the theory of representations of finitely presented
∗-algebras. 1. Representations by bounded operators. – Amsterdam: Harwood Acad. Publ., 1999.
20. Rabanovich V. I. On the spectra of sums and the norms of products of orthogonal projections // Contributed
Talk, 17-th Int. Conf. Domain Decomposition Methods (Austria, 2006) (см. www.imath.kiev.ua/ slavik/).
21. Schochetman I. E., Smith R. L., Tsui S-K. On the closure of the sum of closed subspaces // Int. J. Math.
and Mech. Sci. – 2001. – 26, № 5. – P. 257 – 267.
22. Spitkovsky I. Once more on algebras generated by two projections // Linear Algebra and its Appl. –
1994. – 208/209. – P. 377 – 395.
23. Sunder V. S. N subspaces // Can. J. Math. – 1988. – 40. – P. 38 – 54.
24. Svensson L. Sums of complemented subspaces in locally convex spaces // Ark. mat. – 1987. – 25, № 1.
– P. 147 – 153.
25. Кругляк С. А., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и
его прил. – 2002. – 36, № 3. – С. 20 – 35.
26. Протасов В. Ю. Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход // Изв.
РАН Сер. мат. – 1997. – 61, № 5. – С. 99 – 136.
27. Садовничий В. А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004.
28. Самойленко Ю. С., Стрелец А. В. О простых n-ках подпространств гильбертова пространства //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 12. – С. 1668 – 1703.
29. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. – М.: Мир, 1970.
Получено 16.02.11,
после доработки — 14.09.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2814 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/af/1973d269596b5b5a978e70f017efe5af.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28142020-03-18T19:37:09Z On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space О замкнутости суммы n подпространств гильбертова пространства Feshchenko, I. S. Фещенко, И. С. Фещенко, И. С. We give necessary and sufficient conditions for the sum of subspaces $H_1,..., H_n,, \quad n \geq 2,$ of a Hilbert space $H$ to be a subspace and present various properties of $n$-tuples of subspaces with closed sum. Наведено необхiднi та достатнi умови для того, щоб сума пiдпросторiв $H_1,..., H_n,, \quad n \geq 2,$, гiльбертового простору $H$ була пiдпростором, а також рiзнi властивостi $n$-ок пiдпросторiв iз замкненою сумою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2814 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 10 (2011); 1381-1425 Український математичний журнал; Том 63 № 10 (2011); 1381-1425 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2814/2381 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2814/2382 Copyright (c) 2011 Feshchenko I. S. |
| spellingShingle | Feshchenko, I. S. Фещенко, И. С. Фещенко, И. С. On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title | On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title_alt | О замкнутости суммы n подпространств гильбертова пространства |
| title_full | On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title_fullStr | On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title_full_unstemmed | On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title_short | On closeness of the sum of n subspaces of a Hilbert space |
| title_sort | on closeness of the sum of n subspaces of a hilbert space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2814 |
| work_keys_str_mv | AT feshchenkois onclosenessofthesumofnsubspacesofahilbertspace AT feŝenkois onclosenessofthesumofnsubspacesofahilbertspace AT feŝenkois onclosenessofthesumofnsubspacesofahilbertspace AT feshchenkois ozamknutostisummynpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT feŝenkois ozamknutostisummynpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT feŝenkois ozamknutostisummynpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva |