Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions
We consider the problem of finding exact inequalities for the best approximations of periodical differentiable functions by trigonometric polynomials and the m -order moduli of continuity in the space L 2 and present their applications. For some classes of functions defined by the indicated moduli...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2816 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508795295236096 |
|---|---|
| author | Shabozov, M. Sh. Шабозов, М. Ш. Шабозов, М. Ш. |
| author_facet | Shabozov, M. Sh. Шабозов, М. Ш. Шабозов, М. Ш. |
| author_sort | Shabozov, M. Sh. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:09Z |
| description | We consider the problem of finding exact inequalities for the best approximations of periodical differentiable
functions by trigonometric polynomials and the m -order moduli of continuity in the space L 2 and present
their applications. For some classes of functions defined by the indicated moduli of continuity, we calculate
the exact values of n-widths in the space L 2 . |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
М. Ш. Шабозов (Ин-т математики АН Республики Таджикистан, Душанбе)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА
ДЛЯ 2π-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В L2
И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
We consider the problem of finding exact inequalities for the best approximations of periodical differentiable
functions by trigonometric polynomials and the m-order moduli of continuity in the space L2 and present
their applications. For some classes of functions defined by the indicated moduli of continuity, we calculate
the exact values of n-widths in the space L2.
Розглянуто задачу про знахождення точних нерiвностей мiж найкращими наближеннями перiодичних
диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами i модулями неперервностi m-го порядку у
просторi L2, а також наведено їх застосування. Для деяких класiв функцiй, що визначаються зазначе-
ними модулями неперервностi, обчислено точнi значення n-поперечникiв у L2.
1. Пусть N — множество натуральных чисел; Z+ := N ∪ {0}, R+ — множест-
во положительных чисел вещественной оси, L2 := L2[0, 2π] — пространство 2π-
периодических интегрируемых с квадратом по Лебегу действительных функций
f(x) с конечной нормой
‖f‖ := ‖f‖L2
=
1
π
2π∫
0
|f(x)|2dx
1/2 <∞.
Пусть =n−1 — подпространство всевозможных тригонометрических полиномов
порядка ≤ n − 1. Известно, что для произвольной функции f(x) ∈ L2, имеющей
формальное разложение в ряд Фурье
f(x) ∼ a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) ,
величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством =n−1 равна
En(f) := inf {‖f − Tn−1‖ : Tn−1(x) ∈ =n−1} =
= ‖f − Sn−1(f)‖ =
{ ∞∑
k=n
ρ2k
}1/2
, (1)
где
Sn−1(f ;x) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx)
— частная сумма порядка n− 1 ряда Фурье функции f(x), а ρ2k := a2k + b2k.
Через Lr2 (r ∈ Z+, L
0
2 = L2) обозначим множество функций f(x) ∈ L2, у
которых производные (r − 1)-го порядка f (r−1)(x) абсолютно непрерывны, а про-
изводные f (r)(x) ∈ L2.
c© М. Ш. ШАБОЗОВ, 2011
1434 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ 2π-ПЕРИОДИЧЕСКИХ . . . 1435
Равенством
ωm(f ; t) := sup
|h|≤t
‖4mh (f)‖ = sup
|h|≤t
∥∥∥∥∥∥
m∑
j=0
(−1)m−j
(
m
j
)
f(x+ jh)
∥∥∥∥∥∥
L2
определим модуль непрерывности m-го порядка функции f(x) ∈ L2.
Во втором пункте при вычислении n-поперечников на классах функций струк-
турные свойства функции f(x) ∈ L2 характеризуем скоростью стремления к нулю
модуля непрерывности r-й производной f (r)(x), задавая эту скорость посредством
мажоранты некоторой усредненной величины ωm(f (r); t). В работе [1] рассматри-
вается экстремальная аппроксимационная характеристика вида
χm,n,r,p(h) = sup
f∈Lr
2
f(r) 6=const
2mnrEn(f)(∫ h
0
ωpm(f (r), t)dt
)1/p , (2)
где m,n ∈ N, r ∈ Z+, 1/r < p ≤ 2, 0 < h ≤ π/n, и доказано, что
χm,n,r,p(h) =
h∫
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
−1/p . (3)
Отметим, что величины вида (2) при различных значениях указанных парамет-
ров изучались в работах [2 – 7]. В частности, Л. В. Тайков [2] показал, что
χ1,n,r,2(h) = {2n/(nh− sinnh)}1/2 , 0 < nh ≤ π/2,
а С. Б. Вакарчук [5], обобщив указанный результат Л. В. Тайкова, доказал, что
χm,n,r,2/m(h) = {2n/(nh− sinnh)}m/2 , m ∈ N, 0 < nh ≤ π/2.
Заметим, что из определения величины (2) и равенства (3) для произвольной
f(x) ∈ Lr2 следует неравенство
En(f) ≤ 2−mn−r
h∫
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
−1/p h∫
0
ωpm(f (r); t)dt
1/p . (4)
2. Обозначим через dn(M, L2), dn(M, L2), bn(M, L2), δn(M, L2) и πn(M, L2)
соответственно колмогоровский, гельфандовский, бернштейновский, линейный и
проекционный n-поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного
компакта M в пространстве L2 (см., например, [5 – 8]). Указанные поперечники
монотонны по n и связаны соотношениями
bn(M;L2) ≤ dn(M;L2) ≤ dn(M;L2) = δn(M;L2) = πn(M;L2). (5)
Также полагаем En(M)L2 := sup {En(f)L2 : f ∈M} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1436 М. Ш. ШАБОЗОВ
Пусть Φ(u) — произвольная непрерывная возрастающая функция, определенная
на множестве [0,∞), такая, что Φ(0) = 0. ЧерезW (Φ) := W (r,m, p; Φ), гдеm ∈ N,
r ∈ Z+, 1/r < p ≤ 2, обозначим класс функций f(x) ∈ Lr2(L0
2 ≡ L2), которые при
любом h ∈ (0, π/n], n ∈ N, удовлетворяют ограничению
h∫
0
ωpm(f (r); t)dt
1/p ≤ Φ(h).
Зададимся целью вычислить вышеуказанные n-поперечники при некоторых
ограничениях на мажоранты Φ(u).
Введем обозначение
(sin t)∗ =
{
sin t, если 0 ≤ t ≤ π/2; 1, если t > π/2
}
.
Теорема 1. Если для любого заданного 0 < µ ≤ 1 и для всех λ > 0, 0 < u ≤ π,
r,m ∈ N, 1/r < p ≤ 2, функция Φ(u) удовлетворяет условию
Φp(µu)
λπ∫
0
(
sin
v
2
)mp
∗
dv ≤ Φp(λu)
µπ∫
0
(
sin
v
2
)mp
dv, (6)
то для любого n ∈ N справедливы равенства
ρ2n(W (Φ), L2) = ρ2n−1(W (Φ), L2) = En(W (Φ))L2
=
= 2−(m+1/p)n−r+1/p
µπ/2∫
0
sinmp tdt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
, (7)
где ρk(·) — любой из k-поперечников bk(·), dk(·), dk(·), λk(·) или πk(·).
Доказательство. Оценку сверху для проекционного n-поперечника с учетом
определения класса W (Φ) получаем из неравенства (4), полагая в нем h = µπ/n :
π2n(W (Φ), L2) ≤ π2n−1(W (Φ), L2) ≤ sup {En(f)L2
: f ∈W (Φ)} ≤
≤ 2−mn−r
µπ/n∫
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
=
= 2−(m+ 1
p )n−r+
1
p
µπ/2∫
0
sinmp tdt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
. (8)
С целью получения оценки снизу бернштейновского n-поперечника класса
W (Φ) введем в рассмотрение (2n+ 1)-мерную сферу полиномов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ 2π-ПЕРИОДИЧЕСКИХ . . . 1437
S2n+1 =
Tn(x) ∈ Tn : ‖Tn‖2 = 2−mn−r
µπ/n∫
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
и докажем, что S2n+1 ⊂W (Φ).
В работе [4] доказано, что для произвольного полинома Tn(x) ∈ S2n+1 имеет
место неравенство
ωm(T (r)
n , t)2 ≤ 2mnr
(
sin
nt
2
)m
∗
‖Tn‖2. (9)
Неравенство (9) возведем в степень p, 1/r < p ≤ 2, и проинтегрируем по t в
пределах от 0 до λu, затем выполним замену переменной nt = v в правой части и
учтем принадлежность полинома Tn(x) сфере S2n+1. В итоге получим
λu∫
0
ωpm(T (r)
n , t)2dt ≤
Φp
(µπ
n
)∫ λu
0
(
sin
nt
2
)mp
∗
dt∫ µπ/n
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
=
=
Φp
(µπ
n
)∫ λnu
0
(
sin
v
2
)mp
∗
dv∫ µπ
0
(
sin
v
2
)mp
dv
.
Вводя обозначение u = π/n и используя условие (6), приходим к неравенству
λu∫
0
ωpm(T (r)
n , t)2dt ≤
Φp(µu)
∫ λπ
0
(
sin
v
2
)mp
∗
dv∫ µπ
0
(
sin
v
2
)mp
dv
≤ Φp(λu),
откуда следует включение S2n+1 ⊂ W (Φ). Используя определение бернштейнов-
ского n-поперечника, получаем следующую оценку снизу:
b2n−1(W (Φ), L2) ≥ b2n(W (Φ), L2) ≥ b2n(S2n+1, L2) =
= 2−mn−r
µπ/n∫
0
(
sin
nt
2
)mp
dt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
=
= 2−(m+ 1
p )n−r+
1
p
µπ/2∫
0
sinmp tdt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
. (10)
Сопоставляя неравенства (8) и (10), с учетом соотношения (5) получаем равен-
ство (7).
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1438 М. Ш. ШАБОЗОВ
Условия теоремы 1 на первый взгляд выглядят неестественными и трудно-
проверяемыми. Однако это не так. Нетрудно проверить, что условие (6) является
необходимым и достаточным для того, чтобы совокупность функций2−(m+ 1
p )n−r+
1
p
µπ/2∫
0
sinmp tdt
−1/p
Φ
(µπ
n
)
{
sinnx
cosnx
}
принадлежала классу W (Φ).
Ниже мы проанализируем условия теоремы 1 и выясним значения α, при ко-
торых функция Φ0(u) = uα удовлетворяет этим условиям. С этой целью запишем
неравенство (6) в эквивалентной форме
∫ λπ
0
(
sin
v
2
)mp
∗
dv∫ µπ
0
(
sin
v
2
)mp
dv
≤
(
λ
µ
)αp
, λ > 0, 0 < µ ≤ 1. (11)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы неравенство (11) имело место с любыми задан-
ными λ > 0, 0 < µ ≤ 1, m, r ∈ N, 1/r < p ≤ 2, необходимо и достаточно, чтобы
число α = α(µ;m, p) определялось по формуле
α = α(µ;m, p) = µπ
(
sin
µπ
2
)mpp
µπ∫
0
(
sin
v
2
)mp
dv
−1
. (12)
Доказательство. Приравнивая производные по λ от левой и правой частей
неравенства (11) при λ = µ, получаем (12). Из равенства (12) при любых 0 < µ ≤ 1,
m, r ∈ N, 1/r < p ≤ 2 определим границы значения числа α. Имеем
1
p
≤ α(µ;m, p) =
µπ
(
sin
µπ
2
)mp
p
∫ µπ
0
(
sin
v
2
)mp
dv
≤
≤ π
2p
∫ π/2
0
(
2
π
µv
)mp
dv
= µ−mp
(
m+
1
p
)
.
Поскольку согласно этому неравенству α < µ−mp (m+ 1/p) , 0 < µ ≤ 1, то
для достаточно малых λ > 0 неравенство (11) выполняется. Из определения α =
= α(µ;m, p) следует другая эквивалентная форма неравенства (11):
(1/π)
∫ λπ
0
(
sin
v
2
)mp
∗
dv(
sin
µπ
2
)mp ≤ µ
αp
(
λ
µ
)αp
. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА – СТЕЧКИНА ДЛЯ 2π-ПЕРИОДИЧЕСКИХ . . . 1439
Обе части неравенства (13) совпадают на концах интервала λ ∈ (0, µ) вместе
со своими производными по λ. Если допустить знак равенства в (13) на данном
интервале, то производные обеих частей неравенства (13)
(
sin
λπ
2
)mp
∗(
sin
µπ
2
)mp , (
λ
µ
)αp−1
будут совпадать в четырех различных точках отрезка [0, µ].
Таким образом, функция
r(λ) =
(
sin
λπ
2
)
∗(
sin
µπ
2
) − (λ
µ
)(αp−1)/mp
имеет четыре нуля на [0, µ]. Это означает, что производная
r′(λ) =
π
2
(
cos
λπ
2
)
∗(
sin
µπ
2
) − αp− 1
µmp
(
λ
µ
)(αp−1−mp)/mp
имеет три различных нуля на интервале (0, µ). Пришли к противоречию. Этим
неравенство (11) доказано для λ ∈ (0, µ].
Если предположить, что неравенство (11) не имеет места для λ > µ, то обяза-
тельно найдется λ = µ0 > µ, для которого в (11) будет реализовано равенство. Это
следует из того, что левая часть в (11) является линейной функцией от λ при λ > 1,
а правая часть — возрастающая выпуклая вниз функция, так как по определению
αp > 1. Таким образом, функция r(λ) будет иметь четыре нуля на полуинтер-
вале [0, µ0), а ее производная r′(λ) — по крайне мере, три различных нуля при
0 < λ < µ0. Опять пришли к противоречию. Этим неравенство (11) доказано.
Следствие. Для любых натуральных m, n, r 1/r < p ≤ 2,
α(1;m, p) =
√
π
p
Γ
(mp
2
+ 1
){
Γ
(
mp+ 1
2
)}−1
,
Γ(b) — гамма-функция Эйлера, справедливы равенства
ρ2n(W (Φ0), L2) = ρ2n−1(W (Φ0), L2) = En(W (Φ0))L2 =
= 2−m(αp)1/pπα−1/pn−r−α+1/p,
где ρk(·) — любой из вышеперечисленных k-поперечников bk(·), dk(·), dk(·), λk(·) и
πk(·).
1. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в
пространстве L2[0, 2π] // Мат. заметки. – 2010. – 87, № 4. – С. 616 – 623.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1440 М. Ш. ШАБОЗОВ
2. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций
из L2 // Мат. заметки. – 1976. – 20, № 3. – С. 433 – 438.
3. Тайков Л. В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2
// Мат. заметки. – 1977. – 22, № 4. – С. 535 – 542.
4. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Мат. заметки. –
1979. – 25, № 2. – С. 217 – 223.
5. Вакарчук С. Б. Неравенство типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Мат. заметки.
– 2006. – 80, № 1. – С. 11 – 18.
6. Вакарчук С. Б. О наилучших полиномиальных приближениях в L2 некоторых классов 2π-
периодических функций и точных значениях их n-поперечников // Мат. заметки. – 2001. – 70,
№ 3. – С. 334 – 345.
7. Вакарчук С. Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников
функциональных классов из L2 // Мат. заметки. – 2005. – 78, № 5. – С. 792 – 796.
8. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. –
325 с.
Получено 28.10.10,
после доработки — 12.08.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2816 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:53Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dc/fc71dff2e6c2ce0f98314980cb22a9dc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28162020-03-18T19:37:09Z Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для 2π -периодических функций в L 2 и поперечники некоторых классов функций Shabozov, M. Sh. Шабозов, М. Ш. Шабозов, М. Ш. We consider the problem of finding exact inequalities for the best approximations of periodical differentiable functions by trigonometric polynomials and the m -order moduli of continuity in the space L 2 and present their applications. For some classes of functions defined by the indicated moduli of continuity, we calculate the exact values of n-widths in the space L 2 . Розглянуто задачу про знахождення точних нерiвностей мiж найкращими наближеннями перiодичних диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами i модулями неперервностi m -го порядку у просторi L 2 , а також наведено їх застосування. Для деяких класiв функцiй, що визначаються зазначе- ними модулями неперервностi, обчислено точнi значення n-поперечникiв у L 2 . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2816 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 10 (2011); 1434-1440 Український математичний журнал; Том 63 № 10 (2011); 1434-1440 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2816/2385 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2816/2386 Copyright (c) 2011 Shabozov M. Sh. |
| spellingShingle | Shabozov, M. Sh. Шабозов, М. Ш. Шабозов, М. Ш. Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title | Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title_alt | Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для 2π -периодических функций в L 2 и поперечники некоторых классов функций |
| title_full | Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title_fullStr | Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title_full_unstemmed | Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title_short | Exact Jackson - Stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in L 2 and widths of some classes of functions |
| title_sort | exact jackson - stechkin-type inequalities for 2π -periodic functions in l 2 and widths of some classes of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2816 |
| work_keys_str_mv | AT shabozovmsh exactjacksonstechkintypeinequalitiesfor2pperiodicfunctionsinl2andwidthsofsomeclassesoffunctions AT šabozovmš exactjacksonstechkintypeinequalitiesfor2pperiodicfunctionsinl2andwidthsofsomeclassesoffunctions AT šabozovmš exactjacksonstechkintypeinequalitiesfor2pperiodicfunctionsinl2andwidthsofsomeclassesoffunctions AT shabozovmsh točnyeneravenstvatipadžeksonastečkinadlâ2pperiodičeskihfunkcijvl2ipoperečnikinekotoryhklassovfunkcij AT šabozovmš točnyeneravenstvatipadžeksonastečkinadlâ2pperiodičeskihfunkcijvl2ipoperečnikinekotoryhklassovfunkcij AT šabozovmš točnyeneravenstvatipadžeksonastečkinadlâ2pperiodičeskihfunkcijvl2ipoperečnikinekotoryhklassovfunkcij |