On the exponential decay of vibrations of damped elastic media
We consider a homogenized system of equations that is a macroscopic model of nonstationary vibrations of an elastic medium with a large number of small cavities filled with viscous incompressible liquid (wet elastic medium). It is proved that the solution of the initial boundary-value problem for...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2817 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508797066280960 |
|---|---|
| author | Goncharenko, M. V. Khruslov, E. Ya. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. |
| author_facet | Goncharenko, M. V. Khruslov, E. Ya. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. |
| author_sort | Goncharenko, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:24Z |
| description | We consider a homogenized system of equations that is a macroscopic model of nonstationary vibrations of an elastic medium with a large number
of small cavities filled with viscous incompressible liquid (wet elastic medium).
It is proved that the solution of the initial boundary-value problem for this system in a bounded domain $\Omega$ tends to zero in the metric of $L_2(\Omega)$ exponentially with time. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
М. В. Гончаренко, Е. Я. Хруслов
(Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ
УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ*
We consider a homogenized system of equations that is a macroscopic model of nonstationary vibrations of
an elastic medium with a large number of small cavities filled with viscous incompressible liquid (wet elastic
medium). It is proved that the solution of the initial boundary-value problem for this system in a bounded
domain Ω tends to zero in the metric of L2(Ω) exponentially with time.
Розглядається усереднена система рiвнянь, що є макроскопiчною моделлю коливань пружного середови-
ща з дрiбними кавернами, заповненими в’язкою нестисливою рiдиною (зволожене пружне середовище).
Доведено, що розв’язок початково-крайової задачi для цiєї системи у обмеженiй областi Ω експонен-
цiально за часом прямує до нуля у метрицi L2(Ω).
В работе [1] была рассмотрена простейшая модель увлажненной упругой среды,
представляющая собой однородную упругую среду с большим числом мелких ка-
верн, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью. Изучалось асимптотическое
поведение нестационарных колебаний такой композитной среды, когда диаметры
каверн стремятся к нулю, их число неограниченно увеличивается и распределяют-
ся они все более плотно в области Ω ⊂ R3. Было показано, что главный член
асимптотики описывается в Ω следующим уравнением, являющимся усредненной
моделью увлажненной упругой среды:
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
t∫
0
Anpqr(x, t− τ)
∂
∂τ
γqr[u(x, τ)]dτ
ep = 0.
Здесь u = {ui(x, t), i = 1, 2, 3} — вектор смещений,{
γlm[u] =
1
2
[
∂ul
∂xm
+
∂um
∂xl
]}3
l,m=1
— тензор деформации, ek, k = 1, 2, 3, — базисные векторы в R3, функция ρ = ρ(x) —
массовая плотность, а тензор Aiklm(x, t)
3
i,k,l,m=1 характеризует упругие и релакса-
ционные свойства эффективной сплошной среды, эквивалентной рассматриваемой
композитной среде.
Тензор {Aiklm(x, t)}3i,k,l,m=1 зависит от свойств упругой фазы композита, гео-
метрии каверн и от вязкости µ жидкости, заполняющей каверны. В данной работе
будет получено асимптотическое разложение этого тензора по степеням вязкости
и с его помощью доказано, что нестационарные колебания увлажненной упругой
среды затухают экспоненциально с показателем, пропорциональным вязкости.
1. Постановка задачи и формулировка основного результата. Будем рассмат-
ривать простейшую ситуацию, когда каверны Giε в упругой среде распределены
периодически. А именно, пусть
*Частично поддержана совместным украинско-французским грантом PICS.
c© М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11 1443
1444 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Giε =
{
x ∈ R3,
x− xiε
ε
∈ G
}
,
где G — некоторая фиксированная область в R3, ограниченная гладкой замкнутой
поверхностью S, содержащей начало координат внутри, а {xiε} — периодическая
решетка в R3 с периодами (εa1, εa2, εa3), т. е.
xiε =
3∑
k=1
εakm
i
ke
k, mi
k ∈ Z,
ε > 0 — малый параметр.
Будем предполагать, что Ḡ ⊂ Π, где
Π =
{
x ∈ R3 : − ak
2
< xk <
ak
2
, k = 1, 2, 3
}
— параллелепипед в R3. Тогда области Giε располагаются в R3 периодически и не
пересекаются.
Пусть Ω — ограниченная область в R3 с кусочно-гладкой границей ∂Ω. Положим
Ωε = Ω \
Nε⋃
i=1
Giε,
где объединение берется по тем i, 1 ≤ i ≤ Nε, для которых Ḡiε ⊂ Ω.
Ясно, что Ωε — связная подобласть в Ω. Предположим, что она заполнена одно-
родной упругой средой, а каверны Giε, i = 1, . . . , Nε, в ней — вязкой несжимаемой
жидкостью. Малые нестационарные колебания такой композитной среды описыва-
ются уравнениями
ρs
∂2uε
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(anpqrγqr[uε])e
p = 0, x ∈ Ωε, t > 0, (1.1)
ρf
∂vε
∂t
− µ∆vε = ∇pε, divvε = 0, x ∈ Giε, t > 0, i = 1, . . . , Nε, (1.2)
∂uε
∂t
= vε, (1.3)
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγnp[uε]νqe
r =
= 2µ
∑
q,r=1
γqr[vε]νqe
r − νpε x ∈ ∂Giε, t > 0, i = 1, . . . , Nε. (1.4)
Здесь uε(x, t) — смещение упругой среды, vε(x, t) — скорость жидкости, pε — дав-
ление, ρs, ρf — удельные плотности упругой и жидкой фаз, µ — вязкость жидкости,
anpqr — тензор упругости упругой фазы, ν = {ν1, ν2, ν3} — единичный вектор
внешней нормали к границе ∂Giε. Два последних равенства означают совпадение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1445
векторов скорости и напряжений в упругой и жидкой фазах на границах разде-
ла. Для определенности будем считать, что упругая среда закреплена на внешней
границе ∂Ω, т. е.
uε = 0, x ∈ ∂Ω, (1.5)
а начальные условия имеют вид
uε(x, 0) = 0,
∂uε
∂t
= U1
ε (x), x ∈ ∂Ωε,
vε(x, 0) = V 1
ε (x), x ∈ Gε =
⋃
i
Giε, (1.6)
U1
ε ∈W 1
2 (Ωε), V 1
ε ∈W 1
2 (Gε), div V 1
ε = 0, V 1
ε = U1
ε , x ∈ ∂Gε.
Можно показать, что начально-краевая задача (1.1) – (1.6) имеет единственное ре-
шение. В работе [1] было исследовано его асимптотическое поведение при ε→ 0.
Для строгой формулировки результата введем некоторые определения.
Рассмотрим в области Π краевую задачу (ячеечная задача)
µ∆vqr(x, λ) = ∇pqr, div vqr(x, λ) = 0, x ∈ G,
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[wqr]) ek = 0, x ∈ Π \G,
vqr = wqr, x ∈ ∂G,
2µ
3∑
i,k=1
γik
[
vqr
]
νie
k − pqrν =
=
1
λ
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγlm[wqr]νie
k, x ∈ ∂G,
uqr − φqr ∈ H1
per[Π],
(1.7)
где через H1
per[Π] обозначен класс вектор-функций, являющихся ограничением на
Π вектор-функций из W 1
2 (R3, loc), Π-периодических в R3, вектор-функции φqr и
uqr определены равенствами
φqr =
1
2
(xqe
r + xre
q), uqr = vqrχG(x) + wqrχΠ\G(x),
χB(x) — характеристическая функция области B ∈ Π, λ — произвольное комплекс-
ное число с Reλ > 0. Эта задача имеет единственное с точностью до постоянного
вектора решение (wqr, vqr).
Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1446 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Ãnpqr(λ) = 2µ
∫
G
3∑
i,k=1
γik
[
vnp
]
γik
[
vqr
]
dx+
+
1
λ
∫
Π\G
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[wnp]γlm[wqr]dx. (1.8)
Тензор Ãnpqr(λ) аналитичен в области Reλ > 0, обладает симметриями Ãiklm =
= Ãkilm = Ãlmik = Ãikml, Ãnpqr(λ̄) = Ãnpqr(λ), положительно определен при
λ > 0 и справедлива оценка ∣∣Ãnpqr∣∣ ≤ C
λ
.
Следовательно, существует обратное преобразование Лапласа
Anpqr(t) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
Ãnpqr(λ)eλtdλ, σ > 0, (1.9)
причем Anpqr(t) ∈ L2(−∞,∞), Anpqr(t) = 0 при t < 0 и Im Anpqr(t) = 0.
Введем вектор-функцию смещения
ûε(x, t) = uε(x, t)χε(x) + (1− χε(x))
t∫
0
vε(x, τ)dτ, (1.10)
где χε(x) — характеристическая функция области Ωε.
Следующая теорема является частным случаем основного результата рабо-
ты [1].
Теорема 1. Пусть начальные скорости задачи (1.1) – (1.6) сходятся к вектор-
функциям U1 ∈ L2(Ω), V 1 ∈ L2(Ω) так, что
lim
ε→0
∫
Ωε
|U1
ε − U1|2dx = 0, lim
ε→0
∫
Gε
|V 1
ε − V 1|2dx = 0.
Тогда вектор-функция смещения ûε(x, t) сходится в L2(ΩT ) (ΩT = Ω × [0, T ]) к
вектор-функции u(x, t), являющейся решением задачи
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
t∫
0
Anpqr(t− τ)
∂
∂τ
γqr[u(x, τ)]dτ
ep = 0,
x ∈ Ω× [0, T ],
(1.11)
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, (1.12)
u(x, 0) = 0,
∂u
∂t
(x, 0) = V (x), x ∈ Ω, (1.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1447
где
ρ = ρf
|G|
|Π|
+ ρs
|Π \G|
|Π|
, V (x) =
ρf
ρ
|G|
|Π|
V 1(x) +
ρs
ρ
|Π \G|
|Π|
U1(x),
а коэффициенты Anpqr(t) определяются формулами (1.8), (1.9).
Рассматриваемая композитная среда частично заполнена фрагментами погло-
щающей (демпфирующей) среды (каверны с вязкой жидкостью). Поэтому, исхо-
дя из физических соображений, можно ожидать, что в отличие от чисто упругой
среды колебания такой среды будут затухать со временем. Авторам не известны
работы, в которых бы приводились исследования затухания колебаний композит-
ной среды, описываемой системой (1.1) – (1.4). Скалярный аналог этой системы
(уравнение теории упругости заменено волновым уравнением, а уравнение На-
вье – Стокса — уравнением теплопроводности) рассматривалися в ряде работ (см.,
например, [2, 5]), в которых было установлено, что характер затухания (степен-
ной, или экспоненциальный) зависит от расположения подобластей, заполненных
демпфирующей средой. Грубо говоря, колебания затухают экспоненциально, ес-
ли в области Ω не существует замкнутой ломаной, звенья которой не пересекают
подобласти, заполненные демпфирующей средой, и отражаются от границы ∂Ω
по закону зеркального отражения. Поскольку при выводе усредненного уравне-
ния (1.11), являющегося моделью эффективной среды, соответствующей рассмат-
риваемой композитной среде, проводится дробление демпфирующих включений и
все более плотное размещение их в области Ω, вероятность существования такой
ломаной становится все меньшей (для границ ∂Ω общего положения). Поэтому
можно ожидать, что решения задачи (1.11) – (1.13) будут затухать экспоненциаль-
но. В данной работе мы строго докажем это в случае, когда вязкость µ жидкости,
заполненяющей каверны, достаточно мала.
Сначала мы исследуем поведение компонент тензора {Anpqr(t) = Anpqr(t, µ)}
при µ→ 0 и покажем, что имеет место асимптотическая формула
Anpqr(t) ∼ A0
npqr + µA1
npqrδ(t) µ→ 0, (1.14)
где {A0
npqr}3n,p,q,r=1 и {A1
npqr}3n,p,q,r=1 — положительно определенные тензоры в
R3, δ(t) — функция Дирака. Затем, используя этот результат, докажем, что решения
задачи (1.11) – (1.13) в L2(Ω)-метрике затухают экспоненциально.
Точный математический смысл формулы (1.14) дает следующая лемма.
Лемма 1. Для любой функции ϕ(x) ∈ C∞0 (R1) справедлива оценка∫
(Anpqr(t)−A0
npqr − µA1
npqrδ(t))ϕ(t)dt = O(µ2).
Тензоры {A0
npqr}3n,p,q,r=1 и {A1
npqr}3n,p,q,r=1 выражаются с помощью решений
соответствующих краевых задач в областях Π \G и G.
Доказательство леммы 1 и точное определение {A0
npqr}3n,p,q,r=1 и {A1
npqr}3n,p,q,r=1
приведены в п. 2.
Согласно (1.14) задача (1.11) – (1.13) при малых µ принимает вид
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(
A0
npqrγqr[u]
)
ep−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1448 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
−µ
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(
A1
npqrγqr
[
∂u
∂t
])
ep = 0, x ∈ Ω,
(1.15)
u(x, 0) = 0,
∂u
∂t
= V (x).
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2. Решение задачи (1.15) при t → ∞ убывает экспоненциально в
следующем смысле: ∫
|u(x, t)|2dx ≤ Ce−µαt,
где положительные постоянные C и α зависят только от ρ, {A0
npqr}, {A1
npqr}
и Ω.
Доказательство теоремы приведено в п. 3.
2. Асимптотическое разложение тензора {Anpqr(t)}. Рассмотрим ячеечную
задачу (1.7). Будем искать ее решение {wqr(x, λ), vqr(x, λ), pqr(x, λ)} в виде разло-
жения по степеням µ
wqr(x, λ) =
∞∑
n=0
µnwqrn (x, λ),
vqr(x, λ) =
∞∑
n=0
µnvqrn (x, λ),
pqr(x, λ) =
∞∑
n=1
µnpqrn (x, λ).
Подставляя эти разложения в (1.7), получаем, что вектор-функцииwqr0 (x, λ), vqr0 (x, λ)
являются решениями следующих краевых задач:
L[w0] ≡
3∑
i,k,l,m=1
(aiklmγlm[w0]) ek = 0, x ∈ Π \G,
Ts[w0] ≡
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγlm[w]νie
k = −p0ν, p0 = const,
∫
∂G
w0 · νdS = 0,
w0χΠ\G + v0χG − φqr ∈ H1
per(Π)
(a0)
и
∆v0 = ∇p1, div v0 = 0, x ∈ G,
v0 = w0, x ∈ ∂G.
(b0)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1449
При n ≥ 1 соответствующие задачи имеют вид
L[wn] = 0, x ∈ Π \G,
1
λ
Ts[wn] = 2
3∑
i,k=1
γik[vn−1]νie
k − pnν, x ∈ ∂G,
∫
∂G
wn · νdS = 0,
wnχΠ\G + vnχG ∈ H1
per(Π);
(an)
∆vn = ∇pn+1, div vn = 0, x ∈ G,
vn = wn, x ∈ ∂G.
(bn)
Здесь для простоты опущены верхние индексы q, r у функций wn, vn, pn, n =
= 0, 1, . . . .
Введем такие обозначения:
AG[η, ζ] = 2
∫
G
3∑
i,k=1
γik[η]γik[ζ̄]dx,
AΠ\G[η, ζ] =
∫
Π\G
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[η]γlm[ζ̄]dx,
(2.1)
ŵN = w −
N∑
n=0
µnwn, v̂N = v −
N∑
n=0
µnvn, p̂N = p−
N+1∑
n=0
µnpn, (2.2)
где (w, v, p) — решение задачи (1.7), (wn, vn; pn, pn+1) — решение задач (an), (bn),
n = 0, 1, . . . , N .
Лемма 2. Задачи (an), (bn), n ≥ 0, и (1.7) имеют единственные с точностью
до аддитивных векторов решения (wn, vn) и (u, v) и справедливы оценки
A
1/2
G [v̂N , v̂N ] ≤ CN+1µN+1|λ|N+1,
A
1/2
Π\G[ŵN , ŵN ] ≤ CN+1µN+3/2|λ|N+3/2,
(2.3)
где постоянная C зависит лишь от коэффициентов {aiklm} и областей G и Π\G.
Доказательство. Прежде всего заметим, что для вектор-функций из про-
странства H1
per(Π) с нулевым средним выполняется неравенство Корна (см., на-
пример, [6])
‖w‖W 1
2 (Π) ≤ C
∫
Π
3∑
i,k=1
γ2
ik[w]dx. (2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1450 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Обозначим через H1
per(Π, G) подпространство в H1
per(Π) вектор-функций, со-
леноидальных в области G ⊂ Π, а через H1
per(Π \G) множество вектор-функций,
являющихся ограничением на Π\G вектор-функций изH1
per(Π, G). Ясно, что такие
вектор-функции имеют нулевые потоки через ∂G, т. е.∫
∂G
w · νdS = 0.
Учитывая это и гладкость поверхности ∂G, можно показать, что существует ли-
нейный ограниченный оператор продолжения PG : w ∈ H1
per(Π \ G) → PGw ∈
∈ H1
per(Π, G) такой, что
‖PGw‖W 1
2 (Π) ≤ C‖w‖W 1
2 (Π\G), (2.5)
где постоянные C не зависят от w.
Мы также будем пользоваться оператором продолжения P̃G вектор-функций
u ∈W 1
2 (Π \G) до вектор-функций ũ = P̃Gu ∈W 1
2 (Π), свойства которого устанав-
ливаются в следующей лемме.
Лемма 3. Любую вектор-функцию u ∈ W 1
2 (Π \ G) можно продолжить до
вектор-функции ũ = P̃Gu ∈W 1
2 (Π) так, чтобы выполнялись неравенства
∫
Π
∑
γ2
ik[ũ]dx ≤ C
∫
Π\G
3∑
i,k=1
γ2
ik[u]dx,
где постоянная C не зависит от u.
Доказательство. Рассмотрим вектор-функцию
v(x) = u(x)− a− ω × x, (2.6)
где a и ω — постоянные векторы,
a =
1
|Π \G|
∫
Π\G
u(x)dx,
ω =
1
2|Π \G|
∫
Π\G
rotu(x)dx.
Легко убедиться, что ∫
Π\G
v(x)dx = 0,
∫
Π\G
rotv(x)dx = 0 (2.7)
и ∫
Π\G
3∑
i,k=1
γ2
ik[v]dx =
∫
Π\G
3∑
i,k=1
γ2
ik[u]dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1451
В силу (2.7) v удовлетворяет неравенству Корна
‖v‖2W 1
2 (Π\G) ≤ C1
∫
Π\G
3∑
i,k=1
γ2
ik[u]dx. (2.8)
Продолжим вектор-функцию v(x) ∈ W 1
2 (Π \ G) до функции ṽ(x) ∈ W 1
2 (Π) так,
чтобы выполнялось неравенство
‖ṽ‖W 1
2 (Π) ≤ C2‖v‖W 1
2 (Π\G). (2.9)
Возможность такого продолжения и линейность отображения v → ṽ доказаны,
например, в [7].
Учитывая (2.6), полагаем
ũ(x) = ṽ(x) + a+ ω × x.
Тогда из определения ũ(x), (2.9), (2.8), следует, что отображение u→ ũ линейно и
выполняются неравенства ∫
Π
3∑
i,k=1
γ2
ik[ũ]dx =
=
∫
Π
3∑
i,k=1
γ2
ik[ṽ]dx ≤ C2‖v‖2W 1
2 (Π\G) ≤ C1C2
∫
Π\G
3∑
i,k=1
γ2
ik[u]dx.
Лемма 3 доказана.
Рассмотрим задачу (a0). Будем искать ее решение w0(x) в виде
w0(x) = ϕφqr + ŵ0(x), (2.10)
где φqr(x) =
1
2
(xre
q+xqe
p), а ϕ(x) — функция класса C2(Π\G), равная 0 в окрест-
ности ∂G и 1 в окрестности ∂Π. Тогда вектор-функция ŵ0(x) должна принадлежать
пространству H1
per(Π \G) и удовлетворять тождеству
AΠ\G[ŵ0(x), ζ] = Φ[ζ] ∀ζ ∈ H1
per(Π \G), (2.11)
где
AΠ\G[η, ζ] =
∫
Π\G
3∑
i,k=1
anpqrγnp[η]γqr[ζ̄]dx
— билинейная (в терминах [8] полуторалинейная) форма в H1
per(Π \G), а
Φ[ζ] = 2
∫
Π\G
L[ϕφnp]ζ̄dx
— антилинейный функционал в H1
per(Π \G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1452 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Очевидно, формаAΠ\G и функционал Φ ограничены в пространствеH1
per(Π\G).
Введем подпространство
◦
H 1
per(Π\G) ⊂ H1
per(Π\G) вектор-функций изH1
per(Π\G)
и нулевым средним. Тогда, учитывая положительную определенность тензора упру-
гости {anpqr} и неравенство Корна типа (2.4) для области Π \ G (т. е. для вектор-
функций u ∈
◦
H 1
per(Π \G)), получаем, что билинейная форма AΠ\G[η, ζ] является
коэрцитивной в H1
per(Π \G), т. е.
A[ζ, ζ] ≥ C‖ζ‖2W 1
2 (Π\G).
Поэтому согласно теореме Лакса – Мильграма вариационное уравнение (2.11) име-
ет единственное решение ŵ0 ∈
◦
H 1
per(Π\G), а формула (2.10) дает решение задачи
(a0), причем
‖w0‖W 1
2 (Π\G) < C0. (2.12)
Задачу (b0) можно представить как задачу минимизации∫
G
|∇v|2dx→ min
v∈J0(G)
в классе J0(G) соленоидальных вектор-функций, равных w0(x) на ∂G. Такая задача
имеет единственное решение v0 и в силу (2.5)
‖v0‖W 1
2 (G) ≤ ‖PGw0‖W 1
2 (Π) ≤ C‖w0‖W 1
2 (Π\G). (2.13)
Введем в пространстве
◦
H 1
per(Π \G) антилинейный функционал
Ψ[ζ] = 2
∫
G
3∑
i,k=1
γik[vn−1]γik[PGζ̄]dx,
где PG — оператор продолжения: w ∈ H1
per(Π \G)→ PGw ∈ H1
per[Π, G], а vn−1 —
решение задачи (bn−1). Аналогично предыдущему устанавливаем, что существует
вектор-функция wn(x) ∈
◦
H 1
per(Π \G), удовлетворяющая тождеству
AΠ\G[wn, ζ] = λΨ[ζ] ∀ζ ∈
◦
H 1
per(Π \G),
причем
‖wn‖W 1
2 (Π\G) ≤ λC2‖vn−1‖W 1
2 (G). (2.14)
Эта вектор-функция является решением задачи (an). Решение задачи (bn) строится
с помощью wn так же, как для (b0), и, значит,
‖vn‖W 1
2 (G) ≤ C1‖wn‖W 1
2 (Π\G). (2.15)
Из (2.12) – (2.15) следуют оценки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1453
‖wn‖W 1
2 (Π\G) ≤ |λ|nC0C
n
1 C
n
2 ,
‖vn‖W 1
2 (G) ≤ |λ|nC0C
n+1
1 Cn2 ,
(2.16)
где постоянные C0, C1, C2 зависят только от областей G и Π \ G. Легко видеть,
что решения wn, vn можно нормировать так, чтобы выполнялось равенство∫
G
vndx+
∫
Π\G
wndx = 0, n = 0, 1, . . . , (2.17)
и оценки вида (2.16).
Перейдем теперь к выводу оценок (2.3). Из (2.2), (1.7), (an), (bn) следует, что
(ŵN , v̂N , p̂N ) — решение задачи
L[ŵN ] = 0, x ∈ Π \G,
µ∆v̂N = ∇p̂N , divv̂N = 0, x ∈ G,
ŵN = v̂N , x ∈ ∂G,
1
λ
Ts[ŵN ] = 2µ
3∑
i,k=1
γik[v̂N ]νie
k + µN+1
3∑
i,k=1
γik[vN ]νie
k − p̂N+1ν,
∫
G
v̂Ndx+
∫
Π\G
ŵNdx = 0.
(2.18)
Обозначим через
◦
H 1
per(Π, G) подпространство вектор-функций из H1
per(Π, G) с
нулевым средним. Определим в этом подпространстве билинейную форму
Aλ[η, ζ] = µAG[η, ζ] +
1
λ
AΠ\G[η, ζ] (2.19)
и антилинейный функционал
ΨN (ζ) = 2µN+1
∫
G
3∑
i,k=1
γik[vN ]γik[ζ̄]. (2.20)
Здесь AG[η, ζ] и AΠ\G[η, ζ] определены равенством (2.1). Тогда, учитывая, что
p0 = const, а vN — решение задачи (bN ), задачу (2.18) можно сформулировать в
такой вариационной постановке: найти вектор-функцию ûN = ŵNχΠ\G + v̂NχG ∈
∈
◦
H 1
per(Π, G), удовлетворяющую равенству
Aλ[ûN , ζ] = ΨN [ζ] ∀ζ ∈
◦
H1
per(Π, G). (2.21)
Покажем, что билинейная форма (2.19) коэрцитивна в пространстве
◦
H1
per(Π, G).
Действительно, из равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1454 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Aλ[u, u] = 2µ
∫
G
3∑
i,k=1
|γik(u)|2dx+
Reλ
|λ|2
∫
Π\G
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[u]γlm[ū]dx −
− i
Imλ
|λ|2
∫
Π\G
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[u]γlm[ū]
и положительной определенности тензора упругости {aiklm} следует, что при µ > 0
и Reλ > 0
|Aλ[u, u]| > C1 min
{
µ,
Reλ
|λ|2
}∫
Π
3∑
i,k=1
|γik[u]|2dx.
Отсюда, учитывая (2.17), (2.2) и неравенство Корна (2.4), получаем
|Aλ[u, u]| ≥ C min
{
µ,
Reλ
|λ|2
}
‖u‖2W 1
2 (Π), C > 0. (2.22)
Таким образом, билинейная форма Aλ[η, ζ] коэрцитивна и, следовательно, согласно
теореме Лакса – Мильграма вариационная задача (2.21) имеет единственное реше-
ние ûN ∈
◦
H 1
per(Π, G). Отсюда с помощью (2.2) заключаем, что и задача (1.7) при
µ > 0 и Reλ > 0 имеет единственное решение (w, v, p).
Учитывая (2.19), (2.20) и полагая в равенстве (2.21) ζ = ûN , записываем его в
виде
µAG[ûN , ûN ] +
Reλ
|λ|2
AΠ\G[ûN , ûN ]−
−i Imλ
|λ|2
AΠ\G[ûN , ûN ] = µN+1AG[uN , ûN ].
Из этого равенства следует, что
AG[v̂N , v̂N ] ≤ µ2NAG[vN , vN ]
и
AΠ\G[ŵN , ŵN ] ≤ 2µ2N+1|λ|AG[vN , vN ].
Отсюда, учитывая (2.16), заключаем, что существует постоянная C такая, что
A
1/2
G [v̂N , v̂N ] ≤ µN |λ|NCN ,
A
1/2
Π\G[ŵN , ŵN ] ≤ µN+1/2|λ|N+1/2CN .
Поскольку эти оценки верны для любого N, используя еще раз оценки (2.16) и
равенствами ŵN+1 = ŵN + µN+1wN , v̂N+1 = v̂N + µN+1vN , приходим к оцен-
кам (2.3).
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1455
3. Доказательство леммы 1. Сначала уточним постановку леммы, а именно,
определим компоненты тензоров {A0
npqr} и {A1
npqr} формулами
A0
npqr =
∫
Π\G
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[wnp0 ]γlm[wqr0 ]dx,
A1
npqr = 2
∫
G
3∑
i,k=1
γik[vnp0 ]γik[vqr0 ]dx,
(3.1)
где wnp0 и vnp0 — решения задач (a0) и (b0) соответственно. Учитывая свойства
вектор-функций wnp0 и vnp0 , симметричность и положительную определенность
тензора упругости {aiklm}, можно показать, что тензоры {A0
npqr} и {A1
npqr} сим-
метричны A0,1
npqr = A0,1
pnqr = A0,1
qrnp и положительно определены, т. е.∑
A0,1
npqrtnpt̄qr ≥ C|tnp|2 ∀{tnp : tnp = tpn}.
Пусть ϕ(x) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция с компактным
носителем: ϕ ∈ C∞0 (R). Учитывая (1.9), записываем
I =
∞∫
−∞
(Anpqr(t)−A0
npqr − µA1
npqrδ(t))ϕ(t)dt =
=
1
2πi
∞∫
−∞
d6
dt6
σ+i∞∫
σ−i∞
(
Ãnpqr(λ)−
A0
npqr
λ
− µA1
npqr
)
eλt
λ6
dλ
ϕ(t)dt =
=
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
Ãnpqr(λ)−
A0
npqr
λ
− µA1
npqr
)
eλt
λ6
dλ
d6ϕ
dt6
d ∀σ > 0.
Отсюда, используя равенства (1.8), (2.1), (3.1) (при N = 1), получаем
I =
µ
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
∫
Π\G
∑
aiklm
(
γik[wnp0 ]γlm[wqr1 ] +
+ γik[wnp1 ]γlm[wqr0 ]
)
dx
eλt
λ7
dλ
d6ϕ
dt6
dt−
6∑
i=1
Ii,
где
I1 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
µ2AG
[
vnp0 , vqr1
]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1456 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
+ µ2AG
[
vnp1 , vqr0
]
+
1
λ
AΠ\G = [wnp1 , wqr1
])eλt
λ6
dλ
d6ϕ
dt6
dt,
I2 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
µAG[vnp0 , v̂qr1 ] +
+ µAG
[
v̂np1 , vqr0
]
+ µ3AG[vnp1 , vqr1 ]
)eλt
λ6
dλ
d6ϕ
dt6
dt,
I3 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
µ2AG
[
vnp1 , v̂qr1
]
+ µ2AG[v̂np1 , vqr1 ]
)eλt
λ6
dλ
d6ϕ
dt6
dt,
I4 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
AΠ\G
[
wnp0 , ŵqr1
]
+AΠ\G
[
ŵnp1 , wqr0
])eλt
λ7
dλ
d6ϕ
dt6
dt,
I5 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
µAΠ\G
[
wnp1 , ŵqr1
]
+ µAΠ\G
[
ŵnp1 , wqr1
])eλt
λ7
dλ
d6ϕ
dt6
dt,
I6 =
1
2πi
∞∫
−∞
σ+i∞∫
σ−i∞
(
µAG[v̂np1 , v̂qr1 ] +
1
λ
AΠ\G
[
ŵnp1 , ŵqr1
])eλt
λ6
dλ
d6ϕ
dt6
dt.
Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, в чем можно убе-
диться с помощью интегрирования по частям по области Π \ G с учетом свойств
решенийw0 иw1 краевых задач (a0), (a1). Остальные слагаемые оценим с помощью
леммы 2 и неравенств (2.16). Тогда получим
Ii = O(µi+1λi), i = 1, 2, 3, I4 = O(µ5/2λ3/2),
I5 = O(µ7/2λ5/2), I6 = O(µ5λ4).
Учитывая это, приходим к оценке
|I| ≤ Cµ2,
где постоянная C зависит от ϕ ∈ C∞0 (R).
Лемма 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 1. Пусть u(x, t) — решение задачи (1.15). Тогда его
преобразование Лапласа по t
ũ(x, λ) =
∞∫
0
e−λtu(x, t)dt, Reλ > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1457
является решением краевой задачи
λ2ρũ−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(A0
npqrγqr[ũ])ep−
−µλ
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(A1
npqrγqr[ũ])ep = ρV, x ∈ Ω, (4.1)
ũ(x, λ) = 0, x ∈ ∂Ω.
Представим эту задачу в вариационной форме. Для этого в пространстве вектор-
функций
◦
W 1
2(Ω) рассмотрим полуторалинейную форму
A[u, v] = λ2ρ
∫
Ω
uv̄dx + µλ
∫
Ω
3∑
n,p,q,r=1
A1
npqrγnp[u]γqr[v̄]dx+
+
∫
Ω
3∑
n,p,q,r=1
A0
npqrγnp[u]γqr[v̄]dx, λ 6= 0, (4.2)
и антилинейный функционал
L[v] = ρ
∫
Ω
V v̄dx. (4.3)
Задачу (4.1) можно сформулировать в такой вариационной форме: найти функцию
u ∈
◦
W 1
2(Ω), удовлетворяющую тождеству
A[u, v] = L[v] ∀v ∈
◦
W 1
2(Ω). (4.4)
Форма A[u, v] и функционал L[v] ограничены в
◦
W 1
2(Ω). Покажем, что существует
положительное число α0 такое, что при Reλ ≥ −α0 форма A[u, v] коэрцитивна.
Введем следующие обозначения:
A[u] = A[u, u] = λ2ρ‖u‖2 + µλA1[u] +A0[u],
где
Ai[u] =
∫
Ω
3∑
n,p,q,r
Ainpqrγnp[u]γqr[u]dx, i = 0, 1. (4.5)
Полагая λ = α+ iβ, отделяем вещественную и мнимую части:
ReA[u] = (α2 − β2)ρ‖u‖2 + αµA1[u] +A0[u],
ImA[u] = 2αβρ‖u‖2 + βµA1[u].
(4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1458 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Из (4.5), в силу положительной определенности тензоров {A0
npqr} и {A1
npqr} и
неравенства Фридрихса, следует
0 < a0 ≤
A1[u]
A0[u]
≤ a1 <∞ ∀u ∈
◦
W 1
2(Ω), u 6= 0,
0 <
ρ‖u‖2
A0[u]
≤ κ <∞ ∀u ∈
◦
W 1
2(Ω), u 6= 0.
Используя эти неравенства, из равенств (4.6) получаем
|ReA[u]| ≥ 1
4
A0[u] при |β| ≤ 1
2κ
, α ≥ − 1
4µa1
,
|ImA[u]| ≥ µa0|β|
4
A0[u] при |β| ≥ 1
2κ
, α ≥ µa0
4κ
.
(4.7)
Положим
α0 = min
(
µa0
4κ
,
1
4µa1
)
. (4.8)
В силу неравенства Корна из (4.7), (4.8) следует, что при α ≥ −α0 и µ > 0
|A[u]| ≥ C‖u‖2◦
W 1
2(Ω)
,
где постоянная C > 0 не зависит от u ∈
◦
W 1
2 (Ω) и β, но зависит от µ.
Таким образом, форма A[u, v] коэрцитивна в
◦
W 1
2 (Ω) при Reλ > −α0 и, значит,
задача (4.4) имеет единственное решение ũ(x, λ). Поскольку форма A[u, v] есть
полином от λ, а функционал L[v] не зависит от λ, отсюда следует (см., например,
[9]), что решение ũ(x, λ) аналитично по λ при Reλ > −α0. Кроме того, с помощью
(4.6), (4.7) легко получить оценку
‖ũ‖L2(Ω) ≤
C
1 + β2
(
1 +
1
1 + |β|µ
)
, Reλ > −α0, (4.9)
где постоянная C не зависит от µ и β.
Учитывая все это, решение задачи (1.15) представим в виде
u(x, t) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
ũ(x, λ)eλtdλ =
e−α0t
2π
∞∫
−∞
ũ(x,−α0 + iβ)eiβtdβ. (4.10)
Отсюда, используя равенство Парсеваля, получаем
t+1∫
t
∫
Ω
|u(x, τ)|2dxdτ ≤ e−2α0t
2π
∞∫
−∞
∫
Ω
∣∣ũ(x,−α0 + iβ)
∣∣2dxdβ.
Из этого неравенства, в силу (4.9) следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ ЗАТУХАНИИ КОЛЕБАНИЙ . . . 1459
t+1∫
t
∫
Ω
|u(x, τ)|2dxdτ ≤ C0e
−2α0t. (4.11)
Аналогично, с помощью (4.10) и (4.9) получаем
t+1∫
t
∫
Ω
∣∣∣∣∂u∂τ (x, τ)
∣∣∣∣2 dxdτ ≤ C1e
−2α0t. (4.12)
Здесь постоянные C0 и C1, вообще говоря, зависят от µ : C0, C1 ∼
C
µ
при µ→ 0.
Воспользуемся неравенством
∫
Ω
|u(x, t)|2dx ≤
t+1∫
t
∫
Ω
|u(x, τ)|2dxdτ +
t+1∫
t
∫
Ω
∣∣∣∣∂u∂τ
∣∣∣∣2 dxdτ,
которое легко получить стандартным образом с помощью формулы Ньютона –
Лейбница с переменными пределами. Тогда, учитывая, что согласно (4.7) α0 = µ
a0
4κ
при µ ≤
√ κ
a0a1
, из (4.11), (4.12) получаем требуемую оценку теоремы 2.
1. Гончаренко М. В., Хруслов Е. Я. Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды //
Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 10. – С. 1309 – 1329.
2. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization
of waves from the boundary // SIAM J. Contr. Optim. – 1992. – 30. – P. 1024 – 1065.
3. Zhang X., Zuazua E. Decay of solutions of the system of thermoelasticity of type III // Comm. Contemp.
Math. – 2003. – 5, № 1. – P. 25 – 83.
4. Rauch J., Zhang X., Zuazua E. Polinomial decay for hyperbolic-parabolic coupled system // J. math.
pures et appl. – 2005.
5. Duyckaerts T. Optimal decay rates of the energy of a hyperbolic-parabolic system coupled by an interface
// Asymptotic Analysis. – 2007. – 51. – P. 17 – 45.
6. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных
упругих сред. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 312 с.
7. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. – Киев: Наук. думка,
2005. – 549 c.
8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – М.: Мир, 1984. – 472 с.
9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 563 c.
Получено 28.02.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2817 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:55Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/86/103679ce0f4a855409a69efd92540e86.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28172020-03-18T19:37:24Z On the exponential decay of vibrations of damped elastic media Об экспоненциальном затухании колебаний увлажненной упругой среды Goncharenko, M. V. Khruslov, E. Ya. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. We consider a homogenized system of equations that is a macroscopic model of nonstationary vibrations of an elastic medium with a large number of small cavities filled with viscous incompressible liquid (wet elastic medium). It is proved that the solution of the initial boundary-value problem for this system in a bounded domain $\Omega$ tends to zero in the metric of $L_2(\Omega)$ exponentially with time. Розглядається усереднена система рiвнянь, що є макроскопiчною моделлю коливань пружного середовища з дрiбними кавернами, заповненими в’язкою нестисливою рiдиною (зволожене пружне середовище). Доведено, що розв’язок початково-крайової задачi для цiєї системи у обмеженiй областi $\Omega$ експоненцiально за часом прямує до нуля у метрицi $L_2(\Omega)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2817 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 11 (2011); 1443-1459 Український математичний журнал; Том 63 № 11 (2011); 1443-1459 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2817/2387 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2817/2388 Copyright (c) 2011 Goncharenko M. V.; Khruslov E. Ya. |
| spellingShingle | Goncharenko, M. V. Khruslov, E. Ya. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. Гончаренко, М. В. Хруслов, Е. Я. On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_alt | Об экспоненциальном затухании колебаний увлажненной упругой среды |
| title_full | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_fullStr | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_full_unstemmed | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_short | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_sort | on the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2817 |
| work_keys_str_mv | AT goncharenkomv ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT khrusloveya ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT gončarenkomv ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT hrusloveâ ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT gončarenkomv ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT hrusloveâ ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT goncharenkomv obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy AT khrusloveya obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy AT gončarenkomv obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy AT hrusloveâ obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy AT gončarenkomv obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy AT hrusloveâ obéksponencialʹnomzatuhaniikolebanijuvlažnennojuprugojsredy |