Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation
We classify two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation in a multidimensional Euclidean space.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2818 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508797546528768 |
|---|---|
| author | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. |
| author_facet | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. |
| author_sort | Gor'kavyi, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:24Z |
| description | We classify two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation in a multidimensional
Euclidean space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:30:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514
В. А. Горькавый, Е. Н. Невмержицкая
(Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
О ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
С ВЫРОЖДЕННЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ БИАНКИ
We classify two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation in a multidi-
mensional Euclidean space.
Класифiковано двовимiрнi псевдосферичнi поверхнi з виродженим перетворенням Бiанкi в багатови-
мiрному евклiдовому просторi.
1. Введение. Работа посвящена описанию двумерных псевдосферических поверх-
ностей с вырожденным преобразованием Бианки в многомерном евклидовом про-
странстве.
Напомним классическое определение преобразования Бианки (см. [1, 2]). Пусть
F 2 — псевдосферическая поверхность в E3, т. е. поверхность с постоянной отрица-
тельной гауссовой кривизной K ≡ −1. Зададим F 2 радиусом-вектором r = r(u, v)
в орициклических координатах (u, v), когда метрика поверхности имеет вид
ds2 = du2 + e−2vdv2. (1)
По определению преобразование Бианки переводит поверхность F 2 в новую по-
верхность F̃ 2 ⊂ E3 с радиусом-вектором
r̃(u, v) = r + ∂ur. (2)
Данное преобразование имеет ряд интересных свойств, основным среди кото-
рых является следующее (ср. с [1, 2]).
Теорема 1. Преобразованная поверхность F̃ 2 ⊂ E3 является псевдосфери-
ческой и имеет ту же гауссову кривизну, что и F 2, т. е. K̃ ≡ K ≡ −1.
Таким образом, преобразование Бианки позволяет по заданной псевдосфери-
ческой поверхности строить новые псевдосферические поверхности. Основная
трудность построения состоит в задании орициклической системы координат на
псевдосферической поверхности F 2.
Преобразование Бианки было обобщено Ю. А. Аминовым на случай Fn в
E2n−1, n > 3 (см. [1], гл. 10:24, [3]). Псевдосферическое подмногообразие Fn
задавалось радиусом-вектором r = r(u, v1, . . . , vn−1) в орисферических коорди-
натах (u, v1, . . . , vn−1), метрика записывалась в стандартном виде ds2 = du2 +
+e−2u
(∑n−1
i=1
dv2i
)
. Преобразование Бианки строилось по формуле (2), при этом
оказалось, что имеет место аналог теоремы 1: преобразование Бианки переводит
псевдосферическое подмногообразие Fn ⊂ E2n−1 в псевдосферическое подмного-
образие F̃n ⊂ E2n−1 той же постоянной отрицательной секционной кривизны.
Актуальным является вопрос о построении теории преобразования Бианки и бо-
лее общего преобразования Беклунда для псевдосферических подмногообразий в
евклидовых пространствах произвольной размерности. Ю. А. Аминов и А. Сым [4]
решали эту задачу для двумерных псевдосферических поверхностей в четырех-
мерном евклидовом пространстве E4. На поверхности с кривизной K ≡ −1 выби-
c© В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ, 2011
1460 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ . . . 1461
рались орициклические координаты, и преобразование Бианки строилось по стан-
дартной формуле (2). Оказалось, что преобразованная поверхность, вообще говоря,
уже не будет псевдосферической, т. е. теорема 1 для псевдосферических поверх-
ностей в E4 не верна. С другой стороны, было показано, что при некоторых до-
полнительных требованиях преобразование Бианки все же переводит псевдосфе-
рическую поверхность в псевдосферическую. Иначе говоря, был выделен класс
специальных псевдосферических поверхностей в E4, для которых теорема 1 вер-
на [4]. Подробное описание этих поверхностей в терминах фундаментальных форм
представлено в [5].
В общем случае преобразование Бианки является регулярным. Но, вообще гово-
ря, на преобразованной поверхности F̃ могут возникать особенности (в теореме 1,
как и в ее многомерном аналоге, речь идет о регулярной части поверхности F̃ ).
Более того, иногда преобразованная поверхность F̃ может вырождаться в кривую
— в этом случае преобразование Бианки называется вырожденным.
В качестве примера рассмотрим поверхность Бельтрами (псевдосферу) в E3.
Эта поверхность получена вращением трактрисы, ее радиус-вектор можно пред-
ставить в виде
r =
(
Φ(u), e−u cos v, e−u sin v
)
, (3)
где функция Φ(u) определяется из соотношения |Φ′| =
√
1− e−2u. Легко прове-
рить, что координаты (u, v) на поверхности Бельтрами являются орициклическими,
а ее гауссова кривизна K ≡ −1. Применив к поверхности Бельтрами преобразо-
вание Бианки по формуле (2), получим вектор-функцию r̃ = (Φ + Φ′, 0, 0) которая
описывает прямую — ось вращения поверхности Бельтрами. Этот пример является
исключительным, других псевдосферических поверхностей с вырожденным пре-
образованием Бианки в E3 нет.
Основной целью работы является описание псевдосферических поверхностей с
вырожденным преобразованием Бианки в многомерном евклидовом пространстве
EN при произвольномN > 3. Ранее эта задача приN = 4 решалась нами в [6]: было
указано, какой вид должны иметь фундаментальные формы псевдосферической
поверхности F 2 в E4, чтобы ее преобразование Бианки было вырожденным.
В настоящей работе дается полное решение проблемы при произвольном N ≥
≥ 3. А именно, как основной результат, установлено, какой вид должен иметь
радиус-вектор псевдосферической поверхности F 2 в EN , чтобы ее преобразование
Бианки было вырожденным.
На первом этапе доказательства вводится специальный класс кривых в EN , ко-
торые названы обобщенными трактрисами. Затем с помощью применения к обоб-
щенным трактрисам специальных движений в EN строится специальный класс
псевдосферических поверхностей в EN , которые названы обобщенными поверх-
ностями Бельтрами. Доказывается, что каждая обобщенная поверхность Бельтра-
ми допускает преобразование Бианки, являющееся вырожденным. В завершающей
части показано, что если преобразование Бианки псевдосферической поверхнос-
ти в EN является вырожденным, то такая поверхность должна быть обобщенной
поверхностью Бельтрами.
Кроме того, в дополнение к основной части представлены конструктивные ме-
тоды построения обобщенных трактрис и обобщенных поверхностей Бельтрами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1462 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
в EN . Как применение изложенной методики, доказано, что любая кривая в En,
n 6 N − 2, локально может быть получена вырожденным преобразованием неко-
торой обобщенной поверхности Бельтрами в EN .
2. Обобщенные трактрисы. Пусть γ — регулярная ориентированная кривая в
En+1, не лежащая ни в каком подпространстве из En+1. От каждой точки кривой
γ отложим отрезок единичной длины вдоль касательной прямой соответственно
выбранной ориентации. Концы отрезков опишут новую кривую Γ.
Определение 1. Кривую γ ∈ En+1 назовем обобщенной трактрисой, если
Γ лежит в некотором подпространстве En ⊂ En+1. Кривую Γ назовем следом
обобщенной трактрисы γ.
Дадим аналитическое описание обобщенной трактрисы γ. Представим прост-
ранство En+1 в виде прямой суммы En+1 = En⊕E1 и зададим декартовы коорди-
наты x1, . . . , xn+1 в En+1 так, чтобы содержащее кривую Γ подпространство En
задавалось уравнением xn+1 = 0. Через e1, . . . , en+1 обозначим соответствующий
ортонормированный базис в En+1.
Пусть f(u) = (f1(u), . . . , fn(u), fn+1(u)) — радиус-вектор кривой γ. Не умень-
шая общности, будем предполагать, что u — натуральный параметр на γ, выбран-
ный в соответствии с ориентацией, т. е. |f ′| ≡ 1.
Кривая Γ задается радиусом-вектором ξ = f+f ′ = (f1 +f1
′, . . . , fn+1 +fn+1
′).
Следовательно, Γ лежит в гиперплоскости En тогда и только тогда, когда fn+1 +
+ fn+1
′ = 0. Решая это уравнение, получаем fn+1 = Be−u, где B — некоторая
постоянная. Поскольку предполагается, что γ не лежит ни в каком подпространстве
из En+1, константа B отлична от нуля. Применяя сдвиг u → u + u0, а если B
отрицательно, то и симметрию относительно рассматриваемой гиперплоскости En
в En+1, можно добиться того, что B = 1, т. е. fn+1 = e−u.
Таким образом, при соответствующем выборе декартовых координат в про-
странстве En+1 и натурального параметра на γ радиус-вектор обобщенной тракт-
рисы γ записывается как
f(u) =
(
f1(u), . . . , fn(u), e−u
)
, (4)
при этом условие натуральности параметра u имеет вид
(f1
′)2 + . . .+ (fn
′)2 = 1− e−2u. (5)
Для удобства введем вектор-функцию φ(u) = (f1(u), . . . , fn(u), 0). Тогда радиус-
вектор (4) запишется в виде
f = φ(u) + e−uen+1, (6)
а условие (5) примет вид
|φ′|2 = 1− e−2u. (7)
Как следствие, задание обобщенной трактрисы γ, параметризованной натуральным
параметром, сводится к заданию вектор-функции φ(u), удовлетворяющей (7). Что
касается кривой Γ, то ее радиус-вектор в терминах φ(u) записывается как ξ = φ+φ′.
Заметим, что если n = 1, то φ(u) представляет собой функцию, определяемую
из (7) однозначно с точностью до слагаемого и знака, a радиус-вектор (4) задает
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ . . . 1463
в точности обычную трактрису в E2. Если же n > 2, то вектор-функция φ(u)
определяется из (7) неоднозначно, что порождает большое разнообразие различных
обобщенных трактрис в En+1.
Обратим внимание, что любая обобщенная трактриса γ не является полной в
том смысле, что выбранный на γ натуральный параметр u должен удовлетворять
ограничению u > 0 в (7). Дальнейшее обсуждение свойств обобщенных трактрис
и методов их построения будет приведено в завершающей части статьи.
3. Обобщенные поверхности Бельтрами. Теперь рассмотрим пространство
En+1 = En ⊕E1 как подпространство в En+m = En ⊕Em, m > 2, естественным
образом дополнив выбранные выше декартовы координаты x1, . . . , xn+1 и орто-
нормированный базис e1, . . . , en+1 в En+1 до декартовых координат x1, . . . , xn+m
и ортонормированного базиса e1, . . . , en+m в En+m.
В пространстве En+m рассмотрим поверхность F 2 с радиусом-вектором
r(u, v) = φ(u) + e−uρ(v), (8)
где вектор-функция φ(u) = (f1(u), . . . , fn(u); 0, . . . , 0) удовлетворяет (7) и порож-
дает обобщенную трактрису γ с радиусом-вектором (4), а вектор-функция ρ(v) =
= (0, . . . , 0; ρ1(v), . . . , ρm(v)) удовлетворяет условиям
|ρ| ≡ 1, (9)
|ρ′| ≡ 1 (10)
и задает некоторую кривую γ∗, параметризованную натуральным параметром, на
единичной сфере Sm−1 ⊂ Em. С геометрической точки зрения, поверхность F 2
получена „вращением” обобщенной трактрисы γ вдоль сферической кривой γ∗.
Легко видеть, что при n = 1, m = 2 радиус-вектор (8), удовлетворяющий
указанным свойствам, описывает классическую поверхность Бельтрами (3). Если
же n ≥ 2 или m > 3, то предложенная конструкция позволяет строить и другие
поверхности, отличные от поверхности Бельтрами; будем называть их обобщен-
ными поверхностями Бельтрами. Естественность такого обобщения подтверждает
следующее утверждение.
Утверждение 1. Предположим, что поверхность F 2 в En+m = En ⊕ Em
задана радиусом-вектором (8), где φ(u) ∈ En и ρ(v) ∈ Em удовлетворяют усло-
виям (7), (9) и (10). Тогда F 2 обладает следующими свойствами:
1) F 2 является псевдосферической, гауссова кривизна K ≡ −1;
2) координаты (u, v) являются орициклическими, т. е. ds2 = du2 + e−2udv2,
а F 2 не является полной и представляет собой изометрически погруженный в
En+m орикруг плоскости Лобачевского;
3) преобразование Бианки (2), примененное к поверхности F 2, является вы-
рожденным.
Доказательство. Запишем касательные векторы поверхности F 2, дифферен-
цируя радиус-вектор (8):
∂ur = ((f1)′, . . . , (fn)′;−e−uρ1, . . . ,−e−uρm) = φ′ − e−uρ,
∂vr = (0, . . . , 0; e−u(ρ1)′, . . . , e−u(ρm)′) = e−uρ′.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1464 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
Учитывая, что φ(u) и ρ(v) лежат в ортогональных подпространствахEn иEm соот-
ветственно, и принимая во внимание условия (7), (9) и (10), не составляет труда
прямым вычислением скалярных произведений проверить, что первая фундамен-
тальная форма поверхности будет иметь вид ds2 = du2 + e−2udv2. Как следствие,
гауссова кривизнаK ≡ −1, поверхность F 2 является псевдосферической, а коорди-
наты u, v на ней являются орициклическими. Выполнение условия (7) накладывает
ограничение u > 0, т. е. F 2 изометрична орикругу плоскости Лобачевского.
Применяя к поверхности F 2 преобразование Бианки по формуле (2), получаем
r̃(u, v) = r + ∂ur = φ+ φ′.
Радиус-вектор r̃ зависит только от u, а значит, преобразованная поверхность F̃ 2
вырождается в кривую. Заметим, что вектор-функция φ+ φ′ описывает в точности
след Γ обобщенной трактрисы γ, вращением которой образована рассматриваемая
обобщенная поверхность Бельтрами F 2.
Утверждение доказано.
Таким образом, обобщенные поверхности Бельтрами наследуют основные гео-
метрические свойства классической поверхности Бельтрами.
4. Двумерные псевдосферические поверхности в EN с вырожденным пре-
образованием Бианки. В предыдущем пункте мы показали, что преобразование
Бианки двумерной обобщенной поверхности Бельтрами в EN будет вырожденным.
Оказывается, что только обобщенные поверхности Бельтрами обладают свойством
вырожденности преобразования Бианки. А именно, имеет место следующая те-
орема.
Теорема. Предположим, что преобразование Бианки двумерной псевдосфери-
ческой поверхности F 2 в евклидовом пространстве EN является вырожденным.
Тогда F 2 представляет собой обобщенную поверхность Бельтрами.
Доказательство. Пусть F 2 ⊂ EN — псевдосферическая поверхность с гауссо-
вой кривизнойK ≡ −1, заданная радиусом-вектором r = r(u, v) в орициклической
системе координат, когда ds2 = du2 + e−2udv2. Запишем необходимые нам урав-
нения Вейнгартена:
∂uur = Lσ11nσ, (11)
∂uvr = −∂vr + Lσ12nσ, (12)
где через nσ и Lσij обозначены ортонормированные нормали поверхности F 2 и
коэффициенты соответствующих им вторых фундаментальных форм.
Применим к поверхности F 2 преобразование Бианки по формуле (2) и запишем
касательные векторы преобразованной поверхности F̃ 2, продифференцировав (2)
и применив (11), (12):
∂ur̃ = ∂ur + ∂uur = ∂ur + Lσ11nσ,
∂v r̃ = ∂vr + ∂uvr = Lσ12nσ.
(13)
Преобразование Бианки вырождено тогда и только тогда, когда выполняется
условие [∂ur̃, ∂v r̃] ≡ 0. Подставляя (13), получаем условиеLσ12[nσ, ∂vr]+L
ν
11L
σ
12[nν ,
nσ] ≡ 0. Поскольку бивекторы [nσ, ∂vr], [nν , nσ] взаимно ортогональны, а значит и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ . . . 1465
линейно независимы, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда
Lσ12 ≡ 0, σ = 1, N − 2.
Таким образом, если преобразование Бианки вырожденное, то вторые фунда-
ментальные формы поверхности F 2 ⊂ EN диагональны, а значит, координатные
линии u = const и v = const орициклической системы координат являются еще и
линиями кривизны.
Уравнение (12) в рассматриваемой ситуации упрощается:
∂uvr = −∂vr. (14)
Его общее решение имеет вид
r(u, v) = ψ(v)e−u + β(u), (15)
где ψ(v) и β(u) — некоторые вектор-функции. Вследствие орицикличности коорди-
нат (u, v) на ψ(v) и β(u) накладываются определенные ограничения. В частности,
дифференцируя (15) и записывая условие 〈∂ur, ∂vr〉 = 0, соответствующее усло-
вию ортогональности орициклических координат, получаем соотношение
〈−ψe−u + β′, ψ′〉 = 0. (16)
Записав это равенство в виде 〈euβ′, ψ′〉 = 〈ψ,ψ′〉 и продифференцировав по u,
будем иметь
〈(euβ′)′ , ψ′〉 = 0. (17)
Заметим, что в левой части (17) первый сомножитель зависит от u, а второй — от
v. В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.
Лемма. Пусть вектор-функции ξ(u), η(v) ∈ EN таковы, что 〈ξ, η〉 ≡ 0.
Тогда существует разложение EN в прямую сумму взаимно ортогональных под-
пространств En, Em так, что ξ(u) ∈ En, η(v) ∈ Em.
Доказательство. Рассмотрим подпространство En1 , являющееся линейной
оболочкой всех значений вектор-функции ξ(u), и подпространствоEm1 , являющее-
ся линейной оболочкой всех значений вектор-функции η(v). Поскольку
〈ξ(u), η(v)〉 ≡ 0, подпространства En1 и Em1 взаимно ортогональны. Тогда прост-
ранство EN можно представить в виде прямой суммы этих подпространств и,
возможно, еще дополнительного третьего подпространства, ортогонального к пер-
вым двум: EN = En1 ⊕ Em1 ⊕ EN−(n1+m2). Относя третье слагаемое к первому
или второму, и получаем требуемое разложение.
Применяя лемму к вектор-функциям ξ = (euβ′)
′ и η = ψ′, взаимно ортогональ-
ным в силу (17), убеждаемся, что имеет место разложение EN = En ⊕ Em такое,
что (euβ′)
′ ∈ En, а ψ′ ∈ Em.
Из того, что ψ′ ∈ Em, следует, что ψ(v) = ψ0 + ψ̂(v), где ψ̂(v) ∈ Em —
некоторая вектор-функция, а ψ0 ∈ En — постоянный вектор.
В свою очередь, из (euβ′)
′ ∈ En вытекает, что β(u) = β̂(u) + e−uβ0 + β1, где
β̂(u) ∈ En — некоторая вектор-функция, а β0, β1 ∈ Em — постоянные векторы.
Как следствие, радиус-вектор (15) рассматриваемой поверхности F 2 запишем
в виде
r(u, v) = ψ0e
−u + ψ̂(v)e−u + β̂(u) + β0e
−u + β1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1466 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
Полагая ρ(v) = ψ̂(v) + β0, φ(u) = ψ0e
−u + β̂(u) и избавляясь от β1 c помощью
параллельного переноса, получаем
r(u, v) = φ(u) + ρ(v)e−u, (18)
при этом φ(u) ∈ En, ρ(v) ∈ Em.
Вычисляя коэффициенты первой квадратичной формы поверхности F 2 с ради-
усом-вектором (18), записываем условия орицикличности координат (u, v):
〈φ′, φ′〉+ e−2u〈ρ, ρ〉 = 1, (19)
〈ρ, ρ′〉 = 0, (20)
e−2u〈ρ′, ρ′〉 = e−2u. (21)
Равенство (21) эквивалентно (10). Равенство (20) означает, что |ρ| ≡ const; ис-
пользуя, при необходимости, сдвиг u → u + u0 в (18), получаем, что |ρ| ≡ 1,
а значит, (20) эквивалентно (9). Наконец, поскольку |ρ| ≡ 1, (19) сводится к (7).
Значит, рассматриваемая псевдосферическая поверхность F 2 является обобщенной
поверхностью Бельтрами, что и требовалось доказать.
Таким образом, обобщенные поверхности Бельтрами в EN характеризуются,
в классе пседвосферических поверхностей, тем, что их преобразование Бианки
является вырожденным.
5. Методы построения обобщенных трактрис в En+1. Опишем два подхода
к построению обобщенных трактрис в многомерном евклидовом пространстве.
5.1. Метод А. Возьмем произвольную единичную вектор-функцию a =
= (a1(u), . . . , an(u); 0) в En+1 и построим по ней новую вектор-функцию
φ =
∫ √
1− e−2u a(u)du (22)
c нулевой последней координатой. Легко видеть, что так заданная вектор-функция
φ(u) удовлетворяет условию (7) и порождает обобщенную трактрису γ с радиусом-
вектором (6).
В качестве примера покажем, как строится обобщенная трактриса в E3, т. е.
при n = 2. Рассмотрим единичную вектор-функцию a(u) = (cosα(u), sinα(u); 0),
определяемую произвольной гладкой функцией α(u). Тогда, следуя (22), получаем
φ =
(∫ √
1− e−2u cosα(u) du,
∫ √
1− e−2u sinα(u) du; 0
)
.
Соответствующая обобщенная трактриса γ ∈ E3 задается радиусом-вектором
f =
(∫ √
1− e−2u cosα(u) du,
∫ √
1− e−2u sinα(u) du; e−u
)
.
Отметим, что произвол в построении обобщенной трактрисы в E3 определяется
произволом в выборе функции α(u).
5.2. Метод Б. Рассмотрим более общую задачу, состоящую в том, как по задан-
ной кривой Γ ∈ En+1 восстановить кривую γ ∈ En+1 так, чтобы концы единичных
касательных векторов γ̇, взятых в каждой точке γ, описывали исходную кривую Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
О ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ . . . 1467
В частном случае, когда кривая Γ лежит в подпространстве En ⊂ En+1, речь идет
о восстановлении обобщенной трактрисы γ по заданному следу Γ ∈ En+1.
C аналитической точки зрения, по заданной вектор-функции w = w(σ), пред-
ставляющей кривую Γ в произвольной параметризации σ, необходимо найти вектор-
функцию f = f(σ), представляющую кривую γ, исходя из связывающего их соот-
ношения
f + f ′
1
|f ′|
= w, (23)
которое принимает вид
f ′ = (w − f) |f ′| . (24)
Очевидно, что любое решение f(σ) уравнения (24) удовлетворяет и соотношению
|w − f | ≡ 1. (25)
При выполнении (25) уравнение (24) записывается в виде
f ′ = 〈w − f, f ′〉 (w − f) . (26)
Дифференцируя (25), находим 〈w − f, w′〉 = 〈w − f, f ′〉. Как следствие, уравне-
ние (26) принимает вид
f ′ = 〈w − f, w′〉 (w − f) . (27)
Таким образом, исходное уравнение (23) сводится к системе двух уравнений (27)
и (25).
Задавая начальное значение f(σ0) = f0, находим решение f(σ) уравнения (27).
Чтобы это решение удовлетворяло и требованию (25), следует задавать начальное
условие f(σ0) так, чтобы выполнялось естественное требование |w(σ0)− f0| = 1.
Как результат, получим решение исходного уравнения (23), что и требовалось.
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Утверждение 2. Для произвольно заданной кривой Γ ∈ En+1 локально суще-
ствует кривая γ ∈ En+1 такая, что концы единичных касательных векторов γ̇,
взятых в каждой точке γ, описывают исходную кривую Γ.
Отметим, что основная аналитическая сложность в рассмотренном подходе
состоит в нахождении решения f(σ) обыкновенного дифференциального уравне-
ния (27).
В частном случае, когда Γ лежит в подпространстве En ⊂ En+1, из утвержде-
ния 2 получаем такое следствие.
Следствие 1. Для произвольной кривой Γ ∈ En ⊂ En+1 локально существует
обобщенная трактриса γ ∈ En+1, след которой совпадает с заданной кривой Γ.
Заметим только, что при восстановлении обобщенной трактрисы γ ⊂ En+1 по
заданному следу Γ ⊂ En необходимо проконтролировать, что восстанавливаемая
кривая γ не лежит в En – это достигается выбором начального условия f(σ0)
трансверсально к En.
Учитывая связь обобщенных трактрис и обобщенных поверхностей Бельтрами,
получаем такое следствие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1468 В. А. ГОРЬКАВЫЙ, Е. Н. НЕВМЕРЖИЦКАЯ
Следствие 2. Для произвольной кривой Γ ∈ En ⊂ En+m, m ≥ 2, локаль-
но существует обобщенная поверхность Бельтрами F 2 в En+m, вырожденное
преобразование Бианки которой переводит F 2 в Γ.
Вопрос об описании n-мерных псевдосферических подмногообразий в N -мер-
ном евклидовом пространстве, у которых преобразование Бианки является вырож-
денным ранга k, при произвольных n ≥ 3, N ≥ 2n − 1 и 1 ≤ k ≤ n − 1 является
значительно более сложным и остается открытым.
1. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002. – 434 c.
2. Tenenblat K. Transformations of manifolds and applications to differential equations // Pitman Monogr.
and Surv. Pure and Appl. Math. – Harlow: Longman, 1998. – № 93. – 224 p.
3. Масальцев Л. А. Псевдосферическая конгруэнция Бианки в E2n−1 // Мат. физика, анализ, гео-
метрия. – 1994. – 1, № 3/4. – C. 505 – 512.
4. Aminov Yu., Sym A. On Bianchi and Backlund transformations of two-dimensional surfaces in E4 //
Math. Phys., Anal., Geom. – 2000. – 3, № 1. – P. 505 – 512.
5. Горькавый В. А. Конгруэнции Бианки двумерных поверхностей в E4 // Мат. сб. – 2005. – 196,
№ 10. – C. 79 – 102.
6. Горькавый В. А., Невмержицкая Е. Н. О двумерных псевдосферических поверхностях в E4 с
вырожденным преобразованием Бианки // Доп. НАН України. – 2010. – № 6. – С. 13 – 18.
Получено 24.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2818 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:30:55Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5d/667ffa9e331b15a7d6a5d537ec76d55d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28182020-03-18T19:37:24Z Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation О двумерных псевдосферических поверхностях с вырожденным преобразованием Бианки Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. We classify two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation in a multidimensional Euclidean space. Класифiковано двовимiрнi псевдосферичнi поверхнi з виродженим перетворенням Бiанкi в багатовимiрному евклiдовому просторi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2818 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 11 (2011); 1460-1468 Український математичний журнал; Том 63 № 11 (2011); 1460-1468 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2818/2389 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2818/2390 Copyright (c) 2011 Gor'kavyi V. A.; Nevmerzhitskaya E. N. |
| spellingShingle | Gor'kavyi, V. A. Nevmerzhitskaya, E. N. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Горькавий, В. А. Невмержицкая, Е. Н. Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title | Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title_alt | О двумерных псевдосферических поверхностях с вырожденным преобразованием Бианки |
| title_full | Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title_fullStr | Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title_short | Two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate Bianchi transformation |
| title_sort | two-dimensional pseudospherical surfaces with degenerate bianchi transformation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2818 |
| work_keys_str_mv | AT gor039kavyiva twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT nevmerzhitskayaen twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT gorʹkavijva twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT nevmeržickaâen twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT gorʹkavijva twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT nevmeržickaâen twodimensionalpseudosphericalsurfaceswithdegeneratebianchitransformation AT gor039kavyiva odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki AT nevmerzhitskayaen odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki AT gorʹkavijva odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki AT nevmeržickaâen odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki AT gorʹkavijva odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki AT nevmeržickaâen odvumernyhpsevdosferičeskihpoverhnostâhsvyroždennympreobrazovaniembianki |