On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II
In the spaces $L_{\psi}(T^m)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$ , where $\psi$ is a function of the type of modulus of continuity, we study the direct Jackson theorem in the case of approximation by trigonometric polynomials. It is proved that the dir...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2822 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508802509438976 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:24Z |
| description | In the spaces $L_{\psi}(T^m)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$ , where $\psi$ is a
function of the type of modulus of continuity, we study the direct Jackson theorem in the case of approximation by trigonometric polynomials.
It is proved that the direct Jackson theorem is true if and only if the lower dilation index of the function $\psi$ is not equal to zero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. А. ПИЧУГОВ, 2011
1524 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, №11
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ. II
In the spaces L! (T m ) of periodic functions with metric !( f , 0)" = " f (x)( )
#m$ dx , where ! is a
function of the type of modulus of continuity, we study the direct Jackson theorem in the case of
approximation by trigonometric polynomials. It is proved that the direct Jackson theorem is true if and only if
the lower dilation index of the function ! is not equal to zero.
У просторах L! (T m ) періодичних функцій з метрикою !( f , 0)" = " f (x)( )
T m# dx , де ! —
функція типу модуля неперервності, досліджено пряму теорему Джексона у випадку апроксимації три-
гонометричними поліномами. Доведено, що пряма теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли
нижній показник розтягнення функції ! не дорівнює нулеві.
1. Введение. Данная статья является продолжением работы [1].
Пусть Ω — класс функций ! : R+1 " R+1 , являющихся модулем непрерывнос-
ти, т. е. ! — непрерывная неубывающая функция, !(0) = 0 , !(x + y) ≤ !(x) +
+ !(y) для всех x, y !R+1 ; функции f (x) , x !R1 , — действительнозначные,
имеющие период 1; T = !1/2, 1/2[ ) — основной тор периодов; L0 ! L0 (T) —
множество всех таких функций, которые почти всюду на T конечны и изме-
римы; для ! "# множество L! :
L! " L! (T ) = f #L0 (T ) : f ! := ! f (x)( ) dx < $
T
%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
,
является линейным метрическим пространством с метрикой !( f , g)" = f # g " .
В частности, с помощью функции !(t) = t(1+ t)"1 , ! "# , в L0 вводится
метрика
!( f , g)0 := " f (x) # g(x)( ) dx
T
$ ,
порождающая сходимость по мере, а в случае !(t) = t p , 0 < p < 1 , получаем
пространства Lp .
Пусть Tn (x) = ck ei2!kxk="n
n# — действительнозначный тригонометрический
полином периода 1 и степени n ,
En ( f )! := inf
{ck }
f " Tn !
— наилучшее приближение f такими полиномами в пространстве L! ,
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ … 1525
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
!( f , h)" := sup #t f " : t $ h{ } , h %R+1 ,
— модуль непрерывности f из L! , где !t f (x) = f (x + t) " f (x) .
Неравенствами Джексона (или теоремой Джексона) в теории приближения пе-
риодических функций принято называть следующие соотношения (если они вы-
полняются):
sup
n>0
sup
f!L" , f #const
En$1( f )"
% f , 1
n
&
'(
)
*+ "
< , . (1)
Сведения и библиографию о неравенствах (1) в пространствах L! см. в [1]. В
связи с тем, что в пространствах Lp неравенства Джексона (1) справедливы, а в
пространстве L0 не выполняются, в [1] была сформулирована задача описания
функций ! из ! , для которых в соответствующих пространствах L! справед-
ливы соотношения (1).
В этом направлении был доказан следующий частный результат [1] (теоре-
ма 2): если функция ! "# удовлетворяет условиям:
1) !M "x, y #R+1 : $(x % y) & M$(x)$(y) ,
2) !" > 0 : #(t)
t1+"
dt < $
0
1
% ,
то в L! справедлива теорема Джексона (1).
Отметим, что первые результаты в этой задаче были получены в [2]. А имен-
но, в [2] (теорема 4.3) доказано, что если ! "# такова, что при некотором r =
= 1, 2, …
kM! (k"2r ) < #
k=1
#
$ ,
где
M! (c) = sup
x>0
!(cx)
!(x)
, c > 0 ,
то выполнены неравенства (1).
В настоящей работе мы получим полное решение сформулированной задачи.
Но предварительно сделаем два замечания.
1. В настоящий момент во всех случаях, когда доказаны теоремы Джексона в
метрических и нормированных пространствах периодических функций, они имеют
вид (1) в том смысле, что значения приближения En!1( f ) оцениваются сверху
через значения !( f ,"n ) для !n , имеющих порядок убывания 1/n . Возникает
вопрос: существуют ли пространства L! , в которых неравенства Джексона вы-
полнены для других значений !n{ } ?
1526 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
В связи с этим наряду с „классической” формой теоремы Джексона (1) нас
будет интересовать вопрос о наличии в данном пространстве неравенств Джексона
в следующем более общем виде:
существует ли последовательность !n{ } , !n > 0 , !n " 0 , такая, что
sup
n
sup
f!L" , f #const
En$1( f )"
%( f ,&n )"
< ' ? (2)
2. Пусть для ! "# ! — наименьшая выпуклая вверх мажоранта. Тогда по
лемме С. Б. Стечкина
!(x) " !(x) " 2!(x) ,
и, значит, метрики в пространствах L! и L! эквивалентны. Поэтому в рас-
сматриваемых нами задачах без ограничения общности будем предполагать
функции ! выпуклыми вверх, а класс таких модулей непрерывности обозначим
через ! .
2. Функция растяжения. Для решения поставленной задачи важную роль
играет понятие функции растяжения.
Пусть !(t), t !(0,") , — произвольная строго положительная всюду конеч-
ная функция. Ее функцией растяжения называют [3] (гл. II, § 1) функцию M! (s) ,
s !(0,") ,
M! (s) := sup
0<t<"
!(st)
!(t)
.
Общие свойства M! см. в [3]. Нам понадобятся следующие дополнительные
свойства M! в случае ! "# [3]:
1) M! — всюду конечная неубывающая на (0,!) функция и
M! (s1s2 ) " M! (s1)M! (s2 ) #s1, s2 $(0,%) ;
2) существует число ! " (называемое нижним показателем растяжения функ-
ции ! ) такое, что:
а) ! " # 0,1[ ],
б) M! (s) " s
#! !s "(0,1] ,
в) для любого ! > 0 при 0 < s < 1 с некоторой константой C!
M! (s) " C#s
$ ! %# .
При этом ! " = lim s!0
lnM" (s)
ln s
= sup0<s<1
lnM! (s)
ln s
. В частности, из свой-
ства 2 следует, что функция M! (s) в правой окрестности нуля ведет себя
следующим образом: либо M! (s) " 1 для всех s ! 0,1( ] (случай ! " = 0 ), либо
M! (+0) := lim s!+0 M" (s) = 0 (случай ! " > 0 ).
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ … 1527
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
Несложные вычисления показывают, что, например, нижний показатель растя-
жения будет равен нулю у функций
!(t) = t
1+ t
, "(t) = (ln(1+ t))p , p #(0,1] .
3. О теореме Джексона в L! . Основным результатом статьи является следу-
ющая теорема.
Теорема 1. Пусть ! "# , ! " — нижний показатель растяжения ! .
1. Если ! " > 0 , то в пространстве L! выполняются неравенства Джек-
сона (1);
2. Если ! " = 0 , то в пространстве L! невозможны неравенства Джексо-
на в форме (2) ни при каком выборе последовательности !n{ } .
Доказательство. Первое утверждение теоремы легко следует из теоремы 4.3
[4]. Мы, однако, приведем другое доказательство, близкое к доказательству теоре-
мы 2 из [1]. Это связано с тем, что данный метод допускает обобщения на случай
приближения функций многих переменных (см. [1]).
Итак, пусть !1 — класс суммирующих функций !(x), x !R1, т. е.
! "C(R1), supp! " [–1;1], !(0) = 1, !("x) = !(x) .
По заданной функции ! "#1 для каждого n !N строится тригонометрический
полином степени не выше n ! 1
Kn (x) = ! k
n
"
#$
%
&' e
2(ikx
k <n
)
и линейный полиномиальный метод приближения
!Ln (!; f , x) " !Ln ( f , x) :=
1
n
Kn (x # xk ) f (xk )
k=1
n
$ ,
где xk = k/n . При этом
1
n
Kn (x ! xk ) = K(x)dx = 1
T
"
k=1
n
# .
Для t !T обозначим через ft сдвиг f на параметр t :
ft (x) := f (x + t) .
Тогда (см. [1])
! ft (x) " !Ln ( ft ; x)( ) # ! Kn (x " xk )
n
ft (x) " ft (xk )
$
%&
'
()k=1
n
* ,
En!1( f )" = En!1( ft )" dt # ft ! !Ln ( ft ) "
dt
t$T
%
t$T
% ≤
1528 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
≤ n !
Kn (y)
n
" y f (t)
#
$%
&
'(
dydt :=
y)T
*
t)T
* U .
Далее предполагаем, что ! "#1 !C$ (R1) . Тогда ее преобразование Фурье
!̂(x) = !(t) e"2#itxdt
R1
$ , x %R1 ,
убывает на бесконечности быстрее любой степени, т. е. для любого N !N су-
ществует константа CN такая, что для всех x !R1
!̂(x) " CN
1+ x( )N
. (3)
В частности, можно применить формулу суммирования Пуассона [4, с. 232]:
Kn (y) = ! k
n
"
#$
%
&' e
2(iky = !̂n (y ) j)
j=)*
*
+
k <n
+ ,
где !̂n (x) := n!̂(nx) . Поэтому
!
Kn (y)
n
" y f (t)
#
$%
&
'(
) ! 1
n
*̂n (y + j) " y f (t)
#
$%
&
'(j=+,
,
- ,
U ! n " 1
n
#̂n (y $ j) % y f (t)
&
'(
)
*+
y,T
- dy dt
j=$.
.
/
t,T
- =
= n ! 1
n
"̂n (x) # x f (t)
$
%&
'
()
x*R1
+ dx dt
t*T
+ =
=
! "̂(x) # x/n f (t)( ) dx dt
x$R1
%
t$T
% .
Таким образом, используя определение функции растяжения, получаем нера-
венство
En!1( f )" # M" $̂(x)( ) % x/n f "
dx
R1
& , (4)
которое выполняется при всех ! "#1 !C$ (R1) .
Докажем сходимость интеграла
I := 1+ x( )M! "̂(x)( ) dx < #
x$R1
% . (5)
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ … 1529
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
Используя неравенство (3), имеем
I ! 2 (1+ x)M"
CN
(1+ x)N
#
$%
&
'(
dx = 2 yM"
CN
yN
#
$%
&
'(
dy
1
)
*
0
)
* =
= 2
N
M! (CNt)
t1+
2
N
dt "
0
1
#
2M! (CN )
N
M! (t)
t1+
2
N
dt
0
1
# . (6)
Согласно условию теоремы ! " > 0 , значит, по свойству 2 M! (s) " C#s
$ ! %# для
достаточно малых ! и s ! 0,1( ] . Поэтому, выбирая ! и N из условия ! " –
– ! – 2
N
> 0, получаем сходимость последнего интеграла в (6), а значит, и I < ! .
Из условия (5) следует конечность констант B1 , B2 ,
B1 = M! "̂(x)( ) dx, B2 = B1#1 x
R1
$
R1
$ M! "̂(x)( ) dx . (7)
Обозначим через !( f , h)" наименьшую выпуклую вверх мажоранту функции
!( f , h)" , тогда по лемме С. Б. Стечкина
!( f , h)" # 2!( f , h)" . (8)
Из (4), (7), (8) с помощью неравенства Йенсена для выпуклой вверх функции !
получаем
En!1( f )" # M" $̂(x)( )% f , x
n
&
'(
)
*+ "
dx
R1
, ≤
≤ B1! f , B2
n
"
#$
%
&' (
) 2B1! f , B2
n
"
#$
%
&' (
.
Первое утверждение теоремы доказано.
Для доказательства второй части теоремы оценим снизу наилучшие приближе-
ния функций
fA (x) = A sign sin 2!x, A > 0
(в случае аппроксимации в L0 это семейство функций рассматривал С. В. Ко-
нягин).
Пусть ! "(0,1) , Tn!1 — произвольный тригонометрический полином,
e = x ! 0, 1
2
"
#$
%
&' : fA (x) ( Tn(1(x) > )A*
+
,
-
.
/
,
!e = x " 0, 1
2
#
$%
&
'( : fA (x) ) Tn)1(x) * +A,
-
.
/
0
1
.
1530 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
Возможны два случая: µe > 1
4
или µ !e " 1
4
.
Если µe > 1
4
, то
fA ! Tn!1 " > " fA (x) ! Tn!1(x)( ) dx > "(#A)µe > 1
4
"(#A)
e
$ . (9)
Пусть теперь µ !e " 1
4
. Будем использовать следующее свойство тригономет-
рических полиномов: если
K(n) := sup
!e :µ !e "1
4
sup
Tn#1
max
x$T
Tn#1(x)
max
x$ !e
Tn#1(x)
,
то при каждом n
K(n) < ! . (10)
Действительно, пусть max Tn!1(x) ; x " #e{ } $ 1 . График полинома Tn!1
имеет на периоде не более 2n ! 2 участков монотонности. Если участок
монотонности Tn!1 не содержит точки разрыва функции fA (x) , то на этом
участке может быть только одна точка пересечения графиков Tn!1 и fA . Если
же участок монотонности полинома содержит окрестность точки разрыва fA , то
на этом участке возможны две точки пересечения графиков. Поэтому множество
!e состоит не более чем из 2n отрезков, и найдется отрезок In такой, что
µIn ! 1
8n
, max
x"In
Tn#1(x) $ 1 .
Но тогда известно [5, с. 232], что
max
x!T
Tn"1(x) # tg2(n"1) $
32n
+ ctg2(n"1) $
32n
,
и свойство (10) доказано.
На множестве 0, 1
2
!
"#
$
%& функция
fA (x) ! Tn!1(x) = A ! Tn!1(x)
является полиномом, поэтому из (10) следует, что
A ! Tn!1 C(T ) " K(n) max
x# $e
A ! Tn!1(x) " K(n)%A .
Применим теперь неравенство С. Н. Бернштейна для производной полинома:
!Tn"1 C(T ) = (A " Tn"1 !) C(T ) ≤
≤ (n ! 1) A ! Tn!1 C(T ) " (n ! 1)K(n)#A . (11)
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ … 1531
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
Оценка (11) производной полинома получена при произвольном выборе значения
! из (0,1) . Теперь будем считать, что с самого начала ! выбрана настолько
малой, что выполнено условие
(n ! 1)K(n)" < 2(1! ") . (12)
Тогда из (11), (12) следует, что предположение µ !e " 1
4
влечет неравенство
!Tn"1 C(T ) < 2A(1" #) . (13)
Теперь рассмотрим значения x ! " 1
2
, 0#
$%
&
'( . Если сравнить графики полинома
Tn!1 и линейной функции y(x) = 2A(1! ")x , то из (13) следует, что множество
d := x ! " 1
2
, 0#
$%
&
'( : Tn"1(x) > "A(1" ))*
+
,
-
.
/
имеет достаточно большую меру: µd ! 1
4
. Поэтому в случае µ !e " 1
4
fA ! Tn!1 " # "
d
$ fA (x) ! Tn!1(x)( ) dx > "(%A)µd # 1
4
"(%A) . (14)
Оценки (9) и (14) получены для произвольного полинома, а значит, при всех
n ! 1 имеют место неравенства
En!1( fA )" # 1
4
"($A) , (15)
где ! из (0,1) удовлетворяет условию (12).
Легко видеть, что для любого h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
!( fA , h)" = "(2A)2h .
Используя (15), для любых фиксированных n и h > 0 получаем
sup
f!L" , f #const
En$1( f )"
%( f , h)"
& sup
A>0
En$1( fA )"
%( fA , h)"
& sup
A>0
1
4
" 'A( )
"(2A)2h
=
= 1
8h
M!
1
2
"#
$%
&
'( = 1
8h
. (16)
На последнем шаге мы использовали условие ! " = 0 .
Теорема 1 доказана.
Замечание. В работе [6] исследовалась аппроксимация в классах Орлича
!(L) , где !(x) — четная, непрерывная, строго монотонная на 0;![ ) функция,
такая, что !(0) = 0 и !(2x) " C!!(x) , x ! 0 , любой так называемой нелока-
1532 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
лизованной системой (в том числе и тригонометрической). Доказано, что если
функция !(x) существенно отличается от степенной в окрестности 0 или ! ,
то неравенства Джексона в форме (2) невозможны.
Теорема 1 остается справедливой в случае аппроксимации функций m пере-
менных f (x) , x = x1,… , xm( ) !T m , в пространствах L! (T m ) полиномами
TR (x) = ck ei2!kx
k"Zm!RS
# (17)
со спектром в RS , где S — некоторое ограниченное центрально-симметричное
тело в Rm , RS — его гомотет с коэффициентами R !R+
1 (все необходимые
определения см. в [1]).
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
1. Если ! " > 0 , то имеют место неравенства Джексона
sup
R
sup
f!L" (T m ), f #const
ER ( f )"
$ f , 1
R
%
&'
(
)* "
< + .
2. Если ! " = 0 , то при любом выборе числовой последовательности
{!R} " 0 , R !N , выполнены соотношения
sup
R
sup
f!L" (T m ), f #const
ER ( f )"
$( f ,%R )"
= & .
Доказательство. Доказательство первого утверждения аналогично одномер-
ному случаю; в работе [1] (см. теоремы 3, 4) есть соответствующие выкладки для
пространств L! (T m ) .
Поэтому мы ограничимся доказательством второго утверждения. Рассмотрим
семейство функций
fA (x) = A sign sin 2!x1, A > 0 .
Для любого полинома TR вида (17) имеем
f ! TR L" (T m ) = " fA (x) ! TR (x)( ) dx1
x1 = !1/2
1/2
#
$
%
&&
'
(
))
dx2…dxm
(x2 ,… , xm )*T m!1
# .
Во внутреннем интеграле при фиксированных x2 ,… , xm( ) функция TR (x)
переменной x1 есть полином некоторой степени; поэтому можно использо-
вать (15):
! fA (x) " TR (x)( ) dx1 # 1
4
!($A)
x1="1/2
1/2
%
при всех достаточно малых ! > 0 .
О ТЕОРЕМЕ ДЖЕКСОНА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ … 1533
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
Далее, легко подсчитать модуль непрерывности fA : для любого h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
!( fA , h)L" (T m ) = sup
t # h, t$Rm
%t fA L" (T m ) = "(2A)2h .
Осталось повторить выкладку (16).
Отметим, что в пространствах Lp (!m ) , 0 < p < 1 , m > 1 , теорема Джексона
доказана в [7].
Автор выражает благодарность В. И. Иванову, указавшему на работу [6].
1. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной
метрикой // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 122 – 133.
2. Стороженко Э. А., Освальд П., Кротов В. Г. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в про-
странствах Lp , 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
3. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука,
1978. – 400 с.
4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на эвклидовых пространствах. – М.: Мир,
1974. – 330 с.
5. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. – М.: Гостехиздат, 1954. –
328 с.
6. Runovski K. On Jackson’s type inequalities in Orlicz classes // Revista Mat. Comp. – 2001. – 14, № 2. –
P. 394 – 404.
7. Стороженко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp (Tn ) , 0 < p < 1 // Сиб.
мат. журн. – 1978. – 19, № 4. – С. 888 – 901.
Получено 11.10.10,
после доработки — 10.10.11
|
| id | umjimathkievua-article-2822 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/63/06811f40a900e16aa47598290bd60363.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28222020-03-18T19:37:24Z On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной метрикой. II Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. In the spaces $L_{\psi}(T^m)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$ , where $\psi$ is a function of the type of modulus of continuity, we study the direct Jackson theorem in the case of approximation by trigonometric polynomials. It is proved that the direct Jackson theorem is true if and only if the lower dilation index of the function $\psi$ is not equal to zero. У просторах $L_{\psi}(T^m)$ періодичних функцій з метрикою $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$, де $\psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджено пряму теорему Джексона у випадку апроксимації тригонометричними поліномами. Доведено, що пряма теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник розтягнення функції $\psi$ не дорівнює нулеві. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2822 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 11 (2011); 1524-1533 Український математичний журнал; Том 63 № 11 (2011); 1524-1533 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2822/2397 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2822/2398 Copyright (c) 2011 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title | On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title_alt | О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной метрикой. II |
| title_full | On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title_fullStr | On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title_full_unstemmed | On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title_short | On the Jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. II |
| title_sort | on the jackson theorem for periodic functions in metric spaces with integral metric. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2822 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa onthejacksontheoremforperiodicfunctionsinmetricspaceswithintegralmetricii AT pičugovsa onthejacksontheoremforperiodicfunctionsinmetricspaceswithintegralmetricii AT pičugovsa onthejacksontheoremforperiodicfunctionsinmetricspaceswithintegralmetricii AT pichugovsa oteoremedžeksonadlâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvahsintegralʹnojmetrikojii AT pičugovsa oteoremedžeksonadlâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvahsintegralʹnojmetrikojii AT pičugovsa oteoremedžeksonadlâperiodičeskihfunkcijvmetričeskihprostranstvahsintegralʹnojmetrikojii |