Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion
The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2826 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508807154630656 |
|---|---|
| author | Babenko, V. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. В. |
| author_facet | Babenko, V. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. В. |
| author_sort | Babenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:24Z |
| description | The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the
segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. В. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т)
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ
ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ
ФУНКЦИЙ, МОНОТОННЫХ ПО ВКЛЮЧЕНИЮ
The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the
segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion.
Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних
функцiй, монотонних вiдносно включення.
В работе [1] решена задача о наилучшей квадратурной формуле на классе моно-
тонно неубывающих функций f : [0, 1]→ R таких, что f(0) = 0, f(1) = 1. Задача о
наилучшей интервальной квадратурной формуле на этом классе функций решена в
работе [2]. В [3] решена задача оптимизации приближенного вычисления интегра-
лов в смысле Хукухары [4] на классах заданных на [0, 1] многозначных функций,
монотонных по включению, с помощью „точечных” квадратурных формул. Цель
данной статьи — решение задачи оптимизации интервальных квадратурных формул
на рассмотренных в [3] классах функций.
Мы будем использовать определения и факты, приведенные в [3]. Кратко опи-
шем некоторые из них.
Через K(Rd) обозначим совокупность непустых компактных выпуклых под-
множеств пространства Rd. Пусть A1, . . . , An ∈ K(Rd), α1, . . . , αn ∈ R, Ai 6= ∅ и
αi ≥ 0 для i = 1, n. Как обычно, положим
n∑
i=1
αiAi =
{
n∑
i=1
αixi : xi ∈ Ai, i = 1, n
}
.
Метрика Хаусдорфа в K(Rd) определяется соотношением
δ(A,B) = max
{
sup
x∈A
inf
y∈B
|x− y|, sup
x∈B
inf
y∈A
|x− y|
}
,
где | · | — евклидова норма в пространстве Rd.
Точная постановка рассматриваемой нами задачи такова.
Пусть заданы множества A,B ∈ K(Rd) (A ⊂ B). Через MA,B обозначим класс
функций f : [0; 1] −→ K(Rd), монотонных по включению (т. е. из 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1
следует, что f(x1) ⊂ f(x2)) и таких, что f(0) = A, f(1) = B.
Для заданных чисел n ∈ N и H ∈ (0, 1) обозначим через Qn,H совокупность
квадратурных формул вида
q(f) = C +
n∑
k=1
ck
1
|Ik|
∫
Ik
f(x)dx, f ∈MA,B , (1)
c© В. В. БАБЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11 1565
1566 В. В. БАБЕНКО
где C ∈ K(Rd), ck ≥ 0, k = 1, n, {Ik}nk=1 — совокупность содержащихся в [0, 1]
отрезков, таких, что
∑n
k=1
|Ik| ≤ H , |Ik| — длина отрезка Ik.
Положим
R(MA,B , q) = sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
,
Rn,H(MA,B) = inf
q∈Qn,H
R(MA,B , q).
(2)
Задача о наилучшей на классе MA,B квадратурной формуле из Qn,H состоит
в том, чтобы найти величину (2) и квадратурную формулу вида (1), реализующую
точную нижнюю грань в правой части (2).
Теорема. Среди всех квадратурных формул q ∈ Qn,H наилучшей на классе
MA,B является формула
qn,H(f) =
(1−H)
2(n+ 1)
(A+B) +
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx,
где
Ik =
k 1 + H
n
n+ 1
− H
n
, k
1 +
H
n
n+ 1
, k = 1, n,
при этом
Rn,H(MA,B) = R(MA,B , qn,H) =
= sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, qn,H(f)
=
1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Доказательство. Нам понадобится следующий факт об интегралах от моно-
тонных функций (см. [3], утверждение 5):
f(a)(b− a) ⊂
b∫
a
f(x)dx ⊂ f(b)(b− a). (3)
Далее для сокращения записей положим l = H/(2n) xk = −H
2n
+ k
1 +H/n
n+ 1
=[
−l + k
1 + 2l
n+ 1
]
, k = 1, n.
Учитывая аддитивность интеграла (см. [3], утверждение 4), для f ∈ MA,B
имеем
1∫
0
f(x)dx =
x1+l∫
x0+l
f(x)dx+
x2+l∫
x1+l
f(x)dx+ . . .+
xn+l∫
xn−1+l
f(x)dx+
1∫
xn+l
f(x)dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ . . . 1567
Для k = 0, n− 1, используя (3), получаем
xk+1+l∫
xk+l
f(x)dx =
=
xk+1−l∫
xk+l
f(x)dx+
xk+1+l∫
xk+1−l
f(x)dx ⊂ f(xk+1 − l)
1−H
n+ 1
+
xk+1+l∫
xk+1−l
f(x)dx ⊂
⊂ n
H
1−H
n+ 1
∫
Ik+1
f(x)dx+
∫
Ik+1
f(x)dx =
1 +
H
n
n+ 1
n
H
∫
Ik+1
f(x)dx.
Кроме того,
1∫
xn+l
f(x)dx ⊂ 1−H
n+ 1
B.
Тогда
1∫
0
f(x)dx ⊂
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
∫
Ik
f(x)dx+B
1−H
n+ 1
.
Аналогично устанавливается, что
1∫
0
f(x)dx ⊃
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx+A
1−H
n+ 1
.
Таким образом,
A
1−H
n+ 1
+
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx ⊂
1∫
0
f(x)dx ⊂
⊂ B 1−H
n+ 1
+
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx. (4)
В [3] доказано, что если X,Y, Z ∈ K(Rd) и X ⊂ Y ⊂ Z, то
δ
(
Y,
X + Z
2
)
≤ 1
2
δ(X,Z).
Отсюда и из (4) выводим
δ
1∫
0
f(x)dx,
1−H
2(n+ 1)
(A+B) +
1 +
H
n
n+ 1
n∑
k=1
n
H
∫
Ik
f(x)dx
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1568 В. В. БАБЕНКО
≤ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Таким образом, мы доказали, что
Rn,H(MA,B) ≤ R(MA,B ; qn,H) ≤ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B). (5)
Теперь покажем, что для произвольной квадратурной формулы вида (1)
R(MA,B , q) = sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Отсюда и из (5) следует утверждение теоремы.
Рассмотрим множество [0, 1]\
n⋃
k=1
Ik. Поскольку
∑n
k=1
|Ik| ≤ H, это множес-
тво будет содержать интервал (a, b), длина которого не меньше чем
1−H
n+ 1
. Поло-
жим
f1(x) =
A, x ≤ a,
B, x > a,
и f2(x) =
A, x < b,
B, x ≥ b.
Тогда
1∫
0
f1(x)dx = Aa+B(1− a),
1∫
0
f2(x)dx = Ab+B(1− b)
и
q(f1) = q(f2).
Следовательно,
sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥
≥ max
δ
1∫
0
f1(x)dx, q(f1)
, δ
1∫
0
f2(x)dx, q(f2)
≥
≥ 1
2
δ
1∫
0
f1(x)dx, q(f1)
+ δ
1∫
0
f2(x)dx, q(f2)
≥
≥ 1
2
δ
1∫
0
f1(x)dx,
1∫
0
f2(x)dx
=
1
2
δ(Aa+B(1− a), Ab+B(1− b)).
Для множеств C,D ⊂ K(Rd) положим e(C,D) = supx∈C infy∈D |x−y|, так что
δ(C,D) = max(e(C,D), e(D,C)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ФОРМУЛ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ . . . 1569
Рассмотрим e(Aa+B(1−a), Ab+B(1−b)). Используя теорему двойственности
(см., например, [5], теорема 2.3.1), имеем
e(Aa+B(1− a), Ab+B(1− b)) =
= sup
z∈Aa+B(1−a)
sup
||f ||≤1
{
f(z)− sup
w∈(Ab+B(1−b))
f(w)
}
=
= sup
||f ||≤1
{
sup
x∈A,y∈B
(af(x) + (1− a)f(y))− sup
u∈A,v∈B
(bf(u) + (1− b)f(v))
}
=
= sup
||f ||≤1
(
a sup
x∈A
f(x) + (1− a) sup
y∈B
f(y)− b sup
x∈A
f(x)− (1− b) sup
x∈B
f(y)
)
=
= sup
||f ||≤1
((a− b) sup
x∈A
f(x) + (b− a) sup
y∈B
f(y)) =
= (b− a) sup
y∈B
sup
||f ||=1
(f(y)− sup
x∈A
f(x)) = (b− a)e(B,A).
Поскольку A ⊂ B, нетрудно проверить, что
Ab+B(1− b) ⊂ Aa+B(1− a))
и, следовательно, e(A,B) = 0, так что δ(Aa+B(1−a), Ab+B(1−b)) = e(B,A) =
= δ(A,B).
Таким образом, для любой квадратурной формулы q ∈ Qn,H
sup
f∈MA,B
δ
1∫
0
f(x)dx, q(f)
≥ 1
2
(b− a)δ(A,B) ≥ 1−H
2(n+ 1)
δ(A,B).
Теорема доказана.
1. Kiefer J. Optimum sequential search and approximation methods under minimum regularity assumptions
// J. Soc. Indust. Appl. Math. – 1957. – 5, № 3. – P. 105 – 136.
2. Бабенко В. Ф., Бородачев С. В. Об оптимизации кубатурных монотонных функций нескольких
переменных // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2002. – Вип. 7. – С. 3 – 7.
3. Бабенко В. Ф., Бабенко В. В. Оптимизация приближенного интегрирования многозначных функ-
ций, монотонных по включению // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 147 – 155.
4. Hukuhara M. Integration des Applicaitons Mesurables dont la Valeur est un Compact Convexe // Funkc.
ekvacioj. – 1967. – 10. – P. 205 – 223.
5. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 c.
Получено 01.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2826 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8d/9700a3d8f6548ee0669408c82f8dc28d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28262020-03-18T19:37:24Z Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению Babenko, V. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. В. The best interval quadrature formula is obtained for the class of convex set-valued functions defined on the segment [0, 1] and monotone with respect to inclusion. Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних функцiй, монотонних вiдносно включення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2826 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 11 (2011); 1565-1569 Український математичний журнал; Том 63 № 11 (2011); 1565-1569 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2826/2405 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2826/2406 Copyright (c) 2011 Babenko V. V. |
| spellingShingle | Babenko, V. V. Бабенко, В. В. Бабенко, В. В. Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_alt | Оптимизация интервальных формул приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению |
| title_full | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_fullStr | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_full_unstemmed | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_short | Optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| title_sort | optimization of interval formulas for approximate integration of set-valued functions monotone with respect to inclusion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2826 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovv optimizationofintervalformulasforapproximateintegrationofsetvaluedfunctionsmonotonewithrespecttoinclusion AT babenkovv optimizationofintervalformulasforapproximateintegrationofsetvaluedfunctionsmonotonewithrespecttoinclusion AT babenkovv optimizationofintervalformulasforapproximateintegrationofsetvaluedfunctionsmonotonewithrespecttoinclusion AT babenkovv optimizaciâintervalʹnyhformulpribližennogointegrirovaniâmnogoznačnyhfunkcijmonotonnyhpovklûčeniû AT babenkovv optimizaciâintervalʹnyhformulpribližennogointegrirovaniâmnogoznačnyhfunkcijmonotonnyhpovklûčeniû AT babenkovv optimizaciâintervalʹnyhformulpribližennogointegrirovaniâmnogoznačnyhfunkcijmonotonnyhpovklûčeniû |