On the exponential decay of vibrations of damped elastic media
Exact inequalities of the Kolmogorov type are obtained in Hardy Banach spaces for functions of one complex variable analytic in the unit disk and functions of two complex variables analytic in the unit bidisk. We also present applications of these inequalities to problems of the theory of approxima...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2828 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508810605494272 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, M. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:39Z |
| description | Exact inequalities of the Kolmogorov type are obtained in Hardy Banach spaces for functions of one complex variable analytic in the unit disk and functions
of two complex variables analytic in the unit bidisk. We also present applications of these inequalities to problems of the theory of approximation of analytic functions of one and two complex variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля),
М. Б. Вакарчук (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ И ДВУХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ
Exact inequalities of the Kolmogorov type are obtained in Hardy Banach spaces for functions of one complex
variable analytic in the unit disk and functions of two complex variables analytic in the unit bidisk. We also
present applications of these inequalities to problems of the theory of approximation of analytic functions of
one and two complex variables.
Для функцiй однiєї комплексної змiнної, аналiтичних в одиничному колi, та для функцiй двох комп-
лексних змiнних, аналiтичних в одиничному бiколi, у банахових просторах Хардi одержано точнi не-
рiвностi типу Колмогорова. Також наведено їх застосування до задач теорiї апроксимацiї аналiтичних
функцiй однiєї та двох комплексних змiнних.
С начала прошлого века у многих математиков, начиная с Э. Ландау, Ж. Адамара,
Г. Харди, Дж. Литтльвуда, А. Н. Колмогорова, особый интерес вызывает получение
точных неравенств для норм промежуточных производных функции через норму
самой функции и норму ее старшей производной. Современное развитие указан-
ной тематики связано с работами В. В. Арестова, С. Б. Стечкина, Л. В. Тайкова,
В. Н. Габушина, В. М. Тихомирова, Н. П. Купцова, В. Н. Коновалова, Н. П. Кор-
нейчука, В. Ф. Бабенко, Г. Г. Магарил-Ильяева, А. А. Лигуна, С. А. Пичугова,
В. А. Кофанова и многих других (см., например, монографию [1] и приведенную в
ней библиографию).
Не меньший интерес, с нашей точки зрения, представляет решение подобных
задач и в случае аналитических функций комплексной переменной, где, по сравне-
нию с вещественным случаем, получено не так много окончательных результатов
(см., например, [2 – 6]). Данная статья продолжает указанную тематику в комплекс-
ной плоскости.
1. Введем необходимые обозначения и понятия. Пусть U := {z ∈ C : |z| < 1};
A(U) — множество функций, аналитических в круге U ; Hq, 1 6 q 6∞, — банахово
пространство Харди, состоящее из функций f ∈ A(U) с конечной нормой
‖f‖q := ‖f‖Hq =
lim
ρ→1−0
Mq(f, ρ), если 1 6 q <∞,
sup
z∈U
|f(z)|, если q =∞,
где
Mq(f, ρ) :=
1
2π
2π∫
0
|f(ρeiτ )|qdτ
1/q
.
c© С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12 1579
1580 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Заметим, что норма функции f ∈ Hq реализуется на ее угловых граничных значе-
ниях f(eiτ ), которые существуют почти для всех 0 6 τ 6 2π (см., например, [7,
8]). Если при этом 1 6 p < q, то справедливо включение Hq ⊂ Hp.
Множество функций f ∈ A(U), у которых производные r-го порядка f (r),
r ∈ N, по комплексной переменной z принадлежат пространству Харди Hq, 1 6
6 q 6 ∞, обозначим символом Hr
q . Используя идеи работы К. И. Бабенко [9],
можно показать, что Hr
q ⊂ Hq. Исходя из этого для произвольной функции f ∈ Hr
q
при q > 2 имеем f (r) ∈ Hq ⊂ H2. Используя разложение f в круге U в ряд Тейлора
f(z) =
∞∑
j=0
cj(f)zj ,
где cj(f), j ∈ Z+, — коэффициенты Тейлора функции f, производную r-го порядка
f (r) представим в виде
f (r)(z) =
∞∑
j=r
αj,rcj(f)zj−r,
где αj,r := j(j − 1) . . . (j − r + 1), j > r. Поскольку, как следует из изложенного
выше, для функции f ∈ Hr
q норма ее r-й производной
‖f (r)‖2 =
∞∑
j=r
α2
j,r|cj(f)|2
1/2
(1)
конечна в пространстве H2, в силу формулы (1) и представления величин αj,r,
конечными в этом пространстве будут и нормы всех ее промежуточных производ-
ных f (r−k), k = 1, r − 1. Отсюда, в частности, следует принадлежность указанных
производных пространствам Харди Hp, 1 6 p < 2, т. е. справедливы соотношения
Hr
q ⊂ Hr−k
p , где 1 6 p 6 2 6 q, k = 1, r, H0
p ≡ Hp.
2. Теорема 1. Пусть r ∈ N, 1 6 k 6 r — натуральное число, 1 6 p 6 2 6 s,
t 6 q. Тогда для любой функции f ∈ Hr
q , у которой коэффициенты Тейлора
cj(f) = 0, j = r − k, r − 1, имеет место неравенство
‖f (r−k)‖p 6
αr,r−k
α
1−k/r
r,r
‖f‖k/rs ‖f (r)‖1−k/rt . (2)
Неравенство (2) является точным в том смысле, что существует функция f0 ∈
∈ Hr
q , обращающая его в равенство. При этом полагаем αr,0 := 1.
Доказательство. Поскольку при k = r неравенство (2) очевидно, то полагаем,
что 1 6 k < r, k ∈ N. Пусть функция f принадлежит множеству Hr
q и удовлетво-
ряет условию теоремы 1 относительно коэффициентов Тейлора cj(f). Тогда для ее
производной (r − k)-го порядка
f (r−k)(z) =
∞∑
j=r
αj,r−kcj(f)zj−r+k
в силу равенства Парсеваля имеем
‖f‖22 =
∞∑
j=0
|cj(f)|2, (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1581
‖f (r−k)‖22 =
∞∑
j=r
α2
j,r−k|cj(f)|2. (4)
Равенство (4) представим в виде
‖f (r−k)‖22 =
∞∑
j=r
α
2(1−k/r)
j,r |cj(f)|2(1−k/r)
{
αj,r−k
α
1−k/r
j,r
}2
|cj(f)|2k/r. (5)
Для получения неравенства (2) применим ряд идей, использованных И. В. Бердни-
ковой и С. З. Рафальсоном в ходе доказательства теоремы 1 из работы [10]. Ис-
пользуя формулу (5), получаем
‖f (r−k)‖22 6
{
sup
j>r
αj,r−k
α
1−k/r
j,r
}2 ∞∑
j=r
|cj(f)|2(1−k/r) α2(1−k/r)
j,r |cj(f)|2k/r. (6)
Воспользуемся далее неравенством Гельдера
∞∑
j=1
αjβj 6
∞∑
j=1
αηj
1/η ∞∑
j=1
βη
′
j
1/η′
,
где αj , βj > 0, j ∈ N; η > 1 и 1/η + 1/η′ = 1. Полагая η := r/(r − k), а значит
η′ := r/k, и применяя к правой части соотношения (6) неравенство Гельдера, а
также используя формулы (1) и (3), записываем оценку сверху величины ‖f (r−k)‖22:
‖f (r−k)‖22 6
{
sup
j>r
αj,r−k
α
1−k/r
j,r
}2
∞∑
j=r
|cj(f)|2
k/r
∞∑
j=r
α2
j,r|cj(f)|2
1−k/r
6
6
{
sup
j>r
αj,r−k
α
1−k/r
j,r
}2
‖f‖2k/r2 ‖f (r)‖2(1−k/r)2 . (7)
Установим равенство
sup
j>r
αj,r−k
α
1−k/r
j,r
=
αr,r−k
α
1−k/r
r,r
. (8)
Поскольку, как нетрудно убедиться путем непосредственных вычислений, при j >
> r, j ∈ N,
αj,r−k
(αj,r)1−k/r
=
(
j(j − 1) . . . (j − r + k + 1)
)k/r(
(j − r + k) . . . (j − r + 1)
)1−k/r ,
для удобства рассуждений рассмотрим вспомогательную функцию
g(x) :=
(
x(x− 1) . . . (x− r + k + 1)
)k/r(
(x− r + k) . . . (x− r + 1)
)1−k/r , (9)
где r 6 x < ∞. Покажем, что g является монотонно убывающей функцией. Лога-
рифмируя обе части соотношения (9), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1582 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
ln g(x) =
1
r
{
k
(
lnx+ ln(x− 1) + . . .+ ln(x− r + k + 1)
)
−
−(r − k)
(
ln(x− r + k) + . . .+ ln(x− r + 1)
)}
. (10)
Дифференцируя обе части равенства (10) по переменной x, имеем
g′(x) = g(x)
k(r − k)
r
{
1
r − k
(
1
x
+
1
x− 1
+ . . .+
1
x− r + k + 1
)
−
−1
k
(
1
x− r + k
+ . . .+
1
x− r + 1
)}
. (11)
Заменив каждое слагаемое в первой круглой скобке правой части равенства (11)
наибольшим числом 1/(x− r + k + 1), а каждое слагаемое во второй круглой скоб-
ке наименьшим числом 1/(x− r + k), получим
g′(x) 6 g(x)
k(r − k)
r
(
1
x− r + k + 1
− 1
x− r + 1
)
< 0.
Следовательно, функция g монотонно убывает на полусегменте [r,∞), а значит
справедливо равенство (8). Используя формулы (7), (8), имеем
‖f (r−k)‖2 6
αr,r−k
α
1−k/r
r,r
‖f‖k/r2 ‖f (r)‖1−k/r2 . (12)
Учитывая принадлежность промежуточной производной f (r−k) функции f ∈
∈ Hr
q , q > 2, пространству Харди Hp, 1 6 p 6 2, и справедливость соотношений
f ∈ Hs, f
(r) ∈ Ht, где 2 6 s, t 6 q, а также специфику определения нормы в
пространстве Харди, из формулы (12) получаем требуемое неравенство (2).
Покажем, что неравенство (2) является неулучшаемым в указанном выше смыс-
ле. Для этого рассмотрим, например, функцию f0(z) := zr, принадлежащую мно-
жеству Hr
q . Поскольку ‖f (r)0 ‖t = αr,r, ‖f0‖s = 1, ‖f (r−k)0 ‖p = αr,r−k, подставляя
значения указанных величин в формулу (2), убеждаемся в том, что неравенство (2)
обращается в равенство.
Теорема 1 доказана.
3. Пусть z := (z1, z2) = (ρ1e
iτ1 , ρ2e
iτ2), где 0 6 ρ1, ρ2 < ∞; 0 6 τ1, τ2 6 2π,
— произвольная точка двумерного комплексного пространства C2; U2 := {z ∈
∈ C2 : |zj | < 1, j = 1, 2} — единичный бикруг в C2; Γ2 := {z ∈ C2 : |zj | =
= 1, j = 1, 2} — остов единичного бикруга. Класс всех аналитических в U2
функций обозначим через A(U2). Пусть f ∈ A(U2), ρj ∈ [0, 1), j = 1, 2, 1 6 q <
<∞, и
Mq(f ; ρ1, ρ2) :=
1
4π2
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f(ρ1e
iτ1 , ρ2e
iτ2)
∣∣∣qdτ1dτ2
1/q
.
Символом Hq,2 := Hq(U
2), q > 1, обозначим пространство Харди, состоящее из
функций f ∈ A(U2), для которых конечна норма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1583
‖f‖q,2 := ‖f‖Hq,2 =
lim
ρj→1−0
j=1,2
Mq(f ; ρ1, ρ2), если 1 6 q <∞,
sup
zj∈U
j=1,2
|f(z1, z2)|, если q =∞.
Из результатов А. Зигмунда [11] следует, что для функции f ∈ Hq,2, 1 6
6 q <∞, почти всюду на Γ2 существуют угловые граничные значения f(eiτ1 , eiτ2)
и выполняется равенство
lim
ρj→1−0
j=1,2
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f(ρ1e
iτ1 , ρ2e
iτ2)− f(eiτ1 , eiτ2)
∣∣∣qdτ1dτ2 = 0 ,
т. е. функцию f можно считать заданной почти всюду на Γ2.Поэтому подHq,2 часто
подразумевают именно множество таких граничных функций и говорят, что норма
функции f ∈ Hq,2 реализуется на ее угловых граничных значениях f(eiτ1 , eiτ2),
которые существуют почти для всех 0 6 τ1, τ2 6 2π.
Символом Hr1,r2
q,2 , rj ∈ N, j = 1, 2, обозначим множество функций f ∈ A(U2),
у которых смешанные производные f (r1,r2) и частные производные f (r1,0), f (0,r2)
по переменным z1 и z2 соответственно принадлежат пространству Харди Hq,2.
Лемма 1. Для любых чисел rj ∈ N, j = 1, 2, и 1 6 q < ∞ справедливо
соотношение Hr1,r2
q,2 ⊂ Hq,2.
Доказательство. Полагаем, что f — произвольная функция, принадлежащая
множеству Hr1,r2
q,2 . Покажем принадлежность функции f пространству Харди Hq,2.
Пусть z2 ∈ U — произвольная фиксированная точка. Тогда, в силу определения
множества Hr1,r2
q,2 , нетрудно видеть, что функция f(z1, z2), как функция одной
независимой переменной z1 ∈ U, является элементом множества Hr1
q и для нее
имеет место представление (см., например, [9, 12])
f(z1, z2) =
r1−1∑
k=0
ck(f, z2)zk1 +
zr11
π
2π∫
0
f (r1,0)(z1e
−iu, z2)Kr1(u)du , (13)
где
ck(f, z2) :=
R−k1
2π
2π∫
0
f(R1e
iu, z2)e−ikudu, 0 < R1 < 1, (14)
Kr1(u) :=
1
2αr1,r1
+
∞∑
ν=r1+1
cos (ν − r1)u
αν,r1
, (15)
которое проверяется непосредственной подстановкой выражений (14), (15) в фор-
мулу (13). Заметим, что функция Kr1 является неотрицательной и интегрируемой
на отрезке [0, 2π] [9].
На основании аналогичных соображений запишем следующее представление
для f(R1e
iu, z2), как для функции от переменной z2 при фиксированном значении
R1e
iu:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1584 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
f(R1e
iu, z2) =
r2−1∑
j=0
c̃j(f,R1e
iu)zj2 +
zr22
π
2π∫
0
f (0,r2)(R1e
−iu, z2e
iv)Kr2(v)dv , (16)
где
c̃j(f,R1e
iu) :=
R−j2
2π
2π∫
0
f(R1e
iu, R2e
iv)e−ijvdv, 0 < R2 < 1, (17)
а функция Kr2 определяется по аналогии с выражением (15). Представим функцию
f (r1,0)(z1e
−iu, z2), (z1, z2) ∈ U2, как функцию от переменной z2 при фиксирован-
ном значении z1e−iu следующим образом:
f (r1,0)(z1e
−iu, z2) =
r2−1∑
j=0
c∗j (f
(r1,0), z1e
−iu)zj2+
+
zr22
π
2π∫
0
f (r1,r2)(z1e
−iu, z2e
−iv)Kr2(v)dv , (18)
где
c∗j (f
(r1,0), z1e
−iu) :=
R−j2
2π
2π∫
0
f (r1,0)(z1e
−iu, R2e
iv)e−ijvdv, 0 < R2 < 1. (19)
Используя соотношения (13), (14) и (16) – (19), записываем
f(z1, z2) =
r1−1∑
k=0
r2−1∑
j=0
ckj(f)zk1z
j
2 +
zr11
2π2
r2−1∑
j=0
(
z2
R2
)j
Fj(f
(r1,0); z1)+
+
zr22
2π2
r1−1∑
k=0
(
z1
R1
)k
F̃k(f (0,r2); z2) +
zr11 z
r2
2
π2
F (f (r1,r2); z1, z2) , (20)
где
ckj(f) :=
R−k1 R−j2
4π2
2π∫
0
2π∫
0
f(R1e
iu, R2e
iv)e−ikue−ijvdudv ,
Fj(f
(r1,0); z1) :=
2π∫
0
2π∫
0
f (r1,0)(z1e
−iu, R2e
iv)e−ijvKr1(u)dudv , (21)
F̃k(f (0,r2); z2) :=
2π∫
0
2π∫
0
f (0,r2)(R1e
iu, z2e
−iv)e−ikuKr2(v)dudv , (22)
F (f (r1,r2); z1, z2) :=
2π∫
0
2π∫
0
f (r1,r2)(z1e
−iu, z2e
−iv)Kr1(u)Kr2(v)dudv . (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1585
Покажем, что функция f ∈ Hr1,r2
q,2 , представленная в виде равенства (20), при-
надлежит пространству Харди Hq,2. Для этого убедимся в том, что величина
Mq(f ; ρ1, ρ2) является ограниченной сверху при ρj → 1 − 0, j = 1, 2. Исполь-
зуя определение множества Hr1,r2
q,2 , формулы (15), (21) и обобщенное неравенство
Минковского, имеем
Mq(z
r1
1 z
j
2Fj(f
(r1,0); z1); ρ1, ρ2) = ρr11 ρ
j
2
1
2π
2π∫
0
∣∣∣Fj (f (r1,0), ρ1eiτ1) ∣∣∣qdτ1
1/q
6
6
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f (r1,0)(ρ1ei(τ1−u), R2e
iv)
∣∣∣Kr1(u)dudv
q
dτ1
1/q
6
6
2π∫
0
2π∫
0
Kr1(u)
2π∫
0
∣∣∣f (r1,0)(ρ1ei(τ1−u), R2e
iv)
∣∣∣qdτ1
1/q
dudv =
=
π
αr1,r1
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f (r1,0)(ρ1eit, R2e
iv)
∣∣∣qdt
1/q
dv.
Применяя к правой части данного соотношения неравенство Гельдера, получаем
Mq(z
r1
1 z
j
2Fj(f
(r1,0); z1); ρ1, ρ2) 6
6
π
αr1,r1
(2π)1/q
′
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f (r1,0)(ρ1eit, R2e
iv)
∣∣∣qdtdv
1/q
6 c1‖f (r1,0)‖q,2 , (24)
где
1
q
+
1
q′
= 1, j = 0, r2 − 1, c1 — абсолютная константа.
Используя определение множества Hr1,r2
q,2 , формулы (15), (22), а также обоб-
щенное неравенство Минковского и неравенство Гельдера, аналогичным образом
получаем
Mq(z
k
1z
r2
2 F̃k(f (0,r2); z2); ρ1, ρ2) 6 c2‖f (0,r2)‖q,2 , (25)
где c2 — абсолютная константа. На основании аналогичных соображений и форму-
лы (23) имеем
Mq(z
r1
1 z
r2
2 F (f (r1,r2); z1, z2); ρ1, ρ2) =
= ρr11 ρ
r2
2
1
4π2
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣F (f (r1,r2); ρ1eiτ1 , ρ2eiτ2) ∣∣∣qdτ1dτ2
1/q
6
6
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f (r1,r2)(ρ1ei(τ1−u), ρ2ei(τ2−v))∣∣∣Kr1(u)Kr2(v)dudv
q
dτ1dτ2
1/q
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1586 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
6
2π∫
0
2π∫
0
Kr1(u)Kr2(v)
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣f (r1,r2)(ρ1ei(τ1−u), ρ2ei(τ2−v))∣∣∣qdτ1dτ2
1/q
dudv 6
6 c3‖f (r1,r2)‖q,2 , (26)
где c3 — абсолютная константа. Используя соотношение (20) и неравенства (24) –
(26), получаем
‖f‖q,2 = lim
ρj→1−0
j=1,2
Mq(f ; ρ1, ρ2) <∞ ,
т. е. функция f, принадлежащая множеству Hr1,r2
q,2 , является элементом простран-
ства Харди Hq,2.
Лемма 1 доказана.
Замечание 1. Из определения множества Hr1,r2
q,2 , вложения Hq,2 ⊂ Hp,2, где
1 6 p 6 q <∞, в силу леммы 1 имеем Hr1,r2
q,2 ⊂ Hr1,r2
p,2 .
4. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть r1, r2 ∈ N; 1 6 kj 6 rj , j = 1, 2, — натуральные числа;
1 6 p 6 2 6 s, t, u, v 6 q. Тогда для любой функции f ∈ Hr1,r2
q,2 , у которой
коэффициенты Тейлора
cν,r2−k2(f) = . . . = cν,r2−1(f) = 0,
cr1−k1,µ(f) = . . . = cr1−1,µ(f) = 0,
где ν = r1−k1, r1−k1+1, . . . , µ = r2−k2, r2−k2+1, . . . , выполняется неравенство∥∥f (r1−k1,r2−k2)∥∥
p,2
6
αr1,r1−k1
α
1−k1/r1
r1,r1
αr2,r2−k2
α
1−k2/r2
r2,r2
∥∥f∥∥k1k2/(r1r2)
s,2
∥∥f (r1,0)∥∥(1−k1/r1)k2/r2
t,2
×
×
∥∥f (0,r2)∥∥(1−k2/r2)k1/r1
u,2
∥∥f (r1,r2)∥∥(1−k1/r1)(1−k2/r2)
v,2
. (27)
Неравенство (27) является точным в том смысле, что на множестве Hr1,r2
q,2
существует функция, обращающая (27) в равенство.
Доказательство. Из замечания 1 следует, что функция f, удовлетворяющая
условиям теоремы 2, принадлежит также множеству Hr1,r2
p,2 , где 1 6 p 6 2. При
r1 = k1, r2 = k2 неравенство (27) очевидно. Если же r1 = k1 и 1 6 k2 6 r2 − 1
или r2 = k2 и 1 6 k1 6 r1 − 1, то доказательство неравенства (27) повторяет ход
рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 1. Поэтому всюду далее
полагаем, что натуральные числа k1 и k2 удовлетворяют неравенствам 1 6 kj 6
6 rj − 1, j = 1, 2. Пусть
f(z1, z2) =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2
— произвольная функция из множества Hr1,r2
q,2 , удовлетворяющая условиям дан-
ной теоремы относительно коэффициентов Тейлора cj1,j2(f). Для функции f, ее
частных производных порядка r1 по переменной z1 и порядка r2 по переменной z2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1587
f (r1,0)(z1, z2) =
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=0
αj1,r1cj1,j2(f)zj1−r11 zj22 ,
f (0,r2)(z1, z2) =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=r2
αj2,r2cj1,j2(f)zj11 z
j2−r2
2 ,
а также смешанных производных
f (r1,r2)(z1, z2) =
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
αj1,r1αj2,r2cj1,j2(f)zj1−r11 zj2−r22 ,
f (r1−k1,r2−k2)(z1, z2) =
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
αj1,r1−k1αj2,r2−k2cj1,j2(f)zj1−r1+k11 zj2−r2+k22
в силу равенства Парсеваля имеем
∥∥f∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
|cj1,j2(f)|2, (28)
∥∥f (r1,0)∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=0
α2
j1,r1 |cj1,j2(f)|2;
∥∥f (0,r2)∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=0
∞∑
j2=r2
α2
j2,r2 |cj1,j2(f)|2;
∥∥f (r1,r2)∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j1,r1α
2
j2,r2 |cj1,j2(f)|2,
(29)
∥∥f (r1−k1,r2−k2)∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j1,r1−k1α
2
j2,r2−k2 |cj1,j2(f)|2 . (30)
Из условий теоремы 2, налагаемых на коэффициенты Тейлора функции f, а
также из формул (29), (30) следует, что функция f принадлежит Hr1−k1,r2−k2
2,2 , а
значит, в силу замечания 1, f принадлежит множеству Hr1−k1,r2−k2
p,2 при 1 6 p < 2.
Используя формулу (30) и условия теоремы 2, записываем
∥∥f (r1−k1,r2−k2)∥∥2
2,2
=
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
(αj1,r1αj2,r2 |cj1,j2(f)|)2(1−k1/r1)(1−k2/r2)×
×
(
αj1,r1 |cj1,j2(f)|
)2(1−k1/r1)k2/r2(
αj2,r2 |cj1,j2(f)|
)2(1−k2/r2)k1/r1×
×
(
αj1,r1−k1αj2,r2−k2 |cj1,j2(f)|k1k2/(r1r2)
α
1−k1/r1
j1,r1
α
1−k2/r2
j2,r2
)2
.
Из данного равенства получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1588 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
∥∥f (r1−k1,r2−k2)∥∥2
2,2
6
{
sup
j1>r1
αj1,r1−k1
α
1−k1/r1
j1,r1
}2{
sup
j2>r2
αj2,r2−k2
α
1−k2/r2
j2,r2
}2
×
×
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
(αj1,r1αj2,r2 |cj1,j2(f)|)2(1−k1/r1)(1−k2/r2)×
×
(
αj1,r1 |cj1,j2(f)|
)2(1−k1/r1)k2/r2(
αj2,r2 |cj1,j2(f)|
)2(1−k2/r2)k1/r1×
×
∣∣cj1,j2(f)|2k1k2/(r1r2). (31)
Установим неравенство, необходимое для дальнейших рассуждений.
Пусть a, b, c, d — положительные числа такие, что a+ b+ c+ d = 1; µj , βj , γj ,
δj , j ∈ N, — неотрицательные числа. Согласно [13, c. 36] справедливо соотношение
∞∑
j=1
µaj β
b
j γ
c
j δ
d
j 6
∞∑
j=1
µj
a ∞∑
j=1
βj
b ∞∑
j=1
γj
c ∞∑
j=1
δj
d
.
Покажем, что имеет место двумерный аналог данного неравенства. Пусть числа
µj1,j2 , βj1,j2 , γj1,j2 , δj1,j2 , где j1, j2 ∈ N, являются неотрицательными, а числа
a, b, c, d удовлетворяют сформулированным выше условиям. Рассмотрим двойную
сумму
∑
∗ :=
∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
µaj1,j2β
b
j1,j2γ
c
j1,j2δ
d
j1,j2 .
Применяя к внутренней сумме по индексу суммирования j2 последнее неравенство,
имеем
∑
∗ 6
∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
µj1,j2
a ∞∑
j2=1
βj1,j2
b ∞∑
j2=1
γj1,j2
c ∞∑
j2=1
δj1,j2
d
.
Полагая
Aj1 :=
∞∑
j2=1
µj1,j2 , Bj1 :=
∞∑
j2=1
βj1,j2 , Γj1 :=
∞∑
j2=1
γj1,j2 , Dj1 :=
∞∑
j2=1
δj1,j2 ,
записываем ∑
∗ 6
∞∑
j1=1
Aaj1B
b
j1Γcj1D
d
j1 .
На основе аналогичных рассуждений получаем
∑
∗ 6
∞∑
j1=1
Aj1
a ∞∑
j1=1
Bj1
b ∞∑
j1=1
Γj1
c ∞∑
j1=1
Dj1
d
.
С учетом введенных обозначений отсюда имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1589
∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
µaj1,j2β
b
j1,j2γ
c
j1,j2δ
d
j1,j2 6
6
∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
µj1,j2
a ∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
βj1,j2
b ∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
γj1,j2
c ∞∑
j1=1
∞∑
j2=1
δj1,j2
d
.
(32)
Применим к правой части соотношения (31) неравенство (32), где a := (1 −
−k1/r1)(1−k2/r2), b := (1−k1/r1)k2/r2, c := (1−k2/r2)k1/r1, d := k1k2/(r1r2).
При этом полагаем µj1,j2 := (αj1,r1αj2,r2 |cj1,j2(f)|)2, βj1,j2 := (αj1,r1 |cj1,j2(f)|)2,
γj1,j2 := (αj2,r2 |cj1,j2(f)|)2, δj1,j2 := |cj1,j2(f)|2, j1 = r1, r1 + 1, . . . , j2 = r2, r2 +
+ 1, . . . , и считаем, что µj1,j2 = βj1,j2 = γj1,j2 = δj1,j2 := 0, если j1 = 1, r1 − 1.
j2 = 1, 2, . . . или j1 = r1, r1 + 1, . . . , j2 = 1, r2 − 1. Используя равенство (8) и
формулы (28) – (30), из (32) с учетом введенных обозначений находим
∥∥f (r1−k1,r2−k2)∥∥2
2,2
6
{
sup
j1>r1
αj1,r1−k1
α
1−k1/r1
j1,r1
}2{
sup
j2>r2
αj2,r2−k2
α
1−k2/r2
j2,r2
}2
×
×
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j1,r1α
2
j2,r2 |cj1,j2(f)|2
(1−k1/r1)(1−k2/r2)
×
×
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j1,r1 |cj1,j2(f)|2
(1−k1/r1)k2/r2
×
×
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j2,r2 |cj1,j2(f)|2
(1−k2/r2)k1/r1
×
×
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
|cj1,j2(f)|2
k1k2/(r1r2)
6
6
α2
r1,r1−k1
α
2(1−k1/r1)
r1,r1
α2
r2,r2−k2
α
2(1−k2/r2)
r2,r2
∥∥f∥∥2k1k2/(r1r2)
2,2
×
×
∥∥f (r1,0)∥∥2(1−k1/r1)k2/r2
2,2
∥∥f (0,r2)∥∥2(1−k2/r2)k1/r1
2,2
∥∥f (r1,r2)∥∥2(1−k1/r1)(1−k2/r2)
2,2
.
(33)
Используя замечание 1, из формулы (33) получаем требуемое неравенство (27). По-
кажем его неулучшаемость. Для этого рассмотрим функцию f1(z1, z2) := zr11 z
r2
2 ,
которая принадлежит множеству Hr1,r2
q,2 . Путем непосредственных вычислений
убеждаемся в том, что∥∥f (r1,r2)1
∥∥
v,2
= αr1,r1αr2,r2 ,
∥∥f (0,r2)1
∥∥
u,2
= αr2,r2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1590 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
∥∥f (r1,0)1
∥∥
t,2
= αr1,r1 ,
∥∥f1∥∥s,2 = 1,
∥∥f (r1−k1,r2−k2)1
∥∥
p,2
= αr1,r1−k1αr2,r2−k2 .
После подстановки полученных величин в (27) это неравенство обращается в
равенство, т. е. оказывается точным в указанном ранее смысле.
Теорема 2 доказана.
5. Рассмотрим некоторые приложения результатов, полученных в пунктах 2 и 4,
к задачам теории аппроксимации аналитических функций одной и двух комплекс-
ных переменных. Вначале остановимся на одномерном случае.
Символом Pn, n ∈ Z+, обозначим подпространство алгебраических полиномов
комплексного переменного z степени, не превышающей n. Для функции f ∈ Hq,
1 6 q 6 ∞, символом En−1(f)q, n ∈ N, обозначим величину ее наилучшего
приближения элементами подпространства Pn−1 в метрике пространства Hq, т. е.
En−1(f)q := inf
{
‖f − Pn−1‖q : Pn−1 ∈ Pn−1
}
.
Полином P ∗n−1 ∈ Pn−1, для которого выполняется равенство En−1(f)q := ‖f −
− P ∗n−1‖q, называют полиномом наилучшего приближения функции f ∈ Hq. В
случае q = 2 полином P ∗n−1 совпадает с полиномом Tn−1(f, z) :=
∑n−1
k=0
ck(f)zk,
являющимся частной суммой (n − 1)-го порядка ряда Тейлора функции f ∈ H2,
т. е.
En−1(f)2 = ‖f − Tn−1(f)‖2 . (34)
Теорема 3. Пусть r ∈ N; 1 6 k 6 r — натуральное число; 1 6 p 6 2 6
6 s, t 6 q. Тогда для произвольной функции f ∈ Hr
q и любого натурального числа
n > r выполняется неравенство
En−r+k−1(f (r−k))p 6
αn,r−k
α
1−k/r
n,r
(En−1(f)s)
k/r
(
En−r−1(f (r))t
)1−k/r
, (35)
где f (0) ≡ f, которое является точным в указанном ранее смысле.
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию
f(z) =
∞∑
j=0
cj(f)zj ,
принадлежащую множеству Hr
q , и обозначим
en(f, z) := f(z)− Tn−1(f, z) =
∞∑
j=n
cj(f)zj . (36)
Очевидно, что en(f) ∈ Hr
q . Поскольку рассматриваемая функция f также принад-
лежит пространству Харди H2, из равенств (34) и (36) имеем
En−1(f)2 = ‖en(f)‖2 . (37)
Пусть 0 6 ν 6 n − 1 — целое неотрицательное число. Путем непосредствен-
ного вычисления производных ν-го порядка можно убедиться в справедливости
равенства
T
(ν)
n−1(f, z) = Tn−ν−1(f (ν), z) , (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1591
где T
(0)
n−1(f, z) ≡ Tn−1(f, z). В силу равенств (36) и (38) для n > r > k > 1
получаем
e(r−k)n (f, z) =
∞∑
j=n
αj,r−kcj(f)zj−r+k =
= f (r−k)(z)− Tn−r+k−1(f (r−k), z) = en−r+k(f (r−k), z), (39)
e(r)n (f, z) =
∞∑
j=n
αj,rcj(f)zj−r = f (r)(z)− Tn−r−1(f (r), z) = en−r(f
(r), z) . (40)
Учитывая равенство (37), из формул (39), (40) имеем∥∥e(r−k)n (f)
∥∥
2
= En−r+k−1(f (r−k))2, (41)
∥∥e(r)n (f)
∥∥
2
= En−r−1(f (r))2. (42)
Применяя теорему 1 при p = s = t = 2 к функции en(f), с учетом формул (37) и
(41), (42) получаем
En−r+k−1(f (r−k))2 6
αn,r−k
α
1−k/r
n,r
(En−1(f)2)
k/r
(
En−r−1(f (r))2
)1−k/r
. (43)
Из определения величины наилучшего полиномиального приближения функции
f ∈ Hq при 1 6 p 6 q имеем
En−1(f)p 6 En−1(f)q . (44)
Учитывая соотношение Hr
q ⊂ Hr−k
p , 1 6 p 6 2 6 q, и используя (44), из фор-
мулы (43) получаем требуемое неравенство (35). Покажем его неулучшаемость в
указанном ранее смысле. Для этого рассмотрим функцию f2(z) := zn, n > r,
которая принадлежит множеству Hr
q . Очевидно, что f
(r−k)
2 (z) = αn,r−kz
n−r+k
и f
(r)
2 (z) = αn,rz
n−r. Вычисляя точные значения величин наилучших полино-
миальных приближений указанных функций (см., например, [14, с. 66]), имеем
En−1(f2)s = 1, En−r−1(f
(r)
2 )t = αn,r, En−r+k−1(f
(r−k)
2 )p = αn,r−k.
Подставляя полученные величины наилучших полиномиальных приближений в
неравенство (35), убеждаемся в том, что оно обращается в равенство, т. е. является
неулучшаемым в указанном ранее смысле.
Теорема 3 доказана.
Через W r
q обозначим класс, состоящий из функций f ∈ Hr
q , для которых
‖f (r)‖q 6 1. Наилучшее приближение класса W r
q подпространством Pn−1 в мет-
рике пространства Харди Hp обозначим через En−1(W r
q )p := sup{En−1(f)p : f ∈
∈W r
q }, 1 6 p, q 6∞. В работе [9] К. И. Бабенко доказал следующий результат:
En−1(W r
∞) =
1
αn,r
,
где n > r, который позднее нашел свое развитие в работе Л. В. Тайкова [15], а
именно, из полученной им теоремы 1 следует равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1592 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
En−1(W r
q )p =
1
αn,r
, 1 6 p 6 q. (45)
Рассмотрим величину sup{En−r+k−1(f (r−k))p : f ∈ W r
q }, n > r > k > 1. В част-
ности, при r = k и 1 6 p 6 q данная экстремальная характеристика совпадает с
величиной En−1(W r
q )p и ее можно рассматривать как дальнейшее распространение
результата (45) на случай вычисления точных значений наилучших полиномиаль-
ных приближений промежуточных производных f (r−k) на классе W r
q в метрике
пространства Харди Hp. Следующая теорема касается вычисления указанной ха-
рактеристики для случая 1 6 p 6 2 6 q.
Теорема 4. Пусть натуральные числа n, r, k удовлетворяют соотношению
n > r > k > 1 и 1 6 p 6 2 6 q. Тогда имеет место равенство
sup
{
En−r+k−1
(
f (r−k)
)
p
: f ∈W r
q
}
=
1
(n− r + k) . . . (n− r + 1)
. (46)
Доказательство. Рассмотрим следующее неравенство для функций из множе-
ства Hr
q , 1 6 q 6∞ (см., например, [16, с. 287]):
En−1(f)q 6
1
αn,r
En−r−1
(
f (r)
)
q
. (47)
Используя неравенство Гельдера, нетрудно убедиться в справедливости вложения
W r
q ⊂ W r
s при 2 6 s 6 q. Учитывая неравенства (44), где p := s, и (47), для
f ∈W r
q записываем
En−1(f)s 6
1
αn,r
∥∥f (r)∥∥
q
6
1
αn,r
. (48)
Для функции f ∈ W r
q при 2 6 t 6 q на основании неравенства (44), где p := t,
имеем
En−r−1
(
f (r)
)
t
6 En−r−1
(
f (r)
)
q
6
∥∥f (r)∥∥
q
6 1. (49)
Тогда для произвольной функции f ∈W r
q с учетом формул (48), (49) и соотношения
Hr
q ⊂ Hr−k
p , где 1 6 p 6 2 6 q, из теоремы 3 получаем оценку сверху
En−r+k−1
(
f (r−k)
)
p
6
αn,r−k
αn,r
.
Следовательно,
sup
{
En−r+k−1
(
f (r−k)
)
p
: f ∈W r
q
}
6
1
(n− r + k) . . . (n− r + 1)
. (50)
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию f3(z) :=
1
αn,r
zn, которая
принадлежит классу W r
q . Поскольку f (r−k)3 (z) =
αn,r−k
αn,r
zn−r+k, то
sup
{
En−r+k−1
(
f (r−k)
)
p
: f ∈W r
q
}
> En−r+k−1
(
f
(r−k)
3
)
p
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1593
=
1
(n− r + k) . . . (n− r + 1)
. (51)
Сопоставляя неравенства (50) и (51), получаем требуемое равенство (46).
Теорема 4 доказана.
6. Пусть (Z1, ‖ · ‖Z1
) и (Z2, ‖ · ‖Z2
) — некоторые линейные нормированные
пространства аналитических в единичном круге функций одной комплексной пе-
ременной z1 и z2, а NN ⊂ Z1 и MM ⊂ Z2 — конечномерные подпространства с
базисами
{a0(z1), a1(z1), . . . , aN (z1)}, {b0(z2), b1(z2), . . . , bM (z2)}
соответственно. Для упрощения записи всюду далее указанные пространства будем
обозначать символами Z1 и Z2. Полагаем
G(NN ,MM ) := Z2 ⊗NN ⊕ Z1 ⊗MM , (52)
где символами ⊗ и ⊕ обозначены соответственно операции тензорного произведе-
ния и прямой суммы множеств. Элементы множества (52) имеют вид
gN,M (z1, z2) :=
N∑
j1=0
ϕj1(z2)aj1(z1) +
M∑
j2=0
ψj2(z1)bj2(z2) ,
где {ϕj1(z2)}Nj1=0 ⊂ Z2, {ψj2(z1)}Mj2=0 ⊂ Z1 — произвольные наборы функций.
Всюду далее будем называть их обобщенными квазиполиномами (см., например,
[17]).
Пусть Z — линейное нормированное пространство аналитических в единичном
бикруге функций двух комплексных переменных, содержащее множество
G(NN ,MM ). Для произвольной функции f ∈ Z обозначим через
EN,M (f)Z := inf{‖f − gN,M‖Z : gN,M ∈ G(NN ,MM )} (53)
величину ее наилучшего приближения элементами множества (52). Аппроксима-
тивные характеристики вида (53) в случае приближения вещественных функций
нескольких переменных изучались, например, в работах [17 – 20]. Величину (53)
называют еще приближением функции „углом” [18].
Далее полагаем Z := Hq,2, Zj := Hq, j = 1, 2, NN := PN , MM := PM .
Это означает, что при изучении вопросов, связанных с наилучшим приближением
функций элементами множества G(PN ,PM ) в пространстве Харди Hq,2, имеем
G(PN ,PM ) =
{
gN,M (z1, z2) =
N∑
j1=0
ϕj1(z2)zj11 +
M∑
j2=0
ψj2(z1)zj22 :
ϕj1(z2) ∈ Hq, j1 = 0, N ; ψj2(z1) ∈ Hq, j2 = 0,M
}
.
В этом случае величину EN,M (f)Z обозначим символом EN,M (f)q, а функции gN,M
будем называть квазиполиномами. Под квазиполиномом Тейлора порядка {n1 −
− 1, n2 − 1}, n1, n2 ∈ N, для аналитической в U2 функции f(z1, z2) =
=
∑∞
j1=0
∑∞
j2=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 понимаем выражение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1594 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Tn1−1,n2−1(f ; z1, z2) :=
n1−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 +
+
n2−1∑
j2=0
∞∑
j1=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 −
n1−1∑
j1=0
n2−1∑
j2=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 . (54)
Очевидно, что Tn1−1,n2−1(f) ∈ G(Pn1−1,Pn2−1). В работе [21, с. 17] было пока-
зано, что среди всех квазиполиномов вида
gn1−1,n2−1(z1, z2) =
n1−1∑
j1=0
ϕj1(z2)zj11 +
n2−1∑
j2=0
ψj2(z1)zj22 , (55)
принадлежащих множеству G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ H2,2, наилучшее приближение
функции f ∈ H2,2 доставляет ее квазиполином Тейлора (54), т. е.
En1−1,n2−1(f)2 =
∥∥f − Tn1−1,n2−1(f)
∥∥
2,2
=
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
∣∣cj1,j2(f)
∣∣2 . (56)
Теорема 5. Пусть nj > rj > kj > 1, j = 1, 2, — натуральные числа; 1 6
p 6 2 6 s, t, u, v 6 q < ∞. Тогда для любой функции f ∈ Hr1,r2
q,2 выполняется
неравенство
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1(f (r1−k1,r2−k2))p 6
6
αn1,r1−k1αn2,r2−k2
α
1−k1/r1
n1,r1 α
1−k2/r2
n2,r2
(En1−1,n2−1(f)s)
k1k2/(r1r2)×
×
(
En1−r1−1,n2−1(f (r1,0))t
)(1−k1/r1)k2/r2 (
En1−1,n2−r2−1(f (0,r2))u
)(1−k2/r2)k1/r1
×
×
(
En1−r1−1,n2−r2−1(f (r1,r2))v
)(1−k1/r1)(1−k2/r2)
, (57)
которое является точным в указанном ранее смысле.
Доказательство. Для произвольной функции
f(z1, z2) =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 ,
принадлежащей множеству Hr1,r2
q,2 , полагаем
en1,n2
(f ; z1, z2) := f(z1, z2)− Tn1−1,n2−1(f ; z1, z2) =
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
cj1,j2(f)zj11 z
j2
2 .
(58)
Как следует из замечания 1 и ряда рассуждений из доказательства теоремы 2, при
выполнении условий теоремы 5 функция f ∈ Hr1,r2
q,2 также принадлежит множе-
ству Hr1−k1,r2−k2
2,2 . В силу соотношения (58) это означает, что данному множеству
принадлежит и функция en1,n2
(f). Непосредственным образом можно убедиться в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1595
справедливости равенств
T
(ν1,0)
n1−1,n2−1(f ; z1, z2) = Tn1−ν1−1,n2−1(f (ν1,0); z1, z2),
T
(0,ν2)
n1−1,n2−1(f ; z1, z2) = Tn1−1,n2−ν2−1(f (0,ν2); z1, z2),
T
(ν1,ν2)
n1−1,n2−1(f ; z1, z2) = Tn1−ν1−1,n2−ν2−1(f (ν1,ν2); z1, z2),
(59)
где f (0,0) ≡ f ; 0 6 νj 6 nj − 1, j = 1, 2, — неотрицательные целые числа и
T
(0,0)
n1−1,n2−1(f) := Tn1−1,n2−1(f). Из соотношений (58), (59) при nj > rj > kj > 1,
j = 1, 2, получаем равенства
e(r1,0)n1,n2
(f ; z1, z2) =
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
αj1,r1cj1,j2(f)zj1−r11 zj22 =
= f (r1,0)(z1, z2)− Tn1−r1−1,n2−1(f (r1,0); z1, z2) = en1−r1,n2
(f (r1,0); z1, z2), (60)
e(0,r2)n1,n2
(f ; z1, z2) =
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
αj2,r2cj1,j2(f)zj11 z
j2−r2
2 =
= f (0,r2)(z1, z2)− Tn1−1,n2−r2−1(f (0,r2); z1, z2) = en1,n2−r2(f (0,r2); z1, z2), (61)
e(r1,r2)n1,n2
(f ; z1, z2) =
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
αj1,r1αj2,r2cj1,j2(f)zj1−r11 zj2−r22 =
= f (r1,r2)(z1, z2)− Tn1−r1−1,n2−r2−1(f (r1,r2); z1, z2) =
= en1−r1,n2−r2(f (r1,r2); z1, z2), (62)
e(r1−k1,r2−k2)n1,n2
(f ; z1, z2) =
=
∞∑
j1=n1
∞∑
j2=n2
αj1,r1−k1αj2,r2−k2cj1,j2(f)zj1−r1+k11 zj2−r2+k22 =
= f (r1−k1,r2−k2)(z1, z2)− Tn1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1(f (r1−k1,r2−k2); z1, z2) =
= en1−r1+k1,n2−r2+k2(f (r1−k1,r2−k2); z1, z2). (63)
Используя равенство (56), из формул (58) и (60) – (63) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1596 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК∥∥en1,n2
(f)
∥∥
2,2
= En1−1,n2−1(f)2 ,
∥∥e(r1−k1,r2−k2)n1,n2
(f)
∥∥
2,2
= En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
2
,
∥∥e(r1,0)n1,n2
(f)
∥∥
2,2
= En1−r1−1,n2−1
(
f (r1,0)
)
2
,
∥∥e(0,r2)n1,n2
(f)
∥∥
2,2
= En1−1,n2−r2−1
(
f (0,r2)
)
2
,
∥∥e(r1,r2)n1,n2
(f)
∥∥
2,2
= En1−r1−1,n2−r2−1
(
f (r1,r2)
)
2
.
(64)
Применяя теорему 2 к функции en1,n2(f) в случае p = s = t = u = v = 2, в силу
соотношений (27) и (64) получаем
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1(f (r1−k1,r2−k2))2 6
6
αn1,r1−k1αn2,r2−k2
α
1−k1/r1
n1,r1 α
1−k2/r2
n2,r2
(En1−1,n2−1(f)2)
k1k2/(r1r2)×
×
(
En1−r1−1,n2−1(f (r1,0))2
)(1−k1/r1)k2/r2 (
En1−1,n2−r2−1(f (0,r2))2
)(1−k2/r2)k1/r1
×
×
(
En1−r1−1,n2−r2−1(f (r1,r2))2
)(1−k1/r1)(1−k2/r2)
. (65)
Для произвольной функции h ∈ Hq,2 при 1 6 p 6 2 6 w 6 q из соотношения
Hq,2 ⊂ Hw,2 ⊂ Hp,2 и неравенства Гельдера имеем
En1−1,n2−1(h)p =
= inf{‖h− gn1−1,n2−1‖p,2 : gn1−1,n2−1 ∈ G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ Hp,2} 6
6 inf{‖h− gn1−1,n2−1‖w,2 : gn1−1,n2−1 ∈ G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ Hw,2} =
= En1−1,n2−1(h)w. (66)
Учитывая определение множества Hr1,r2
q,2 , 2 6 q < ∞, принадлежность ему функ-
ции f, а также включение f ∈ Hr1−k1,r2−k2
p,2 , 1 6 p 6 2, и неравенство (66), из (65)
получаем соотношение (57).
Покажем неулучшаемость неравенства (57). С этой целью рассмотрим функцию
f4(z1, z2) := zn1
1 zn2
2 , где nj > rj , j = 1, 2, которая принадлежит пространству
Харди Hw,2 при любом w > 1. Используя определение величины наилучшего
приближения квазиполиномами вида (55), записываем оценку сверху
En1−1,n2−1(f4)w 6 ‖f4‖w,2 = 1 . (67)
Установим оценку снизу величины En1−1,n2−1(f4)w. В силу представления (55)
произвольного элемента gn1−1,n2−1 ∈ G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ H1,2 имеем
1 =
1
4π2
∣∣∣∣∣∣
2π∫
0
2π∫
0
(
f4
(
eit1 , eit2
)
− gn1−1,n2−1
(
eit1 , eit2
))
e−i(n1t1+n2t2)dt1dt2
∣∣∣∣∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1597
Отсюда получаем
1 6 ‖f4 − gn1−1,n2−1‖1,2. (68)
Используя следующее из (53) определение величины En1−1,n2−1(·)1 и неравенство
(68), записываем 1 6 En1−1,n2−1(f4)1. Из последнего неравенства и (66) получаем
оценку снизу
1 6 En1−1,n2−1(f4)w. (69)
Тогда равенство
En1−1,n2−1(f4)w = 1 (70)
следует из соотношений (67) и (69).
На основании аналогичных соображений нетрудно показать справедливость
равенств
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f
(r1−k1,r2−k2)
4
)
p
= αn1,r1−k1αn2,r2−k2 ,
En1−r1−1,n2−1
(
f
(r1,0)
4
)
t
= αn1,r1 ,
En1−1,n2−r2−1
(
f
(0,r2)
4
)
u
= αn2,r2 ,
En1−r1−1,n2−r2−1
(
f
(r1,r2)
4
)
v
= αn1,r1αn2,r2 .
(71)
После подстановки соответствующих величин из равенства (70), где w := s, и
из равенств (71) в формулу (57) получаем требуемое равенство, подтверждающее
неулучшаемость соотношения (57) в указанном ранее смысле.
Теорема 5 доказана.
Обозначим через W r1,r2
q,2 класс, содержащий функции из множества Hr1,r2
q,2 ,
которые удовлетворяют условию ‖f (r1,r2)‖q,2 6 1.
Теорема 6. Пусть натуральные числа nj , rj , kj ; j = 1, 2, удовлетворяют
соотношениям nj > rj > kj > 1, j = 1, 2, и 1 6 p 6 2 6 q <∞. Тогда справедливо
равенство
sup
{
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
p
: f ∈W r1,r2
q,2
}
=
=
1
(n1 − r1 + k1) . . . (n1 − r1 + 1)(n2 − r2 + k2) . . . (n2 − r2 + 1)
. (72)
Доказательство. Приведем необходимые сведения из теории аппроксимации
функций одной комплексной переменной. Для аналитической в единичном круге
функции ϕ ∈ Hr
1 имеет место следующее представление (см., например, [9, 12])
ϕ(z)− Λn−1,r(ϕ, z) =
zr
π
2π∫
0
Kn,r(t)ei(n−r)tϕ(r)(ze−it)dt , (73)
где z ∈ U, n > r,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1598 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Kn,r(t) :=
1
2αn,r
+
∞∑
j=n+1
cos(j − n)t
αj,r
,
Λn−1,r(ϕ, z) :=
n−1∑
j=0
λj,rcj(f)zj , (74)
λj,r :=
1, если j = 0, . . . , r − 1,
1− αj,r
α2n−j,r
, если j = r, . . . , n− 1.
Условимся считать, что на функцию f ∈ W r1,r2
q,2 оператор Λn1−1,r1 вида (74)
действует как на функцию от переменной z1 при фиксированном z2, сопостав-
ляя ей функцию Λz1n1−1,r1(f ; z1, z2), а оператор Λn2−1,r2 вида (74) на функцию f
действует как на функцию от переменной z2 при фиксированном z1, сопоставляя
ей функцию Λz2n2−1,r2(f ; z1, z2). Оператор Λz1n1−1,r1Λz2n2−1,r2 сопоставляет функции
f функцию Λz1n1−1,r1
(
Λz2n2−1,r2(f); z1, z2
)
, которая является результатом последо-
вательного действия на f сначала оператора Λz2n2−1,r2 по переменной z2, а затем
оператора Λz1n1−1,r1 по переменной z1. При этом указанные операторы перестано-
вочны, т. е. Λz1n1−1,r1
(
Λz2n2−1,r2(f)
)
= Λz2n2−1,r2
(
Λz1n1−1,r1(f)
)
.
Рассмотрим в качестве аппарата приближения функции f ∈W r1,r2
q,2 функцию
Λr1,r2n1−1,n2−1(f ; z1, z2) := Λz1n1−1,r1(f ; z1, z2) + Λz2n2−1,r2(f ; z1, z2)−
−Λz1n1−1,r1
(
Λz2n2−1,r2(f); z1, z2
)
, (75)
которая является элементом множества G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ Hq,2. Напомним, что
в случае функций двух вещественных переменных аппроксимативные свойства
аппаратов приближения, которые в определенном смысле подобны (75), изучались,
например, в работах [20, 22]. Пусть I — единичный оператор в пространстве Hq,2.
Воспользовавшись идеей рассуждений из работы [22], в рассматриваемом случае
получаем
f − Λr1,r2n1−1,n2−1(f) =
(
I− Λz1n1−1,r1
)
f − Λz2n2−1,r2
(
I− Λz1n1−1,r1
)
f =
=
(
I− Λz1n1−1,r1
) (
I− Λz2n2−1,r2
)
f . (76)
Поскольку в силу формулы (73)
(
I− Λz1n1−1,r1
)
f(z1, z2) =
zr11
π
2π∫
0
Kn1,r1(t1)ei(n1−r1)t1f (r1,0)(z1e
−it1 , z2)dt1 , (77)
(
I− Λz2n2−1,r2
)
f(z1, z2) =
zr22
π
2π∫
0
Kn2,r2(t2)ei(n2−r2)t2f (0,r2)(z1, z2e
−it2)dt2 , (78)
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1599
(
I− Λz1n1−1,r1
) (
I− Λz2n2−1,r2
)
f(z1, z2) =
zr11
π
2π∫
0
Kn1,r1(t1)ei(n1−r1)t1×
× ∂r1
∂zr11
zr22
π
2π∫
0
Kn2,r2(t2)ei(n2−r2)t2f (0,r2)(z1e
−it1 , z2e
−it2)dt2
dt1 =
=
zr11 z
r2
2
π2
2π∫
0
2π∫
0
Kn1,r1(t1)Kn2,r2(t2)ei((n1−r1)t1+(n2−r2)t2)×
×f (r1,r2)(z1e−it1 , z2e−it2)dt1dt2. (79)
Используя в рассматриваемом случае определение величины наилучшего при-
ближения квазиполиномами, обобщенное неравенство Минковского и учитывая,
что функции Knj ,rj (tj), j = 1, 2, являются неотрицательными и интегрируемыми
на отрезке [0, 2π], для произвольной функции f ∈ W r1,r2
q,2 при 2 6 s 6 q из (76) и
(79) получаем
En1−1,n2−1(f)s 6
∥∥f − Λr1,r2n1−1,n2−1(f)
∥∥
s,2
6
6
1
αn1,r1αn2,r2
∥∥f (r1,r2)∥∥
q,2
6
1
αn1,r1αn2,r2
. (80)
Поскольку функции Λz1n1−1,r1(f) и Λz2n2−1,r2(f) принадлежат множеству
G(Pn1−1,Pn2−1) ⊂ Hq,2, используя соотношения (77), (78), для 2 6 t, u 6 q
имеем
En1−r1−1,n2−1
(
f (r1,0)
)
t
6
∥∥∥f (r1,0) − Λz2n2−1,r2
(
f (r1,0)
)∥∥∥
t,2
6
6
1
αn2,r2
∥∥∥f (r1,r2)∥∥∥
q,2
6
1
αn2,r2
, (81)
En1−1,n2−r2−1
(
f (0,r2)
)
u
6
∥∥∥f (0,r2) − Λz1n1−1,r1
(
f (0,r2)
)∥∥∥
u,2
6
6
1
αn1,r1
∥∥∥f (r1,r2)∥∥∥
q,2
6
1
αn1,r1
. (82)
Очевидно, что при 2 6 v 6 q
En1−r1−1,n2−r2−1
(
f (r1,r2)
)
v
6
∥∥∥f (r1,r2)∥∥∥
q,2
6 1 . (83)
Используя неравенство (57) и оценки сверху (80) – (83), получаем следующее
неравенство при 1 6 p 6 2 6 q <∞:
sup
{
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
p
: f ∈W r1,r2
q,2
}
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1600 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
6
αn1,r1−k1αn2,r2−k2
αn1,r1αn2,r2
=
=
1
(n1 − r1 + k1) . . . (n1 − r1 + 1)(n2 − r2 + k2) . . . (n2 − r2 + 1)
. (84)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, записанной в ле-
вой части неравенства (84), рассмотрим функцию
f5(z1, z2) :=
zn1
1 zn2
2
αn1,r1αn2,r2
, nj > rj , j = 1, 2.
Очевидно, что f5 ∈W r1,r2
q,2 и
f
(r1−k1,r2−k2)
5 (z1, z2) =
αn1,r1−k1αn2,r2−k2
αn1,r1αn2,r2
zn1−r1+k1
1 zn2−r2+k2
2 .
На основании рассуждений, аналогичных приведенным при получении равен-
ства (70), имеем
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f
(r1−k1,r2−k2)
5
)
p
=
αn1,r1−k1αn2,r2−k2
αn1,r1αn2,r2
.
Тогда
sup
{
En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
p
: f ∈W r1,r2
q,2
}
>
> En1−r1+k1−1,n2−r2+k2−1
(
f
(r1−k1,r2−k2)
5
)
p
=
=
1
(n1 − r1 + k1) . . . (n1 − r1 + 1)(n2 − r2 + k2) . . . (n2 − r2 + 1)
. (85)
Сопоставляя оценку сверху (84) и оценку снизу (85), получаем требуемое равенство
(72).
Теорема 6 доказана.
1. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. — 590 с.
2. Hardy G. H., Landay E., Littlewood J. E. Some inequalities satisfied by the integrals or derivatives of
real or analytic functions // Math. Z. – 1935. – 39. – S. 677 – 695.
3. Вакарчук С. Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналити-
ческих функций // Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии / Сб. научн. работ
Ин-та математики АН УССР. – Киев: Наук. думка, 1988. – С. 4 – 7.
4. Вакарчук М. Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств анали-
тических в бикруге функций // Теорiя наближення та задачi обчислювальної математики: Тези доп.
мiжнар. конф. – Днiпропетровськ: Вид-во Днiпропетр. ун-ту, 1993. – С. 35.
5. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. О мультипликативных неравенствах типа Харди – Литтльвуда –
Полиа для аналитических функций одной и двух комплексных переменных // Вiсн. Днiпропетр.
ун-ту. Сер. Математика. Вип. 15. – 2010. – 18, № 6/1. – С. 81 – 87.
6. Вакарчук М. Б., Вакарчук С. Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических функций
одной и нескольких переменных // Approxim. Theory and Appl. / Abstract Int. Conf. in Memory of
N. P. Korneichuk (June 14 – 17, 2010). – Dnepropetrovsk, 2010. – P. 27.
7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. –
312 с.
8. Duren P. L. Theory of Hp spaces. – New York and London: Acad. Press, 1970. – 258 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОЛМОГОРОВА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1601
9. Бабенко К. И. О наилучшем приближении одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1958. – 22, № 5. – С. 631 – 640.
10. Бердникова И. В., Рафальсон С. З. Некоторые неравенства между нормами функции и ее произ-
водных в интегральных метриках // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 12. – С. 3 – 6.
11. Zigmund A. On the boundary values of functions of several complex variables // Fund. Math. – 1949. –
36. – Р. 207 – 235.
12. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О наилучших линейных методах приближения классов Л. В. Тай-
кова в пространствах Харди Hq,ρ, q > 1, 0 < ρ 6 1 // Мат. заметки. – 2009. – 85, № 3. –
С. 323 – 329.
13. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
14. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах
аналитических функций // Теория отображений и приближение функций / Сб. научн. работ Ин-та
прикл. математики и механики АН УССР. – Киев: Наук. думка, 1983. – С. 62 – 73.
15. Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов функций // Мат. заметки.
– 1967. – 1, № 2. – С. 155 – 162.
16. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. – 1977. –
22, № 2. – С. 285 – 295.
17. Брудный Ю. А. Приближение функций n переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1970. – 34, № 4. – С. 555 – 583.
18. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения „углом” // Труды
Мат. ин-та АН СССР. – 1972. – 117. – С. 256 – 300.
19. Haufmann W., Jetter K., Steinhaus B. Degree of best approximation by trigonometric blending functions
// Math. Z. – 1985. – 189, № 1. – С. 143 – 150.
20. Gonska H., Jetter K. Jackson-type theorems on approximation by trigonometric and algebraic
pseudopolynomials // J. Approxim. Theory. – 1986. – 48, № 4. – P. 396 – 406.
21. Вакарчук С. Б. О наилучшем приближении обобщенными полиномами в одном пространстве
аналитических функций двух комплексных переменных // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 7.
– С. 14 – 25.
22. Корнейчук Н. П., Переверзев С. В. К вопросу о приближении функций двух переменных операто-
рами, построенными на базе одномерных операторов // Теория функций и топология / Сб. научн.
работ Ин-та математики АН УССР. – Киев: Наук. думка, 1983. – С. 43 – 49.
Получено 17.06.11,
после доработки — 19.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2828 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:07Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/edfbdd44091b1c0e1fc07326c2ae37a5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28282020-03-18T19:37:39Z On the exponential decay of vibrations of damped elastic media Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Exact inequalities of the Kolmogorov type are obtained in Hardy Banach spaces for functions of one complex variable analytic in the unit disk and functions of two complex variables analytic in the unit bidisk. We also present applications of these inequalities to problems of the theory of approximation of analytic functions of one and two complex variables. Для функцiй однiєї комплексної змiнної, аналiтичних в одиничному колi, та для функцiй двох комплексних змiнних, аналiтичних в одиничному бiколi, у банахових просторах Хардi одержано точнi нерiвностi типу Колмогорова. Також наведено їх застосування до задач теорiї апроксимацiї аналiтичних функцiй однiєї та двох комплексних змiнних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2828 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 12 (2011); 1579-1601 Український математичний журнал; Том 63 № 12 (2011); 1579-1601 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2828/2409 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2828/2410 Copyright (c) 2011 Vakarchuk M. B.; Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_alt | Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации |
| title_full | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_fullStr | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_full_unstemmed | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_short | On the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| title_sort | on the exponential decay of vibrations of damped elastic media |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2828 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchukmb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarchuksb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarčukmb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarčuksb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarčukmb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarčuksb ontheexponentialdecayofvibrationsofdampedelasticmedia AT vakarchukmb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii AT vakarchuksb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii AT vakarčukmb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii AT vakarčuksb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii AT vakarčukmb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii AT vakarčuksb neravenstvatipakolmogorovadlâanalitičeskihfunkcijodnojidvuhkompleksnyhperemennyhiihpriloženiekteoriiapproksimacii |