Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals
We solve the Kolmogorov – Nikol’skii problem for biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ, β)- differentiable periodic functions of low smoothness in the uniform metric.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2829 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508813213302784 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:39Z |
| description | We solve the Kolmogorov – Nikol’skii problem for biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ, β)-
differentiable periodic functions of low smoothness in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. М. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
МАЛОЇ ГЛАДКОСТI БIГАРМОНIЧНИМИ
IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА
We solve the Kolmogorov – Nikol’skii problem for biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ, β)-
differentiable periodic functions of low smoothness in the uniform metric.
Решена задача Колмогорова – Никольского для бигармонических интегралов Пуассона на классах (ψ, β)-
дифференцируемых периодических функций малой гладкости в равномерной метрике.
1. Постановка задачi та деякi iсторичнi вiдомостi. Нехай L1, L∞ та C — простори
2π-перiодичних вiдповiдно сумовних, вимiрних та iстотно обмежених неперервних
функцiй з вiдомими нормами
‖f‖L1
= ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt,
‖f‖L∞ = ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|,
‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Нехай U(ρ;x) — бiгармонiчна функцiя в одиничному крузi |ρeix| < 1, тобто є
розв’язком рiвняння
∆2U(ρ;x) = 0, (1)
де ∆2U(ρ;x) = ∆(∆U(ρ;x)), ∆ =
1
ρ2
∂2
∂x2
+
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
— оператор Лапласа.
Розв’язок рiвняння (1) iз граничними умовами
∂U(ρ;x)
∂x
∣∣∣∣
ρ=1
= 0, U(ρ;x)|ρ=1 = f(x),
де f(x) — сумовна 2π-перiодична функцiя, позначимо через B(ρ; f ;x).
У монографiї М. П. Тiмана [1, с. 256] показано, що функцiю B(ρ; f ;x), яку на-
зивають бiгармонiчним iнтегралом Пуассона функцiї f(·), можна подати у виглядi
B(ρ; f ;x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
{
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(
1− ρ2
)]
ρk cos kt
}
dt.
Функцiю
Bδ(f ;x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
{
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(
1− e−2/δ
)]
e−k/δ cos kt
}
dt, δ > 0
(ρ = e−1/δ) будемо використовувати в якостi лiнiйного методу наближення функцiй
iз класiв Cψβ,∞, що введенi в роботi О. I. Степанця (див. [2]) таким чином.
c© К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2011
1602 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1603
Нехай ψ(k) — довiльна фiксована функцiя натурального аргументу i β — фiксо-
ване дiйсне число, ak(f), bk(f) — коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ (k)
(
ak(f) cos
(
kx+
πβ
2
)
+ bk(f) sin
(
kx+
πβ
2
))
є рядом Фур’є функцiї ϕ ∈ L1, то ϕ(·) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i
позначають через fψβ (·). Клас неперервних функцiй f(·), для яких ‖fψβ ‖∞ ≤ 1, по-
значають через Cψβ,∞. Зазначимо, що при ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψβ,∞ збiгаються
з класами W r
β,∞ i fψβ = f
(r)
β — (r, β)-похiдна в сенсi Вейля – Надя (див. [3, 4, с. 24]).
Якщо, крiм цього, β = r, r ∈ N, то fψβ є похiдною порядку r функцiї f, i при цьому
класи Cψβ,∞ є вiдомими класами Соболєва W r
∞.
Наслiдуючи О. I. Степанця (див. [4, с. 93; 5 c. 195]), через M будемо позна-
чати множину додатних неперервних опуклих донизу функцiй ψ(u), u ≥ 1, для
яких limu→∞ ψ(u) = 0. Пiдмножину функцiй ψ ∈ M, що задовольняють умову∫ ∞
1
ψ(t)
t
dt < ∞, позначимо через M′. Iз множини M видiлимо пiдмножину M0
(див., наприклад, [5, с. 160]),
M0 =
{
ψ ∈M : 0 <
t
η(t)− t
≤ K ∀t ≥ 1
}
,
де η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ, а K —
стала, яка може залежати вiд ψ, M
′
0 = M0 ∩M′.
У данiй роботi будемо вивчати асимптотичну поведiнку при δ →∞ величини
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
‖f(·)−Bδ(f ; ·)‖C = sup
f∈Cψβ,∞
‖ρδ(f ; ·)‖C . (2)
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю ϕ(δ) = ϕ(N; δ) таку, що при δ →∞
E (N;Bδ)X = ϕ (δ) + o (ϕ (δ)) ,
то, наслiдуючи О. I. Степанця [5, c. 198], будемо говорити, що розв’язана задача
Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона на класi N у
метрицi простору X .
Зазначимо, що розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського на класi W 1
∞ знай-
дено у роботах C. Канiєва [6] та П. Пих [7]. Апроксимативнi властивостi бiгармонiч-
них iнтегралiв Пуассона на iнших класах функцiй дослiджувались також Л. П. Фа-
лалєєвим [8], Т. I. Амановим та Л. П. Фалалєєвим [9], М. П. Тiманом [1], авторами
[10 – 12], В. П. Заставним [13]. Слiд зауважити, що в роботi авторiв [12] розв’я-
зано задачу Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на
класах Cψβ,∞ у метрицi простору C, коли функцiї ψ(·) мають велику швидкiсть спа-
дання до нуля. Водночас досить цiкавим залишається питання про апроксимативнi
властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах (ψ, β)-диференцiйовних
функкцiй малої гладкостi, тобто таких функцiй ψ(·), для яких
∫ ∞
1
uψ(u)du =∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1604 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
2. Деякi оцiнки для iнтегралiв типу Фур’є. Нехай Λ = {λδ (k)} — множина
функцiй натурального аргументу, що залежить вiд параметра δ, заданого на множи-
нi EΛ ⊆ R, яка має принаймнi одну граничну точку δ0, λδ(0) = 1 ∀δ ∈ EΛ. Якщо
δ ∈ N, то числа λδ(k) є елементами нескiнченної прямокутної матрицi Λ = {λ(n)
k },
n, k = 0, 1, . . . , λ
(n)
0 = 1, n ∈ N ∪ {0}, а при додатковiй умовi λ(n)
k ≡ 0 при k > n
— елементами нескiнченної трикутної матрицi. Будемо вважати, що {λδ(k)} має
таку властивiсть: що для кожної функцiї f ∈ L1 ряд
a0(f)
2
λδ(0) +
∞∑
k=1
λδ(k) (ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) , δ ∈ EΛ,
при кожному фiксованому δ ∈ EΛ збiгається в метрицi простору L1 до деякої
сумовної функцiї Uδ(f ;x; Λ). Кажуть, що кожна множина функцiй натурального
аргументу Λ при фiксованому δ ∈ EΛ визначає лiнiйний оператор Uδ(Λ), що дiє iз
L1 в L1. Зокрема, для бiгармонiчного оператора Пуассона Bδ маємо
λδ(k) =
(
1 +
k
2
(
1− e−2/δ
))
e−k/δ,
де δ > 0, а граничною точкою множини EΛ є δ0 =∞.
Далi, припустимо, що множина Λ задається пiдсумовуючою функцiєю λδ(u),
0 ≤ u < ∞, такою, що λδ(k) = λ
(
k
δ
)
i λδ(0) = 1 ∀δ ∈ EΛ. Для бiгармонiчного
iнтеграла Пуассона покладемо
τδ
(
k
δ
)
= (1− λδ(k))
ψ(k)
ψ(δ)
, k = 0, 1, 2, . . . ,
так, що
τ(u) = τδ(u;ψ) =
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(3)
де γ = γ(δ) =
δ
2
(1− e−2/δ), ψ(u) — функцiя, визначена та неперервна при u ≥ 1.
Перш нiж перейти до вивчення поведiнки величини E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
вигляду (2),
покажемо, що мають мiсце наступнi твердження.
Лема 1. Якщо для функцiї τ(·) вигляду (3) її перетворення Фур’є
τ̂(t) = τ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (4)
є сумовним на всiй числовiй осi, то має мiсце спiввiдношення
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= ψ(δ)A(τ) +O
ψ(δ)
∫
|t|≥δπ/2
|τ̂δ(t)| dt
, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1605
де величина A(τ) визначається рiвнiстю
A(τ) =
∞∫
−∞
|τ̂δ(t)| dt. (6)
Доведення. Оскiльки, згiдно з умовою леми 1, перетворення Фур’є τ̂(·) є сумов-
ним на всiй числовiй осi, то, повторюючи наведенi в роботi [5, c. 183] мiркування,
неважко переконатися в тому, що для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ,∞ у кожнiй точцi
x ∈ R справджується рiвнiсть
ρδ(f ;x) = f(x)−Bδ(f ;x) = ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂δ(t)dt, δ > 0. (7)
Iз спiввiдношення (2), враховуючи iнтегральне зображення (7) та беручи до
уваги iнварiантнiсть класiв Cψβ,∞ вiдносно зсуву аргументу (див. [4, с. 109]), отри-
муємо
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∣∣∣∣∣ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
t
δ
)
τ̂δ(t)dt
∣∣∣∣∣.
Звiдси
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
≤ ψ(δ)
π
+∞∫
−∞
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣dt. (8)
З iншого боку, для довiльної функцiї ϕ0 ∈ L1,
∫ π
−π
ϕ0(t)dt = 0, такої, що
ess sup
t
|ϕ0(t)| ≤ 1, у класi Cψβ,∞ знайдеться функцiя f(x) = f(ϕ0;x), для якої
fψβ (x) = ϕ0(x). Тому в класi Cψβ,∞ iснує функцiя f̂(t) така, що
f̂ψβ (t) = sign
∞∫
0
τ(u) cos
(
uδt+
βπ
2
)
du, t ∈
(
−π
2
,
π
2
)
. (9)
Далi, оскiльки
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
≥ ψ(δ)
π
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
f̂ψβ
(
t
δ
) ∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
dudt
∣∣∣∣∣∣ , (10)
то, враховуючи (9), маємо
ψ(δ)
π
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
f̂ψβ
(
t
δ
) ∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
dudt
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ δψ(δ)
∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
−π/2
signτ̂(tδ)τ̂(tδ) dt
∣∣∣∣∣∣∣− ψ(δ)
∫
|t|≥δπ/2
|τ̂δ(t)| dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1606 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
= ψ(δ)
+∞∫
−∞
|τ̂δ(t)| dt+ γ(δ), (11)
де γ(δ) ≤ 0 i
|γ(δ)| = O
ψ(δ)
∫
|t|≥δπ/2
|τ̂δ(t)| dt
.
Поєднання спiввiдношень (8) та (10), (11) дозволяє записати рiвнiсть (5).
Лему 1 доведено.
Зазначимо, що для трикутних матриць Λ, λ
(n)
k ≡ 0, k > n, аналогiчний результат
для класiв W r
β,∞ отримано у роботi С. А. Теляковського [14], а для класiв Cψβ,∞ —
у роботi В. I. Рукасова [15]. Для нескiнченних прямокутних матриць Λ = {λ(n)
k },
n, k = 0, 1, . . . , на класах W r
β,∞ вiдомий результат отримав Л. I. Баусов [16].
У лемi 1 вимагається сумовнiсть перетворення τ̂(t) функцiї τ(·) вигляду (3) на
всiй дiйснiй осi, тобто збiжнiсть iнтеграла A(τ). Для виконання цiєї вимоги, згiдно
з теоремою 1 роботи [16], необхiдною й достатньою умовою є збiжнiсть таких
iнтегралiв:
1/2∫
0
u|dτ ′(u)|,
∞∫
1/2
|u− 1||dτ ′(u)|, (12)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du,
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du. (13)
Лема 2. Якщо ψ належить множинi M
′
0, функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла
догори або донизу на [b,∞), b ≥ 1, то при δ → ∞ для iнтегралiв (12) та (13), де
τ(·) — функцiя вигляду (3), мають мiсце оцiнки
1/2∫
0
u|dτ ′(u)| = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
, (14)
∞∫
1/2
|u− 1||dτ ′(u)| = O(1), (15)
∞∫
0
|τ(u)|
u
du =
1
2δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du+
1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du+
+ O
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1607
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du = O
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
. (17)
Доведення. Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з (12) на кожному з промiжкiв[
0;
1
δ
]
та
[
1
δ
;
1
2
]
(при δ > 2b). Iз (3) при u ∈
[
0,
1
δ
]
маємо
τ ′(u) = e−u (1− γ + γu)
ψ(1)
ψ(δ)
, τ ′′(u) = e−u (−1 + 2γ − γu)
ψ(1)
ψ(δ)
.
Iз того, що при достатньо великих δ
−1 + 2γ − γu > 0, u ∈
[
0,
1
δ
]
,
а також iз того, що для 0 < γ < 1, u > 0
1− γ + γu > 0,
випливає опуклiсть донизу функцiї τ(u) при u ∈
[
0;
1
δ
]
. Тому, враховуючи нерiв-
ностi
γ < 1, 1− γ < 1
δ
, (18)
1− e−u − γue−u < u
δ
+ u2, u ≥ 0, (19)
неважко переконатися в тому, що
1/δ∫
0
u|dτ ′(u)| ≤ K
δ2ψ(δ)
. (20)
Покладемо τ(u) = τ1(u) + τ2(u) + τ3(u), u ≥ 1
δ
, де
τ1(u) : =
(
1− e−u − γue−u − u
δ
− u2
2
)
ψ(δu)
ψ(δ)
, (21)
τ2(u) :=
u
δ
ψ(δu)
ψ(δ)
, (22)
τ3(u) :=
u2
2
ψ(δu)
ψ(δ)
. (23)
Тодi
1/2∫
1/δ
u|dτ ′(u)| ≤
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)|+
1/2∫
1/δ
u|dτ ′2(u)|+
1/2∫
1/δ
u|dτ ′3(u)|. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1608 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Оцiнимо перший iнтеграл iз правої частини нерiвностi (24). Для цього дослi-
димо спочатку таку функцiю:
µ(u) = 1− e−u − γue−u − u2
2
− u
δ
. (25)
З того, що
µ′(u) = e−u − γe−u + γue−u − u− 1/δ,
µ′′(u) = −e−u + 2γe−u − γue−u − 1,
µ(0) = 0, µ′(0) = 1− γ − 1/δ < 0,
−1 + 2γ − γu < eu, u ∈ [0,∞),
випливає, що при u ≥ 0
µ(u) ≤ 0, µ′(u) < 0, µ′′(u) < 0. (26)
Враховуючи (26) i те, що e−u ≤ 1− u+
u2
2
, e−u ≥ 1− u, одержуємо
|µ(u)| = u2
2
+
u
δ
− 1 + e−u + γue−u ≤
≤ u2
2
+
u
δ
− u+
u2
2
+ γu− γu2 + γ
u3
2
=
= (−1 + γ + 1/δ)u+ (1− γ)u2 + γ
u3
2
,
|µ′(u)| = u+ 1/δ − e−u + γe−u − γue−u ≤
≤ u+ 1/δ − 1 + u+ γ
(
1− u+
u2
2
)
− γu+ γu2 =
= (−1 + γ + 1/δ) + 2(1− γ)u+
3
2
γu2,
|µ′′(u)| = e−u − 2γe−u + γue−u + 1 ≤
≤ 1− 2γ + 2γu+ γu+ 1 = (2− 2γ) + 3γu.
Звiдси, внаслiдок (18) i нерiвностi −1 + γ +
1
δ
<
2
3δ2
, випливає, що
|µ(u)| < 2
3δ2
u+
1
δ
u2 +
u3
2
,
|µ′(u)| < 2
3δ2
+
2
δ
u+
3
2
u2, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1609
|µ′′(u)| < 2
δ
+ 3u.
Оскiльки при u ≥ 1
δ
, згiдно з (21) та (25), має мiсце спiввiдношення
|dτ ′1(u)| ≤
{
|µ(u)| δ
2ψ′′(δu)
ψ(δ)
+ 2 |µ′(u)| δ|ψ
′(δu)|
ψ(δ)
+ |µ′′(u)| ψ(δu)
ψ(δ)
}
du, (28)
то з урахуванням (27) отримуємо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| ≤ 1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
2
3δ2
u2 +
1
δ
u3 +
1
2
u4
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
2
3δ2
u+
2
δ
u2 +
3
2
u3
)
δ |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
2
δ
u+ 3u2
)
ψ(δu)du.
Зiнтегруємо перший iнтеграл правої частини останньої нерiвностi частинами:
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| ≤ 1
ψ(δ)
(
2
3δ2
u2 +
1
δ
u3 +
1
2
u4
)
δψ′(δu)
∣∣∣∣1/2
1/δ
+
+
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
8
3δ2
u+
7
δ
u2 + 5u3
)
δ |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
2
δ
u+ 3u2
)
ψ(δu)du. (29)
Далi скористаємося такими твердженнями.
Теорема 1′ [5, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить множинi M0 тодi i лише
тодi, коли величина
α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+ 0), (30)
задовольняє умову α(t) ≥ K > 0 ∀t ≥ 1.
Теорема 2′ [5, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈M належала множинi M0,
необхiдно i достатньо, щоб для довiльного фiксованого числа c > 1 iснувала стала
K така, що при всiх t ≥ 1 виконується нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1610 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Домовимося далi через K, Ki позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi.
Застосувавши теорему 1′, для функцiї ψ ∈M0 знайдемо
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
8
3δ2
u+
7
δ
u2 + 5u3
)
δ |ψ′(δu)| du ≤
≤ K
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
(
8
3δ2
+
7
δ
u+ 5u2
)
ψ(δu)du.
Iз (29), врахувавши останню оцiнку та використавши теорему 1′, одержимо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| ≤ K1 +
K2
δ3ψ(δ)
+
K3
δ2ψ(δ)
1/2∫
1/δ
ψ(δu)du+
+
K4
δψ(δ)
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du+
K5
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2ψ(δu)du. (31)
Розглянемо iнтеграл
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2ψ(δu)du =
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
+
1/2∫
b/δ
u2ψ(δu)du, δ > 2b.
Оскiльки функцiя g(u) = u2ψ(u) є обмеженою на [1, b] , а при u ≥ b ≥ 1 — опуклою,
то
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2ψ(δu)du =
1
δ3ψ(δ)
δ/2∫
1
u2ψ(u)du =
=
1
δ3ψ(δ)
b∫
1
+
δ/2∫
b
u2ψ(u)du ≤
≤ 1
δ3ψ(δ)
b∫
1
+
δ∫
b
u2ψ(u)du = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
)
. (32)
Тодi, беручи до уваги нерiвнiсть
1
δ2
1/2∫
1/δ
ψ(δu)du ≤ 1
δ
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du ≤
1/2∫
1/δ
u2ψ(δu)du,
а також спiввiдношення (31) та (32), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1611
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
)
. (33)
З (22) при u ≥ 1/δ маємо
ψ(δ)dτ ′2(u) = uδψ′′(δu) + 2ψ′(δu) (34)
i тодi
1/2∫
1/δ
u|dτ ′2(u)| ≤ 1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2δψ′′(δu)du+
2
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u |ψ′(δu)| du.
Iнтегруючи перший iнтеграл останньої нерiвностi частинами та враховуючи тео-
реми 1′, 2′, отримуємо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′2(u)| ≤ 1
ψ(δ)
u2ψ′(δu)
∣∣1/2
1/δ
+
4
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u |ψ′(δu)| du ≤
≤ K1 +
K2
δ2ψ(δ)
+
K3
δψ(δ)
1/2∫
1/δ
ψ(δu)du = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
. (35)
Знайдемо оцiнку третього доданка з правої частини нерiвностi (24) на кожному
з промiжкiв
[
1
δ
,
b
δ
]
та
[
b
δ
,
1
2
]
, δ > 2b. Iз (23) знайдемо
dτ ′3(u)
du
та, врахувавши
спадання i опуклiсть донизу функцiї ψ(δu) на промiжку
[
1
δ
,
b
δ
]
, отримаємо таку
нерiвнiсть:
b/δ∫
1/δ
u|dτ ′3(u)| ≤
≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du+ 2δ
b/δ∫
1/δ
u2|ψ′(δu)|du+ δ2
b/δ∫
1/δ
u3ψ′′(δu)du
. (36)
Оскiльки ψ(δu) ≤ ψ(1) при u ∈
[
1
δ
,
b
δ
]
, то
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du ≤ ψ(1)
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
udu =
K
δ2ψ(δ)
. (37)
Враховуючи теорему 1′, а потiм (37), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1612 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u2|ψ′(δu)|du ≤ K1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du ≤ K2
δ2ψ(δ)
. (38)
Зiнтегруємо частинами третiй iнтеграл iз правої частини спiввiдношення (36), взяв-
ши до уваги (37), (38). Отримаємо
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u3ψ′′(δu)du ≤ K2
δ2ψ(δ)
. (39)
Поєднавши спiввiдношення (36) – (39), будемо мати таку оцiнку:
b/δ∫
1/δ
u|dτ ′3(u)| = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
. (40)
Далi, з (23) i опуклостi функцiї g(u) при u ≥ b, b ≥ 1, випливає, що
1/2∫
b/δ
u|dτ ′3(u)| =
∣∣∣∣∣∣∣
1/2∫
b/δ
udτ ′3(u)
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(uτ ′3(u)− τ3(u))
∣∣∣1/2
b/δ
∣∣∣∣ = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
)
. (41)
Отже, згiдно зi спiввiдношеннями (20), (24), (33), (35) та (40), (41) при достатньо
великих δ, має мiсце рiвнiсть (14).
Оцiнимо другий iнтеграл з (12). Оскiльки, згiдно з (3), при u ∈ [1/δ;∞)
ψ(δ)dτ ′(u) =
{(
1− [1 + γu] e−u
)
δ2ψ′′(δu)+
+2δ
(
e−u − γe−u + γue−u
)
ψ′(δu)+
+
(
−e−u + 2γe−u − γue−u
)
ψ(δu)
}
du, (42)
то
∞∫
1/2
|u− 1||dτ ′(u)| ≤
∞∫
1/2
u|dτ ′(u)| ≤
≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1/2
u
(
1− [1 + γu] e−u
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1/2
ue−u(1− γ + γu) |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
∞∫
1/2
ue−u |−1 + 2γ − γu|ψ(δu)du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1613
Далi, враховуючи, що при u ≥ 0
1− [1 + γu] e−u ≤ 1, ue−u (1− γ + γu) ≤ K
i при u ∈
[
1
2
; +∞
)
ψ(δu) ≤ ψ
(
δ
2
)
, можна переконатися, що при δ → ∞
виконується спiввiдношення (15).
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з (13) на промiжках
[
0;
1
δ
]
,
[
1
δ
; 1
]
та [1,∞).
Внаслiдок (3) та (19) маємо
1/δ∫
0
τ(u)
u
du ≤ ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(u
δ
+ u2
) du
u
≤ K
δ2ψ(δ)
. (43)
Iз спiввiдношень (3), (25) i (27) отримуємо∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1/δ
τ(u)
u
du− 1
2ψ(δ)
1∫
1/δ
uψ(δu)du− 1
δψ(δ)
1∫
1/δ
ψ(δu)du
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
ψ(δ)
1∫
1/δ
|µ(u)|
u
ψ(δu)du ≤ K1 +
K2
δ2ψ(δ)
.
Звiдси
1∫
1/δ
τ(u)
u
du =
1
2δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
. (44)
Ще раз використавши рiвнiсть (3) та врахувавши, що ψ(δu) ≤ ψ(δ) при u ≥ 1,
знаходимо∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ(u)
u
du− 1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
ψ(δu)
u
(
e−u + γue−u
)
du ≤ K. (45)
Поєднання спiввiдношень (43) – (45) дозволяє записати (16).
Оцiнимо другий iнтеграл iз (13). Покладемо
λδ(u) = [1 + uγ(δ)] e−u =
[
1 +
δu
2
(
1− e−2/δ
)]
e−u, (46)
тодi функцiя τ(·), що визначається формулою (3), набере вигляду
τ(u) =
(1− λδ(u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− λδ(u))
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
.
(47)
Iз спiввiдношення (47) знайдемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1614 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
τ(1− u) =
(1− λδ(1− u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 1− 1
δ
≤ u ≤ 1,
(1− λδ(1− u))
ψ(δ(1− u))
ψ(δ)
, u ≤ 1− 1
δ
,
(48)
τ(1 + u) =
(1− λδ(1 + u))
ψ(1)
ψ(δ)
, −1 ≤ u ≤ 1
δ
− 1,
(1− λδ(1 + u))
ψ(δ(1 + u))
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
− 1.
(49)
Подамо другий iнтеграл iз (13) у виглядi суми двох iнтегралiв:
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du =
=
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du+
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du. (50)
Додавши та вiднявши в першому доданку з правої частини (50) пiд знаком модуля
в пiдiнтегральнiй функцiї величину λδ(1− u)− λδ(1 + u), будемо мати
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du ≤
1−1/δ∫
0
|λδ(1− u)− λδ(1 + u)|
u
du+
+
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u) + λδ(1− u)− λδ(1 + u)|
u
du. (51)
Для першого iнтеграла з правої частини нерiвностi (51) (де λδ(u) — функцiя вигляду
(46)), як неважко переконатися, є справедливою оцiнка
1−1/δ∫
0
∣∣(1 + γ(1− u)) e−1+u − (1 + γ(1 + u)) e−1−u∣∣ du
u
= O(1). (52)
Далi, оскiльки мають мiсце спiввiдношення (48) i (49), то при u ∈
[
0, 1− 1
δ
]
λδ(1− u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
τ(1− u),
λδ(1 + u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
τ(1 + u).
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1615
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u) + (λδ(1− u)− λδ(1 + u))| du
u
≤
≤
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
+
1−1/δ∫
0
|τ(1 + u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu . (53)
Для оцiнки iнтегралiв iз правої частини нерiвностi (53) скористаємося тверджен-
нями з роботи Л. I. Баусова [16].
Означення 1′ [16]. Нехай функцiя τ(u) задана на [0,∞), абсолютно неперервна
i τ(∞) = 0. Кажуть, що функцiя τ(u) належить множинi E1, якщо похiдну τ ′(u)
в тих точках, де вона не iснує, можна доозначити так, щоб iснували iнтеграли∫ 1/2
0
u|dτ ′(u)|,
∫ ∞
1/2
|u− 1||dτ ′(u)|.
Нехай
H(τ) = |τ(0)|+ |τ(1)|+
1/2∫
0
u |dτ ′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1| |dτ ′(u)| . (54)
Лема 1′ [16]. Якщо τ(u) належить множинi E1, то |τ(u)| ≤ H(τ).
Оскiльки функцiя τ(·), яка задана спiввiдношенням (3), належить множинi E1,
то має мiсце лема 1′, згiдно з якою будемо мати
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
1−1/δ∫
0
|τ(1 + u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu =
= H(τ)O
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du+
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (55)
Повторюючи мiркування, наведенi у роботi [17], можна показати, що для функцiй
ψ ∈M0 обидва iнтеграли з правої частини (55) при δ →∞ мають порядок O(1) —
величини, рiвномiрно обмеженої по δ. Отже, з (53) та (55) отримуємо
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + (λδ(1− u)− λδ(1 + u))
∣∣du
u
= H(τ)O(1). (56)
Крiм того, для величини H(τ) вигляду (54), згiдно з (3), (14) та (15), справджується
оцiнка
H(τ) = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
, δ →∞. (57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1616 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Спiвставляючи (51) iз (52) та (56), (57), знаходимо
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
. (58)
Оцiнимо другий доданок iз правої частини рiвностi (50). Маємо
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du =
1∫
1−1/δ
|λδ(1− u)− λδ(1 + u)|
u
du+
+O
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u) + λδ(1− u)− λδ(1 + u)| du
u
. (59)
Iз спiввiдношень (48) i (49) при u ∈
[
1− 1
δ
, 1
]
випливають такi рiвностi:
λδ(1− u) = 1− ψ(δ)
ψ(1)
τ(1− u), λδ(1 + u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
τ(1 + u).
Звiдси, згiдно з лемою 1′, отримуємо
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u) + λδ(1− u)− λδ(1 + u)| du
u
=
=
1∫
1−1/δ
∣∣∣∣τ(1− u)
(
1− ψ(δ)
ψ(1)
)
− τ(1 + u)
(
1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
)∣∣∣∣ duu =
= H(τ)O
1∫
1−1/δ
|ψ(1)− ψ(δ)|
uψ(1)
du+
1∫
1−1/δ
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (60)
Оскiльки при δ →∞
1∫
1−1/δ
|ψ(1)− ψ(δ)|
uψ(1)
du = O(1),
1∫
1−1/δ
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du = O(1),
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по δ, то, враховуючи, що
1∫
1−1/δ
|λδ(1− u)− λδ(1 + u)|
u
du =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1617
=
1∫
1−1/δ
∣∣e−1+u − e−1−u + γ(1− u)e−1+u − γ(1 + u)e−1−u∣∣ du
u
= O(1),
а також спiввiдношення (57), (59), (60), знаходимо таку оцiнку:
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
, δ →∞. (61)
Iз рiвностi (50) на пiдставi оцiнок (58) i (61) маємо (17).
Лему 2 доведено.
Таким чином, на пiдставi леми 2 та теореми 1 з роботи [16] приходимо до
висновку, що iнтеграл A(τ) вигляду (6) є збiжним.
3. Асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилень бiгармонiчних iнте-
гралiв Пуассона вiд функцiй з класiв Cψβ,∞. Основним результатом роботи є
наступне твердження.
Теорема 1. Нехай ψ ∈M
′
0, функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла догори або донизу
на [b,∞) , b ≥ 1. Тодi при δ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= ψ(δ)A(τ) +O
1
δ2
+
1
δ3
δ∫
1
uψ(u)du
, (62)
де величина A(τ) означена за допомогою рiвностi (6) i для неї справджується
оцiнка
A(τ) =
1
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
(
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du+
2
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du
)
+
+ O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du
)
. (63)
Доведення. Згiдно з лемою 1 має мiсце рiвнiсть (5). Крiм того, iз нерiвностей
(2.14) i (2.15) роботи Л. I. Баусова [16, c. 25] з урахуванням формул (14) – (17) для
величини A(τ) записуємо оцiнку (63).
Оцiнимо залишковий член iз правої частини рiвностi (5), записавши перетво-
рення τ̂(t) у виглядi
τ̂(t) =
1
π
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (64)
Двiчi iнтегруючи частинами обидва iнтеграли з (64) та беручи до уваги, що τ(0) = 0
i limu→∞τ(u) == limu→∞ τ ′(u) = 0, одержуємо
1/δ∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t
τ
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
1
t2
τ ′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1618 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
− 1
t2
τ ′(0) cos
βπ
2
− 1
t2
1/δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (65)
∞∫
1/δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du=−1
t
τ
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
τ ′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
∞∫
1/δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (66)
Поєднання формул (65) та (66) дозволяє записати
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 1
t2
τ ′(0) cos
βπ
2
− 1
t2
1/δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du−
− 1
t2
∞∫
1/δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Оскiльки τ ′(0) = (1− γ)
ψ(1)
ψ(δ)
<
ψ(1)
δψ(δ)
, то
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2δψ(δ)
+
1
t2
1/δ∫
0
+
1∫
1/δ
+
∞∫
1
|τ ′′(u)| du. (67)
Далi знайдемо оцiнки iнтегралiв iз правої частини нерiвностi (67). Врахувавши
опуклiсть донизу при u ∈
[
0;
1
δ
]
функцiї τ(u) та нерiвностi (18), отримаємо
1/δ∫
0
|τ ′′(u)|du = O
(
1
δψ(δ)
)
. (68)
Використовуючи (3), (21) – (23), одержуємо
1∫
1/δ
|τ ′′(u)|du ≤
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du+
1∫
1/δ
|τ ′′2 (u)|du+
1∫
1/δ
|τ ′′3 (u)|du. (69)
З нерiвностей (28), (27) маємо
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du ≤ 1
ψ(δ)
1∫
1/δ
(
2
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
2
u3
)
δ2ψ′′(δu)du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1619
+
2
ψ(δ)
1∫
1/δ
(
2
3δ2
+
2
δ
u+
3
2
u2
)
δ |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
1∫
1/δ
(
2
δ
+ 3u
)
ψ(δu)du.
Зiнтегруємо перший iнтеграл правої частини останньої нерiвностi частинами та
застосуємо теорему 1′. Тодi
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du ≤ 1
ψ(δ)
(
2
3δ2
u+
1
δ
u2 +
1
2
u3
)
δψ′(δu)
∣∣∣∣1
1/δ
+
+
3
ψ(δ)
1∫
1/δ
(
2
3δ2
+
2
δ
u+ 3u2
)
δ |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
1∫
1/δ
(
2
δ
+ 3u
)
ψ(δu)du ≤ K1 +
K2
δ2ψ(δ)
−
− K3
δψ(δ)
1∫
1/δ
ψ′(δu)du+
K4
δψ(δ)
1∫
1/δ
ψ(δu)du+
+
K5
ψ(δ)
1∫
1/δ
uψ(δu)du = O
(
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du
)
. (70)
Далi використаємо спiввiдношення (34) i знайдемо
1∫
1/δ
|τ ′′2 (u)|du ≤ 1
ψ(δ)
1∫
1/δ
uδψ′′(δu)du+
2
ψ(δ)
1∫
1/δ
|ψ′(δu)| du =
=
1
ψ(δ)
uψ′(δu)|11/δ −
3
ψ(δ)
1∫
1/δ
ψ′(δu)du = O
(
1
δψ(δ)
)
. (71)
Встановимо оцiнку третього iнтеграла з (69), подавши його так:
1∫
1/δ
|τ ′′3 (u)|du =
b/δ∫
1/δ
+
1∫
b/δ
|τ ′′3 (u)|du, δ > b.
Тодi, провiвши мiркування, аналогiчнi крокам (36) – (40), неважко переконатися в
справедливостi такої рiвностi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1620 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
b/δ∫
1/δ
|τ ′′3 (u)|du = O
(
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (72)
Враховуючи (23) i той факт, що функцiя g(u) є опуклою на [b,∞) , b ≥ 1, отримуємо
1∫
b/δ
|τ ′′3 (u)|du =
∣∣∣∣∣∣∣
1∫
b/δ
τ ′′3 (u)du
∣∣∣∣∣∣∣ = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (73)
Iз (69) – (73) випливає, що
1∫
1/δ
|τ ′′(u)|du = O
(
1
δψ(δ)
+
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du
)
. (74)
Використовуючи спiввiдношення (42), знайдемо оцiнку третього iнтеграла з
правої частини нерiвностi (67). Отже,
∞∫
1
|τ ′′(u)|du ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
(
1− [1 + γu] e−u
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1
e−u (1− γ + γu) |ψ′(δu)| du+
+
1
ψ(δ)
∞∫
1
e−u |−1 + 2γ − γu|ψ(δu)du.
Тодi, враховуючи, що при u ≥ 1
1− [1 + γu] e−u ≤ u, e−u (1− γ + γu) ≤ K, ψ(δu) ≤ ψ(δ),
неважко переконатися в тому, що при δ →∞
∞∫
1
|τ ′′(u)|du = O(1). (75)
Об’єднуючи формули (67), (68), (74) та (75), отримуємо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ = O
(
1
δψ(δ)
+
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du
)
1
t2
.
Звiдси ∫
|t|≥δπ/2
|τ̂δ(t)| dt = O
(
1
δ2ψ(δ)
+
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du
)
, δ →∞.
Iз останнього спiввiдношення та (5) випливає рiвнiсть (62).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ ГЛАДКОСТI . . . 1621
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i limt→∞ α(t) =
= ∞, де величина α(t) означена рiвнiстю (30). Тодi при δ → ∞ має мiсце асимп-
тотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
δ
ψ(u)
u
du+O (ψ(δ)) . (76)
Прикладом функцiй, якi задовольняють умови наслiдку 1, є, зокрема, функцiї
вигляду ψ(u) =
1
lnα(u+K)
, де α > 1, K > 0.
Наслiдок 2. Нехай ψ належить множинi M0, sin
βπ
2
6= 0, iснує limt→∞ α(t),
функцiя u2ψ(u) опукла догори або донизу на [b,∞) , b ≥ 1,
lim
u→∞
u2ψ(u) =∞, lim
δ→∞
1
δ2ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du =∞.
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ2
δ∫
1
uψ(u)du+O (ψ(δ)) . (77)
Зазначимо, що функцiї, якi мають, наприклад, вигляд ψ(u) =
1
u2
lnα(u + K),
K > 0, α > 0, задовольняють умови наслiдку 2.
Наслiдок 3. Нехай ψ належить множинi M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя u2ψ(u)
опукла донизу на [b,∞), b ≥ 1,
lim
u→∞
u2ψ(u) = K <∞, lim
δ→∞
δ∫
1
uψ(u)du =∞.
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ2
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
1
δ2
)
. (78)
Прикладом функцiй, для яких має мiсце наслiдок 3, є, зокрема, функцiї ψ(u) =
=
1
u2
arctg u, ψ(u) =
1
u2
(K + e−u), ψ(u) =
1
u2
lnα(u+K), K > 0, −1 ≤ α ≤ 0.
Зокрема, якщо ψ(u) =
1
u2
, то з (78) отримуємо такий результат:
E
(
W 2
β,∞;Bδ
)
C
=
1
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ ln δ
δ2
+O
(
1
δ2
)
, δ →∞.
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 1 – 3 рiвностi (76) – (78) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних iнтегралiв Пуас-
сона на класах Cψβ,∞ у метрицi простору C, коли функцiї ψ(·) мають незначну
швидкiсть спадання до нуля.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1622 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. –
376 с.
2. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. –
Киев, 1983. – 57 с. – (Препринт /АН УССР. Ин-т математики; 83.10).
3. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Ber.
Acad. Wiss. – Leipzig, 1938. – 90. – S. 103 – 134.
4. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
5. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. I. – 427 с.
6. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл.
АН СССР. – 1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
7. Pych P. On a biharmonic function in unit disc // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
8. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из
Lip11 от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения (Мат. Всесоюз.
симп.). – Алма-Ата: Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
9. Аманов Т. И, Фалалеев Л. П. Приближение дифференцируемых функций операторами типа Абеля –
Пуассона // 5-е сов.-чех. сов. по применению методов теории функций и функцион. анализа к
задачам мат. физики (Алма-Ата: Тр. сов). – Новосибирск, 1979. – С. 13 – 16.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiодичних функцiй їх бiгармонiй-
ними iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213 – 1219.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
12. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй iз класiв Cψβ,∞ бiгармонiчними iнтегралами
Пуассона // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 939 – 959.
13. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций
сверточными операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
14. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых
функций линейными средними их рядов Фурье. I // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 62. –
С. 61 – 97.
15. Рукасов В. И. Приближение периодических функций линейными средними их рядов Фурье. –
Киев, 1983. – 55 с. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.62).
16. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матри-
цами. I // Изв. вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
17. Жигалло Т. В., Харкевич Ю. I. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй iнтегралами Пуассона
у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1497 – 1515.
Одержано 05.09.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2829 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:10Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/c1a33e17edb24922237ceb6796ea3cc4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28292020-03-18T19:37:39Z Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals Наближення (ψ, β)-диференційовних функцій малої гладкості бігармонічними інтегралами Пуассона Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. We solve the Kolmogorov – Nikol’skii problem for biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ, β)- differentiable periodic functions of low smoothness in the uniform metric. Решена задача Колмогорова – Никольского для бигармонических интегралов Пуассона на классах (ψ, β)- дифференцируемых периодических функций малой гладкости в равномерной метрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2829 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 12 (2011); 1602-1622 Український математичний журнал; Том 63 № 12 (2011); 1602-1622 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2829/2411 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2829/2412 Copyright (c) 2011 Zhyhallo K. M.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Наближення (ψ, β)-диференційовних функцій малої гладкості бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_full | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title_short | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | approximation of (ψ, β)-differentiable functions of
low smoothness by biharmonic poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2829 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallokm approximationofpsbdifferentiablefunctionsoflowsmoothnessbybiharmonicpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationofpsbdifferentiablefunctionsoflowsmoothnessbybiharmonicpoissonintegrals AT žigallokm approximationofpsbdifferentiablefunctionsoflowsmoothnessbybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûí approximationofpsbdifferentiablefunctionsoflowsmoothnessbybiharmonicpoissonintegrals AT zhyhallokm nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjmaloígladkostíbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT kharkevychyui nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjmaloígladkostíbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT žigallokm nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjmaloígladkostíbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûí nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjmaloígladkostíbígarmoníčnimiíntegralamipuassona |