Homogenization of a quasilinear parabolic problem with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level thick junction of the type 3:2:2
We investigate the asymptotic behavior of a solution of a quasilinear parabolic boundary-value problem in a two-level thick junction of the type 3:2:2. This junction consists of a cylinder on which thin disks of variable thickness are $\varepsilon$-periodically threaded. The thin disks are divided...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2831 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508813664190464 |
|---|---|
| author | Mel'nik, T. A. Sadovyi, D. Yu. Мельник, Т. А. Садовий, Д. Ю. |
| author_facet | Mel'nik, T. A. Sadovyi, D. Yu. Мельник, Т. А. Садовий, Д. Ю. |
| author_sort | Mel'nik, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:39Z |
| description | We investigate the asymptotic behavior of a solution of a quasilinear parabolic boundary-value problem in a two-level thick junction of the type 3:2:2.
This junction consists of a cylinder on which thin disks of variable thickness are $\varepsilon$-periodically threaded.
The thin disks are divided into two levels, depending on their geometric structure and the conditions imposed on their boundaries.
In this problem, we consider different alternating inhomogeneous nonlinear Fourier conditions.
Moreover, the Fourier conditions depend on additional perturbation parameters. We prove theorems on the convergence of a solution of this problem as $\varepsilon \rightarrow 0$ for different values of these parameters. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956 + 517.43
Т. А. Мельник, Д. Ю. Садовий (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI
З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
ФУР’Є, ЩО ЧЕРГУЮТЬСЯ, В ДВОРIВНЕВОМУ
ГУСТОМУ З’ЄДНАННI ТИПУ 3 : 2 : 2
We investigate the asymptotic behavior of a solution of a quasilinear parabolic boundary-value problem in
a two-level thick junction of the type 3 : 2 : 2. This junction consists of a cylinder on which thin disks of
variable thickness are ε-periodically threaded. The thin disks are divided into two levels, depending on their
geometric structure and the conditions imposed on their boundaries. In this problem, we consider different
alternating inhomogeneous nonlinear Fourier conditions. Moreover, the Fourier conditions depend on additional
perturbation parameters. We prove theorems on the convergence of a solution of this problem as ε → 0 for
different values of these parameters.
Исследуется асимптотическое поведение решения квазилинейной параболической краевой задачи в гу-
стом двухуровневом соединении типа 3 : 2 : 2. Такое соединение состоит из цилиндра, на который
ε-периодически нанизаны тонкие диски с переменной толщиной. Тонкие диски разделены на два уровня
в зависимости от их геометрической структуры, а также от краевых условий, заданных на их границах.
В данной задаче рассматриваются различные неоднородные нелинейные условия Фурье, которые чере-
дуются. Кроме того, условия Фурье зависят от дополнительных параметров возмущения. В зависимости
от этих параметров доказаны теоремы сходимости для решения такой задачи при ε→ 0.
1. Вступ. Густе з’єднання типу m : k : d є результатом об’єднання деякої об-
ластi, яку називають тiлом з’єднання, i великої кiлькостi тонких областей, що ε-
перiодично розмiщенi вздовж деякого многовиду (зони приєднання) на поверхнi
тiла з’єднання. Тип з’єднання вказує вiдповiдно на граничнi розмiрностi тiла з’єд-
нання (m), зони приєднання (k) i кожної приєднаної тонкої областi (d); ε — малий
параметр, який характеризує вiдстань мiж сусiднiми тонкими областями та їхню
товщину.
Предметом дослiдження крайових задач у густих з’єднаннях є асимптотична
поведiнка розв’язкiв таких задач при ε→ 0, тобто коли кiлькiсть тонких приєдна-
них областей необмежено зростає, а їхня товщина прямує до нуля.
Першими в цьому напрямку були роботи [1 – 3], в яких доведено теореми збiж-
ностi для функцiї Грiна рiвняння Гельмгольца в тiлi густого з’єднання. При цьому
або робилось припущення про збiжнiсть певних компонент крайової задачi, або
використовувалось явне зображення деяких величин, яке є можливим при певних
конфiгурацiях тiла густого з’єднання (пiвпростiр). У роботах [4 – 9] дано класифi-
кацiю густих з’єднань, розроблено строгi асимптотичнi методи дослiдження, якi
дозволили довести теореми збiжностi та побудувати асимптотичнi наближення для
розв’язкiв основних крайових задач математичної фiзики в густих з’єднаннях рiз-
них типiв (див. також [10 – 13]).
Як продовження дослiджень, в роботах [14 – 17] розглянуто крайовi задачi в
густих з’єднаннях бiльш складної конфiгурацiї, а саме, в багаторiвневих густих
з’єднаннях. Багаторiвневе густе з’єднання — це густе з’єднання, в якому тонкi
областi подiляються на скiнченну кiлькiсть рiвнiв в залежностi вiд їхньої геомет-
ричної структури, а також вiд крайових умов, якi задаються на їхнiх межах. Крiм
того, тонкi областi з кожного рiвня ε-перiодично чергуються вздовж зони приєд-
нання. Зауважимо, що, згiдно з вищезазначеною класифiкацiєю, в даних роботах
розглядались лiнiйнi крайовi задачi в густих з’єднаннях типу 2 : 1 : 1 та 3 : 2 : 1. У
c© Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ, 2011
1632 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1633
роботах [14 – 17] було вiдмiчено нову якiсну вiдмiннiсть в асимптотичнiй поведiнцi
розв’язкiв крайових задач у багаторiвневих густих з’єднаннях, а саме, ефект „ба-
гатофазностi” в областi, яка одночасно заповнюється тонкими областями з рiзних
рiвнiв.
У данiй роботi розглядається параболiчна квазiлiнiйна крайова задача в три-
вимiрному дворiвневому густому з’єднаннi типу 3 : 2 : 2. Таке густе з’єднання
складається з цилiндра, на який ε-перiодично нанизано тонкi диски зi змiнною
товщиною. Тонкi диски подiляються на два рiвня. В данiй задачi на межах тонких
дискiв з обох рiвнiв задано рiзнi неоднорiднi нелiнiйнi умови Фур’є:
∂νvε + εακ1(vε) = εβgε на межах тонких дискiв з 1-го рiвня,
∂νvε + εκ2(vε) = εβgε на межах тонких дискiв з 2-го рiвня,
де α ∈ R, β ≥ 1 — параметри. Вивчається асимптотична поведiнка розв’язку такої
крайової задачi та вплив параметрiв α i β на асимптотичну поведiнку розв’язку при
ε→ 0. Зазначимо, що рiзнi лiнiйнi крайовi задачi в однорiвневих густих з’єднаннях
типу 3 : 2 : 2 вивчались у роботах [18, 19].
2. Постановка задачi. Нехай 0 < d0 < d2 ≤ d1 та 0 < b1 < b2 < 1; hi :
[d0, di]→ (0, 1) — кусково-гладкi функцiї, для яких виконуються умови
0 < b1 −
h1(s)
2
∀s ∈ [d0, d1],
b2 +
h2(s)
2
< 1, b1 +
h1(s)
2
< b2 −
h2(s)
2
∀s ∈ [d0, d2].
Цi нерiвностi означають, що iнтервали
Ii(s) :=
(
bi −
hi(s)
2
, bi +
hi(s)
2
)
, s ∈ [d0, di], i = 1, 2,
мiстяться в (0,1) та I1(s) ∩ I2(s) = ∅ для всiх s ∈ [d0, d2].
Розглянемо густе з’єднання Ωε типу 3 : 2 : 2 (див. рисунок), яке складається з
цилiндра
Ω0 =
{
x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : 0 < x2 < l, r :=
√
x2
1 + x2
3 < d0
}
i великої кiлькостi тонких кiльцевидних дискiв
G
(i)
j (ε) =
{
x ∈ R3 : |x2 − ε(j + bi)| <
εhi(r)
2
, d0 ≤ r < di
}
,
де i = 1, 2, j = 0, . . . , N − 1, тобто Ωε = Ω0 ∪ Gε, Gε = G
(1)
ε ∪ G(2)
ε , G
(i)
ε =
=
⋃N−1
j=0 G
(i)
j (ε). Тут N — велике натуральне число, отже, ε = l/N — малий пара-
метр, який характеризує вiдстань мiж сусiднiми тонкими дисками та їхню товщину.
Таким чином, кiлькiсть тонких дискiв дорiвнює 2N, вони подiляються на два рiвня
G
(1)
ε та G(2)
ε i диски з кожного рiвня ε-перiодично чергуються.
Позначимо через Υ
(i)
ε об’єднання зовнiшнiх поверхонь тонких дискiв з i-го
рiвня, а через S± основи цилiндра Ω0. Введемо також такi позначення:
Ωi := Ω0 ∪Di, Di := {x ∈ R3 : 0 < x2 < l, d0 < r < di},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1634 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
!
0
d0
d2
d1
x3
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
"" "" "" "" "" "" "" "" ""
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
&& && && && && && && && &&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
%% %% %% %% %% %% %% %% %%
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
#
#
##
$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
!
!
!!
"" "" "" "" "" "" "" "" ""
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
%% %% %% %% %% %% %% %% %%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
%
%%
&& && && && && && && && &&
"
l x2
ε!
Рис. 1: Поперечний перерiз густого з’єднання Ωε типу 3 : 2 : 2.
1
Поперечний перерiз густого з’єднання Ωε типу 3 : 2 : 2
Qi := Ω1 ∩ {x ∈ R3 : r = di}, Q(i)
ε := ∂G(i)
ε ∩ {x ∈ R3 : r = di},
Q0 := Ω0 ∩ {x ∈ R3 : r = d0}, Q(0)
ε := ∂Ωε ∩ {x ∈ R3 : r = d0},
Θ(i)
ε := G(i)
ε ∩ ∂Ω0, Υε := Υ(1)
ε ∪Υ(2)
ε , i = 1, 2.
Нехай T — фiксоване додатне число. В густому з’єднаннi Ωε розглянемо пара-
болiчну квазiлiнiйну крайову задачу
∂tvε −∆vε + κ0(vε) = fε в Ωε × (0, T ),
∂νvε + εακ1(vε) = εβgε на Υ(1)
ε × (0, T ),
∂νvε + εκ2(vε) = εβgε на Υ(2)
ε × (0, T ),
∂νvε = q±ε на S± × (0, T ),
∂νvε = 0 на Q(0)
ε × (0, T ),
vε|t=0 = 0 в Ωε.
(1)
Тут ∂ν = ∂/∂ν — похiдна по зовнiшнiй нормалi, α ∈ R, β ≥ 1 — параметри,
квадратнi дужки позначають стрибок вказаної функцiї.
Вiдносно заданих функцiй будемо вважати, що виконуються наступнi умови:
функцiї fε, f0 ∈ L2
(
Ω1 × (0, T )
)
та
fε −→ f0 сильно в L2
(
Ω1 × (0, T )
)
при ε→ 0, (2)
функцiї gε, g0 ∈ L2
(
0, T ;H1(D1)
)
та
gε
w−→ g0 слабко в L2
(
0, T ;H1(D1)
)
при ε→ 0, (3)
функцiї q±ε , q
±
0 ∈ L2
(
S± × (0, T )
)
та
q±ε
w−→ q±0 слабко в L2
(
S± × (0, T )
)
при ε→ 0, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1635
функцiї κi неперервнi за Лiпшицем (що еквiвалентно умовi κi ∈ W 1,∞
loc (R)) та
iснують додатнi сталi c1 > 0 i c2 > 0 такi, що
c1 ≤ κ′i(s) ≤ c2 для майже всiх s ∈ R, i = 0, 1, 2. (5)
Розглянемо простiр
Wε =
{
v ∈ L2
(
0, T ;H1(Ωε)
)
:
∂v
∂t
:= v′ ∈ L2
(
0, T ;
(
H1(Ωε)
)∗)}
.
Вiдомо (див., наприклад, §1 гл. IV в [20]), що Wε ⊂ C
(
[0, T ];L2(Ωε)
)
.
Функцiя vε ∈ Wε така, що vε|t=0 = 0, є слабким розв’язком задачi (1), якщо
для довiльної функцiї ϕ ∈ H1(Ωε) i для майже всiх t ∈ (0, T )
〈v′ε(·, t), ϕ〉+
∫
Ωε
(
∇xvε · ∇xϕ+ κ0(vε)ϕ
)
dx+
+εα
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε) ϕdσx + ε
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)ϕdσx =
=
∫
Ωε
fεϕdx+ εβ
∫
Υε
gεϕdσx +
∫
S±
q±ε ϕdx̃. (6)
Тут через 〈·, ·〉 позначено двоїстiсть мiж
(
H1(Ωε)
)∗
i H1(Ωε), x̃ = (x1, x3).
Так само, як, наприклад, в [21], можна показати, що для кожного фiксованого
ε > 0 iснує єдиний слабкий розв’язок задачi (1). Метою нашого дослiдження є
вивчення асимптотичної поведiнки розв’язку крайової задачi (1) при ε→ 0.
3. Формулювання результатiв та їх аналiз. Для довiльного ε > 0 та для
довiльної функцiї y ∈ L2
(
0, T ;H1(G
(i)
ε )
)
визначимо оператори продовження нулем
таким чином:
ỹ(i)(x, t) =
y(x, t), (x, t) ∈ G(i)
ε × [0, T ],
0, (x, t) ∈
(
Di \G(i)
ε
)
× [0, T ],
i = 1, 2.
Так само будемо позначати оператори продовження нулем для функцiй iз прос-
тору H1(G
(i)
ε ), якi визначаються аналогiчно.
Теорема 1. При α ≥ 1 розв’язок vε задачi (1) задовольняє спiввiдношення
vε
w−→ v+ слабко в L2
(
0, T ;H1(Ω0)
)
,
ṽε
(1) w−→ h1v
−
1 слабко в L2
(
D1 × (0, T )
)
,
ṽε
(2) w−→ h2v
−
2 слабко в L2
(
D2 × (0, T )
) при ε→ 0, (7)
де багатозначна листова функцiя
U0(x, t) :=
v+(x, t), (x, t) ∈ Ω0 × (0, T ),
v−1 (x, t), (x, t) ∈ D1 × (0, T ),
v−2 (x, t), (x, t) ∈ D2 × (0, T ),
(8)
є слабким розв’язком задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1636 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
∂tv
+ −∆v+ + κ0(v+) = f0 в Ω0 × (0, T ),
∂νv
+ = q±0 на S± × (0, T ),
h1∂tv
−
1 − divx̃(h1∇x̃v−1 ) + h1κ0(v−1 ) + 2δα,1κ1(v−1 ) = h1f0 + 2δβ,1g0
в D1 × (0, T ),
∂νv
−
1 = 0 на Q1 × (0, T ),
h2∂tv
−
2 − divx̃(h2∇x̃v−2 )
+ h2κ0(v−2 ) + 2κ2(v−2 ) = h2f0 + 2δβ,1g0 в D2 × (0, T ),
∂νv
−
2 = 0 на Q2 × (0, T ),
v−1 = v−2 = v+ на Q0 × (0, T ),
h1(d0)∂rv
−
1 + h2(d0)∂rv
−
2 = ∂rv
+ на Q0 × (0, T ),
U0|t=0 = 0,
(9)
а множники δα,1 та δβ,1 — символи Кронекера.
Зауваження 1. У спiввiдношеннях (7), (9) та далi по тексту функцiї h1 та h2
залежать вiд змiнної r =
√
x2
1 + x2
3, тобто hi(r), r ∈ [d0, di], i = 1, 2.
Теорема 2. При α < 1 та κ1(0) = 0 розв’язок vε задачi (1) задовольняє
спiввiдношення
vε
w−→ v+ слабко в L2
(
0, T ;H1(Ω0)
)
,
ṽε
(1) s−→ 0 сильно в L2
(
D1 × (0, T )
)
,
ṽε
(2) w−→ h2v
−
2 слабко в L2
(
D2 × (0, T )
)
при ε→ 0, (10)
де функцiя v+ є узагальненим розв’язком крайової задачi
∂tv
+ −∆v+ + κ0(v+) = f0 в Ω0 × (0, T ),
v+ = 0 на Q0 × (0, T ),
∂νv
+ = q±0 на S± × (0, T ),
v+
∣∣
t=0
= 0 в Ω0,
(11)
а функцiя v−2 — узагальненим розв’язком задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1637
h2∂tv
−
2 − divx̃(h2∇x̃v−2 ) + h2κ0(v−2 ) + 2κ2(v−2 ) = h2f0 + 2 δβ,1g0
в D2 × (0, T ),
v−2 = 0 на Q0 × (0, T ),
∂νv
−
2 = 0 на Q2 × (0, T ),
v−2
∣∣
t=0
= 0 в D2.
(12)
З наведених результатiв видно, що параметри α, β i крайовi умови на межах
тонких приєднаних дискiв суттєво впливають на асимптотичну поведiнку розв’язку
початкової задачi (1).
При α ≥ 1 усереднена задача (9) для початкової задачi (1) є нестандартною
крайовою задачею в анiзотропному просторi Соболєва W (див. означення цього
простору в п. 5.4 доведення теореми 1) для багатозначної листової функцiї U0. При
цьому функцiї v+, v−1 та v−2 , що фiгурують в означеннi функцiї U0, є головними
членами асимптотичного розвинення розв’язку vε задачi (1) у тiлi з’єднання Ω0 та
в областях D1 i D2 вiдповiдно.
Крайовi умови Фур’є на межах тонких дискiв з обох рiвнiв трансформуються в
граничному переходi в новi доданки в диференцiальних рiвняннях в областяхD1 та
D2, що заповнюються тонкими дисками з вiдповiдних рiвнiв при ε→ 0. Також цi
доданки показують вплив параметрiв α та β на асимптотичну поведiнку розв’язку.
У випадку, коли α > 1, зникає доданок 2δα,1κ1(v−1 ). З фiзичної точки зору це
означає, що коефiцiєнт зовнiшнього конвективного теплообмiну на поверхнi тонких
дискiв з 1-го рiвня є достатньо малим, i цим теплообмiном можна знехтувати. Якщо
β > 1, то зникають доданки 2δβ,1g0, тобто температура навколишнього середовища
достатньо мала, i її можна вважати рiвною нулю.
При α < 1 початкова задача (1) розпадається в граничному переходi на двi не-
залежнi крайовi задачi (11) та (12). Проте задачi (11) та (12) формують в сукупностi
усереднену задачу для задачi (1), оскiльки розв’язки v+ та v−2 цих задач є голов-
ними членами асимптотики для розв’язку vε початкової задачi в тiлi з’єднання та
в тонких дисках з другого рiвня вiдповiдно. Умови α < 1 та κ1(0) = 0 означа-
ють, що коефiцiєнт зовнiшнього конвективного теплообмiну на поверхнi тонких
дискiв з 1-го рiвня надто великий, тобто на поверхнi цих дискiв вiдбувається дуже
iнтенсивний теплообмiн з навколишнiм середовищем. Як наслiдок, розв’язок vε у
тонких дисках з 1-го рiвня прямує до нуля.
Вiдмiтимо також вплив геометричної структури густого з’єднання на асимпто-
тичну поведiнку розв’язку, що полягає в появi в усереднених задачах коефiцiєнтiв
hi(r), якi визначають вiдносну товщину тонких дискiв з i-го рiвня. Бiльш того, в
областях Di, що заповнюються тонкими дисками з i-го рiвня в граничному пере-
ходi, отримано диференцiальнi рiвняння вiдносно лише двох просторових змiнних
x1 та x3.
Схема доведення теорем 1 та 2. Для усереднення крайових задач у густих
з’єднаннях з неоднорiдними крайовими умовами Неймана або Фур’є в роботi пер-
шого автора [8] було запропоновано метод спецiальних iнтегральних тотожностей.
Для розглядуваних задач це тотожнiсть (13), за допомогою якої також доводяться
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1638 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
апрiорна оцiнка (18) та лема 2. Згiдно з оцiнкою (18) можна вибрати пiдпослiдов-
нiсть {ε′} ⊂ {ε}, для якої будуть мати мiсце границi (22). З оцiнки (18) також
випливає нерiвнiсть (30), яка вказує на якiсну вiдмiннiсть в асимптотичнiй пове-
дiнцi розв’язку задачi (1) при α < 1. За допомогою вибору спецiальних тестових
функцiй знаходяться границi лiнiйних доданкiв у спiввiдношеннях (22). Границi
ж нелiнiйних величин вiдшуковуємо на пiдставi нерiвностей (16), (17) та методу
Браудера – Мiнтi (див., наприклад, [20], роздiл 3).
4. Апрiорнi оцiнки та допомiжнi твердження. Позначимо через S(i)
ε , i = 1, 2,
об’єднання бiчних поверхонь тонких дискiв з i-го рiвня, тобто
S
(i)
(ε) =
N−1⋃
j=0
{
x ∈ R3 : |x2 − ε(j + bi)| =
εhi(r)
2
, d0 ≤ r < di
}
.
Нескладно переконатись, що для майже всiх x ∈ S(i)
ε одиничний вектор нормалi
до бiчної поверхнi тонких дискiв у точцi x має вигляд
ν(x) =
1√
1 + ε24−1|h′i(r)|2
(
−εh
′
i(r)x1
2r
,±1,−εh
′
i(r)x3
2r
)
,
де ± вказує на лiву i праву частину бiчної поверхнi тонких дискiв вiдповiдно. Далi
будемо використовувати iнтегральну тотожнiсть, яку доведено у [18]:∫
S
(i)
ε
εhi(r)
2
√
1 + ε24−1|h′i(r)|2
ϕdσx =
∫
G
(i)
ε
ϕdx− ε
∫
G
(i)
ε
Yi
(x2
ε
)
∂x2
ϕdx, (13)
де Yi(t) = −t + [t] + bi, i = 1, 2, i [t] — цiла частина t, ϕ ∈ H1(Ωε) — довiльна
функцiя. Оскiльки maxR|Yi| ≤ 1, i = 1, 2, то з (13) випливає, що
∫
G
(i)
ε
ϕ2 dx ≤ εC1
∫
G
(i)
ε
|∇ϕ|2 dx+
∫
S
(i)
ε
ϕ2 dσx
(14)
та
‖ϕ‖
L2(S
(i)
ε )
≤ C2ε
− 1
2 ‖ϕ‖H1(Ωε) ∀ϕ ∈ H1(Ωε), i = 1, 2. (15)
Зауваження 2. Тут i далi всi константи ci, Ci, якi з’являються в нерiвностях,
не залежать вiд ε.
З (5) отримаємо наступнi нерiвностi для майже всiх t ∈ R:
c1t
2 + κi(0)t ≤ κi(t)t ≤ c2t2 + κi(0)t, (16)
|κi(t)| ≤ |κi(0)|+ c3|t|, i = 0, 1, 2. (17)
Лема 1. Iснують додатнi сталi C0 та ε0 такi, що при всiх значеннях ε ∈
∈ (0, ε0) для розв’язку vε задачi (1) має мiсце нерiвнiсть
max
0≤t≤T
‖vε(·, t)‖L2(Ωε) + ‖vε‖L2(0,T ;H1(Ωε)) ≤ C0. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1639
Доведення. З тотожностi (6) для довiльного t ∈ (0, T ] отримуємо
1
2
‖vε(·, t)‖2L2(Ωε) +
t∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdτ+
+
t∫
0
εα ∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσx + ε
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσx
dτ =
=
t∫
0
∫
Ωε
fε vεdx+ εβ
∫
Υε
gε vεdσx +
∫
S±
q±ε vεdx̃
dτ,
звiдки за допомогою нерiвностi (16) виводимо
1
2
‖vε(·, t)‖2L2(Ωε) +
t∫
0
∫
Ωε
(|∇xvε|2 + c1v
2
ε) dxdτ+
+c1
t∫
0
εα ∫
Υ
(1)
ε
v2
ε dσx + ε
∫
Υ
(2)
ε
v2
ε dσx
dτ ≤
≤ −
t∫
0
κ0(0)
∫
Ωε
vε dx+ κ1(0) εα
∫
Υ
(1)
ε
vε dσx + κ2(0) ε
∫
Υ
(2)
ε
vε dσx
dτ+
+
t∫
0
∫
Ωε
fε vε dx+ εβ
∫
Υε
gε vε dσx +
∫
S±
q±ε vε dx̃
dτ. (19)
1. Випадок α ≥ 1. Використовуючи нерiвнiсть Кошi – Буняковського та (15),
знаходимо
1
2
‖vε(·, t)‖2L2(Ωε) + C1‖vε‖2L2(0,t;H1(Ωε)) ≤
≤ C2
(
1 + εα−1 + ‖fε‖L2(Ωε×(0,t))+
+εβ−1‖gε‖L2(0,t;H1(D1)) + ‖q±ε ‖L2(S±×(0,t))
)
‖vε‖L2(0,t;H1(Ωε)).
З останньої нерiвностi випливають такi двi нерiвностi:
‖vε‖L2(0,t;H1(Ωε)) ≤
≤ C3
(
1 + εα−1 + ‖fε‖L2(Ωε×(0,t)) + εβ−1‖gε‖L2(0,t;H1(D1)) + ‖q±ε ‖L2(S±×(0,t))
)
,
max
0≤τ≤t
‖vε(·, τ)‖L2(Ωε) ≤ C4
(
1 + εα−1 + ‖fε‖L2(Ωε×(0,t))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1640 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
+εβ−1‖gε‖L2(0,t;H1(D1)) + ‖q±ε ‖L2(S±×(0,t))
)
‖vε‖L2(0,t;H1(Ωε)).
Покладаючи t = T i використовуючи умови (2) – (4), отримуємо нерiвнiсть (18).
2. Випадок α < 1. Додатково припускаємо, що κ1(0) = 0. Тодi з (19) аналогiчно
випадку 1 виводимо нерiвнiсть (18).
Лему 1 доведено.
Позначимо через χΩ характеристичну функцiю множини Ω ⊂ R3. Вiдомо [18],
що мають мiсце збiжностi
χ
Θ
(i)
ε
w−→ hi(d0) в L2(Q0),
χ
G
(i)
ε
w−→ hi(r) в L2(Di)
при ε→ 0, i = 1, 2.
Тут i далi будемо використовувати позначення
κ̃j(ϕi)
(i)
:=
κj(ϕi(x, t)), (x, t) ∈ G(i)
ε × [0, T ],
0, (x, t) ∈ (Di \G(i)
ε )× [0, T ],
де ϕi — довiльна функцiя з L2
(
0, T ;H1(G
(i)
ε )
)
, j = 0, 1, 2, i = 1, 2.
За допомогою тотожностi (13) так само, як i в [10], доводимо наступну лему.
Лема 2. Нехай послiдовнiсть {vε}ε>0 з L2
(
0, T ;H1(Ωε)
)
є рiвномiрно обме-
женою по ε та
κ̃i(vε)
(i)
w−→ µi в L2
(
Di × (0, T )
)
при ε→ 0, i = 1, 2.
Тодi для довiльної функцiї ψi ∈ L2
(
0, T ;H1(Di)
)
, i = 1, 2,
ε
T∫
0
∫
S
(i)
ε
κi(vε)ψidσx dt→ 2
T∫
0
∫
Di
h−1
i µiψi dx dt при ε→ 0. (20)
Крiм того, на пiдставi (3) маємо
ε
T∫
0
∫
S
(i)
ε
gεψidσx dt→ 2
T∫
0
∫
Di
g0ψidx dt при ε→ 0, i = 1, 2. (21)
5. Доведення теореми 1. Випадок α ≥ 1.
5.1. З оцiнки (18) випливає, що iснує пiдпослiдовнiсть {ε′} ⊂ {ε} (яку ми
знову позначимо через {ε}) така, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1641
vε(·, t)
w−→ y+
0 (·, t) в L2(Ω0) для майже всiх t ∈ [0, T ],
ṽε(·, t)
(i)
w−→ yi,−0 (·, t) в L2(Di) для майже всiх t ∈ [0, T ],
vε|Ω0
w−→ v+ в L2
(
0, T ;H1(Ω0)
)
,
ṽε
(i) w−→ vi,−0 := hiv
−
i в L2
(
Di × (0, T )
)
,
∂̃xj
vε
(i) w−→ γ
(i)
j в L2
(
Di × (0, T )
)
,
κ0(vε)
w−→ ζ0 в L2
(
Ω0 × (0, T )
)
,
κ̃0(vε)
(i)
w−→ ζi в L2
(
Di × (0, T )
)
,
κ̃i(vε)
(i)
w−→ µi в L2
(
Di × (0, T )
)
(22)
при ε → 0, де y+
0 , y
i,−
0 , v+, v−i , γ
(i)
j , ζ0, ζi, µi, i = 1, 2, j = 1, 3, будуть визначенi
нижче.
З теореми Фубiнi випливає, що v+(·, t) ∈ L2(Ω0), vi,−0 (·, t) ∈ L2(Di), i = 1, 2,
для майже всiх t ∈ (0, T ). Тому на пiдставi (22) маємо
y+
0 (x, t) = v+(x, t) для майже всiх (x, t) ∈ Ω0 × (0, T ),
yi,−0 (x, t) = vi,−0 (x, t) для майже всiх (x, t) ∈ Di × (0, T ), i = 1, 2.
5.2. Знайдемо γ(i)
2 , i = 1, 2. Розглянемо тестовi функцiї
Φi(x, t) =
0, (x, t) ∈
(
Ωε \G(i)
ε
)
× (0, T ),
εYi(
x2
ε )ψi(x)η(t), (x, t) ∈ G(i)
ε × (0, T ),
де ψi ∈ C∞0 (Di), η ∈ C1([0, T ]) — довiльнi функцiї, а Yi(t) = −t+ [t] + bi, i = 1, 2.
Очевидно, що Φi ∈Wε та
∇xΦi(x, t) = εη(t)Yi
(x2
ε
)
∇xψi(x) + η(t)
(
0,−ψi(x), 0
)
в G(i)
ε × (0, T ).
Означення слабкого розв’язку задачi (1) еквiвалентне наступному (див., напри-
клад, § III.4 в [23]): vε ∈ L2
(
0, T ;H1(Ωε)
)
є слабким розв’язком задачi (1), якщо
∫
Ωε
vε(x, T )ϕ(x, T ) dx−
T∫
0
〈ϕ′, vε〉 dt+
T∫
0
∫
Ωε
∇xvε · ∇xϕdxdt+
+
T∫
0
∫
Ωε
κ0(vε) ϕdx+ εα
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε) ϕdσx + ε
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε) ϕdσx
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1642 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
=
T∫
0
∫
Ωε
fεϕdx+ εβ
∫
Υε
gε ϕdσx +
∫
S±
q±ε ϕdx̃
dt ∀ϕ ∈Wε. (23)
Пiдставивши функцiю Φ1 в тотожнiсть (23), отримаємо
ε−1
T∫
0
∫
G
(1)
ε
∂x2vεψ1ηdxdt ≤
∫
G
(1)
ε
|vε(x, T )ψ1(x)η(T )|dx+
+
T∫
0
∫
G
(1)
ε
|vεψ1η
′|dxdt+
T∫
0
∫
G
(1)
ε
|(∇xvε · ∇xψ1)η|dx dt+
+
T∫
0
∫
G
(1)
ε
|κ0(vε)ψ1η|dx dt+ εα
T∫
0
∫
S
(1)
ε
|κ1(vε)ψ1η|dσxdt+
+
T∫
0
∫
G
(1)
ε
|fεψ1η|dxdt+ εβ
T∫
0
∫
S
(1)
ε
|gεψ1η|dσxdt.
З останньої нерiвностi на пiдставi (2), (3), (15), (17) i (18) маємо
T∫
0
∫
D1
∂̃x2
vε
(1)
ψ1ηdxdt = O(ε),
звiдки випливає, що γ
(1)
2 = 0 майже скрiзь в D1 × (0, T ). Аналогiчним чином,
пiдставивши функцiю Φ2 в iнтегральну тотожнiсть (23), отримаємо, що γ(2)
2 = 0
майже скрiзь в D2 × (0, T ).
Знайдемо γ(i)
1 та γ(i)
3 , i = 1, 2. За допомогою тотожностi (13) отримаємо
T∫
0
∫
Di
∂̃xj
vε
(i)
ψiηdx dt =
T∫
0
∫
G
(i)
ε
∂xj
vεψiηdx dt =
= −
T∫
0
∫
G
(i)
ε
vε∂xj
ψiη dx dt− ε
T∫
0
∫
S
(i)
ε
h′i(r)xjvεψiη
2r
√
1 + ε24−1|h′i(r)|2
dσxdt =
= −
T∫
0
∫
Di
ṽε
(i)∂xjψiη dx dt−
T∫
0
∫
Di
xjh
′
i(r)
rhi(r)
ṽε
(i)ψiη dx dt+
+ε
T∫
0
∫
G
(i)
ε
Yi
(x2
ε
) xjh′i(r)
rhi(r)
∂x2(vεψi)η dx dt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1643
для всiх ψi ∈ C∞0 (Di), η ∈ C1([0, T ]), j = 1, 3, i = 1, 2. Перейшовши до границi в
цiй рiвностi, одержимо, що для довiльних ψi ∈ C∞0 (Di), η ∈ C1([0, T ])
T∫
0
∫
Di
γ
(i)
j ψiη dx dt = −
T∫
0
∫
Di
v−i
(
hi ∂xj
ψi + ψi ∂xj
hi
)
η dx dt,
звiдки випливає, що iснують узагальненi похiднi ∂xjv
−
i та
γ
(i)
j = hi(r)∂xjv
−
i для майже всiх (x, t) ∈ Di × (0, T ), j = 1, 3, i = 1, 2.
5.3. Покажемо, що v+|Q0
= v−1
∣∣
Q0
= v−2
∣∣
Q0
в сенсi слiду для майже всiх
t ∈ (0, T ). З властивостей оператора слiду та (22) випливає, що для майже всiх
t ∈ (0, T )
vε(·, t)|Q0
s−→ v+(·, t)|Q0 сильно в L2(Q0) при ε→ 0. (24)
Розглянемо рiвнiсть
ṽε
(i)(x, t)|Q0 = χ
Θ
(i)
ε
(x)vε(x, t)|Q0 , (x, t) ∈ Q0 × (0, T ), (25)
де
ṽε
(i)(x, t)|Q0 =
vε(x, t)|Q0
, (x, t) ∈ Θ
(i)
ε × (0, T ),
0, (x, t) ∈
(
Q0 \Θ
(i)
ε
)
× (0, T ),
i = 1, 2.
На пiдставi спiввiдношень (20), (24) та (25) маємо, що, з одного боку,
ṽε
(i)|Q0
w−→ hi(d0) v+|Q0
в L2(Q0) для майже всiх t ∈ (0, T ), i = 1, 2.
З iншого боку, виразимо границю функцiй ṽε
(i)|Q0
через слiди функцiй v−i . Для
довiльної функцiї ψi ∈ C∞(Di), ψi|r=di = 0, та для майже всiх t ∈ (0, T )∫
G
(i)
ε
r−1 ∂rvεψidx =
∫
G
(i)
ε
r−1(∂x1
vε cos θ + ∂x3
vε sin θ) ψidx =
= −
∫
G
(i)
ε
vε ∂x1
(r−1ψi cos θ) dx−
∫
G
(i)
ε
vε ∂x3
(r−1ψi sin θ)dx−
−d−1
0
∫
Θ
(i)
ε
(vεψi)|Θ(i)
ε
dσx −
∫
S
(i)
ε
vεψi
εh′i(r)
2r
√
1 + ε24−1|h′i(r)|2
dσx,
де (r, θ, x2) — цилiндричнi координати: r =
√
x2
1 + x2
3 та θ = arctan
(
x3
x1
)
.
Оскiльки ∂x1
(r−1 cos θ) + ∂x3
(r−1 sin θ) = 0, то на пiдставi (13) можна перепи-
сати останню iнтегральну тотожнiсть у виглядi
−d−1
0
∫
Q0
(ṽε
(i)ψi)
∣∣∣
Q0
dσx + ε
∫
G
(i)
ε
Yi
(x2
ε
) h′i(r)
rhi(r)
∂x2(vεψi)dσx =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1644 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
=
∫
Di
r−1
(
∂̃rvε
(i)
ψi + ṽε
(i) ∂rψi +
h′i(r)
hi(r)
ṽε
(i)ψi
)
dx.
Перейшовши до границi в цiй рiвностi при ε→ 0, отримаємо
−hi(d0)
d0
∫
Q0
(v+ ψi)
∣∣
Q0
dσx =
∫
Di
r−1
(
hi(r) ∂r(v
−
i ψi) + h′i(r)v
−
i ψi
)
dx =
= −hi(d0)
d0
∫
Q0
(v−i ψi)
∣∣
Q0
dσx
для всiх ψi ∈ C∞(Di), ψi|r=di = 0, звiдки випливає, що
v+
∣∣
Q0
= v−1
∣∣
Q0
= v−2
∣∣
Q0
в сенсi слiду для майже всiх t ∈ (0, T ). (26)
5.4. Нехай η ∈ C1([0, T ]), ϕ0 ∈ H1(Ω0), ϕi ∈ H1(Di), i = 1, 2, — довiльнi
функцiї, причому ϕ0|Q0
= ϕ1|Q0
= ϕ2|Q0
в сенсi слiду. Визначимо функцiю
ϕ̂(x, t) =
ϕ0(x)η(t), (x, t) ∈ Ω0 × (0, T ),
ϕ1(x)η(t), (x, t) ∈ G(1)
ε × (0, T ),
ϕ2(x)η(t), (x, t) ∈ G(2)
ε × (0, T ).
Очевидно, що ϕ̂ ∈Wε.
Використавши операцiї продовження нулем, перепишемо тотожнiсть для роз-
в’язку (23) з тестовою функцiєю ϕ̂ у виглядi∫
Ω0
(vεϕ0η)|t=T dx+
∫
D1
(ṽε
(1)ϕ1 η)|t=T dx+
∫
D2
(ṽε
(2)ϕ2 η)|t=T dx−
−
T∫
0
∫
Ω0
vεϕ0 dx+
∫
D1
ṽε
(1)ϕ1 dx+
∫
D2
ṽε
(2)ϕ2 dx
η′ dt +
+
T∫
0
∫
Ω0
(
∇xvε · ∇xϕ0 + κ0(vε) ϕ0
)
ηdxdt +
+
T∫
0
∫
D1
(
∇̃xvε
(1)
· ∇xϕ1 + κ̃0(vε)
(1)
ϕ1
)
dx+ εα
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)ϕ1dσx
ηdt +
+
T∫
0
∫
D2
(
∇̃xvε
(2)
· ∇xϕ2 + κ̃0(vε)
(2)
ϕ2
)
dx+ ε
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)ϕ2dσx
ηdt =
=
T∫
0
∫
Ω0
fε ϕ0dx+
∫
D1
χ
G
(1)
ε
fεϕ1dx+
∫
D2
χ
G
(2)
ε
fεϕ2dx
ηdt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1645
+
T∫
0
εβ ∫
Υ
(1)
ε
gε ϕ1dσx + εβ
∫
Υ
(2)
ε
gε ϕ2dσx +
∫
S±
q±ε ϕ0dx̃
ηdt.
Врахувавши (20) – (22), перейдемо в останнiй тотожностi до границi при ε→ 0:∫
Ω0
(v+ϕ0η)|t=T dx+
∫
D1
h1(v−1 ϕ1η)|t=T dx+
∫
D2
h2(v−2 ϕ2η)|t=T dx−
−
T∫
0
∫
Ω0
v+ϕ0 dx+
∫
D1
h1v
−
1 ϕ1 dx+
∫
D2
h2v
−
2 ϕ2 dx
η′dt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
∇xv+ · ∇xϕ0 + ζ0ϕ0
)
ηdxdt+
+
T∫
0
∫
D1
(
h1∇x̃v−1 · ∇x̃ϕ1 + ζ1ϕ1 + 2 δα,1h
−1
1 µ1ϕ1
)
ηdxdt+
+
T∫
0
∫
D2
(
h2∇x̃v−2 · ∇x̃ϕ2 + ζ2ϕ2 + 2h−1
2 µ2ϕ2
)
η dxdt =
=
T∫
0
∫
Ω0
f0ϕ0 dx+
∫
D1
h1f0ϕ1dx+
∫
D2
h2f0ϕ2dx
η dt+
+
T∫
0
2 δβ,1
∫
D1
g0ϕ1dx+ 2 δβ,1
∫
D2
g0ϕ2dx+
∫
S±
q±0 ϕ0dx̃
η dt. (27)
Множина функцiй{(
ϕ0(x)η(t), ϕ1(x)η(t), ϕ2(x)η(t)
)
: η ∈ C1([0, T ]),
ϕ0 ∈ H1(Ω0), ϕi ∈ H1(Di), i = 1, 2, ϕ0|Q0 = ϕ1|Q0 = ϕ2|Q0
}
є щiльною в просторi функцiй
W =
{
u = (ψ0, ψ1, ψ2) : ψ0 ∈ L2
(
0, T ;H1(Ω0)
)
, ∃ψ′0 ∈ L2
(
0, T ; (H1(Ω0))∗
)
,
ψi ∈ L2
(
0, T ; H̃1(Di)
)
, ∃ψ′i ∈ L2
(
0, T ; (H̃1(Di))
∗),
i = 1, 2, ψ0|Q0
= ψ1|Q0
= ψ2|Q0
}
(останнi рiвностi розумiються в сенсi слiду) зi скалярним добутком
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1646 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
(u,v)W =
T∫
0
∫
Ω0
(∇xu0 · ∇xv0 + u0v0) dx +
+
∫
D1
(∇x̃u1 · ∇x̃v1 + u1v1) dx+
∫
D2
(∇x̃u2 · ∇x̃v2 + u2v2) dx
dt,
де u = (u0, u1, u2), v = (v0, v1, v2), H̃1(Di) =
{
w ∈ L2(Di) : ∃∂xj
w ∈ L2(Di), j =
= 1, 3
}
— анiзотропний простiр Соболєва. Цей факт доводиться, як i в [22] (роздiл V,
§ 2.3).
Отже, iнтегральна тотожнiсть (27) виконується для довiльної тестової функцiї з
простору W. Цей факт означає, що багатозначна листова функцiя U0 ∈ W, визна-
чена формулою (8), є слабким розв’язком задачi (9), однак диференцiальнi рiвняння
в Ω0× (0, T ), D1× (0, T ) та D2× (0, T ) мiстять поки що невiдомi члени ζ0, ζ1, ζ2,
µ1 та µ2 :
∂tv
+ −∆v+ + ζ0 = f0 в Ω0 × (0, T ),
h1∂tv
−
1 − divx̃(h1∇x̃v−1 ) + ζ1 + 2δα,1h
−1
1 µ1 = h1f0 + 2 δβ,1g0 в D1 × (0, T ),
h2∂tv
−
2 − divx̃(h2∇x̃v−2 ) + ζ2 + 2h−1
2 µ2 = h2f0 + 2 δβ,1g0 в D2 × (0, T ).
5.5. Знайдемо функцiї ζ0, ζ1, ζ2, µ1 та µ2 за допомогою метода Браудера –
Мiнтi. Розглянемо iнтегральну тотожнiсть (23) з тестовою функцiєю ϕ = vε:
1
2
∫
Ωε
v2
ε(x, T )dx+
T∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdt+
+ εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσxdt =
=
T∫
0
∫
Ωε
fε vεdx+ εβ
∫
Υε
gεvε dσx +
∫
S±
q±ε vε dx̃
dt.
З умов (2) – (4) та з (22) випливає, що границя правої частини при ε→ 0 дорiвнює
T∫
0
∫
Ω0
f0v
+dx+
∫
D1
h1f0v
−
1 dx+
∫
D2
h2f0v
−
2 dx
dt+
+
T∫
0
2 δβ,1
∫
D1
g0v
−
1 dx+ 2 δβ,1
∫
D2
g0v
−
2 dx+
∫
S±
q±0 v
+dx̃
dt := I1,
а беручи до уваги тотожнiсть (27) з тестовою функцiєю U0, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1647
lim
ε→0
(
1
2
∫
Ωε
v2
ε(x, T )dx+
T∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdt+
+εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσxdt
)
=
=
1
2
∫
Ω0
(
v+(x, T )
)2
dx+
1
2
2∑
i=1
∫
Di
hi
(
v−i (x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
|∇xv+|2 + ζ0v
+
)
dxdt+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
(
hi|∇x̃v−i |
2 + ζiv
−
i
)
dx dt+
+2 δα,1
T∫
0
∫
D1
h−1
1 µ1 v
−
1 dxdt+ 2
T∫
0
∫
D2
h−1
2 µ2 v
−
2 dxdt. (28)
Розглянемо довiльну функцiю u = (ϕ0, ϕ1, ϕ2) ∈ W та використаємо таку
нерiвнiсть монотонностi:
1
2
∫
Ω0
(
vε(x, T )− ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
2∑
i=1
∫
G
(i)
ε
(
vε(x, T )− ϕi(x, T )
)2
+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xvε −∇xϕ0|2dxdt+
2∑
i=1
T∫
0
∫
G
(i)
ε
|∇x̃vε −∇x̃ϕi|2 dxdt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
κ0(vε)− κ0(ϕ0)
)(
vε − ϕ0
)
dxdt +
+
2∑
i=1
T∫
0
∫
G
(i)
ε
(
κ0(vε)− κ0(ϕi)
)(
vε − ϕi
)
dxdt +
+ εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
(
κ1(vε)− κ1(ϕ1)
)(
vε − ϕ1
)
dσxdt +
+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
(
κ2(vε)− κ2(ϕ2)
)(
vε − ϕ2
)
dσxdt ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1648 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
Звiдси отримаємо
1
2
∫
Ωε
v2
ε(x, T ) dx+
T∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdt +
+ εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσxdt −
−
∫
Ω0
vε(x, T )ϕ0(x, T )dx−
2∑
i=1
∫
G
(i)
ε
vε(x, T )ϕi(x, T )dx −
− 2
T∫
0
∫
Ω0
∇xvε · ∇xϕ0dx dt− 2
2∑
i=1
T∫
0
∫
G
(i)
ε
∇x̃vε · ∇x̃ϕidx dt +
+
1
2
∫
Ω0
(
ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
2∑
i=1
∫
G
(i)
ε
(
ϕi(x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xϕ0|2 dx dt+
2∑
i=1
T∫
0
∫
G
(i)
ε
|∇x̃ϕi|2 dx dt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
κ0(ϕ0)ϕ0 − κ0(vε) ϕ0 − κ0(ϕ0)vε
)
dx dt +
+
2∑
i=1
T∫
0
∫
G
(i)
ε
(
κ0(ϕi)ϕi − κ0(vε) ϕi − κ0(ϕi)vε
)
dx dt +
+εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
(
κ1(ϕ1)ϕ1 − κ1(vε)ϕ1 − κ1(ϕ1)vε
)
dσx dt+
+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
(
κ2(ϕ2)ϕ2 − κ2(vε)ϕ2 − κ2(ϕ2)vε
)
dσx dt ≥ 0.
Перейдемо в цiй нерiвностi до границi при ε → 0. Границя перших двох рядкiв
визначається з рiвностi (28), а границi решти доданкiв знайдемо, використавши
оператори продовження нулем i спiввiдношення (20) та (22). В результатi отрима-
ємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1649
1
2
∫
Ω0
(
v+(x, T )− ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
2∑
i=1
∫
Di
hi
(
v−i (x, T )− ϕi(x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xv+ −∇xϕ0|2dxdt+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
hi|∇x̃v−i −∇x̃ϕi|
2dx dt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
ζ0 − κ0(ϕ0)
)(
v+ − ϕ0
)
dx dt+
+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
(
ζi − hiκ0(ϕi)
)(
v−i − ϕi
)
dxdt+
+2 δα,1
T∫
0
∫
D1
(
h−1
1 µ1 − κ1(ϕ1)
)(
v−1 − ϕ1
)
dxdt+
+2
T∫
0
∫
D2
(
h−1
2 µ2 − κ2(ϕ2)
)(
v−2 − ϕ2
)
dxdt ≥ 0.
Поклавши в останнiй нерiвностi ϕ0 = v+−λψ0(x, t), ϕi = v−i −λψi(x, t), i = 1, 2,
де λ > 0 — довiльне число, v = (ψ0, ψ1, ψ2) — довiльна функцiя з W, будемо мати
λ
1
2
∫
Ω0
ψ2
0dx+
2∑
i=1
1
2
∫
Di
hiψ
2
i dx+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xψ0|2dxdt+
+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
hi|∇x̃ψi|2dx dt
+
T∫
0
∫
Ω0
(
ζ0 − κ0(v+ − λψ0)
)
ψ0dxdt+
+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
(
ζi − hiκ0(v−i − λψi)
)
ψi dxdt+
+2 δα,1
T∫
0
∫
D1
(
h−1
1 µ1 − κ1(v−1 − λψ1)
)
ψ1 dxdt+
+2
T∫
0
∫
D2
(
h−1
2 µ2 − κ2(v−2 − λψ2)
)
ψ2 dxdt ≥ 0.
Перейдемо до границi при λ→ 0, врахувавши неперервнiсть функцiй κ0, κ1 та κ2:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1650 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
T∫
0
∫
Ω0
(
ζ0 − κ0(v+)
)
ψ0dxdt+
2∑
i=1
T∫
0
∫
Di
(
ζi − hiκ0(v−i )
)
ψi dxdt+
+2 δα,1
T∫
0
∫
D1
(
h−1
1 µ1 − κ1(v−1 )
)
ψ1 dxdt+
+2
T∫
0
∫
D2
(
h−1
2 µ2 − κ2(v−2 )
)
ψ2 dxdt ≥ 0.
Поклавши ψi := −ψi, i = 0, 1, 2, переконаємося, що в останнiй нерiвностi на-
справдi має мiсце рiвнiсть. Оскiльки v = (ψ0, ψ1, ψ2) — довiльна функцiя з W, то
робимо висновок, що ζ0 = κ0(v+) майже скрiзь в Ω0 × (0, T ), ζ1 + 2δα,1h
−1
1 µ1 =
= h1κ0(v−1 ) + 2δα,1κ1(v−1 ) майже скрiзь в D1 × (0, T ), ζ2 + 2h−1
2 µ2 = h2κ0(v−2 ) +
+ 2κ2(v−2 ) майже скрiзь в D2 × (0, T ).
Таким чином, з останнiх спiввiдношень та з (27) випливає, що багатозначна лис-
това функцiя U0, визначена формулою (8), дiйсно є слабким розв’язком задачi (9).
На пiдставi умов (5) такий розв’язок єдиний.
Оскiльки всi наведенi вище мiркування мають мiсце для довiльної пiдпослiдов-
ностi {ε}, яка вибиралася на початку доведення, то внаслiдок єдиностi розв’язку
усередненої задачi (9) справедливi границi (7).
Теорему доведено.
6. Доведення теореми 2. Випадок α < 1. Як i в першому пунктi доведення
теореми 1, з оцiнки (18) отримаємо, що iснує пiдпослiдовнiсть {ε′} ⊂ {ε} (яку ми
знову позначимо через {ε}) така, що мають мiсце границi (22).
З нерiвностi (19) знаходимо
ε
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
v2
εdσxdt ≤ C1ε
1−α. (29)
Тодi на пiдставi (14) з урахуванням (18) та (29) маємо
T∫
0
∫
G
(1)
ε
v2
εdx dt ≤ C2ε
ϑ, (30)
де ϑ = min(1, 1− α) > 0. Таким чином,
ṽε
(1) s−→ 0 сильно в L2
(
D1 × (0, T )
)
при ε→ 0.
Як i в пунктi 5.2 доведення теореми 1, можна показати, що γ(1)
j = 0 в D1 ×
× (0, T ), γ
(2)
j = h2∂xj
v−2 в D2 × (0, T ), j = 1, 3, γ
(i)
2 = 0 в Di × (0, T ), i = 1, 2.
Повторюючи мiркування з пункту 5.3 доведення теореми 1 та враховуючи знай-
денi вище границi, отримуємо
v+|Q0
= v−2 |Q0
= 0 в сенсi слiду для майже всiх t ∈ (0, T ). (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1651
Розглянемо простори Соболєва функцiй, слiд яких дорiвнює нулю на бiчнiй
поверхнi Q0 цилiндра Ω0 : H1(Ω0, Q0) = {v ∈ H1(Ω0) : v|Q0
= 0}, H1(D2, Q0) =
= {v ∈ H1(D2) : v|Q0 = 0}. Для довiльних ϕ0 ∈ H1(Ω0, Q0), ϕ2 ∈ H1(D2, Q0) та
η ∈ C1([0, T ]) визначимо функцiю
ψ(x, t) =
ϕ0(x)η(t), (x, t) ∈ Ω0 × (0, T ),
0, (x, t) ∈ G(1)
ε × (0, T ),
ϕ2(x)η(t), (x, t) ∈ G(2)
ε × (0, T ).
Очевидно, що ψ ∈Wε. Пiдставимо ψ в тотожнiсть для розв’язку (23):
∫
Ω0
(vεϕ0η)|t=T dx+
∫
D2
(ṽε
(2)ϕ2η)|t=T dx−
T∫
0
∫
Ω0
vεϕ0η
′dxdt−
−
T∫
0
∫
D2
ṽε
(2)ϕ2η
′dxdt+
T∫
0
∫
Ω0
(
∇xvε · ∇xϕ0 + κ0(vε)ϕ0
)
ηdxdt+
+
T∫
0
∫
D2
(
∇̃xvε
(2)
· ∇xϕ2 + κ̃0(vε)
(2)
ϕ2
)
dx+ ε
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)ϕ2dσx
ηdt =
=
T∫
0
∫
Ω0
fεϕ0dx+
∫
D2
χ
G
(2)
ε
fεϕ2dx+ εβ
∫
Υ
(2)
ε
gεϕ2dσx
ηdt+
+
T∫
0
∫
S±
q±ε ϕ0ηdx̃dt.
Переходячи до границi в цiй тотожностi при ε → 0 з урахуванням (2) – (4), (20) та
(22), знаходимо
∫
Ω0
(v+ϕ0η)|t=T dx+
∫
D2
(h2v
−
2 ϕ2η)|t=T dx−
T∫
0
∫
Ω0
v+ϕ0η
′dxdt−
−
T∫
0
∫
D2
h2v
−
2 ϕ2η
′dxdt+
T∫
0
∫
Ω0
(
∇xv+ · ∇xϕ0 + ζ0ϕ0
)
ηdxdt+
+
T∫
0
∫
D2
(∇x̃v−2 · ∇x̃ϕ2 + ζ2ϕ2 + 2h−1
2 µ2ϕ2)ηdxdt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1652 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
=
T∫
0
∫
Ω0
f0ϕ0dx+
∫
D2
h2f0ϕ2dx+ 2δβ,1
∫
D2
g0ϕ2dx
ηdt+
+
T∫
0
∫
S±
q±0 ϕ0ηdx̃dt.
Оскiльки мають мiсце спiввiдношення (31), то остання тотожнiсть еквiвалентна
наступним двом тотожностям:∫
Ω0
(v+ϕ0η)|t=T dx−
T∫
0
∫
Ω0
v+ϕ0η
′dxdt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
∇xv+ · ∇xϕ0 + ζ0ϕ0
)
ηdxdt =
=
T∫
0
∫
Ω0
f0ϕ0dx+
∫
S±
q±0 ϕ0dx̃
ηdt (32)
для всiх ϕ0 ∈ H1(Ω0, Q0), η ∈ C1([0, 1]) та∫
D2
(h2v
−
2 ϕ2η)|t=T dx−
T∫
0
∫
D2
h2v
−
2 ϕ2η
′dxdt+
+
T∫
0
∫
D2
(h2∇x̃v−2 · ∇x̃ϕ2 + ζ2ϕ2 + 2 h−1
2 µ2ϕ2)ηdxdt =
=
T∫
0
∫
D2
(h2f0 + 2δβ,1g0)ϕ2ηdxdt (33)
для всiх ϕ2 ∈ H1(D2, Q0), η ∈ C1([0, T ]).
Множина функцiй {ϕ0η : ϕ0 ∈ H1(Ω0, Q0), η ∈ C1([0, 1])} щiльна у просто-
рi W0 = {v ∈ L2
(
0, T ;H1(Ω0, Q0)
)
: v′ ∈ L2
(
0, T ; (H1(Ω0, Q0))∗
)
}, а множина
{ϕ2η : ϕ0 ∈ H1(D2, Q0), η ∈ C1([0, 1])} щiльна у просторi W2 = {v ∈ L2
(
0, T ;
H̃1(D2, Q0)
)
: v′ ∈ L2
(
0, T ; (H̃1(D2, Q0))∗
)
}, де H̃1(D2, Q0) = {v ∈ L2(D2) :
∃∂xj
v ∈ L2(D2), j = 1, 3, v|r=d0 = 0} — анiзотропний простiр Соболєва. Цей
факт означає, що v+ є узагальненим розв’язком задачi
∂tv
+ −∆v+ + ζ0 = f0 в Ω0 × (0, T ),
(34)
v+ = 0 на Q0 × (0, T ), ∂νv
+ = q±0 на S± × (0, T ), v+
∣∣
t=0
= 0 в Ω0,
з поки що невiдомою функцiєю ζ0, а v−2 — узагальненим розв’язком задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1653
h2∂tv
−
2 − divx̃(h2∇x̃v−2 ) + ζ2 + 2h−1
2 µ2 = h2f0 + 2 δβ,1g0 в D2 × (0, T ),
(35)
v−2 = 0 на Q0 × (0, T ), ∂νv
−
2 = 0 на Q2 × (0, T ), v−2
∣∣
t=0
= 0 в D2,
з невiдомими поки що функцiями ζ2 та µ2.
Знайдемо функцiї ζ0, ζ2, та µ2 за допомогою метода Браудера – Мiнтi. В iнте-
гральну тотожнiсть (23) пiдставимо як тестову функцiю розв’язок vε:
1
2
∫
Ωε
v2
ε(x, T )dx+
T∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdt+
+εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσxdt =
=
T∫
0
∫
Ωε
fε vεdx+ εβ
∫
Υε
gεvε dσx +
∫
S±
q±ε vε dx̃
dt.
З умов (2) – (4) та (22) випливає, що границя правої частини попередньої рiвностi
при ε→ 0 дорiвнює
Ĩ1 :=
T∫
0
∫
Ω0
f0v
+dx+
∫
D2
h2f0v
−
2 dx2 δβ,1 +
∫
D2
g0v
−
2 dx+
∫
S±
q±0 v
+dx̃
dt,
а беручи до уваги тотожностi (32) та (33) з тестовими функцiями v+ та v−2 , маємо
Ĩ1 =
1
2
∫
Ω0
(v+)2|t=T dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
|∇xv+|2 + ζ0v
+
)
dxdt+
1
2
∫
D2
h2 (v−2 )2|t=T dx+
+
T∫
0
∫
D2
(h2|∇x̃v−2 |2 + ζ2v
−
2 + 2h−1
2 µ2v
−
2 )dxdt. (36)
Виберемо довiльнi ϕ0 ∈W0 та ϕ2 ∈W2. З очевидної нерiвностi
1
2
∫
Ω0
(
vε(x, T )− ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
∫
G
(2)
ε
(
vε(x, T )− ϕ2(x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xvε −∇xϕ0|2dxdt+
T∫
0
∫
G
(2)
ε
|∇x̃vε −∇x̃ϕ2|2 dxdt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1654 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
+
T∫
0
∫
Ω0
(
κ0(vε)− κ0(ϕ0)
)(
vε − ϕ0
)
dxdt+
+
T∫
0
∫
G
(2)
ε
(
κ0(vε)− κ0(ϕ2)
)(
vε − ϕ2
)
dxdt+
+
T∫
0
∫
G
(1)
ε
(
κ0(vε)− κ0(0)
)
vεdxdt+ εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+
+ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
(
κ2(vε)− κ2(ϕ2)
)(
vε − ϕ2
)
dσxdt ≥ 0
(
тут враховано умову (5)
)
отримаємо
1
2
∫
Ωε
v2
ε(x, T ) dx+
T∫
0
∫
Ωε
(
|∇xvε|2 + κ0(vε)vε
)
dxdt+
+εα
T∫
0
∫
Υ
(1)
ε
κ1(vε)vεdσxdt+ ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
κ2(vε)vεdσxdt−
−
∫
Ω0
vε(x, T )ϕ0(x, T )dx−
∫
G
(2)
ε
vε(x, T )ϕ2(x, T )dx−
−2
T∫
0
∫
Ω0
∇xvε · ∇xϕ0dx dt− 2
T∫
0
∫
G
(2)
ε
∇x̃vε · ∇x̃ϕ2dx dt+
+
1
2
∫
Ω0
(
ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
∫
G
(2)
ε
(
ϕ2(x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xϕ0|2 dx dt+
T∫
0
∫
G
(2)
ε
|∇x̃ϕ2|2 dx dt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
κ0(ϕ0)ϕ0 − κ0(vε) ϕ0 − κ0(ϕ0)vε
)
dx dt−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
УСЕРЕДНЕННЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ ЗАДАЧI З РIЗНИМИ НЕЛIНIЙНИМИ . . . 1655
−κ0(0)
T∫
0
∫
G
(1)
ε
vεdxdt+
T∫
0
∫
G
(2)
ε
(
κ0(ϕ2)ϕ2 − κ0(vε) ϕ2 − κ0(ϕ2)vε
)
dx dt+
+ε
T∫
0
∫
Υ
(2)
ε
(
κ2(ϕ2)ϕ2 − κ2(vε)ϕ2 − κ2(ϕ2)vε
)
dσx dt ≥ 0.
Перейдемо в цiй нерiвностi до границi при ε → 0. Границя перших двох рядкiв
визначається з рiвностi (36), а границi решти доданкiв знайдемо, використавши
оператори продовження нулем i спiввiдношення (20) та (22). В результатi одержимо
1
2
∫
Ω0
(
v+(x, T )− ϕ0(x, T )
)2
dx+
1
2
∫
D2
h2
(
v−2 (x, T )− ϕ2(x, T )
)2
dx+
+
T∫
0
∫
Ω0
|∇xv+ −∇xϕ0|2dxdt+
T∫
0
∫
D2
h2|∇x̃v−2 −∇x̃ϕ2|2dx dt+
+
T∫
0
∫
Ω0
(
ζ0 − κ0(ϕ0)
)(
v+ − ϕ0
)
dx dt+
+
T∫
0
∫
D2
(
ζ2 − h2κ0(ϕ2)
)(
v−2 − ϕ2
)
dxdt+
+2
T∫
0
∫
D2
(
h−1
2 µ2 − κ2(ϕ2)
)(
v−2 − ϕ2
)
dxdt ≥ 0.
Далi, поклавши в останнiй нерiвностi ϕ0 = v+ − λψ0, ϕ2 = v−2 − λψ2, де λ > 0 —
довiльне число, ψ0, ψ2 — довiльнi функцiї з W0 та з W2 вiдповiдно, як в останнiй
частинi пункту 5.5 доведення теореми 1, виводимо
ζ0 = κ0(v+) майже скрiзь в Ω0 × (0, T ),
ζ2 + 2h−1
2 µ2 = h2κ0(v−2 ) + 2κ2(v−2 ) майже скрiзь в D2 × (0, T ).
(37)
Таким чином, iз першого спiввiдношення в (37) та з (32) випливає, що функцiя
v+ є слабким розв’язком задачi (11), а з другого спiввiдношення в (37) та з (33)
випливає, що функцiя v−2 — слабкий розв’язок задачi (12). На пiдставi умов (5)
кожна з задач має єдиний розв’язок.
Оскiльки всi наведенi вище мiркування мають мiсце для довiльної пiдпослiдов-
ностi {ε}, яка вибиралася на початку доведення, то внаслiдок єдиностi розв’язкiв
задач (11) i (12) справедливi границi (10).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1656 Т. А. МЕЛЬНИК, Д. Ю. САДОВИЙ
1. Хруслов Е. Я. О резонансных явлениях в одной задаче дифракции // Теория функций, функцион.
анализ и его прил. – 1968. – 10. – С. 113 – 120.
2. Котляров В. П., Хруслов Е. Я. О предельном граничном условии одной задачи Неймана // Теория
функций, функцион. анализ и его прил. – 1970. – 10. – С. 83 – 96.
3. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. – Киев:
Наук. думка, 1974.
4. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических
колебаниях ступицы с тяжелыми спицами // Докл. РАН. – 1993. – 333. – С. 13 – 15.
5. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа
„густого гребешка” // Труды сем. им. И. Г. Петровского. – 1996. – 19. – С. 138 – 174.
6. Mel’nyk T. A. Homogenization of the Poisson equation in a thick periodic junction // Z. Anal. und
Anwendungen. – 1999. – 18, № 4. – S. 953 – 975.
7. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с
тонкими тяжелыми стержнями // Алгебра и анализ. – 2000. – 12, № 2. – С. 188 – 238.
8. Mel’nyk T. A. Homogenization of a singularly perturbed parabolic problem in a thick periodic junction
of the type 3:2:1 // Ukr. Mat. Zh. – 2000. – 52, № 11. – P. 1524 – 1534.
9. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размер-
ностей // Труды сем. им. И. Г. Петровского. – 1995. – 18. – Ч. I. – С. 1 – 78; 2000. – 20. – Ч. II. –
С. 155 – 196.
10. Mel’nyk T. A. Homogenization of a boundary value problem with a nonlinear boundary condition in
a thick junction of type 3:2:1 // Math. Models and Meth. Appl. Sci. – 2008. – 31. – P. 1005 – 1027;
http://www.interscience.wiley.com/DOI: 10.1002/mma.951
11. Blanchard D., Gaudiello A., Mel’nyk T. A. Boundary homogenization and reduction of dimension in a
Kirchhoff-Love plate // SIAM J. Math. Anal. – 2008. – 39, № 6. – P. 1764 – 1787.
12. Blanchard D., Gaudiello A., Griso G. Junction of a periodic family of elastic rods with 3d plate. Part I
// J. math. pures ed appl. – 2007. – 88, № 9. – Pt I. – P. 1 – 33; Pt II. – P. 149 – 190.
13. Мельник Т. А., Чечкин Г. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых трехмерных много-
уровневых соединениях // Мат. сб. – 2009. – 200, № 3. – С. 49 – 74.
14. Mel’nyk T. A. Eigenmodes and pseudo-eigenmodes of thick multi-level junctions // Proc. Int. Conf.
“Days on Diffraction-2004” (St.Petersburg, June 29 – July 2, 2004). – St.Petersburg, 2004. – P. 51 – 52.
15. De Maio U., Durante T., Mel’nyk T. A. Asymptotic approximation for the solution to the Robin problem
in a thick multi-level junction // Math. Models and Meth. Appl. Sci. – 2005. – 15, № 12. – P. 1897 – 1921.
16. Мельник Т. А., Ващук П. С. Усреднение краевой задачи со сменным типом граничных условий в
густом соединении // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 5. – С. 677 – 685.
17. Durante T., Mel’nyk T. A. Asymptotic analysis of a parabolic problem in a thick two-level junction // J.
Math. Phys., Anal., Geometry. – 2007. – 3, № 3. – P. 313 – 341.
18. De Maio U., Mel’nyk T. A. Homogenization of the Robin problem for the Poisson equation in a thick
multi-structure of type 3:2:2 // Asympt. Anal. – 2005. – 41. – P. 161 – 177.
19. D’Apice C., De Maio U., Mel’nyk T. A. Asymptotic analysis of a perturbed parabolic problem in a thick
junction of type 3:2:2 // Networks and Heterogeneous Media. – 2007. – 2, № 2. – P. 255 – 277.
20. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные диффе-
ренциальные уравнения. – М.: Мир, 1975.
21. Мельник Т. А., Сивак Е. А. Асимптотический анализ параболической полулинейной задачи с нели-
нейными граничными многофазовыми взаимодействиями в перфорированной области // Проблемы
мат. анализа. – 2009. – 43. – С. 107 – 128.
22. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983.
23. Showalter R. E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. –
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1977.
Одержано 25.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2831 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:10Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/de/40e57a30307e05c1346e2e2c80c759de.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28312020-03-18T19:37:39Z Homogenization of a quasilinear parabolic problem with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level thick junction of the type 3:2:2 Усереднення квазілінійної параболічної задачі з різними нелінійними крайовими умовами Фур'є, що чергуються, в дворівневому густому з'єднанні типу 3:2:2 Mel'nik, T. A. Sadovyi, D. Yu. Мельник, Т. А. Садовий, Д. Ю. We investigate the asymptotic behavior of a solution of a quasilinear parabolic boundary-value problem in a two-level thick junction of the type 3:2:2. This junction consists of a cylinder on which thin disks of variable thickness are $\varepsilon$-periodically threaded. The thin disks are divided into two levels, depending on their geometric structure and the conditions imposed on their boundaries. In this problem, we consider different alternating inhomogeneous nonlinear Fourier conditions. Moreover, the Fourier conditions depend on additional perturbation parameters. We prove theorems on the convergence of a solution of this problem as $\varepsilon \rightarrow 0$ for different values of these parameters. Исследуется асимптотическое поведение решения квазилинейной параболической краевой задачи в густом двухуровневом соединении типа 3 : 2 : 2. Такое соединение состоит из цилиндра, на который $\varepsilon$-периодически нанизаны тонкие диски с переменной толщиной. Тонкие диски разделены на два уровня в зависимости от их геометрической структуры, а также от краевых условий, заданных на их границах. В данной задаче рассматриваются различные неоднородные нелинейные условия Фурье, которые чередуются. Кроме того, условия Фурье зависят от дополнительных параметров возмущения. В зависимости от этих параметров доказаны теоремы сходимости для решения такой задачи при $\varepsilon \rightarrow 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2831 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 12 (2011); 1632-1656 Український математичний журнал; Том 63 № 12 (2011); 1632-1656 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2831/2415 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2831/2416 Copyright (c) 2011 Mel'nik T. A.; Sadovyi D. Yu. |
| spellingShingle | Mel'nik, T. A. Sadovyi, D. Yu. Мельник, Т. А. Садовий, Д. Ю. Homogenization of a quasilinear parabolic problem with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level thick junction of the type 3:2:2 |
| title | Homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| title_alt | Усереднення квазілінійної параболічної задачі з різними нелінійними крайовими умовами Фур'є, що чергуються, в дворівневому густому з'єднанні типу 3:2:2 |
| title_full | Homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| title_fullStr | Homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| title_full_unstemmed | Homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| title_short | Homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear Fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| title_sort | homogenization of a quasilinear parabolic problem
with different alternating nonlinear fourier boundary conditions in a two-level
thick junction of the type 3:2:2 |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2831 |
| work_keys_str_mv | AT mel039nikta homogenizationofaquasilinearparabolicproblemwithdifferentalternatingnonlinearfourierboundaryconditionsinatwolevelthickjunctionofthetype322 AT sadovyidyu homogenizationofaquasilinearparabolicproblemwithdifferentalternatingnonlinearfourierboundaryconditionsinatwolevelthickjunctionofthetype322 AT melʹnikta homogenizationofaquasilinearparabolicproblemwithdifferentalternatingnonlinearfourierboundaryconditionsinatwolevelthickjunctionofthetype322 AT sadovijdû homogenizationofaquasilinearparabolicproblemwithdifferentalternatingnonlinearfourierboundaryconditionsinatwolevelthickjunctionofthetype322 AT mel039nikta userednennâkvazílíníjnoíparabolíčnoízadačízrízniminelíníjnimikrajovimiumovamifur039êŝočerguûtʹsâvdvorívnevomugustomuz039êdnannítipu322 AT sadovyidyu userednennâkvazílíníjnoíparabolíčnoízadačízrízniminelíníjnimikrajovimiumovamifur039êŝočerguûtʹsâvdvorívnevomugustomuz039êdnannítipu322 AT melʹnikta userednennâkvazílíníjnoíparabolíčnoízadačízrízniminelíníjnimikrajovimiumovamifur039êŝočerguûtʹsâvdvorívnevomugustomuz039êdnannítipu322 AT sadovijdû userednennâkvazílíníjnoíparabolíčnoízadačízrízniminelíníjnimikrajovimiumovamifur039êŝočerguûtʹsâvdvorívnevomugustomuz039êdnannítipu322 |