Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric
In the spaces $L_{\psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho( f , 0)_{\psi} = \int_T \psi (| f (x) |) dx $, where $\psi$ is a function of the modulus-of-continuity type, we investigate analogs of the classic Bernstein inequalities for the norms of derivatives and increments of trigonometric p...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2832 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508819494273024 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:39Z |
| description | In the spaces $L_{\psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho( f , 0)_{\psi} = \int_T \psi (| f (x) |) dx $, where $\psi$ is a
function of the modulus-of-continuity type, we investigate analogs of the classic Bernstein inequalities for the
norms of derivatives and increments of trigonometric polynomials. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. A. ПИЧУГОВ , 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12 1657
УДК 517. 5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ
С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ
In the spaces L! (T ) of periodic functions with metric !( f , 0)" = "(| f (x) |)T# dx , where ! is a
function of the modulus-of-continuity type, we investigate analogs of the classic Bernstein inequalities for the
norms of derivatives and increments of trigonometric polynomials.
У просторах L! (T ) періодичних функцій з метрикою !( f , 0)" = "(| f (x) |)T# dx , де ! — функ-
ція типу модуля неперервності, досліджeно аналоги класичних нерівностей Бернштейна для норм похід-
них та приростів тригонометричних поліномів.
1. Введение. Данная статья является продолжением работ [1, 2]. Все основные
обозначения и понятия см. в [2].
Для действительнозначных функций f (x), x !R1 , имеющих период 1, L0 !
! L0 (T ) — множество измеримых и почти всюду конечных функций на торе пе-
риодов T = [0,1] ; ! — множество функций ! : R+1 " R+1 , являющихся модулем
непрерывности;
L! = L! (T ) = f "L0 (T ) : f ! = !(| f (x) |)
T
# dx < $
%
&
'
('
)
*
'
+'
— метрические пространства (в случае ! "# ).
В этих пространствах рассмотрим подпространства !T 2n+1 тригонометриче-
ских полиномов Tn (x) = ckei2!kxk="n
n# , c!k = ck , и линейные операторы A :
!T 2n+1 ! !T 2n+1 . Мы будем изучать нормы этих полиномиальных операторов, т. e.
величины
A !, n := sup
Tn"!T 2n+1,Tn#0
ATn !
Tn !
. (1)
При этом нас в первую очередь интересуют аналоги классических неравенств типа
Бернштейна для производных и приращений полиномов; этим обусловлен выбор
классов операторов A , которые мы изучаем.
Исследованию таких неравенств в нормированных пространствах посвящено
много работ (см., например, монографии [3, 4]). Oтметим только, что в метриче-
ских пространствах Lp , p !(0,1) , точные по порядку неравенства Бернштейна
для производных Tn! (x)
1658 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
!Tn (x) p " Cnp Tn p (2)
и приращений !hTn (x) = Tn x + h
2
"
#$
%
&' ( Tn x ( h
2
"
#$
%
&'
!hTn p " C(nh)p Tn p , 0 < nh ! 1
2
, (3)
доказаны в [5, 6], а в работе [7], в частности, найдена точная константа в (2).
В настояшей работе получены аналоги неравенств (2), (3) в пространствах
L! . Приложению этих результатов к исследованию обратных теорем Джексона в
пространствах L! будет посвящена отдельная статья.
2. Интерполяционная формула. Отметим одно важное предположение от-
носительно операторов A . Всюду в дальнейшем (и это не будет оговариваться
отдельно) изучаются операторы A , которые определяются множителями
!k "C; k # n{ } , !k = !"k , по формуле
A ckei2!kx
k "n
#
$
%
&
'
(
) = *kckei2!kx
k "n
# .
Очевидно, что каждый такой оператор A перестановочен со сдвигом; это
означает, что !t A = A!t для всех операторов !t сдвига на параметр t .
Введем еще аналоги классических полиномов (ядер) Валле Пуссена (см., на-
пример, [3]).
Обозначим через P! класс функций ! : R" R таких, что:
1) !(s) = 1 для s !["1,1] ; !(s) = 0 для s ! 2 ;
2) !("s) = !(s) ;
3) ! "C(R) .
Каждая функция ! этого класса порождает тригонометрический полином
Vn (x) ! Vn (x;") := " k
n
#
$%
&
'( e
i2)kx
|k|<2n
* (4)
степени не выше 2n ! 1 .
Для оператора A , первоначально заданного на полиномах степени n , будем
использовать его продолжение на полиномы степени 2n по правилу
!n+k := !n"k ; !"(n+k) := !n+k для k = 1,…, n . (5)
Для вновь полученного оператора с множителями !k ; k " 2n{ } сохраним
прежнее обозначение A .
Наши оценки норм операторов A базируются на следующей интерполяцион-
ной формуле.
Теорема 1. Для любого полинома Tn ! !T 2n+1 и всех x, t !R справедливо
соотношение
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1659
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
ATn (x + t) = 1
3n
Tn (t + x j )AVn (x ! x j )
j=1
3n
" , (6)
где x j =
j
3n
— система равноотстоящих точек на периоде T = [0,1] , Vn оп-
ределены в (4), ! "P# , а значения AVn определяются с помощью (5).
Доказательство. Для полинома Tn справедливо интегральное представле-
ние
Tn (x) = Tn (u) !Vn (x " u)du
T
#
(это следует из того, что !(s) = 1 при s ! 1 ). Подынтегральная функция есть
полином степени не выше 3n ! 1 . Для вычисления интеграла используем квадра-
турную формулу прямоугольников с 3n узлами, точную на полиномах степени
3n ! 1 :
Tn (x) =
1
3n
Tn (x j )Vn (x ! x j )
j=1
3n
" .
Поскольку это соотношение справедливо для любого полинома, применим его
для !tTn :
!tTn (x) = 1
3n
Tn (t + x j )Vn (x " x j )
j=1
3n
# . (7)
Подействуем оператором A на обе части (7) и получим (6).
3. Оценки нормы фиксированного оператора. Для заданной функции типа
модуля непрерывности ! определим ее функцию растяжения M! (s) , s !(0,")
[8]:
M! (s) = sup
0<t<"
!(st)
!(t)
.
Очевидно, что
!(st) " !(s)M! (t) . (8)
Теорема 2. При любой ! "# в пространстве L! для нормы оператора
A имеют место двусторонние неравенства
1
2M! ( 2 )
M! max
k"n
#k( ) " A !, n " inf
$%P&
3n M!
1
3n
AVn (x)
'
()
*
+, dx
T
- . (9)
Доказательство. Для оценки сверху используем теорему 1.
Из полуаддитивности ψ, (6) и (8) следует
! ATn (x + t)( ) " ! Tn (t + x j )( )M!
1
3n
AVn (x # x j )
$
%&
'
()j=1
3n
* .
1660 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
Используя инвариантность по сдвигу ! -метрики, отсюда получаем правую часть
(9):
ATn ! = ! ATn (x + t)( ) dtdx "
t#T
$
x#T
$
! " Tn (t + x j )( ) dt
t#T
$
j=1
3n
% M"
1
3n
AVn (x & x j )
'
()
*
+, dx =
x#T
$
= Tn ! 3n M!
1
3n
AVn (x)
"
#$
%
&' dx
x(T
) .
Для доказательства нижней оценки в (9) рассмотрим полином
pk (x) = cos (2!kx) , k = 0,1,…, n .
Пусть k ! 0 , !k = !k ei"k . Тогда
Apk (x) = 1
2
A(e2!ikx + e"2!ikx ) = 1
2
#k ei(2!kx+$k ) + #k e"i(2!kx+$k )( ) =
= !k cos (2"kx + #k ) ,
Apk ! = ! "k sin 2#x( ) dx $ 2 ! "k sin 2#x( ) dx $
1/8
3/8
%
0
1
%
! 1
2
" #k
2
2
$
%&
'
()
.
Если же k = 0 , то Apk ! = ! "0( ) # 1
2
! "0
2
2
$
%&
'
()
.
Теперь в оценке снизу используем семейство полиномов ! pk (x);{
k = 0,1,…, n; ! > 0} :
A !, n " sup
{#pk (x)}
A#pk !
#pk !
" sup
#>0
max
0$k$n
1
2
! # %k
2
2
&
'(
)
*+
!(#)
=
= 1
2
sup
!>0
" !max
k#n
$k
2
2
%
&'
(
)*
"(!)
= 1
2
M"
2
2
max
k#n
$k
%
&'
(
)*
+
! 1
2M" ( 2 )
M" max
k#n
$k( ) .
На последнем этапе использовано свойство M! (xy) " M! (x)M! (y).
Теорема 2 доказана.
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1661
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
Поскольку оператор A однозначно определяется множителями !k ; k " n{ } ,
оценки его норм желательно получить в терминах !k{ } . В этом смысле правую
оценку (9) еще нельзя считать ,,хорошей”. Мы продвинемся дальше в оценках
сверху норм операторов, накладывая некоторые дополнительные ограничения как
на операторы, так и на ! -метрики.
4. Оценка норм последовательностей операторов. Напомним [8], что
поведение функции растяжения Mψ для ! "# в правой окрестности нуля харак-
теризуется так называемым нижним показателем растяжения ! " , имеющим
свойства:
a) ! " #[0,1] ;
б) M! (s) " s
# ! !s "(0,1] ;
в) для любых ! > 0 и s !(0,1] с некоторой константой C!
M! (s) " C#s
$ ! %# .
Отсюда следует, в частности, что в случае ! " = 0 M! (s) " 1 для s ![0,1] ,
а при ! " > 0 M! (+ 0) = 0 .
В этом пункте исследуем последовательности операторов An; n = 1, 2,…{ } ,
образованные по следующему правилу: задана некоторая функция µ(s) : R! C ,
µ(!s) = µ(s) , и оператор An , n = 1, 2,… , действующий на !T 2n+1 , определяется
множителями !k := µ(k) , k ! n . Для последовательности таких операторов
нет необходимости в процедуре их продолжения (5), и оценка сверху (9) принимает
вид
An !, n " inf
#$P%
3n M!
1
3n
&n
k
n
'
()
*
+, e
i2-kx
|k|<2n
.
'
()
*
+,
dx
T
/ , (10)
где !n (s) := µ(ns)"(s) .
В дальнейшем ограничимся гладкими функциями ! "P# !C$ (R) и локально
интегрируемыми функциями µ . В этом случае преобразование Фурье функции
!n ,
!̂n (x) = !n (s)e"i2#sxds
R
$ ,
является функцией, интегрируемой на оси.
Теорема 3. Пусть ! " > 0 , а функция µ(s) такова, что для данного n
найдутся ! "P# !C$ (R) , ! > 0 и константа K(n, !) такие, что для x !R
выполнено неравенство
!̂n (x) " K(n, #)
1+ x( )
1
$%
+#
. (11)
1662 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
Тогда для нормы соответствующего оператора An справедлива оценка
An !, n " 3M!
1
3
#
$%
&
'( M! )̂n (x)( )
R
* dx . (12)
Доказательство. По формуле суммирования Пуассона (см., например, [9])
!n
k
n
"
#$
%
&' e
i2(kx = n!̂n (n(x ) j))
j*Z
+
|k|,2n
+ ,
при этом ряд справа равномерно сходится благодаря условию (11).
Поскольку ! " > 0 , из (11) и свойства в) для функции растяжения при подхо-
дящем выборе ! следуют равномерная сходимость ряда
M!
1
3
"̂n (n(x # j))$
%&
'
()j*Z
+
и сходимость интеграла
M! "̂n (x)( ) dx
R
# .
Так как ! полуаддитивна, из определения M! видно, что функция M!
также полуаддитивна. Поэтому
M!
1
3n
"n
k
n
#
$%
&
'( e
i2)kx
|k|*2n
+
#
$%
&
'(
* M!
1
3
"̂n (n(x , j))#
$%
&
'(j-Z
+ . (13)
Теперь из (10) и (13) следует, что
An !, n " 3n M!
1
3
#̂n (n(x $ j))%
&'
(
)* dx = 3 M!
1
3
#̂n (x)
%
&'
(
)* dx "
R
+
T
+
j,Z
-
! 3M"
1
3
#
$%
&
'( M" )̂n (x)( ) dx
R
* .
Теорема 3 доказана.
Известно (см., например, [9]), что если функция f из L1(R) такова, что
функции f , !f , ..., f (l"1) абсолютно непрерывны на каждом конечном интервале
(l !N ) , а f (l) !L1(R) , то для всех x !R выполняется неравенство
f̂ (x) ! "K
1+ x( )l
.
Таким образом, благодаря тому, что ! — бесконечно дифференцируемая
функция с конечным носителем, для выполнения неравенства (11) можно указать
достаточные условия в терминах гладкости функции µ .
Следствие 1. Пусть ! " > 0 , а функция µ на отрезке [!2n, 2n]
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1663
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
абсолютно непрерывна вместе со своими производными !µ , !!µ , ...,µ 1/" #$% &' + 1 .
Тогда для этого значения n выполняется неравенство (12).
Из этого факта легко следует аналог неравенств Бернштейна.
Следствие 2. Пусть ! " > 0 и r !N . Тогда имеют место неравенства
C1(r)M! (nr ) " sup
Tn#!T 2n+1,Tn$0
Tn(r) !
Tn !
" C2 (r)M! (nr ) (14)
с константами C1(r) , C2 (r) , не зависящими от n .
Доказательство. Функция µ(s) = (i2!s)r принадлежит C! (R), поэтому
для оценки сверху можно использовать (12).
Далее, так как µ(s) – однородная функция степени r , то
!n (s) = µ(ns)"(s) = nrµ(s)"(s) ,
!̂n (x) = nr (i2"x)r!#(x) ,
Tn(r) !
" Tn ! # 3M!
1
3
$
%&
'
() M! (i2*x)r!+(x)$
%
'
( dx M! (nr )
R
, .
Оценка снизу следует из (9).
Следствие 3. Пусть ! " > 0 и nh !(0,1/2] . Тогда для k !N имеют мес-
то неравенства
C1(k)M! ((nh)k ) " sup
Tn#T 2n+1,Tn$0
%hkTn !
Tn !
" C2 (k)M! ((nh)k ) (15)
с константами C1(k) , C2 (k) , не зависящими от n и h .
Доказательство. Для всех k !N рассуждения одинаковые, поэтому для
простоты ограничимся случаем k = 1 .
Функция µ(s) = 2i sin(!hs) принадлежит C! (R), и по следствию 1
!hTn " # Tn " $ 3M"
1
3
%
&'
(
)* M" +̂n (x)( ) dx
R
, .
Поскольку !̂n (x) = (µ(n")#("))! (x) = $nh#̂(x) , то
M! "̂n (x)( ) dx # M! (nh) M!
$nh%̂(x)
nh
&
'(
)
*+
dx
R
,
R
, ,
и для оценки сверху осталось показать, что функция
!(y) := M"
# y $̂(x)
y
%
&
'
(
)
* dx
R
+
1664 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
равномерно ограничена для y ![0,1/2] . Вследствие того, что !(y) непрерывна
при y > 0 , достаточно доказать существование конечного предела !(y) при
y! 0 .
Так как финитная функция (iy)2!(y) "C# , ее преобразование Фурье, равное
D2 !̂(x) , убывает на бесконечности быстрее любой степени:
D2 !̂(x) " CN
1+ x( )N
.
Тогда по формуле Тейлора для некоторой точки ! "[x, x + y] имеем
! y"̂(x)
y
# D"̂(x) = 1
2
y D2"̂($) % CN &y
1+ $( )N
% CN &y
1+ x( )N
,
M!
" y#̂(x)
y
$ D#̂(x)
%
&'
(
)*
dx +
R
, M! (CN - )M! (y) M!
1
1+ x( )N
%
&
'
(
)
* dx
R
, . (16)
Поскольку ! " > 0 , при достаточно больших N интеграл в правой части (16)
конечен, а M! (y)" 0 при y! 0 . Отсюда следует, что
lim
y!0
"(y) = M# D$̂(x)( ) dx < %
R
& ,
и оценка сверху в (15) доказана. Оценка снизу следует из (9).
Аналогично доказывается и следующий более общий факт.
Теорема 4. Пусть ! " > 0 , k = 0,1,…, r = 0,1,…, nh !(0,1/2] . Тогда име-
ют место неравенства
C1(k, r)M! (nr+khk ) " sup
Tn#!T 2n+1,Tn$0
%hkTn r( )
!
Tn !
" C2 (k, r)M! (nr+khk ) , (17)
C3M! max
|k|"n
k r sin #kh
k
$ #k%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
" sup
Tn+!T 2n+1,Tn,0
-h
h
$ D%
&'
(
)* Tn
(r)
!
Tn !
"
! C4M" max
|k|!n
k r sin #kh
k
$ #k%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
. (18)
Заметим еще, что правые оценки в (17), (18) справедливы при всех h !(0,1/2] .
5. Неравенства для производных и приращений в случае ! " = 0 . Заме-
тим, что оценки снизу в (14), (15), (17) остаются справедливыми и в случае
! " = 0 . С другой стороны, очевидно, что !hkTn "
# 2k Tn " .
Вследствие того, что при ! " = 0 M! (y) " 1 для всех y > 0 , из оценки
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1665
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
снизу в (15) непосредственно вытекает следующий факт.
Утверждение 1. В любом пространстве L! при ! " = 0 найдутся кон-
станты Ck > 0 такие, что для всех n = 1, 2,… справедливы соотношения
2k ! lim
h"0
sup
Tn#!T 2n+1,Tn$0
%hkTn &
Tn &
! Ck > 0 . (19)
Таким образом, утверждение 1 означает, что неравенств Бернштейна для при-
ращений в форме, аналогичной (3), в пространствах L! в случае ! " = 0 нет.
А вот ситуация с неравенствами для производных иная: условие ! " = 0 не ис-
ключает наличия неравенств типа (2). Отметим работу [7], в которой, в частности,
доказаны точные неравенства
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
# $Tn (t)( ) dt
T%
# Tn (t)( ) dt
T%
=
# 2&n sin(2&t)( ) dt
T%
# sin(2&t)( ) dt
T%
(20)
для всех функций ! из класса ! функций, неубывающих на (0,!) , абсолют-
но непрерывных на каждом отрезке [a, b]! (0,") и таких, что функция x !" (x)
не убывает на (0,!) .
В частности, функция !(x) = ln(1+ x) , определяющая пространство ln(1+ L) ,
принадлежит классу ! !" , и для неe ! " = 0 .
Мы не смогли найти точные по порядку неравенства Бернштейна для производ-
ных во всех пространствах L! с условием ! " = 0 . Однако, мы ниже укажем
класс пространств L! , в которых удалось доказать неравенства для производных
даже с точными константами. Этому классу, в частности, принадлежит наряду с
пространством ln(1+ L) еще и пространство L0 с метрикой
f 0 := ! f (x)( ) dx
T
" , !(x) = x
1+ x
, x > 0 ,
порождающей сходимость по мере. Отметим, что ! " = 0 .
Но сначала приведем одну общую оценку норм операторов в произвольных
пространствах L! .
Обозначим
In := sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
Tn C
Tn L1
. Известно [10], что n + 1 ! In ! 2n + 1 .
Пусть, как и ранее, для фиксированного n A :
!T 2n+1 ! !T 2n+1 — оператор с мно-
жителями !k ; k " n{ } и
A 1!1 := sup
Tn"!T 2n+1,Tn#0
ATn 1
Tn 1
.
Обозначим еще через ! класс всех выпуклых вверх модулей непрерывности
! : R+ " R+ .
Теорема 5. Пусть ! "# . Тогда выполняются неравенства
1666 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
1
2 /M! ( 2 )
M! max
|k|"n
#k( ) " A !, n " InM!
A 1$1
In
%
&'
(
)*
. (21)
Доказательство. Оценка снизу содержится в теореме 2. Для оценки сверху
используем неравенство Йенсена для ! :
ATn ! = ! ATn (x)( ) dx " ! ATn (x) dx
T
#
$
%
&
'
(
)
T
# =
= ! ATn 1( ) " ! A 1#1 Tn 1( ) . (22)
Из выпуклости вверх ψ следует, что функция !(x)
x
убывающая. Поэтому
! Tn (x)( )
Tn (x)
"
! Tn C( )
Tn C
"
! In Tn 1( )
In Tn 1
,
Tn ! = ! Tn (x)( ) dx "
T
# Tn (x)
! In Tn 1( )
In Tn 1
dx =
T
# In$1! In Tn 1( ) .
(23)
Из (22) и (23) следует (21):
ATn !
Tn !
"
! A 1#1 Tn 1( )
In$1! In Tn 1( ) ,
A !, n " In sup
0<s<#
! A 1$1 s( )
!(Ins)
= InM!
A 1$1
In
%
&'
(
)*
.
Теорема 5 доказана.
Если ! из ! не является выпуклой вверх, то для наименьшей выпуклой
вверх мажоранты ! по лемме Стечкина (см., например, [11])
!(x) " !(x) " 2!(x) .
Тогда после очевидных изменений в доказательстве получим для случая произ-
вольной ! из ! следующую оценку сверху:
A !, n " 4InM!
A 1#1
In
$
%&
'
()
. (24)
Введем класс пространств, для которого мы сможем уточнить неравенства (21).
Определение. Будем говорить, что ! принадлежит классу !1 , если
! : R+ " R+ — выпуклый вверх модуль непрерывности и выполняется асимпто-
тическое равенство
!(x) " x при x ! 0 . (25)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1667
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
Теорема 6. Если ! "#1 , то выполняются неравенства
max
|k|!n
"k ! sup
Tn#!T 2n+1,Tn$0
ATn %
Tn %
! max In; A 1&1{ } . (26)
В частности, для любого r ! 1 (не обязательно целого) при всех n ! 1
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
Tn(r) #
Tn #
= (2$n)r . (27)
Доказательство. Докажем сначала оценку снизу. Поскольку !(x)
x
" , то
!(x)
x
" lim
x#0
!(x)
x
= 1 ,
т. e. !(x) " x . Поэтому Tn ! " Tn 1 .
Рассмотрим полиномы !pk (x) = ! cos(2"kx), k = 0,1,…, n , ! > 0. Тогда
A(!pk ) "
!pk "
# cos(2$x) 1
%1 " ! &k cos(2$x)( ) dx
!T
' ,
A !, n " cos(2#x) 1
$1 lim
%&0
! % 'k cos(2#x)( ) dx
%T
( .
Использoвав теорему Лебега о мажорированной сходимости, осуществим предель-
ный переход под знаком интеграла. Учитывая (25), получaeм оценку снизу.
Теперь покажем, что для любой ! из !1
M! (y) = y "y # 1 . (28)
Тогда оценка сверху будет следовать из (21). Из (25) следует, что
M! (y) = sup
s>0
!(sy)
!(s)
" lim
s#0
!(sy)
!(s)
= y . (29)
С другой стороны, так как !(x)
x
" , то при y ! 1
!(sy)
!(s)
= y !(sy) / sy
!(s) / s
" y ,
поэтому M! (y) " y . Отсюда и из (29) следует (28).
Теорема 6 доказана.
6. Неравенства для полиномов в разных метриках. Порядок роста величи-
ны
C(n; r; X,Y ) := sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
Tn(r) X
Tn Y
1668 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
при заданном r = 0,1,… и n! " в случае X = Lp (T ) , Y = Lq (T ) , ! " p >
> q ! 1 , исследовал С. М. Никольский [10]. Дальнейшие результаты см. в [12].
Мы рассмотрим аналогичную задачу в случае X = L1(T ) , Y = L! (T ) , ! "# .
Теорема 7. 1. Для любой ! "# найдется константа C! такая, что
выполняются неравенства
! n Tn 1( ) " C!n Tn ! (30)
при всех n и Tn .
2. Если ! " > 0 , то найдется константа C!,1 > 0 такая, что при всех n
имеют место неравенства
C!,1nM!
1
n
"
#$
%
&' ( sup
Tn)!T 2n+1,Tn*0
! Tn 1( )
Tn !
( C!nM!
1
n
"
#$
%
&' (31)
(здесь C! — та же, что и в (30)).
Доказательство. Используем формулу (7):
Tn (x + t) ! 1
3n
Tn (t + x j ) Vn (x " x j )
j=1
3n
# .
Проинтегрируем обе части по переменной x :
n Tn 1 ! 1
3
Vn 1 Tn (t + x j )
j=1
3n
" .
Отсюда получаем
! n Tn 1( ) " M!
1
3
Vn 1
#
$%
&
'( ! Tn (t + x j )( )
j=1
3n
) .
Теперь проинтегрируем по переменной t и получим неравенство
! n Tn 1( ) " M!
1
3
Vn 1
#
$%
&
'( 3n Tn ! , (32)
которое выполняется для любого ядра Vn вида (4). В частности, пусть Vn —
классическое ядро Валле Пуссена. Известно [3], что sup Vn 1 ; n !N{ } = K < ! .
Тогда из (32) получаем (30) с константой C! := 3M! (K /3) .
Из (30) следует верхняя оценка в (31):
! Tn 1( ) = ! n 1
n
Tn
1
"
#$
%
&'
( C!n
1
n
Tn
!
( C!nM!
1
n
"
#$
%
&' Tn ! .
Таким образом, верхняя оценка в (31) справедлива и в случае ! " = 0 .
Пусть теперь ! " > 0 и ядра Vm определяются функцией ! из P! !C
" (R) .
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1669
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
Тогда для любого c > 0 с помощью формулы суммирования Пуассона получаем
cVm ! " ! cm #̂(my)( ) dy = 1
m
! cm #̂(y)( ) dy "
R
$
R
$
! 1
m
"(cm) M" #̂(y)( ) dy = K1
1
m
"(cm)
R
$ , (33)
где K1 := M! "̂(y)( ) dy < #
R$ .
Для оценки снизу в (31) достаточно ограничиться случаем n ! 3 . Положим
Tn = cV n /2[ ] , используем (33) и тот факт, что Vm 1 > 1 :
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
# Tn 1( )
Tn #
$ sup
c>0
# c V n / 2[ ] 1( )
cV n / 2[ ] #
$ sup
c>0
#(c)
K1 n / 2[ ]%1 #(c n / 2[ ])
$
! n
3K1
sup
c>0
"(c)
"(cn/2)
= n
3K1
M"
2
n
#
$%
&
'( ! 1
3K1
nM"
1
n
#
$%
&
'( .
Теорема 7 доказана.
Теорема 8. 1. Найдутся константы C! < " и C!, 2 > 0 такие, что для
любого оператора A с множителями !k ; k " n{ } выполняются неравенства
C!, 2 nM!
1
n
max
|k| " n / 2
#k
$
%&
'
() " sup
Tn*!T 2n+1,Tn+0
! ATn 1( )
Tn !
" C!nM!
1
n
A 1,1
$
%&
'
() .
(34)
При этом правое неравенство выполняется для любого ! "# , а левое — при
условии ! " > 0 .
2. Если ! "#1 , то
C!,2 max
|k| " n / 2
#k " sup
Tn$!T 2n+1,Tn%0
! ATn 1( )
Tn !
" C! max n; A 1&1{ } . (35)
Доказательство. Правое неравенство в (34) следует из (30) (с той же кон-
стантой C! ):
! ATn 1( ) " ! A 1#1 Tn 1( ) = ! 1
n
A 1#1
$
%&
'
() n Tn 1( )$
%&
'
()
"
! M"
1
n
A 1#1
$
%&
'
() " n Tn 1( ) ! M"
1
n
A 1#1
$
%&
'
() C"n Tn " .
Для оценки снизу в (34) достаточно ограничиться случаем n ! 3 . Положим
Tn = cV n / 2[ ] , c > 0 , и учтем, что при k ! n / 2[ ]
1670 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
AV n / 2[ ] 1 ! AV n / 2[ ](x)e
i2"kxdx
T
# = $k .
Кроме того, если ! " > 0 , то можно использовать (33). В результате получим ле-
вую часть (34):
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
# ATn 1( )
Tn #
$ sup
c>0
# AcV n / 2[ ] 1( )
cV n / 2[ ] 1
$
! sup
c>0
" c max
k # n / 2[ ]
$k
%
&'
(
)*
K1 n / 2[ ]+1 " c n / 2[ ]( )
! C"nM"
1
n
max
k # n / 2[ ]
$k
%
&'
(
)*
.
Если же ! "#1 , то !(x) " x , поэтому
cV n / 2[ ] !
" cV n / 2[ ] 1 " cK ,
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
# ATn 1( )
Tn #
$ sup
c
# AcV n / 2[ ] 1( )
cV n / 2[ ] 1
$
! lim
c"0
# c max
k $ n / 2[ ]
%k
&
'(
)
*+
cK
= 1
K
max
k $ n / 2
%k .
Правая часть (35) следует из того, что M! (y) " max(1; y) .
Теорема 8 доказана.
Следствие 4. 1. Если ! " > 0 , то для r ![0,")
!C",2 (r)nM" (nr#1) $ sup
Tn%!T 2n+1,Tn&0
" Tn(r) 1( )
Tn "
$ !C" (r)nM" (nr#1) .
2. Если ! "#1 , то для r ![1,")
!C",2 (r)nr # sup
Tn$!T 2n+1,Tn%0
" Tn(r) 1( )
Tn "
# !C" (r)nr .
3. Для любой ! "# при всех k, r = 0,1, 2,… и всех h !(0,1] , n !N
sup
Tn!!T 2n+1,Tn"0
# h$k %hkTn(r) 1( )
Tn #
& C# (r, k)nM# (nr$1 min(nk , h$k )) .
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ В ПРОСТРАНСТВАХ … 1671
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2011, т. 63, № 12
1. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной
метрикой // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 122 – 133.
2. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с
интегральной метрикой. II // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – C. 1524 – 1533.
3. Тиман А. Ф. Теория приближений функций действительного переменного. – М. : Физматгиз, 1960.
– 624 с.
4. Корнейчук Н. П. , Бабенко В. Ф. , Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 304 с.
5. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в про-
странствах Lp , 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
6. Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в раз-
ных метриках // Мат. заметки. – 1975. – 18, № 4. – С. 489 – 498.
7. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производ-
ных // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1982. – 45, № 1. – С. 3 – 22.
8. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М. : Наука,
1978. – 400 с.
9. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М. : Мир,
1974. – 330 с.
10. Никольский С. М. Неравенства для целых функций многих переменных // Труды Мат. ин-та АН
СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
11. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
12. Арестов В. В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки.
– 1980. – 27, № 4. – С. 539 – 547.
Получено 11.10.10
|
| id | umjimathkievua-article-2832 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:16Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/c594bb4d008e421200a4500b7521b27d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28322020-03-18T19:37:39Z Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. In the spaces $L_{\psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho( f , 0)_{\psi} = \int_T \psi (| f (x) |) dx $, where $\psi$ is a function of the modulus-of-continuity type, we investigate analogs of the classic Bernstein inequalities for the norms of derivatives and increments of trigonometric polynomials. У просторах $L_{\psi}(T)$ періодичних функцій з метрикою $\rho( f , 0)_{\psi} = \int_T \psi (| f (x) |) dx $, де $\psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджeно аналоги класичних нерівностей Бернштейна для норм похідних та приростів тригонометричних поліномів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2832 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 12 (2011); 1657-1671 Український математичний журнал; Том 63 № 12 (2011); 1657-1671 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2832/2417 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2832/2418 Copyright (c) 2011 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title | Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title_alt | Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой |
| title_full | Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title_fullStr | Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title_full_unstemmed | Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title_short | Inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| title_sort | inequalities for trigonometric polynomials in spaces with integral metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2832 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa inequalitiesfortrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetric AT pičugovsa inequalitiesfortrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetric AT pičugovsa inequalitiesfortrigonometricpolynomialsinspaceswithintegralmetric AT pichugovsa neravenstvadlâtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT pičugovsa neravenstvadlâtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT pičugovsa neravenstvadlâtrigonometričeskihpolinomovvprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj |