Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth
We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2837 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508820978008064 |
|---|---|
| author | Khats’, R. V. Хаць, Р. В. |
| author_facet | Khats’, R. V. Хаць, Р. В. |
| author_sort | Khats’, R. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:37:39Z |
| description | We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. В. Хаць (Дрогобиц. держ. пед. ун-т, Iн-т фiзики, математики та iнформатики)
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ
ФУНКЦIЙ ПОКРАЩЕНОГО РЕГУЛЯРНОГО ЗРОСТАННЯ
We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a
finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients.
Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями
на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье.
Теорiя цiлих функцiй цiлком регулярного зростання в розумiннi Левiна – Пфлюгера
[1] встановлює зв’язок мiж регулярнiстю зростання цiлої функцiї i правильним
поводженням послiдовностi її нулiв. Численнi дослiдження присвячено розвинен-
ню теорiї Левiна – Пфлюгера i перенесенню її результатiв на iншi класи функцiй
(див. [2, 3]). На даний час вiдомо досить багато рiзноманiтних умов, якi є необхiд-
ними i достатнiми для цiлком регулярного зростання цiлих функцiй. Зокрема, в
[4] встановлено критерiй цiлком регулярного зростання цiлих функцiй додатного
порядку в термiнах їх коефiцiєнтiв Фур’є.
Теорема A [4]. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ (0,+∞) була функ-
цiєю цiлком регулярного зростання, необхiдно i достатньо, щоб для всiх k ∈ Z
iснували границi
lim
r→+∞
ck(r, log |f |)
rρ
= ck, ck(r, log |f |) :=
1
2π
2π∫
0
e−ikϕ log |f(reiϕ)| dϕ.
У роботi [5, с. 76] (див. також [8]) отримано аналог теореми А в класi меро-
морфних функцiй скiнченного λ-типу цiлком регулярного зростання, а в [6] — для
класу цiлих функцiй сильно регулярного зростання нульового порядку з нулями на
скiнченнiй системi променiв. У статтi [7] встановлено критерiї цiлком регулярного
зростання цiлих, а в [5, с. 78; 8, 9] — мероморфних функцiй додатного порядку в
Lp[0, 2π]-метрицi (див. також [10]).
У статтях [11, 12] (див. також [13]) введено поняття цiлої функцiї покращеного
регулярного зростання i знайдено критерiї для цiєї регулярностi в термiнах розподi-
лу нулiв за умови, коли останнi розмiщенi на скiнченнiй системi променiв. У роботi
[14] це поняття поширено на субгармонiчнi функцiї. Цiла функцiя f називається
функцiєю покращеного регулярного зростання [11], якщо для деяких ρ ∈ (0,+∞),
ρ1 ∈ (0, ρ) i 2π-перiодичної ρ-тригонометрично опуклої функцiї h 6≡ −∞ iснує
множина U ⊂ C, яка мiститься в об’єднаннi кругiв iз скiнченною сумою радiусiв
така, що
log |f(z)| = |z|ρh(arg z) + o(|z|ρ1), U 63 z →∞.
Якщо цiла функцiя f є функцiєю покращеного регулярного зростання, то [11] вона
має порядок ρ i iндикатор h.
Нехай f — цiла функцiя, f(0) = 1, (λn) — послiдовнiсть її нулiв, p — най-
менше цiле невiд’ємне число, для якого
∑
n∈N
|λn|−p−1 < +∞, n(r, ψ; f) :=
:=
∑
|λn|≤r, arg λn=ψ
1 i Qρ — коефiцiєнт при zρ експоненцiального множника у
зображеннi Адамара – Бореля [1, с. 38] цiлої функцiї f порядку ρ ∈ (0,+∞).
c© Р. В. ХАЦЬ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12 1717
1718 Р. В. ХАЦЬ
Теорема Б [11]. Для того щоб цiла функцiя f нецiлого порядку ρ ∈ (0,+∞)
з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤
≤ ψ1 < ψ2 < . . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання,
необхiдно i достатньо, щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m}
n(t, ψj ; f) = ∆jt
ρ + o(tρ2), t→ +∞, ∆j ∈ [0,+∞). (1)
При цьому
h(ϕ) =
m∑
j=1
hj(ϕ), (2)
де hj(ϕ) — 2π-перiодична функцiя, визначена на промiжку [ψj , ψj + 2π) рiвнiстю
hj(ϕ) =
π∆j
sinπρ
cos ρ(ϕ− ψj − π).
Теорема B [12]. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ N з нулями на
скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . .
. . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i
достатньо, щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась
рiвнiсть (1) i, крiм того, для деяких ρ3 ∈ (0, ρ) i δf ∈ C∑
0<|λn|≤r
λ−ρn = δf + o(rρ3−ρ), r → +∞.
При цьому
h(ϕ) =
τf cos (ρϕ+ θf ) +
m∑
j=1
hj(ϕ), ρ = p,
Qρ cos ρϕ, ρ = p+ 1,
(3)
де τf = |δf/ρ+Qρ|, θf = arg (δf/ρ+Qρ) i hj(ϕ) — 2π-перiодична функцiя, визна-
чена на промiжку [ψj , ψj + 2π) рiвнiстю hj(ϕ) = ∆j(π − ϕ+ ψj) sin ρ(ϕ− ψj)−
− ∆j
ρ
cos ρ(ϕ− ψj).
Метою цiєї статтi є встановлення аналогу вищезгаданих результатiв з [4, 6] для
класу цiлих функцiй покращеного регулярного зростання з нулями на скiнченнiй
системi променiв.
Теорема 1. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ (0,+∞) з нулями на
скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . .
. . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i
достатньо, щоб для деяких ρ4 ∈ (0, ρ), k0 ∈ Z i кожного k ∈ {k0, k0 + 1, . . . , k0 +
+m− 1}
ck(r, log |f |) = ckr
ρ + o(rρ4), r → +∞. (4)
Для доведення теореми 1 потрiбнi наступнi допомiжнi твердження.
Лема 1 [11]. Нехай ρ ∈ (0,+∞), ρ1 ∈ (0, ρ) i f — цiла функцiя покращеного
регулярного зростання. Тодi iснує така послiдовнiсть (rs), що 0 < rs ↑ +∞,
rρs+1 − rρs = o(rρ1s ) i log |f(rse
iϕ)| = rρsh(ϕ) + o(rρ1s ), s → +∞, рiвномiрно по
ϕ ∈ [0, 2π].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1719
Лема 2 [15]. Нехай f — цiла функцiя порядку ρ ∈ (0,+∞) з iндикатором
h(ϕ). Тодi, якщо iснує послiдовнiсть (rs) з леми 1, то iснує таке ρ4 ∈ (0, ρ), що
для кожного k ∈ Z виконується (4).
Нехай [5, с. 104]
nk(r, f) :=
∑
|λn|≤r
e−ik arg λn , Nk(r, f) :=
r∫
0
nk(t, f)
t
dt, k ∈ Z.
Вiдомо [5, с. 107], що
Nk(r, f) = ck(r, log |f |)− k2
r∫
0
dt
t
t∫
0
ck(u, log |f |)
u
du, k ∈ Z, r > 0. (5)
Лема 3. Нехай f — цiла функцiя покращеного регулярного зростання порядку
ρ ∈ (0,+∞). Тодi для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного k ∈ Z виконується (4) та
Nk(r, f) = ck(1− k2/ρ2)rρ + o(rρ4), r → +∞. (6)
Доведення. Справдi, (4) безпосередньо випливає з лем 1 i 2. Доведемо (6). Якщо
виконується (4), то на основi (5) при r → +∞ отримуємо
Nk(r, f) = ckr
ρ+o(rρ4)−k2
r∫
0
dt
t
t∫
0
(cku
ρ−1+o(uρ4−1)) du = ck(1−k2/ρ2)rρ+o(rρ4).
Лему 3 доведено.
З леми 3, як наслiдок, випливає наступна лема.
Лема 4. Якщо f — цiла функцiя покращеного регулярного зростання порядку
ρ ∈ (0,+∞) з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈
{1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . . < ψm < 2π, то для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного
k ∈ Z виконуються (4) та (6), де
ck :=
1
2π
2π∫
0
e−ikϕh(ϕ) dϕ =
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , ∆j ∈ [0,+∞), (7)
якщо ρ — нецiле число, i для ρ ∈ N
ck =
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , |k| 6= ρ = p,
τfe
iθf
2
− 1
4ρ
m∑
j=1
∆je
−iρψj , k = ρ = p,
0, |k| 6= ρ = p+ 1,
Qρ
2
, k = ρ = p+ 1.
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1720 Р. В. ХАЦЬ
Доведення. Справдi, на пiдставi (2) отримуємо
ck =
1
2π
m∑
j=1
π∆j
sinπρ
ψj+2π∫
ψj
e−ikϕ cos ρ(ϕ− ψj − π) dϕ
=
=
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , k ∈ Z.
Аналогiчно, з огляду на (3) одержуємо
ck =
1
2π
2π∫
0
e−ikϕτf cos(ρϕ+ θf ) dϕ+
+
1
2π
m∑
j=1
ψj+2π∫
ψj
e−ikϕ
(
∆j(π − ϕ+ ψj) sin ρ(ϕ− ψj)−
∆j
ρ
cos ρ(ϕ− ψj)
)
dϕ
=
=
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , |k| 6= ρ = p,
i
cρ =
τfe
iθf
2
− 1
4ρ
m∑
j=1
∆je
−iρψj .
Випадок ρ = p+ 1 розглядається аналогiчно.
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай ρ ∈ (0,+∞). Для того щоб для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного
j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась рiвнiсть
N(r, ψj ; f) :=
r∫
0
n(t, ψj ; f)
t
dt =
∆j
ρ
rρ + o(rρ4), r → +∞, ∆j ∈ [0,+∞), (9)
необхiдно i достатньо, щоб для деяких ρ4 ∈ (0, ρ), k0 ∈ Z i кожного k ∈ {k0, k0 +
+ 1, . . . , k0 +m− 1} виконувалось (6) з ck, визначеними формулами (7) i (8).
Доведення. Необхiднiсть випливає з формулNk(r, f)=
∑m
j=1
e−ikψjN(r, ψj ; f).
Доведемо достатнiсть. Не зменшуючи загальностi мiркувань, вважаємо, що k0 =
= 0. Тодi, як i в [5, с. 127; 6], для k ∈ {0, 1, . . . ,m− 1}
N0(r, f) = N(r, ψ1; f) +N(r, ψ2; f) + . . .+N(r, ψm; f),
N1(r, f) = e−iψ1N(r, ψ1; f) + e−iψ2N(r, ψ2; f) + . . .+ e−iψmN(r, ψm; f),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nm−1(r, f) = e−i(m−1)ψ1N(r, ψ1; f) + e−i(m−1)ψ2N(r, ψ2; f) + . . .
· · ·+ e−i(m−1)ψmN(r, ψm; f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1721
Це система лiнiйних рiвнянь вiдносно невiдомих N(r, ψj ; f), j ∈ {1, . . . ,m}. Її
визначником є визначник Вандермонда, який вiдмiнний вiд нуля. Тому функ-
цiї N(r, ψj ; f), j ∈ {1, . . . ,m}, можна зобразити як лiнiйнi комбiнацiї функцiй
Nk(r, f), k ∈ {0, 1, . . . ,m − 1}. Розв’язуючи розглядувану систему за правилом
Крамера, на основi (6) одержуємо (9).
Лему 5 доведено.
Лема 6 [11, 16]. Нехай ρ ∈ (0,+∞). Для того щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i
кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась рiвнiсть (1), необхiдно i достатньо, щоб для
деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалось (9).
Зауваження. З лем 4 – 6 i леми 6 з [12] випливають необхiднi частини теорем
Б i В.
Доведення теореми 1. Необхiднiсть випливає з леми 4, а достатнiсть — з
лем 4 – 6, леми 6 з [12] та достатнiх частин теорем Б i В.
Теорема 1 є непокращуваною в сенсi наступної теореми.
Теорема 2. Для кожного m ∈ N\{1} iснує така цiла функцiя f нецiлого
порядку ρ ∈ (0,+∞) з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj},
ψj :=
2π(j − 1)
m
, j ∈ {1, . . . ,m}, що
c0(r, log |f |) =
m
ρ
rρ − m
ρ2
rρ
log r
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞,
для будь-якого ρ4 ∈ (0, ρ) та кожного k ∈ {1, . . . ,m− 1} виконується (4) i f не є
функцiєю покращеного регулярного зростання.
Доведення. Нехай ρ ∈ (0,+∞) — нецiле число, µn =
(
n+
n
log n
)1/ρ
, {λn : n ∈
∈ N\{1}} :=
⋃m
j=1
{µnei
2π(j−1)
m : n ∈ N\{1}} i
f(z) =
∞∏
n=1
(
1− z
λn
)
exp
(
p∑
ν=1
1
ν
(
z
λn
)ν)
, p = [ρ].
Тодi µρn = n +
n
log n
= (1 + o(1))n i n = (1 + o(1))µρn при n → +∞. Звiдси при
n→ +∞
n = µρn
(
1 +
1
log n
)−1
= µρn
(
1 +
1
log((1 + o(1))µρn)
)−1
=
= µρn
(
1− 1
log((1 + o(1))µρn)
+ o
(
1
log((1 + o(1))µρn)
))
=
=µρn
(
1− 1
ρ logµn + o(1)
+ o
(
1
ρ logµn + o(1)
))
=µρn −
µρn
ρ logµn
+ o
(
µρn
logµn
)
.
Далi, нехай µn ≤ t < µn+1. Тодi n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= n = µρn −
µρn
ρ logµn
+
+ o
(
µρn
logµn
)
≤ tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
, t→ +∞. З iншого боку,
n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= n+ 1− 1 = µρn+1 −
µρn+1
ρ logµn+1
+ o
(
µρn+1
logµn+1
)
− 1 ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1722 Р. В. ХАЦЬ
≥ tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
, t→ +∞.
Тому n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
при t→ +∞ для кожного j ∈
∈ {1, . . . ,m}.Отже, для жодного ρ2 ∈ (0, ρ) не виконується (1) i, згiдно з теоремами
Б i В, цiла функцiя f не є функцiєю покращеного регулярного зростання. Крiм цьо-
го, для кожного j ∈ {1, . . . ,m} отримуємо N
(
r,
2π(j − 1)
m
; f
)
=
rρ
ρ
− rρ
ρ2 log r
+
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞. Тому c0(r, log |f |) =
∑m
j=1
N
(
r,
2π(j − 1)
m
; f
)
=
m
ρ
rρ −
− m
ρ2
rρ
log r
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞. Таким чином, (4) для k = 0 не виконується. До
того ж (див. [15; 13, с. 77])
ck(r, log |f |) =
1
2k
m∑
j=1
∑
µn≤r
[(
r
λn
)k
−
(
λn
r
)k]
=
=
1
2k
∑
µn≤r
[(
r
µn
)k
−
(µn
r
)k] m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m , 1 ≤ k ≤ p,
i
ck(r, log |f |) = − 1
2k
m∑
j=1
∑
µn>r
(
r
λn
)k
+
∑
µn≤r
(
λn
r
)k =
= − 1
2k
∑
µn>r
(
r
µn
)k
+
∑
µn≤r
(µn
r
)k
m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m , k ≥ p+ 1.
Позаяк
m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m =
1− e−2πki
1− e−i 2πkm
= 0, k ∈ {1, . . . ,m− 1},
то ck(r, log |f |) = 0 для кожного k ∈ {1, . . . ,m−1} i всiх r > 0. Тому для будь-якого
ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного k ∈ {1, . . . ,m− 1} виконується (4).
Теорему 2 доведено.
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
2. Гольдберг А. А. Б.Я. Левин — создатель теории целых функций вполне регулярного роста // Мат.
физика, анализ, геометрия. – 1994. – 1, № 2. – С. 186 – 192.
3. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки
и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1991. – 85. – С.
5 – 186.
4. Азарин В. С. О регулярности роста коэффициентов Фурье логарифма модуля целой функции //
Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1977. – Вып. 27. – С. 9 – 21.
5. Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. – Львов: Вища шк., 1988. – 195 с.
6. Заболоцький М. В. Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифму цiлої функцiї нульового
порядку // Мат. вiсн. НТШ. – 2009. – 6. – С. 100 – 109.
7. Калинець Р. З., Кондратюк А. А. Про регулярнiсть зростання модуля i аргумента цiлої функцiї в
Lp[0, 2π]-метрицi // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 7. – С. 889 – 896.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1723
8. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних
функцiй цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. Ч. 1 // Мат. студ. – 1999. – 12, № 1. –
С. 37 – 58.
9. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних
функцiй цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. Ч. 2 // Мат. студ. – 1999. – 12, № 2. –
С. 135 – 144.
10. Боднар О. В., Заболоцький М. В. Критерiї регулярностi зростання логарифма модуля та аргументу
цiлої функцiї // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 7. – С. 885 – 893.
11. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про регулярнiсть зростання цiлої функцiї нецiлого порядку з нулями
на скiнченнiй системi променiв // Мат. студ. – 2005. – 24, № 1. – С. 31 – 38.
12. Khats’ R. V. On entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite
system of rays // Mat. Stud. – 2006. – 26, № 1. – P. 17 – 24.
13. Хаць Р. В. Цiлi функцiї покращеного регулярного зростання: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. –
Дрогобич, 2006. – 125 с.
14. Гiрник М. О. Субгармонiчнi функцiї покращеного регулярного зростання // Доп. НАН України. –
2009. – № 4. – С. 13 – 18.
15. Хаць Р. В. Про коефiцiєнти Фур’є одного класу цiлих функцiй // Мат. студ. – 2005. – 23, № 1. –
С. 99 – 102.
16. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку // Мат.
студ. – 2004. – 21, № 2. – С. 140 – 150.
Одержано 14.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2837 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:17Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/18af96495ddcc58ae5104baecd4aa70c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28372020-03-18T19:37:39Z Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання Khats’, R. V. Хаць, Р. В. We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients. Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2837 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 12 (2011); 1717-1721 Український математичний журнал; Том 63 № 12 (2011); 1717-1721 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2837/2427 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2837/2428 Copyright (c) 2011 Khats’ R. V. |
| spellingShingle | Khats’, R. V. Хаць, Р. В. Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title | Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title_alt | Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
| title_full | Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title_fullStr | Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title_full_unstemmed | Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title_short | Regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| title_sort | regularity of growth of fourier coefficients of entire functions of improved regular growth |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2837 |
| work_keys_str_mv | AT khatsrv regularityofgrowthoffouriercoefficientsofentirefunctionsofimprovedregulargrowth AT hacʹrv regularityofgrowthoffouriercoefficientsofentirefunctionsofimprovedregulargrowth AT khatsrv regulârnístʹzrostannâkoefícíêntívfur039êcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâ AT hacʹrv regulârnístʹzrostannâkoefícíêntívfur039êcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâ |